组合数学习题

1．将具有9个字母的单词FRAGMENTS进行排列，要求字母A总是紧跟在字母R 的右边，问有多少种这样的排法？如果再要求字母M和N必须相邻呢？
2．有8人围圆桌就餐，问有多少种就座方式？如果有两人不愿坐在一起，又有多少种就座方式？
3．用字母A、B、C组成五个字母的符号，要求在每个符号里，A至多出现2次，B至多出
4．用两种方法证明(Pascal公式)：C(n,r)=C(n-1,r)+C(n-1,r-1) 5．从1~300之间任取3个不同的数，使得这3个数的和正好被3除尽，问共有几种方案？
6．试问(x+y+z)4的展开式有多少项？
7．Vandermonde恒等式，如n,m∈N且r≤min(m,n)，有
C(m+n,r)=C(m,0)C(n,r)+C(m,1)C(n,r-1)+…+C(m,r)C(n,0)
8．如n,l,r∈N,l≥r，有C(n,l)C(l,r)=C(n,r)C(n-r,l-r) 用两种方法证明。

9．证明：把5
2的正方形中，至少存在两个顶点，它们。

10．将17。

11．一个学校只有三门课程：数学、物理、化学。

已知修这三门科的学生分别有170、130、120人；同时修数学物理两门课的学生有45人；同时修数学、化学的20人；同时修物理、化学的22人；同时修三门科的学生3人。

问这学校有多少学生？
12．求从1到500的整数中被3或5除尽的数的个数
13．用26个英文字母做不允许重复的全排列，要求排除dog, god, gum, depth, thing字样的出现，求满足这些条件的排列数。

14．某校甲班共有学生60名，其中24个学生喜爱数学，28个学生喜爱物理，26个学生喜爱化学，10个学生既喜爱数学又喜爱物理，8个学生既喜爱数学又喜爱化学，14个学生既喜爱物理又喜爱化学，6个学生对这三门学科都喜爱，问有多少学生对这三门学科都不喜爱？
15．求重集B={4*a, 3*b, 4*c, 5*d} r−组合数，其中r=12。

16．求8个字母A,B,C,D,E,F,G,H的全排列中只有4个元素不在原来位置上的排列数。

17．求{1,2,…,n}的全排列中，正好只有r(0≤r≤n)个元素在原来位置上的排列个数。

18．错排数满足递归关系D n=(n-1)(D n-1+D n-2)
19．求集合A={a,b,c,d,e,f,g,h}的全排列中，abc和efgh均不出现的全排列个数
20．在重集{4*x, 3*y, 2*z}的全排列中，求不出现xxxx、yyy、zz图像的排列数
21．求序列(0, 1×2×3, 2×3×4,…, n(n+1)(n+2),…)的普通母函数22．求序列{1,α,α2,…,αn,…}的指数母函数f e(x)。

其中α是实数。

23．设A (x )是序列{a n }的普通母函数，则A (x )/(1-x )是序列{a 0,a 0+a 1,…,a 0+a 1 +…+a n ,…}的普通母函数。

23．某单位有8个男同志，5个女同志，现要组织一个由数目为偶数的男同志，和数目不少于2的女同志组成的小组，试求有多少种组成方式。

随机组合 24．在一个书架上共有16本书，其中4本是高等数学，3本是普通物理，4本是数据结构，5本是离散数学。

求从中选取r 本数的方式数，其中r =12。

25．证明从n 个不同的物体中允许重复地选取r 个物体的排列数为n r 。

26．在所有的n 位数中，包含数字3,8,9，但不包含数字0,4的数有多少？
27. 正整数n 拆分为互不相同的若干奇数的和的拆分数等于数n 拆分成有自共轭的Ferrers 图的拆分数。

28. 若有1克的砝码3枚，2克的4枚，4克的2枚，问能称出哪些重量？各有几种方案？
29. Euler 定理：P o (n )=P d (n ) 即把n 拆分成奇整数的和的方法数等于把n 拆分成不同的整数和的方法数
30. “Fibonacci 兔子问题”也是组合数学中的著名问题之一。

这个问题是指：从某一年某一月开始，把雌雄各一的一对兔子放入养殖场中，从第二个月雌兔每月产雌雄各一的一对新兔。

每对新兔也是从第二个月起每月产一对兔子。

试问第n 个月后养殖场中共有多少对兔子?并求Fibonacci 数列的通项公式。

31. 设有n 个数b 1,b 2,...,b n 的连乘积为b 1×b 2×...×b n 。

试求不同的结合方式数（加括号的方式）。

32. 求递归关系
33.求递归关系。

34. 求递归关系 a n +2a n -1+a n -2=2n 的通解 35.令[x ]n =x (x -1)(x -2)…(x -n +1)，若
，则称S 1(n ,k )为第一
类Stirling 数。

第一类Stirling 数满足以下递推关系： {
n n n n a a a a n a a a 1230126128(3)
1,2,8
---=---≥==-={
1121(2)
1
n n a a n a -=+≥=10[](,)n
k
n k x S n k x ==∑{
111
11(1,)(,1)(,) (0,0)(0,0)1, (,0)0 (0)
S n k S n k nS n k n k S S n n +=--≥>==>
36. 第二类Stirling数满足三项递归关系A(n,k)=A(n-1,k-1)+kA(n-1,k)，
A(0,0)=1，A(n,0)=0.
37. 求出从8个计算机系的学生、 9个数学系的学生和10个经济系的学生中选出两个不同专业的学生的方法数
38. 如n, r∈N且n≥r≥2，则P(n,r)=n×P(n-1,r-1)
39. 设A={a n}，A的r圆排列个数为P(n,r)/r。

40. 重集B={∞*b1, ∞*b2, … , ∞*b n} 的r−排列的个数为n r
41. 如r≤n，有C(n,r)=P(n,r)/r!=n!/(r!(n-r)!)。

如n≥r=0，C(n,r)=1；
如n＜r，C(n,r)=0。

42. C(n,r)=C(n-1,r-1)+C(n-2,r-1)+ … +C(r-1,r-1)
43. 求方程
x
+x2+…+x n=r的非负整数解的个数，其中n,r为正整数。

1
44. 如n,k∈N，有C(n,k)=(n/k)C(n-1,k-1)
45. 如n,r∈N，有C(n+r+1,r) =
C(n+r,r)+C(n+r-1,r-1)+…+C(n+1,1)+C(n,0)
46. 鸽笼原理（抽屉原理）
若把n+1个物体放到n（n≥1）个盒子中去，则至少有一个盒子放有至少2个物体。

47. 求{1,2,…,n}的全排列中，正好只有r(0≤r≤n)个元素在原来位置上的排列个数。

48. 设有n册书分给n个学生，之后又将这n册书收回重新分给这n个学生。

问有多少方式分配这n册书使得没有一个学生两次得到同一册书?。