中考数学圆与相似综合经典题及答案解析.docx

中考数学圆与相似综合经典题及答案解析一、相似

1．已知：如图一，抛物线

C，直线经过A、 C 两点，且与 x

．

轴正半轴交于A、B 两点，与y 轴交于点

（1）求抛物线的解析式；

（2）若直线 DE 平行于 x 轴并从 C 点开始以每秒 1 个单位的速度沿 y 轴正方向平移，且分

别交 y 轴、线段BC 于点 E， D，同时动点P 从点运动，如图；当点P 运动到原点O 时，直线B 出发，沿BO 方向以每秒 2 个单位速度DE 与点 P 都停止运动，连DP，若点P

运动时间为 t秒；设，当 t 为何值时， s 有最小值，并求出最小值．

（3）在的条件下，是否存在t 的值，使以P、B、 D 为顶点的三角形与相似；若存在，求 t的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）解：由直线：知：、；

∵，

∴，即．

设抛物线的解析式为：，代入，得：

，解得

∴抛物线的解析式：

（2）解：在中，，，则；

∵，

∴；

而；

∴，

∴当时， s 有最小值，且最小值为1

（3）解：在中，在中，，

∴

以 P、 B、 D 为顶点的三角形与

；

，，则

，则

相似，已知

；

；

，则有两种情况：，解得；

，解得；

综上，当或时，以P、B、D为顶点的三角形与相似

【解析】【分析】（ 1）由直线与坐标轴相交易求得点A、 C 的坐标，用待定系数法即可求

得抛物线的解析式；

（2）由题意可将ED、 OP 用含 t 的代数式表示出来，并代入题目中的s 与 OP、 DE 的关系

式整理可得s=（0

值越小，则当分母最大时，分式的值越小，即t=1 时， s 有最小值，且最小值为1；

（ 3）解直角三角形可得BC 和 CD、 BD 的值，根据题意以P、 B、 D 为顶点的三角形与

△ABC相似所得的比例式有两种情况：，，将这些线段代入比例式即可求

解。

2．

（1）问题发现：

如图 1，在等边三角形ABC中，点 M 为 BC 边上异于B、 C 的一点，以AM 为边作等边三角

形 AMN ，连接 CN， NC 与 AB 的位置关系为 ________；

（2）深入探究：

如图 2，在等腰三角形 ABC中， BA=BC，点 M 为 BC边上异于 B、C 的一点，以 AM 为边作等腰三角形 AMN ，使∠ ABC=∠ AMN， AM=MN ，连接 CN，试探究∠ ABC 与∠ACN 的数量关系，并说明理由；

（3）拓展延伸：

如图 3，在正方形ADBC 中， AD=AC，点 M 为 BC 边上异于B、C 的一点，以AM 为边作正方形 AMEF，点 N 为正方形AMEF 的中点，连接CN，若

【答案】（1） NC∥ AB

BC=10， CN=，试求EF的长．

（2）解：∠ ABC=∠ ACN，理由如下：

∵=1 且∠ ABC=∠ AMN ，∴△ ABC～△ AMN

∴，

∵A B=BC，

∴∠ BAC=（180°﹣∠ABC），

∵AM=MN

∴∠ MAN=（180﹣°∠ AMN），

∵∠ ABC=∠ AMN ，

∴∠ BAC=∠ MAN ，

∴∠ BAM=∠ CAN，

∴△ ABM～△ ACN，

∴∠ ABC=∠ ACN

（3）解：如图3，连接 AB， AN，

∵四边形 ADBC， AMEF 为正方形，

∴∠ ABC=∠ BAC=45 ，°∠ MAN=45 °，∴∠ BAC﹣∠MAC=∠ MAN ﹣∠ MAC 即∠ BAM=∠ CAN，

∵，

∴，

∴△ ABM～△ ACN

∴，

∴=cos45 = °，

∴，

∴B M=2，

∴CM=BC﹣ BM=8，

在 Rt△ AMC，

AM=，

∴EF=AM=2．

【解析】【解答】解：（1） NC∥ AB，理由如下：

∵△ ABC与△ MN 是等边三角形，

∴A B=AC， AM=AN，∠BAC=∠

MAN=60 °，∴∠ BAM=∠ CAN，

在△ ABM 与△ ACN 中，

，

∴△ ABM≌ △ ACN（ SAS），

∴∠ B=∠ACN=60 ，°

∵∠ ANC+∠ ACN+∠ CAN=∠ ANC+60 +°∠CAN=180 ，°

∴∠ ANC+∠ MAN+∠ BAM=∠ANC+60 +°∠ CAN=∠ BAN+∠

ANC=180 ，°∴CN∥ AB；

【分析】（1）由题意用边角边易得△ABM≌△ACN，则可得∠B=∠ACN=60°，所以∠BCN+∠

B=∠BCA+∠ ACN+∠ B=180 ，°根据平行线的判定即可求解；

（2）由题意易得△ABC～△AMN，可得比例式，由三角形内角和定理易得

∠BAM=∠ CAN，根据相似三角形的判定可得△ ABM～△ACN，由相似三角形的性质即可求

解；

（3）要求EF 的值，只须求得CM 的值，然后解直角三角形AMC 即可求解。连接AB，AN，由正方形的性质和相似三角形的判定易得△ABM～△ACN，可得比例式

，可求得 BM 的值，而 CM=BC﹣ BM，解直角三角形 AMC 即可求得

AM 的值，即为 EF的值。

3．如图 1，在矩形ABCD 中， AB=6cm， BC=8cm， E、 F 分别是AB、 BD 的中点，连接EF，

点 P 从点 E 出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s ，同时，点Q 从点 D 出发，沿DB 方

向匀速运动，速度为 2cm/s ，当点 P 停止运动时，点 Q 也停止运动．连接 PQ，设运动时间为 t

（0＜ t＜ 4） s，解答下列问题：

（1）求证：△ BEF∽△ DCB；