绍兴文理学院复变函数复习大纲

1．复数()4

1i --的模和辐角主值分别是多少？12

52(34)(1)(24)i i i i -++--的模是多少？ 2. 指数函数3,i i i -是多少？

3．已知32(,)3u x y x xy =-是解析函数iv u z f +=)(的实部函数，则()f z '等于多少？

4．设C 是从点i +1到原点O 的有向直线段，则积分Re ,Im C C

zdz zdz ⎰⎰是多少？ 5．设ξξξπd z

z f C ⎰-=)3sin()(，其中C 为2=ξ的正向，当2z <时，)1(f '是多少？ 6．设)3()(1

1-=+z z e z f z 的泰勒级数为∑∞=-0)2(n n n z c ，则其收敛半径为多少？ 7．设2||3371()d f z z ζζζζζ=++=-⎰ ，则()f z '等于多少？

8. 设z z z f sin )(=，则0=z 是)(z f 的几阶零点？

9. 方程537310z z z -++=在||1z <内有几个零点？

10.

试证多值函数()f z =[1,1]-的Z 平面上可以分出四个单值解析分支。求函数在割线上岸取正值的那个分支在点z i =±的值。

11.求积分1142353(2)(2)(4)z z dz z z i z =-+++⎰ 和()20111cos d a a πθθ<+⎰。

12. 将函数22

1()(1)f z z =+在z i =±处展开成洛朗(Laurent)级数. 13. 若函数iv u z f +=)(在区域D 内解析，且v 是常数，试证)(z f 在D 内必为常数.

14. 叙述儒歇（Rouch é）定理，并用此定理证明: n 次多项式

00() (0)n n t t n P z a z a z a a -=++++≠

符合条件

011||||||||||t t t n a a a a a -+>+++++ ，

则()P z 在单位圆||1z <有n t -个零点。

15.叙述Liouville 定理，并用此定理证明:在z 平面上，n 次多项式

110() (0)n n n n n p z a z a z a a --=++⋅⋅⋅+≠

至少有一个零点.