排队论及其应用
排队论
排队长度：等待服务的顾 客数量
平均等待时间：顾客在系统 中等待服务的平均时间
平均排队长度：系统中平均 排队的顾客数量
服务台数量：系统中的服 务台数量
利用率：服务台被利用的 程度
排队系统的稳定性：系统是 否处于稳定状态，即平均等 待时间和平均排队长度是否
收敛
排队系统的分析方法
01
排队论的基本概 念：顾客到达、 服务时间、等待
服务台：提供服务的地方
队列：等待服务的顾客队列
顾客到达时间：顾客到达服 务台的时间 服务台容量：服务台可以同 时服务的顾客数量 排队系统状态：当前系统中 顾客和服务员的状态
排队系统的参数
顾客到达率：单位时间内到 达系统的顾客数量
服务速率：单位时间内服务 台能够服务的顾客数量
排队规则：先进先出（FIFO） 或后进先出（LIFO）
谢谢
排队论
演讲人
排队论的基本概念 排队论的基本原理Biblioteka 目录CONTENTS
排队论的应用实例
排队论的基本概念
排队系统的定义
1
排队系统：由顾 客和服务台组成 的系统，顾客需 要等待服务台的
服务。
2
服务台：提供某 种服务的设施， 如收银台、售票
窗口等。
3
顾客：需要接受 服务台的服务的 人，如顾客、乘
客等。
4
时间均服从指数分布
M/G/1模型：单服务台、单 队列、顾客到达服从泊松分 布、服务时间服从指数分布
M/G/c模型：单服务台、多 队列、顾客到达服从泊松分 布、服务时间服从指数分布
M/G/∞模型：单服务台、 无限队列、顾客到达服从泊 松分布、服务时间服从指数
分布
G/M/1模型：多服务台、单 队列、顾客到达服从泊松分 布、服务时间服从指数分布
排队论在交通拥堵控制中的应用
排队论在交通拥堵控制中的应用随着城市化进程的加速和人口的不断增长，交通拥堵问题日益严重，给人们的出行带来了极大的不便。
如何有效地控制交通拥堵，提高道路运输效率，一直是交通管理部门和学者们关注和探索的重要课题。
在这个问题上，排队论作为一种重要的数学工具和管理方法，被广泛应用于交通拥堵控制中，并取得了显著成效。
首先，我们来了解一下排队论。
排队论是研究顾客到达系统并等待服务过程中各种问题的数学方法。
在交通领域中，道路上车辆等待服务过程可以看作是一个排队系统。
通过对车辆到达率、服务速率、队列长度等参数进行建模和分析，可以得出一些关键指标，并提出相应的控制策略。
在实际应用中，我们可以将排队论运用于信号灯优化调度。
信号灯是城市道路上最常见、最直接影响道路运输效率和交通流畅度的设施之一。
通过对信号灯进行优化调度，并根据实际情况调整绿灯时间和红灯时间，可以有效地控制交通拥堵。
排队论可以帮助我们分析车辆到达率和服务速率，进而确定最佳的信号灯调度策略。
例如，在高峰期，车辆到达率较高，我们可以适当延长红灯时间，减少车辆排队等待时间，提高道路通行能力。
此外，在交通拥堵控制中，排队论还可以应用于路口交通信号配时优化。
通过对路口的车流量和服务能力进行建模和分析，我们可以确定最佳的信号配时方案。
例如，在某个路口的早晚高峰期间，通过调整不同方向道路的绿灯时间和红灯时间，并合理设置左转弯、直行、右转弯等不同行驶方向的优先权，在保证道路安全的前提下最大限度地提高交通流畅度。
此外，在公共交通系统中也可以应用排队论进行拥堵控制。
公共交通是城市出行中重要的组成部分，也是解决城市交通拥堵问题的重要手段之一。
通过对公共汽车站点进行建模和分析，并根据旅客到达率、服务速率等参数确定最佳调度策略，可以有效地提高公共交通系统的运行效率。
例如，在高峰期增加公交车班次，缩短乘客的等待时间，提高公交车运行的频率，减少乘客的拥堵感受。
除了以上几个方面，排队论在交通拥堵控制中还有很多其他应用。
排队论模型及其应用
排队论模型及其应用摘要：排队论是研究系统随机服务系统和随机聚散现象匸作过程中的的数学理论和方法，乂叫随机服务的系统理论，而且为运筹学的一个分支。
乂主要称为服务系统，是排队系统模型的基本组成部分。
而且在日常生活中，排队论主要解决存在大量无形和有形的排队或是一些的拥挤现象。
比如：学校超市的排队现象或岀行车辆等现象，。
排队论的这个基本的思想是在1910年丹麦电话工程师埃尔朗在解决自动电话设计问题时开始逐渐形成的。
后来，他在热力学统计的平衡理论的启发下，成功地建立了电话的统讣平衡模型，并山此得到了一组呈现递推状态方程，从而也导出著名的埃尔朗电话损失率公式。
关键词：出行车辆；停放；排队论；随机运筹学引言：排队论既被广泛的应用于服务排队中，乂被广泛的应用于交通物流领域。
在服务的排队中到达的时间和服务的时间都存在模糊性，例如青岛农业大学歌斐木的人平均付款的每小时100人，收款员一小时服务30人，因此，对于模糊排队论的研究更具有一些现实的意义。
然而有基于扩展原理乂对模糊排队进行了一定的分析。
然而在交通领域，可以非常好的模拟一些交通、货运、物流等现象。
对于一个货运站建立排队模型，要想研究货物的一个到达形成的是一个复合泊松过程，每辆货车的数量为陷而且不允许货物的超载，也不允许不满载就发车，必须刚刚好，这个还是一个具有一般分布装车时间的一个基本的物流模型。
一.排队模型排队论是运筹学的一个分支，乂称随机服务系统理论或等待线理论，是研究要求获得某种服务的对象所产生的随机性聚散现象的理论。
它起源于A.K.Er-lang的著名论文《概率与电话通话理论》。
一般排队系统有三个基本部分组成⑴:（1）输入过程：输入过程是对顾客到达系统的一种描述。
顾客是有限的还是无限的、顾客相继到达的间隔时间是确定型的也可能是随机型的、顾客到达是相互独立的还是有关联的、输入过程可能是平稳的还是不平稳的。
（2）排队规则：排队规则是服务窗对顾客允许排队及对排队测序和方式的一种约定。
第六章 排队论及其应用
顾客聚 顾客到达
服务机构
顾客散 顾客离去
n ，
n ，
一、生灭过程的定义 生灭过程的定义
若排队系统具有下列性质: (1) ( ) 顾客到达为泊松流，时间间隔服从参 数为n的负指数分布; (2) 顾客服务时间服从参数为 n的负指 数分布; 则排队系统的随机过程{N(t),t>=0} {N(t) t>=0}具有马 尔可夫性质, 为一个生灭过程.
二、生灭过程状态转移图
顾客到达率
λ0 μ1 λ1 S1 μ2 S2 λ2 μ3 λi-2 Si-1 μi-1 μi λi-1 Si λi μi+1 λi+1 μi+2 λk-2 μk-1 λk-1 μk
S0
…
Si+1
…
Sk-1
Sk
状态
系统服务率
t→∞时，P 时 ( )趋向于常数 系统达到稳定 i(t)趋向于常数：系统达到稳定
λi μi+1
Si+1
λi+1 μi+2
…
λk-2 μk-1
Sk-1
λk-1 μk
Sk
P0
P1
P2
Pi
有 ( i i ) Pi i 1Pi 1 i 1Pi 1
对于 0 对于S 对于 k 对于S
1 P1 0 P0
转入
S0 λ0 μ1 λ1 S1 μ2 S2 λ2 μ3
2、排队服务规律
先到先服务、先到后服务、优先服务、随机服务
3、服务机构
单通道 多通道
1 1 2 … c 1 2 … c 1 2 … c
三 排队模型 三、排队模型
(一)排队模型表示方法 排 模型表 法
排队论及其应用
排队系统的符号表述描述符号：①/②/③/④/⑤/⑥各符号的意义：①——表示顾客相继到达间隔时间分布，常用以下符号：M——表示到达的过程为泊松过程或负指数分布；D——表示定长输入；EK——表示K阶爱尔朗分布；G——表示一般相互独立的随机分布。
②——表示效劳时间分布，所用符号与表示顾客到达间隔时间分布一样。
③——表示效劳台(员)个数：“1〞表示单个效劳台，“s〞(s>1)表示多个效劳台。
④——表示系统中顾客容量限额，或称等待空间容量。
如系统有K个等待位子，那么，0<K<∞，当K=0时，说明系统不允许等待，即为损失制。
K=∞时为等待制系统，此时一般∞省略不写。
K为有限整数时，表示为混合制系统。
⑤——表示顾客源限额，分有限与无限两种，∞表示顾客源无限，一般∞也可省略不写。
⑥——表示效劳规那么，常用以下符号FCFS：表示先到先效劳的排队规那么；LCFS：表示后到先效劳的排队规那么；PR：表示优先权效劳的排队规那么。
二、排队系统的主要数量指标描述一个排队系统运行状况的主要数量指标有：1．队长和排队长(队列长)队长是指系统中的顾客数(排队等待的顾客数与正在承受效劳的顾客数之和)；排队长是指系统中正在排队等待效劳的顾客数。
队长和排队长一般都是随机变量。
2．等待时间和逗留时间从顾客到达时刻起到他开场承受效劳止这段时间称为等待时间。
等待时间是个随机变量。
从顾客到达时刻起到他承受效劳完成止这段时间称为逗留时间，也是随机变量。
3. 忙期和闲期忙期是指从顾客到达空闲着的效劳机构起，到效劳机构再次成为空闲止的这段时间，即效劳机构连续忙的时间。
这是个随机变量，是效劳员最为关心的指标，因为它关系到效劳员的效劳强度。
与忙期相对的是闲期,即效劳机构连续保持空闲的时间。
在排队系统中，忙期和闲期总是交替出现的。
4．数量指标的常用记号(1)主要数量指标L——平均队长，即稳态系统任一时刻的所有顾客数的期望值；L q——平均等待队长，即稳态系统任一时刻等待效劳的顾客数的期望值；W——平均逗留时间，即(在任意时刻)进入稳态系统的顾客逗留时间的期望值；W q——平均等待时间，即(在任意时刻)进入稳态系统的顾客等待时间的期望值。
排队论的应用
排队论的应用排队是人们日常生活中常见的一种现象，它可以在各个领域中被发现。
排队有时看似简单，但实际上是一个涉及着许多细节和规则的复杂问题。
排队论是研究这种现象的一种数学方法，它可以帮助我们更好地理解和优化排队系统。
排队论的应用广泛而深入，涉及各个方面。
首先，排队论在运输领域得到了广泛应用。
例如，在公共交通系统中，排队论可以帮助优化乘客上下车的流程，减少等待和拥堵时间。
同时，在物流领域，排队论可以协助规划货物的运输路线和时程，提高运输效率。
其次，排队论在服务行业中也有重要的应用。
例如，在银行、医院和餐厅等场所，排队论可以帮助优化客户的等待时间，提高客户满意度。
通过合理安排服务窗口、分配服务资源以及优化服务流程，排队论可以帮助提供更高质量的服务体验。
此外，排队论还在制造业中发挥重要作用。
在生产线上，排队论可以帮助优化机器和工人的调度，提高生产效率。
通过合理调整工作流程、减少等待时间，排队论可以帮助企业提高生产线的整体效益。
不仅如此，排队论还在通信网络中得到了广泛应用。
在互联网时代，人们对于网络服务的需求越来越高，因此如何更好地管理网络流量成为了一个重要的问题。
通过排队论，可以帮助网络运营商合理分配带宽和资源，提高网络的可用性和稳定性。
另外，排队论还在金融行业中发挥着重要作用。
在股票交易所中，随着投资者数量的增加，交易系统的负荷也在不断增加。
排队论可以帮助交易所合理规划交易系统的容量和速度，提高交易效率和可靠性。
总体而言，排队论的应用范围非常广泛，几乎涉及到人们生活的方方面面。
通过排队论，我们可以更好地理解和优化排队系统，提高效率、降低成本。
然而，要注意的是，排队论只是一种方法论，具体的应用需要根据实际情况和需求来进行适当的调整和优化。
希望随着科技的发展和人们对服务质量的要求越来越高，排队论能够在更多领域中得到应用并取得更大的成就。
运筹学课排队论应用教学观察
运筹学课排队论应用教学观察运筹学是一门应用数学学科，旨在寻求最优解决问题的方法与技巧。
在运筹学中，排队论是其中的一个重要分支，它涉及到排队系统中的效率、等待时间以及资源利用率等方面的问题。
近年来，越来越多的学校引入运筹学课程，并将排队论应用于教学中。
本文将对运筹学课排队论应用于教学的观察进行分析和讨论。
一、排队论的基本概念与模型在介绍运筹学课排队论的应用之前，我们先对排队论的基本概念与模型进行简要介绍。
排队论主要研究排队系统中的各种性能指标，如队长、等待时间、服务效率等。
其中，常见的模型包括单队列模型、多队列模型以及网络模型等。
二、运筹学课排队论应用的教学观察运筹学课排队论的应用教学观察可以从以下几个方面进行观察：1. 培养学生问题分析与解决能力通过运筹学课排队论的应用教学，学生需要掌握排队系统的建模与求解方法。
这要求学生具备较强的问题分析与解决能力，能够将实际问题抽象成数学模型，并运用排队论的知识进行分析和求解。
2. 增强学生的团队合作与协作能力在排队论应用教学中，学生通常需组成小组共同完成课程设计或实践项目。
这要求学生加强团队合作与协作能力，每个小组成员需要分工合作、协调资源，共同解决排队系统中的实际问题。
3. 提高学生的数学建模能力运筹学课排队论的应用教学要求学生具备较强的数学建模能力。
学生需要将实际中的问题转化为数学模型，并通过数学方法进行求解。
这对于学生的数学思维能力、抽象建模能力以及数学工具的熟练程度提出了较高的要求。
4. 增加学生对实际问题的理解与应用能力运筹学课排队论的应用教学将数学理论与实际问题相结合，帮助学生更好地理解与应用数学知识。
通过实际问题的分析与解决，学生能够更好地理解排队论的概念与模型，并将其应用于实际情境中。
5. 培养学生的动手实践能力在运筹学课排队论的应用教学中，学生通常需要进行实践性项目，如实地观察与数据采集、模型构建与求解等。
这有助于培养学生的动手实践能力，提升他们在实际问题中的应用能力。
排队论在供应链管理中的应用探究
排队论在供应链管理中的应用探究供应链管理是一个复杂的领域，它涉及到从原材料采购到产品销售的整个流程，需要考虑生产计划、库存管理、物流配送等多个方面的问题。
在这个过程中，排队论是一种非常有用的工具，它可以帮助企业优化生产流程，提高效率，减少浪费。
排队论是一种数学方法，它通过模拟排队现象的变化来预测排队等待时间、系统容量、利用率等指标。
在供应链管理中，排队论可以用来优化生产线的布局、产品的库存管理、订单的处理等方面。
下面就从这几个方面来探究排队论在供应链管理中的应用。
1、生产线布局的优化在生产流程中，如果每个工作站的加工时间不同，那么就会出现排队等待的情况。
如果每个工作站的产能都相等，那么就会出现浪费和瓶颈。
排队论可以帮助企业合理安排生产线的布局，减少排队等待的时间，提高生产效率。
排队论的核心是看待整个生产线为一个排队系统，包括到达队列、服务台和离开队列等多个部分。
通过模拟不同的生产线布局，可以计算出每个工作站的最优加工时间和订单的最大处理能力。
从而优化生产线的布局，提高生产效率。
2、库存管理的优化在供应链管理中，库存管理是非常重要的一环。
如果企业的库存过多，就会造成浪费和资金占用，如果库存过少，就容易出现缺货和延迟交货的情况。
排队论可以帮助企业优化库存管理，实现精准的库存控制。
首先，要理解库存的本质。
库存是为了满足未来的需求而提前储备的物料或者货品。
在排队论中，库存被认为是等待加工的空间，它会占用服务台的容量。
通过模拟不同的库存管理策略，可以计算出最优的库存水平和订单处理能力，从而实现库存控制和订单的优化。
3、订单的处理在供应链管理中，订单处理是一个非常重要的环节。
如果订单处理能力不足，就会出现延迟交货、顾客投诉等问题。
排队论可以帮助企业优化订单处理流程，实现高效的订单处理和交货。
对于订单处理，排队论的核心是分析订单到达的频率和订单的处理时间。
通过模拟不同的订单处理策略，可以计算出最优的处理能力和订单的最大处理量。
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➢ 1909年，丹麦工程师爱尔兰（A.K.Erlang）发表了具有重 要历史地位的论文“概率论和电话交换”，从而求解了上 述问题。
➢ 1917年，A.K.Erlang又提出了有关通信业务的拥塞理论， 用统计平衡概念分析了通信业务量问题，形成了概率论的 一个新分支。
➢ 后经C.Palm等人的发展，由近代概率论观点出发进行研究， 奠定了话务量理论的数学基础。经过通信、计算机和应用 数学三个领域的研究学者的努力，排队论得到了迅速的发 展和应用。
6
3.1.1 基本概念
应用： 网络的设计和优化方法； 移动通信系统中的切换呼叫的处理方法； 随机接入系统的流量分析方法； 业务流的数学模型及其排队分析方法等。 经典排队论 把相继到达“顾客”的到达时间间隔和服务时间都相互独
立的排队论内容称为经典（或古典）排队论。 经典排队论仍是新的排队论的基础，而且通信领域的许多
中。 ➢ 排队论是专门研究由于随机因素的影响而产生的
拥挤现象(排队、等待)的科学，也称为随机服务 系统理论或拥塞理论（Congestion Theory）。 ➢ 它是在研究各种排队系统概率规律性的基础上， 解决有关排队系统的最优设计和最优控制问题。
5
3.1.1 基本概念
排队论的起源：
➢ 排队论起源于20世纪初。当时，美国贝尔（Bell）电话公 司发明了自动电话以后，如何合理配置电话线路的数量， 以尽可能地减少用户重复呼叫次数问题。
顾客总体数：指顾客的来源（简称顾客源）数量，顾客源 数可以是无限的，也可以是有限的。
顾客到达方式：描述顾客是怎样到达系统的，是成批（集 体）到达（每批数量是随机的还是确定性的）还是单个到 达。
顾客流的概率分布（或顾客到达的时间间隔分布）：所谓 顾客流，就是顾客在随机时刻一个个（一批批）到达排队 系统的序列。
✓ 即时拒绝系统：n=m的系统。此时，顾客到达后或立即被 拒绝，或立即被服务，不存在排队等待服务的情况。电话 网就是即时拒绝系统。
✓ 延时拒绝系统：m < n的系统。此时容许一定数量的顾客排 队等待，当系统内顾客总数达到截止队长时，新来的顾客 就被拒绝而离去。带有缓冲存储的数据通信、分组交换等 就属于这一类。
1
本章学习要求
重点掌握和理解排队论的基本概念、M/M/m(n)排 队系统的模型分析方法，了解它们在网络中的实际 应用。
掌握通信网业务量的基本概念，理解、掌握和运用 Erlang B公式和Erlang C公式及其在业务分析中的 具体应用；能够运用这些知识分析和计算实际网络 的性能指标。
掌握随机接入系统的工作原理及其业务分析方法。
员”，如中继线路、信道等。 排队系统（随机服务系统） 由要求随机性服务的顾客和服务机构两方面构成的系统称
为随机服务系统或排队系统。
8
3.1.1 基本概念
产生排队的原因： 顾客需求的随机性和服务设施的有限性。 应用的理论： 概率论和随机过程理论 研究目的： 研究排队系统内服务机构与顾客需求之间的关系，
问题可以用它来解决。
7
3.1.1 基本概念
1．排队的概念
通信网中的排队现象： ➢ 无形的排队：如打电话 ➢ 有形的排队：如数据分组的传送 顾客 把要求服务的一方统称为“顾客”，如电话用户产生的呼
叫和待传送的分组信息。 服务机构 把提供服务的一方统称为服务机构，如电话交换设备、信
息传输网络等。 服务窗口或服务员 把服务机构内的具体设施统称为“服务窗口”或“服务
11
（2）排队规则
3.1.1 基本概念
排队规则包括：
➢ 排队系统类型
➢ 服务✓ 拒绝系统
✓ 非拒绝系统
表明服务机构是否允许顾客排队等待服务。
12
3.1.1 基本概念
➢ 拒绝系统：又称拒绝方式、截止型系统。 n：系统允许排队的队长（也称截止队长）。 m：窗口数。 分为两种情况：
以便合理地设计和控制排队系统，使之既能满足 一定的服务质量要求又能节省服务机构的费用。
9
3.1.1 基本概念
2．排队系统的组成 一个排队系统由三个基本部分组成：
输入过程 排队规则 服务机构
顾客到达
排队系统
排队 规则
服务 机构
服务完毕离去
图3.1 排队系统的基本组成
10
3.1.1 基本概念
（1）输入过程 描述顾客按怎样的规律到达排队系统，包括以下三方面：
13
3.1.1 基本概念
➢ 非拒绝系统：又称非拒绝方式、非截止型系统。 系统排队队长无限制，允许顾客排队等待（一般 认为顾客数是无限的）。
要求该类系统稳定性参数 要满足 1。
✓ 即时拒绝系统：也称为立接制系统、损失制系统。 ✓ 延时拒绝系统：也称为混合制系统。 ✓ 延时拒绝系统和非拒绝系统：也称为等待制系统、
2
第3章 排队论及其应用
3.1 排队论基础
3.2 M/M/m(n)排队系统 3.3 通信业务量分析 3.4 随机接入系统业务量分析
3
3.1 排队论基础 3.1.1 基本概念 3.1.2 有关的概率模型及最简单流 3.1.3 排队系统的主要性能指标
4
3.1.1 基本概念
排队论（Queuing Theory） ➢ 是一个独立的数学分支，有时也把它归到运筹学
缓接制系统。
14
3.1.1 基本概念
服务规则 ➢ 先到先服务(FCFS)或先入先出(FIFO) 这是常见的情况。若无其他说明时，常按这种方式来分析。 ➢ 后到先服务(LCFS) ➢ 优先制服务
在通信网中，这种情况也较为常见。 ➢ 随机服务
通信网中一般是顺序服务，但有的也采用优先制服务方式。
15
3.1.1 基本概念
第3章 排队论及其应用
通信网规划设计和优化遵循的原则： 能够满足各项性能指标要求又节省费用的设计或优 化方案。
对设计人员的要求：掌握相应的理论基础知识和 网络分析的计算方法，以便对通信网的性能进行 分析与指标计算，为设计和优化提供理论数据。
应用的数学理论：排队论。它起源于最早的电话 系统，可应用于很多领域，目前通信网仍是其中 一个重要的应用领域。