高考数学压轴专题人教版备战高考《计数原理与概率统计》易错题汇编及解析

【详解】
由题意，现有甲乙丙丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，
基本事件的总数为 ，
其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为 ,
所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为 ，故选B.
【点睛】
本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
【点睛】
本题主要考查了互斥事件和对立事件的基本概念、互斥事件与对立时间的关系及其应用，其中熟记互斥事件和对立事件的概念和关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．
9．安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则同学甲单独去一个社区不同的安排方式有（）
故选：D.
【点睛】
此题考查求几何概型，关键在于准确求出圆的面积和三角形的面积，找出其中的等量关系即可得解.
18．已知变量 关于 的回归方程为 ，其一组数据如下表所示：
1
2
3
4
若 ，则预测 的值可能为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
将式子两边取对数，得到 ，令 ，得到 ，根据题中所给的表格，列出 的取值对应的表格，求得 ，利用回归直线过样本中心点，列出等量关系式，求得 ，得到 ，进而得到 ，将 代入，求得结果.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
令 可得， ，求出 ，则 的几何意义为点 ， 到点 的距离的平方，最小值即 到 的距离 的平方，然后由点到直线的距离公式求解即可得答案．
【详解】
令 可得， ， ，
设 ，所以 ，
所以数列 单调递减，所以数列 是单调递增数列，(增函数+增函数=增函数）
当 时， 且 所以 .
【详解】
由题意，在不超过20的素数有： ，共有8个数，
随机选取两个不同的数，共有 种，
其中随机选取的两个不同的数，其和为20的有 ，共有2种，
所以概率为 .
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中利用组合数的公式求得基本事件的总数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
3．设 ， 为 的展开式的各项系数之和， ， ， （ 表示不超过实数x的最大整数）.则 的最小值为( )
4．已知 展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等， ，若 ，则 的值为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由详解】
展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，
， ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
，
令 ，则 .
故选：B.
【点睛】
A．1B．5C．10D．20
【答案】C
【解析】
【分析】
对 令 ，结合展开式中各项的系数和为 列方程，由此求得 的值，再利用二项式展开式的通项公式，求得含 项的系数.
【详解】
对 令 得 ，解得 .二项式 展开式的通项公式为 ，令 ，解得 ，故展开式中含x项的系数为 .
故选：C.
【点睛】
本小题主要考查二项式展开式各项系数之和，考查求二项式展开式指定项的系数，属于基础题.
A．100种B．60种C．42种D．25种
【答案】C
【解析】
【分析】
给三个社区编号分别为1，2，3，则甲可有3种安排方法，剩下的两个再进行分步计数，从而求得所有安排方式的总数.
【详解】
甲可有3种安排方法，
若甲先安排第1社区，
则第2社区可安排1个、第3社区安排3个，共 ；
第2社区2个、第3社区安排2个，共 ；
8．下列命题：
①对立事件一定是互斥事件；②若A，B为两个随机事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A，B，C彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A与B是对立事件．
其中正确命题的个数是()
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了二项式定理的应用，属于中档题.
5．将三枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件 “三个点数之和等于15”， “至少出现一个5点”，则概率 等于（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据条件概率的计算公式即可得出答案.
【详解】
，
故选：B
【点睛】
本题主要考查了利用条件概率计算公式计算概率，属于中档题.
11．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有
A．12种B．18种C．24种D．36种
【答案】D
【解析】
4项工作分成3组,可得： =6，
安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，
可得： 种．
故选D.
12． 的展开式中，第三项的系数为 ，则 （）
7．在高三下学期初，某校开展教师对学生的家庭学习问卷调查活动，已知现有3名教师对4名学生家庭问卷调查，若这3名教师每位至少到一名学生家中问卷调查，又这4名学生的家庭都能且只能得到一名教师的问卷调查，那么不同的问卷调查方案的种数为（）
A．36B．72C．24D．48
【答案】A
【解析】
【分析】
分为两步进行求解，即先把四名学生分为1,1,2三组，然后再分别对应3名任课老师，根据分步乘法计数原理求解即可．
第2社区3个，第3社区安排1个，共 ；
故所有安排总数为 .
故选：C.
【点睛】
本题考查分类与分步计数原理、组合数的计算，考查分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.
10．在区间 上任意取一个数 ，使不等式 成立的概率为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先解不等式，再根据几何概型概率公式计算结果.
【详解】
由 ，得 ，令 ，则 .
1
2
3
4
1
3
4
6
， ，
∵ 满足 ，∴ ，
解得 ，∴ ，∴ ，
当 时， ，
故选D.
【点睛】
该题考查的是有关回归分析的问题，涉及到的知识点将对数型回归关系转化为线性回归关系，根据回归直线过样本中心点求参数，属于简单题目.
16．若随机变量 ，且 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由正态密度曲线的对称性得出 ，由此可得出结果.
【详解】
由于 ，则正态密度曲线关于直线 对称，
所以 ，故选A.
【点睛】
本题考查正态分布在指定区间上概率的计算，解题时要确定正态密度曲线的对称轴，利用对称性列等式计算，考查计算能力，属于中等题.
，
则 的几何意义为点 ， 到点 的距离的平方，
即求点 ， 到 的距离 的最小值，
所以 ，
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
由函数的图象可知当 时， .
所以点 ， 为 时，它到 的距离 最小，
，
的最小值 ．
∴ 的最小值为 .
故选： ．
【点睛】
本题考查了二项式定理的应用，考查了点到直线的距离公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．
根据互斥之间和对立事件的概念，及互斥事件和对立事件的关系和概率的计算，即可作出判断，得到答案．
【详解】
由题意①中，根据对立事件与互斥事件的关系，可得是正确；②中，当A与B是互斥事件时，才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，对于任意两个事件A，B满足P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，所以是不正确的；③也不正确．P(A)＋P(B)＋P(C)不一定等于1，还可能小于1；④也不正确．例如：袋中有大小相同的红、黄、黑、绿4个球，从袋中任摸一个球，设事件A＝{摸到红球或黄球}，事件B＝{摸到黄球或黑球}，显然事件A与B不互斥，但P(A)＋P(B)＝ ＋ ＝1.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
首先根据二项式定理求出 ，把 的值带入 即可求出结果.
【详解】
解题分析根据二项式 的展开式的通项公式得 .
第三项的系数为1， ，
则 .
故选：A
【点睛】
本题考查二项式定理及定积分.需要记住二项式定理展开公式： .属于中等题.
13．若二项式 的展开式中各项的系数和为243，则该展开式中含x项的系数为（）
17．古代人常常会研究“最大限度”问题，下图是一个正三角形内最大限度地可以放入三个同样大小的圆，若将一个质点随机投入如图所示的正三角形ABC中（阴影部分是三个半径相同的圆，三个圆彼此互相外切，且三个圆与正三角形ABC的三边分别相切），则质点落在阴影部分内部的概率是（）
A． B． C． D．
【答案】D
14．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设 ，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（）
A．24种B．48种C．96种D．144种
【答案】C
【解析】
由题意知程序 只能出现在第一步或最后一步， 从第一个位置和最后一个位置选一个位置把 排列，有 种结果， 程序 和 实施时必须相邻， 把 和 看做一个元素，同除 外的 个元素排列，注意 和 之间还有一个排列，共有 ，根据分步计数原理知共有 种结果，故选C.