等差数列新课练习题

等差数列新课练习题
一．选择题（共10小题）
1．等差数列{a n}中，已知a3＝7，a5＝13，则a7＝（）
A．16 B．17 C．18 D．19
2．已知等差数列{a n}满足a1+a3＝﹣2a2，则a2＝（）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
3．在数列{a n}中，a1＝1，a n+1﹣a n＝2，则a6的值是（）
A．11 B．13 C．15 D．17
4．在等差数列{a n}中，a1+a5+a7+a9+a13＝100，a6﹣a2＝12，则a1＝（）A．1 B．2 C．3 D．4
5．在等差数列{a n}中，a1+3a8+a15＝60，则a2﹣a8+a14等于（）
A．10 B．12 C．11 D．﹣4
6．在三角形A，B，C中，角A，B，C成等差数列，则cos B的大小为（）A．B．C．D．
7．等差数列{a n}，中，a2+a7+a9＝﹣6，则a6＝（）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣6
8．在等差数列{a n}中，若a1+a9＝8，则＝（）
A．60 B．56 C．52 D．42
9．记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则（）
A．a n＝2n﹣5 B．a n＝3n﹣10 C．S n＝2n2﹣8n D．S n＝n2﹣2n 10．等差数列{a n}中，S n为其前n项和，若S3＝2，S6＝8，则S9＝（）A．32 B．18 C．14 D．10
二．填空题（共5小题）
11．在等差数列{a n}中，a2＝1，a4＝3，则a3＝．
12．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a7＝19，则a3+a5＝，S7＝．13．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2＝﹣3，S5＝﹣10，则a5＝，S n的最小值为．
14．若数列{a n}满足a1＝2，a n+1＝a n﹣2，则a2019＝．
15．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样的题目：把100个面包分给5个人（注：每个面包可以分割），使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的
是较小的两份之和，则最小1份是，公差为．
三．解答题（共5小题）
16．设S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a2＝20，S9＝45．
（Ⅰ）求{a n}的通项公式；
（Ⅱ）求S n，并求当S n取得最大值时n的值．
17．已知数列{a n}前n项和为．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设数列b n＝a n•a n+1；求数列的前n项和T n．
18．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2n2+n，n∈N*．
（1）求数列{a n}的通项公式a n；
（2）数列{a n}是等差数列吗？若是，请证明．
19．已知正项数列{a n}的首项a1＝1，前n项和S n满足．（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）记数列的前n项和为T n，若对任意的n∈N*，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
20．若数列{a n}的通项公式为a n＝2n﹣1，f（n）＝（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）．其中S n为数列{a n}的前n项和
（1）计算f（1），f（2），f（3）的值；
（2）猜测f（n）的解析式，并给出证明．
等差数列新课练习题
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a3＝7，a5＝13，
∴a1+2d＝7，a1+4d＝13，
联立解得a1＝1，d＝3，
则a7＝1+3×6＝19．
故选：D．
2．【解答】解：等差数列{a n}满足a1+a3＝﹣2a2，
则2a2＝﹣2a2，解得a2＝0．
故选：B．
3．【解答】解：依题意，数列{a n}中，a n+1﹣a n＝2，所以数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，
所以a6＝a1+（6﹣1）×d＝1+5×2＝11．
故选：A．
4．【解答】解：∵a1+a5+a7+a9+a13＝100，
∴5a7＝100，
∴a7＝20，
∵a6﹣a2＝12，
∴4d＝12，
∴d＝3，
∴a7＝a1+6d＝20，
∴a1＝2，
故选：B．
5．【解答】解：等差数列{a n}中，a1+3a8+a15＝60，
可得：5a8＝60，解得a8＝12，
则a2﹣a8+a14＝a8＝12，
故选：B．
6．【解答】解：在三角形A，B，C中，角A，B，C成等差数列，∴2B＝A+C＝π﹣B，解得B＝．
则cos B＝．
故选：B．
7．【解答】解：由等差数列{a n}，中，a2+a7+a9＝﹣6，
∴3a6＝﹣6，解得a6＝﹣2．
故选：B．
8．【解答】解：等差数列{a n}中，a1+a9＝8，
由等差数列的性质可知，＝
＝＝52
故选：C．
9．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，
由S4＝0，a5＝5，得
，∴，
∴a n＝2n﹣5，，
故选：A．
10．【解答】解：∵等差数列{a n}中，S n为其前n项和，S3＝2，S6＝8，则根据等差数列的性质可得S3，S6﹣S3，S9﹣S6仍成等差数列，
即2，8﹣2，S9﹣8成等差数列，则有2×（8﹣2）＝2+（S9﹣8），解得S9＝18．
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．【解答】解：由等差数列的性质可知，a2+a4＝2a3＝4，∴a3＝2
故答案为：2
12．【解答】解：等差数列{a n}中，a1＝1，a7＝19，
由等差数列的性质可知，a3+a5＝a1+a7＝20
∴＝70
故答案为：20；70
13．【解答】解：设等差数列{a n}的前n项和为S n，a2＝﹣3，S5＝﹣10，∴，
解得a1＝﹣4，d＝1，
∴a5＝a1+4d＝﹣4+4×1＝0，
S n＝＝﹣4n+＝（n﹣）2﹣，
∴n＝4或n＝5时，S n取最小值为S4＝S5＝﹣10．
故答案为：0，﹣10．
14．【解答】解：a n+1＝a n﹣2，化为：a n+1﹣a n＝﹣2，
∴数列{a n}为等差数列，首项为2，公差为﹣2．
则a2019＝2﹣2×2018＝﹣4034．
故答案为：﹣4034．
15．【解答】解；设每人所得成等差数列{a n}，不妨设d＞0．则a1+a2＝（a3+a4+a5），a1+a2+a3+a4+a5＝100，
∴2a1+d＝（3a1+9d），5a1+d＝100，
联立解得：a1＝，d＝．
故答案为：，．
三．解答题（共5小题）
16．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，∵a2＝20，S9＝45．∴a1+d＝20，9a1+36d＝45，
联立解得：a1＝25，d＝﹣5，
∴a n＝25﹣5（n﹣1）＝30﹣5n．
（Ⅱ）S n＝＝＝+，
可得：n＝5，或6时，S n取得最大值．
17．【解答】解：（1）当n＝1时，S1＝a1＝1
当n≥＝2时，
此时n＝1也满足上式，∴a n＝2n﹣1 5．分．
（2）∵b n＝a n•a n+1，
∴b n＝（2n﹣1）（2n+1），
∴8．分．
∴
12．．分．
18．【解答】解：（1）由S n＝2n2+n，得当n＝1时，a1＝S1＝3；
当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2n2+n﹣[2（n﹣1）2+（n﹣1）]＝4n﹣1，n∈N﹡．
检验当n＝1时，S1＝4×1﹣1＝3；
所以数列{a n}的通项公式a n＝4n﹣1；
（2）∵a n+1＝4（n+1）﹣1＝4n+3，
∴a n+1﹣a n＝4n+3﹣（4n﹣1）＝4．
∴数列{a n}是首项为3公差d＝4的等差数列．
19．【解答】解：（1）当n≥2时，，∴，即
，
所以数列是首项为1，公差为的等差数列，
故，＝（n≥2），
因此．
（2）当n≥2时，，
∴，
又∵，∴12≤a2﹣a，解得a≤﹣3或a≥4．
即所求实数a的范围是a≤﹣3或a≥4．
20．【解答】解：（1）由等差数列的求和公式可得，S n＝1+3+…+2n﹣1＝＝n2∴f（1）＝1＝1﹣＝，
f（2）＝（1﹣）（1﹣）＝＝，
f（3）＝＝（）（1﹣）（1﹣）＝＝
，（6分）
（2）猜想f（n）＝（8分）
证明f（n）＝（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）
＝（）（1）（1﹣）…（1﹣）
＝（1﹣）（1）（）（1+）…（1﹣）（1+），
＝（）×（）
＝＝（12分）。