中考复习 杨辉三角
课件2：1.3.2 杨辉三角
1．使学生建立“杨辉三角”与二项式系数之间的直觉，并探索其 课标 中的规律． 解读 2．掌握二项式系数的性质及其应用．
3．掌握“赋值法”并会灵活运用.
【问题导思】 观察“杨辉三角”发现规律
①第一行中各数之和为多少？ 第二、三、四、五行呢？由此你能得出怎样的结论？ ②观察第 3 行中 2 与第 2 行各数之间什么关系？ 第 4 行中 3 与第 3 行各数之间什么关系？ 第 5 行中的 4、6 与第 4 行各数之间有什么关系？ 由此你能得出怎样的结论？
答：①20,21,22,23,24，第 n 行各数之和为 2n－1. ②2＝1＋1,3＝2＋1,4＝1＋3,6＝3＋3，相邻两行中，除 1 外的每一个数都 等于它“肩上”两个数的和，设 Crn＋1表示任一不为 1 的数，则它“肩上”两数分 别为 Crn－1，Crn，所以 Crn＋1＝Crn－1＋Crn.
类型1 与杨辉三角有关的问题
例 1.将全体正整数排成一个三角形数阵： 1
23 456 7 8 9 10 11 12 13 14 15
……
按照以上排列的规律，第 n 行(n≥3)从左向右的第 3 个数为________． 【思路探究】 观察规律，可先计算出前(n－1)行的数字个数来求解．
【解析】 观察上述数阵，能够发 现，第一行有一个数字是 1，第二行
【答案】 B
3．设 m 为正整数，(x＋y)2m 展开式的二项式系数的最大值为 a， (x＋y)2m＋1 展开式的二项式系数的最大值为 b.若 13a＝7b，则 m＝________.
【解析】 由题意得：a＝Cm2m，b＝Cm2m＋1，所以 13Cm2m＝7Cm2m＋1， ∴m13！·2·mm！！＝m7！·（·（2mm＋＋11））！！，∴7（2mm＋＋11）＝13，解得 m＝6，
人教版数学中考复习专题练习——杨辉三角
2022年数学中考复习专题练习杨辉三角1.(2020泰安)下表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…我们把第一个数记为a 1，第二个数记为a 2，第三个数记为a 3，…，第n 个数记为a n ，则a 4＋a 200＝_________．2.(2019烟台)南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了(a+b)n(n 为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角”.则(a+b)9展开式中所有项的系数和是()A .128B .256C .512D .1024(a+b)0=1(a+b)1=a+b (a+b)2=a 2+2ab+b 2(a+b)3=a 3+3a 2b+3ab 2+b 3(a+b)4=a 4+4a 3b+6a 2b 2+4ab 3+b 4(a+b)5=a 5+5a 4b+10a 3b 2+10a 2b 3+5ab 4+b53.(2018德州)我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用下图的三角形解释二项式(a+b)n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算(a+b)8的展开式中从左起第四项的系数为（）A.84B.56C.35D.284.(2018宜昌)1261年，我国南宋数学家杨辉用图中的三角形解释二项和的乘方规律，比欧洲的相同发现要早三百多年，我们把这个三角形称为“杨辉三角”，请观察图中的数字排列规律，则a，b，c的值分别为（）A.a=1，b=6，c=15B.a=6，b=15，c=20C.a=15，b=20，c=15D.a=20，b=15，c=65.(2017黔南)杨辉三角，又称贾宪三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图，观察下面的杨辉三角：按照前面的规律，则(a+b)5=．6.(2018孝感)我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”，从图中取一列数：1，3，6，10，…，记a 1=1，a 2=3，a 3=6，a 4=10，…，那么a 9+a 11-2a 10+10的值是．7.阅读下列材料，并完成相应的任务：杨辉三角我国著名数学家华罗庚曾在给青少年撰写的“数学是我国人民所擅长的学科”一文中谈到，我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列，他说：“实际上我们祖国伟大人民在人类史上，有过无比睿智的成就．”其中“杨辉三角”就是一例．在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，给出了二项式(a+b)n的展开式（按a 的次数由大到小的顺序排列）及其系数规律．如图所示任务：(1)通过观察，图中的（▲）中可填入的数字依次为、、；(2)请直接写出(a+b)4的展开式：(a+b)4=；(3)根据（2）中的规律，求114的值，写出计算过程．8.杨辉三角形是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如图所示，其中每一横行都表示(a+b)n（此处n＝0，1，2，3，4，5…）的计算结果中的各项系数．杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是数字1组成，而其余的数则是等于它“肩”上的两个数之和．(a+b)0＝1(a+b)1＝a+b(a+b)2＝a2+2ab+b2(a+b)3＝a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4(a+b)5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5…上面的构成规律聪明的你一定看懂了！（1）请直接写出(a+b)6的计算结果中a2b4项的系数是；（2）利用上述规律直接写出27＝；（3）杨辉三角还有另一个特征：从第二行到第五行，每一行数字组成的数（如第三行为121）都是上一行的数与的积．（4）由此你可以写出115＝．9.我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左、右两数之和，它给出了(a+b)n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应(a+b)2＝a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着(a+b)3＝a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数等．（1）(a+b)n展开式中项数共有项．（2）写出(a+b)5的展开式：(a+b)5＝．（3）利用上面的规律计算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1．10.我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”，它具有一定的规律性，从图中取一列数：1，3，6，10，…，分别记为a 1=1，a 2=3，a 3=6，a 4=10，…，那么11a +21a +31a +…+na 1的值是.参考答案1.201102.C3.B4.B5.a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b56.117.(1)4、6、4(2)a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4(3)114=(10+1)4=104+4×103×1+6×102×12+4×10×13+14=1000+4000+600+40+1=146418.(1)15(2)128(3)11(4)1610519.(1)n+1(2)a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5（3）25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1=(2-1)5=12010.11。
最新杨辉三角课件精品课件
B
由此看来，杨辉三角与纵横(zònghéng)路线图问题有天然的联系
第十六页，共24页。
五、小结 (xiǎojié)
1、杨辉三角蕴含(yùn hán)的基 本性质
2、杨辉三角蕴含的数字(shùzì)排 列规律
第十七页，共24页。
杨辉三角的其它(qítā) 规律
第十八页，共24页。
杨辉三角中若第P行除去(chúqù)1外，P整
C C r1
r
n1
n1
第n行1 Cn1 Cn2
…
Cnr
…
…… … … 第十九页，共24页。
C n2
n1 1
C n1 n
1
练习 （(l0i4à.n上x海í)春1季: 高考）如图，在由二项式系数
(xìshù)所构成的杨辉三角形中，第3_4____行中从
左至右第14与第15个数的比为 2 :.3
第二十一页，共24页。
C a b r kr r k
C
k k
bk
则当n=k+1时，(a b)k1 (a b)k (a b)
(Ck0ak Ck1ak1b1 Ckrakrbr Ckk ak )(a b)
Ck0a k1
C k1a k b
C
r k
1a
k
r
bb1
C
k k
ab
k
C k0a k b
C
r k
a
k
r
b
r
1
C kk 1ab k
研究性课题(kètí)：
杨辉三角
第一页，共24页。
杨辉三角
第0行
1
第1行
11
第2行
第3行 第4行
中考复习 杨辉三角ppt课件
11 +
12 1 +
13 3 1 +
14 6 4 1
第5行
1 5 10 10 5 1
第6行
1 6 15 20 15 6 1
第7行
1 7 21 35 35 21 7 1
一般有
············
Cr r
Cr r1
Cr r2
Cr n1
C r1 (n n
r)
5
探究3
杨辉三角中试写出斜行直线上数字的和, 有
1 + 5 +10 + 10 + 5 + 1= 32 , 1 + 6 +15 +20 + 15 + 6 + 1= 64 ,
············ 2n
4
探究2
杨辉三角中与腰平行的第m条斜线(从右上到
左下)上前n个数字的和, 与第m+1条斜线上的第n
个数有什么关系?
第0行
1
相等关系
第1行 第2行 第3行 第4行
1.（2018年德州）我国南宋数学家杨辉所著的《详 解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项 式（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为 “杨辉三角”根据”杨辉三角”请计算（a+b）8的 展开式中从左起第四项的系数为（ ） A．84 B．56 C．35 D．28
7
1（2018年孝感）我国古代数学家杨辉发现了如图
中考复习 规律问题之杨辉三角
1
杨辉简介
杨辉 ( 约公元13世纪中叶至后 半叶 ) 字谦光, 钱塘 ( 今浙江杭州 ) 人, 是中国南宋末年的数学家、数 学教育家. 著作甚多, 他编著的数 学书共五种二十一卷, 著有《详解九章算法》十二 卷 (1261年)、《日用算法》二卷(1262年)、等.
杨辉三角课件
1 33 1
1 4641
第5行--
C
0 5
C
1 5
C
2 5
C
3 5
C
4 5
C
5 5
1 5 10 10 5 1
第6行-
C
0 6
C
1 6
C
2 6
C
3 6
C
4 6
C
5 6
C
6 6
1 6 15 20 15 6 1
知识探究3:
(a+b)1
(a+b)2
C10 C11
C
0 2
C12
C
2 2
11 121
(a+b)3
…
)
也就是说, (1+x)n的展开式中的各个
二项式系数的和为2n，且奇数项的二
项式系数和等于偶数的二项式系数和
赋值法
课堂练习:
1、在(a＋b)20展开式中，与第五项二项式系数相同
的项是( C ).
A.第15项 B.第16项 C.第17项 D.第18项
2、在(a＋b)11展开式中，二项式系数最大的项( C ).
C
5 5
C
0 6
C
1 6
C
2 6
C
3 6
C
4 6
C
5 6
C
6 6
总结提炼2:
C = C m
n-m
n
n
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等
第1行———
C
10C
1 1
第2行——
C
0 2
C
1 2
C
2 2
第3行—-
C
初一数学压轴题杨辉三角
初一数学压轴题杨辉三角一、在杨辉三角中，若某一行的第二个数是15，则这一行的所有数字之和为？A. 64B. 128C. 256D. 512（答案）C二、杨辉三角的第n行（n≥2）中，除了两端的数字外，每个数字都等于它上方两个数字之和。
若第8行的中间数字为m，则m的值是？A. 28B. 42C. 56D. 70（答案）A三、在杨辉三角中，某一行的数字依次是1，x，y，z，1，其中y是这一行的最大数字，那么x+y+z的值是？A. 18B. 22C. 24D. 28（答案）B四、杨辉三角的第n行（n为奇数）所有数字之和为2的n-1次方，那么第9行的中间数字是？A. 32B. 36C. 72D. 128（答案）B五、在杨辉三角中，若某一行的数字和为1024，则这一行共有多少个数字？A. 10B. 11C. 12D. 13（答案）B六、杨辉三角的第n行数字之和等于(1+1)的n-1次方，若第k行的数字和为64，则第k+1行的第二个数字是？A. 5B. 6C. 7D. 8（答案）B七、在杨辉三角中，某一行的数字从左到右依次是a，b，c，d，e，其中c是这一行的最大数字，那么a+b+c+d+e的值可能是？A. 30B. 32C. 62D. 64（答案）D八、杨辉三角的第n行（n≥3）中，若中间的数字是m，且m=C(n, k)（其中C(n, k)表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数），则k的值是？A. n/2B. (n-1)/2C. n/2+1D. (n+1)/2（答案）B（注：此题假设n为偶数，若n为奇数，则中间数字对应的k值为(n+1)/2，但根据题目要求，我们选择了更一般且适用于偶数n的选项B作为“可能”的答案，实际情况下需根据n的奇偶性判断）。
课件5：1.3.2 杨辉三角
C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2n.
自我尝试 1．判断(对的打“√”，错的打“×”) (1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列．( ) (2)二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项是相 同的．( ) (3) 二 项 式 展 开 式 的 二 项 式 系 数 和 为 C n1 ＋ C n2 ＋ … ＋ Cnn.( )
(2)如图，在杨辉三角中，斜线 AB 上方箭头所示的数组
成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，…，记
这个数列的前 n 项和为 S(n)，则 S(16)等于( )
A．144
B．146
C．164
D．461
【解析】 (1)由题意，第 6 行为 1 6 15 20 15 6 1，第 7 行为 1 7 21 35 35 21 7 1，故第 7 行除去两端数字 1 以 外，均能被 7 整除． (2)由题干图知，数列中的首项是 C22，第 2 项是 C12，第 3 项是 C23，第 4 项是 C13，…，第 15 项是 C92，第 16 项 是 C19.所以 S(16)＝C21＋C22＋C13＋C23＋…＋C91＋C92 ＝(C21＋C31＋…＋C19)＋(C22＋C32＋…＋C29)
解：(1)令 x＝1，
得 a0＋a1＋a2＋…＋a2 018＝(－1)2 018＝1.① (2)令 x＝－1，
得 a0－a1＋a2－a3＋…－a2 017＋a2 018＝32 018.② 与①式联立，①－②得
2(a1＋a3＋…＋a2 017)＝1－32 018，
所以
a1＋a3＋…＋a2
017＝1－232
(3)如果二项式的幂指数 n 是偶数，那么其展开式 _中_间__一__项___T_n2_＋_1 _的二项式系数最大；如果 n 是奇数，那
初中杨辉三角经典例题
初中杨辉三角经典例题哎，大家好，今天咱们聊聊一个神奇的数学玩意儿，叫杨辉三角。
可能有人会想，哎呀，这听起来好高深，跟我有啥关系呢？别急，咱们慢慢聊，保证让你觉得它其实挺有意思的。
想象一下，杨辉三角就像一个金字塔，不过这个金字塔不是用石头堆起来的，而是用数字一层一层堆上去的。
看着它，仿佛一幅生动的图画，真的是太有意思了。
先说说这杨辉三角的形状，最顶端一层就是个“1”，下面一层是两个“1”，再下面就是三个数字，分别是“1、2、1”。
这儿有个小秘密，左右两个“1”是不会变的，啥都不动，总是那么稳稳当当。
而中间的数字就好比在玩拼图，上一层的两个数字加起来，变成了这一层的中间那个数字。
是不是很神奇？想象一下，有点像搭积木，越搭越高，越搭越有趣。
好啦，接下来聊聊它的用处，虽然看起来就像个数字游戏，但其实它可是个数学小能手。
比如说，咱们都知道组合问题吧？这个杨辉三角就像个宝藏箱，里面藏着各种组合的答案。
就拿抽奖来说，假设你有10个球，想从中抽出3个，杨辉三角就能告诉你一共能抽出多少种组合。
真的，拿到答案的那一瞬间，你会觉得自己好像开了个小窍门，嘿嘿。
再说说二项式定理，听上去高大上，其实就是个简单的公式。
你知道吗？杨辉三角在这里也是个好帮手。
它能帮助你快速展开像(a + b)的n次方这种表达式，想想看，是不是省了不少力气？所以说，这杨辉三角不光是个好玩意儿，还是个勤快的小助手呢。
再聊聊在生活中，我们常常能看到杨辉三角的影子。
比如说，咱们吃的饺子，如果把饺子馅看成是不同的材料，做饺子的时候，你就得想怎么搭配了。
杨辉三角就像你的搭配师，告诉你到底有多少种搭配方式。
想象一下，今天晚上你想做饺子，突然脑子里冒出“哎，我可以加点虾仁、白菜、肉末！”这时候，杨辉三角就成了你创意的源泉，哈哈！咱们在生活中也常常遇到一些选择。
比如说，你和小伙伴们一起去玩，突然有了10个地方，想选择3个去。
这个时候，杨辉三角就能帮你算出有多少种选择方式。
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1（2018年孝感）我国古代数学家杨辉发现了如图
所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”从图中
取一列数：1，3，6，10，…，记a1=1，a2=3，a3=6，
a4=10，…，那么a4+a11﹣2a10+10的值是
．
3．(2018·十堰)如图，是按一定规律排成的三
角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左
n
探究3
杨辉三角中试写出个数起, 任 一 个数是前2个数字的
第1行
11
和,是斐波那契数列.
第2行
12 1
第3行
1 3 31
第4行
14 6 4 1
第5行
1 5 10 10 5 1
第6行
1 6 15 20 15 6 1
第7行 1 7 21 35 35 21 7 1
5．(2018·枣庄)将从1开始的连续自然数按如下 规律排列：
第1行
1
第2行
234
第3行
98765
第4行
10 11 12 13 14 15 16
第5行 25 24 23 22 24 20 19 18 17
…
…
• 则2 018在第__4_5___行．
杨辉三角
一
一
一
一二 一
一三三 一
一四 六 四 一
一五 十 十 五一
一六
十 五
二 十
十 五
六
一
探究1
计算杨辉三角中各行数字的和,我们有
第0行 第1行 第2行 第3行 第4行 第5行 第6行
第n行
1 1 + 1= 2 , 1 + 2 + 1= 4 , 1 + 3 + 3 + 1= 8 , 1 + 4 + 6 + 4 + 1= 16 ,
至右第5个数是 ( B )
A．2 10
B． 41
C．5 2
D． 51
1 23 256 7 2 2 3 10 ………
4．【2015广西】将正整数按如图所示的规律排 列下去，若用有序数对（m，n）表示第m排，从 左到右第n个数，如（3，2）表示正整数5，（4， 3）表示正整数9，则（100，16）表示的正整数 是 4966 ．
第7行 1 8 28 56 70 56 28 8 1
1.（2018年德州）我国南宋数学家杨辉所著的《详 解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项 式（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为 “杨辉三角”根据”杨辉三角”请计算（a+b）8的 展开式中从左起第四项的系数为（ ）
A．84 B．56 C．35 D．28
1 + 5 +10 + 10 + 5 + 1= 32 , 1 + 6 +15 +20 + 15 + 6 + 1= 64 ,
············ 2n
探究2
杨辉三角中与腰平行的第m条斜线(从右上到
左下)上前n个数字的和, 与第m+1条斜线上的第n
个数有什么关系?
第0行
1
相等关系
第1行 第2行 第3行 第4行
中考复习 规律问题之杨辉三角
杨辉简介
杨辉 ( 约公元13世纪中叶至后 半叶 ) 字谦光, 钱塘 ( 今浙江杭州 ) 人, 是中国南宋末年的数学家、数 学教育家. 著作甚多, 他编著的数 学书共五种二十一卷, 著有《详解九章算法》十二 卷 (1261年)、《日用算法》二卷(1262年)、等.
“杨辉三角”出现在他编著的《详解九章算法》 一书中, 杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右, 杨 辉是一位杰出的数学教育家、重视数学的普及．
11 +
12 1 +
13 3 1 +
14 6 4 1
第5行
1 5 10 10 5 1
第6行
1 6 15 20 15 6 1
第7行
1 7 21 35 35 21 7 1
一般有
············
C r C r C r C r C r1(n r)
r
r1
r2
n1