2020届安徽省安庆二中、天成中学高三上学期期末联考数学(理)试题(解析版)

安庆二中天成中学2019-2020学年度第一学期期末高三联考数学（理科）试题一、选择题（本题共12题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有一个是符合题意的选项.）1.若复数z 的共轭复数满足()112i z i -=-+，则z =（ ）A. 2B. 32C. D. 12 【答案】C【解析】【分析】根据复数乘法、除法运算求出z ，再由复数的模的求法即可求出z【详解】由题意()112i z i -=-+， 所以()()()()1211231112i i i i z i i i -++-+-+===--+， 所以z z === 故选：C【点睛】本题主要考查复数的乘法、除法运算，考查复数的模的求法以及复数与共轭复数的模相等，属于基础题.2.函数()12y lg x =+-( ) A. （2，3）B. （3，4]C. （2，4]D. （2，3）∪（3，4]【答案】D【解析】【分析】 根据对数真数大于零，分式分母不为零，偶次方根的被开方数为非负数列不等式组，解不等式组求得函数的定义域.的【详解】依题意22021160x x x ->⎧⎪-≠⎨⎪-≥⎩，解得()(]2,33,4x ∈U .所以函数的定义域为()(]2,33,4U .故选：D【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，属于基础题.3.已知命题p ：∀x >0，e x >x +1；命题q ：∃x 0∈（0，+∞），lnx 0=x 0﹣1；下列命题为真命题的是( ) A. p ∧qB. p q ∧⌝C. p q ⌝∧D. p q ⌝∧⌝ 【答案】A【解析】【分析】分别判断命题p 和q 的真假性，由此确定正确选项.【详解】令()()'1,0,10x x f x e x x f x e =-->=->，所以()f x 在()0,∞+上递增，所以()()00f x f >=，所以命题p 为真命题.当01x =时，ln1110=-=，所以命题q 为真命题.所以p q ∧为真命题，A 选项正确，其它选项不正确.故选：A【点睛】本小题主要考查含有逻辑联结词命题真假性的判断，属于基础题.4.三个数2233ln a b c e ===，的大小顺序为( ) A. b <c <aB. b <a <cC. c <a <bD. a <b <c 【答案】D【解析】【分析】 通过证明13a b c <<<，由此得出三者的大小关系. 【详解】132221ln 63a e e =<==，由于6123e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭6328==，所以13e <，所以131ln ln 3e =<即13a b <<.而66113232228,339⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以113223<，所以11321ln 2ln 3ln 33<=，即b c <，所以a b c <<.故选：D点睛】本小题主要考查指数式、对数式比较大小，考查指数运算和对数运算，属于中档题.5.函数f （x ）=（x 2+2x ）e 2x 的图象大致是( ) A.B. C.D. 【答案】A【解析】【分析】利用导数判断出()f x 的单调区间，结合函数值的符号，选出正确选项. 【详解】由于()()'22231x f x x x e =++⋅，而231y x x =++的判别式9450∆=-=>，所以231y x x =++开口向上且有两个根12,x x ，不妨设12x x <，所以()f x 在()()12,,,x x -∞+∞上递增，在()12,x x 上递减.所以C ,D 选项不正确.当2x <-时，()0f x >，所以B 选项不正确.由此得出A 选项正确. 故选：A【点睛】本小题主要考查利用导数判断函数的图像，属于基础题.6.设,x y 满足约束条件330280440x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，则3z x y =+的最大值是（ ）A. 9B. 8C. 3D. 4【答案】A 【【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标还是在点()3,2C 处取得最大值，其最大值为max 33329z x y =+=+⨯=.本题选择A 选项.7.正偶数数列有一个有趣的现象：2+4=6；8+10+12=14+16；18+20+22+24=26+28+30；…按照这样的规律，2016所在等式为( )A. 第29个B. 第30个C. 第31个D. 第32个 【答案】C【解析】【分析】根据每一组偶数的个数，以及2016是第几个偶数，由此判断出2016所在的等式为第几个.【详解】第一组有3个偶数，第二组有5个偶数，第三组有7个偶数，这是一个等差数列，首项为13a =，公差为2d =，前n 项和为()213222n n n n n -+⨯=+.而201610082=，注意到29n =时，()2222931899n n n n +=+=⨯=，30n =时，()2223032960n n n n +=+=⨯=，31n =时，()22231331023n n n n +=+=⨯=.所以2016所在的等式为第31个.故选：C【点睛】本小题主要考查合情推理，考查等差数列前n 项和公式，属于基础题.8.设R λ∈，则“3λ=-”是“直线2(1)1x y λλ+-=与直线()614x y λ+-=平行”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】 当3λ=-时，两条直线是平行的，但是若两直线平行，则3λ=-或1λ=，从而可得两者之间的关系.【详解】当3λ=-时，两条直线的方程分别为：6410x y ++=，3220x y +-=，此时两条直线平行； 若两条直线平行，则()()2161λλλ⨯-=--，所以3λ=-或1λ=，经检验，两者均符合，综上，“3λ=-”是“直线()211x y λλ+-=与直线()614x y λ+-=平行” 的充分不必要条件，故选A.【点睛】充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的充分不必要条件；若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的充分必要条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的必要不充分条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的既不充分也不必要条件.9.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 83πB. 103πC. 6πD. 3π【答案】D【解析】【详解】解：该几何体是一个底面半径为1、高为4的圆柱被一个平面分割成两部分中的一个部分，故其体积为221141232V πππ=⨯⨯-⨯⨯⨯= . 本题选择D 选项.10.若直线mx+ny+2=0（m ＞0，n ＞0）截得圆()()22311x y +++=的弦长为2，则13+m n的 最小值为（ ）A. 4B. 6C. 12D. 16 【答案】B【解析】圆心坐标为(3,1)--，半径为1，又直线截圆得弦长为2，所以直线过圆心，即320m n --+=，32m n +=，所以13113(3)()2m n m n m n +=++19(6)2n m m n =++ 1(62≥+6=，当且仅当9n m m n =时取等号，因此最小值为6，故选B ．11.在三棱锥S ﹣ABC 中，AB =BC=SA =SC =AC =2，二面角S ﹣AC ﹣B ，则三棱锥S ﹣ABC 外接球的表面积是( ) A. 32π B. 2π C. π D. 6π【答案】D【解析】【分析】利用二面角S ﹣AC ﹣B 的余弦值求得BS ，由此判断出BS BA BC ===且,,BS BA BC 两两垂直，由此将三棱锥补形成正方体，利用正方体的外接球半径，求得外接球的表面积.【详解】设E 是AC 的中点，连接,EB ES ，由于,SA SC AB BC ==，所以,AC SE AC BE ⊥⊥，所以SEB ∠是二面角S ﹣AC ﹣B 的平面角，所以cos 3SEB ∠=.在三角形SEB 中，由余弦定理得SB BS BA BC ===，由于2SA SC AC ===，所以,,BS BA BC 两两垂直.由此将三棱锥补形成正方体如下图所示，，则体对角线长为=设正方体外接球的半径为R ，则2R =246R ππ=. 故选：D【点睛】本小题主要考查根据二面角的余弦值求边长，考查几何体外接球的有关计算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.12.已知函数()2x m f x xe mx =-+（e 为自然对数的底数）在(0,)+∞上有两个零点，则m 的范围是（ ） A. (0,)eB. (0,2)eC. (,)e +∞D. (2,)e +∞ 【答案】D【解析】【分析】 利用参数分离法进行转化，12x xe m x =-，设()12xxe h x x =-（0x >且12x ≠）， 构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性和极值，利用数形结合进行求解即可． 【详解】解：由()02x m f x xe mx =-+=得1()22x m xe mx m x =-=-， 当12x =时，方程不成立，即12x ≠， 则12xxe m x =-，设()12xxe h x x =-（0x >且12x ≠）， 则()222111'222'()1122x xx xe x xe e x x h x x x ⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21(1)(21)212x e x x x -+=⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∵0x >且12x ≠，∴由'()0h x =得1x =， 当1x >时，'()0h x >，函数为增函数，当01x <<且12x ≠时，'()0h x <，函数为减函数， 则当1x =时函数取得极小值，极小值为(1)2h e =， 当102x <<时，()0h x <，且单调递减，作出函数()h x 的图象如图： 要使12xxe m x =-有两个不同的根， 则2m e >即可，即实数m 的取值范围是(2,)e +∞.方法2：由()02x m f x xe mx =-+=得1()22x m xe mx m x =-=-， 设()x g x xe =，1()()2h x m x =-， '()(1)x x x g x e xe x e =+=+，当0x >时，'()0g x >，则()g x 为增函数，设1()2h x m x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与()x g x xe =，相切时的切点为(,)a a ae ，切线斜率(1)a k a e =+， 则切线方程为(1)()a a y ae a e x a -=+-， 当切线过1(,0)2时，1(1)()2a a ae a e a -=+-， 即21122a a a a -=+--，即2210a a --=，得1a =或12a =-（舍），则切线斜率(11)2k e e =+=， 要使()g x 与()h x 在(0,)+∞上有两个不同的交点，则2m e >，即实数m 的取值范围是(2,)e +∞.故选D ．【点睛】本题主要考查函数极值的应用，利用数形结合以及参数分离法进行转化，求函数的导数研究函数的单调性极值，利用数形结合是解决本题的关键．二、填空题（本大题共四小题，每题5分，共20分.）13.如图，在等腰△ABC 中，AB =AC =3，D ，E 与M ，N 分别是AB ，AC 的三等分点，且1DN ME ⋅=-u u u v u u u v，则cosA =__________.【答案】35【解析】【分析】以,AB AC u u u r u u u r 为基底，分别把,DN ME u u u r u u u r 表示出来，然后根据已知条件即可求出cos A . 【详解】2133DN AN AD AC AB =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 2133ME AE AM AB AC =-=-u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r ， 2121()()3333DN ME AC AB AB AC ⋅=-⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =22252999AB AC AB AB --⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r =54||||cos 45cos 19AC AB A A --=--=-u u u u r u u u r ， 3cos 5A ∴=. 故答案为:35【点睛】本题考查向量的基本定理以及向量的数量积运算，属于基础题.14.已知等比数列{}n a 中，各项都是正数．．，且1321,,22a a a 成等差数列，则91078a a a a +=+______.【答案】3+【解析】【分析】先根据等差中项的性质可知得2×（312a ）=a 1+2a 2，进而利用通项公式表示出q 2=1+2q ，求 得q ，代入91078a a a a ++中即可求得答案． 【详解】依题意可得2×（312a ）=a 1+2a 2， 即，a 3=a 1+2a 2，整理得q 2=1+2q ，求得q=1∵各项都是正数∴q ＞0，q=1∴91078a a a a ++=89116711a q a q a q a q ++=3+故答案为：3+【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．考查了学生综合分析的能力和对基础知识的理 解．15.若定义域为R 的函数()f x 满足'()()f x f x >，则不等式(ln )(1)0ef x xf -<的解集为______（结果用区间表示）． 【答案】(0,)e 【解析】 分析】由题目要求解的不等式是(ln )(1)0ef x xf -<，由此想到构造函数()()x f x g x e=，求导后结合()()f x f x '>，可知函数()g x 是实数集上的增函数，然后利用函数的单调性可求得不等式的解集．【详解】令()()xf xg x e =， 则2(()())()x xe f x f x g x e'-'=， 因()()f x f x '>，所以()0g x '>，所以，函数()g x 为(,)-∞+∞上的增函数， 由(ln )(1)ef x xf <，得：ln 1(ln )(1)xf x f e e<，即(ln )(1)g x g <， 因为函数()g x 为(,)-∞+∞上的增函数， 所以ln 1x <．所以不等式的解集是(0,)e ． 故答案为(0,)e ．【点睛】本题考查了导数的运算法则，考查了不等式的解法，解答此题的关键是联系要求解的不等式，构造出函数()()xf xg x e =，然后利用导数的运算法则判断出其导函数的符号，得到该函数的单调性．此题是常考题型．16.已知 ABC ∆中，BC a CA b AB c ===u u u r r u u u r r u u u r r，，，当()()()123c b b a a c ⋅⋅⋅=r r r r r r ::::时，sin A ：sin B ：sin C =_____【解析】 【分析】【根据()()()123c b b a a c ⋅⋅⋅=r r r r r r::::，求得222,,a b c ，由正弦定理求得sin :sin :sin A B C . 【详解】由()()()123c b b a a c ⋅⋅⋅=r r r r r r::::，得ABC ∆为锐角三角形，且 ()()()()()()cos :cos :cos cos :cos :cos bc A ba C ac B bc A ba C ac B ---=222222222::222b c a a b c a c b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()222222222::1:2:3b c a a b c a c b =+-+-+-=.设()222222222,2,30b c a k a b c k a c b k k +-=+-=+-=>，解得2225,3,4a k b k c k ===，则::2a b c =.由正弦定理得sin :sin :sin 2A B C =.2【点睛】本小题主要考查向量数量积的运算，考查正弦定理和余弦定理的运用，属于基础题.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知函数f （x ）223322cos x sin =-+x +1，x ∈R . （1）求函数f （x ）的最小正周期并写出函数f （x ）图象的对称轴方程和对称中心； （2）求函数f （x ）在区间63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值.【答案】（1）π，x 51122k ππ=+，（1162k ππ+，1）；（2）最大值52，最小值1 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简()f x 解析式，由此求得()f x 的最小正周期、对称轴和对称中心. （2）根据三角函数最值的求法，求得()f x 在区间63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值.【详解】（1）f （x ）223322cos x sin =-+x +1，32212sin x cos x =-+，=（2x 13π-）+1，故函数f （x ）的最小正周期T =π，令2x 13π-=k 12ππ+，可得x 51122k ππ=+，令2x 13π-=k π可得x 1162k ππ=+，k ∈Z ，即函数f （x ）图象的对称轴方程x 51122k ππ=+，k ∈Z ，对称中心（1162k ππ+，1），k ∈Z. （2）∵x ∈63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，， ∴23π-≤2x 1133ππ-≤ ∴﹣123sin x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭ 根据正弦函数的性质可知，最大值52，最小值1 【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数最小正周期、对称中心、对称轴、最大和最小值的求法，属于中档题.18.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 114=，公比q >0，S 1+a 1，S 3+a 3，S 2+a 2成等差数列. （1）求{a n }； （2）设b n ()()22212n n n n c n b b log a +==+，，求数列{c n }的前n 项和T n .【答案】（1）a n 11()2n +=；（2）T n 2211311436(2)(3)n n ⎡⎤=--⎢⎥++⎣⎦. 【解析】 【分析】（1）根据等差中项的性质列方程，并转化为1,a q 的形式，由此求得q 的值，进而求得数列{}n a 的通项公式.（2）利用裂项求和法求得数列{}n c 的前n 项和n T . 【详解】（1）由S 1+a 1，S 3+a 3，S 2+a 2成等差数列， 可得2（S 3+a 3）=S 2+a 2+S 1+a 1， 即有2a 1（1+q +2q 2）=3a 1+2a 1q ， 化为4q 2=1，公比q >0，解得q 12=. 则a n 14=⋅（12）n ﹣111()2n +=； （2）b n 212222111()(2)(1)n n log a log n --===+，c n =（n +2）b n b n +2=（n +2）⋅22221111(1)(3)4(1)(3)n n n n ⎡⎤=-⎢⎥++++⎣⎦，则前n 项和T n =c 1+c 2+c 3+…+c n ﹣1+c n14=[22222222221111111111243546(2)(1)(3)n n n n -+-+-++-+-+++L ]2211111449(2)(3)n n ⎡⎤=+--⎢⎥++⎣⎦ 2211311436(2)(3)n n ⎡⎤=--⎢⎥++⎣⎦. 【点睛】本小题主要考查等差中项的性质，考查等比数列通项公式的基本量计算，考查裂项求和法，属于中档题.19.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，设平面向量()()sin cos ,sin ,cos sin ,sin p A B A q B A B =+=-v v ，且2cos p q C ⋅=v v（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若c a b =+=ABC ∆中边上的高h .【答案】(1)3C π=;(2)32. 【解析】分析：（1）由向量的数量积的运算，得222sin sin sin sin sin A B C A B +-=， 根据正弦、余弦定理得1cos 2C =，即可得到3C π=； （2）由余弦定理和a b +=3ab =，再利用三角形的面积公式，求得32h =，即可得到结论． 详解：；1；因为22cos sin sin sin p q B A A B v v⋅=-+；所以222cos sin sin sin cos B A A B C -+=，即2221sin sin sin sin 1sin B A A B C --+=-；即222sin sin sin sin sin A B C A B +-=；根据正弦定理得222a b c ab +-=，所以2221cos 222a b c ab C ab ab +-===；所以3C π=；；2；由余弦定理()22232cos 33a b ab a b ab π=+-=+-，又a b +=3ab =；根据ABC ∆△的面积11sin 22S ab C ch ==，即11322⨯=， 解得32h =； 所以ABC ∆中AB 边上的高32h =； 点睛：本题主要考查了利用正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.20.如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，BC //AD ，且AD =2AB =2BC =2，∠BAD =90°，△P AD 为等边三角形，平面ABCD ⊥平面P AD ；点E 、M 分别为PD 、PC 的中点.（1）证明：CE //平面P AB ； （2）求三棱锥M ﹣BAD 的体积；（3）求直线DM 与平面ABM 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）6 ；（3）7. 【解析】 【分析】（1）设PA 的中点为N ，连接,EN BN ，利用三角形的中位线证得1//,2EN AD EN AD =，而1//,2BC AD BC AD =，由此证得//,BC EN BC EN =，由此证得四边形ENBC 是平行四边形，进而证得//CE BN ，从而证得//CE 平面PAB .（2）根据等边三角形的性质，结合面面垂直的性质定理，求得P 到平面ABD 的距离，而M 是PC 的中点，故M 到平面ABD 的距离是P 到平面ABD 的距离的一半.由此求得M 到平面ABD 的距离，进而求得三棱锥M BAD -的体积.（3）建立空间直角坐标系，利用直线DM 的方向向量和平面ABM 的法向量，计算出线面角的正弦值. 【详解】（1）证明：设P A 的中点为N ，连结EN ，BN ， ∵E 为PD 中点，∴EN 为△P AD 的中位线， ∴EN //AD ，且EN 12=AD ， 在梯形ABCD 中，BC //AD ，且BC 12=AD ， ∴BC //EN ，且BC =EN ，∴四边形ENBC 是平行四边形，∴CE //BN ， ∵BN ⊂平面P AB ，CE ⊄平面P AB ，∴CE //平面P AB .（2）解：∵四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，BC ∥AD ，且AD =2AB =2BC =2，∠BAD =90°， ∴111222ABD S AB AD =⨯⨯=⨯⨯=V 1， ∵△P AD 为等边三角形，平面ABCD ⊥平面P AD ，点M 是PC 的中点. 设AD 的中点为O ，则P A =PD ，∴PO ⊥AD ，∴M 到平面ABD 的距离d 122PO ===，∴三棱锥M ﹣BAD 的体积V 11133ABD S d =⨯⨯=⨯=V .（3）∵平面P AD ⊥平面ABCD ，交线为AD ，PO ⊂平面P AD ，∴PO ⊥平面ABCD ，又∵CO //BA ，∠BAD =90°，∴CO ⊥AD ， ∴OA ，OC ，OP ，OC 两两垂直，以O 为原点，OA ，OC ，OP ，OC 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 则A （1，0，0），B （1，0，1），M （012），D （﹣1，0，0）， AB =uu u r （0，0，1），AM =u u u u r （﹣112）， 设平面ABM 的法向量m =r（x ，y ，z ），则0102m AB z m AM x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩u u uv r u u u u v r ，取x =m =r0，），DM =u u u u r （1，12），cos m DM m DM m DM⋅==⋅u u u u r r u u u u r ru u u u r r ，， ∴直线DM 与平面ABM. 【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查三棱锥体积的计算，考查线面角的正弦值的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.21.已知圆C 过点P （1，1），且与圆M ：(x+2)2+(x+2)2=r 2(r>0)2关于直线x+y+2=0对称． ⑴求圆C 的方程；⑵设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ MQ ⋅u u u r u u u u r的最小值；⑶过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于A ，B ，且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行？请说明理由． 【答案】（1）222x y +=；（2）－4；（3）平行． 【解析】试题分析：（1）由于两圆关于某直线对称，则两圆的圆心关于该直线对称且半径相等；所以可先由圆C 与圆M ：(x+2)2+(x+2)2=r 2(r>0)2关于直线x+y+2=0对称，求出圆Ｃ的圆心Ｃ的坐标（x 0,y 0），进而写出圆C 的方程，再由圆C 过点P （1，1）就可求出半径r 的值，从而得圆Ｃ的方程；其中求圆心Ｃ的坐标（x 0,y 0）这样进行：因为圆M 的圆心M(-2,-2),所以有MC 的中点在直线x+y+2=0上，且MC 与直线x+y+2=0垂直，可列出关于x 0,y 0的方程组，解此方程组就可求得x 0,y 0的值；（2）设出点Q 的坐标,则可用点Q 的坐标表示出来,再由点Q 在圆C 上,可考虑用三角换元或用数形结合法来求的最小值;（3）由于直线PA 和直线PB 的倾斜角互补且PA 与PB 是两条相异直线,所以两直线的倾斜角均不为900,从而两直线的斜率都存在,若设PA 的斜率为k ，则PB 的斜率就为-k,从而就可写出两直线的方程，与圆C 的方程结合起来就可用k 的式子表示出A ，B 两点的从标，从而就可求出直线AB 的斜率，又OP 的斜率可求，从而就可判断直线OP 和AB 是否平行了．试题解析：（1）设圆Ｃ的圆心Ｃ的坐标为(x 0,y 0）,由于圆M 的圆心M(-2,-2),则有:,所以圆C 的方程为:,又因为圆C 过点P （1，1）,所以有,故知:⊙C 的方程为：（2）设Q （x 、y ），则，从而可设则(1)(2)(1)(2)22sin()24PQ MQ x x y y x y πθ⋅=-++-+=+-=+-u u u r u u u u r所以PQ MQ ⋅u u u r u u u u r的最小值为-4.（3）设PA 的方程为：，则PB 的方程为：由得，同理可得：OP∥AB ．考点：１．圆的方程；２．向量的数量积；３．直线和圆的位置关系． 22.已知11()ln e xe f x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的极值；（2）设()ln(1)xg x x ax e =+-+，对于任意1[0,)x ∈+∞，2[1,)x ∈+∞，总有()()122eg x f x ≥成立，求实数a 的取值范围.【答案】(1) ()f x 的极小值为：12()f e e =-，极大值为：2()f e e= (2) (,2]-∞ 【解析】试题分析:(1)先求函数的定义域,然后对函数求导,利用导数求得函数的单调区间,进而求得极值.(2)由(1)得到函数()f x 的最大值为2e,则只需()e 212e g x ≥⋅=.求出函数()g x 的导数,对a 分成2,2a a ≤>两类,讨论函数()g x 的单调区间和最小值,由此求得a 的取值范围. 试题解析:(1)()()221111x e x e e e f x x x x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=--=-'所以()f x 的极小值为：12f e e ⎛⎫=-⎪⎝⎭，极大值为：()2f e e=； (2) 由(1)可知当[)1,x ∈+∞时，函数()f x 的最大值为2e对于任意[)[)120,,1,x x ∈+∞∈+∞，总有()()122eg x f x ≥成立，等价于()1g x ≥恒成立， ()11x g x e a x =+-+' ；2a ≤时，因为1x e x ≥+，所以()1112011xg x e a x a a x x =+-≥++-≥-+'≥+，即()g x 在[)0,+∞上单调递增，()()01g x g ≥=恒成立，符合题意.②当2a >时，设()11xh x e a x =+-+；()()()()222111011x x x e h x e x x +-=-=≥++'；所以()g x '在[)0,+∞上单调递增，且()020g a ='-<，则存在()00,x ∈+∞，使得()0g x '= 所以()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，又()()001g x g <=； 所以()1g x ≥不恒成立，不合题意.综合①②可知，所求实数a 的取值范围是(],2-∞.【点睛】本小题主要考查函数导数与极值,考查利用导数求解恒成立问题. 求极值的步骤： ①先求'()0f x =的根0x （定义域内的或者定义域端点的根舍去）； ②分析0x 两侧导数'()f x 的符号：若左侧导数负右侧导数正，则0x 为极小值点；若左侧导数正右侧导数负，则0x 为极大值点.求函数的单调区间、极值、最值是统一的，极值是函数的拐点，也是单调区间的划分点，而求函数的最值是在求极值的基础上，通过判断函数的大致图像，从而得到最值,大前提是要考虑函数的定义域.。