米老师--第10讲-试题分析(学习资料)
三年级下册数学试题-第十讲 和差倍问题二(含答案)全国通用
第十讲和差倍问题二内容概述学会分析较为隐藏的和差倍关系，进一步掌握画线段图的方法，学会利用不变量进行分析的方法，处理多个对象的和差倍问题时注意选取合适的“1”倍量。
兴趣篇1.甲班和乙班一共有60人。
如果甲班调6个人到乙班，那么甲班的人数就是乙班人数的2倍。
求甲、乙两班原来的人数。
分析：甲班46人，乙班14人2.甲、乙两位学生原计划每周做同样数量的习题，实际上甲每周多做了18道题，而乙偷懒每周少做了14道题，结果乙三周的做题量只相当于甲一周的做题量。
请问：他们原计划每周做几道题？分析：30道3.一辆公共汽车出发时有48人，到达第一站时有若干人下车，而且下车的比留下的多8人。
达到第二站时，又有人下车，这次下车的比留下的少8人。
请问：最后又几个人留在了车上？（注：每个车站都无人上车）分析：14人4.刘老师给大家布置了若干道数学题作为寒假作业。
寒假快结束的时候，冬冬已经做完48道，阿奇则做完40道。
如果阿奇未做的题数是冬冬的3倍，那么老师一共布置了多少道题？分析：52道5.甲房地产公司有资金100亿元，乙房地产公司有资金40亿元，两公司联合投资一块地皮，用去同样多的资金后，甲公司剩下的资金是乙公司的5倍。
请问：两公司投资这块地皮共用去多少亿元？分析：50亿元6.甲、乙两人一起参加吃汉堡包大赛。
在30分钟的限时内，甲吃的汉堡包个数是乙的一半，而乙吃的汉堡包比甲的5倍少12个。
请问：甲、乙两人一共吃了几个汉堡包？分析：12个7.在一个减法算式里，被减数、减数与差的和是240，减数是差的5倍，则减数是多少？分析：1008.费叔叔买来三箱水果，总重100千克。
其中前两箱重量相差11千克，且前两箱的总重量是第三箱的3倍。
请问：这三箱水果中最重的那箱重多少千克？分析：43千克9.甲、乙、丙三个物体的总重量是93千克，甲物体比乙、丙两个物体的重量之和轻1千克，乙物体比丙物体重量的2倍还重2千克。
那么甲、乙、丙各重多少千克？分析：甲46千克，乙32千克，丙15千克10.某驻军有三个坦克连，共有115辆坦克，一连坦克数量比二连的2倍多2辆，而二连的坦克数量比三连的3倍多1辆。
2022年暑期奥数教案 三升四《10 倍数问题》教案(打印版)
《数学思维训练教程》教案画线段图表示：师：同学们画的很棒！尝试列算式解答。
3、学生独立完成。
答案：1184÷〔1＋3〕＝296〔千米〕296×3＝888〔千米〕答：“螺旋桨〞飞机的速度是每小时飞行296千米，“三叉戟〞飞机的速度是每小时飞行888千米。
〔二〕呈现问题2师：“不过，海豚也是人类的老师。
人类根据海豚声波定位的方法创造了声呐探测器，被广泛运用于海洋探索。
〞托尼爷爷说道。
例2：声波在水中的传播速度大约是每秒1530米，比在空气中传播速度的4倍还多170米。
声波在空气中传播速度大约是每秒多少米？1、学生读题，理解题意。
2、师生合作完成。
师：此题还是什么问题？生：倍数问题。
师：此题还是和例1是不是都是和倍问题呢？生：不是和倍问题，是简单的倍数问题。
师：咱们还能用线段图来表示吗？生：可以。
师：你们能根据倍数关系画出适宜的线段图吗？生：声波在水中每秒传播速度，比在空气中传播速度的4倍还多170米，我们可以把声波在空气中传播的速度看成是1倍数，把声波在水中传播的速度看成是4倍数，画出线段图来表示：师：画的非常好，尝试列式解答。
3、学生独列完成。
答案：〔1530－170〕÷4＝340〔米〕答：声波在空气中传播速度大约是每秒340米。
〔三〕呈现问题3师：“嘿嘿，那是当然，我们海豚家族可聪明着呢！〞卡卡有些得意忘形，一个冲刺，不小心撞到了一只路过的乌贼。
结果被乌贼喷出的“墨汁〞染得一身黑。
别看乌贼行动怪异，它也是人类的老师呢！遇到危险时喷出“墨汁〞能有效逃生，鱼类诱导装置就是模仿它来设计的！例3：乌贼逃命时瞬间速度比大白鲨速度的4倍还快30千米，比金枪鱼速度的2倍还快10千米。
大白鲨每小时能游40千米，那么乌贼的瞬间速度是多少？金枪鱼的速度呢？1、学生读题，理解题意。
2、师生合作。
师：读完题目你们发现此题和前两道题目不一样，此题有三个量，我们怎么找每个量之间的关系呢？生：先找一个基准〔1倍数〕的量，再来分析它们之间的关系。
第10讲 估算及解决问题-三年级上册数学知识点汇总与错题专练(人教版)
第10讲估算及解决问题三年级上册数学知识点汇总与错题专练（易错梳理+易错举例+易错题演练）【易错梳理】1、多位数乘一位数的估算方法。
先把因数中的多位数看作与它接近的整十、整百数，再与一位数相乘，中间要用“≈”连接。
2、乘、除混合运算的运算顺序。
按从左到右依次计算。
3、用两步计算解决实际问题。
用两步计算解决问题时，选择两个相关的条件，可以分步计算，也可以列综合算式计算。
4、估算时，一定要用“≈”连接。
5、估算带钱问题时，应估大不估小，以免带的钱不够，因些，乘法估算要联系实际进行。
6、解决问题时，要学会分析问题的方法，先弄清数量之间的关系，再列式解答。
【易错举例】易错点1：估算时应用“≈”连接算式。
估算:312×5【错误答案】312×5=1500【错解分析】在估算时,由于估算值不是准确值,要用“～”连接算式,不能用“=”。
【正确解答】312×5≈1500易错点2：解决问题时出现错误，注意要先求出单一量。
彭老师买了4个排球，一共花了80元，照这样计算，买6个排球要花多少元？【错误答案】80×6=480（元）答：买6个排球要花480元。
【错解分析】本题错在没有先求出单一量是多少，即买1个排球用多少钱，就进行直接计算了。
应该先用除法求出买一个排球需要多少钱，再乘上需要买的6个排球，就可以算出总共要花多少元钱。
【正确解答】80÷4×6=20×6=120（元）答：买6个排球要花120元。
【易错题演练】一、选择题1．①每名同学分得2本数学练习本，共500名同学，一共需要多少本练习本？②学校准备礼物，全校一共968名同学，要花多少钱买礼物？③文文家距学校400米，从家到学校7分钟能走到吗？上面三个问题最适合用（）来解决。
A．口算，笔算，估算B．估算，笔算，口算C．口算，口算，估算D．笔算，估算，口算2．妈妈选礼物。
最贵的每件108元，最便宜的每件78元，妈妈要买3件，总价大约在（）之间。
第10讲比例的应用-2022-2023学年六年级数学下册易错题精编讲义(人教版)
第10讲比例的应用（讲义）（知识梳理+易错汇总+易错精讲+易错专练）1、比例尺的意义。
一幅图的图上距离和实际距离的比，叫作这幅图的比例尺。
温馨提示：比例尺是一个比，表示两个同类量间的倍比关系，不能带单位。
2、比例尺的分类。
分法一：按表现形式分，可以分为数值比例尺和线段比例尺。
分法二：按将实际距离缩小还是放大分，可以分为缩小比例尺和放大比例尺。
3、已知图上距离和实际距离，求比例尺的方法。
先把图上距离和实际距离统一单位，再用图上距离比实际距离，然后把它化简成最简整数比，得出比例尺。
三者中知道任意两者，可求第三者。
4、应用比例尺画图的方法。
（1）确定比例尺。
（2）根据比例尺求出图上距离。
（3）画图。
（4）标出所画图的名称和比例尺。
5、图形放大与缩小的特点。
形状相同，大小不同。
6、将图形放大与缩小的方法。
一看，看图形每边各占几格；二算，按已知比计算出放大图或缩小图的每边各占几格；三画，按计算出的边长画出原图形的放大图或缩小图。
温馨提示：把图形每条边按相同倍数放大（或缩小）后，形状不变，相对应的角的度数也不变。
7、用比例解决问题。
根据问题中的不变量找出两种相关联的量，并判断这两种相关联的量成什么比例关系，根据正、反比例关系列出相应的比例并求解。
1、比例尺是图上距离与实际距离的比，是一个比值，没有单位。
2、通常缩小比例尺的前项为1，放大比例尺的后项为1。
3、图上距离一般用厘米做单位，实际距离一般用米或千米做单位，计算时要先统一单位。
4、把图形放大（或缩小）后，形状不变，相对应的角的度数也不变。
5、平均锯一次的时间一定，一共用的时间与锯的次数成正比例。
6、在路程一定时，速度和时间成反比例关系，速度越快，所用时间越短；反之所用时间越长。
【易错一】学校的操场是一个长方形，长是90米，宽是60米，小聪想把它画在练习本上，比较合适的比例尺是（）。
A．1∶100 B．1∶1000 C．1∶10000 D．1∶1【分析】根据图上距离＝实际距离×比例尺，先把单位换算成厘米后，把4个选项里的比例尺代入到数量关系中，分别求出练习本的长是多少，找出符合实际的答案即可。
七年级数学培优竞赛讲座第10讲--列方程解应用题——有趣的行程问题
第十讲 列方程解应用题——有趣的行程问题数学是一门具有广泛应用性的科学，我国著名数学家华罗庚先生曾说过：“宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生物之谜、日用之繁，无处不用数学”．数学应用题的类型很多，比较简单的是方程应用题，又以一元一次方程应用题最为基础，方程应用题种类繁多，以行程问题最为有趣而又多变．行程问题的三要素是：距离(s)、速度(v)、时间(t)，行程问题按运动方向可分为相遇问题、追及问题；按运动路线可分为直线形问题、环形问题等．熟悉相遇问题、追及问题等基本类型的等量关系是解行程问题的基础；而恰当设元、恰当借助直线图辅助分析是解行程问题的技巧．例题【例1】 某人乘船由A 地顺流而下到B 地，然后又逆流而上到C 地，共乘船4小时，已知船在静水中的速度为每小时7.5千米，水流速度为每小时2.5千米，若A 、C 两地的距离为10千米，则A 、B 两地的距离为 千米． (重庆市竞赛题)思路点拨 等量关系明显，关键是考虑C 地所处的位置．注： 列方程的方法为解应用题提供—般的解题步骤和规范的计算方法，使问题“化难为易”，充分显示了字母代数的优越性，它是算术方法解应用题在字母代数础上的发展．【例2】 如图，某人沿着边长为90米的正方形，按A →B →C →D →A …方向，甲从A 以65米／分的速度，乙从B 以72米／分的速度行走，当乙第一次迫上甲时在正方形的( )．A ．AB 边上 B ．DA 边上C ．BC 边上D ．CD 边上 (安徽省竞赛题)思路点拨:本例是一个特殊的环形的追及问题，注意甲实际在乙的前面3×90=270(米)处．【例3】 父亲和儿子在100米的跑道上进行赛跑，已知儿子跑5步的时间父亲能跑6步，儿子跑?步的距离与父亲跑4步的距离相等．现在儿子站在100米的中点处，父亲站在100米跑道的起点处同时开始跑．问父亲能否在100米的终点处超过儿子?并说明理由．(重庆市竞赛题)思路点拨 把问题转化为追及问题，即比较父亲追上儿子时，儿子跑的路程与50的大小，为了理顺步长、路程的关系，需增设未知数，这是解题的关键．【例4】 钟表在12点钟时三针重合，经过多少分钟秒针第一次将分针和时针所夹的锐角平分? (湖北省数学竞赛选拔赛试题)思路点拨 先画钟表示意图，运用秒针分别与时针、分针所成的角相等建立等量关系，关键是要熟悉与钟表相关的知识．注： 明确要求将数学开放性问题作为考试的试题，是近一二年的事情，开放题是相对于常规的封闭题而言，封闭题往往条件充分，结论确定，而开放题常常是条件不充分或结论不确定，思维多向．解钟表上的行程问题，常用到以下知识：(1)钟表上，相邻两个数字之间有5个小格，每个小格表示1分钟，如与角度联系起来，每一小格对应6°；(2)分针走一周，时针走121周，即分针的速度是时针速度的12倍．【例5】 七年级93个同学在4位老师的带领下准备到离学校32千米处的某地进行社会调查，可是只有一辆能坐25人的汽车．为了让大家尽快地到达目的地，决定采用步行与乘车相结合的办法。
七年级数学 第10讲 探索与表达规律(解析版)
第10讲探索与表达规律1.初步掌握规探索的方法，并能对简单的规律进行用数学语言描述；2.培养学生对数和字母应用的理解，从而拓展学生的视野；3.掌握从特殊到一般、从个体到整体地观察。
分析问题的方法，尝试从不同角度探究问题，培养应用意识和创新意识知识点1：规律类：数字变化型一、等差规律：前后两项差几写成几×n，令n=1，在通过加减来凑第一个数。
例如：上面的第（3）列数，相差3，则先得到3n，而第1项是4，当n=1时，3n=3，3+1=4，所有第n项表示为3n+1.拓展延申：知识点2：规律型：图形变化类1.基本思想：图形规律数字规律2.基本方法：（1）从具体的实际问题出发,观察各个数量的特点及相互之间的变化规律.（2）由此及彼,合理联想,大胆猜想（3）善于类比,从不同事物中发现相似或相同点；（4）总结规律,得出结论,并验证结论正确与否;考点1：数字变化类例1.（2023•红河州二模）按一定规律排列的单项式：3a2，﹣5a4，7a6，﹣9a8，…，第13个单项式为（）A．27a26B．﹣27a26C．25a26D．﹣25a25【答案】A【解答】解：观察这列单项式，可以发现系数的绝对值是从3开始的奇数，可表示为：（﹣1）n+1•（2n+1），字母a的指数为连续的偶数，可表示为：a2n，因此第n个单项式为：（﹣1）n+1•（2n+1）a2n，∴第13个单项式为：27a26，故选：A．【变式1】（2023•双柏县模拟）按一定规律排列的单项式：﹣x，5x2，﹣9x3，13x4，﹣17x5，…，第n个单项式是（）A．（5n﹣4）（﹣x）n B．（5n﹣4）x nC．（4n﹣3）x n D．（4n﹣3）（﹣x）n【答案】D【解答】解：第n个单项式为：（4n﹣3）（﹣x）n．故选：D．例2.（2023•安徽模拟）观察以下等式：第1个等式：1×（2+4）+4×2＝2×5+4，第2个等式：2×（6+4）+4×5＝3×8+16，第3个等式：3×（12+4）+4×10＝4×13+36，第4个等式：4×（20+4）+4×17＝5×20+64，…按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式：5×（30+4）+4×26＝6×29+100；（2）写出你猜想的第n个等式：n[n（n+1）+4]+4（n2+1]＝（n+1）（n2+4）+4n2（用含n的代数式表示），并证明．【答案】（1）5（30+4）+4×26＝629+100；（2）n[n（n+1）+4]+4（n2+1]＝（n+1）（n2+4）+4n2，证明见解答．【解答】解：（1）根据已给四个等式，可得第5个等式为：5（30+4）+4×26＝629+100；（2）等式左边由两部分组成，第一部分是序号与比序号大1的数的积再加上4的和的序号倍，第二部分为序号的平方加1的和的4倍，可表示为：n[n（n+1）+4]+4（n2+1]，等式右边也有两部分组成，第一部分为比序号大1的数乘以序号的平方与4的和，第二部分为序号平方的4倍，可表示为：（n+1）（n2+4）+4n2，因此猜想第n个等式为：n[n（n+1）+4]+4（n2+1]＝（n+1）（n2+4）+4n2，证明：左边＝n[n2+n+4]+4n2+4＝n3+n2+4n+4n2+4＝n3+5n2+4n+4，右边＝n3+4n+n2+4+4n2＝n3+5n2+4n+4，∵左边＝右边，∴n[n（n+1）+4]+4（n2+1]＝（n+1）（n2+4）+4n2．【变式2-1】（2023•霍邱县一模）观察以下等式：第1个等式：22﹣12＝2×1+1，第2个等式：32﹣22＝2×2+1，第3个等式：42﹣32＝2×3+1，第4个等式：52﹣42＝2×4+1，按照以上规律，解决下列问题：..．（1）写出第6个等式：72﹣62＝2×6+1．（2）写出你猜想的第n个等式：（n+1）2﹣n2＝2n+1（用含n的等式表示），并证明．【答案】（1）72﹣62＝2×6+1；（2）（n+1）2﹣n2＝2n+1．【解答】解：（1）第6个等式是72﹣62＝2×6+1，故答案为：72﹣62＝2×6+1；（2）猜想：第n个等式是（n+1）2﹣n2＝2n+1，证明：∵（n+1）2﹣n2＝n2+2n+1﹣n2＝2n+1，∴（n+1）2﹣n2＝2n+1成立．故答案为：（n+1）2﹣n2＝2n+1．【变式2-2】（2023•无为市三模）观察以下等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，……解决下列问题：（1）按照以上规律，写出第6个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明；（3）利用上述规律，直接写出结果：＝4850．【答案】（1）；（2）；证明见解析；（3）4850．【解答】解：（1）第6个等式为，故答案为：；（2）第n个等式为，证明：左边＝，右边＝，∴左边＝右边，∴等式成立；故答案为：；（3）＝﹣×97＝2++3++4++…+98+﹣×97＝2+3+4+…+98＝4850；故答案为：4850．例3.（2023•涡阳县二模）观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n 的等式表示），并证明．【答案】（1）；（2），证明见解析．【解答】解：（1）由题意可得，第5个等式为．故答案为：．（2）．证明：左边＝＝＝，右边＝，∵左边＝右边，∴等式成立．【变式3】（2023•明光市一模）观察下列等式：①；②；③；④；…（1）写出第n个等式，并证明你的结论；（2）运用（1）中的结论计算．【答案】（1），证明见解析过程；（2）．【解答】解：（1）∵①；②；③；④；…∴第n个等式为，理由：左边＝＝＝＝，右边＝，∴左边＝右边，∴；（2）＝＝＝＝．例4.（2023春•邳州市期中）给出下列算式：32﹣12＝8＝8×1；52﹣32＝16＝8×2；72﹣52＝24＝8×3；92﹣72＝32＝8×4；52﹣32＝16＝8×2，……（1）用含n的式子（n为正整数）表示上述规律并用所学的知识验证这个规律的正确性．（2）借助你发现的规律填空：1412﹣1392＝560．（3）利用（1）中发现的规律计算：8×1+8×2+8×3+⋯+8×49+8×50＝1012﹣1（或10200）．【答案】（1）（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n，验证见解析；（2）141；139；（3）1012﹣1（或10200）．【解答】解：（1）（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n，验证：∵左边＝（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（4n2+4n+1）﹣（4n2﹣4n+1）＝8n，右边＝8n，∴左边＝右边，∴（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；（2）由（1）可知，∵8n＝560，∴n＝70，2×70+1＝141，2×70﹣1＝139，故答案为：141；139；（3）由（1）可知：当n＝49时，2×49+1＝99，2×49﹣1＝97，n＝50，2×50+1＝101，2×50﹣1＝99，∴8×1+8×2+8×3+⋯+8×49+8×50＝（32﹣12）+（52﹣32）+（72﹣52）+⋯+（992﹣972）+（1012﹣992）＝32﹣12+52﹣32+72﹣52+⋯+992﹣972+1012﹣992＝1012﹣1．故答案为：1012﹣1（或10200）．【变式4】（2023•长丰县模拟）观察下列等式的规律，解答下列问题：第1个等式：12+22+32＝3×22+2．第2个等式：22+32+42＝3×32+2第3个等式：32+42+52＝3×42+2．第4个等式：42+52+62＝3×52+2．……（1）请你写出第5个等式：52+62+72＝3×62+2．（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．【答案】（1）52+62+72＝3×62+2；（2）第n个等式：n2+（n+1）2+（n+2）2＝3（n+1）2+2，见解答过程．【解答】解：（1）由题意得：第5个等式为：52+62+72＝3×62+2．故答案为：52+62+72＝3×62+2；（2）猜想的第n个等式：n2+（n+1）2+（n+2）2＝3（n+1）2+2，证明：左边＝n2+n2+2n+1+n2+4n+4＝3n2+6n+5，右边＝3（n2+2n+1）+2＝3n2+6n+5，∴左边＝右边，∴猜想成立．考点2：图形变化类例5.（2023•砀山县二模）某校教学楼前走廊用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖来铺设地面，图1表示地面的瓷砖排列方式．【观察思考】当黑色瓷砖有1块时，瓷砖的总数有9块（如图2）；当黑色瓷砖有2块时，瓷砖的总数有15块（如图3）；当黑色瓷砖有3块时，瓷砖的总数有21块（如图4）；…；以此类推．【规律总结】（1）若该走廊每增加1块黑色瓷砖，则瓷砖的总数增加6块；（2）若这样的走廊一共有n（n为正整数）块黑色瓷砖，则瓷砖的总数为（6n+3）块；（用含n的代数式表示）【问题解决】（3）现总共有2025块瓷砖，若按此规律再建一条走廊，则黑色瓷砖有多少块？【答案】（1）6；（2）（6n+3）；（3）黑色瓷砖有337块．【解答】解：（1）由题意知，每增加1块黑色瓷砖，则白色瓷砖增加5块，∴瓷砖的总数增加1+5＝6（块），故答案为：6；（2）由题意知，有1块黑色瓷砖时，瓷砖的总数为9块；有2块黑色瓷砖时，瓷砖的总数为9+6＝15块；有3块黑色瓷砖时，瓷砖的总数为9+6×2＝21块；有4块黑色瓷砖时，瓷砖的总数为9+6×3＝27块；∴一般性规律：有n块黑色瓷砖，瓷砖的总数为9+6×（n﹣1）＝（6n+3）块；故答案为：（6n+3）；（3）令6n+3＝2025，解得n＝337，∴黑色瓷砖有337块．【变式5-1】（2023•全椒县二模）如图，某链条每节长为2.8cm，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为1cm，按这种连接方式，完成下面各题．（1）2节链条的总长度为 4.6cm；3节链条的总长度为 6.4cm；4节链条的总长度为8.2cm；（2）根据上述规律，n节链条的总长度为多少cm；（用含n的式子表示，不用说理）（3）一根链条的总长度能否为73cm？若能，请求出该链条由几节组成；若不能，请说明理由．【答案】（1）4.6；6.4；8.2；（2）（1.8n+1）cm；（3）能，由40节组成．【解答】解：（1）由题意得：1节链条的长度＝2.8cm，2节链条的总长度＝[2.8+（2.8﹣1）]＝4.6cm，3节链条的总长度＝[2.8+（2.8﹣1）×2]＝6.4cm，4节链条的总长度＝[2.8+（2.8﹣1）×3]＝8.2cm，故答案为：4.6；6.4；8.2；（2）根据（1）可得，n节链条的总长度为2.8+（2.8﹣1）（n﹣1）＝（1.8n+1）cm；（3）一根链条的总长度可以为73cm，设该链条由x节组成，根据题意得1.8x+1＝73，解得x＝40，∴总长度为73cm的链条由40节组成．【变式5-2】（2023•包河区二模）某旅游景区走廊的中间部分是用边长为1米的白色正方形地砖和彩色正方形（图中阴影部分）地砖铺成的，图案如图所示，根据图示排列规律，解答以下问题．（1）第4个图案L（4）有白色地砖15块地砖；第n个图案L（n）有白色地砖块（3n+3）地砖（用含n的代数式表示）；（2）已知L（1）的长度为3米，L（2）的长度为5米，…，L（n）的长度为2023米，求图案L（n）中白色正方形地砖有多少块．【答案】（1）15，（3n+3）；（2）3036．【解答】解：（1）∵第1个图案L（1）的白色地砖块数为：6，第2个图案L（2）的白色地砖块数为：6+3＝6+3×1，第3个图案L（3）的白色地砖块数为：6+3+3＝6+3×2，第4个图案L（4）的白色地砖块数为：6+3×3＝15，…，第n个图案L（n）的白色地砖块数为：6+3（n﹣1）＝3n+3，故答案为：15，（3n+3）；（2）∵L（1）的长度为3米，L（2）的长度为5米，…，∴L（n）的长度为：（2n+1）米，∴当2n+1＝2023时，解得：n＝1011，∴L（1011）中白色地砖的块数为：3n+3＝3×1011+3＝3036．【变式5-3】（2023•安徽模拟）如图，下列图案都是由同样大小的基本图形⊙按一定规律所组成的，其中：第1个图案中基本图形的个数：1+2×2＝5，第2个图案中基本图形的个数：2+2×3＝8，第3个图案中基本图形的个数：3+2×4＝11，第4个图案中基本图形的个数：4+2×5＝14，…．按此规律排列，解决下列问题：（1）写出第5个图案中基本图形的个数：17；（2）如果第n个图案中有2024个基本图形，求n的值．【答案】（1）17；（2）n＝674．【解答】解：（1）由题意得：第5个图案中基本图形的个数：5+2×6＝17，故答案为：17；（2）由题意得：第n个图形中基本图形的个数为：n+2（n+1）＝3n+2，∵第n个图案中有2024个基本图形，∴3n+2＝2024，解得：n＝674．【变式5-4】（2023•金寨县一模）为了渲染新年喜庆氛围，某人民广场用鲜花摆出不同的造型，小明同学把每盆花用点在纸上表示出来，如图所示．[观察思考]第1个图形有4盆花，第2个图形有6盆花，第3个图形有8盆花，第4个图形有10盆花，以此类推．[规律总结]（1）第5个图形有12盆花；（2）第n个图形中有（2n+2）盆花（用含n的代数式表示）；[问题解决]（3）现有2023盆花，若按此规律摆出一个图形，要求剩余花盆数最少，则可摆出第几个图形？【答案】（1）12；（2）（2n+2）；（3）1010．【解答】解：第1个图形有（1+1）×2＝4盆花，第2个图形有（2+1）×2＝6盆花，第3个图形有（3+1）×2＝8盆花，第4个图形有（4+1）×2＝10盆花，第5个图形有（5+1）×2＝12盆花，……第n个图形有（n+1）×2＝（2n+2）盆花，（1）第5个图形有12盆花，故答案为：12；（2）第n个图形有（2n+2）盆花，故答案：（2n+2）；（3）2n+2≤2023，解得：n≤1010.5，当n＝1010时，2n+2＝2022，2023﹣2022＝1，所以2023盆花，要求剩余花盆数最少，则可摆出第1010个图形．例6.（2022秋•黔江区期末）（1）为了计算1+2+3+⋯+8的值，我们构造图形（图1），共8行，每行依次比上一行多一个点．此图形共有（1+2+3+⋯+8）个点．如图2，添出图形的另一半，此时共8行9列，有8×9＝72个点，由此可得1+2+3+⋯+8＝×（1+8）×9＝36．用此方法，可求得1+2+3+⋯+20＝210（直接写结果）．（2）观察下面的点阵图（如图3），解答问题：填空：①1+3+5+⋯+49＝625；②1+3+5+⋯+（2n+1）＝（n+1）2．（3）请构造一图形，求（画出示意图，写出计算结果）．【答案】（1）210；（2）625；（n+1）2；（3）1﹣．【解答】解：（1）1+2+3+…+20＝（1+20）×20＝21×10＝210；故答案为：210；（2）由点阵图可知：一个数时和为1＝12，2个数时和为4＝22，3个数时和为9＝32，…，n个数时和为n2．①∵1+3+5+…+49中有25个数，∴1+3+5+…+49＝252＝625．②∵1+3+5…+（2n+1）中有（n+1）个数，∴1+3+5…+（2n+1）＝（n+1）2．故答案为：625，（n+1）2；（3）由题意画出图形如下：假定正方形的面积为1，由图可知＝1﹣．【变式6-1】（2023•五华县校级开学）如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形，接着把其中一个面积为的长方形等分成两个面积为的正方形，再把其中一个面积为的正方形等分成两个面积为的长方形，如此进行下去，…．（1）试利用图形揭示规律，计算：＝，并使用代数方法说明你的结论正确；（2）请你再设计一个能求出的值的几何图形．【答案】（1）；（2）见解答．【解答】解：（1）由图可知，+…＝1﹣＝；证明如下：+…＝+++...+＝＝＝＝＝；（2）如下图：【变式6-2】（2022秋•双牌县期末）【阅读】求值1+2+22+23+24+…+210解：设S＝1+2+22+23+24+ (210)将等式①的两边同时乘以2得：2S＝2+22+23+24+25+ (211)由②﹣①得：2S﹣S＝211﹣1即：S＝1+2＝22+23+24+…+210＝211﹣1【运用】仿照此法计算：（1）1+3+32+33+34+ (350)（2）1++++…+．（3）【延伸】如图，将边长为1的正方形分成4个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形为S1，选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到左上角更小的正方形S2，依次操作2022次，依次得到小正方形S1、S2、S3、…、S2022．完成下列问题：①小正方形S2022的面积等于；②求正方形S1、S2、S3、…、S2022的面积和．【答案】（1）；（2）2﹣；（3）①；②．【解答】解：（1）设S＝1+3+32+33+34+…+350①，①×3，得：3S＝3+32+33+34+35+…+351②，②﹣①，得：2S＝351﹣1，则S＝，即1+3+32+33+34+…+350＝；（2）设S＝1++++…+①，①×，得：S＝++++…+②，②﹣①，得：﹣S＝﹣1，∴S＝2（1﹣）＝2﹣，即1++++…+＝2﹣；（3）∵S1＝（）2＝，S2＝S1＝，S3＝S2＝，…，∴S2022＝，故答案为：；②设S＝S1+S2+S3+…+S2022＝+++…+①，①×，得：S＝+++…+②，①﹣②，得：S＝﹣，∴S＝（﹣）＝，即S1+S2+S3+…+S2022＝．例7.（2022秋•达川区期末）五一期间，某人民广场的一个公共区域用盆栽进行了美化，盆栽按如图的方式摆放，图中的盆栽被折线隔开分成若干层，第一层有1个盆栽，第二层有3个盆栽，第三层有5个盆栽，第四层有7个盆栽，…，以此类推，请观察图形规律，解答下列问题：（1）计算：1+3+5+…+99＝2500；（2）拓展应用：求101+103+105+…+999的值．【答案】（1）2500；（2）247500．【解答】解：（1）根据题意可得，1+3+5+…+99＝502＝2500，故答案为：2500；（2）1+3+5+…+101+103+105+…+999＝5002＝250000，1+3+5+…+99＝502＝2500，101+103+105+…+999＝1+3+5+…+101+103+105+…+999﹣（1+3+5+…+99）＝250000﹣2500＝247500，∴101+103+105+…+999的值为247500．【变式7-1】（2023•定远县一模）图1是由若干个小圆圈推成的一个形如等边三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共推了n层．将图1倒置后与原图1排成图2的形状，这样图2中每一行的圆圈数都是n+1．我们可以利用“倒序相加法”算出图1中所有圆圈的个数为：．（1）按照图1的规则摆放到第12层时，求共用了多少个圆圈；（2）按照图1的规则摆放到第19层，每个圆圈都按图3的方式填上一串连续的正整数：1，2，3，4，……，则第19层从左边数第二个圆圈中的数字是173．【答案】（1）78个；（2）173．【解答】解：（1）图1中所有圆圈的个数为：（个），当n＝12时，（个），答：摆放到第12层时，求共用了78个圆圈；（2）图3中，第18层最右边的数字是：＝171（个），则图3中第19层从左边数第二个圆圈中的数字是是：171+2＝173（个），故答案为：173．【变式7-2】（2023•萧县一模）观察如图中用小黑点摆成的三角形，并根据图中规律回答相关问题．（1）第4个图形对应的等式为1+2+3+4+5＝；（2）若第n个图形对应的黑点总数为66个，求n的值．【答案】（1）1+2+3+4+5＝；（2）10．【解答】解：（1）由题意得：第4个图形对应的等式为：1+2+3+4+5＝，故答案为：1+2+3+4+5＝；（2）由题意得：第n个图形对应的等式为：1+2+3+…+（n+1）＝，∴，解得：n＝10．1．（2023•安徽）【观察思考】【规律发现】请用含n的式子填空：（1）第n个图案中“◎”的个数为3n；（2）第1个图案中“★”的个数可表示为，第2个图案中“★”的个数可表示为，第3个图案中“★”的个数可表示为，第4个图案中“★”的个数可表示为，……，第n个图案中“★”的个数可表示为．【规律应用】（3）结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得连续的正整数之和1+2+3+……+n等于第n个图案中“◎”的个数的2倍．【答案】（1）3n；（2）；（3）11．【解答】解：（1）∵第1个图案中“◎”的个数为：3＝1+2，第2个图案中“◎”的个数为：6＝1+2+2+1，第2个图案中“◎”的个数为：6＝1+2+2+3+1，…，∴第n个图案中“◎”的个数：1+2（n﹣1）+n+1＝3n，故答案为：3n；（2）由题意得：第n个图案中“★”的个数可表示为：；故答案为：；（3）由题意得：＝2×3n，解得：n＝11或n＝0（不符合题意）．2．（2023•浙江）观察下面的等式：32﹣12＝8×1，52﹣32＝8×2，72﹣52＝8×3，92﹣72＝8×4，…（1）写出192﹣172的结果；（2）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）；（3）请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．【答案】（1）72；（2）（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；（3）见解答．【解答】解：（1）∵17＝2×9﹣1，∴192﹣172＝8×9＝72；（2）由题意可得，（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；（3）∵（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝[（2n+1）+（2n﹣1）][（2n+1）﹣（2n﹣1）]＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n×2＝8n，∴（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n正确．3．（2022•嘉兴）设是一个两位数，其中a是十位上的数字（1≤a≤9）．例如，当a＝4时，表示的两位数是45．（1）尝试：①当a＝1时，152＝225＝1×2×100+25；②当a＝2时，252＝625＝2×3×100+25；③当a＝3时，352＝1225＝3×4×100+25；……（2）归纳：与100a（a+1）+25有怎样的大小关系？试说明理由．（3）运用：若与100a的差为2525，求a的值．【答案】（1）3×4×100+25；（2）＝100a（a+1）+25，理由见解答过程；（3）5．【解答】解：（1）∵①当a＝1时，152＝225＝1×2×100+25；②当a＝2时，252＝625＝2×3×100+25；∴③当a＝3时，352＝1225＝3×4×100+25，故答案为：3×4×100+25；（2）＝100a（a+1）+25，理由如下：＝（10a+5）（10a+5）＝100a2+100a+25＝100a（a+1）+25；（3）由题知，﹣100a＝2525，即100a2+100a+25﹣100a＝2525，解得a＝5或﹣5（舍去），∴a的值为5．4．（2022•安徽）观察以下等式：第1个等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，第2个等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，第3个等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，第4个等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．【答案】（1）（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2，（2）（2n+1）2＝[（n+1）×2n+1]2﹣[（n+1）×2n]2，证明过程见解答．【解答】解：（1）因为第1个等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，第2个等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，第3个等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，第4个等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，第5个等式：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2，故答案为：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2；（2）第n个等式：（2n+1）2＝[（n+1）×2n+1]2﹣[（n+1）×2n]2，证明：左边＝4n2+4n+1，右边＝[（n+1）×2n]2+2×（n+1）×2n+12﹣[（n+1）×2n]2＝4n2+4n+1，∴左边＝右边．∴等式成立．5．（2020•安徽）观察以下等式：第1个等式：×（1+）＝2﹣，第2个等式：×（1+）＝2﹣，第3个等式：×（1+）＝2﹣，第4个等式：×（1+）＝2﹣．第5个等式：×（1+）＝2﹣．…按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：×（1+）＝2﹣；（2）写出你猜想的第n个等式：×（1+）＝2﹣（用含n的等式表示），并证明．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）第6个等式：×（1+）＝2﹣；（2）猜想的第n个等式：×（1+）＝2﹣．证明：∵左边＝×＝＝2﹣＝右边，∴等式成立．故答案为：×（1+）＝2﹣；×（1+）＝2﹣．1．（2023•安徽二模）观察下列等式：第1个等式：1×2+1＝3；第2个等式：2×3+2＝8；第3个等式：3×4+3＝15；第4个等式：4×5+4＝24；…按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式：5×6+5＝35；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示，n≥1，且为整数），并证明．【答案】（1）5×6+5＝35；（2）n（n+1）+n＝n（n+2）．证明见解析．【解答】解：（1）∵第1个等式：1×2+1＝3；第2个等式：2×3+2＝8；第3个等式：3×4+3＝15；第4个等式：4×5+4＝24；∴第5个等式：5×6+5＝35；故答案为：5×6+5＝35；（2）根据（1）猜想第n个等式：n（n+1）+n＝n（n+2）．证明：∵等式左边＝n2+n+n＝n2+2n，等式右边＝n2+2n，∴左边＝右边，∴n（n+1）+n＝n（n+2）．2．（2022秋•南票区期中）观察下列等式．第一个等式：1﹣＝×；第二个等式：1﹣＝×；第三个等式：1﹣＝×；……按上述规律，回答下列问题：（1）请写出第四个等式：1﹣＝×；（2）计算：（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）×（1﹣）．【答案】（1）1﹣＝×；（2）．【解答】解：（1）1﹣＝×，故答案为：1﹣＝×；（2）（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）×（1﹣）＝××××…××××＝．3．（2022秋•大连月考）观察下列三行数：第一行：2，﹣4，8，﹣16，32，﹣64，…第二行：4，﹣2，10，﹣14，34，﹣62，…第三行：1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…（1）第一行数的第9个数为512，第二行数的第9个数为514，第三行数的第9个数为256；（2）第二、三行数与第一行相对应的数分别有什么关系；（3）第一行是否存在连续的三个数使得三个数的和是﹣384？若存在，求出这三个数，若不存在，请说明理由．【答案】（1）512，514，256；（2）第二行的每一个数是第一行的对应数加2，第三行的每一个数是第二行的对应数的；（3）不存在．【解答】解：（1）∵2，﹣4，8，﹣16，32，﹣64，…，∴第一行的第n个数是（﹣1）n+1•2n，∴第9个数是29＝512，第二行的每一个数是第一行的对应数加2，∴第二行的第n个数是（﹣1）n+1•2n+2，∴第二行的第9个数是514，第三行的每一个数是第二行的对应数的，∴第三行的第n个数是（﹣1）n+1•2n﹣1，∴第三行的第9个数是256，故答案为：512，514，256；（2）由（1）可得第二行的每一个数是第一行的对应数加2，第三行的每一个数是第二行的对应数的；（3）不存在连续的三个数使得三个数的和是﹣384，理由如下：设三个连续的数是（﹣1）n•2n﹣1，（﹣1）n+1•2n，（﹣1）n+2•2n+1，∴（﹣1）n•2n﹣1+（﹣1）n+1•2n+（﹣1）n+2•2n+1＝﹣384，∴3×（﹣1）n•2n﹣1＝﹣384，∴n﹣1＝7，∴n＝8，∵n是奇数，∴不存在连续的三个数使得三个数的和是﹣384．4．（2023•合肥模拟）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：请根据上述规律解答下面的问题：（1）第6行有11个数；第n行有（2n﹣1）个数（用含n的式子表示）；（2）若有序数对（n，m）表示第n行，从左到右第m个数，如（3，2）表示6．①求（11，20）表示的数；②求表示2023的有序数对．【答案】（1）11，2n﹣1；（2）①120；②（45，87）．【解答】解：（1）第6行有：2×6﹣1＝11个数；第n行有（2n﹣1）个数，故答案为：11，2n﹣1；（2）①∵第11行有2×11﹣1＝21个数，且最末尾的数是112＝121，而（11，20）表示第11行的第20个数，∴（11，20）表示的数是121﹣1＝120；②∵442＝1936，452＝2025，∴442＜2023＜452，∴2023位于第45行，∵第45行有45×2﹣1＝89个数，而2023与2025相差2个数，∴2023位于第45行的第87个数，∴表示2023的有序数对是（45，87）．5．（2023•蜀山区校级模拟）从2开始，连续的偶数相加，观察下列各式：2＝12+1．2+4＝22+2．2+4+6＝32+3．2+4+6+8＝42+4．…根据规律，解答下列问题：（1）写出第5个等式：2+4+6+8+10＝52+5；（2）①写出第n个等式：2+4+6+…+2n﹣2+2n＝n2+n；（用n表示）②计算：102+104+106+…+198+200．【答案】（1）2+4+6+8+10＝52+5；（2）①2+4+6+…+2n﹣2+2n＝n2+n；②7550．【解答】解：（1）由题意得：第5个等式为：2+4+6+8+10＝52+5，故答案为：2+4+6+8+10＝52+5；（2）①由题意得：第n个等式为：2+4+6+…+2n﹣2+2n＝n2+n，故答案为：2+4+6+…+2n﹣2+2n＝n2+n；②102+104+106+…+198+200＝2+4+6+...+198+200﹣（2+4+6+ (100)＝1002+100﹣（502+50）＝10000+100﹣2500﹣50＝7550．6．（2023春•邗江区月考）阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22019的值．解：设S＝1+2+22+23+24+…+22018+22019…①则2S＝2+22+23+24+25+…+22019+22020…②②﹣①，得2S﹣S＝22020﹣1即S＝22020﹣1∴1+2+22+23+24+…+22019＝22020﹣1仿照此法计算：（1）计算：1+3+32+33+34+ (32023)（2）计算：1++++…++＝2﹣（直接写答案）．【答案】（1）＝；（2）2﹣．【解答】解：（1）设S＝1+3+32+33+34+…+32023①，则3S＝3+32+33+34+…+32023+32024②，②﹣①，得：3S﹣S＝32024﹣1，即S＝，∴1+3+32+33+34+…+32023＝；（2）设S＝1++++…++①，则S＝+++…+++②，①﹣②，得：S﹣S＝1﹣，即S＝2﹣，∴+++…++＝2﹣．故答案为：2﹣．7．（2023•安徽模拟）【数学阅读】计算：1+2+3+ (100)解：设S＝1+2+3+6+…+100，①则S＝100+99+98+…+1，②①+②（即左右两边分别相加），得：2S＝（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（100+1）＝100×101．所以，所以1+2+3+…+100＝5050．【问题解决】利用上面的方法解答下面的问题：（1）猜想：1+2+3+…+n＝（用含n的式子表示）；（2）利用（1）中的结论，计算：1001+1002+ (2000)【答案】（1）；（2）1500500．【解答】解；（1）设S＝1+2+3+⋯+n，①则S＝n+⋯+3+2+1，②①+②得2S＝n+1+⋯+n+1+n+1，所以，故答案为：；（2）由（1）可知．8．（2023•瑶海区校级模拟）观察下列等式的规律，并解决问题：第1个等式：1+．第2个等式：2+．第3个等式：3+．……（1）请写出第4个等式：4+＝52×；（2）请用含n的式子表示你发现的规律，并证明．【答案】（1）4+＝52×；（2）规律：n+，见解答过程．【解答】解：（1）第4个等式为：4+＝52×．故答案为：4+＝52×；（2）规律：n+，证明：左边＝＝＝＝（n+1）2×＝右边，故规律成立．9．（2022秋•西山区期末）观察下列等式：a1＝+＝；a2＝+＝；a3＝+＝；…（1）猜想并写出第6个等式a6＝．；（2）猜想并写出第n个等式a n＝；（3）证明（2）中你猜想的正确性．【答案】（1）；（2）；（3）见解答过程．【解答】解：（1）由题意得：第6个等式a6＝．故答案为：；（2）由题意得：第n个等式a n＝．故答案为：；（3）（2）中的等式左边＝＝＝＝＝右边．故猜想成立．10．（2023•来安县二模）如图，某医院广场上的图案由红、白两色正方形地砖铺成，这些地砖除颜色外，形状、大小均相同．当中间的红色地砖只有1块时，四周的白色地砖有4块（如图1），当中间的红色地砖有4块时，四周的白色地砖有8块（如图2），以此类推．（1）当红色正方形地砖为16块时，白色地砖为16块；（2）当白色正方形地砖为n（n为4的整数倍）时，红色地砖为块；（3）已知该医院的另一个广场上也按此规律建图案，且红色地砖比白色地砖多用了140块，求这个广场上的图案分别用红、白两色地砖的块数．【答案】（1）16；（2）；（3）这个广场上的图案分别用红、白两色地砖的块数分别为196和56块．【解答】解：（1）图1，红色正方形地砖为1＝12块，白色地砖为4＝（1×4）块；图2，红色正方形地砖为4＝22块，白色地砖为8＝（2×4）块；图3，红色正方形地砖为9＝32块，白色地砖为12＝（3×4）块；…图n，红色正方形地砖为n2块，白色地砖为4n块；∵n2＝16，∴n＝4（负值不符合题意，已舍去），∴白色地砖为4×4＝16；（2）第x个图中白色正方形地砖为n，根据（1）的规律，得，∴红色地砖为；（3）设用红色地砖的块数为x2，则用白色地砖的块数为4x，根据的规律得：x2﹣4x＝140，解得x＝14，x＝﹣10（不合题意，舍去），∴x2＝142＝196，4x＝4×14＝56，答：这个广场上的图案分别用红、白两色地砖的块数分别为196和56块．11．（2023•合肥模拟）丰艳花卉市场将深色和浅色两种花齐摆成如图所示的排列图案，第1个图案需要5盆花卉，第2个图案需要13盆花卉，第3个图案需要25盆花卉，以此类推．按照以上规律，解决下列问题：（1）第4个图案需要花卉41盆；（2）第n个图案需要花卉[n2+（n+1）2]盆（用含n的代数式表示）；（3）已知丰艳花卉市场春节期间所摆的花卉图案中深色花卉比浅色花卉多101盆，求该花卉图案中深色花卉的盆数．【答案】（1）41；（2）[n2+（n+1）2]；（3）2601．【解答】解：（1）第1个图案需要花卉的盆数为：5＝1+4＝12+22，第2个图案需要花卉的盆数为：13＝2×2+3×3＝22+32，第3个图案需要花卉的盆数为：25＝3×3+4×4＝32+42，第4个图案需要花卉的盆数为：4×4+5×5＝42+52＝16+25＝41，故答案为：41；（2）由（1）可得：第n个图案需要花卉的盆数为：n2+（n+1）2；故答案为：[n2+（n+1）2]；（3）设第m个花卉图案中深色花卉比浅色花卉多101盆，由题意得：（m+1）2﹣m2＝101，解得：m＝50，512＝2601，答：该花卉图案中深色花卉的盆数为2601．12．（2023•庐阳区校级三模）将若干枚黑白棋子按照一定规律摆放成三角形阵，前5次摆放的情况如图所示．如果按照此规律继续摆放三角形阵，请解决下列问题：（1）第6个图案中，黑棋子的个数为15，白棋子的个数为21；（2）第n个图案中，黑棋子的个数为，白棋子的个数为3n+3；（用含n 的式子表示）（3）当摆放到第8个三角形阵时，该三角形阵中的黑棋子数第一次比白棋子多．【答案】（1）15，21；（2），3n+3；（3）8．【解答】解：（1）第6个图案中，黑棋子的个数为15，白棋子的个数为21；故答案为：15，21；（2）由图可知，白棋子的变化规律为每次增加3个，则第n个图案中白棋子的个数为3n+3，黑棋子的变化为：n＝1时，0个；n＝2时，0+1＝1个；n＝3时，0+1+2＝3个；n＝4时，0+1+2+3＝6个；故第n个图案中黑棋子个数为0+1+2+3+...+（n﹣1）＝•（n﹣1）＝；故答案为：，3n+3；（3）＝3n+3，n2﹣7n﹣6＝0，解得：n＝，n＝（不符题意，舍去），∴＞3n+3，n＞，∵n取正整数，且黑棋子第一次比白棋子多，∴n＝8．当摆放到第8个三角形阵时，该三角形阵中的黑棋子数第一次比白棋子多．故答案为：8．13．（2023•蜀山区一模）如图中，图（1）是一个菱形ABCD，将其作如下划分：第一次划分：如图（2）所示，连接菱形ABCD对边中点，共得到5个菱形；第二次划分：如图（3）所示，对菱形CEFG按上述划分方式继续划分，共得到9个菱形；第三次划分：如图（4）所示，…依次划分下去．（1）根据题意，第四次划分共得到17个菱形，第n次划分共得到（1+4n）个菱形；（2）根据（1）的规律，请你按上述划分方式，判断能否得到2023个菱形？为什么？【答案】（1）17；（1+4n）；（2）不能，见解答过程．【解答】解：（1）∵第一次划分所得到的菱形的个数为：5＝1+4，第二次划分所得到的菱形的个数为：9＝1+4+4＝1+4×2，第三次划分所得到的菱形的个数为：13＝1+4+4+4＝1+4×3，∴第四次划分所得到的菱形的个数为：1+4×4＝17（个），第n次划分所得到的菱形的个数为：（1+4n）个，故答案为：17；（1+4n）；（2）不能，理由如下：1+4n＝2023，解得：n＝505.5，故不能得到2023个菱形．14．（2023•蜀山区校级模拟）同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：（1）图5有多少颗黑色棋子？（2）若第（n+2）个图形比第n个图形中多2021颗棋子，试求n的值．【答案】（1）19；（2）1008．【解答】解：（1）图1中有1个黑色棋子；图2中有（1+2）+1＝4个黑色棋子，比图1多3个；图3中有（1+2+3）+2＝8个黑色棋子，比图2多4个；图4中有（1+2+3+4）+3＝13个黑色棋子，比图3多5；图5中有（1+2+3+4+5）+4＝19个黑色棋子，比图4多6个；∴图5有多少颗黑色棋子19个；（2）由（1）得：第（n+2）个图形比第n个图形中多（n+3）+（n+2）＝（2n+5）颗棋子，∴2n+5＝2021，解得：n＝1008，所以n是值为：1008．15．（2023春•莱芜区月考）用同样规格的黑，白两种颜色的正方形瓷砖按如图所示的方式铺宽为1.5米的小路．（1）铺第6个图形用黑色正方形瓷砖25块，用白色正方形瓷砖14块；（2）按照此方式铺下去，铺第n个图形用黑色正方形瓷砖（4n+1）块，用白色正方形瓷砖（2n+2）块（用含n的代数式表示）；（3）在（2）的基础上，若黑，白两种颜色的瓷砖规格都为（长为0.5米×宽0.5米），若按照此方式铺满一段总面积为24.75平方米的小路时，n是多少？【答案】（1）25，14（2）2n+2块．（3）16．【解答】解：（1）第1个图形中有1+4＝5个黑色正方形瓷砖，有2+2＝4个白色瓷砖；第2个图形中有1+4×2＝9个黑色正方形瓷砖，有2+2×2＝6个白色瓷砖；第3个图形中有1+4×3＝13个黑色正方形瓷砖，有2+2×3＝8个白色瓷砖；……，第n个图形中有（1+4n）个黑色正方形瓷砖，有（2+2n）个白色瓷砖；4n∴第6个图形中有25个黑色正方形瓷砖，有14个白色瓷砖；故答案为：19，14；（2）由（1）知：第n个图形中有（1+4n）个黑色正方形瓷砖，有（2+2n）个白色瓷砖，故答案为：（1+4n），（2+2n）；（3）第n个图形中有（1+4n）个黑色正方形瓷砖，有（2+2n）个白色瓷砖，故第n个图形中有（1+4n）+（2n+2）＝（6n+3）个正方形瓷砖；∴（6n+3）×0.25＝24.75，解得：n＝16．16．（2022秋•绥德县期末）如图，第1个图中有1颗棋子，第2个图中有5颗棋子，第3个图中有9颗棋子，第4个图中有13颗棋子，…，以此类推．（1）第6个图中有21棋子；（2）用含a的代数式表示第a个图中棋子的颗数；（3）第多少个图中有505颗棋子？【答案】（1）21个；（2）4a﹣3；（3）第127个图中有505棋子．【解答】解：（1）第6个图中有1+4×（6﹣1）＝21（个），故答案为：21；（2）用含a的代数式表示第a个图中棋子的颗数为1+4（a﹣1）＝4a﹣3；（3）由（2）可知，4a﹣3＝505，解得a＝127，答：第127个图中有505棋子．17．（2022秋•长春期末）【方法指引】利用图形来表示数量或数量关系，也可以利用数量或数量关系来描述图形或图形之间的关系，这种思想方法称为数形结合．【方法生成】将一个边长为1的正方形纸片分割成若干个部分，请利用数形结合的思想解决下列问题：（1）；（2）；（3）；【方法迁移】（4）＝1﹣；【灵活运用】（5）＝1﹣．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）1﹣；（5）1﹣．【解答】解：（1）；（2）；（3）；【方法迁移】（4）＝1﹣；【灵活运用】（5）＝1﹣．故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）1﹣；（5）1﹣．18．（2023•定远县校级二模）为美化市容，某广场要在人行雨道上用10×20的灰、白两色的广场砖铺设图案，设计人员画出的一些备选图案如图所示．。
九年级秋季班-第10讲直线与圆圆与圆的位置关系(1)
直线与圆、圆与圆的位置关系内容分析直线与圆、圆与圆的位置关系是九年级下学期第一章第二节的内容．重点是理解直线与圆的三种位置关系和圆与圆之间的五种位置关系，掌握它们数量表达，并学会判断直线与圆、圆与圆的位置关系．难点是直线与圆、圆与圆位置关系在实际中的应用，及分类讨论的思想．知识结构模块一：直线与圆的位置关系知识精讲1、直线与圆的位置关系：相离、相切、相交当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离；当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切；这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点；当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交；这时直线叫做圆的割线．2、数量关系描述直线与圆的位置关系如果O 的半径长为R，圆心O 到直线l 的距离为d，那么：直线l 与O 相交⇔ 0 ≤d <R ；直线l 与O 相切⇔d =R ；直线l 与O 相离⇔d >R ．3、切线的判定定理经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．BOA【例1】 在 ∆ABC 中， ∠C = 90︒ ，AC = 3 cm ，BC = 4 cm ，以 C 为圆心，r 为半径的圆与 AB 有怎样的位置关系？为什么？（1）r = 2 cm ；（2）r = 2.4 cm ；（3）r = 3 cm ．【例2】 经过 O 上一点 P 作 O 的切线．【例3】 已知， O 的圆心 O 的坐标是（4，6），半径为 5，则 x 轴与 O 的位置关系是．【例4】 直线 l 与半径为 r 的 O 相交，且点 O 到直线 l 的距离为 5，则 r 的取值范围是．【例5】 如图，在射线 OA 上取一点 A ，使 OA = 4 cm ，以 A 为圆心，作一个直径为 4 cm的圆．问射线 OB 与 OA 所夹锐角α 取怎样的值时，OB 与 O 相离、相切、相交？【例6】 等腰∆ABC ，AB = AC = 5，CB = 6，以 BC 中点为圆心作圆，两腰所在直线与圆相离，则半径 r 的取值范围为．【例7】 在 ∆ABC 中， ∠C = 90︒ ，AC = 5，BC = 12，若以 C 为圆心，R 为半径，所作的圆与斜边 AB 没有公共点，则 R 的取值范围是．例题解析OP2 yAO P BxO 2 2 【例8】 如图，已知 是以平面直角坐标系的原点 O 为圆心，半径为 1 的圆，∠AOB = 45︒ ，点 P 在 x 轴上运动，若过点 P 且与 OA 平行的直线与有公共点， 设 P 的横坐标为 x ，则 x 的取值范围是（ ）A ． 0 ≤ x ≤B ． - ≤ x ≤C ． -1 ≤ x ≤ 1D ． x >【例9】 在 ∆ABC 中， AB = 4 ， AC = 2 ，若以 A 为圆心，2 为半径的圆与直线 BC相切，则∠BAC 的度数为 ．【例10】 如图，AB 是 O 的弦，C 是 O 外一点，OC 交 AB 于点 D ，若OA ⊥ OC ，CD = CB ．求证：CB 是 O 的切线．【例11】 已知：如图， O 的半径为 6 cm ， OD ⊥ AB ，垂足为点 D ， ∠AOD = ∠B ，AD = 12 cm ，BD = 3 cm ． 求证：AB 是 O 的切线．AODCBOADB22CDAOB【例12】 如图，在∆ABC 中， ∠C = 90︒ ，AC = 5，BC = 12， O 的半径为 3．（1）当圆心 O 与 C 重合时， O 与 AB 的位置关系怎样？ （2）若点 O 沿 CA 移动时，当 OC 为多少时， O 与 AB 相切； （3）若点 O 沿 CA 移动时，当 OC 为多少时， O 与 AB 有公共点．BAC (O )【例13】 如图，AB 是 O 的直径，BC 是 O 的切线，切点为 B ，OC 平行于弦AD ． 求证：DC 是 O 的切线．【例14】 已知，如图，在梯形 ABCD 中，AD // CB ， ∠D = 90︒ ，且 AD + BC = AB ，AB为 O 的直径．求证： O 与 CD 相切．A DOB CBC OA1、 圆与圆的位置关系外离：图 1 中，两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做这两个圆外离．外切：图 2 中，两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做这两个圆外切．这个唯一的公共点叫做切点．相交：图 3 中，两个圆有两个公共点，叫做这两个圆相交．内切：图 4 中，两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做这两个圆内切．这个唯一的公共点叫做切点．内含：图 5 中，两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做这两个圆内含．当两个圆心重合时，称它们为同心圆．综上，一般地，两圆的位置关系有五种情况：外离、外切、相交、内切、内含．两个圆外离或内含时，也可以叫做两圆相离；两个圆外切或者内切时，也可以叫做两圆相切． 2、 相关概念圆心距：两个圆的圆心之间的距离叫做圆心距． 连心线：经过两个圆圆心的直线叫做连心线．图 5 图4模块二：圆与圆的位置关系知识精讲图 1图 2 图 33、 两圆位置关系的数量表达如果两圆的半径长分别为 R 1 和 R 2 ，圆心距为 d ，那么两圆的位置关系可用 R 1 、R 2 和 d 之间的数量关系表达，具体表达如下：两圆外离⇔ d > R 1 + R 2 ； 两圆外切⇔ d = R 1 + R 2 ； 两圆相交⇔ R 1 - R 2 < d < R 1 + R 2 ；两圆内切⇔ 0 < d = R 1 - R 2 ；两圆内含⇔ 0 ≤ d < R 1 - R 2 ．4、 相关定理（1）如果两圆相交，那么它们的两个交点关于连心线对称，于是，可推出以下定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦．（2）如果两圆相切，可归纳出以下定理：相切两圆的连心线经过切点．【例15】 （1）一个圆的半径为 9 厘米，另一圆的半径为 4 厘米，圆心距为 3 厘米，判断两个圆的位置关系（2）相切两圆的圆心距为 5，其中一个圆的半径为 3，那么另一个圆的半径是多少？【例16】 两圆的半径比为 2 : 3，圆心距等于小圆半径的 2 倍，则这两个圆的位置关系是（）A ．相离B ．外切C ．相交D ．内切或内含【例17】 两圆的圆心坐标分别为（ 3 ，0）和（0，1）它们的半径分别是 3 和 5，则这两个圆的位置关系是．【例18】 设 R 、r 是两圆的半径，d 为圆心距，如果它们满足 R 2 - r 2 - 2Rd + d 2 = 0 ，那么这两个圆的位置关系是（ ）A ．外离B ．相切C ．相交D ．内含例题解析A CB【例19】 若三圆两两相交得到三条公共弦，则这三条弦所在直线的位置关系是（）A ．平行B ．相交于一点C ．平行或交于一点D ．有两条弦平行，第三条与它们相交【例20】 如图，已知 A 、 B 和 C 两两外切，AB = 5 厘米，BC = 6 厘米，AC = 7 厘米，求这三个圆的半径．【例21】 已知 O 1 与 O 2 相交于 A 、B 两点， O 1 与 O 2 的半径分别为 2 和 ，公共弦长为 2，则∠O 1 AO 2 = ．【例22】 如图，两圆轮叠靠在墙边，已知两轮半径分别为 4 和 1，则它们与墙的切点 A 、B 间的距离为．【例23】 如图，以O 2 为圆心的两个同心圆和求证：四边形 ABCD 为等腰梯形．O 1 分别交于 A 、B 、C 、D 四点．ABA DC B2【例24】 如图， O 1 、 O 2 外切与点 A ，过点 A 的直线分别交 O 1 和 O 2 于点 P 、C ．求证： PA : PC O 1 A : O 1O 2 ．【例25】 已知相交两圆的半径分别为 5 和 4，公共弦长为 6，求两圆的圆心距长．【例26】 如图，矩形 ABCD ，AB = 5，BC = 12．分别以 A 、C 为圆心的两圆相切，点 D在圆 C 内，点 B 在圆 C 外，求圆 A 的半径 r 的取值范围．【例27】 如图，PQ = 10，以 PQ 为直径的圆与一个半径为 20 的圆内切于点 P ．正方形ABCD 的顶点 A 、B 在大圆上，小圆在正方形外部，且与 CD 相切与点 Q ，求 AB 的长．ADBCC APQ ODB PAC3【例28】 （1）计算：如图 1，直径为 a 的三等圆 O 1 、 O 2 、 O 3 两两外切，切点分别为 A 、B 、C ，求O 1 A 的长（用含 a 的代数式表示）；（2）探索：若干个直径为 a 的圆圈分别按如图 2 所示的方案一和如图 3 所示的方案 2 的方式排放，探索并求出这两种方案中 n 层圆圈的高度h n 和 h’n （用含 n 和 a 的代数式表示）；（3）应用：现有长方体集装箱，其内空长为 5 米，宽为 3.1 米，高为 3.1 米．用 这样的集装箱装运长为 5 米，底面直径（横截面的外圆直径）为 0.1 米的圆柱形钢管，你认为采用（2）中的哪种方案在该集装箱中装运钢管最多？并求出这样的集装箱最多能装运多少根钢管？（ 1.73 ）B C A图 1n 层 n 层…………3 层 3 层 h’n2 层1 层2 层 1 层图 2图 3h’1h’2h’3……【例29】 如图，正方形 ABCD 中，E 为 BC 边上一点，以 E 为圆心、EC 为半径的半圆与以 A 为圆心、AB 为半径的圆弧外切，求sin ∠EAB 的值．【例30】 如图， O ' 经过 O 的圆心，E 、F 是两圆的交点，直线OO ' 交于点 Q 、D ，交 O ' 于点 P ，交 EF 于点 C ，且 EF = 2 15 ， sin ∠P = 1．4 （1）求证：PE 是 O 的切线； （2）求 O 和 O ' 的半径的长．DC EFABE QO C D PF【习题1】 已知 O 的直径为 10 厘米，如果一条直线和圆心 O 的距离为 10 厘米，则这条直线和这个圆的位置关系为（ ） A ．相离B ．相切C ．相交D ．相交或相离【习题2】已知在∆ABC 中，∠ABC = 90︒ ，AB = 4，BC = 3，以 A 为圆心，以 r 为半径的圆与 BC 有公共点，则 r 的取值范围是．【习题3】已知 O 1 和 O 2 的半径分别是 5 厘米和 7 厘米，圆心距O 1O 2 是 2 厘米，则这两个圆的位置关系是（ ）A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切【习题4】已知两圆的半径之比为 3 : 5，两圆内切时，圆心距为 6，则两圆的半径分别是，这两圆外切是，圆心距为．【习题5】已知点 A 和点 B 都在 x 轴上，分别以点 A 和点 B 为圆心的两圆相交于点M （ 3a - b ，5）、N （9， 2a + 3b ），则a b 的值为．【习题6】 如图， O 的半径为 3 厘米，B 为 O 外一点，OB 交 O 于点 A ，AB = OA ，动点 P 从点 A 出发，以π 厘米/秒的速度在 O 上按逆时针方向运动一周回到点 A 立即停止．当点 P 运动的时间为秒时，BP 与 O 相切．POAB【习题7】在直角坐标系中， A 与 B 只有一个公共点， A 和 B 的半径分别为 2和 6，点 A 的坐标为（2，1），点 B 为 x 轴上一点，求点 B 的坐标．随堂检测O 1【习题8】如图，等边∆ABC 的边长为 10，以 AB 为直径作 O 1 ，点O 2 在 BC 边上，且CO 2 = 2 ，以O 2 为圆心，O 2C 为半径作并证明你的结论．O 2 ，请判断 O 1 与 O 2 的位置关系，【习题9】如图， O 和相交于 A 、B 两点，O A = 3 5 ，O A = 5 ，cos ∠AO B =3．11215求： sin ∠BAO 2 的值．【习题10】 如图，三个半圆的半径均为 R ，它们的圆心C 1 、C 2 、C 3 在同一条直线上，且每一圆心都在另一半圆的圆周上． 半径，求 R : r ．C 4 与这三个半圆均相切，用 r 表示 C 4 的ABCAB【作业1】 O 的半径为 R ，直线 l 和 O 有公共点，若圆心到直线 l 的距离是 d ，则 d 与 R 大小关系是（ ）A ． d > RB ． d < RC ． d ≥ RD ． d ≤ R【作业2】已知圆的直径是 13 厘米，圆心到直线 l 的距离为 6 厘米，则直线和这个圆的公共点的个数是个．【作业3】（1）有两个圆，一个圆的半径 R = 4，两圆的圆心距是 5，另一个圆的半径 r 满足什么条件时这两个圆外离？（2）两个圆的圆心距为 2 厘米，一个圆的半径为 10 厘米，要使这两个圆内含， 另一个圆的半径应满足什么条件？（3）已知两个圆内切，圆心距是 2 厘米，如果一个圆的半径是 3 厘米，那么另一圆的半径是多少？【作业4】O 的半径为 6， O 的一条弦 AB 长6 AB 的关系是．，以 3 为半径的同心圆与直线【作业5】 若线段 PQ 与 O 只有一个公共点，那么这条线段的两个端点 P 、Q 只能是 （ ）A ．至少有一点在圆外B ．至多有一点在圆内C ．P 、Q 两点中一定有一点在 O 外D ．一点在 O 的内部，另一点在 O 的外部；或 PQ 是 O 的切线，P 、Q 之一为切点【作业6】 在直角梯形 ABCD 中，AD // BC ， AB ⊥ AD ， AB = 10 3 ，AD 、BC 的长是方程 x 2 - 20x + 75 = 0 的两根，那么以点 D 为圆心、AD 为半径的圆与以点 C 为圆心、BC 为半径的圆的位置关系是．【作业7】已知 O 1 和 O 2 相交于 A 、B 两点，AB = 24， O 1O 2 = 25 ，O 1 的半径为20，求 O 2 的半径．课后作业3BCOA PD2【作业8】 如图，在矩形 ABCD 中，AB = 3，BC = 4，P 是边 AD 上一点（除端点外），过三点 A 、B 、P 作 O ． （1）指出圆心 O 的位置；（2）当 AP = 3 时，判断 CD 与 O 的位置关系； （3）当 CD 与 O 相切时，求 BC 被 O 截得的弦长．【作业9】 如图，在直角梯形 ABCD 中，AD // BC ，AB ⊥ BC ，AB = AD = 2，DC = 2 ，点 P 在边 BC 上运动，若以点 D 为圆心、1 为半径作 D ，以 P 为圆心、PC 长为半径作 P ，当 D 与 P 相切时，求 CP 的长．【作业10】 如图，扇形 OAB 的弦 AB = 18，半径为 6 的 C 恰与 OA 、OB 和 AB 相切，D 又与 C 、OA 、OB 相切，求 D 的半径．ADB P CABCM DN。
-五年级上数学试题——第10讲-期中复习(二)(沪教版)有答案
学员姓名： 学科教师：年 级： 辅导科目：授课日期时 间主 题 期中复习（二）教学内容1．掌握小数的乘除法综合运算及应用题的解答；2．理解平均数的概念及平均数的熟练应用。
（此环节设计时间在10－15分钟）教学设计：教师根据以下有理数章节的思维导图引导学生对本章节内容进行复习回顾，可以通过设置问题进行抢答（或点名提问）。
通过对小数乘除法章节内容的回顾完成相关的练习题。
概念易错题1、根据3.2÷1.25＝2.56，直接写出下面各题的商。
32÷1.25＝（ ） 3.2÷0.125＝（ ） 32÷0.125＝（ ）0.32÷1.25＝（ ） 0.32÷0.125＝（ ） 0.032÷0.125＝（ ）2、根据2988÷36＝83，用四舍五入法将下列各题的的数精确到百分位。
2.988÷36≈（ ） 29.88÷3600≈（ ）3、把0.3,0.30, 3.03,0.302&&&&&&&按从小到大的顺序排列。
（ ）4、0.600的计数单位是0.6计数单位的（ ）倍。
5、两个数的商是1.5,如果被除数缩小10倍，除数扩大100倍，商是（ ）。
6、5千克煤可供发电8度，每千克煤能发电（ ）度，发1度电需煤（ ）千克。
7、甲乙两数的差是11.52，甲数的小数点向右移动一位就等于乙数，甲数是（ ）。
8、() 6.8+⨯◊=V W ，如果 2.4⨯◊=V ，那么()◊⨯=W。
2、食堂4天烧煤800千克，照这样计算，8.8吨煤可以烧多少天？3、筑路队修一条路，每天修420米，3天修了一半多0.8千米，这条路有多少千米？4、原来买一箱桔子28.5元，现在桔子的单价增加了2倍，原来买60箱的钱，现在能买多少箱？（此环节设计时间在20－30分钟）例1、五年级两个班为希望工程捐款，一班42人共捐168元，二班45人共捐210元，平均每个班捐款多少元?例2、前几天，学校举行了献爱心活动，我们班52名同学分成4组，第1组捐款192元，第2组捐款212元，第3组捐款205元，第4组捐款198元，平均每组捐款多少元？例3、一个工厂前3天烧煤4.8吨：后4天烧煤7.8吨，这个工厂一星期平均每天烧煤多少吨 ？平均数的算法：此环节设计时间在60分钟左右（40分钟练习＋20分钟互动讲解）。
试卷分析失分原因和改进措施10篇
试卷分析失分原因和改进措施10篇试卷分析失分原因和改进措施2一、基本情况：三年级本次考人数22人，*均成绩84.13，及格率100%，优秀率45%。
本试卷考查了内容全面，主要分为三大块：基础知识、课内外阅读和习作。
二、具体情况及存在问题：<一>、看拼音写汉字：本题主要考查学生对字词的掌握情况，在我班中，有十人这题未得满分，这些学生存在的是拼音拼读错误，和书写错误。
虽然在*时中都有练习，反复考练，但是还是出现错误，这与老师*时抓的不够。
还有就是个别学生基础较差，*时作业完成不认真导致失分。
<二>、形近字组词这道题考察的是学生对相似字知识的掌握程度。
这个问题的学生在写作和构词方面有错误。
今后要改进教学方法，多练习。
<三>、选择正确读音*时复习的是多音字，这题考查的是课文和语文园地中的内容，并不是原封不动的题，有三个是出自课内，有一个是园地的，让学生自己分析选择哪个读音，这方面*时会做题，但是还是不够，复习未到位。
<四>、日积月累此题考查对课文内容的理解以及在中华园的阅读和记忆。
这道题失分的原因是有两个同学没时间写，可能是因为背诵不熟练，考试时突然忘了；别人会写，但是写出来的错误查不出来。
但是现在的背诵和默写不是简单的给分题，学生需要理解课文的内容。
丢分的原因是内容理解不正确，书写不正确。
对于拓展阅读，在文中有提及，并打印成论文发给学生，但有些学生不听，根本不知道。
<五>、课内外阅读课内阅读：这题相对简单，在复习的时候已经全面复习过，但是最后一题失分较多，考查的是对段意的概括。
虽然在*时已经在加强训练，可是有的还是不会概括，老师在培养学生概括、分析理解、分析能力培养不够。
课外阅读：失分较多，对文章内容不理解，学生对概括文章写的内容能力欠缺，审题不认真，教师要在教学中加强培养，加强*时的阅读理解训练，提高概括理解能力。
<六>、习作：大部分学生能根据要求进行写作，主要问题是个别学生书写还不够工整。
二年级下册数学讲义+试题- 估算与精确计算 沪教版(无答案)
第10讲估算与精确计算【知识要点】1、加减法的估算方法在估算时，可以用最接近的整十数或整百数进行估算。
例：462＋229＝691↓↓↓460＋230＝690例：482－317＝165↓↓↓480－320＝160用接近的整十数进行估算的结果更接近精确计算的结果；用接近的整百数进行估算，计算时要快得多，我们可以根据实际情况选择合理的方法。
2、加减法的验算加法的验算方法：交换加数，和减去其中一个加数，看是否等于另一个加数；减法的验算方法：被减数减差，差加减数。
【典型例题】例1、先用整十数、整百数的估算，再精确计算。
325＋503256＋624估：估：估：估：精：精：727－546923－797估：估：估：估：精：精：随堂练：先用整十数估算，再精确计算。
367＋411598＋362397＋188估：估：估：精：精：精：857－129 979－373911－569估： 估： 估： 精：精：精：例2、竖式计算。
438＋273＝687＋96＝178＋319＝826－568＝703－656＝916－639＝例3、填方框。
例4、看谁算得快。
500289-−−−→211 306109-−−−→197 495−−−→（ ） 531−−−→（ ） 310−−−→（ ） （ ）−−−→433 （ ）−−−→172900−−−→（ ）例5、填空。
（1）（）＋300＝（）－36＝672－（）＝59＋（）＝374（）－521＝（）＋77＝365＝129＋（）＝870－（）（2）346这个数，百位上的“3”表示（）个（），十位上的“4”表示（）个（），个位上的“6”表示（）个（）。
（3）3806里的“8”在（）位，表示（）个（），这个数的个位是（），表示（）个（）。
（4）用3、5、7可以组成（）种三位数，分别是（）。
（5）用0、5、7可以组成（）种三位数，分别是（）。
（6）用3、3、5可以组成（）种三位数，分别是（）。
（7）3265－□＝△（□为一位数）□最大填（）时，得数的十位不变。
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第十讲历年小升初择校考试题型简析1、成外成都外国语学校历年的语文考试题型和考题的难易度变化不大，一般满分100分，100分钟完卷。
其中“基础知识及运用”30分左右，阅读（含文言文阅读）30分左右，作文30分，其它（如应用文、小作文、语言运用等）5分左右。
基础从试题内容来看，成外历年的基础题题型较传统，主要以填空为主，对拼音、文字（辨字组词）、成语（补充成语、成语故事与人物）、句子（修辞、病句）等的考核主要内容还是在立足小学六年级的学业水平基础上，稍微增加了一点难度，一般来说成绩中等以上的同学只要认真、仔细，不出现失误，完成起来是不难的。
即便是稍难一点的古诗句部分，也主要是小学五六年级教材上的内容，有个别超出小学语文教材的题，也是一些比较常见的名诗名句。
如去年考的“，直挂云帆济沧海。
”这首李白所写的《行路难》，以前曾考过的“，柳暗花明又一村”等。
阅读与写作成外的阅读题和作文题也基本上是中规中矩，没有特别的出格。
如去年所考的现代文阅读《夏天，去拜访一只虫》、和前几年曾考过的《安塞腰鼓》《后生可畏》《丰碑》等题，也主要是从联系上下文理解词语、词语和句子的赏析、理解文章内容（根据文章内容回答问题）、谈感受和体会等方面考查考生的阅读理解能力和归纳概括能力。
从成外近些年的作文题来看，命题、半命题、材料、话题作文等各种题型都出现过。
如围绕“好奇心”这个话题，以“我曾有过一次……”，“最美的”等为题，体裁主要以记事为主的记叙文。
值得注意的是，成外的试题中也有一些考查我们语文能力和语文素养的智力训练和仿写等“活”题，令许多同学失分较多。
如：智能训练：●想象下面的图形象什么，想得越多越好，把想到的写下来。
（3分）●传说有人出了个上联考一位才子，这位才子毫不犹豫，当即对了个下联。
现在请你在才子下联的括号中填上恰当的字。
想一想，怎么填最好。
（6分）上联：天上月圆人间月半，月月月圆逢月半；下联：今夕（）尾明朝（）头，（）（）（）尾接（）头。
仿写句子：●鲁迅的犀利，张爱玲的幽怨，金庸的侠骨，托尔斯泰的深沉……都是书的世界中的藏品。
（4分），，，……都是书的世界中的藏品。
（答题方法详见“博达米老师”博客“小升初讲座第一讲”）●根据语境要求，仿照加点句子，任意选择奥运会的一个项目补写一句语，使语段完整，（1分）奥运会既是体育的盛会，也是美的盛会，每个体育项目几乎都是美的展示：举重是拔山．．．．．盖世之美，花样游泳是芙蓉出水之美．．．．．．．．．．．．．．．．，。
文言文：在成外的近年考试中，逐渐增加了与初中课内文言文同步训练的课外文言文阅读，如《曹操战吕布》《孔子犹江海》等，难度有所提升，需要大家按照文言文应试要求（详见“博达米老师”博客“小升初讲座第八讲”）认真准备。
小作文题另外，在成外历年的试题中，还有一类开放性的小作文题，以考查我们的知识面和积累与运用的能力，也应该引起我们的重视。
如：●根据要求写一段话（5分）除了汉字，中华民族还有许多传统文化值得称道。
比如国画、书法、中医、乐器、音乐、剪纸、传统节日等。
选择其中一项内容，写一段话，要有适当描写并表达出自己的感情。
一、这几天的天气怎么样？你感觉怎么样？请用几句话具体写下来。
（5分）●根据要求写一段话。
读书将是我们一辈子的生活；书籍将陪伴我们终身。
读好书将把我们引领到广阔的人生境界。
小学毕业了，你也读了不少好书了，你能向同学们推荐一本好书和大家分享吗？书名：作者：推荐理由（不少于100字）：难度指数：★★★2、成都实验外国语学校近年考试分析（以100或120分为满分，完卷时间为90分钟）1、基础实外前期的基础考题以“填空+选择”为主。
内容基本上还是以拼音（看拼音写词语），汉字(形近字、多音字、汉字改错)，修改病句，词语（注意对新词的理解，如“黑马”），句子的理解、排序，语言的实际运用，古诗句的积累以节日、文学常识为考点，间或有一些智力题，如：●模仿下列括号里的成语对前面数字的形象而别致的描述，在最后一个括号里填上一个合适的成语以形象地描述最后一个数。
（2分）①10000-0（万无一失）②10002=100×100×100（）③7÷2（）④1/100（）（分析详见“博达米老师”博客“小升初讲座第三讲”）自前年（2010年）始，实外的基础题型转向于以贴近中考题型的选择题为主，难度有所增加，但还在可以接受的范围。
如：A卷的第一题《道解都江堰》中，第1小题D选项：“堰”的词性是名词（表示事物名称的词），特殊情况下也可以作动词（表示行为动作变化的词）——超出教材。
B卷的第部分第3小题和第5小题对小学生来说略有难度，需要比较深厚的课外知识的积累，特别是对古代著名诗人轶事和一些成语故事要有一定程度的熟透了解。
●下面四则关于古人读书的故事，分别说的是谁？请将相应的序号填在括号里。
（4分）（1）他好读书而不求甚解，每有会意，便欣然忘食。
（）（2）他勤学却无钱买烛，只得在墙上凿洞，借邻人的烛光读书。
（）（3）他擅长书法，十二岁时见父亲有本《笔说》藏在枕头中，就迫不及待地读起来。
（）（4）他少年时就痴迷读书，曾经在梦中看到的用之笔开了花，后来果然“斗酒诗百篇”，被誉为“诗仙”。
（）A、匡衡B、陶渊明C、李白D、王羲之●根据提供的材料，在括号里写出相应的成语。
（3分）A、东晋谢安退职后在东山做隐士，后来又出任要职。
（）B、狐狸腋下的皮毛虽然很小，但是聚集起来就能缝成一件皮袄。
（）C、李白的《长干行》诗中有“郎骑竹马来，绕床弄青梅。
”（）D、《资治通鉴》中说：“世谓李林甫，口有蜜，腹有剑。
”（）E、韩愈《送浮屠文畅师序》中写道：“弱之肉，强之食。
”（）第8小题对古诗句“蝉噪林愈静，鸟鸣山更幽”的理解也适当增加了一些难度。
在实外去年（2011年）的语文试题中，难度更有所增加。
主要体现在：1、基础题中的字、词等注音和理解已基本超越小学教材；如：去年的A卷中对“踌躇满志、葱郁无垠、翱翔、穿梭、邂逅、烙印、羁绊”等词的注音的选择，就让许多小学生无所适从了。
2、考试范围扩大。
要求考生进一步更多更全面地熟悉和掌握古今中外著名作家的代表作品、名言等文学常识。
如考题中涉及屈原、陶渊明、李白、杜甫、文天祥、岳飞、苏轼、辛弃疾、蒲松龄，鲁迅、巴金、老舍，培根、苏格拉底等古今中外名人，这些已完全超越小学教材和一般小学生能掌握的内容。
随便举一例：●文中提到了李白、杜甫、苏格拉底和培根，下面各项关于他们的说法中，正确的一项是（）A．李白，字太白，号青莲居士，有“诗仙”之称。
《石壕吏》是他的作品。
B．杜甫，字退之，又称杜工部，生活在唐朝由盛转衰的历史时期。
其诗多反映社会矛盾、时局动荡、政治黑暗、人民疾苦，因而被誉为“诗史”。
（韩愈，字退之）C．苏格拉底（公元前469——公元前339），美国人，著名的思想家、哲学家，教育家，他和他的学生柏拉图及柏拉图的学生亚里士多德被并称为“三贤”。
（苏格拉底——古希腊的思想家、哲学家，教育家）D．“读史使人明智，读诗使人灵秀，数学使人周密，科学使人深刻，伦理学使人庄重，逻辑修辞之学使人善辨”是培根说的。
应试建议：对古今中外重要作家重要信息，如身份、代表作品、名言等要记熟。
此外，对《成都童谣》的赏析、对成都名胜古迹的对联等，都充满了浓郁的地方特色和生活气息，但考生多为不熟悉，甚至一头雾水。
2、现代文阅读：主要围绕概括文章，理解词语，理解句子含义，感悟寓意，谈自己对文章人物和事件的看法等，考查考生对文章的感悟理解能力、分析概括能力等语文综合素养和综合能力。
像下面一题，在平时的训练中就需特别注意其答题方法：●分析修辞手法的表达效果。
本文在描绘春天时运用了多种修辞手法，试写出两种，并结合文章句子说说它的表达效果。
（6分）①修辞手法：表达效果：②修辞手法：表达效果：（本句运用的修辞手法，把比作，生动、形象表现了的情形，说明。
详见“博达米老师”博客“小升初讲座第七讲”“题型5”）文言文阅读：文言文以问答为主，重点考核考生对文言文常用实词的掌握、对句子的理解，同时，还注重考核考生的相关的课外积累量和知识面。
如去年试题中的《解缙敏对》、《魏武见匈奴使（捉刀）》等。
09年试题中关于“孟母三迁”的试题，还考到了对孟子相前的介绍、名言，和《三字经》中涉及孟子的有关内容；去年的考题中《温总理妙用古诗文》等考试内容中，对考生考核的信息量较大。
针对文言文考试部分，希望大家按照“兰西小屋YY语音小升初语文讲座第八讲”上的相关要求进行准备。
作文：实外作文考试形式多样，从多个角度考查考生的语文综合素质。
如续写《花季女生首创网上作文大赛》，命题作文“在懦弱与勇敢之间”，半命题作文“（）触动了我的心灵”、“走近（书籍、自然、生活、古人……）”、“和 (朋友、亲人、自然、书本……)在一起”、“遇见（某个重要人物、重大事件或场景）”，想像作文砖坯的“再次的抉择”，看图作文《僵持》。
值得一提的是，除续写和想像作文外，其他作文已不再满足于单纯的写人记事，仅从题目上看，就有了议论文的影子，虽不要求完全的夹叙夹议，但至少也得一事一议，在作文中体现自己的观点、看法、感悟、体会等。
难度指数：★★★★☆3、七中嘉祥近年考试分析（以100分为满分，完卷时间为60或90分钟）七中嘉祥的试题一般为基础50分，阅读30分，作文20分。
七中嘉祥（九思）冬令营的试题一般为基础和阅读75—80分（其中文言文阅读约10分左右），作文20—25分。
嘉祥的试卷形式与成外相似，侧重于小学中常见的考试题型，基础以填空为主，阅读理解的难度一般，没过分超越小学毕业生的学习范围和要求。
但嘉祥历年的考试有几个特点需要引起我们的重视：一是时间要求较紧，七中嘉祥的试题一般是90分钟完卷，七中嘉祥（九思）冬令营的试题一般60分钟完卷，时间紧，内容较多，得抓紧时间答题。
二是注重对文言文的考核。
如：如《锅巴救命》、《溥幼嗜学》、《常羊学射》等文言篇目，都有一定难度，但七中嘉祥（九思）冬令营的试题难度稍有削弱，如《阮裕焚车》、《赵普》、《郑人买履》、《孟子语录》等。
三是重视考查学生的概括能力、思维能力和口语交际等。
嘉祥的几次考试都出现了对新闻内容的概括题。
如：●阅读下面这则消息，提取主要信息。
（不超过10个字）（4分）新华社6月1日电，国家林业局宣传办主任、新闻发言人曹清尧1日在国台办例行记者会上说，向台湾同胞赠送大熊猫的相关工作已经开始。
这对大熊猫一旦确定后，我们将公开为大熊猫征名，按照以往习惯，大熊猫将采取双名制，即乳名和大名，均为两个汉字，在大陆征集乳名，在台湾征集大名。
阅读下面两则材料，回答问题。
（4分）●（1）如果说外语是人生的工具，那么，母语毫无疑问是掌握工具的手。
可是，当中国人在投入巨大精力学习外语、应付外语考试的同时，却尴尬地发现，自己的母语水平正在明显下降。