第六章 约束优化方法

x0 2）选可行初始点
j 3） 产生k个n维随机单位向量： e =
r1 j j 1 r2 n ⋮ j 2 ∑ (ri ) rnj i =1
(j =1，2，…，k) 4）取试验步长α 0 ，计算k个随机点
x j = x 0 + α 0e j
( j = 1,2, ⋯ , k )
0
综上所述，产生可行搜索方向的条件可概括为，当 满足：
g j ( x L ) ≤ 0 ( j = 1,2, ⋯, m) j f ( x L ) = min f ( x ) j =1,⋯k f (xL ) < f (x0 )
xL
{
}
d = xL − x 0 则搜索方向为：
特点： 直接解法原理简单，方法实用，特点如下： 1）由于整个求解过程在可行域内进行，因此，迭代不论 何时终止，都可以获得一个比初始点好的设计点。 2）若目标函数为凸函数，可行域为凸域，则可保证获得 全域最优解。此时，可在可行域内选择几个差别比较大的 初始点分别进行计算，以便从求得的多个局部最优点钟选 择更好的最优点。 3）要求可行域为有界的非空集，即在有界可行域内存在 满足全部约束条件的点，且目标函数有定义。
二 、复合形法的搜索方法
初始复合形 法则 新点 替换最坏点 新复合形
1、反射 反射（最主要的方法） 反射 1）计算复合形各顶点的目标函数值，求出： 最好点： xL 最差点：
xH
f（ x L） = min { f ( x j )|j =1 ,2 ,⋯ ,k }
f H = f（xH）= max { f (x j ) j =1,2 ,⋯,k } |
5）在k个随机点 x j 中，找出 x L
x L 满足： g j ( x L ) ≤ 0 ( j = 1,2, ⋯ , m ) 若
j f ( x L ) = min f ( x ) f (xL ) < f (x0 )
0
{
j =1,⋯ k
}
则搜索方向为： d = x L − x 若不满足，则转步骤3） 6) 从初始点 x 0 出发，沿可行搜索方向 d 以步长 α 进行迭代计算， 产生新的迭代点，若新的迭代点可行，则步长按一定倍数递增。 α 否则，将步长缩小为0.7 进行搜索，直到搜索到一个满足全部 约束，且目标函数值不再下降的新点x。 所以，x应满足：（1） g j ( x ) ≤ 0 （是可行点） （2） f ( x ) = min{ f ( x 1 ), f ( x 2 ),⋯}
随机法产生 x 0 的计算步骤 1）输入设计变量的上限值和下限值，ai、bi，即 ai≤xi≤bi （i =1，2，…，n） 2）在（0,1）区间内产生n个伪随机数 qi 3）计算随机点x（的各个分量）：
(i = 1,2,⋯, n)
xi = ai + qi (bi − ai )
是，则 x 0 = x 4） x 是可行点？ 否，返回 2
yes ， ⇒ end 3) x 是最优解？ no ，返回 2
优点： （1）对无性态要求 （2）程序简单，使用方便 （3）收敛速度较快（特别是x0选择的较好时） 它是求解小型优化问题的一种十分有效的方法。
一、随机数的产生
在随机方向法中，为产生初始点和随机方向，需要用到大 量的[0，1]和（-1，1）区间内均匀分布的随机数。在计算机 在计算机 随机数通常按一定的数学模型进行计算后得到， 内，随机数通常按一定的数学模型进行计算后得到，这样的 随机数称伪随机数。这种方法的特点是产生速度快，内存占 随机数称伪随机数 用少，并有较好的概率统计性。 一种常用的产生伪随机数的数学模型（算法）： 37 36 r 1）令:r1 = 2 35 ，2 = 2 , r3 = 2 ，取 r = 2657863 (r为小r1的正奇数) 2）令: r = 5r 若 r ≥ r2 ，则 r = r − r2 3）若 r ≥ r3 ，则 r = r − r3 （若 r < r1 ，则 r = r ） 若 r ≥ r1 ，则 r = r − r1 4）伪随机数 q =
第六章 约束优化方法 约束优化方法
§6-1
概述
机械设计中优化问题大多属于有约束的优化问题，即：
min f ( x) x = [ x1 x 2 ⋯ x n ]
g j(x) ≤ 0
T
( j = 1,2,⋯, m) (k = 1,2,⋯, l )
hk ( x ) = 0
求解约束问题的方法： 求解约束问题的方法： 直接解法、 直接解法、间接解法
7) 收敛条件
f ( x) − f ( x 0 ) ≤ ε 1 或 x − x0 ≤ ε2
满足：
x* = x
， f ( x*) = f ( x ) ，结束 ，返回步骤3。
不满足： x 0 = x
六、分析： 分析：
约束随机方向搜索法的程序结构简单、使用方便，若k足够 大，一般不会出现病态的死点。这种方法对于目标函数的性态 无特殊要求。由于其搜索方向是优选出的最好方向，加之可随 机变更步长。因此，收敛速度较快。常用于小型优化设计问题 的求解。但为了避免所求得的结果仅仅是局部最优解。常常需 要选择几个不同的初始点，从几次计算结果中作出正确分析， 得出全域最优解。
（ ） 构造k-1个点：x j = a + rj b- a （
j = 2 ,3,⋯ , k
）
j = 2 ,3,⋯ , k
j （ 或写成： xi = ai + rj bi - a） （i = 1, 2,⋯ , n i
，
T
）
x j ——复合形的第j个顶点
a ， b—— 设 计 变 量的上、下限：
a = [ a1 a2 ⋯ an ]
r (返回2，便可产生一系列q) r1
q——（0,1）区间内的伪随机数 任意区间(a,b)内的伪随机数：
x = a + q (b - a )
二、初始点的选择
x 0 的要求：是可行点，即 g j ( x 0 ) ≤ 0 对初始点 的要求：
确定初始点有两种方法： 1. 人工选 这种方法是在可行域内人为地确定一个可行的初始点 。 x0 显然，当约束条件比较简单时，这种方法是可用的。但当约 束条件比较复杂时，人为地确定一个可行点就比较困难，因 此建议用下面的随机选择方法。 2. 随机法产生 这种方法是利用计算机产生的伪随机数来构造一个可行 的初始点 x 0 。
二．间接解法
将约束优化问题，经过特殊的加权处理后，和目标函数结合 起来，构成一个新的目标函数，将其转化为无约束优化问题。
φ (x, r1 ,r2 ) = f (x )+r1 ∑ G[g j (x )] + r2 ∑ H[hk (x )]
j =1 k =1
m
l
r1 ,r2 ——加权因子
间接解法是一种目前得到广泛应用的一种有效方法。 间接法适用于不等式或等式约束优化问题。
d = xL − x 0
0 ②若 f ( x L ) ≥ f ( x )
则将步长α0缩小，返回步骤 ） 步骤1） 步骤
ε ③若当α0 < （如
α 0 ≤ 10 −6），仍找不到一个
x，使， L
f (xL ) < f ( x0 )
x 0，返回步骤 ） 则说明 x 是局部极小点。更换初始点 步骤1） 步骤
T
b = [b1 b2 ⋯ bn ]
2．将非可行点调入可行域内
1 L xc = ∑ x j 设k-1个随机点中有L个可行点，其中心为： L j=1
设 xc 为可行点，将其余k-L个 非可行点移入可行域 如： xL +1 = xc + 0.5（xL +1 - xc） 反复利用上式，则可将 xL +1 移 入可行域 3．若 xc 为非可行点（可行域为 凹集时可能发生），则重新确定a， b，返回1） 方法三： 方法三：k个点全部用随机法产生，但要求其中至少有一个 可行点（否则重新产生），然后同方法二。
四、搜索步长的确定
从 x 沿d方向的搜索步长是事先确定的，而不是像有些 方法那样是根据 f ′(α ) = 0 计算出来的。 步长的确定： （1）取 α = α 0
α （2）加速： = τα（τ ——步长加速系数，可取 τ 0
= 1.3
0
——依次加速）
五、随机方向法的计算步骤
1）给定设计变量数目n，初始变量估计的上下限ai、bi（i=1、2、 ┄，n），初始步长α0 （给定初始步长一般是0.1-0.01），收敛精 度ε，产生随机方向最大个数k。
(i = 1,2,⋯, n)
三、可行搜索方向的产生
产生k ( k ≥ n )个随机方向，再从k个随机方向中，选择一 个较好的方向。 在构造可行搜索方向时，利用计算机产生的[0，1]区间 内的伪随机数，须将其转化为[-1 1]内的伪随机数。 原因：以如图所示的二维问题 原因 为例，若y1、y2是在区间[0 ，1]上 的两随机数，则以它们作为坐标 分量所构成的向量S只可能分布在 第1象限内，而不可能在整个象限 (第1至第4象限)内均匀分布，从而 限制了随机向量在整个圆周上取 值的可能，致使约束约束问题因 随机方向限制而找不到最优解。
f G = f（xG）= max { f (x j ) j =1,2 ,⋯,k, j≠ H } |
次差点： xG
2）计算除最坏点 xH 以外的k-1个顶点的中心：
1 L xc = ∑ xj k-1 j =1
j≠H
3）求反射点 x（沿 xH xc 方向） R
计算步骤： 计算步骤
n × k 个伪随机数 ri j（i = 1, ⋯ , n; j = 1, ⋯ k ） 1）在（-1，1）区间内产生
按下式生成k个随机单位向量
r1 j j 1 r2 n ⋮ j 2 ∑ ( ri ) rnj i =1