第十组数学建模第三次作业
湖北省十堰市2021届新高考数学三模试卷含解析
设 ，则
由椭圆的定义，可以得到
,
在 中，有 ，解得
在 中，有
整理得 ，
故选C项.
【点睛】
本题考查几何法求椭圆离心率，是求椭圆离心率的一个常用方法，通过几何关系，构造出 关系，得到离心率.属于中档题.
2．设 ， 是双曲线 的左，右焦点， 是坐标原点，过点 作 的一条渐近线的垂线，垂足为 ．若 ，则 的离心率为（）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知 是抛物线 的焦点， 是 上一点， 的延长线交 轴于点 ．若 为 的中点，则 _________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可得 ，又由于 为 的中点，且点 在 轴上，所以可得点 的横坐标，代入抛物线方程中可求点 的纵坐标，从而可求出点 的坐标，再利用两点间的距离公式可求得结果.
3．已知直线 是曲线 的切线，则 （）
A． 或1B． 或2C． 或 D． 或1
【答案】D
【解析】
【分析】
求得直线 的斜率，利用曲线 的导数，求得切点坐标，代入直线方程，求得 的值.
【详解】
直线 的斜率为 ，
对于 ，令 ，解得 ，故切点为 ，代入直线方程得 ，解得 或1.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查根据切线方程求参数，属于基础题.
【答案】1元
【解析】
设分别生产甲乙两种产品为 桶， 桶，利润为 元
则根据题意可得
目标函数 ，作出可行域，如图所示
作直线 然后把直线向可行域平移，
由图象知当直线经过 时，目标函数 的截距最大，此时 最大，
由 可得 ，即
此时 最大 ，
即该公司每天生产的甲4桶，乙4桶，可获得最大利润，最大利润为1．
数学建模线性规划上机题
例1 (任务安排)某厂计划在下月内生产4种产品B1，B2，B3，B4。
每种产品都可用三条流水作业线A1，A2，A3中旳任何一条加工出来．每条流水线（Ai）加工每件产品（Bj）所需旳工时数(i＝1,2,3,j=1,2,3,4)、每条流水线在下月内可供运用旳工时数及多种产品旳需求均列表于4.1中．又A1，A2，A3三条流水线旳生产成本分别为每小时7，8，9元。
现应怎样安排各条流水线下月旳生产任务，才能使总旳生产成本至少？例2 (外购协议)某企业下月需要B1，B2，B3，B4四种型号旳钢板分别为1000，1200，1500，2023吨。
它准备向生产这些钢板旳A1，A2，A3三家工厂订货。
该企业掌握了这三家工厂生产多种钢板旳效率（吨/小时）及下月旳生产能力（小时），如表4.2所示。
而它们销售多种型号钢板旳价格如表4.3所示。
该企业当然但愿能以至少旳代价得到自己所需要旳多种钢板，那么，它应当向各钢厂订购每种钢板各多少吨？假设该企业订购时采用如下原则，要么不订购，要么至少订购100吨以上。
该怎样处理这个问题。
若至少订购50吨，怎样处理？例3 (广告方式旳选择) 中华家电企业近来生产了一种新型洗衣机．为了推销这种新产品，该企业销售部决定运用多种广告宣传形式来使顾客理解新洗衣机旳长处。
通过调查研究，销售部经理提出了五种可供选择旳宣传方式．销售部门并搜集了许多数据。
如每项广告旳费用，每种宣传方式在一种月内可运用旳最高次数以及每种广告宣传方式每进行一次所期望得到旳效果等．这种期望效果以一种特定旳相对价值来度量、是根据长期旳经验判断出来旳．上述有关数据见表4．8中华家电企业拨了20230元给销售部作为第一种月旳广告预算费、同步提出，月内至少得有8个电视商业节目，15条报纸广告，且整个电视广告费不得超过12023元，电台广播至少隔日有一次，现问该企业销售部应当采用怎样旳广告宣传计划，才能获得最佳旳效果?例4 长城家电企业近来研制了一种新型电视机．准备在三种类型旳商场即一家航空商场、一家铁路商场和一家水上商场进行销售．由于三家商场旳类型不同样，它们旳批发价和推销费都不同样。
第十组数学建模第三次作业
易拉罐形状和尺寸的最优设计我们只需略加留神就会发现销量很大的饮料(比如饮料量为355 毫升的爽口可乐、青岛啤酒等 ) 的饮料罐 (即易拉罐 )的形状和尺寸几乎都是相同的。
看来，这并不是有时，这应当是某种意义下的最优设计。
自然，对于单个的易拉罐来说，这类最优设计能够节俭的钱可能是很有限的，可是假如是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，能够节俭的钱就很可观了。
此刻来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。
详细说，达成以下的任务：1．取一个饮料量为 355 毫升的易拉罐，比如 355 毫升的爽口可乐饮料罐，丈量考证模型所需要的数据，比如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明。
2．设易拉罐是一个正圆柱体。
什么是它的最优设计其结果能否能够合理地说明所丈量的易拉罐的形状和尺寸，比如说，半径和高之比，等等。
3．设易拉罐的中心纵断面以下列图所示，即上边部分是一个正圆台，下边部分是一个正圆柱体。
什么是它的最优设计其结果能否能够合理地说明所丈量的易拉罐的形状和尺寸。
4．利用对所丈量的易拉罐的洞察和想象力，做出对于易拉罐形状和尺寸的最优设计。
易拉罐形状和尺寸的最优设计此题在成立数学模型的基础上，用LINGO实证剖析了各样标准下易拉罐的优化设计问题，并将实测数据和模型摸拟结果进行了对照剖析。
结论表示，易拉罐的设计不只需考虑资料成本(造价 )，还要知足构造稳定、雅观、方便使用等方面的要求。
在第二个问题中，易拉罐被假定为圆柱体，针对资料最省的标准，获得了不一样顶部、底部与侧面资料厚度比时的最优设计方案。
针对资料厚度的不一样，成立两个模型：模型一，设易拉罐各个部分厚度和资料单价完整相同，最优设计方案为半径与高的比R : H1: 2 ( H 为圆柱的高， R 为圆柱的半径 )；模型二，设易拉罐顶盖、底部厚度是罐身的 3 倍，经过计算获得半径与高R : H 1:6 时，表面积最小。
一般状况下，当顶盖、底部厚度是罐身的 b 倍时，最优设计方案为R : H2b 。
最新数学建模第三次作业.docx
精品文档院系：数学学院专业：信息与计算科学年级：2014 级学生姓名：王继禹学号：201401050335教师姓名：徐霞6.6 习题3.一个慢跑者在平面上沿着他喜欢的路径跑步，突然一只狗攻击他，这只狗以恒定速率跑向慢跑者，狗的运动方向始终指向慢跑者，计算并画出狗的轨迹。
解：（1）模型分析建立:狗的轨迹：在任意时刻，狗的速度向量都指向它的目标慢跑者。
假设 1：慢跑者在某路径上跑步，他的运动由两个函数 X(t)和 Y(t)描述。
假设 2：当 t=0 时，狗是在点 (x0,y0)处，在时刻 t 时，它的位置是 (x(t),y(t)) 那么下列方程成立：222(1)狗以恒定速率跑:X’+y’=w(2)狗的速度向量平行于慢跑者与狗的位置的差向量：将上述方程带入等式：,可得：再将λ代入第二个方程，可得狗的轨迹的微分方程：（2）程序及结果dog 函数[dog.m]function[zs,isterminal,direction] = dog(t,z,flag)global w; % w=speed of the dogX=jogger(t);h = X-z;nh=norm(h);if nargin<3 || isempty(flag)zs=(w/nh)*h;elseswitch (flag)case 'events'zs = nh-1e-3;isterminal = 1;direction = 0;otherwiseerror(['Unknow flag:'flag]);endend慢跑者的运动轨迹方程，水平向右[jogger.m]function s = jogger(t);s = [8*t;0];标记的函数[cross.m]function cross(Cx,Cy,v)Kx = [Cx Cx Cx Cx-v Cx+v];Ky = [Cy Cy+2.5*v Cy+1.5*v Cy+1.5*v Cy+1.5*v]plot(Kx,Ky);plot(Cx,Cy,'o' );主程序：静态显示[main1.m]global wy0 = [60;70];w=10;options = odeset('RelTol',1e-5,'Events', 'on' ); [t,Y] = ode23('dog' ,[0,20],y0,options);clf;hold on ;axis([-10,100,-10,70]);plot(Y(:,1),Y(:,2));J=[];for h=1:length(t),w = jogger(t(h));J=[J;w'];endplot(J(:,1),J(:,2),':');p = max(size(Y));cross(Y(p,1),Y(p,2),2)hold off ;动态显示[main2.m]global w;y0=[60;70];w=10;options = odeset('RelTol',1e-5,'Events', 'on' ); [t,Y]=ode23('dog' ,[0,20],y0,options); J=[];for h=1:length(t);w= jogger(t(h));J=[J;w'];endxmin = min(min(Y(:,1)),min(J(:,1)));xmax = max(max(Y(:,1)),max(J(:,1)));ymin = min(min(Y(:,2)),min(J(:,2)));ymax = max(max(Y(:,2)),max(J(:,2)));clf;hold on ;axis([xmin-10 xmax ymin-10 ymax]);title('The jogger and the Dog');for h = 1:length(t)-1,plot([Y(h,1),Y(h+1,1)],[Y(h,2),Y(h+1,2)],'-', 'Color', 'red', 'EraseMode ' , 'none');plot([J(h,1),J(h+1,1)],[J(h,2),J(h+1,2)],'-', 'Color', 'green', 'EraseMo de', 'none');drawnow;pause(0.1);endplot(J(:,1),J(:,2),':' );p = max(size(Y));cross(Y(p,1),Y(p,2),2)hold off;结果t=12.2761812635281，在 12.27 秒后狗追上慢跑者。
2022-2023八上第三次作业 (数学)(含答案)182120
2022-2023八上第三次作业 (数学)试卷考试总分：115 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、 选择题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）1. 的结果是（ ）A.B.C.D. 2.下列图形中，是轴对称图形的有( )A.个B.个C.个D.个3. 下列运算正确的是 （ ）A.B.C.D.4. 如图所示，矩形中， ，点是平面内的一个动点，点运动过程中始终满足 ，线段的最小值是( )A.B.C.D.5. 如图，正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知，是两格点，如果也是图中的格点，且(−2)0−2−111234a ⋅=a 3a 4÷=a 6a 3a 22−=2a 3a 3=6(3)a 32a 6ABCD BC =6,AB =4P P ∠BPC =90∘AP 1234A B CA.个B.个C.个D. 个6. 如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线又剪出一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（ ）A.B.C.D.二、 填空题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）7. 分解因式：________．8. 在平面直角坐标系内，一个点的坐标为，则它关于轴对称的点的坐标是________．9. 已知，则________．10. 在 中， ，的垂直平分线与所在直线相交所得的锐角为 ，则底角_______．11. 如图，在中， ，已知点，且，若在轴上存在点使得，则点的坐标为________（（ ）} ． B 图12. 如图，是的中线，是上一点，交于，若，则________．46810(a +5)cm (a +2)cm (a >0)(6a +21)cm 2(3a +21)cm 2(6a +9)cm 2(2+7)c a 2m 24−9=x 2(2,−3)x =2,=3a m a n =a 2n−m △ABC AB =AC AB AC 30∘∠B =12△ABC ∠ABC =90∘A(2,0),B(6,0)tan ∠ACB =12γP ∠APB =∠ACB P A r112E F13. 用简便方法计算：；14. 如图，在中，为的中点，过点的直线交于点，交的平行线于点，，并交于点，连结，．求证：；请你判断与的大小关系，并说明理由．15. 先化简，再求值：，其中， 16. 如图，在中， ，，点是上一点，连结，过点作交的延长线于点，过点作于点．求证： ；如图，点是的中点，连结，．①求的度数；②当，且点为中点时，求的面积．17. 某公园内有一地块如图所示，已知，，米，求点到人行道的距离（结果保留根号）．18. 如图，在四边形中，，平分，，过点作，过点作，垂足分别为、，连接．判断的形状，并说明理由．19. 已知、、是三边的长，且满足＝，求三边的长．20. 回答下列小题：课本再现在证明“三角形内角和定理”时，小明只撕下三角形纸片的一个角拼成图即可证明，其中与相等的角是________；(1)×9−×41.222 1.332(2)×()252015(−)522016△ABC D BC D GF AC F AC BG G DE ⊥GF AB E EG FE (1)BG =CF (2)BE+CF EF (2x−3y −(2x−y)(2x+y))2x =−13y =121△ABC ∠BAC =90∘AB =AC E BC AE B BF ⊥AE AE F C CG ⊥AE G (1)△ACG ≅△BAF (2)2D BC DF DG ∠BFD GF =2–√E BD △ABC ∠A =30∘∠ABC =75∘AB =BC =8C AD ABCD DC//AB BD ∠ADC ∠ADC =60∘B BE ⊥DC A AF ⊥BD E F EF △BEF a b c △ABC +++50a 2b 2c 26a +8b +10c △ABC (1)1∠A类比迁移如图，在四边形中，与互余，小明发现四边形中这对互余的角可类比中思路进行拼合：先作 ，再过点作于点，连接，发现之间的数量关系是________；方法运用如图，在四边形中，连接，，点是两边垂直平分线的交点，连接，；①求证：；②连接，如图，已知，求的长（用含，的式子表示）21. 已知，如图，＝，，＝，求证：为等边三角形．22. 阅读材料：若，求，的值．解：，，，，，，.根据你的观察，探究下面的问题：已知，则的值为________；已知的边长，，是三个互不相等的正整数，且满足，求的值；（写出求解过程）已知，，则的值为________.23. 如图，已知正方形的边长为，为边上的一个动点（点与，不重合），以为一边向正方形外作正方形，连接交 的延长线于点．求证：①；②当点运动到什么位置时，垂直平分？请说明理由．(2)2ABCD ∠ABC ∠ADC ABCD (1)∠CDF =∠ABC C CE ⊥DF E AE AD ，DE ，AE (3)3ABCD AC ∠BAC =90∘O △ACD OA ∠OAC =∠ABC ∠ABC +∠ADC =90∘BD 4AD =m ，DC =n ，=2AB AC BD m n ∠B 60∘AB//DE EC ED △DEC −2mn+2−8n+16=0m 2n 2m n ∵−2mn+2−8n+16=0m 2n 2∴(−2mn+)+(−8n+16)=0m 2n 2n 2∴+=0(m−n)2(n−4)2∴=0(m−n)2=0(n−4)2∴m=4n =4(1)+2xy+2+2y+1=0x 2y 22x+3y (2)△ABC a b c +−4a −6b +13=0a 2b 2c (3)a −b =10ab +−16c +89=0c 2a +b +c ABCD 1G CD G C D CG ABCD GCEF DE BG H (1)△BCG ≅△DCE BH ⊥DE.(2)G BH DE参考答案与试题解析2022-2023八上第三次作业 (数学)试卷一、 选择题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）1.【答案】D【考点】零指数幂【解析】利用零指数幂的法则求解即可．【解答】解：故选．2.【答案】C【考点】轴对称图形【解析】此题暂无解析【解答】解：第个图形，找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两边的部分能够重合，所以不是轴对称图形；第个图形能够找到这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两边的部分能够重合，所以是轴对称图形.故选.3.【答案】A【考点】幂的乘方与积的乘方同底数幂的除法同底数幂的乘法【解析】=1.(−2)0D 12，3，4C解：.，故正确；. ，故错误；.，故错误；.，故错误.故选.4.【答案】B【考点】路径最短问题【解析】要想求得点的个数，由可判断以为直径的圆与的交点个数即可．【解答】解：点运动过程中始终满足 ,点在以为直径的半圆上，圆心为，如下图所示，连接与半圆的交点为，此时距离最短.由题意知，，，线段的最小值是.故选.5.【答案】C【考点】等腰三角形的判定与性质【解析】根据的长度确定点的不同位置，由已知条件，利用勾股定理可知，然后即可确定点的位置．【解答】解：如图，，∴当为等腰三角形，则点的个数有个.故选．6.A a ⋅=a 3a 4AB ÷=a 6a 3a 3BC 2−=a 3a 3a 3CD =9(3)a 32a 6D A P ∠BPC =90∘BC AD ∵P ∠BPC =90∘∴P BC O AO ，AO P AP AO ==A +O B 2B 2−−−−−−−−−−√+=54232−−−−−−−−−√∴AP =AO −OP =5−3=2∴AP 2B AB C AB =10−−√C AB ==+3212−−−−−−√10−−√△ABC C 8CA【考点】平方差公式的几何背景【解析】利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可，注意用完全平方公式计算．【解答】解：矩形的面积为：．故选：．二、 填空题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）7.【答案】【考点】因式分解-运用公式法【解析】先整理成平方差公式的形式．再利用平方差公式进行分解因式．【解答】解：．故答案为：．8.【答案】【考点】关于x 轴、y 轴对称的点的坐标【解析】利用平面内两点关于轴对称时：横坐标不变，纵坐标互为相反数，进行求解．【解答】解：一个点的坐标为，则它关于轴对称的点的坐标是，故答案为：．9.【答案】(a +5−(a +2)2)2=+10a +25−−4a −4a 2a 2=6a +21A (2x−3)(2x+3)4−9=(2x−3)(2x+3)x 2(2x−3)(2x+3)(2,3)x (2,−3)x (2,3)(2,3)92同底数幂的乘法【解析】【解答】解：，，，原式.故答案为：.10.【答案】或【考点】等腰三角形的性质与判定线段垂直平分线的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：∵的垂直平分线与所在直线相交所得的锐角为，即，，①当是锐角三角形时，如图，，∵，∴是等边三角形，∴；②当是钝角三角形时，如图，，∵，∴．综上所述，底角的度数是或．故答案为：或．11.=a 2n−m×a n a n a m∵=3a n =2a m ∴==3×32929230°60°AB AC 30∘∠ADE =30∘∠AED =90∘△ABC 1∠A =60∘AB =AC ∠ABC ∠B =60∘△ABC 2∠BAC =∠ADE+∠AED =+=30∘90∘120∘AB =AC ∠B =∠C ==−180∘120∘230∘B 60∘30∘60∘30∘【考点】锐角三角函数的定义解直角三角形勾股定理特殊角的三角函数值动点问题【解析】【解答】12.【答案】【考点】等腰三角形的判定【解析】延长，使，连接，由”可证，可得，由等腰三角形的性质可得，即可求的长．【解答】解：如图，延长，使，连接，是的中线，，且，即故答案为：．三、 解答题 （本题共计 11 小题 ，每题 5 分 ，共计55分 ）13.【答案】解：1.5AD :DG =AD BG SAS △ADC ≅△GDB AC =BG =CF +AF =6+AF,∠DAC =∠G BE =BG EF AD DG =AD BG AD △ABC .BD =CD DG =AD,∠ADC =∠BOG△ADC ≅△GDE(SAS)AC =EG =CF +AF =6+AF,∠DAC =∠G EF =AF∠DAC =∠AEF∵6=∠AEF =∠BEG.BE =BG BF =BG 9−EF =6G =6+AF =6+EF ,EF =1.51.5→C(1)×9−×41.222 1.332=−(1.22×3)2(1.33×2)2=(1.22×3−1.33×2)(1.22×3+1.33×2)=(3.66+2.66)(3.66−2.66).【考点】平方差公式幂的乘方与积的乘方【解析】利用平方差公式求解即可；利用积的乘方运算求解即可.【解答】解：.14.【答案】解：∵，∴．∵为的中点，∴.又∵，在与中，∵∴．∴．．∵，∴，．又∵，∴（垂直平分线到线段端点的距离相等）．∴在中，，即．【考点】全等三角形的性质与判定=××()252015()52201552=×(×)2552201552=×1201552=52(1)(2)(1)×9−×41.222 1.332=−(1.22×3)2(1.33×2)2=(1.22×3−1.33×2)(1.22×3+1.33×2)=(3.66+2.66)(3.66−2.66)=6.32(2)×()252015(−)522016=××()252015()52201552=×(×)2552201552=×1201552=52(1)BG//AC ∠DBG =∠DCF D BC BD =CD ∠BDG =∠CDF △BGD △CFD ∠DBG =∠DCFBD =CD ∠BDG =∠CDF△BGD ≅△CFD(ASA)BG =CF (2)BE+CF >EF △BGD ≅△CFD GD =FD BG =CF DE ⊥FG EG =EF △EBG BE+BG >EG BE+CF >EF【解析】（1）先利用判定，从而得出；（2）再利用全等的性质可得，再有，从而得出，两边和大于第三边从而得出．【解答】解：∵，∴．∵为的中点，∴.又∵，在与中，∵∴．∴．．∵，∴，．又∵，∴（垂直平分线到线段端点的距离相等）．∴在中，，即．15.【答案】原式＝＝，当时，原式＝＝．【考点】整式的混合运算——化简求值【解析】先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项，最后代入求出即可．【解答】原式＝＝，当时，原式＝＝．16.【答案】证明：∵，，ASA △BGD ≅△CFD BG =CF GD =FD DE ⊥GF EG =EF BE+CF >EF(1)BG//AC ∠DBG =∠DCF D BC BD =CD ∠BDG =∠CDF △BGD △CFD ∠DBG =∠DCFBD =CD ∠BDG =∠CDF△BGD ≅△CFD(ASA)BG =CF (2)BE+CF >EF △BGD ≅△CFD GD =FD BG =CF DE ⊥FG EG =EF △EBG BE+BG >EG BE+CF >EF 4−12xy+9−4+x 2y 2x 2y 2−12xy+10y 2x =−,y =1312=−12×(−)×+10×(131212)22+524124−12xy+9−4+x 2y 2x 2y 2−12xy+10y 2x =−,y =1312=−12×(−)×+10×(131212)22+52412⊥⊥，∵，∴，∴，又∵，∴ .解：如图，连接，①∵，点为的中点，∴，∵，∴，∴，由知，∴，即，∴，∴，∴，∴，∵，∴，即，∴，∴ . ②由题意得，当时，，在中，，在中，，∴，又∵，∴，∴，∵点为中点，∴设，则，∴，∴，即，即 . ∴的面积为 . 【考点】全等三角形的性质勾股定理全等三角形的性质与判定相似三角形的判定与性质等腰三角形的判定与性质∠ACG+∠CAG =90∘∠BAC =90∘∠BAF +∠CAG =90∘∠ACG =∠BAF AC =AB △ACG ≅△BAF (2)AD AB =AC D BC AD ⊥BC AB =AC,∠BAC =90∘∠ACB =∠ABC =45∘∠CAD =,AD =BD 45∘(1)△ACG ≅△BAF AG =BF,∠CAG =∠ABF ∠CAD+∠DAG =∠ABC +∠DBF ∠DAG =∠DBF △ADG ≅△BDF DG =DF,∠ADG =∠BDF ∠DGF =∠DFG ∠ADG+∠GDB =90∘∠BDF +∠GDB =90∘∠GDF =90∘∠DGF =∠DFG =45∘∠BFD =∠DFG+∠AFB =135∘GF =2–√DG =1Rt △ADE cos ∠AED =DE AE Rt △CEG cos ∠AED =EG CE =DE AE EG CE ∠DEG =∠AEC △DEG ∽△AEC =DG AC DE AE E BD DE =BE =a BD =AD =2a AE ===a D +A E 2D 2−−−−−−−−−−√+4a 2a 2−−−−−−−√5–√===DG AC DE AE a a 5–√5–√5=1AC 5–√5AC =5–√△ABC ××=125–√5–√52【解答】证明：∵，，∴，，∴，，∵，∴，∴，又∵，∴ .解：如图，连接，①∵，点为的中点，∴，∵，∴，∴，由知，∴，即，∴，∴，∴，∴，∵，∴，即，∴，∴ . ②由题意得，当时，，在中，，在中，，∴，又∵，∴，∴，∵点为中点，∴设，则，∴，∴，即，即 . ∴的面积为 . 17.【答案】(1)BF ⊥AE CG ⊥AE ∠F =90∘∠AGC =90∘∠AGC =∠F =90∘∠ACG+∠CAG =90∘∠BAC =90∘∠BAF +∠CAG =90∘∠ACG =∠BAF AC =AB △ACG ≅△BAF (2)AD AB =AC D BC AD ⊥BC AB =AC,∠BAC =90∘∠ACB =∠ABC =45∘∠CAD =,AD =BD 45∘(1)△ACG ≅△BAF AG =BF,∠CAG =∠ABF ∠CAD+∠DAG =∠ABC +∠DBF ∠DAG =∠DBF △ADG ≅△BDF DG =DF,∠ADG =∠BDF ∠DGF =∠DFG ∠ADG+∠GDB =90∘∠BDF +∠GDB =90∘∠GDF =90∘∠DGF =∠DFG =45∘∠BFD =∠DFG+∠AFB =135∘GF =2–√DG =1Rt △ADE cos ∠AED =DE AE Rt △CEG cos ∠AED =EG CE =DE AE EG CE ∠DEG =∠AEC △DEG ∽△AEC =DG AC DE AE E BD DE =BE =a BD =AD =2a AE ===a D +A E 2D 2−−−−−−−−−−√+4a 2a 2−−−−−−−√5–√===DG AC DE AE a a 5–√5–√5=1AC 5–√5AC =5–√△ABC ××=125–√5–√52在中，，米，∴米，由题意得，∴.∵，∴,在中，米，∴（米）,∴点到人行道的距离为米.【考点】含30度角的直角三角形解直角三角形【解析】过点作于，作，过作于，在中求出，在中求出即可求解；【解答】解：过点作于，作，过作于在中，，米，∴米，由题意得，∴.∵，∴,在中，米，∴（米）,∴点到人行道的距离为米.18.【答案】解：为等边三角形．理由：∵平分∴．∵∴．∵．∴，∵，∴为斜边上的中线，∴，∵．∴，∴为等边三角形．【考点】Rt △ABE ∠A =30∘AB =8BE =4BF//AD ∠FBA =∠A =30∘∠ABC =75∘∠CBF =45∘Rt △BCF CB =8CF =sin ⋅BC =445∘2–√C AD (4+4)2–√B :BE ⊥AD E BFIAD C C BF F 1;F Rt △ABE BE Rt △BCF CF B BE ⊥AD E BF//AD C CF ⊥BF FRt △ABE ∠A =30∘AB =8BE =4BF//AD ∠FBA =∠A =30∘∠ABC =75∘∠CBF =45∘Rt △BCF CB =8CF =sin ⋅BC =445∘2–√C AD (4+4)2–√△BEF BD ∠ADC∠ADB =∠CDB =∠ADC =1230∘DC//AB∠BDC =∠ABD =30∘AF ⊥BD DF =BF BE ⊥DC EF Rt △BDE BD DF =BF =EF ∠BDE =30∘∠DBE =60∘△BEF【解析】利用等角对等边证得，然后证得点为的中点，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得，然后利用根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形证得三角形为等边三角形即可．【解答】解：为等边三角形．理由：∵平分∴．∵∴．∵．∴，∵，∴为斜边上的中线，∴，∵．∴，∴为等边三角形．19.【答案】∵＝，∴＝，∴＝，∴＝，∴＝，＝，∴＝，＝，即三边的长分别为，，．【考点】因式分解的应用【解析】将所求式子变形，然后化为完全平方公式，再利用非负数的性质，即可求得三边的长．【解答】∵＝，∴＝，∴＝，∴＝，∴＝，＝，∴＝，＝，即三边的长分别为，，．20.【答案】（1）（2）①证明：连接、，AB =AD F BD DF =BF =EF ∠DBE =60∘60∘BEF △BEF BD ∠ADC∠ADB =∠CDB =∠ADC =1230∘DC//AB∠BDC =∠ABD =30∘AF ⊥BD DF =BF BE ⊥DC EF Rt △BDE BD DF =BF =EF ∠BDE =30∘∠DBE =60∘△BEF +++50a 2b 2c 76a +8b +10c −6a +9+−8b +16+−10c +25a 3b 8c 25(−6a +5)+(−8b +16)+(−10c +25)a 2b 2c 40(a −3+(b −4+(c −5)4)2)20a −30b −44a 3b 4△ABC 845△ABC +++50a 2b 2c 76a +8b +10c −6a +9+−8b +16+−10c +25a 3b 8c 25(−6a +5)+(−8b +16)+(−10c +25)a 2b 2c 40(a −3+(b −4+(c −5)4)2)20a −30b −44a 3b 4△ABC 845∠A =∠DCE ′A +D =A D 2E 2E 2(3)OD OC∴，∵，即，∴，∵，，②作，再过点作于点，连接，∵，∴，∴，即，∵，，∴，同理可得，∴，∵，∴，∴，∴，∴．∴，在中，，∴，∴，即，∴，∴．【考点】等腰三角形的判定与性质【解析】此题暂无解析【解答】解：根据拼图可得： ；故答案为：．作，再过点作于点，连接，如图，∵互余，即，∴，∴；故答案为：；∠OAC =∠OCA ，∠ODC =∠OCD ，∠OAD =∠ODA 2∠OAC +2∠ODC +2∠ODA =180∘2∠OAC +2∠ADC =180∘∠OAC +∠ADC =90∘∠OAC =∠ABC ∠ABC +∠ADC =90∘∠CDF =∠ABC C CE ⊥DF E AE ∠ABC +∠ADC =90∘∠ABC +∠CDF =90∘A +D =A D 2E 2E 2+D =A m 2E 2E 2∠BAC =90∘=2AB AC AC :AB :BC =1:2:5–√CE :DE :DC =1:2:5–√=AC BC CE CD ∠CDF =∠ABC ∠ACB =∠DCE ∠BCD =∠ACE △ACE ∼△BCD ==AE BD AC BC 15–√AE =BD 5–√Rt △CDE =DE DC 25–√DE =n 25–√+(n =(m 225–√)2BD 5–√)2+n2=m 245BD 25B =5+4D 2m 2n 2BD =5+4m 2n 2−−−−−−−−−√∠A =∠DCE ′∠DCE ′(2)∠CDF =∠ABC C CE ⊥DF E AE ∠ABC =∠ADC ∠ABC +∠ADC =90∘∠ADF =∠ADC +∠CDF =∠ADC +∠ABC =90∘A +D =A D 2E 2E 2A +D =A D 2E 2E 2∵点是两边垂直平分线的交点，∴，∴，∵，即，∴，∵，，②作，再过点作于点，连接，∵，∴，∴，即，∵，，∴，同理可得，∴，∵，∴，∴，∴，∴．∴，在中，，∴，∴，即，∴，∴．21.【答案】证明：∵，∴＝＝，∵＝，∴为等边三角形．【考点】等边三角形的判定平行线的性质O △ACD OA =OD =OC ∠OAC =∠OCA ，∠ODC =∠OCD ，∠OAD =∠ODA 2∠OAC +2∠ODC +2∠ODA =180∘2∠OAC +2∠ADC =180∘∠OAC +∠ADC =90∘∠OAC =∠ABC ∠ABC +∠ADC =90∘∠CDF =∠ABC C CE ⊥DF E AE ∠ABC +∠ADC =90∘∠ABC +∠CDF =90∘A +D =A D 2E 2E 2+D =A m 2E 2E 2∠BAC =90∘=2AB AC AC :AB :BC =1:2:5–√CE :DE :DC =1:2:5–√=AC BC CE CD ∠CDF =∠ABC ∠ACB =∠DCE ∠BCD =∠ACE △ACE ∼△BCD ==AE BD AC BC 15–√AE =BD 5–√Rt △CDE =DE DC 25–√DE =n 25–√+(n =(m 225–√)2BD 5–√)2+n2=m 245BD 25B =5+4D 2m 2n 2BD =5+4m 2n 2−−−−−−−−−√AB//DE ∠DEC ∠B 60∘EC ED △DEC此题暂无解析【解答】此题暂无解答22.【答案】，即，解得，.，.，，是三个互不相等的正整数，.【考点】完全平方公式非负数的性质：偶次方三角形三边关系【解析】()将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为，两非负数分别为求出与的值，即可求出的值；()将已知等式分为，重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为，两非负数分别为求出与的值，根据边长为正整数且三角形三边关系即可求出的长；()由，得到，代入已知的等式中重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为，两非负数分别为求出与的值，进而求出的值，即可求出的值．【解答】解：，，，解得，，∴.故答案为：.，即，解得，.，.，，是三个互不相等的正整数，.，即，代入得 ，整理，得，，，，即，，∴，∴.故答案为：.23.−1(2)−4a +4+−6b +9=0a 2b 2+=0(a −2)2(b −3)2a =2b =3∵b −a <c <b +a ∴1<c <5∵a b c ∴c =48100x y 2x+3y 2134+900a b c 3a −b =10a =b +1000b c a a +b +c (1)∵+2xy+2+2y+1x 2y 2=(+2xy+)+(+2y+1)x 2y 2y 2=+=0(x+y)2(y+1)2∴x+y =0y+1=0x =1y =−12x+3y =2−3=−1−1(2)−4a +4+−6b +9=0a 2b 2+=0(a −2)2(b −3)2a =2b =3∵b −a <c <b +a ∴1<c <5∵a b c ∴c =4(3)∵a −b =10a =b +10(b +10)b +−16c +89=0c 2(+10b +25)+(−16c +64)=0b 2c 2+=0(b +5)2(c −8)2∴b +5=0c −8=0b =−5c =8a =5a +b +c =5−5+8=88证明：①在正方形中，＝，，在正方形中，，，在和中，∴.②∵，∴，∵，∴，∴∴.解：当时，垂直平分．理由如下：连接，∵垂直平分，∴，设，∵，，∴由勾股定理可得，，∵，∴，解得.∴当时，垂直平分．【考点】线段垂直平分线的性质全等三角形的性质与判定【解析】根据正方形的边的性质和直角可通过判定，从而利用全等的性质得到即；解题关键是利用垂直平分线的性质得出，从而找到，，，列方程求解即可.【解答】证明：①在正方形中，＝，，在正方形中，，，在和中，∴.②∵，∴，∵，∴，∴∴.解：当时，垂直平分．理由如下：连接，∵垂直平分，∴，设，∵，，∴由勾股定理可得，，∵，∴，解得.∴当时，垂直平分．(1)ABCD ∠BCG 90∘BC =CD GCEF ∠DCE =90∘CG =CE △BCG △DCE BC =DC ，∠BCG =∠DCE ，CG =CE ，△BCG ≅△DCE(SAS)△BCG ≅△DCE ∠CBG =∠CDE ∠CDE+∠DEC =90∘∠CBG+∠DEC =90∘∠BHE =90∘BH ⊥DE (2)GC =−12–√BH DE EG BH DE EG =DG CG =x CE =CG ∠DCE =90∘EG =x 2–√DG =x 2–√DG+CG =CD x+x =12–√x =−12–√GC =−12–√BH DE (1)SAS △BCG ≅△DCE ∠BHD =90∘BH ⊥DE (2)EG =DG EG =x 2–√DG =x 2–√DG+CG =CD (1)ABCD ∠BCG 90∘BC =CD GCEF ∠DCE =90∘CG =CE △BCG △DCE BC =DC ，∠BCG =∠DCE ，CG =CE ，△BCG ≅△DCE(SAS)△BCG ≅△DCE ∠CBG =∠CDE ∠CDE+∠DEC =90∘∠CBG+∠DEC =90∘∠BHE =90∘BH ⊥DE (2)GC =−12–√BH DE EG BH DE EG =DG CG =x CE =CG ∠DCE =90∘EG =x 2–√DG =x 2–√DG+CG =CD x+x =12–√x =−12–√GC =−12–√BH DE。
数学建模-扑克牌问题
第一章数学建模作业问题重述在扑克牌中任选27张出来，任选一张牌，将这张牌加入牌堆并将此牌堆重洗。
之后将牌依次发成三堆，知晓选中牌在那堆后合起牌堆，重复三次。
要求最后所选牌在特定位置。
一、模型假设与符号说明（1）假设所选牌在牌堆中第n个位置。
（2）假设第一次合牌时，所选牌所在的牌堆从上到下第x个放置（x<=3）。
（3）假设第二次合牌时，所选牌所在的牌堆从上到下第y个放置（y<=3）。
（4）假设第三次合牌时，所选牌所在的牌堆从上到下第z个放置（z<=3）。
二、建立模型第一次操作之后，这张扑克牌在n mod 3 组，第n/3张。
依此类推，每一次操作之后都是这样的规律。
这个魔术的关键在于总牌数是27，每一组都有9张牌。
一开始所选牌的位置是n/3，如果是整数，那么还是n/3，否则结果为（n/3取整数+1）。
第一次分牌堆时牌在n/3处。
第一次合牌时所选牌在（n/3+9（x-1））处。
第二次分牌时所选牌在（n/3+9（x-1））/3处。
第二次合牌时所选牌在（（n/3+9（x-1））/3）+9（y-1）处。
第三次分牌时所选牌在（（（n/3+9（x-1））/3）+9（y-1））/3处。
第三次合牌时所选牌在（（（n/3+9（x-1））/3）+9（y-1）/3）+9（z-1）处。
三、模型求解解方程（（（n/3+9（x-1））/3）+9（y-1）/3）+9（z-1）得原式=n/27+(x-1)+3(y-1)+9(z-1)由于n<=27,所以n/27=1由于x<=3,所以(x-1)取值为0,1,2。
由于y<=3,所以(y-1)取值为0,1,2。
由于z<=3,所以(z-1)取值为0,1,2。
由x,y,z取值不同，一共有3*3*3=27种可能，值为1到27。
四、模型评价与分析我次次所做的数学模型所做的变量太多，过程有些繁琐，有些不合心意。
五、模型应用做这个魔术时，当所选幸运数字为1时，可以选择将所选牌所在牌堆在三次合牌时都放在最上方，第一个就是所选牌。
数学建模第三次作业题答案
答： 程序代码截图：
运行结果截图：
（4）给出一系列的 a 值，用函数 答： 程序代码截图：
x2 a2
y2 25 a2
1
画一组椭圆。
运行结果贴图：
（5）设 y=cos[0.5+((3sinx)/(1+x^2))] 把 x=0~2π间分为 101 点，画出以 x 为横坐标，y 为纵 坐标的曲线。 答： 程序代码截图：
运行结果贴图：
（6）绘制连续调制波形 y sin(t) sin(9t) 在[-2pi,2pi]的图像。 （两种以上方法）
答： 程序代码截图： 运行结果贴图：
程序代码截图：
运行结果贴图：
(1) 有一函数 f (x, y) x2 sin xy 2 y ,写一程序,输入自变量的值，输出函数值。
答： 程序代码截图：
运行结果截图：
（2）编程计算下面问题, x 值由键盘输入(input 语句).
x2 1, x 1
y
x
2
,1
x
1
x
2
1,
x
1
答：
程序代码截图：
运行结果截图：
（3）分析下面程序运行后 s1,n1,s2,n2,m 的值. s1=0;s2=0;n1=0;n2=0 x=[1,-4,-8,3,10,-9,7,-3,10, 8,-5,-2,2,0 ]; m=length(x); for i=1:m if x(i)<0 s1=s1+x(i); n1=n1+1; else
数学建模例题及解析
.例1差分方程——资金(de)时间价值问题1:抵押贷款买房——从一则广告谈起每家人家都希望有一套(甚至一栋)属于自己(de)住房,但又没有足够(de)资金一次买下,这就产生了贷款买房(de)问题.先看一下下面(de)广告(这是1991年1月1日某大城市晚报上登(de)一则广告),任何人看了这则广告都会产生许多疑问,且不谈广告中没有谈住房面积、设施等等,人们关心(de)是：如果一次付款买这栋房要多少钱呢银行贷款(de)利息是多少呢为什么每个月要付1200元呢是怎样算出来(de)因为人们都知道,若知道了房价(一次付款买房(de)价格),如果自己只能支付一部分款,那就要把其余(de)款项通过借贷方式来解决,只要知道利息,就应该可以算出五年还清每月要付多少钱才能按时还清贷款了,从而也就可以对是否要去买该广告中所说(de)房子作出决策了.现在我们来进行数学建模.由于本问题比较简单无需太多(de)抽象和简化.a.明确变量、参数,显然下面(de)量是要考虑(de)：需要借多少钱,用记；月利率(贷款通常按复利计)用R记；每月还多少钱用x记；借期记为N个月.b．建立变量之间(de)明确(de)数学关系.若用记第k个月时尚欠(de) 款数,则一个月后(加上利息后)欠款 , 不过我们又还了x元所以总(de)欠款为k=0,1,2,3,而一开始(de)借款为.所以我们(de)数学模型可表述如下(1)c. (1)(de)求解.由(2)这就是之间(de)显式关系.d．针对广告中(de)情形我们来看(1)和(2)中哪些量是已知(de).N=5年＝60个月,已知；每月还款x＝1200元,已知 A.即一次性付款购买价减去70000元后剩下(de)要另外去借(de)款,并没有告诉你,此外银行贷款利率R也没告诉你,这造成了我们决策(de)困难.然而,由(2)可知60个月后还清,即,从而得(3)A和x之间(de)关系式,如果我们已经知(3)表示N＝60,x＝1200给定时0A.例如,若R ＝0．01,则由(3)可算得道银行(de)贷款利息R,就可以算出053946元.如果该房地产公司说一次性付款(de)房价大于70000十53946＝123946元(de)话,你就应自己去银行借款.事实上,利用图形计算器或Mathematica这样(de)数学软件可把(3)(de)图形画出来,从而可以进行估算决策.以下我们进一步考虑下面两个问题.注1问题1标题中“抵押贷款”(de)意思无非是银行伯你借了钱不还,因而要你用某种不动产(包括房子(de)产权)作抵押,即万一你还不出钱了,就没收你(de)不动产.例题1某高校一对年青夫妇为买房要用银行贷款60000元,月利率0．01,贷款期25年＝300月,这对夫妇希望知道每月要还多少钱,25年就可还清.假设这对夫妇每月可有节余900元,是否可以去买房呢解：现在(de)问题就是要求使 (de)x,由(2)式知现＝60000,R＝0．01,k＝300,算得x=632元,这说明这对夫妇有能力买房.例题2 恰在此时这对夫妇看到某借贷公司(de)一则广告：“若借款60000元,22年还清,只要；(i)每半个月还316元；(ii)由于文书工作多了(de)关系要你预付三个月(de)款,即316×6＝1896元.这对夫妇想：提前三年还清当然是好事,每半个月还316元,那一个月不正好是还632元,只不过多跑一趟去交款罢了；要预付18％元,当然使人不高兴,但提前三年还清省下来(de)钱可是22752元哟,是1896元(de)十几倍哪这家公司是慈善机构呢还是仍然要赚我们(de)钱呢这对夫妇请教你给他们一个满意(de)回答.具体解法略.问题2：养老基金今后,当年青人参加工作后就要从其每月工资中扣除一部分作为个人 (de)养老基金,所在单位（若经济效益好(de)话）每月再投入一定数量(de)钱,再存入某种利息较高而又安全(de)“银行”(也可称为货币市场)到60岁退休时可以动用.也就是说,若退休金不足以维持一定(de)生活水平时,就可以动用自己(de)养老基金,每月取出一定(de)款项来补贴不足部分.假设月利率及＝0．01不变,还允许在建立养老基金时自己可以一次性地存入A(不论多少),每月存入y元(个人和单位投入(de)总和)；通常从一笔钱0三十一岁开始到六十岁就可以动用.这当然是一种简化(de)假设,但作为估算仍可作为一种考虑(de)出发点.本问题实际上有两个阶段,即退休前和退休后,其数学模型为其中x为每月要从养老基金中提出(de)款项.习题1 某大学年青教师小李从31岁开始建立自己(de)养老基金,他把已有(de)积蓄1万元也一次性地存入,已知月利率为0．01 (以复利计),每月存入300元,试问当小李60岁退休时,他(de)退休基金有多少又若,他退休后每月要从银行提取l000元,试问多少年后他(de)退休基金将用完你能否根据你了解(de)实际情况建立一个较好(de)养老基金(de)数学模型及相应(de)算法和程取软件).习题2 渔业(林业)管理问题设某养鱼池(或某海域)一开始有某种鱼条,鱼(de)平均年净繁殖率为R,每年捕捞x条,记第N年有鱼条,则池内鱼数按年(de)变化规律为注意,在实际渔业经营中并不按条数计算而是以吨记数(de).若对某海域(de)渔业作业中＝100000吨,R＝0．02,x＝1000吨,试问会不会使得若干年后就没有鱼可捕捞了（资源枯竭了）例2比例分析法——席位分配问题：某学校有三个系联合成立学生会,（1）试确定学生会席位分配方案.（2）若甲系有100名,乙系60名,丙系40名.学生会设20个席位,分配方案如何(3)若丙系有3名学生转入甲系,3名学生转入乙系,分配方案有何变化（4）因为有20个席位(de)代表会议在表决提案时有可能出现10： 10(de)平局,会议决定下一届增加1席,若在第（3）问中将学生会席位增加一席呢（5）试确定一数量指标衡量席位分配(de)公平性,并以此检查（1）—（4）.公平而又简单(de)席位分配办法是按人数(de)比例分配,若甲系有100名,乙系60名,丙系40名.学生会设20个席位,三个系分别应有10,6,4个席位.如果丙系有6名学生转入其他两系学习,各系人数如表所示系别学生人数所占比例（%）按比例分配(de)席位按惯例分配(de)席位甲10310乙636第二列所示,按比例分配席位时,出现了小数(见表中第四列)．在将取得整数(de)19席分配完毕后,剩下(de)1席按照惯例分给余数最大(de)丙系,于是三个系仍分别占有10、6、4个席位．因为有20个席位(de)代表会议在表决提案时有可能出现10：10(de)平局,会议决定下一届增加1席,于是他们按照上述惯例重新分配席位,计算(de)结果令人吃惊：总席位增加1席,丙系反而减少1席,见下表．看来,要解决这个矛盾,必须重新研究所谓惯例分配方法,提出更加“公平”(de)办法．下面就介绍这样一个席位分配模型．设A、B两方人数分别是p1 和p2,分别占有n1 和n2 个席位,则两方每个席位所代表(de)人数分别是p1 ／n12和p2／n2．很明显,仅当这两个数值相等时,席位(de)分配才是公平(de)．但是,通常它们不会相等,这时席位分配得不公平.不公平(de)程度可以用数值来表示,它衡量(de)是“绝对不公平”．从下表所举(de)例子来看,A、B之间(de)“绝对不公平”与C、D之间是一样(de).但是从常识(de)角度看,A、B之间显然比C、D之间存在着更加严重(de)不公平．所以“绝对不公平”不是一个好(de)衡量标准．p n p/n p1/n1-p2/n2 A120101212-10=2B1001010C102010102102-100=2D100010100为了改进绝对标准,我们自然想到用相对标准．因为p／n越大,每个席位代表(de)人数越多,或者说,总人数一定时分配(de)席位越少.所以,如果p1／n13＞p2/n2,则A方是吃亏(de),或者说,对A是不公平(de),由此,我们这样定义“相对不公平”：若p1／n1＞p2／n2,则称为对A(de)相对不公平值,记做若p1／n1＜p2／n2,则称为对B(de)相对不公平值,记做假设A、B两方已分别占有n1和n2个席位,我们利用相对不公平(de)城念来讨论,当总席位再增加1席时,应该给且A方还是B方不失一般性,可设p1／n1＞p2/n2,即此时对A方不公平, ,有定义．当再分配1个席位时,关于p／n(de)不等式有以下三种可能：1)p1／(n1十1)＞p2／n2,这说明即使A方增加1席,仍然对A不公平,所以这1席当然应给A方；2)p1／(n1十1)＜p2／n2,说明当A方增加1席位,将对B不公平,此时应参照式,计算对B(de)相对不公平值3）说明当B方增加1席时,将对A方不公平,此时计算得对A (de)相对不公平值是（注意：在p1/n1p2/n2(de)假设下,不可能出现p1／n1＜p2／(n2+1)(de)情况因为公平(de)席位分配方法应该使得相对不公平(de)数值尽量地小,所以如果则这1席应给A方；反之应给B方．根据(3)、（4）两式,(5)式等价于并且不难证明1从上述第1)种情况(de)p1／(n1十1)＞p2／p2也可推出. 于是我们(de)结论是：当(6)式成立时,增加(de)1席应分配A方；反之,应分配给B方．若记,则增加(de)1席位应分配给Q值较大(de)一方．将上述方法可以推广到有m方分配席位(de)情况．下面用这个方法,重新讨论本节开始时提出(de),三个系分配21个席位(de)问题．首先每系分配1席,然后计算：甲系n1＝1,乙系, n2=1,丙系,n3=1,因为最大,所以第4席应分配给甲系,继续计算：甲系n1＝2,将与上面(de)相比,最大,第5席应分给乙系,继续计算.如此继续,直到第21席分配给某个系为止（详见列表）．n甲系乙系丙系1（4）（5）578（9）2（6）（8）（15）3（7）（12）（21）4（10）（14）5（11）（18）6（13）7（16）8（17）9（19）10（20）11可以看出,用Q值法,丙系保住了它险些丧失(de)1席.你觉得这个方法公平吗习题：学校共1000名学生,235入住在A宿合,333人住在B宿合,432人住在C宿合．学生们要组织一个10人(de)委员会,试用下列办法分配各宿舍(de)委员数．1）惯例(de)方法,印按比例分配完整数名额后,剩下名额给余数最大者. 2）Q值方法.如果委员会从10人增至15人,分配名额将发生什么变化 ,例3 状态转移问题——常染色体遗传模型随着人类(de)进化,人们为了揭示生命(de)奥秘,越来越注重遗传学(de)研究,特别是遗传特征(de)逐代传播,引起人们(de)注意.无论是人,还是动植物都会将本身(de)特征遗传给下一代,这主要是因为后代继承了双亲(de)基因,形成自己(de)基因对,基因对将确定后代所表现(de)特征.下面,我们来研究两种类型(de)遗传：常染色体遗传和x—链遗传.根据亲体基因遗传给后代(de)方式,建立模型,利用这些模型可以逐代研究一个总体基因型(de)分布.在常染色体遗传中,后代从每个亲体(de)基因对中各继承一个基因,形成自己(de)基因对,基因对也称基因型.如果我们所考虑(de)遗传特征是有两个基因A和控制(de),那么就有三种基因对,记为AA,A,.例如,金草鱼由两个遗传基因决定花(de)颜色,基因型是AA(de)金鱼草开红花,型(de)开粉红色花,而型(de)开白花.又如人类(de)眼睛(de)颜色也是提高通过常染色体遗传控制(de).基因型是(de)人,眼睛是棕色,基因型是(de)人,眼睛是兰色.这里因为都表示了同一外部特征,我们认为基因A 支配基因,也可以认为基因对于A 来说是隐性(de)农场(de)植物园中某种植物(de)基因型为AA,A 和.农场计划采用AA 型(de)植物与每种基因型植物相结合(de)方案培育植物后代.那么经过若干年后,这种植物(de)任一代(de)三种基因型分布如何 第一步：假设：令 ,2,1,0=n .（1） 设n n b a ,和n c 分别表示第n 代植物中,基因型为AA,Aa 和aa(de)植物占植物总数(de)百分率.令)(n x 为第n 代植物(de)基因型分布:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n n n n c b a x )(当n=0时⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=000)0(c b a x表示植物基因型(de)初始分布（即培育开始时(de)分布）,显然有1000=++c b a（2） 第n 代(de)分布与第n-1代(de)分布之间(de)关系是通过上表确定(de).第二步：建模根据假设（2）,先考虑第n 代中(de)AA 型.由于第n-1代(de)AA 型与AA 型结合,后代全部是AA 型；第n-1代(de)Aa 型与AA 型结合,后代是AA 型(de)可能性为1/2,第n-1代(de)aa 型与AA 型结合,后代不可能是AA 型.因此,当 ,2,1,0=n 时11102/1---•++•=n n n n c b a a即2/11--+=n n n b a a 类似可推出2/11--+=n n n b c a 0=n c将式相加,得111---++=++n n n n n n c b a c b a根据假设（1）,有1000=++=++c b a c b a n n n对于式、式和式,我们采用矩阵形式简记为,2,1,)1()(==-n Mx x n n其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=00012/1002/11M ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n n n n c b a x )(式递推,得)0()2(2)1()(x M x M Mx x n n n n ====--式给出第代基因型(de)分布与初始分布(de)关系.为了计算出n M ,我们将M 对角化,即求出可逆矩阵P 和对角阵D,使1-=PDP M因而有,2,1,1==-n P PD M n n其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n n nnn D 321321000000000λλλλλλ这里321,,λλλ是矩阵M(de)三个特征值.对于式中(de)M,易求得它(de)特征值和特征向量:0,2/1,1321===λλλ因此⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=00002/10001D ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0011 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=0112 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1213 所以[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==100210111321P通过计算1-=P P ,因此有)0(1)0()(x P PD x M x n n n -==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=0001002101110000)21(0010100210111c b a n 即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=--00011)(000)2/1()2/1(0)2/1(1)2/1(11c b a c b a x n n n n n n n n ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--++=--0)2/1()2/1()2/1()2/1(010010000c b c b c b a n n n n所以有⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=--0)2/1()2/1()2/1()2/1(1010010n n n n n n n c c b b c b a当∞→n 时0)2/1(→n,所以从式得到0,1→→n n b a 和n c =0即在极限(de)情况下,培育(de)植物都是AA 型. 第三步：模型讨论若在上述问题中,不选用基因AA 型(de)植物与每一植物结合,而是将具有相同基因型植物相结合,那么后代具有三代基因型(de)概率如下表：并且)0()(x M xn n =,其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=14/1002/1004/11M M(de)特征值为2/1,1,1321===λλλ通过计算,可以解出与21,λλ相对应(de)两个线性无关(de)特征向量1 和2 ,及与3λ相对应(de)特征向量3 ：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1011 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1002 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1213 因此[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==111200101321P⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-02/1011102/111P)0(1)0()(x P PD x M x n n n -==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=00002/1011102/11)2/1(0001001111200101c b a n n所以有⎪⎩⎪⎨⎧-+==++=++010000100)2/1()2/1()2/1()2/1()2/1(bb c c b b b b a a n nn n n n当∞→n 时0)2/1(→n,所以从式得到0,)2/1(00→+→n n b b a a 和00)2/1(b c c n +→因此,如果用基因型相同(de)植物培育后代,在极限情况下,后代仅具有基因AA 和aa. 例4 合作对策模型在经济或社会活动中,几个社会实体（个人、公司、党派、国家）相互合作或结成联盟,常能获得比他们单独行动更多(de)经济或社会效益.这样合理地分配这些效益是合作对策要研究(de)问题.请看下面(de)例子.问题一：经商问题甲、乙、丙三人经商,若单干,每人仅能获利1元；甲乙合作可获利7元；甲丙合作可获利5元；乙丙合作可获利4元；三人合作可获利10元,问三人合作时如何分配10元(de)收入.甲(de)收入应按照甲对各种形式(de)合作(de)贡献来确定．对于某一合作(de)贡献定义为：有甲参加时这个合作(de)收入与无甲参加时这个合作(de)收入之差．例如甲对甲乙二人合作(de)贡献是7—1＝6 (因为甲乙合作获利7元,而乙单干仅获利1元)．甲可以参加(de),合作有四个：甲自己(单干视为合作(de)特例)、甲乙、甲丙、甲乙丙．甲对这些合作(de)贡献分别是甲：1一0＝1元；甲乙：7—1＝6元；甲内：5—1＝4元；甲乙丙：10—4＝6元,甲应分得(de)收入是这四个贡献(de)加权平均值,加权因子将由下面(de)一般模型给出．这个问题叫做3人合作对策,是对策论(de)一部分,这里介绍它(de)一种解法.一般(de)n人合作对策模型可以叙述如下：记n人集合为I=,如果对于I中 (de)任一子集,都对应一个实值函数v（s）,满足则称为定义在I上(de)特征函数．所谓合作对策是指定义了特征函数(de)I中n个人(de)合作结果,用向量值函数来表示．在实际问题中．常可把I中各种组合(de)合作获得(de)利益定义为特征函数,上式表示合作规模扩大时,获利不会减少.不难看出,如将三人经商问题中合作(de)获利定义为特征函数v,v是满足(1)、(2)(de)．为了确定,Shapley在1953年首先制定了一组应该满足(de)公理,然后证明了满足这组公理(de)(de)唯一解是其中是I中包含{i}(de)所有子集,是集合s中(de)人数,是加权因子,由确定．(3)式中可看作成员{i}对合作s(de)贡献；表示对所有包含{i}(de)集合求和．称为由v定义(de)合作(de)Shapley值．我们用(3)、(4)计算三人经商问题中各个人应得到(de)收入．甲、乙、丙分别记作{1},{2},{3},包含{1}(de)集合有{1}、{1,2}、{1,3}、{1,2,3},计算结果列入下表．S{1}{1,2}{1,3}{1,2,3}V(s)17510V(s-{1})0114V(s)- V(s-{1})1 6 4 612 23 W()1/31/61/61/3W()[V(s)-V(s-{1})]1/31 2/3 2.同样可以算出乙、丙应得收入为＝3．5元,＝元.问题二：三城镇(de)污水处理方案沿河有三城镇1、2和3,地理位置如图4；6所示．污水需处理后才能排入河中．三城镇或者单独建立污水处理厂,或者联合建厂,用管道将污水集中处理(污水应于河流(de)上游城镇向下游城镇输送).以Q 表示污水量(吨／秒),工表示管道长度(公里).按照经验公式,建立处理厂(de)费用为712.0173Q P =,铺设管道(de)费用为LQ P 51.0266.0=．今已知三城镇(de)污水量分别为5,3,5321===Q Q Q ．L(de)数值38,202312==L L ．试从节约总投资(de)角度为三城镇制定污水处理方案；包括是单独还是联合建厂；如果联合,如何分担投资额等．三城镇或单干或不同形式(de)联合,共有五种方案.下面一一计算所需(de)投资．方案一 三城镇都单干.投资分别为总投资：方案二城1、2合作.这时城1、2将从节约投资(de)角度对联合还是分别建厂作出决策,所以城1、2(de)投资为：=3500C（3）=2300总投资：方案三城2、3合作.C（1）=2300总投资：方案四城1、3合作.C（2）=1600总投资：方案五三城镇合作=5560总投资：比较五个方案可知,应该选择三城合作,联合建厂(de)方案． 下面(de)问题是如何分担总额为5560(de)费用．城3(de)负责人提出,联合建厂(de)费用按三城(de)污水量之比5：3：5分担,铺设管道费应由城1、2担负．城2(de)负责人同意,并提出从城2到城3(de)管道费由城1、2按污水量之比5：3分担；从城1到城2(de)管道费理应由城1自己担负．城1(de)负责人觉得他们(de)提议似乎是合理(de),但因事关重大,他没有马上表示同意；而是先算了一笔账．联合建厂(de)费用是4530)535(73712.0=++,城2到城3(de)管道费是730,城1到城2(de)管道费是300,按上述办法分配时,城3负担(de)费用为1740,城2(de)费用为1320,域1(de)费用为2500．结果出乎意料之外,城3和城2(de)费用都比单独建厂时少,而城1(de)费用却比单独建厂时(de)C(1)还要多.城1(de)负责人当然不能同意这个方法,但是一时他又找不出公平合理(de)解决办法．为了促成联合(de)实现,你能为他们提供一个满意(de)分担费用(de)方案吗首先,应当指出,城3和城2负责人提出(de)办法是不合理(de)：从前面(de)计算我们知道,三城联合,才能使总投资节约了640(de)效益应该分配给三城,使三城分配(de)费用都比他们单干时要少,这是为促成联合所必须制定(de)一条原则．至于如何分配,则是下面要进一步研究(de)问题． 把分担费用转化为分配效益,就不会出现城1联合建厂分担(de)费用反比单独建厂费用高(de)情况.将三城镇记为I={1,2,3},联合建厂比单独建厂节约(de)投资定义为特征函数.于是有v(φ)=0,v({1})=v({2})=v({3})=0,v({1,2})=c(1)+c(2)-c(1,2)=2300+1600-3500=400,v({2,3})=c(2)+c(3)-c(2,3)=1600+2300-3650=250,v({1,3})=0,v(I)=c(1)+c(2)+c(3)-c(1,2,3)=640.S {1} {1,2} {1,3} {1,2,3} V(s) 0 400 0 640 V(s-{1}) 0 0 0 250 V(s)- V(s-{1})0 400 0 39012 23 W()1/31/61/61/3W()[V(s)-V(s-{1})] 0 67 0 130即197)(1=v ϕ同理得321)(2=v ϕ,122)(3=v ϕ那么, 城1分担(de)费用为2300-197=2103, 城2分担(de)费用为1600-321=1279, 城3分担(de)费用为2300-122=2178,合计5560. 习题：某甲（农民）有一块土地.如果从事农业生产可年收入100元；如果将土地租给某企业家用于工业生产,可年收入200元；如果租给某旅店老板开发旅游业,可年收入300元；当旅店老板请企业家参与经营时,年收入可达400元.为实现最高收入,试问如何分配各人(de)所得才能达成协议例5动态规划模型有不少动态过程可抽象成状态转移问题,特别是多阶段决策过程(de)最优化如最短路径问题,最优分配,设备更新问题,排序、生产计划和存储等问题．动态规划是一种将复杂问题转化为一种比较简单问题(de)最优化方法,它(de)基本特征是包含多个阶段(de)决策．1951年,美国数学家贝尔曼(R．Bellman)等人,提出了解决多阶段决策问题(de)“最优化原理”,并研究了许多实际问题,从而创建了动态规划·动态规划方法(de)基本思想是：将一个复杂问题分解成若干个阶段,每一个阶段作为一个小问题进行处理,从而决定整个过程(de)决策,阶段往往可以用时间划分这就具有“动态”(de)含义,然而,一些与时间无关(de)静态规划中(de)最优化问题,也可人为地把问题分成若干阶段,作为一个多阶段决策问题来处理,计算过程单一化,便于应用计算机．求解过程分为两大步骤,①先按整体最优化思想递序地求出各个可能状态(de)最优化决策；②再顺序地求出整个题(de)最优策略和最优路线．下面,结合一个求最短路径(de)例子,来说明动态规划(de)一些基本概念．最短路径问题如图所示(de)交通网络,节点连接线路上(de)数字表示两地距离,计算从A 到E(de)最短路径及长度.1．阶段．把所要处理(de)问题,合理地划分成若干个相互联系(de)阶段,通常用k 表示阶段变量.如例中,可将问题分为4个阶段,k=1,2,3,4. 2．状态和状态变量．每一个阶段(de)起点,称为该阶段(de)状态,描述过程状态(de)变量,称为状态变量,它可以用一个数、一组数或一个向量来描述,常用k x 来表示第k 阶段(de)某一状态．如果状态为非数量表示,则可以给各个阶段(de)可能状态编号,i x i k =)(()(i k x 表示第k 个阶段(de)第i 状态).第k 阶段状态(de)集合为},,,,,{)()()2()1(T k i k k k k x x x x X =如例6中,第3阶段集合可记为}3,2,1{},,{},,{321)3(3)2(3)1(33===C C C x x x X3．决策和决策变量．决策就是在某一阶段给定初始状态(de)情况下,从该状态演变到下一阶段某状态(de)选择.即确定系统过程发展(de)方案．用一个变量来描述决策,称这个变量为决策变量.设)(k k x u 表示第k 个阶段初始状态为k x (de)决策变量．)(k k x D 表示初始状态为k x (de)允许决 策集合,有)(k k x u ∈)(k k x D ={k u }如例6中},,{)(3211B B B A D =,若先取2B ,则21)(B A u =. 4．策略和子策略．由每段(de)决策)(k k x u 组成(de)整个过程(de)决策变量序列称为策略,记为n P ,1,即n P ,1=)}(,),(),({2211n n x u x u x u从阶段k 到阶段n 依次进行(de)阶段决策构成(de)决策序列称为k 子策略,记为n k P ,即)(1,x P n k =)}(,),(),({11n n k k k k x u x u x u ++显然,k=1时(de)k 子策略就是策略.如例6,选取路径E D C B A →→→→221就是一个子策略．从允许策略集中选出(de)具有最佳效果(de)策略称为最优策略. 5．状态转移方程．系统在阶段k 处于状态k x ,执行决策)(k k x u (de)结果是系统状态(de)转移,即由阶段K(de)状态k x 转移到阶段K 十1(de)状态1+k x 适用于动态规划方法求解(de)是一类具有无后效性(de)多阶段决策过程．无后效性又称马尔科夫性,指系统从某个阶段往后(de)发展,完全由本阶段所处(de)状态以及其往后(de)决策决定,与系统以前(de)状态及决策无关,对于具有无后效性(de)多阶段过程,系统由阶段k 向阶段k+1(de)状态转移方程为))(,(1k k k k k x u x T x =+意即1+k x 只与k x ,)(k k x u 有关,而与前面状态无关．))(,(k k k k x u x T 称为变换函数或算子．分确定型和随机型,由此形成确定型动态规划和随机型动态规划． 6．指标函数和最优指标函数．在多阶段决策中,可用一个数量指标来衡量每一个阶段决策(de)效果,这个数量指标就是指标函数,为该阶段状态变量及其以后各阶段(de)决策变量(de)函数,设为n k V ,即n k x x u x V V n k k k n k n k ,,2,1),,,,(1,, ==+指标(de)含义在不同(de)问题中各不相同,可以是距离、成本、产品产 量、资源消耗等．例6中,指标(de)含义就是距离,指标函数为A 到E(de)距离,为各阶段路程(de)和．最常见(de)指标函数取各阶段效果之和(de)形式,即∑==nk j j j j n k u x V V ),(,指标函数nk V ,(de)最优值,称为相应(de)最优指标函数,记为)(k k x fnk k k optV x f ,)(=式中opt 是最优化之意,根据问题要求取max 或min ． 7．动态规划最优化原理．贝尔曼指出“作为整个过程(de)最优策略具有这样(de)性质：即无论过去(de)状态和决策如何,对前面(de)决策所形成(de)状态而言,余下(de)诸决策必须构成最优策略”基于这个原理,可有如下定理：定理 若策略*,1n P 是最优策略,则对于任意(de)k(1<k<n),它(de)子策略*,n k P 对于以),(*1*11*---=k k k k u x T x 为起点(de)k 到n 子过程来说,必是最优策略． 实质上,动态规划(de)方法是从终点逐段向始点方向寻找最短路径(de)一种方法．8．动态规划(de)数学模型．利用最优化原理,可以得到动态规划(de)数学模型)}(),({)(11+++=k k k k k k k x f u x V opt x f ))(1,,1,(k k k x D u n n k ∈-=0)(11=++n n x f这是一个由后向前(de)递推方程．下面以例6(de)最短路径问题说明这种递序解法．指标函数为两点之间(de)距离,记为),(k k u x d ,例中共分4个阶段． (倒推) 第4阶段2)(),()(5114=+=E f E D d D f 3)(),()(5224=+=E f E D d D f 5)(),()(5334=+=E f E D d D f 0)(5=E f第3阶段6835)(),(624)(),(min )(2421141113=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=+=+=+=D f D C d D f D C d C f},,{11*4,3E D C P =4431)(),(826)(),(min )(2422141223=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=+=+=+=D f D C d D f D C d C f},,{22*4,3E D C P =6651)(),(1239)(),(min )(3433243333=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=+=+=+=D f D C d D f D C d C f},,{33*4,3E D C P =第2阶段7734)(),(1367)(),(min )(2321131112=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=+=+=+=C f C B d C f C B d B f},,,{221*4,2E D C B P =7734)(),(826)(),(min )(2322131222=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=+=+=+=C f C B d C f C B d B f},,,{222*4,2E D C B P =91468)(),(945)(),(min )(3333232332=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=+=+=+=C f C B d C f C B d B f},,,{223*4,2E D C B P =第1阶段10111192)(),(74)(),(1073)(),(min )(323221211=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+=+=+=+=B f B A d B f B A d B f B A d A f},,,,{221*4,1E D C B A P =故最短路径为E D C B A →→→→221,从A 到E(de)最短距离为10. 上述步骤可归纳为下述递推公式)}(),(m in{)(11+++=k k k k k k x f u x d x f 1,2,3,4(=k ）0)(55=x f此递推关系叫做动态方程,即最短路径问题(de)动态规划模型,应用动态规划方法解决问题(de)关键是根据所给问题建立具体(de)动态规划模型,建立动态规划模型时(de)主要困难在于：如何将所遇到(de)最优化解释为合适(de)多段决策过程问题．从例6看出,划分I 阶段、定义状态、确定指标函数,是动态规划模型化时(de)主要工作,其合适性决定应用动态规划(de)成败．建模时,除将实际问题根据时间和空间恰当地划分若干阶段外,还须明确下列几点： (1)正确选择状态变量,使它既能描述过程(de)状态,又。
《模型作业设计方案-2023-2024学年高中通用技术苏教版》
《模型》作业设计方案第一课时一、课程背景：《模型》是一门重要的数学课程，通过本课程的进修，同砚将能够精通数学建模的基本原理和方法，培育解决实际问题的能力，提高数学分析和运算能力。
二、教学目标：1. 了解数学建模的观点和分类。
2. 精通数学建模的基本流程和方法。
3. 学会运用数学建模解决实际问题。
4. 培育数学思维和创新能力。
三、教学内容：1. 数学建模的基本观点和原理。
2. 数学建模的分类和应用领域。
3. 数学建模的基本流程：问题分析、模型建立、模型求解、模型评判。
4. 常用数学工具：微积分、线性代数、概率论等。
四、教学方法：1. 理论讲授：老师讲解数学建模的基本观点和方法。
2. 实例分析：老师引导同砚分析实际问题，并建立相应的数学模型。
3. 小组谈论：同砚分组谈论和解决数学建模问题，培育团队合作和解决问题的能力。
4. 实践操作：同砚利用计算机软件进行模型求解和分析，加深对数学建模的理解。
五、作业设计：1. 第一次作业：选择一个实际问题，分析问题背景和需求，提出初步的建模思路。
2. 第二次作业：建立数学模型并进行求解，分析模型的优缺点，提出改进方案。
3. 第三次作业：撰写数学建模报告，包括问题描述、模型建立、模型求解和结果分析。
六、评判方式：1. 作业评分：依据作业的完成状况和质量评定同砚的效果，包括模型的建立和求解过程。
2. 口头答辩：要求同砚在教室上对自己的建模过程和结果进行口头陈述，以检验其理解和表达能力。
3. 终期考核：通过期末考试考查同砚对数学建模的整体精通状况，包括理论知识和实际应用能力。
七、教学资源：1. 教材：《数学建模导论》2. 计算机软件：MATLAB、R、Python等3. 网络资源：公开的数学建模案例和教学视频八、实施规划：1. 第一周：介绍数学建模的观点和分类。
2. 第二周：讲解数学建模的基本流程和方法。
3. 第三周：同砚选择问题并分析，筹办第一次作业。
4. 第四周：同砚建立数学模型并进行求解，筹办第二次作业。
数学建模第三次作业(章绍辉版)
第三次建模作业4. 通过网络搜索2013年我国各大银行一、二、三、五年定期存款利率。
各大银行存款利率方案一若将这笔捐款以整存整取一年定期的形式存入银行，由上表可知2013年大多数银行一年定期利率为3.30%。
记一年定期利率为r，取r=3.30%并假设r保持不变。
记初次存款本金总额为,之后每年取出b元作为当年的奖学金，取出之后第k年剩余本金为元，则有：每年利息=每年剩余本金*一年定期利率每年本金=上年本金+上年利息—奖学金列式得：k=0,1,2, (1)由（1）式解得：k=0,1,2, (2)这里，故（1）式有且仅有平衡点所以=6600元。
当b=6600时，每年本金不变，均为20万元；当时，本金会逐年减少直至为0；当时，本金会逐年增加。
输入代码：n=20;r=0.033;b=[2000,5000,6600,8000];x=[200000,200000,200000,200000];for k=1:20x(k+1,:)=x(k,:).*(1+r)-b;endplot(0:n,x(:,1),'k^',0:n,x(:,2),'ko',0:n,x(:,3),'kv',0:n,x(:,4),'kd')axis([-1,n+1,150000,250000])legend('b=2000','b=5000','b=6600','b=8000',2)title('每年取出奖学金b=2000，5000，6600，8000时，本金的变化情况')xlabel('第k年'),ylabel('本金')运行得：024681012141618201.51.61.71.81.922.12.22.32.42.55第k 年本金每年取出奖学金b=2000，5000，6600，8000时，本金的变化情况方案二 在方案一中采用一年定期的形式将捐款存入银行，这样每年只有6600的利息可供发放奖学金。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
易拉罐形状和尺寸的最优设计我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为355毫升的可口可乐、啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。
看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。
当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。
现在来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。
具体说，完成以下的任务：1．取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明。
2．设易拉罐是一个正圆柱体。
什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。
3．设易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。
什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明所测量的易拉罐的形状和尺寸。
4．利用对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。
易拉罐形状和尺寸的最优设计本题在建立数学模型的基础上，用LINGO实证分析了各种标准下易拉罐的优化设计问题，并将实测数据和模型摸拟结果进行了对比分析。
结论表明，易拉罐的设计不但要考虑材料成本(造价)，还要满足结构稳定、美观、方便使用等方面的要求。
在第二个问题中，易拉罐被假定为圆柱体，针对材料最省的标准，得到了不同顶部、底部与侧面材料厚度比时的最优设计方案。
针对材料厚度的不同，建立两个模型：模型一，设易拉罐各个部分厚度和材料单价完全相同，最优设计方案为半径与高的比:1:2R H=(H为圆柱的高，R 为圆柱的半径)；模型二，设易拉罐顶盖、底部厚度是罐身的3倍，通过计算得到半径与高:1:6R H=时，表面积最小。
一般情况下，当顶盖、底部厚度是罐身的b倍时，最优设计方案为:2=。
R H b在第三问中，针对圆柱加圆台的罐体，本文也建立了两个模型：模型三，设易拉罐整体厚度相同，利用LINGO软件对模型进行分析，得出当24+==(h为圆台的高，r为圆台上盖的半径)时，设计最优；模H h R r型四，假设罐顶盖、底部的厚度是罐身的3倍，同样利用软件LINGO对其进行分析，得出 4.5r→时材料最省,即顶部为圆锥时材料H h R+≈，0最省，模型的结果在理论上成立，但与实际数据不符。
原因是厂商在制作易拉罐时，不仅要考虑材料最省，还要考虑开盖时所受到的压力、制造工艺、外形美观、坚固耐用等因素。
在第四问中，本文根据第三问中模型最优设计结果与实测数据的误差，调整了的设计标准，在材料最省的基础上，加入了方便使用，物理结构更稳定等标准。
通过比较发现，前面四个模型中，模型二和模型四体现了硬度方面的要求。
进一步对模型二、四进行比较，发现模型四的结论更优。
为此，将模型四结论中的底部也设计为圆锥。
此时，材料最省。
但是，两端都设计为圆锥时，无法使用。
因此，将项部和底部设计为圆台，并考虑拉环长度和手指厚度(易于拉动拉环)时，得到圆台顶端和底部半径都为2.7。
此时，易拉罐形状和尺寸最优。
如果设计为旋转式拉环， 2.2,0.75, 3.93, 6.86====时，可以得到优于现实中易拉罐的设r h R H计方案。
最后，本文总结了此次数学建模中有益的经验--在数学建模过程必须灵活应用从简到繁、由易到难不断扩展的研究方法，并且要充分发挥数学软件在优化设计中无可比拟的优势。
文中符号注解R:圆柱半径r:圆台半径H:圆柱高h:圆台高S:易拉罐表面积V:易拉罐体积MIN:最小化为方便在LINGO软件中计算，定义：X1:在软件LINGO中的圆柱半径(R)X2:在软件LINGO中的圆柱高(H)X3:在软件LINGO中的圆台半径(r)X4:在软件LINGO中的圆台高(h)第一问：取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度、厚度等。
表1：数据测量结果本文测量以上数据是为了在以下建模中，提供数据和验证结果。
重要的是，拉环长度与易拉罐项部直径相差约1.53厘米左右，正好是指头厚度。
显然是使用方便设计的。
第二问：设易拉罐是一个正圆柱体。
什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。
一 问题重述一个饮料量为355毫升的易拉罐，找出易拉罐的最优设计。
假设它是一个正圆柱体，在不考虑易拉罐受外界影响下，求在正圆柱体的表面积最小时，底半径r 与高度h 的比值。
二 问题分析假设最优化条件为保证容积的情况下，使制作易拉罐所需材料最省(表面积为最小)。
在表面积为最小时，设圆柱形的体积V 为常数，求底半径r 与高度h 的比值，如果能求出一定比例，就能找出模型最优设计。
在建立模型之前，必须考虑易拉罐的厚度，一种是在考虑节约材料前提下，另一种是在考虑材料受力的情况。
三 模型假设、建立与求解(一)易拉罐整体厚度相同时的最优设计模型 1、 假设：(1)易拉罐是正圆柱体 (2)易拉罐整体厚度均相同2、 确定变量和参数：设易拉罐半径为R ，高为H ，,厚度为a ，体积为V ，其中r 和h 是自变量，所用材料的面积S 是因变量，而V 是固定参数，则S 和V 分别为：()()2222S R a a R a H R H πππ=+⨯++⨯-22332422aR a R a HRa Ha πππππ=++++2V R H π=， 2VH Rπ=设()2,g R H R H V π=- 3、 模型建立：()min ,0,0S r h R H >> (),0g R H =其中S 是目标函数，(),0g R H =是约束条件，V 是已知的，即要在体积一定的条件下求S 的最小值时，r 和h 的取值是多少4、模型求解因为按照实际测量数据可知ar ，所以带2a ，3a 的项可以忽略，且2VH Rπ=，则有 ()()22,2aVS R H R aR Rπ=+求()(),S r h r 的最小值，令其导数为零，即()(),0S R H R '=，解得临界点为R =，则222VH R π=== 因为()344aV S R a R π''=+，则120S a π''=>，所以当R:H=1:2时，是S 最优解5.模型结论在假设易拉罐是正圆柱体且厚度均相同的条件下，当体积为固定参数，而表面积最小时，通过对面积求导，得到高是半径的两倍，r:h=1:2，此时，模型最优。
（二） 易拉罐顶盖、底盖厚度与罐体厚度不同时的最优设计模型1、假设：(1)易拉罐是正圆柱体(2)易拉罐顶盖、底盖厚度为3a,其它部分厚度为a2、确定变量和参数：设饮料半径为R ，高为H ，体积为V ，易拉罐顶盖、 底盖厚度为a,其它部分厚度为b 。
其中r 和h 是自变量，所用材料的体积S是因变量，而a,b,c 和V 是固定参数。
则S 和V 分别为：()()22223S R a a R a H R H πππ=+⨯++⨯-223261262a R a R a RaH a H πππππ=++++2V R H π=，2VH R π=设()()212V x x π=()2,g R H R H V π=-3、模型建立：()min ,0,0S R H R H >> (),0g R H =其中S 是目标函数，(),0g R H =是约束条件，厚度比例与V 是已知的，即要在体积V 一定的条件下求r 和h 的取值是多少时体积S 最小4、模型求解因为按照实际测量数据可知aR ，所以带2a ，3a 的项可以忽略，且2VH Rπ=，则 226aVS a R Rπ=+求()(),S r h r 的最小值，令其导数为零，即()(),0S R H R '=，解得临界点为R =266VH R π=== 因为()3412aV S R a R π''=+，则480S a π''=>，因此当H=6R 时，S 为最优解观察模型(一)与模型(二)，可见当厚度比例不同时，半径与高的比不同，似乎有一定的联系，因此我们假设顶与底盖厚度为ab ，壁的厚度为a ，其中b 为比例系数，则()()2222S R a ba R a H R H πππ=+⨯++⨯-22322422abR a bR a b HRa Ha πππππ=++++因为按照实际测量数据可知a R ，所以带2a ，3a 的项可以忽略，且2VH R π=，则有 222aVS ab R Rπ=+求()(),S r h r 的最小值，令其导数为零，即()(),0S R H R '=，解得临界点为R =222V H b bR π=== 因为()344aV S R ab R π''=+，则120S ab π''=>，因此当R:H=1:2b 时，S 为最优解5.模型结论在假设易拉罐是正圆柱体，且顶盖、底部的厚度是罐身的三倍的条件下，当体积为固定参数，而表面积最小时，通过对表面积求导，得到半径与高的比是一比六，R:H=1:6，此时，观察模型(一)与模型(二)，可见当厚度比例不同时，半径与高的比不同，似乎有一定的联系，因此本题假设顶与底盖厚度为ab ，壁的厚度为a ，其中b 为比例系数，则R:H=1:2b 。
四、模型评价在不考虑厚度的情况下，考虑节约材料前提下得到，底半径r 是高度h 的一半时，圆柱的表面积最小。
考虑易拉罐顶盖、底盖厚度与罐体厚度不同的情况下，考虑了材料的厚度，因此，建立顶端是侧壁的三倍厚度(因为此比例有利于罐身受力，便于开盖)，高度h 是底半径r 的6倍时，圆柱的表面积最小。
第一二种模型相较之下，第二种模型更费材料，第一种模型设计更优。
所以，在不受力的情况下，假设易拉罐是一个正圆柱体，当底半径r 是高度h 的一半时，模型最优。
不过，本文通过实际数据发现，厂商制作易拉罐时，不单单是考虑材料最省，可能还考虑到开盖时所受到的压力，外形美观等因素。
第三问：设易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。
什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明所测量的易拉罐的形状和尺寸。
一、问题描述通常，在现实生活中，本文所见地易拉罐都不是单纯的正圆柱体，一般都是混合的三维图形。
由于实际生活中，易拉罐是受到外力的影响(如开盖时的拉力，堆放时的压力等等)，因此，本文依照生活中的易拉罐，设易拉罐的中心纵断面如图1所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。
通过计算和测量，在理论的基础上，建立易拉罐最优设计的模型。