数学建模数模第一次作业(章绍辉版)

1500
;
2000 2500 3000 3500
{
4000 4500 5000
从上表可看出打赌者赢的概率大约为。
<
理论计算： 掷一次骰子，得到点数及相应的概率
点数 2
3
4
5
（
7
8
9
10 11 12
6
概率 。
2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 ，
2/36 1/36
p 1/36
、
r = sse =
（ii）输入代码： f=@(k,t)k(1)*exp(k(2).*(t-1790)); k0=[,]; k=nlinfit(t,c,f,k0) sse=sum((c-f(k,t)).^2) 得到：
&
k= sse =+003 即：x0= r= sse=
(iii)输入代码： f=@(k,t)k(1)*exp(k(2).*(t-k(3))); k0=[,,1790]; k=nlinfit(t,c,f,k0)
r= x0 =
、
sse =+004
450
400
polyfit函 数 拟 合 效 果 图 22个 已 知 数 据 点
350
300
250
x(t)
200
150
100
50
0 1750
1800
1850
1900
t
1950
2000
即：A= B= r= A= x0 = 误差平方和为。
（3）比较（1），（2）两种拟合方式的误差平方和，显然线性拟合带来的误差比 非线性拟合大得多。用函数 plot 绘制两种拟合方式的误差比较图，输入代码： f=@(k,t)k(1)*exp(k(2).*(t-1790)); k0=[,]; k1=nlinfit(t,c,f,k0);
7
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-2 -1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
（3） hold on
—
q=input('请输入一个正整数 q;') for i=1:q
for j=1:i if rem(j,i) plot(j/i,1/i) end
end end
@
0.5
0.45
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
B，代码如下： t=1790:10:2000; c=[,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,]; x=t-1790; y=log(c); k=polyfit(x,y,1) r=k(1),x0=exp(k(2)) sse=sum((c-exp(polyval(k,x))).^2)
！
plot(t,c,'k+',t,exp(polyval(k,t-1790)),'k-') xlabel('t'),ylabel('x(t)'), legend('22个已知数据点’,2) title('polyfit函数拟合效果图') 得到： k=
k= sse =+003 即：r= N=
误差平方和为：
(ii)输入代码：
/
f=@(k,t)k(3)*k(2)./(k(3)+(k(2)-k(3))*exp(-k(1)*(t-1790))); k0=[,,]; k=nlinfit(t,c,f,k0) sse=sum((c-f(k,t)).^2) 得到：
Warning: Rank deficient, rank = 2, tol = .
> In nlinfit at 161
k=
sse =
即：r= N= x0= 误差平方和为：
（iii）输入代码：
f=@(k,t)k(3)*k(2)./(k(3)+(k(2)-k(3))*exp(-k(1)*(t-k(4)))); k0=[,,,1790]; k=nlinfit(t,c,f,k0) sse=sum((c-f(k,t)).^2) 得到： Warning: Rank deficient, rank = 2, tol = . > In nlinfit at 161 k =+003 *
（4） （i）输入代码： f=@(k,t)*k(2)./+(k(2)*exp(-k(1)*(t-1790))); t=1790:10:2000; c=[,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,]; k0=[,];
$
k=nlinfit(t,c,f,k0) sse=sum((c-f(k,t)).^2) 得到：
误差
40
非线性拟合
20
线性拟合
非线性拟合与线性拟合误差比较效果图
0
-20
-40
-60
-80
-100
-120
-140
-160 1750
1800
1850
时间t
1900
1950
2000
|
由图可知非线性拟合产生的误差比线性拟合均匀得多，可能是由于作了变换 Y=ln(x(t))。因此，这里采用非线性拟合比较合理。
《
x=t-1790; y=log(c); k2=polyfit(x,y,1); plot(t,c-f(k1,t),'k+',t,c-exp(polyval(k2,x)),'kp') title('非线性拟合与线性拟合误差比较效果图') xlabel('t'),ylabel('x(t)'), legend('非线性拟合',2,'线性拟合',2) 得到：
1．（1） n=101; x1=linspace(-1,1,n); x2=linspace(-2,2,n); y1=[sqrt(1-x1.^2);-sqrt(1-x1.^2)]; y2=[sqrt(4-x2.^2);-sqrt(4-x2.^2);sqrt(1-(x2.^2)/4);-sqrt(1-(x2.^2)/4)]; plot(x1,y1)
&
sse=sum((c-f(k,t)).^2) 得到： k =+003 *
sse =+003 即：x0= r= t0= sse= 从误差平方和 sse 来看（ii）和（iii）的拟合效果较好。
]
（2）对
两边取对数得
令 y= , x=t-1790 , A=r, B= ，则原方程变为：y=Ax+B。用 polyfit 拟合参数 A、
3/36
打 赌 者 赢 的 情 况 有 两 种 ：（ 1 ） 第 一 次 就 掷 出 3 点 或 者 11 点 ； 其 概 率
P1=2/36+2/36=1/9；
（2） 当第 1 次掷出的点数之和是 4，5，6，8，9 或 10，，继续掷骰子，直到掷
出的点数 之和是 7 或原来的值为止，先得到的点数之和是 7；其概率 P2=196/495
y= ceil(rand*6)+ceil(rand*6); while y~=x&y~=7
y=ceil(rand*6)+ceil(rand*6); end if y==7
；
k=k+1; end end end
—
更改试验次数n的值，打赌者赢得概率w随n的变化情况如下：
试验次数n
打赌者赢得概率w
1000
0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
3．代码如下： n=input('请输入实验次数n=') k=0; for i=1:n
。
x=ceil(rand*6)+ceil(rand*6); if x ==3|x==11 k=k+1; elseif x~=2&x~=7&x~=12
sse =+002 即：r= N= x0= t0= 误差平方和为：
此处（i）的误差平方和很大，（ii）和（iii）的误差平方和几乎一样且 matlab 都 出现了警告（这点跟书上的参考答案不一样，书上是只有（iii）出现了警告，但 拟合出来的参数值又跟书上一样。不知道为什么）所以这里我把（ii）和(iii)的拟 合效果图都给出：
（2） x1=linspace(-2,2,101);
/
x2=linspace(-2,8); axis equal plot(exp(x1),x1,x1,exp(x1),x2,x2) title('指数函数 y=exp(x)和对数函数 y=ln(x)关于 y=x 对称')
指 数 函 数 y=exp(x)和 对 数 函 数 y=ln(x)关 于 y=x对 称 8
…
hold on; plot(x2,y2) title('椭圆 x^2/4+y^2=1 的内切圆和外切圆') axis equal
椭
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
则打赌者赢的概率 P=P1+P2=.
4.（1）
】
（i）输入代码： f=@(r,t)*exp(r.*(t-1790)); t=1790:10:2000; c=[,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,]; r0=; r=nlinfit(t,c,f,r0) sse=sum((c-f(r,t)).^2) 得到：
(ii)拟 合 效 果 图 300