01 结构力学——矩阵位移法1
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结构力学-矩阵位移法-PPT
a11 AB a21
当p=l时才能相乘
a12 b11 a22 b21
a12 a22
共形
b11 a11 BA b21 a21
非共形
（2）不具有交换律，即 AB BA
6、转置矩阵 将一个阶矩阵的行和列依次互换，所得的阶矩 阵称之为原矩阵的转置矩阵，如：
任意矩阵与单位矩阵相乘仍等于原矩阵，即 AI =A IA =A
10、逆矩阵
在矩阵运算中，没有矩阵的直接除法，
除法运算由矩阵求逆来完成。例如，若
AB = C
则
B=A 1 C
-
此处A-1 称为矩阵A的逆矩阵。
一个矩阵的逆矩阵由以下关系式定义：A A 1 = A 1 A =I
矩阵求逆时必须满足两个条件： （1）矩阵是一个方阵。 （2）矩阵的行列式不为零，即矩阵是非奇异矩阵（行列 式为零的矩阵称为奇异矩阵）。
矩阵位移法（刚度法）：
结点力
P
F
（物理条件）
结点位移
（几何条件）
（平衡条件）
杆端力
杆端位移
r11 z1 r12 z 2 L r1i zi R1p 0 r21 z1 r22 z 2 L r2i zi R2p 0 r31 z1 r32 z 2 L r3i zi R3p 0
结构力学
STRUCTURE MECHANICS
第十章
矩阵位移法
知识点：
• • • • 矩阵位移法的基本要点 常见单元单元刚度矩阵的建立 单元刚度矩阵的坐标变换 矩阵位移法计算连续梁和刚架
教学基本要求:
掌握矩阵位移法的基本要点；
理解各种常见单元杆端位移和杆端力的对应 关系，理解单刚矩阵的建立方法及过程，能正确 写出常见单元的单刚方程；理解坐标变化的意义 及方法。 掌握前处理法计算连续梁和不考虑轴线变形 的刚架，结合刚架理解后处理法的基本思想。
当p=l时才能相乘
a12 b11 a22 b21
a12 a22
共形
b11 a11 BA b21 a21
非共形
（2）不具有交换律，即 AB BA
6、转置矩阵 将一个阶矩阵的行和列依次互换，所得的阶矩 阵称之为原矩阵的转置矩阵，如：
任意矩阵与单位矩阵相乘仍等于原矩阵，即 AI =A IA =A
10、逆矩阵
在矩阵运算中，没有矩阵的直接除法，
除法运算由矩阵求逆来完成。例如，若
AB = C
则
B=A 1 C
-
此处A-1 称为矩阵A的逆矩阵。
一个矩阵的逆矩阵由以下关系式定义：A A 1 = A 1 A =I
矩阵求逆时必须满足两个条件： （1）矩阵是一个方阵。 （2）矩阵的行列式不为零，即矩阵是非奇异矩阵（行列 式为零的矩阵称为奇异矩阵）。
矩阵位移法（刚度法）：
结点力
P
F
（物理条件）
结点位移
（几何条件）
（平衡条件）
杆端力
杆端位移
r11 z1 r12 z 2 L r1i zi R1p 0 r21 z1 r22 z 2 L r2i zi R2p 0 r31 z1 r32 z 2 L r3i zi R3p 0
结构力学
STRUCTURE MECHANICS
第十章
矩阵位移法
知识点：
• • • • 矩阵位移法的基本要点 常见单元单元刚度矩阵的建立 单元刚度矩阵的坐标变换 矩阵位移法计算连续梁和刚架
教学基本要求:
掌握矩阵位移法的基本要点；
理解各种常见单元杆端位移和杆端力的对应 关系，理解单刚矩阵的建立方法及过程，能正确 写出常见单元的单刚方程；理解坐标变化的意义 及方法。 掌握前处理法计算连续梁和不考虑轴线变形 的刚架，结合刚架理解后处理法的基本思想。
结构力学十三讲矩阵位移法
-6EI l2
4EI l
4
§13-3 单元刚度矩阵(整体座标系)
一、单元座标转换矩阵 Y1
X1
X1
Y1
MM21
e
x
M2 X2
正交矩阵 [T]-1 =[T]T
e e
e T T e
v1
y e
X 2
Y2
Fⓔ T T F ⓔ
ee
F T F ee
座标转换矩阵
5
二、整体座标系中旳单元刚度矩阵
[k] e = [T]T k e [T]
(4)
(6)
00
(5)
y
单元 局部码总码
单元 局部码总码
（1） 1 （2） 2 （3） 3 （4） 0 （5） 0 （6） 4
1
2
3 0
0
4
（1） 1
1
（2） 2
2
（3） 3 （4） 0
3 0
（5） 0
0
（6） 0
0
18
1 2
[k] 1 = 3
0 0 4
1 2
[k] 2= 3
0 0 0
123004 101 102 103 104 105 106 201 202 203 204 205 206 301 302 303 304 305 306 401 402 403 404 405 406 501 502 503 504 505 506 601 602 603 604 605 606 123000 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66
结构力学 矩阵位移法课件
3
土木工程专业系列教材—结构力学
出版社 科技分社 出版社 科技分社
矩阵位移法基本原理同位移法一样，仍旧以结 点位移为基本未知量，通过平衡方程求解这些基本 未知量，然后计算结构的内力。用矩阵位移法进行 结构分析的基本要点是： 1）结构离散化
将结构划分为有限个单元，各单元只在有限个 结点处相互连接。对于杆件结构，单元常取为等截 面直杆，各单元通过刚结点、铰结点等各类结点相 连组成结构，这相当于位移法中获取基本结构的这 一步骤.
6
土木工程专业系列教材—结构力学
出版社 科技分社 出版社 科技分社
确定结点时，常常采用顺序编号的方法，这些 编号称为结点码。在确定完结点码后，对结点间的 单元也依次编号，从而获得单元码。如图所示分别 是两个结构离散化后的结点和单元编码情况。
E1 I E2 I 3 1 2 2 5 EI1 3 4 EI2 4 5 6 6 7 8 1 2 3 6 7 8 1 9 2 3 4 5 4 7 5
土木工程专业系列教材结构力学出版社科技分社14出版社科技分社土木工程专业系列教材结构力学出版社科技分社jvjiejnfujjfqmjjiuifnqfiviiimxiejyjixjjmjufxjyjfvjivfyixifuimiioyef11f55f33f66f22yxf44xoyij1f12f233f44f55ff66a单单单单单单单单单单单c整整单单单单单单单单单eb单单单单单单单单单d整整单单单单单单单15出版社科技分社约定单元所有杆端力和杆端位移分量分别用广义符号约定单元所有杆端力和杆端位移分量分别用广义符号f和和表示当参照系为单元坐标系时还需在表示当参照系为单元坐标系时还需在f和和上添加上划线即用和以示区别
x y (2) x
(1)
(2)
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矩阵位移法基本原理同位移法一样，仍旧以结 点位移为基本未知量，通过平衡方程求解这些基本 未知量，然后计算结构的内力。用矩阵位移法进行 结构分析的基本要点是： 1）结构离散化
将结构划分为有限个单元，各单元只在有限个 结点处相互连接。对于杆件结构，单元常取为等截 面直杆，各单元通过刚结点、铰结点等各类结点相 连组成结构，这相当于位移法中获取基本结构的这 一步骤.
6
土木工程专业系列教材—结构力学
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确定结点时，常常采用顺序编号的方法，这些 编号称为结点码。在确定完结点码后，对结点间的 单元也依次编号，从而获得单元码。如图所示分别 是两个结构离散化后的结点和单元编码情况。
E1 I E2 I 3 1 2 2 5 EI1 3 4 EI2 4 5 6 6 7 8 1 2 3 6 7 8 1 9 2 3 4 5 4 7 5
土木工程专业系列教材结构力学出版社科技分社14出版社科技分社土木工程专业系列教材结构力学出版社科技分社jvjiejnfujjfqmjjiuifnqfiviiimxiejyjixjjmjufxjyjfvjivfyixifuimiioyef11f55f33f66f22yxf44xoyij1f12f233f44f55ff66a单单单单单单单单单单单c整整单单单单单单单单单eb单单单单单单单单单d整整单单单单单单单15出版社科技分社约定单元所有杆端力和杆端位移分量分别用广义符号约定单元所有杆端力和杆端位移分量分别用广义符号f和和表示当参照系为单元坐标系时还需在表示当参照系为单元坐标系时还需在f和和上添加上划线即用和以示区别
x y (2) x
(1)
(2)
《结构力学》第十章矩阵位移法
《结构力学》第十章矩阵位移法矩阵位移法是结构力学中的一种重要分析方法，通过将结构的受力分析转化为矩阵运算，可以有效地求解复杂结构的位移和应力分布。
本文将分为四个部分来介绍矩阵位移法的基本原理和应用。
第一部分将介绍矩阵位移法的基本原理。
矩阵位移法基于结构的受力平衡方程和变形条件，建立了适用于不同类型结构的一般形式的位移函数。
通过对这些位移函数进行适当组合，可以得到一个较为简化的位移矩阵方程。
这个方程可以通过矩阵运算求解，从而得到结构的位移和应力分布。
第二部分将介绍矩阵位移法的应用。
矩阵位移法可以用于求解各种类型的结构，包括梁、柱、框架等。
具体应用时，首先需要确定结构的边界条件和受力情况，然后根据结构的几何形状和材料性质，建立相应的位移函数。
之后，将位移函数按照一定的规则组合起来，建立一个位移矩阵方程。
通过解这个方程，可以得到结构的位移和应力分布。
第三部分将介绍矩阵位移法的优点。
相比于传统的力方法，矩阵位移法具有计算简单、准确性高、适用范围广等优点。
这是因为矩阵位移法可以通过矩阵运算将结构的受力分析转化为代数运算，减少了繁琐的计算过程，并且可以应用于各种不规则结构。
第四部分将介绍矩阵位移法的局限性。
矩阵位移法虽然具有很多优点，但也有一些限制。
首先，矩阵位移法对结构的刚度矩阵的求取较为复杂，需要通过精确和谐振数法等途径进行求解。
其次，矩阵位移法不能用于解决非线性和动力问题。
总结起来，矩阵位移法是一种重要的结构力学分析方法，通过将结构的受力分析转化为矩阵运算，可以有效地求解复杂结构的位移和应力分布。
它具有计算简单、准确性高、适用范围广等优点，但也有一些局限性。
因此，在实际应用中需要根据具体情况选择合适的方法。
同时，矩阵位移法的进一步研究和发展也是一个非常重要的方向。
矩阵位移法
§14.2 单元刚度矩阵 （局部坐标系）
本节和下一节对平面结构 的杆件单元进行单元分析， 得出单元刚度方程和单元 刚度矩阵。
位移法中给出的转角位 移方程实际上就是梁单 元的刚度方程。梁单元 是杆件单元的特例。
本节推导单元刚度方程时 有几点新的考虑：重新规 定正负号规则，讨论杆件 单元的一般情况，采用矩 阵表示形式。
e
sin cos 0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 cos
0 0 0 sin cos 0
0 sin 0 0
0 Fx1 F 0 x2 0 M1 0 Fx 2 0 Fy 2 1 M 2
e
u1 v1 1 u 2 v 2 2
e
（14－4）
上式可记为：
F k
e
e
e
（14－5）
其中:
(1) (2) (3) (4) (u 1 1) (v1 1) ( 1 1) (u 2 1) (1) EA EA 0 0 l l 12EI 6 EI (2) 0 0 3 2 l l 6 EI 4 EI (3) 0 0 2 e l l k EA EA 0 0 (4) l l 12EI 6 EI 0 0 3 2 (5) l l 6 EI 2 EI 0 0 2 ( l l (5) (6) (v 2 1) ( 2 1)
选用局部坐标系的目的是希望导 出的单元刚度矩阵具有最简单的 形式。 为了便于进行整体分析，必须选 用一个统一的公共坐标系，称为 整体坐标系。为了区别，用 x, y 表示局部坐标，用 x, y 表示整体 坐标。
结构力学应用-矩阵位移法
3、集成总刚
（6）定位向量法：对号入座，同号相加 定位向量法：对号入座，
4．综合结点荷载
综合结点荷载 {F}={FD}+{FE} }――直接结点荷载 ①{FD}――直接结点荷载 }――等效结点荷载 ②{FE}――等效结点荷载 （7-1）局部坐标系单元固端力 （7-2）整体坐标系单元固端力 （7-3）单元等效结点荷载。 单元等效结点荷载。
等效原则： 等效原则： ——两种荷载对基本体系产生相同的结点位移。 两种荷载对基本体系产生相同的结点位移 ——两种荷载对基本体系产生相同的结点位移。
矩阵位移法的计算步骤及示例
矩阵位移法计算平面刚架 计算机计算――程序化） 程序化） （计算机计算 程序化
1. 编码、整理原始数据 编码、
（1）整体与局部坐标系 ） （2）结点位移编码 ） 单元编码 （3）原始数据： ）原始数据： E 、A i、I i、l i 定位向量{λ} 定位向量 e， αi（[ T ]） ]）
几点补充说明
1、结点位移分量编号，定位向量 、结点位移分量编号，
——引入支承条件：已知位移约束的方向，编码为零。 引入支承条件：已知位移约束的方向，编码为零。 引入支承条件
2、铰结点处理： 铰结点处理： 铰结点处理
铰结的各杆杆端的转角均为基本未知量 ——分别编码（统一单元，程序简单） 分别编码（统一单元，程序简单） 分别编码
矩阵位移法
矩阵位移法——基本原理与位移法相同 基本原理与位移法相同 矩阵位移法 *数学工具 —— 矩阵运算
1、矩阵知识 矩阵： （1）矩阵：A 方阵： 方阵： 阶方阵A相应的行列式 （2）行列式：n阶方阵 相应的行列式 ）行列式： 阶方阵 相应的行列式D 若D＝0，A为奇异矩阵 （3）矩阵运算 相等：加减：数乘： 相等：加减：数乘： l aik 乘法： 乘法：Cmn=Aml*Bln，则 cij =
矩阵位移法-1
1
1/2
2
M
五.(零位移)边界条件处理
方法: 后处理法: 先处理法 后处理法
6kN.m
3kN.m
i1 = 1 i2 = 2
2 3
P3
1
置0置1法 乘大数法
1
(1) (2)
2
(3)
(1)置0置1法 (2)乘大数法 若 δi 元素 ⎡4 ⎢2 ⎢ ⎢ ⎣0
= 0 ,则将总刚主对角 kii 乘以大数N.
1
=1
×δ3
1 k22
1 k12
1 1 2 3 2 单元刚度矩阵中元素的物理意义 δ3 δ δ i = i i = i 1 1 2 2 ⎡k11 k12 k13 ⎤ ⎥ [k ] = ⎢ k k k 总刚的形成方法 ---“对号入座” ⎢ 21 22 23 ⎥ ⎢ 1 2 ⎣k31 k32 k33 ⎥ ⎦ 1 2 1 1 kij ---发生 δ j = 1, 其它结点位 ⎡ ⎤ 11 k k 1 11 12 移为零位移时在 i结点所需 [k ] = ⎢ 1 1 ⎥ k21 k22 ⎦ 2 2 ⎣ 加的结点力. 1 2 3 1 1 结构刚度矩阵性质:对称矩阵 0⎤1 ⎡k11 k12 1 1 2 2⎥ [k ] = ⎢ ⎢k21 k22+ k11 k12⎥ 2 2 2⎥ 简记为 {P} = [k ]{Δ} ---结构刚度方程 ⎢ k k 0 ⎣ 21 22⎦ 3 2 3 [k ] --结构刚度矩阵(总刚) 1 2 1 1 k = 0 k11 = k11 k 21 = k 21 2 2 31 2 1 ⎡ ⎤ k k 2 11 12 2 1 1 2 [k ] = ⎢ 2 2 ⎥ k32 = k 21 k12 = k12 k 22 = k 22 + k11 3 2 k k 21 22 ⎣ ⎦ 2 2 k13 = 0 k 23 = k12 k33 = k 22
1/2
2
M
五.(零位移)边界条件处理
方法: 后处理法: 先处理法 后处理法
6kN.m
3kN.m
i1 = 1 i2 = 2
2 3
P3
1
置0置1法 乘大数法
1
(1) (2)
2
(3)
(1)置0置1法 (2)乘大数法 若 δi 元素 ⎡4 ⎢2 ⎢ ⎢ ⎣0
= 0 ,则将总刚主对角 kii 乘以大数N.
1
=1
×δ3
1 k22
1 k12
1 1 2 3 2 单元刚度矩阵中元素的物理意义 δ3 δ δ i = i i = i 1 1 2 2 ⎡k11 k12 k13 ⎤ ⎥ [k ] = ⎢ k k k 总刚的形成方法 ---“对号入座” ⎢ 21 22 23 ⎥ ⎢ 1 2 ⎣k31 k32 k33 ⎥ ⎦ 1 2 1 1 kij ---发生 δ j = 1, 其它结点位 ⎡ ⎤ 11 k k 1 11 12 移为零位移时在 i结点所需 [k ] = ⎢ 1 1 ⎥ k21 k22 ⎦ 2 2 ⎣ 加的结点力. 1 2 3 1 1 结构刚度矩阵性质:对称矩阵 0⎤1 ⎡k11 k12 1 1 2 2⎥ [k ] = ⎢ ⎢k21 k22+ k11 k12⎥ 2 2 2⎥ 简记为 {P} = [k ]{Δ} ---结构刚度方程 ⎢ k k 0 ⎣ 21 22⎦ 3 2 3 [k ] --结构刚度矩阵(总刚) 1 2 1 1 k = 0 k11 = k11 k 21 = k 21 2 2 31 2 1 ⎡ ⎤ k k 2 11 12 2 1 1 2 [k ] = ⎢ 2 2 ⎥ k32 = k 21 k12 = k12 k 22 = k 22 + k11 3 2 k k 21 22 ⎣ ⎦ 2 2 k13 = 0 k 23 = k12 k33 = k 22
结构力学课件 第十章 矩阵位移法(1)
• 例17-3：写出图示结构的杆端力矩
• 解： 据转角方程可得：
•
M1 4i1 2i 2
• •
M 式中
2
2i1
4i 2
•
i EI
l
•
上式写成矩阵形式为
M M
1 2
e
4i 2i
42ii12
e
[ K]e { }e
返回 下一张 上一张 小结
• 17.1.5 形成总刚度矩阵
• 例7-4：写出图7-4所示结构的刚度矩阵 • 解：图示结构的刚度矩阵：
• 已知上例支承条件 =10，连同已获得的[K]，以及各结点荷载 值（M1、M2、及M3=0）一起代入基本方程（7—6）式中，得：
4i1 2i1
2i1 4i1 4i2
0 2i2
0
2
M M
1 2
0
2i2
4i2 3 0
• 据矩阵运算的基本法则，则得：
4i1 4i2
2i2
2i2 4i2
• 分量分别产生的力。
•
3） Kii , Kij , Kji , Kjj 分别为单元在结构整体坐标中刚度。
返回 下一张 上一张 小结
• 17.3.1 结构总刚度矩阵
• 形成总刚的步骤：
• 1）确定结点数，对结点及单元杆进行编号。
• 2）计算结构坐标系中各单元的单元刚度矩阵。
• 3）将各单元刚度矩阵的各子块，按“对号入座”送入结构总刚 度矩阵中。
K11 K12 K13
K
K21
K22
K23
K31 K32 K33
K111 K211
0
K112 K212 K222
K322
0
第八章-矩阵位移法(一)
矩阵位移法是结构力学中一种重要的分析方法，它利用计算机进行结构力学计算，适用于大型化、复杂化的结构分析问题。该方法节点位移数量，从而确定未知量。相较于力法，矩阵位移法在判定未知量和基本结构形式方面更为简便。此外，矩阵位移法与有限元法（FEM）密切相关，可视为有限单元法在杆系结构中的应用特例。有限元方法已广泛应用于流体力学、温度场、电传导等多个领域，而矩阵位移法在工程设计和分析中也得到了越来越广泛的重视。通过大力推广CAD技术，有限元分析计算在从自行车到航天飞机的设计制造过程中都发挥着不可或缺的作用。
矩阵位移法ppt课件
e
i
u j , Fxj
e
vi , Fyi
0 0 0 0 EA l 0 EA l 0
v j , Fyj
0 0 0 0
ui v i u j v j
e
杆端力向量
单刚矩阵
杆端位移向量
22
坐标变换
上述单刚方程是在单元坐标系下建立的，单元按结点平衡拼装成结构之前， 由于结构中单元的方位一般不全相同，因此，应将杆端位移和杆端力都转换 成统一的、对整体坐标的量，这是同一矢量在不同坐标系中的变换问题，简 称为坐标变换。 坐标变换矩阵 —单元系与结构系的关系： F x yj y 结构系 x 轴沿逆时针转至单元系 y x 轴所转过的角度记为 。 Fxj j Fyi —单元系下的杆端力 Fxj e —结构系下的杆端力 Fyj i Fxi e e Fxi Fxie Fxi cos Fyi sin Fyi 表示为 e e e F F sin F cos yi xi yi x o e e Fxje Fxj cos Fyj sin 矩阵形式 e e Fyje Fxj sin Fyj cos
原始总刚度方程无法直接求解。因为原始总刚度方程表示结构全部结点的平 衡方程，结构的结点分为两大类：有约束的支座结点（如图示结构的1、2结 点）和无约束的内部结点（如图示结构的3结点）；前类结点已知结点位移而 未知结点力（支座反力），后类结点已知结点力而未知结点位移。 M 要求支座反力必须先求后类结点的结点位移，故，原 P 3 始总刚度方程必须考虑边界位移条件修正为结构刚度 I, A I, A 方程后才能求解。 2 根据支座位移边界条件的处理方式不同，矩阵位移法 1 可分为先处理法和后处 理法。
i
u j , Fxj
e
vi , Fyi
0 0 0 0 EA l 0 EA l 0
v j , Fyj
0 0 0 0
ui v i u j v j
e
杆端力向量
单刚矩阵
杆端位移向量
22
坐标变换
上述单刚方程是在单元坐标系下建立的，单元按结点平衡拼装成结构之前， 由于结构中单元的方位一般不全相同，因此，应将杆端位移和杆端力都转换 成统一的、对整体坐标的量，这是同一矢量在不同坐标系中的变换问题，简 称为坐标变换。 坐标变换矩阵 —单元系与结构系的关系： F x yj y 结构系 x 轴沿逆时针转至单元系 y x 轴所转过的角度记为 。 Fxj j Fyi —单元系下的杆端力 Fxj e —结构系下的杆端力 Fyj i Fxi e e Fxi Fxie Fxi cos Fyi sin Fyi 表示为 e e e F F sin F cos yi xi yi x o e e Fxje Fxj cos Fyj sin 矩阵形式 e e Fyje Fxj sin Fyj cos
原始总刚度方程无法直接求解。因为原始总刚度方程表示结构全部结点的平 衡方程，结构的结点分为两大类：有约束的支座结点（如图示结构的1、2结 点）和无约束的内部结点（如图示结构的3结点）；前类结点已知结点位移而 未知结点力（支座反力），后类结点已知结点力而未知结点位移。 M 要求支座反力必须先求后类结点的结点位移，故，原 P 3 始总刚度方程必须考虑边界位移条件修正为结构刚度 I, A I, A 方程后才能求解。 2 根据支座位移边界条件的处理方式不同，矩阵位移法 1 可分为先处理法和后处 理法。
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F1 e =
u1
1 1
e
EA
2 2
e
EA
u2
EA u1 − l EA u2 l
e
局部坐标 系下的单 刚方程
e
EA EA ⋅ u1e − ⋅ u 2e l l
EA EA ⋅ u1e + ⋅ u 2e l l
F 2e = −
F1 EA 1 −1u1 = l −1 1 u2 F2
3、局部坐标系中的单元刚度矩阵性质 与单元刚度方程相应的正、反两类问题
正问题 {δ } 力学 模型 解的 性质
e
{F }
e
反问题
{F }
e
{δ }
eБайду номын сангаас
将单元视为两端有人为 约束控制的杆件。 约束控制的杆件。 e {δ } 控制附加约束加以 指定。 指定。 都有对应的唯一解，且 都有对应的唯一解， 总是平衡力系。 总是平衡力系。
在杆件结构矩阵分析中， 在杆件结构矩阵分析中，一般 是把杆件的转折点、汇交点、 是把杆件的转折点、汇交点、 边界点、 边界点、突变点或集中荷载作 用点等列为结点， 用点等列为结点，结点之间的 杆件部分作为单元。 杆件部分作为单元。
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第十三章 矩阵位移法 第一节 矩阵位移法概述
2、单元划分
第十三章 矩阵位移法 第一节 矩阵位移法概述
1、矩阵位移法的基本思路 b、基本假设和基本原理 、
线弹性、小变形。满足叠加原理、 线弹性、小变形。满足叠加原理、功能原理
c、正负号规定（采用右手法则） 、正负号规定（采用右手法则）
杆端内力规定当与坐标轴正方向一致时为正； 杆端内力规定当与坐标轴正方向一致时为正； 规定当与坐标轴正方向一致时为正 杆端位移和结点位移规定当与坐标轴正方向一致时为正。 杆端位移和结点位移规定当与坐标轴正方向一致时为正。 规定当与坐标轴正方向一致时为正 结点外力规定当与坐标轴正方向一致时为正； 结点外力规定当与坐标轴正方向一致时为正； 规定当与坐标轴正方向一致时为正
将单元视为两端自由的 { e 杆件， 杆件，F }直接加在自由 端作为指定的杆端力。 端作为指定的杆端力。
{ 为任何值时， {δ } 为任何值时，F }
e
e
无解； 无解； {F }e 为平衡力系时， {δ }e 为平衡力系时， 17 / 48 有无穷多组解。 有无穷多组解。
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第十三章 矩阵位移法 单元分析（ 第二节 单元分析（局部坐标系下的单元分析 ）
单元分析的目的是以结点位移为基本未知量， 单元分析的目的是以结点位移为基本未知量，分析每个单元 的结点力和结点位移及荷载之间的关系， 的结点力和结点位移及荷载之间的关系，即建立单元刚度方 并用矩阵形式表示。 程，并用矩阵形式表示。 坐标系的选择: 1、坐标系的选择: 在矩阵位移法中采用两种坐标系： 在矩阵位移法中采用两种坐标系： 局部坐标系和整体坐标系。 局部坐标系和整体坐标系。
结构力学
第十三章 矩阵位移法
学习内容
有限单元法的基本概念，结构离散化。 有限单元法的基本概念，结构离散化。 平面杆系结构的单元分析： 平面杆系结构的单元分析：局部坐标系下的单元刚度矩 阵和整体坐标系下的单元刚度矩阵。 阵和整体坐标系下的单元刚度矩阵。 平面杆系结构的整体分析： 平面杆系结构的整体分析：结构整体刚度矩阵和结构整 体刚度方程。 体刚度方程。 边界条件的处理，单元内力计算。 边界条件的处理，单元内力计算。 利用对称性简化位移法计算。 利用对称性简化位移法计算。 矩阵位移法的计算步骤和应用举例。 矩阵位移法的计算步骤和应用举例。
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第十三章 矩阵位移法
学习目的和要求
目的： 目的：矩阵位移法是以计算机为计算工具的现代化结 构分析方法。 构分析方法。基于该法的结构分析程序在结构设计中得到 了广泛的应用。因此， 了广泛的应用。因此，以计算机进行结构分析是本章的学 习目的。 习目的。 矩阵位移法是以位移法为理论基础， 矩阵位移法是以位移法为理论基础，以矩阵为表现形 以计算机为运算工具的综合分析方法。 式，以计算机为运算工具的综合分析方法。引入矩阵运算 的目的是使计算过程程序化，便于计算机自动化处理。 的目的是使计算过程程序化，便于计算机自动化处理。尽 管矩阵位移法运算模式呆板，过程繁杂， 管矩阵位移法运算模式呆板，过程繁杂，但这些正是计算 机所需要的和十分容易解决的。 机所需要的和十分容易解决的。矩阵位移法的特点是用 机算”代替“手算” 因此， “机算”代替“手算”。因此，学习本章是既要了解它与 位移法的共同点，更要了解它的一些新手法和新思想。 位移法的共同点，更要了解它的一些新手法和新思想。
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第十三章 矩阵位移法 单元分析（ 第二节 单元分析（局部坐标系下的单元分析 ）
3、局部坐标系中的单元刚度矩阵性质
[]
EA 1 −1 k11 k12 k = = l −1 1 k21 k22
e
单刚具有对称性： 单刚具有对称性： 由反力互等定理可知 反力互等定理可知 单刚一般具有奇异性： 单刚一般具有奇异性：
{F } = [k ] {δ }
e e
e
[]
EA 1 −1 k = l −1 1
e
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第十三章 矩阵位移法 单元分析（ 第二节 单元分析（局部坐标系下的单元分析 ）
2、局部坐标系中的单元刚度矩阵
[]
• • •
EA 1 −1 k11 k12 k = = l −1 1 k21 k22
y
y
x
x
FP
整体坐标 局部坐标
y
x
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第十三章 矩阵位移法 单元分析（ 第二节 单元分析（局部坐标系下的单元分析 ）
2、局部坐标系中的单元刚度矩阵 采用局部坐标系（以杆的轴线作为x轴 采用局部坐标系（以杆的轴线作为 轴）时，杆端力及 杆端位移的正方向以坐标轴正方向为正。 杆端位移的正方向以坐标轴正方向为正。
k ij = k ji
[k ]
eT
= k
[]
e
受力角度：存在刚体位移， 受力角度：存在刚体位移，杆端位移无法唯一确定 数学角度：向量相关，矩阵不可逆，行列式为零。 数学角度：向量相关，矩阵不可逆，行列式为零。
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第十三章 矩阵位移法 单元分析（ 第二节 单元分析（局部坐标系下的单元分析 ）
e
刚度系数的物理意义 刚度系数的物理意义： 系数的物理意义 单元刚度矩阵是杆端力与杆端位移之物理关系； 单元刚度矩阵是杆端力与杆端位移之物理关系； 杆端力与杆端位移之物理关系 矩阵的阶数与杆 位移分量数相等； 矩阵的阶数与杆端位移分量数相等；
k ij 表示 u j = 1 引起的杆端力Fi 的大小。 大小。
化整为零
（离散化、单元分析） 离散化、单元分析）
集零为整
（结点力平衡、位移协调） 结点力平衡、位移协调）
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第十三章 矩阵位移法 第一节 矩阵位移法概述
2、单元划分
将一个在荷载作用下的连续结构剖分成若干个各自独立 的单元，原结构可以看成是由各单元在连接点（称结点） 的单元，原结构可以看成是由各单元在连接点（称结点） 连接而成的体系——化整为零 连接而成的体系——化整为零
y
EA
杆件方向： 杆件方向：
1→2
F1e
u1
1
e
l
2
F2e
u2
x
杆端位移： 杆端位移： 位移 杆端内力： 杆端内力：
u1 ,u 2
F1 , F2
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第十三章 矩阵位移法 单元分析（ 第二节 单元分析（局部坐标系下的单元分析 ）
2、局部坐标系中的单元刚度矩阵
EA u1 l EA u2 − l
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第十三章 矩阵位移法 第一节 矩阵位移法概述
矩阵位移法以传统的结构力学作为理论基础; 矩阵位移法以传统的结构力学作为理论基础; 以传统的结构力学作为理论基础 以矩阵作为数学表达形式; 以矩阵作为数学表达形式; 以电子计算机作为计算手段 三位一体的解决各种杆系结构受力、 三位一体的解决各种杆系结构受力、变形等计算的方 法。 采用矩阵进行运算，不仅公式紧凑，而且形式统一， 采用矩阵进行运算，不仅公式紧凑，而且形式统一， 便于使计算过程规格化和程序化。 便于使计算过程规格化和程序化。这些正是适应了电 子计算机进行自动化计算的要求。 子计算机进行自动化计算的要求。
将一个在荷载作用下的连续结构剖分成若干个各自独立 的单元，原结构可以看成是由各单元在连接点（称结点） 的单元，原结构可以看成是由各单元在连接点（称结点） 连接而成的体系——化整为零 连接而成的体系——化整为零
为了减少基本未知量的数目， 为了减少基本未知量的数目，跨 间集中荷载作用点可不作为结点， 间集中荷载作用点可不作为结点， 但要计算跨间荷载的等效结点荷 跨间结点也可不作为结点， 载；跨间结点也可不作为结点， 但要推导相应的单元刚度矩阵， 但要推导相应的单元刚度矩阵， 编程序麻烦。 编程序麻烦。
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第十三章 矩阵位移法 第一节 矩阵位移法概述
1、矩阵位移法的基本思路
先把结构拆开，分解成若干个单元（在杆件结构中， 先把结构拆开，分解成若干个单元（在杆件结构中， 一般把每个杆件取作一个单元），这个过程称作离散化 ），这个过程称作离散化。 一般把每个杆件取作一个单元），这个过程称作离散化。 然后按单元力学性质对每个单元分析建立单元刚度方程， 单元分析建立单元刚度方程 然后按单元力学性质对每个单元分析建立单元刚度方程， 在满足变形条件和平衡条件的前提下， 在满足变形条件和平衡条件的前提下，将这些单元集合成 整体求解。在一分一合，先拆后搭的过程中， 整体求解。在一分一合，先拆后搭的过程中，把复杂结构 的计算问题转化为简单单元分析和集合问题。 的计算问题转化为简单单元分析和集合问题。 矩阵位移法的要点 ：
u1
1 1
e
EA
2 2
e
EA
u2
EA u1 − l EA u2 l
e
局部坐标 系下的单 刚方程
e
EA EA ⋅ u1e − ⋅ u 2e l l
EA EA ⋅ u1e + ⋅ u 2e l l
F 2e = −
F1 EA 1 −1u1 = l −1 1 u2 F2
3、局部坐标系中的单元刚度矩阵性质 与单元刚度方程相应的正、反两类问题
正问题 {δ } 力学 模型 解的 性质
e
{F }
e
反问题
{F }
e
{δ }
eБайду номын сангаас
将单元视为两端有人为 约束控制的杆件。 约束控制的杆件。 e {δ } 控制附加约束加以 指定。 指定。 都有对应的唯一解，且 都有对应的唯一解， 总是平衡力系。 总是平衡力系。
在杆件结构矩阵分析中， 在杆件结构矩阵分析中，一般 是把杆件的转折点、汇交点、 是把杆件的转折点、汇交点、 边界点、 边界点、突变点或集中荷载作 用点等列为结点， 用点等列为结点，结点之间的 杆件部分作为单元。 杆件部分作为单元。
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第十三章 矩阵位移法 第一节 矩阵位移法概述
2、单元划分
第十三章 矩阵位移法 第一节 矩阵位移法概述
1、矩阵位移法的基本思路 b、基本假设和基本原理 、
线弹性、小变形。满足叠加原理、 线弹性、小变形。满足叠加原理、功能原理
c、正负号规定（采用右手法则） 、正负号规定（采用右手法则）
杆端内力规定当与坐标轴正方向一致时为正； 杆端内力规定当与坐标轴正方向一致时为正； 规定当与坐标轴正方向一致时为正 杆端位移和结点位移规定当与坐标轴正方向一致时为正。 杆端位移和结点位移规定当与坐标轴正方向一致时为正。 规定当与坐标轴正方向一致时为正 结点外力规定当与坐标轴正方向一致时为正； 结点外力规定当与坐标轴正方向一致时为正； 规定当与坐标轴正方向一致时为正
将单元视为两端自由的 { e 杆件， 杆件，F }直接加在自由 端作为指定的杆端力。 端作为指定的杆端力。
{ 为任何值时， {δ } 为任何值时，F }
e
e
无解； 无解； {F }e 为平衡力系时， {δ }e 为平衡力系时， 17 / 48 有无穷多组解。 有无穷多组解。
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第十三章 矩阵位移法 单元分析（ 第二节 单元分析（局部坐标系下的单元分析 ）
单元分析的目的是以结点位移为基本未知量， 单元分析的目的是以结点位移为基本未知量，分析每个单元 的结点力和结点位移及荷载之间的关系， 的结点力和结点位移及荷载之间的关系，即建立单元刚度方 并用矩阵形式表示。 程，并用矩阵形式表示。 坐标系的选择: 1、坐标系的选择: 在矩阵位移法中采用两种坐标系： 在矩阵位移法中采用两种坐标系： 局部坐标系和整体坐标系。 局部坐标系和整体坐标系。
结构力学
第十三章 矩阵位移法
学习内容
有限单元法的基本概念，结构离散化。 有限单元法的基本概念，结构离散化。 平面杆系结构的单元分析： 平面杆系结构的单元分析：局部坐标系下的单元刚度矩 阵和整体坐标系下的单元刚度矩阵。 阵和整体坐标系下的单元刚度矩阵。 平面杆系结构的整体分析： 平面杆系结构的整体分析：结构整体刚度矩阵和结构整 体刚度方程。 体刚度方程。 边界条件的处理，单元内力计算。 边界条件的处理，单元内力计算。 利用对称性简化位移法计算。 利用对称性简化位移法计算。 矩阵位移法的计算步骤和应用举例。 矩阵位移法的计算步骤和应用举例。
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第十三章 矩阵位移法
学习目的和要求
目的： 目的：矩阵位移法是以计算机为计算工具的现代化结 构分析方法。 构分析方法。基于该法的结构分析程序在结构设计中得到 了广泛的应用。因此， 了广泛的应用。因此，以计算机进行结构分析是本章的学 习目的。 习目的。 矩阵位移法是以位移法为理论基础， 矩阵位移法是以位移法为理论基础，以矩阵为表现形 以计算机为运算工具的综合分析方法。 式，以计算机为运算工具的综合分析方法。引入矩阵运算 的目的是使计算过程程序化，便于计算机自动化处理。 的目的是使计算过程程序化，便于计算机自动化处理。尽 管矩阵位移法运算模式呆板，过程繁杂， 管矩阵位移法运算模式呆板，过程繁杂，但这些正是计算 机所需要的和十分容易解决的。 机所需要的和十分容易解决的。矩阵位移法的特点是用 机算”代替“手算” 因此， “机算”代替“手算”。因此，学习本章是既要了解它与 位移法的共同点，更要了解它的一些新手法和新思想。 位移法的共同点，更要了解它的一些新手法和新思想。
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第十三章 矩阵位移法 单元分析（ 第二节 单元分析（局部坐标系下的单元分析 ）
3、局部坐标系中的单元刚度矩阵性质
[]
EA 1 −1 k11 k12 k = = l −1 1 k21 k22
e
单刚具有对称性： 单刚具有对称性： 由反力互等定理可知 反力互等定理可知 单刚一般具有奇异性： 单刚一般具有奇异性：
{F } = [k ] {δ }
e e
e
[]
EA 1 −1 k = l −1 1
e
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第十三章 矩阵位移法 单元分析（ 第二节 单元分析（局部坐标系下的单元分析 ）
2、局部坐标系中的单元刚度矩阵
[]
• • •
EA 1 −1 k11 k12 k = = l −1 1 k21 k22
y
y
x
x
FP
整体坐标 局部坐标
y
x
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第十三章 矩阵位移法 单元分析（ 第二节 单元分析（局部坐标系下的单元分析 ）
2、局部坐标系中的单元刚度矩阵 采用局部坐标系（以杆的轴线作为x轴 采用局部坐标系（以杆的轴线作为 轴）时，杆端力及 杆端位移的正方向以坐标轴正方向为正。 杆端位移的正方向以坐标轴正方向为正。
k ij = k ji
[k ]
eT
= k
[]
e
受力角度：存在刚体位移， 受力角度：存在刚体位移，杆端位移无法唯一确定 数学角度：向量相关，矩阵不可逆，行列式为零。 数学角度：向量相关，矩阵不可逆，行列式为零。
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第十三章 矩阵位移法 单元分析（ 第二节 单元分析（局部坐标系下的单元分析 ）
e
刚度系数的物理意义 刚度系数的物理意义： 系数的物理意义 单元刚度矩阵是杆端力与杆端位移之物理关系； 单元刚度矩阵是杆端力与杆端位移之物理关系； 杆端力与杆端位移之物理关系 矩阵的阶数与杆 位移分量数相等； 矩阵的阶数与杆端位移分量数相等；
k ij 表示 u j = 1 引起的杆端力Fi 的大小。 大小。
化整为零
（离散化、单元分析） 离散化、单元分析）
集零为整
（结点力平衡、位移协调） 结点力平衡、位移协调）
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第十三章 矩阵位移法 第一节 矩阵位移法概述
2、单元划分
将一个在荷载作用下的连续结构剖分成若干个各自独立 的单元，原结构可以看成是由各单元在连接点（称结点） 的单元，原结构可以看成是由各单元在连接点（称结点） 连接而成的体系——化整为零 连接而成的体系——化整为零
y
EA
杆件方向： 杆件方向：
1→2
F1e
u1
1
e
l
2
F2e
u2
x
杆端位移： 杆端位移： 位移 杆端内力： 杆端内力：
u1 ,u 2
F1 , F2
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第十三章 矩阵位移法 单元分析（ 第二节 单元分析（局部坐标系下的单元分析 ）
2、局部坐标系中的单元刚度矩阵
EA u1 l EA u2 − l
4 / 48
第十三章 矩阵位移法 第一节 矩阵位移法概述
矩阵位移法以传统的结构力学作为理论基础; 矩阵位移法以传统的结构力学作为理论基础; 以传统的结构力学作为理论基础 以矩阵作为数学表达形式; 以矩阵作为数学表达形式; 以电子计算机作为计算手段 三位一体的解决各种杆系结构受力、 三位一体的解决各种杆系结构受力、变形等计算的方 法。 采用矩阵进行运算，不仅公式紧凑，而且形式统一， 采用矩阵进行运算，不仅公式紧凑，而且形式统一， 便于使计算过程规格化和程序化。 便于使计算过程规格化和程序化。这些正是适应了电 子计算机进行自动化计算的要求。 子计算机进行自动化计算的要求。
将一个在荷载作用下的连续结构剖分成若干个各自独立 的单元，原结构可以看成是由各单元在连接点（称结点） 的单元，原结构可以看成是由各单元在连接点（称结点） 连接而成的体系——化整为零 连接而成的体系——化整为零
为了减少基本未知量的数目， 为了减少基本未知量的数目，跨 间集中荷载作用点可不作为结点， 间集中荷载作用点可不作为结点， 但要计算跨间荷载的等效结点荷 跨间结点也可不作为结点， 载；跨间结点也可不作为结点， 但要推导相应的单元刚度矩阵， 但要推导相应的单元刚度矩阵， 编程序麻烦。 编程序麻烦。
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第十三章 矩阵位移法 第一节 矩阵位移法概述
1、矩阵位移法的基本思路
先把结构拆开，分解成若干个单元（在杆件结构中， 先把结构拆开，分解成若干个单元（在杆件结构中， 一般把每个杆件取作一个单元），这个过程称作离散化 ），这个过程称作离散化。 一般把每个杆件取作一个单元），这个过程称作离散化。 然后按单元力学性质对每个单元分析建立单元刚度方程， 单元分析建立单元刚度方程 然后按单元力学性质对每个单元分析建立单元刚度方程， 在满足变形条件和平衡条件的前提下， 在满足变形条件和平衡条件的前提下，将这些单元集合成 整体求解。在一分一合，先拆后搭的过程中， 整体求解。在一分一合，先拆后搭的过程中，把复杂结构 的计算问题转化为简单单元分析和集合问题。 的计算问题转化为简单单元分析和集合问题。 矩阵位移法的要点 ：