相似三角形复习讲义

教育学科教师辅导讲义
学员编号：年级：初三课时数：
学员姓名：辅导科目：数学学科教师：课题相似三角形
授课日期及时段
教学目的
1、理解并掌握相似的定义及其性质；
2、进一步加强相似判定方法的运用；
3、综合运用三角形知识点分析求解问题。

教学内容
一、上次作业检查与讲解；
二、学习要求及方法的培养：
三、知识点分析、讲解与训练：
例一、（1）（2013•内江）如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=（）
（2）（2013菏泽）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（）
（3）(2014年湖北咸宁)如图，在△ABC中，AB=AC=10，点D是边BC上一动点（不与B，C重合），∠ADE=∠B=α，DE交AC于点E，cosα=．下列结论：
①△ADE∽△ACD；②当BD=6时，△ABD与△DCE全等；③△DCE为直角三角形时，BD为8或；
④0＜CE≤6.4。

其中正确的结论是。

（把你认为正确结论的序号都填上）
典例精讲
例二、（2014•上海）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC、BD相交于点F，点E是边BC延长线上一点，且∠CDE=∠ABD．
（1）求证：四边形ACED是平行四边形；
（2）联结AE，交BD于点G，求证：=．
例三、（2014•山东潍坊）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE、BF，交点为G．
(1)求证：AE⊥BF；
(2)将△BCF沿BF对折，得到△BPF（如图2），延长FP交BA的延长线于点Q，求sin∠BQP的值；
(3)将△ABE绕点A逆时针方向旋转，使边AB正好落在AE上，得到△AHM（如图3），若AM和BF相交于点N，当正方形ABCD的面积为4时，求四边形GHMN的面积．
例四、(2014•年山东东营)【探究发现】如图1，△ABC是等边三角形，∠AEF=60°，EF交等边三角形外角平分线CF所在的直线于点F，当点E是BC的中点时，有AE=EF成立；
【数学思考】某数学兴趣小组在探究AE、EF的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，通过验证得出如下结论：当点E是直线BC上（B，C除外）任意一点时（其它条件不变），结论AE=EF仍然成立．假如你是该兴趣小组中的一员，请你从“点E是线段BC上的任意一点”；“点E是线段BC延长线上的任意一点”；“点E时线段BC反向延长线上的任意一点”三种情况中，任选一种情况，在图2中画出图形，并证明AE=EF．
【拓展应用】当点E在线段BC的延长线上时，若CE=BC，在图3中画出图形，并运用上述结论求出S△ABC：S△AEF 的值．
例五、（13年安徽省）我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”。

如图1，四边形ABCD 即为“准等腰梯形”。

其中∠B=∠C 。

（1）在图1所示的“准等腰梯形”ABCD 中，选择合适的一个顶点引一条直线将四边形ABCD 分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形（画出一种示意图即可）。

（2）如图2，在“准等腰梯形”ABCD 中，∠B=∠C ，E 为边BC 上一点，若AB ∥DE ，AE ∥DC ，求证：
EC
BE DC AB 。

（3）在由不平行于BC 的直线截ΔPBC 所得的四边形ABCD 中，∠BAD 与∠ADC 的平分线交于点E ，若EB=EC ，请问当点E 在四边形ABCD 内部时（即图3所示情形），四边形ABCD 是不是“准等腰梯形”，为什么？若点E 不在四边形ABCD 内部时，情况又将如何？写出你的结论（不必说明理由）
巩固练习
1、（2013•昆明）如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A，B重合），对角线AC，BD相交于点O，过点P分别作AC，BD的垂线，分别交AC，BD于点E，F，交AD，BC于点M，N。

下列结论：
①△APE≌△AME；②PM+PN=AC；③PE2+PF2=PO2；④△POF∽△BNF；⑤当△PMN∽△AMP时，点P是AB的中点。

其中正确的结论有（）
2、(2014•年山东东营)下列关于位似图形的表述：
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，
这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比。

其中正确命题的序号是（） A．②③B．①②C．③④ D．②③④
3、（2014•四川泸州）如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC的平分线分别交AD、AC于点E，F，则的值是（）
A. B. C. D.
4、（2013•新疆）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的
中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（）
A.2
B.2.5或3.5
C.3.5或4.5
D.2或3.5或4.5
5、（2013•孝感）如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC内依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．则EF等于（）
A. B. C. D.
（第4题）（第5题）
6、（2013•咸宁）如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知
自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（）
A. B.1
2
C. D.
7、（2013台湾、33）如图，将一张三角形纸片沿虚线剪成甲、乙、丙三块，其
中甲、丙为梯形，乙为三角形．根据图中标示的边长数据，比较甲、乙、丙的面积大小，下列判断何者正确？
（）
A．甲＞乙，乙＞丙B．甲＞乙，乙＜丙C．甲＜乙，乙＞丙D．甲＜乙，乙＜丙
8、（2013•苏州）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A、C分别在x，y轴的正半轴上．点Q在对角线OB上，且QO=OC，连接CQ并延长CQ交边AB于点P．则点P的坐标为．
9、（2013•徐州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF
（点E、F分别在边AC、BC上）
（1）若△CEF与△ABC相似．
①当AC=BC=2时，AD的长为；②当AC=3，BC=4时，AD的长为；
（2）当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似吗？请说明理由．
10、（13年山东青岛、24压轴题）已知，如图，□ABCD 中，AD=3cm ，CD=1cm ，∠B=45°，点P 从点A 出发，沿AD 方向匀速运动，速度为3cm/s ；点Q 从点C 出发，沿CD 方向匀速运动，速度为1cm/s ，连接并延长QP 交BA 的延长线于点M ，过M 作MN ⊥BC ，垂足是N ，设运动时间为t （s ）（0＜t ＜1），解答下列问题：
（1）当t 为何值时，四边形AQDM 是平行四边形？
（2）设四边形ANPM 的面积为y （cm ²），求y 与t 之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t ，使四边形ANPM 的面积是□ABCD 面积的一半，若存在，求出相应的t 值，若不存在，说明理由
（4）连接AC ，是否存在某一时刻t ，使NP 与AC 的交点把线段AC 分成1:2的两部分？若存在，求出相应的t 值，若不存在，说明理由。

11、（2014•山东淄博,第23题9分）如图，四边形ABCD 中，AC ⊥BD 交BD 于点E ，点F ，M 分别是AB ，BC 的中点，BN 平分∠ABE 交AM 于点N ，AB=AC=BD ．连接MF ，NF ．
（1）判断△BMN 的形状，并证明你的结论；
（2）判断△MFN 与△BDC 之间的关系，并说明理由．
12、（2014•江苏盐城,第25题10分）菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作一条直线分别交DA 、BC 的延长线于点E 、F ，连接BE 、DF ．
O P B C A D M N Q
（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；
（2）若EF⊥AB，垂足为M，tan∠MBO=，求EM：MF的值．
13、（2013•苏州）如图，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长DP交边AB于点E，连接BP并延长交边AD于点F，交CD的延长线于点G．
（1）求证：△APB≌△APD；
（2）已知DF：FA=1：2，设线段DP的长为x，线段PF的长为y．
①求y与x的函数关系式；
②当x=6时，求线段FG的长．。