椭圆中的焦点三角形应用
椭圆中的焦点三角形公示的证明和应用
考点4 有关面积的问题：
例4
x2 y 2 P是椭圆 1上的点，Fl，F2是椭圆的焦点， 5 4
若F1 PF2
3
, 则PF1 F2的面积等于 _______ 。
怎样改动，使上面Байду номын сангаас是一个错题？
x2 y2 一：P是椭圆 1上的点，Fl，F2是椭圆的焦点， 5 4 若F1 PF2
解: 设 PF1 m， 2 n，由余弦定理得 PF
m n 2mn cos F1 F2
2 2 2
4c 2 ①
由椭圆定义得m n 2a② 2( a 2 c 2 ) 2b 2 由①得：mn 1 cos 1 cos 1 sin 2 2 S F1PF2 mn sin b b tan 2 1 cos 2
x2 y 2 例3 已知椭圆 2 2 1(a b 0)的两焦点分别为F1 , F2 , a b 若椭圆上存在一点P, 使得F1 PF2 1200 , 求椭圆的离心率e 的取值范围。
由前面考点二的分析，你能得出cos F1 PF2
与离心率e的关系吗？
性质二：已知椭圆方程为
x2 y2 2 1(a b 0), 两焦点分别 2 a b
变式：
1. 2006四川） （ 如图把椭圆的长轴AB分成8分， 过每个分点作ｘ轴的垂线交椭圆的上半部分 于P , P2 , P7 七个点，F是椭圆的一个焦点， 1 则 P F P2 F P7 F _________ 1
x2 y 2 2. 已知F1、F2是椭圆 1的左, 右焦点, 点P在 25 9 椭圆上运动,则 PF1 PF2 的最大值是_______
2
椭圆中焦点三角形的性质及应用
椭圆中焦点三角形的性质及应用
又，故满足：故为直角三角形、说明：考查定义、利用已知、发挥联想，从而解题成功、性质一：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则。
性质二：已知椭圆方程为左右两焦点分别为设焦点三角形，若最大，则点P为椭圆短轴的端点。
证明：设,由焦半径公式可知：，在中， = 性质三：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为性质四：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则证明：设则在中，由余弦定理得：
命题得证。
（2000年高考题）已知椭圆的两焦点分别为若椭圆上存在一点使得求椭圆的离心率的取值范围。
简解：由椭圆焦点三角形性质可知即 ,于是得到的取值范围是性质五：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形，则椭圆的离心率。
由正弦定理得：由等比定理得：而，∴。
已知椭圆的焦点是F1(－1，0)、F2(1，0)，P为椭圆上一点，且｜F1F2｜是｜PF1｜和｜PF2｜的等差中项．(1)求椭圆的方程；(2)若点P在第三象限，且∠PF1F2＝120，求tanF1PF2．解：(1)由题设2｜F1F2｜＝｜PF1｜＋｜PF2｜∴2a＝４，又2c＝2，∴b＝∴椭圆的方程为＝1．(2)设∠F1PF2＝θ，则∠PF2F1＝60－θ椭圆的离心率则，整理得：5sinθ＝(1＋cosθ)∴故，tanF1PF2＝tanθ＝．
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椭圆中的焦点三角形应用PPT课件
P是 椭 圆 上 一 点 ， 且 ∠ F1PF2=θ ， 求求 三椭 角形圆 F的 1PF面 2的积 面。 积。 解:设 PF1 m，PF2 n， 由 余 弦 定 理 得
m 2 n 2 2 m n cos F1F2 2 4c 2①
由椭圆定义得m n 2a②
由 ① 得 ：mn 2(a2 c2 ) 2b2
两焦点所成张角中最大的角
考点2 有关角的问题：
例2
椭圆
x2 9
y2 4
1的焦点为Fl、F2，点P为其上一点，当
P,F1,F2三点构成直角三角形时，则这样的点P有______个。
y
P
F1
F2
x
答案：8
变式:1
F 1,F 2是 椭 圆 C:x82y421的 焦 点 ,
在 C 上 满 足 P F 1 P F 2 的 点 P 的 个 数 为 _ _ 2_ _ _ _
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变式:2
(2000全 国 )椭 圆x92y42 1的 焦 点 为 Fl、 F2， 点 P为 其 上 动 点 ， 当 FlPF2为 钝 角 时 ， 点P横 坐 标 的 取 值
范 围 是__（__2_,_4_）_。
考点3 有关面积的问题：
若 F1、 F2是 椭 圆 x a2 2+b y2 2=1(a>b>0)的 两 个 焦 点 ，
变式：交 椭 圆 于 A 、 B 两 点 , 若 F 2AF 2B 1 2 ,则 A B_ _ 8_ _ _ _ _
1（ . 2006四川） 如图把椭圆的长轴AB分成8分， 过每个分点作ｘ轴的垂线交椭圆的上半部分 于P1,P2,P7七个点，F是椭圆的一个焦点，
椭圆中的焦点三角形案例分析
《椭圆中的焦点三角形》的案例分析（一）：复习引入：1：椭圆的定义（二）：基础训练及例题问题(一)利用焦点三角形求轨迹方程例1：在△ABC 中，已知B,C 坐标分别为(-3,0)和(3,0)，且△ABC 周长为16，则顶点A 的轨迹方程。
变题1：在△ABC 中，已知B,C 坐标分别为(-3,0)和(3,0)，AB,AC 边上中线长为15，则此三角形重心G 的轨迹方程。
变题2：（93年全国高考卷）若△ABC 面积为1，tan ∠ABC=21, tan ∠ACB=2-建立适当坐标系，求以B,C 为焦点并且过点A 的椭圆方程【设计说明】结合高考，逐层深入。
其实变题1，2还是要回归例题1中焦点三角形的边的关系实行求解。
问题(二)焦点三角形的性质例2122y x 的2个焦点，若A 、B 是椭圆过焦点F 1的弦，则B A C(1)求△AF 1F 2，△ABF 2的周长。
(2)求21AF AF ⋅最大值？(3)求∠F 1AF 2的最值？（4） 若∠F 1AF 2为钝角时，求点A 横坐标的范围（2000年全国高考卷）（5）△AF 1F 2面积的最大值。
（6）设∠F 1AF 2为θ，求21F AF S ∆的面积【设计说明】把不等式、三角、面积等等知识实行融会贯通，让学生形成一个整体的认知结构，实现新旧知识的贯通。
（三） 巩固练习（一）必做题（1）（2005年全国高考卷）设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1F 2P 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（2）动圆与定圆x 2+y 2+4y-32=0内切且过定圆内的一个定点A （0，2），求动圆圆心P 的轨迹方程。
（3）已知M 为椭圆上一点，F 1、F 2为2个焦点，且∠MF 1F 2=600, ∠MF 2F 1=300，则椭圆的离心率为 。
（4）已知F 1，F 2为椭圆14922=+y x 的2个焦点，M （1，1）为椭圆内一定点，A 为椭圆上任意一点，求AM AF +1的最大值。
关于椭圆焦点三角形内心的相关结论及其应用
2020年第12期中学数学教学参考（下旬)学研堂w w 关于椭圆焦点三角形内心的相关结论及其应用师吉芹（山东省章丘中学）摘要：对于与椭圆焦点三角形的内心相关的定值问题，值得我们深入学习，探究拓展，总结归纳，以便解 题时直接应用。
关键词：概圆；焦点三角形；内心；定义；离心率文章编号：1002-2171 (2020) 12-0068-02椭圆的焦点三角形一般是指以椭圆的两个焦点巧，^和椭圆上与焦点同轴的两个顶点外的任意一点P为顶点所构成的三角形。
关于椭圆焦点三角形的 考查，在各类考试中特别是高考中屡见不鲜，而一些涉及 椭圆焦点三角形内心的定值问题值得我们深人学习，探 究拓展。
1有关定值问题1.1椭圆焦点三角形内心的比值问题结论1:已知P为椭圆C:<十菩=l(a>6>0)a b上的任意一点，F,,F2分别为椭圆C的左、右焦点，△ P F,F2内切圆的圆心为/，直线交1轴于点M，则有^|=+(其中e为椭圆C的离心率）。
证明：由于a p f,f2的内切圆的圆心为/，直线 交X轴于点M，则由内切圆的性质及角平分线定a 151 #\^r\=m^\'m ffl® 〇r%I P F, |+I P F2I|F,M|+|M F2|2a|P F2|_|M F2|*B|J|P F J所以有=又由内切圆的性质及角價幻爾觀=黑，龍#瑞=I p f2I _a. 1|M F2| 一C 一？反思：随着点P在椭圆C上运动，相应线段长度的比值恒为定值。
在证明过程中，充分利用角平分线定理、比例性质及内切圆的性质等平面几何知识，与解析几何知识充分融合，达到知识间的和谐与统一。
1.2補圆焦点三角形内心的面积问题结论2:已知P为椭圆C:4+#=1U>6>0)a b上的任意一点，^^，巧分别为椭圆C的左、右焦点，△ P F,F2内切圆的圆心为则有q Sa^^2=e。
■^A P/F j~r^>AP/F2(其中S表示对应三角形的面积<为椭圆C的离心率）证明：设A P F,F2内切圆的半径为r,根据椭圆的定义可得I F F, |+ |P F2 |=2a,而^2|=2〇那么，•S厶f■X2c X?•S a P/F.+Si■X2a X i反思：随着点P在椭圆C上运动，相应三角形面 积的比值__)恒为定值。
高中数学椭圆焦点三角形面积公式的应用
椭圆焦点三角形面积公式的应用定理 在椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆上任意一点，θ=∠21PF F ，则2tan 221θb S PF F =∆证明：记2211||,||r PF r PF ==.4)(,2222121a r r a r r =+∴=+在△21PF F 中，由余弦定理得：cos 2212221r r r r -+θ配方得：.4cos 22)(22121221c r r r r r r =--+θ 即.4)cos 1(242212c r r a =+-θ.cos 12cos 1)(222221θθ+=+-=∴b c a r r由任意三角形的面积公式得：2tan 2cos 22cos2sin2cos 1sin sin 2122222121θθθθθθθ⋅=⋅=+⋅==∆b b b r r S PF F ..2tan 221θb S PF F =∴∆同理可证，在椭圆12222=+bx a y （a ＞b ＞0）中，公式仍然成立.典题妙解例 1 若P 是椭圆16410022=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且︒=∠6021PF F ，求△21PF F 的面积.解法一：在椭圆16410022=+y x 中，,6,8,10===c b a 而.60︒=θ记.||,||2211r PF r PF ==点P 在椭圆上，∴由椭圆的第一定义得：.20221==+a r r在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212221c r r r r =-+θ 配方，得：.1443)(21221=-+r r r r.144340021=-∴r r 从而.325621=r r .336423325621sin 212121=⨯⨯==∆θr r S PF F 解法二：在椭圆16410022=+y x 中，642=b ，而.60︒=θ .336430tan 642tan221=︒==∴∆θb S PF F 解法一复杂繁冗，运算量大，解法二简捷明了，两个解法的优劣立现！例2 已知P 是椭圆192522=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦212121=，则△21PF F 的面积为（ ） A. 33 B. 32 C. 3D.33 解：设θ=∠21PF F ，则21||||cos 2121=⋅=PF PF θ，.60︒=∴θ .3330tan 92tan221=︒==∴∆θb S PF F故选答案A.例3（04湖北）已知椭圆191622=+y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，点P在椭圆上. 若P 、1F 、2F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ）A. 59B. 779C. 49D.49或779解：若1F 或2F 是直角顶点，则点P 到x 轴的距离为半通径的长492=a b ；若P 是直角顶点，设点P 到x 轴的距离为h ，则945tan 92tan 221=︒==∆θb S PF F ，又,7)2(2121h h c S PF F =⋅⋅=∆97=∴h ，.779=h 故答案选D. 金指点睛1. 椭圆1244922=+x y 上一点P 与椭圆两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21PF F 的面积为（ ）A. 20B. 22C. 28D. 242. 椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积为1时，21PF ⋅的值为（ ）A. 0B. 1C. 3D. 63. 椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积最大时，21PF ⋅的值为（ ）A. 0B. 2C. 4D. 2-4．已知椭圆1222=+y ax （a ＞1）的两个焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，且︒=∠6021PF F ，则||||21PF PF ⋅的值为（ ）A ．1B ．31C ．34D ．325. 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，1F 、2F 为焦点，点P 在椭圆上，直线1PF 与2PF 倾斜角的差为︒90，△21PF F 的面积是20，离心率为35，求椭圆的标准方程.6．已知椭圆的中心在原点，1F 、2F 为左右焦点，P 为椭圆上一点，且21||||2121-=⋅PF PF ，△21PF F 的面积是3，准线方程为334±=x ，求椭圆的标准方程.参考答案1. 解：24,90221=︒==∠b PF F θ，∴2445tan 242tan 221=︒==∆θb S PF F .故答案选D.2. 解：设θ=∠21PF F ， 12tan 2tan 221===∆θθb S PF F ，∴︒=︒=90,452θθ，021=⋅PF PF .故答案选A.3. 解：3,1,2===c b a ，设θ=∠21PF F ， 2tan 2tan 221θθ==∆b S PF F ，∴当△21PF F 的面积最大时，θ为最大，这时点P 为椭圆短轴的端点，︒=120θ，∴2120cos cos ||||22121-=︒=⋅=⋅a PF PF PF θ.故答案选D.4． 解：︒==∠6021θPF F ，1=b ，3330tan 2tan 221=︒==∆θb S PF F ， 又 ||||43sin ||||21212121PF PF PF PF S PF F ⋅=⋅=∆θ， ∴33||||4321=⋅PF PF ，从而34||||21=⋅PF PF . 故答案选C.5. 解：设θ=∠21PF F ，则︒=90θ. 2045tan 2tan 22221==︒==∆b b b S PF F θ，又 3522=-==a b a ac e ， ∴95122=-a b ，即952012=-a.解得：452=a .∴所求椭圆的标准方程为1204522=+y x 或1204522=+x y . 6．解：设θ=∠21PF F ，∴︒=-=⋅=120,21||||cos 2121θθPF PF . 3360tan 2tan22221==︒==∆b b b S PF F θ，∴1=b .又 3342=c a ，即33333411222+==+=+=+c c c c c b c . ∴3=c 或33=c . 当3=c 时，222=+=c b a ，这时椭圆的标准方程为1422=+y x ；当33=c 时，33222=+=c b a ，这时椭圆的标准方程为13422=+y x ；但是，此时点P 为椭圆短轴的端点时，θ为最大，︒=60θ，不合题意.故所求的椭圆的标准方程为1422=+y x .仰望天空时，什么都比你高，你会自卑; 俯视大地时，什么都比你低，你会自负; 只有放宽视野，把天空和大地尽收眼底， 才能在苍穹泛土之间找准你真正的位置。
椭圆焦点三角形内切圆相关结论
椭圆焦点三角形内切圆相关结论1. 椭圆与焦点的奇妙关系说到椭圆，大家脑海中是不是浮现出一个大大的“椭”字呢？其实，椭圆不仅长得优雅，里面还藏着不少有趣的秘密。
先说说它的焦点，椭圆有两个焦点，嘿，像极了我们生活中的两位主角，总是围绕着彼此转。
你有没有发现，椭圆的每一个点到这两个焦点的距离之和是固定的，就好像是两个人在玩捉迷藏，不管怎么藏，最后总能找到彼此，真是个甜蜜的道理！其实，椭圆的焦点不仅仅是个数学概念，它还和我们生活中的很多事情有关。
比方说，焦点就像我们人生中的目标，无论前方的路有多曲折，只要心中有焦点，便能找到前进的方向。
这就让我想起了一句老话：“心中有数，脚下有路。
”没错，专注于目标才能在曲折的人生道路上稳步前行。
1.1. 焦点三角形的形成接下来，我们得聊聊焦点三角形。
想象一下，在椭圆的两焦点上，我们拉出三条线，连接到椭圆上的某个点，这样就形成了一个三角形。
哦，三角形可是个有意思的家伙，古往今来，总是和各种美妙的公式联系在一起。
这里就不得不提到三角形的内切圆了。
内切圆？别着急，听我慢慢道来。
内切圆就像是个小精灵，恰好把三角形包裹住，完美无瑕。
它的中心叫做内心，真是个温暖的名字！就好比生活中的归属感，无论我们身处何地，总希望有个地方让我们心安。
内切圆的半径和三角形的面积、周长之间，还有一段微妙的关系呢。
说白了，就是三角形越大，内切圆也就越“壮”，让人不禁感叹数学的奇妙。
1.2. 焦点三角形内切圆的性质那说到内切圆，咱们就得关注一下它的性质。
这个小家伙不仅仅是圆那么简单，它还有着一些让人惊叹的特性。
比如说，内切圆的半径和三角形的面积有着密切的关系。
试想一下，假如你是一位厨师，想要做一份大餐，内切圆的半径就像是你碗里的米饭，越多越好，才能做出丰盛的佳肴。
其实，三角形的面积就像这道菜的美味，内切圆则是让菜更完美的调味料。
再说了，三角形的高和内切圆的半径之间也有一层神秘的联系。
就像咱们生活中的努力和回报，只有不断付出，才能获得相应的回报。
椭圆焦点三角形面积
椭圆焦点三角形面积公式的应用定理 在椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆上任意一点，θ=∠21PF F ，则2tan221θb S PF F =∆.证明：记2211||,||r PF r PF ==，由椭圆的第一定义得.4)(,2222121a r r a r r =+∴=+在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212221c r r r r =-+θ配方得：.4cos 22)(22121221c r r r r r r =--+θ 即.4)cos 1(242212c r r a =+-θ.cos 12cos 1)(222221θθ+=+-=∴b c a r r由任意三角形的面积公式得：2tan 2cos 22cos2sin2cos 1sin sin 2122222121θθθθθθθ⋅=⋅=+⋅==∆b b b r r S PF F ..2tan221θb S PF F =∴∆同理可证，在椭圆12222=+bx a y （a ＞b ＞0）中，公式仍然成立.典题妙解例1 若P 是椭圆16410022=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且︒=∠6021PF F ，求 △21PF F 的面积.解法一：在椭圆16410022=+y x 中，,6,8,10===c b a 而.60︒=θ记.||,||2211r PF r PF == 点P 在椭圆上，∴由椭圆的第一定义得：.20221==+a r r在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212221c r r r r =-+θ配方，得：.1443)(21221=-+r r r r.144340021=-∴r r 从而.325621=r r .336423325621sin 212121=⨯⨯==∆θr r S PF F 解法二：在椭圆16410022=+y x 中，642=b ，而.60︒=θ .336430tan 642tan221=︒==∴∆θb S PF F 解法一复杂繁冗，运算量大，解法二简捷明了，两个解法的优劣立现！例 2 已知P 是椭圆192522=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若212121=，则△21PF F 的面积为（ ） A. 33 B. 32 C. 3 D.33 解：设θ=∠21PF F ，则21||||cos 2121=⋅=PF PF θ，.60︒=∴θ .3330tan 92tan221=︒==∴∆θb S PF F故选答案A.例3（04湖北）已知椭圆191622=+y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，点P 在椭圆上. 若P 、1F 、2F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ）A.59 B. 779 C. 49 D. 49或779 解：若1F 或2F 是直角顶点，则点P 到x 轴的距离为半通径的长492=a b ；若P 是直角顶点，设点P 到x 轴的距离为h ，则945tan 92tan221=︒==∆θb S PF F ，又,7)2(2121h h c S PF F =⋅⋅=∆ 97=∴h ，.779=h 故答案选D.金指点睛1. 椭圆1244922=+x y 上一点P 与椭圆两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21PF F 的面积为（ ） A. 20 B. 22 C. 28 D. 242. 椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积为1时，21PF PF ⋅的值为（ ）A. 0B. 1C. 3D. 63. 椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积最大时，21PF PF ⋅的值为（ ）A. 0B. 2C. 4D. 2-4．已知椭圆1222=+y ax （a ＞1）的两个焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，且︒=∠6021PF F ，则||||21PF PF ⋅的值为（ ） A ．1B ．31C ．34 D ．32 5. 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，1F 、2F 为焦点，点P 在椭圆上，直线1PF 与2PF 倾斜角的差为︒90，△21PF F 的面积是20，离心率为35，求椭圆的标准方程. 6．已知椭圆的中心在原点，1F 、2F 为左右焦点，P 为椭圆上一点，21||||2121-=⋅PF PF ，△21PF F的面积是3，准线方程为334±=x ，求椭圆的标准方程.参考答案1. 解：24,90221=︒==∠b PF F θ，∴2445tan 242tan221=︒==∆θb S PF F .故答案选D.2. 解：设θ=∠21PF F ， 12tan2tan221===∆θθb S PF F ，∴︒=︒=90,452θθ，021=⋅PF PF .故答案选A.3. 解：3,1,2===c b a ，设θ=∠21PF F ， 2tan2tan221θθ==∆b S PF F ，∴当△21PF F 的面积最大时，θ为最大，这时点P 为椭圆短轴的端点，︒=120θ，∴2120cos cos ||||22121-=︒=⋅=⋅a PF PF PF θ. 故答案选D.4． 解：︒==∠6021θPF F ，1=b ，3330tan 2tan221=︒==∆θb S PF F ， 又 ||||43sin ||||21212121PF PF PF PF S PF F ⋅=⋅=∆θ， ∴33||||4321=⋅PF PF ，从而34||||21=⋅PF PF . 故答案选C.5. 解：设θ=∠21PF F ，则︒=90θ. 2045tan 2tan22221==︒==∆b b b S PF F θ，又 3522=-==a b a a c e ， ∴95122=-ab ，即952012=-a .解得：452=a .∴所求椭圆的标准方程为1204522=+y x 或1204522=+x y . 6．解：设θ=∠21PF F ，∴︒=-=⋅=120,21cos 2121θθ.3360tan 2tan22221==︒==∆b b b S PF F θ，∴1=b .又 3342=c a ，即33333411222+==+=+=+c c c c c b c . ∴3=c 或33=c . 当3=c 时，222=+=c b a ，这时椭圆的标准方程为1422=+y x ；当33=c 时，33222=+=c b a ，这时椭圆的标准方程为13422=+y x ；但是，此时点P 为椭圆短轴的端点时，θ为最大，︒=60θ，不合题意.故所求的椭圆的标准方程为1422=+y x .。
椭圆焦点三角形性质的探究及应用
椭圆焦点三角形性质的探究及应用
李生兵
【期刊名称】《数学教育研究》
【年(卷),期】2014(000)002
【摘要】在椭圆中，以椭圆x2/a2＋y2/b2=1（a〉b〉0）的两个焦点F1，F2，及椭圆上任意一点P（除长轴上两个端点外）为顶点的△F1PF2叫椭圆的焦点三角形．在△F1PF2中，由椭圆的定义知｜PF1｜＋｜PF2｜=2a（2a〉2c）和焦距｜F1F2＋=2c都是常数．与焦点三角形有关的问题是高考的热点，题型灵活多样，主要考查椭圆定义、三角形中的的正（余）弦定理、内角和定理、面积公式等，以下探究几个一般性的性质．
【总页数】2页(P63-64)
【作者】李生兵
【作者单位】甘肃省高台县第一中学,734300
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.椭圆中焦点三角形的性质及应用探究 [J], 任双宝
2.椭圆焦点三角形性质的探究及应用 [J], 李生兵
3.从一道预赛试题探究椭圆焦点三角形外接圆的性质 [J], 陈良骥
4.椭圆焦点三角形的性质探究与应用——椭圆的“第三定义” [J], 洪汪宝
5.中职数学问题探究"学与教"实践研究——以椭圆焦点三角形性质为例 [J], 王统增
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椭圆中的“焦点三角形”性质及应用
性质一 ： （ 焦点三角形面积 ） 已知椭 圆方程 为 ＋
一１ （ 口 ＞６ ＞０ ） ，两焦点 分别 为 Ｆ 、 Ｆ ２ ， Ｐ为椭 圆上任 意
一
Ｆ Ｉ Ｐ Ｇ 的取值范 围
． （ 答案 ： ［ ０ ， ］ ）
点（ 除长轴端点外） ， 设 焦点三角形 Ｐ Ｆ Ｆ ２ 中 Ｆ Ｐ Ｆ ２
一
一
１ — １ — ２ Ｐ ２
ａ。
通过性质三 ， 可得应用三 ：
～
（ 答案 ： ２ ０ ）
２
．
．
２
２ ． 若Ｐ 为 椭圆 ＋ 等一 １ 上的 一点， Ｆ 、 Ｆ 。 为 左 右
焦点， 若 Ｆ Ｉ Ｐ Ｇ一号 ， 求点 Ｐ到ｚ轴的距离． （ 答案：
）
１ ． （ ２ ０ ０ ０年全国高考题） 已知椭 圆方程 为 ＋ 一
‘ 。
．
一ｎ ＜ ｚ０ ＜ 口， ． ‘ ． ＜以 ，
“ 焦点三角形” 的定 义为 ： 椭 圆上 的任 意一 点 （ 除长 轴端 点外） 与两个焦 点构 成 的三角 形． 通常“ 焦 点三 角形 ” 的 问题都 有 意地考 查 了椭 圆的定义 、 三角 形 中的正 弦 、 余 弦定理 、 三角形 的面积 、 内角 大小 等知识 ， 现 笔者就 椭 圆
“ 焦点三角形” 的 性 质 及 应 用 举 例 分 析 如 一０时 ， ｃ ｏ ｓ Ｏ取 最 小 值 ， 此 时 ０最 大 ， 即若
Ｆ １ Ｐ Ｆ ２ 最大 ， 则点 Ｐ为椭圆短轴的端点．
通过性质二 ， 可得 应 用 二 ：
１ ． 点 Ｐ 在 椭 圆 ＋ｙ 。 一 １上 ， Ｆ １ 、 Ｆ ２ 为焦点， 则
一
（ １ Ｐ Ｆ １ ｆ ＋Ｉ Ｐ Ｇ（ ） 。 一２ ｌ Ｐ Ｆ １ ｃ ．１ Ｐ Ｇ ｌ －４ ｃ ２ Ｉ Ｐ Ｆ １ ．ｆ Ｐ Ｇ Ｊ
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60
P为椭圆上一点，且，则 | PF 的值为（ 1 | | PF 2 |
）
A． 1
B．
1 3
4 C． 3
2 D． 3
x y 3、P是椭圆 上一点，F是右焦点， 1 2 2 a b O是椭圆中心，若 POF 是面积为 3 的正三角形，
则
2
2
b2 的值为________.
x2 y 2 变式（ : 04湖北） 已知椭圆 1的左、右焦点分别是F1、F2， 16 9 点P在椭圆上. 若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点， 则点P到 x 轴的距离为（ ） 9 A. 5 9 7 B. 7 9 C. 4 9 9 7 D. 或 4 7
性质 性 质四：过椭圆焦点的所有弦中通径 (垂直于焦点的弦)
2b2 最短，通径为 。 a
x2 y 2 (2007天津) 设椭圆 2 2 1(a b 0)的左、右焦点分别为F1，F2， a b 1 A是椭圆上的一点，AF2 F1F2，原点O到直线AF1的距离为 OF1 ． 3 （Ⅰ）证明a 2b；（Ⅱ）略
的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 _______
2 0e 2
x y 变式 ：已知，椭圆 a b
2 2
2
2
(a>b>0) 上任意一点P， 1
2 2 ； （1）、使得θ=90° 的点有二个，则此椭圆的离心率的值为___________
2 ,1 （2）、使得θ=90° 的点有四个，则此椭圆的离心率的范围____________ 2 ；
F1、F2为椭圆的焦点，若∠F1PF2＝θ
2 0, 2 ； （3）、无使得θ=90° 的点，则此椭圆的离心率的范围_____________
x2 y 2 例4 已知椭圆 a 2 b2 1(a b 0)的两焦点分别为F1 , F2 , 若椭圆上存在一点P, 使得F1 PF2 1200 , 求椭圆的离心率e 的取值范围。
性质一：当点P从右至左运动时，F1 PF2 由锐角变成直角， 又变成钝角,过了Y轴之后,对称地由钝角变成直角 再变成
F1 PF2 达到最大。 锐角，并且发现当点P与短轴端点重合时，
结论： 椭圆特征焦点三角形的顶角是椭圆上所有的点对椭圆 两焦点所成张角中最大的角
“性质一”是为什么呢？你能证明吗？ 解三角形中我们常用的理论依据是什么？
观看演示：
cos
PF1 PF2 F1 F2 2 PF1 PF2
2
2
2
m2 n2 4c 2 2mn
(m n)2 2mn 4c2 4a2 2mn 4c2 4b2 2mn 2b2 1 2mn 2mn 2mn mn 2 2 2b 2b 1 2 1 mn 2 a ( ) 2
变式：
1. （2006四川） 如图把椭圆的长轴AB分成8分， 过每个分点作ｘ轴的垂线交椭圆的上半部分 于P 1, P 2 , P 7 七个点， F 是椭圆的一个焦点， 则P 1F P 2 F P 7 F _________
x2 y 2 2. 已知F1、F2是椭圆 1的左, 右焦点, 点P在 25 9 椭圆上运动,则 PF1 PF2 的最大值是_______
归纳小结:
基本概念
焦点三角形
性质及应用
思想方法
PF2 n，由余弦定理得 解: 设 PF1 m， m n 2mn cos F1 F2
2 2 2
2
2
4c 2 ①
由椭圆定义得m n 2a② 2(a 2 c 2 ) 2b 2 由①得：mn 1 cos 1 cos 1 sin 2 2 S F1PF2 mn sin b b tan 2 1 cos 2
方法1： 找临界值 方法2：已知椭圆方程为
3 e 1 2
x2 y2 2 1(a b 0), 两焦点分别 2 a b
为 F1 , F2 , 设焦点三角形 PF1 F2 中 F PF , 1 2 则 cos 1 2e 2 .
（当且仅当动点为短轴端点时取等号）
考点4 有关面积的问题：
变式: (2004湖南卷) F1 , F2是椭圆C :
x y 1的焦点, 8 4
2
2
在C上满足PF1 PF2的点 P的个数为______
椭 圆 与 圆 的 交 点
y
P
F1
F2
x
考点3 有关离心率的问题：
变式 已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足MF1 MF2 0 例 3:（09江西）
例5
x2 y 2 P是椭圆 1上的点，Fl，F2是椭圆的焦点， 5 4
若F1 PF2
3 怎样改动，使上面不是一个错题？
, 则PF1 F2的面积等于 _______ 。
x2 y2 一：P是椭圆 1上的点，Fl，F2是椭圆的焦点， 5 4 若F1 PF2 6 ，则 PF1 F2的面积等于 _______ 。
S F1PF2 b tan
2
2
牛 刀 小 试：
1、椭圆
x2 y2 1 上一点P与两个焦点 F1 、F2 的连线互 49 24
F1 PF2 的面积为（
C. 28
相垂直， 则△
A. 20 2、已知椭圆 B. 22
）
D. 24
x2 2 （a y 1 2 a
＞1）的两个焦点为
F2 ，、 F1 PF2
8-4 3
x2 二：P是椭圆 y 2 1上的点，Fl，F2是椭圆的焦点， 4 若F1 PF2
3 ，则PF1 F2的面积等于 _______ 。 3 3
考点4 有关面积的问题：
x y 若F、F 1 2是椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0)的两个焦点， a b 求三角形F1PF2的面积。 P是椭圆上一点，且∠FPF 积。 1 2 =θ，求椭圆的面
椭圆中的
定义：椭圆上一点和两个焦点构成的三角形,称之为椭圆焦点
三角形。 其中，我们把椭圆的两个焦点和其短轴的一个端点构成 的等腰三角形称为椭圆的一个特征焦点三角形
考点1
有关周长和距离问题：
x2 y 2 例1 (08浙江)已知F1、F2为椭圆 1的两个焦点,过F1的直线 25 9 交椭圆于A、B两点,若 F2 A F2 B 12, 则 AB _______
(当且仅当m n,即P点与短轴端点重合时" "成立)
考点2
有关角的问题：
例2
x2 y2 椭圆 9 4 1的焦点为Fl、F2，点P为其上一点，当
F1 PF2 为直角时，点P的横坐标是_______。
x2 y 2 (2000全国)椭圆 1的焦点为Fl、F2， 点P为 变式： 9 4 其上动点， 当Fl PF2为钝角时， 点P横坐标的取值 范围是 ________ 。