2020-2021学年天津市某校高二(上)第一次月考数学试卷(有答案)
高中数学压轴题题型名校模考题汇总
专题10压轴题题型汇总压轴题型一、保值函数型“保值函数”，又称为“k 倍值函数”，“和谐函数”，“美好区间”等等。
1、现阶段主要是一元二次函数为主的。
核心思路是转化为“根的分布”。
2、函数单调性是解决问题的入口之一。
3、方程和函数思想。
特别是通过两个端点值构造对应的方程，再提炼出对应的方程的根的关系。
如第1题1.（江苏省连云港市市区三星普通高中2020-2021学年高一上学期期中联考）对于区间[,]a b 和函数()y f x =，若同时满足：①()f x 在[,]a b 上是单调函数；②函数(),[,]y f x x a b =∈的值域还是[,]a b ，则称区间[,]a b 为函数()f x 的“不变”区间.（1）求函数2(0)y x x =≥的所有“不变”区间；（2）函数2(0)y x m x =+≥是否存在“不变”区间？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由.2.（北京市昌平区2020-2021学年高一上学期期中质量抽测）已知函数2()f x x k =-.若存在实数,m n ，使得函数()f x 在区间上的值域为，则实数k 的取值范围为（）A ．(1,0]-B ．(1,)-+∞C ．2,0]D ．(2,)-+∞3.（广东省广州市第一中学2020-2021学年高一上学期11月考试）已知函数221()x f x x-=.（1）判断函数()f x 的奇偶性并证明；（2）若不等式23()1x f x kx x +-≥在1,14x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数k 的取值范围；（3）当11,(0,0)x m n m n ⎡⎤∈>>⎢⎥⎣⎦时，函数()()1(0)g x tf x t =+>的值域为[23,23]m n --，求实数t 的取值范围.4.(江苏省盐城市实验高级中学2020-2021学年高一上学期期中）一般地，若()f x 的定义域为[],a b ，值域为[],ka kb ，则称[],a b 为()f x 的“k 倍跟随区间”；特别地，若()f x 的定义域为[],a b ，值域也为[],a b ，则称[],a b 为()f x 的“跟随区间”，（1）若[]1,b 为2()22f x x x =-+的跟随区间，则b =______；（2）若函数()f x m =m的取值范围是______.压轴题型二、方程根的个数1.一元二次型“根的分布”是期中考试的一个难点和热点。
2020-2021学年江西省某校高二(上)10月月考数学试卷(有答案)
2020-2021学年江西省某校高二（上）10月月考数学试卷一、选择题1. 等比数列{a n }的前n 项和S n =3n +a ，则a 等于( ) A.−3 B.−1 C.3 D.12. 在△ABC 中，已知b =40，c =20，C =60∘，则此三角形的解的情况是( ) A.有一解 B.有两解C.无解D.有解但解的个数不确定3. 使不等式x 2−x −6<0成立的一个充分不必要条件是( ) A.−2<x <0 B.−3<x <2 C.−2<x <3 D.−2<x <44. 某校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( ) A.30种 B.35种 C.42种 D.48种5. 在数列{a n }中， a 1=12，a n =1−1a n−1(n ≥2,n ∈N +)，则a 2020=( )A.12B.1C.−1D.26. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin 2A ≤sin 2B +sin 2C +sin B sin C ，则A 的取值范围是( ) A.(0, 5π6]B.[5π6, π) C.(0, 2π3]D.[2π3, π)，7. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3=9，S 6=36，则a 7+a 8+a 9=( ) A.63 B.45 C.36 D.278. 已知x >0，y >0，且1x+1+1y =12，则x +y 的最小值为( ) A.3 B.5 C.7 D.94值为( )A.1B.−1C.0D.210. 有30个完全相同的苹果，分给4个不同的小朋友，每个小朋友至少分得4个苹果，问有多少种不同的分配方案( )A.680B.816C.1360D.145611. 已知数列{a n}的各项均为正数，a1=2，a n+1−a n=4a n+1+a n ，若数列{1a n+1+a n}的前n项和为5，则n=( )A.119B.121C.120D.122212. 设函数f(x)=mx2−mx−1，若对任意的x∈{x|1≤x≤3}，f(x)<−m+4恒成立，则实数m的取值范围为( )A.m≤0B.0≤m<57C.m<0或0<m<57D.m<57二、填空题如图所示的五个区域中，中心区E域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择．要求每个区域只涂一种颜色且相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为________.三、解答题设p：实数x满足x2−4ax+3a2<0，q：实数x满足|x−3|<1．(1)若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；(2)若a>0，且¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．已知{a n}为等差数列，其前n项和为S n(n∈N∗)，{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4−2a1，S11=11b4．(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2)求数列{a2n b n}的前n项和T n(n∈N∗)．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2a cos A=c cos B+b cos C.(1)求角A的大小；(2)若a=3，求△ABC周长的取值范围．四位同学参加三项不同的竞赛．(1)每位同学必须参加一项，有几种不同结果？(2)每项竞赛只有且必须有一位同学参加，有几种不同结果？(3)每位同学最多参加一项，且每项竞赛只许有一位同学参加，有几种不同结果？数列{a n}满足a1=1，a n+a n+12a n+1−1=0．(1)求证：数列{1a n}是等差数列；(2)若数列{b n}满足b1=2，b n+1b n =2⋅a na n+1，求数列{b n}的前n项和S n．设x，y满足约束条件{8x−y−4≤0，x+y+1≥0，y−4x≤0，目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为2.(1)作出可行域；(2)求a+4b的值；(3)若不等式1a +1b≥mx2−x+(m+154)对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021学年江西省某校高二（上）10月月考数学试卷一、选择题1.【答案】B【考点】等比中项【解析】此题暂无解析【解答】解：等比数列{a n}中，a1=S1=3+a，a2=S2−S1=6，a3=S3−S2=18，由a22=a1a3，得a=−1．故选B．2.【答案】C【考点】正弦定理【解析】利用正弦定理列出关系式，将b，c，sin C的值代入求出sin B的值，即可做出判断．【解答】解：∵在△ABC中，b=40，c=20，C=60∘，∴由正弦定理bsin B =csin C得：sin B=b sin Cc =40×√3220=√3>1，则此三角形无解．故选C．3.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断一元二次不等式的解法【解析】此题暂无解析【解答】解：解不等式x2−x−6<0，得−2<x<3，令A={x|−2<x<3}，∴不等式x2−x−6<0成立的一个充分不必要条件，只有A符合题意.故选A .4.【答案】A【考点】排列、组合的应用计数原理的应用【解析】两类课程中各至少选一门，包含两种情况：A类选修课选1门，B类选修课选2门；A类选修课选2门，B类选修课选1门，写出组合数，根据分类计数原理得到结果．【解答】解：可分以下2种情况：①A类选修课选1门，B类选修课选2门，有C31C42种不同的选法；②A类选修课选2门，B类选修课选1门，有C32C41种不同的选法．∴根据分类计数原理知不同的选法共有C31C42+C32C41=18+12=30种．故要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有30种．故选A.5.【答案】A【考点】数列递推式【解析】无【解答】解：a2=1−1a1=1−2=−1，a3=1−1a2=1+1=2，a4=1−1a3=1−12=12，可得数列{a n}是以3为周期的周期数列，∴a2020=a3×673+1=a1=12.故选A．6.【答案】C【考点】余弦定理正弦定理【解析】运用正弦定理和余弦定理，可得角A三角不等式，然后求解即可．【解答】得：a2≤b2+c2+bc，即cos A=b 2+c2−a22bc≥−12.∵A∈(0, π)，∴A∈(0, 2π3].故选C.7.【答案】B【考点】等差数列的性质【解析】观察下标间的关系，知应用等差数列的性质求得．【解答】解：由等差数列性质知S3，S6−S3，S9−S6成等差数列，即9，27，S9−S6成等差数列，∴S9−S6=45，∴a7+a8+a9=45.故选B．8.【答案】C【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】将x+1+y＝2(1x+1+1y)(x+1+y)的形式，再展开，利用基本不等式，注意等号成立的条件．【解答】解：∵x>0，y>0，且1x+1+1y=12，∴x+1+y=2(1x+1+1y)(x+1+y)=2(1+1+yx+1+x+1y)≥2(2+2√yx+1⋅x+1y)=8，当且仅当yx+1=x+1y，即x=3，y=4时取等号，∴x+y≥7，故x+y的最小值为7. 故选C.9.【答案】【考点】二项式定理的应用二项式系数的性质【解析】通过令x=1和x=−1,代入化简即可得所需关系式，求解即可【解答】4解：当x=1时，得(2+√3)=a0+a1+a2+a3+a4=97+56√3，4当x=−1时，(√3−2)=a0−a1+a2−a3+a4=97−56√3，则由上式联立可得a0+a2+a4=97，a1+a3=56√3，∴(a0+a2+a4)2−(a1+a3)2=972−(56√3)2=9409−9408=1.故选A.10.【答案】A【考点】排列、组合及简单计数问题排列、组合的应用【解析】根据题意采用挡板法，去掉3×4=12个苹果后，将剩余的苹果分成四份即可求解. 【解答】解：因为每个小朋友至少分得4个苹果，故先每人分3个苹果后，还剩30−3×4=18个，用隔板法，将剩余18个苹果有17个空，中间找3个位置用隔板插入即可，故分成四份有C173=680种.故选A.11.【答案】C【考点】数列的求和数列递推式等差数列的通项公式【解析】由已知推导出a n=2√n.a n+1=2√n+1=22，由此能求出n．【解答】，解：∵数列{a n}的各项均为正数，a1=2，a n+1−a n=4a n+1+a n∴a n2为首项为4，公差为4的的等差数列，∴a n2=4+4(n−1)=4n，即a n=2√n．∵a1=2，a n+1−a n=4a n+1+a n ，数列{1a n+1+a n}的前n项和为5，∴14(a2−a1+a3−a2+⋯+a n+1−a n)=14(a n+1−2)=5，∴a n+1=2√n+1=22，解得n+1=121，∴n=120．故选C.12.【答案】D【考点】函数恒成立问题【解析】由题意，mx2−mx−1<−m+4，x∈[1, 3]恒成立，可得m(x2−x+1)<5恒成立，讨论m与0关系，结合二次函数性质可得m的范围；【解答】解：函数f(x)=mx2−mx−1，即mx2−mx−1<−m+4，x∈{x|1≤x≤3}恒成立，可得m(x2−x+1)<5恒成立，当m≤0成立，显然恒成立，当m>0时，∵y=x2−x+1，x∈{x|1≤x≤3}的值域为{1≤x≤7}．∴0<m<57，综上可得实数m的取值范围为{m|m<57}.故选D.二、填空题【答案】84【考点】排列、组合的应用分类加法计数原理【解析】每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，然后分类研究，A、C不同色；A、C同色两大类【解答】解：分三种情况：①用四种颜色涂色，有A44=24种涂法；②用三种颜色涂色，有2A43=48种涂法；③用两种颜色涂色，有A42=12种涂法；三、解答题【答案】解：(1)由x 2−4ax +3a 2<0得(x −3a)(x −a)<0，当a =1时，1<x <3，即p 为真时实数x 的取值范围是1<x <3． 由|x −3|<1，得−1<x −3<1，得2<x <4， 即q 为真时实数x 的取值范围是2<x <4， 若p ∧q 为真，则p 真且q 真，∴ 实数x 的取值范围是2<x <3．(2)由x 2−4ax +3a 2<0得(x −3a)(x −a)<0，且a >0， 即p ：{x|a <x <3a}，q ：{x|2<x <4}. 若¬p 是¬q 的充分不必要条件， 则q 是p 的充分不必要条件. 则{0<a ≤2，3a ≥4，解得43≤a ≤2．∴ 实数a 的取值范围是43≤a ≤2． 【考点】其他不等式的解法逻辑联结词“或”“且”“非”根据充分必要条件求参数取值问题 命题的否定【解析】（1）若a ＝1，根据p ∧q 为真，则p ，q 同时为真，即可求实数x 的取值范围； （2）根据￢p 是￢q 的充分不必要条件，建立条件关系即可求实数a 的取值范围． 【解答】解：(1)由x 2−4ax +3a 2<0得(x −3a)(x −a)<0，当a =1时，1<x <3，即p 为真时实数x 的取值范围是1<x <3． 由|x −3|<1，得−1<x −3<1，得2<x <4， 即q 为真时实数x 的取值范围是2<x <4， 若p ∧q 为真，则p 真且q 真，∴ 实数x 的取值范围是2<x <3．(2)由x 2−4ax +3a 2<0得(x −3a)(x −a)<0，且a >0， 即p ：{x|a <x <3a}，q ：{x|2<x <4}. 若¬p 是¬q 的充分不必要条件， 则q 是p 的充分不必要条件. 则{0<a ≤2，3a ≥4，解得43≤a ≤2．∴ 实数a 的取值范围是43≤a ≤2．【答案】解：(1)设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．由已知b2+b3=12，得b1(q+q2)=12，而b1=2，所以q2+q−6=0．又因为q>0，解得q=2．所以b n=2n．由b3=a4−2a1，可得3d−a1=8①.由S11=11b4，可得a1+5d=16②.联立①②，解得a1=1，d=3，由此可得a n=3n−2．所以，{a n}的通项公式为a n=3n−2，{b n}的通项公式为b n=2n；(2)设数列{a2n b n}的前n项和为T n，由a2n=6n−2，有T n=4×2+10×22+16×23+⋯+(6n−2)×2n，2T n=4×22+10×23+16×24+⋯+(6n−8)×2n+(6n−2)×2n+1，上述两式相减，得−T n=4×2+6×22+6×23+⋯+6×2n−(6n−2)×2n+1=12×(1−2n)1−2−4−(6n−2)×2n+1=−(3n−4)2n+2−16．得T n=(3n−4)2n+2+16．所以，数列{a2n b n}的前n项和为(3n−4)2n+2+16．【考点】等差数列与等比数列的综合等差数列的性质等差数列的通项公式等比数列的通项公式数列的求和【解析】(Ⅰ)设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．通过b2+b3＝12，求出q，得到b n=2n．然后求出公差d，推出a n＝3n−2．(Ⅱ)设数列{a2n b n}的前n项和为T n，利用错位相减法，转化求解数列{a2n b n}的前n项和即可．【解答】解：(1)设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．由已知b2+b3=12，得b1(q+q2)=12，而b1=2，所以q2+q−6=0．又因为q>0，解得q=2．所以b n=2n．由b3=a4−2a1，可得3d−a1=8①.由S11=11b4，可得a1+5d=16②.联立①②，解得a1=1，d=3，由此可得a n =3n −2．所以，{a n }的通项公式为a n =3n −2，{b n }的通项公式为b n =2n ；(2)设数列{a 2n b n }的前n 项和为T n ，由a 2n =6n −2，有T n =4×2+10×22+16×23+⋯+(6n −2)×2n ，2T n =4×22+10×23+16×24+⋯+(6n −8)×2n +(6n −2)×2n+1，上述两式相减，得−T n =4×2+6×22+6×23+⋯+6×2n −(6n −2)×2n+1=12×(1−2n )1−2−4−(6n −2)×2n+1 =−(3n −4)2n+2−16．得T n =(3n −4)2n+2+16．所以，数列{a 2n b n }的前n 项和为(3n −4)2n+2+16．【答案】解：(1)因为2a cos A =c cos B +b cos C ，所以2sin A cos A =sin C cos B +sin B cos C ，所以2sin A cos A =sin (B +C )=sin A .因为sin A ≠0，所以cos A =12.因为A ∈(0,π)，所以A =π3 .(2)因为a =3，由余弦定理得9=b 2+c 2−bc ，所以9=b 2+c 2−bc =(b +c )2−3bc .因为bc ≤(b+c )24，所以9=(b +c )2−3bc ≥(b+c )24，所以b +c ≤6，当且仅当b =c 时等号成立.又因为b +c >a =3，所以b +c ∈(3,6]，即△ABC 周长的范围是(6,9] .【考点】正弦定理两角和与差的正弦公式余弦定理基本不等式在最值问题中的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)因为2a cos A =c cos B +b cos C ，所以2sin A cos A =sin C cos B +sin B cos C ，所以2sin A cos A =sin (B +C )=sin A .因为sin A ≠0，所以cos A =12.因为A ∈(0,π)，所以A =π3 .(2)因为a =3，由余弦定理得9=b 2+c 2−bc ，所以9=b 2+c 2−bc =(b +c )2−3bc .因为bc ≤(b+c )24，所以9=(b +c )2−3bc ≥(b+c )24，所以b +c ≤6，当且仅当b =c 时等号成立.又因为b +c >a =3，所以b +c ∈(3,6]，即△ABC 周长的范围是(6,9] .【答案】解：(1)让每一位同学选择，第一位同学有3种选择；第二、三、四位同学同样各有3种选择，由乘法原理，共有3×3×3×3=81（种）不同结果．(2)让竞赛项目去“选择”学生，第一个竞赛项目有4种选择，第二、三个竞赛项目同样有4种选择，所以共有43=64（种）不同结果．(3)由题意，从4位同学中选出3人，分别参加三项不同的竞赛，所以有A 43=24（种）不同结果．【考点】分步乘法计数原理排列、组合的应用【解析】【解答】解：(1)让每一位同学选择，第一位同学有3种选择；第二、三、四位同学同样各有3种选择，由乘法原理，共有3×3×3×3=81（种）不同结果．(2)让竞赛项目去“选择”学生，第一个竞赛项目有4种选择，第二、三个竞赛项目同样有4种选择，所以共有43=64（种）不同结果．(3)由题意，从4位同学中选出3人，分别参加三项不同的竞赛，所以有A 43=24（种）不同结果．【答案】(1)证明：若a n+1=0，则a n =0，这与a 1=1矛盾，∴ a n+1≠0．由已知得2a n a n+1−a n +a n+1=0，∴ 1a n+1−1a n =2， ∴ 数列{1a n }是以1a 1=1为首项，2为公差的等差数列． (2)解：由(1)可知，1a n =1+2(n −1)=2n −1， 由b n+1b n =2⋅a na n+1可知a n+1b n+1=2a n b n .又a 1b 1=2，∴a n b n=2×2n−1=2n，∴b n=(2n−1)⋅2n，∴S n=1⋅21+3⋅22+5⋅23+⋯+(2n−1)⋅2n，则2S n=1⋅22+3⋅23+5⋅24+⋯+(2n−1)⋅2n+1，∴−S n=2+2⋅22+2⋅23+⋯+2⋅2n−(2n−1)⋅2n+1=(3−2n)⋅2n+1−6，∴S n=(2n−3)⋅2n+1+6．【考点】数列的求和数列递推式等差数列【解析】本题考查数列的递推公式、等差数列的定义及通项公式、等比数列的求和公式、数列求和．【解答】(1)证明：若a n+1=0，则a n=0，这与a1=1矛盾，∴a n+1≠0．由已知得2a n a n+1−a n+a n+1=0，∴1a n+1−1a n=2，∴数列{1a n }是以1a1=1为首项，2为公差的等差数列．(2)解：由(1)可知，1a n=1+2(n−1)=2n−1，由b n+1b n =2⋅a na n+1可知a n+1b n+1=2a n b n.又a1b1=2，∴a n b n=2×2n−1=2n，∴b n=(2n−1)⋅2n，∴S n=1⋅21+3⋅22+5⋅23+⋯+(2n−1)⋅2n，则2S n=1⋅22+3⋅23+5⋅24+⋯+(2n−1)⋅2n+1，∴−S n=2+2⋅22+2⋅23+⋯+2⋅2n−(2n−1)⋅2n+1 =(3−2n)⋅2n+1−6，∴S n=(2n−3)⋅2n+1+6．【答案】解：(1)画出约束条件{8x−y−4≤0，x+y+1≥0，y−4x≤0，表示的平面区域，如图阴影部分所示：(2)由图形知，当直线ax +by =z (a >0,b >0)过直线8x −y −4=0与y =4x 的交点B (1,4)时，目标函数z =ax +by (a >0,b >0)取得最大值2，即a +4b =2 .(3)由题意，得 1a +1b =12(a +4b )(1a +1b) =12(5+4b a +a b )≥12(5+2√4b a ⋅a b )=92.当且仅当a =2b =23时等号成立，所以1a +1b 的最小值是92.不等式1a +1b ≥mx 2−x +(m +154)对任意x ∈R 恒成立， 等价于mx 2−x +(m +154)≤92对任意x ∈R 恒成立， 即mx 2−x +(m −34)≤0，当m =0时，−x −34≤0，不符题意；当m ≠0时， {m <0，Δ=1−4m (m −34)≤0，解得m ≤−14 .综上实数m 的取值范围是m ≤−14 . 【考点】含参线性规划问题不等式恒成立问题函数恒成立问题基本不等式在最值问题中的应用简单线性规划【解析】【解答】解：(1)画出约束条件{8x −y −4≤0，x +y +1≥0，y −4x ≤0，表示的平面区域，如图阴影部分所示：(2)由图形知，当直线ax +by =z (a >0,b >0)过直线8x −y −4=0与y =4x 的交点B (1,4)时，目标函数z =ax +by (a >0,b >0)取得最大值2，即a +4b =2 .(3)由题意，得 1a +1b =12(a +4b )(1a +1b )=12(5+4b a +a b )≥12(5+2√4b a ⋅a b )=92. 当且仅当a =2b =23时等号成立，所以1a +1b 的最小值是92.不等式1a +1b ≥mx 2−x +(m +154)对任意x ∈R 恒成立，等价于mx 2−x +(m +154)≤92对任意x ∈R 恒成立， 即mx 2−x +(m −34)≤0，当m =0时，−x −34≤0，不符题意；当m ≠0时， {m <0，Δ=1−4m (m −34)≤0，解得m ≤−14 .综上实数m 的取值范围是m ≤−14 .。
四校 联考试卷
④若实验测得电流表 A1 示数为 I1，电流表 A2 示数为 I2，则金属棒电阻的表达式为 RX=___________（用 I1、I2、R0、Rg 表示） 12．在“用电流表和电压表测定电池的电动势和内阻”的实验中备有如下器材： A．干电池 1 节（电动势约为 1.5V，内阻约为 1Ω） B．电压表 V（0~3V，内阻约为 20kΩ） C．电流表 A（0~0.6A，内阻约为 1.0Ω） D．滑动变阻器 R1（10Ω，2A） E.滑动变阻器 R2（100Ω，0.1A） F.开关、导线若干 （1）为减小实验误差和方便操作，连接图（甲）所示电路进行实验。实验中滑动变阻 器应选用___________（填“R1”或“R2”）。
A．向上偏转
B．向下偏转
C．向纸内偏转
D．向纸外偏转
5．电阻 R 和电动机 M 串联接到电路时，如图所示，已知电阻 R 跟电动机线圈的电阻值
相等，电键接通后，电动机正常工作．设电阻 R 和电动机 M 两端的电压分别为 U1 和
U2，经过时间 t，电流通过电阻 R 做功为 W1，产生热量 Q1，电流通过电动机做功为 W2，
正确的是_______
A．测量电阻时如果指针偏转角度过大，应将选择开关 S 拨至倍率较小的挡位，重新欧
姆调ห้องสมุดไป่ตู้后测量；
B．测量电阻时，如果红、黑表笔分别插在负、正插孔，会影响测量结果；
C．测量电路中的某个电阻，应该把该电阻与电路断开；
专题12动力学和能量观点的综合应用(解析版)
专题12动力学和能量观点的综合应用1.(2020-2021学年·湖南长沙一中月考)如图所示，固定在竖直平面内的轨道由直轨道AB 和圆弧轨道BC 组成，小球从斜面上A 点由静止开始滑下，滑到斜面底端后又滑上半径R ＝0.4 m 的圆轨道(不计轨道连接处能量损失，g 取10 m/s 2)。
(1)若接触面均光滑，小球刚好能滑到圆轨道的最高点C ，求斜面高h ；(2)若接触面均粗糙，小球质量m ＝0.1 kg ，斜面高h ＝2 m ，小球运动到C 点时对轨道压力大小为mg ，求全过程中摩擦阻力做的功。
【答案】 (1)1 m (2)－0.8 J【解析】 (1)小球刚好到达C 点，重力提供向心力，由牛顿第二定律得mg ＝mv 2R从A 到C 过程机械能守恒，由机械能守恒定律得mg (h －2R )＝12mv 2解得h ＝2.5R ＝2.5×0.4 m ＝1 m 。
(2)在C 点，由牛顿第三定律知F N ＝F N ′＝mg由牛顿第二定律得mg ＋mg ＝m v 2C R从A 到C 过程，由动能定理得mg (h －2R )＋W f ＝12mv 2C －0解得W f ＝－0.8 J 。
2.(2020-2021学年·3月山东六地市在线大联考)滑板运动是极限运动的鼻祖，许多极限运动项目均由滑板项目延伸而来。
如图所示是滑板运动的轨道，BC 和DE 是两段光滑圆弧形轨道，BC 段的圆心为O 点、圆心角 θ＝60°，半径OC 与水平轨道CD 垂直，滑板与水平轨道CD 间的动摩擦因数μ＝0.2。
某运动员从轨道上的A 点以v 0＝3 m/s 的速度水平滑出，在B 点刚好沿轨道的切线方向滑入圆弧轨道BC ，经CD 轨道后冲上DE 轨道，到达E 点时速度减为零，然后返回。
已知运动员和滑板的总质量为m ＝60 kg ，B 、E 两点与水平轨道CD 的竖直高度分别为h ＝2 m 和H ＝2.5 m 。
2021学年-有答案-黑龙江省某校高二(上)第一次月考物理试卷(10月份)
2021学年黑龙江省某校高二（上）第一次月考物理试卷（10月份）一、选择题（本题共12小题；在每小题给出的四个选项中，1-7小题只有一个选项正确，1-7每小题5分，共35分．8-12题有多个选项正确，每题6分，全部选对的得6分，选不全的得3分，有选错或不答的得0分，共30分．选择题总分65分．）)1. 下列说法中正确的是（）A.在一个以孤立的点电荷为中心、r为半径的球面上，各处的电势都相同适用于任何电场B.E=kQr2C.电场强度的方向就是放入电场中的电荷受到的电场力的方向D.当电荷初速度为零时，电荷只在电场力作用下的运动轨迹一定与电场线重合2. 根据电容器电容的定义式C=Q可知（）UA.电容器所带的电荷量Q越多，它的电容就越大B.电容器不带电时，两极板之间的电压为零C.电容器两极板之间的电压U越高，它的电容就越小，C与U成反比D.电容器不带电时，其电容为零3. 如图所示是某电场中的一条电场线，一电子从a点由静止释放，它将沿电场线向b点运动，下列有关该电场情况的判断正确的是（）A.该电场一定是匀强电场B.场强E a一定小于E bC.电子具有的电势能Ep a一定大于Ep bD.电势φa>φb4. 如图所示，Q为一带正电的点电荷，P为原来不带电的枕形金属导体，a、b为导体内的两点．当导体P处于静电平衡状态时（）A.a、b两点的场强大小E a、E b的关系为E a>E bB.a、b两点的场强大小E a、E b的关系为E a<E bC.感应电荷在a、b两点产生的场强大小E a′和E b′的关系是E a′>E b′D.感应电荷在a、b两点产生的场强大小E a′和E b′的关系是E a′＝E b′5. 如图所示，质量均为m的三个带电小球A、B、C放置在光滑绝缘的水平面上。
已知A 与B间、B与C间和C与A间的距离均为L，A球带电荷量Q A＝+q，B球带电荷量Q B＝+q．若在小球C上加一方向水平向右、大小未知的恒力F，恰好使A、B、C三小球保持相对静止。
天津市和平区耀华中学2020-2021学年高一上学期10月月考数学试题
天津市和平区耀华中学【最新】高一上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}0,1,2A =,则集合{}|,B x y x A y A =-∈∈中元素的个数是( ) A ．1 B ．3 C ．5 D ．9 2．函数223y x x =--的值域为（ ）A ．()4,-∞B ．[)4,-+∞C ．()3,-+∞D ．[)3,-+∞ 3．下列四组函数中表示同一函数的是（ ）A ．f x x ＝， 2()g x =B ．2f x x ＝，21()g x x ＝＋C ．0f x ＝，()g xD ．f x g x x ＝4．将函数y x a =+的图象C 向左平移一个单位后，得到()y f x =的图象1C ，若曲线1C 关于y 轴对称，那么实数a 的值为（ ）A ．1B ．-1C ．0D ．-3 5．设a ＝2535⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝3525⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，c ＝2525⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a>c>bB ．a>b>cC ．c>a>bD ．b>c>a6．设()f x 是定义在R 上的函数，且满足()()2f x f x +=，当[)1,1x ∈-时，()242,10,01x x f x x x ⎧-+-≤<=⎨≤<⎩，则()3f =（ ） A ．3 B ．1 C ．2 D ．2-7．已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧-≤=⎨-->⎩，则不等式()()243f a f a ->的解集为（ ）8．已知函数()2222x x t f x --=++的图象与x 轴有公共点，则实数t 的取值范围是（ ） A ．5,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ B ．)5,2⎡-+∞⎢⎣ C ．(],2-∞- D ．[)2,-+∞二、填空题9．已知集合{}|21A x x =->，{}|B x x a =≤，且B A ⊆，则实数a 的取值范围是______.10．函数()f x =的定义域为______.11．计算：())211032270.0021028---⎛⎫-+-+= ⎪⎝⎭______.12．函数()222321x x x f x x ++=++的值域为______. 13．已知函数()232x a f x x a +-=+在区间[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是______.14．已知()f x 是定义在()1,1-上的偶函数，且在区间[)0,1上单调递减，则不等式()()1321f a f a -<-的解集为______.三、解答题15．设{}{}22280,2(2)40A x x x B x x a x a =+==+++-=，其中a R ∈.如果A B B =，求实数a 的取值范围．16．已知函数()f x 的定义域为R ，对于任意实数m ，n ，都有()()()f m n f m f n +=⋅，当0x >时，()01f x <<.（1）求()0f 的值；（2）证明：当0x <时，()1f x >.（3）证明：()f x 在R 上单调递减.（4）若()()33921x x x f k f ⋅⋅-->对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围.参考答案1．C【解析】∵A={0，1，2}，B={x ﹣y|x ∈A ，y ∈A}，∴当x=0，y 分别取0，1，2时，x ﹣y 的值分别为0，﹣1，﹣2；当x=1，y 分别取0，1，2时，x ﹣y 的值分别为1，0，﹣1；当x=2，y 分别取0，1，2时，x ﹣y 的值分别为2，1，0；∴B={﹣2，﹣1，0，1，2}，∴集合B={x ﹣y|x ∈A ，y ∈A}中元素的个数是5个．故选C ．2．B【解析】【分析】配方后利用二次函数的性质可得函数的值域.【详解】∵函数223y x x =--的图象开囗向上，对称轴为1x =，∴2min 1234y =--=-，∴值域为[)4,-+∞.故选：B.【点睛】本题考查二次函数在R 上的值域，只要求出图象顶点的纵坐标即可，本题属于基础题. 3．D【分析】逐一分析四个答案中两个函数的定义域和解析式是否一致,即可得到答案.【详解】解：A 选项：()f x x x R ＝, 22()()(0)x g x x ,两个函数的定义域不一致,不是同一函数;B 选项：2f x x ＝,21()g x x ＝＋, 两个函数的对应法则不一致,不是同一函数;C 选项：0f x ＝,()1)g x x =, 两个函数的定义域不一致,不是同一函数;D 选项：f x x ,g x x ＝,两个函数的定义域均为R ,对应法则相同,故为同一函数.故选D【点睛】本题考查的知识点是判断两个函数是否为同一函数,根据两个函数是同一个函数的定义,函数的三要素均相等.如果定义域和对应法则一样,则函数值域也相同,为同一函数.4．B【分析】先求出()y f x =的解析式，再根据其图象关于y 轴对称可得实数a 的值.【详解】图象1C 对应的解析式为()1f x x a =++，又∵曲线1C 关于y 轴对称，∵()()f x f x =-， ∴11x a x a ++=-++，∴10a +=，即1a =-.故选：B.【点睛】本题考查偶函数的图像和性质，一般地，偶函数的图像关于y 轴对称，反之，如果一个函数的图像关于y 轴对称，那么这个函数为偶函数，本题为基础题.5．A【解析】试题分析：∵函数2()5x y =是减函数，∴c b >；又函数25y x =在(0,)+∞上是增函数，故a c >.从而选A考点：函数的单调性.6．D【分析】根据题设可得()()31f f =-，代入相应的解析式可求()3f 的值.【详解】∵()()2f x f x +=，∴()()()222f x f x f x ++=+=，∴()()4f x f x +=，∴()()141422f f -+=-=-+=-，∴()32f =-.故选：D.【点睛】本题考查函数的周期性和函数值的计算，注意利用周期性把要求的函数值转化到已知区间上的某点处的函数值，本题属于基础题.7．A【分析】画出()f x 的图象后可得()f x 为R 上的单调减函数，从而可去掉对应法则f 得到关于a 的不等式，其解集即为所求的解集.【详解】()f x 的图象如下：由图象可知，()f x 在定义域内为减函数，又∵()()243f a f a ->，∴243a a -<， ∴()()410a a -+<，∴14a -<<.故选：A.【点睛】本题考查函数不等式，注意根据函数的图象判断单调性，本题属于中档题.8．C【分析】利用基本不等式可求函数的最小值，令所得最小值小于或等于零后可得实数t 的取值范围.【详解】∵()2222x x t f x --=++与x 轴有公共点，令22x m -=，则212x m -=， ∴12m m+≥，当且仅当1m =即2x =时等号成立，故()min 2f x t =+. 因为函数()f x 的图象与x 轴有公共点，故20t +≤即2t -≥，∴2t ≤-.故选：C.【点睛】本题考查函数的最值以及基本不等式的应用，注意利用基本不等式求最值时要注意“一正二定三相等”，本题为基础题.9．(),1-∞【分析】先求出A ，再利用包含关系可得实数a 的取值范围.【详解】集合A ={1x x <，或}3x >，又∵B A ⊆，∴1a <，∴(),1a ∈-∞.故答案为：(),1-∞.【点睛】本题考查绝对值不等式的解及集合的包含关系，考虑后者时注意两个集合中的范围的端点是否可以重合，本题属于基础题.10．(]3,0-【分析】根据解析式有意义可得12030x x ⎧-≥⎨+>⎩，其解集为所求的定义域. 【详解】由题设有12030x x ⎧-≥⎨+>⎩，∴解得03x x ≤⎧⎨>-⎩， ∴(]3,0x ∈-.故答案为：(]3,0-.【点睛】函数的定义域一般从以下几个方面考虑：（1）分式的分母不为零；（2*,2n N n ∈≥，n 为偶数）中，0a ≥；（3）零的零次方没有意义；（4）对数的真数大于零，底数大于零且不为1.11．1679- 【分析】根据指数幂的运算性质可求代数式的值.【详解】原式231312350012-⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦)410219=+ 1679=-. 故答案为：1679-. 【点睛】本题考查指数幂的运算，注意幂的底数为负数时负号的正确处理，必要时转化为根式（如23278-=⎛⎫- ⎪⎝⎭）来看负号如何处理，本题为基础题.12．71,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【分析】先求函数的定义域，然后利用分离常数法可以得到()221x x x f x =+++，再就0x =和0x ≠分类讨论，后者再利用双勾函数的性质求()f x 的范围，两者结合可得函数的值域.【详解】函数的定义域为R ,又()222321x x x f x x ++=++()22211x x x x x +++=++221x x x =+++， 当0x =时，()2f x =；当0x ≠时，()1211f x x x=+++， 根据对勾函数1y x x =+的性质可知： 0x >时,min 2y =，∴()1223f x <≤+即()723f x <≤， 0x <时，max 2y =-，∴()12221f x +≤<-+即()12f x ≤<， 即()f x 的值域为71,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查分式函数的值域，对于分子分母均为二次形式的分式函数，一般选用分离常数的方法把分子的次数降低，再利用换元法把函数的值域问题转化为形如a y x x=+形式的函数的值域，本题属于中档题.13．()1,2【分析】先考虑函数的定义域为给定范围的子集时实数a 的取值范围，再分离常数得到()22a x af x -=++，结合函数的单调性可得2a -的符号，两者的公共部分即为所求的实数a 的取值范围.【详解】要使得()f x 有意义，则[)1,a -∉-+∞，所以1a -<-即1a >.()()22232x a a x a x a f x ax ++-+-==++22a x a -=++， ∵()22a x a f x -=++在[)1,-+∞上是增函数， 故20a -<. ∴201a a -<⎧⎨>⎩，即12a <<，∴()1,2a ∈.故答案为：()1,2.【点睛】本题考查分式函数的单调性，先考虑给定范围为自然定义域的子集，再分离常数把分子分母两个变化的部分化成一个变化的部分，本题为中档题.14．22,53⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】 利用偶函数的性质可以得到()()1321f a f a -<-，再利用[)0,1上的单调性去掉对应法则f 可得a 满足的不等式组，其解集即为所求的解集.【详解】∵()f x 在()1,1-是偶函数，且在[)0,1上递减，()()1321f a f a -<-， 故()()1321f a f a -<-， ∴132111311211a a a a ⎧->-⎪-<-<⎨⎪-<-<⎩，∴2253a <<，即22,53a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故答案为：22,53⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】 本题考查函数的单调性和奇偶性，偶函数()f x 满足()()()f x f x f x ==-，利用这个性质可以实现对称两侧的函数值的转化，另外，解函数不等式，要依据单调性去掉对应法则f ，本题为中档题.15．a ＝2或a ≤－2.【解析】试题分析： 先由A ∩B ＝B 得B ⊆A .再解A ，则B ＝Ø，{0}，{－8}，{0，－8}，最后分别对应讨论，求解实数a 的取值范围．试题解析：∵A ＝{x |x 2＋8x ＝0}＝{0，－8}，A ∩B ＝B ，∴B ⊆A .当B ＝Ø时，方程x 2＋2(a ＋2)x ＋a 2－4＝0无解，即Δ＝4(a ＋2)2－4(a 2－4)＜0，得a ＜－2. 当B ＝{0}或{－8}时，这时方程的判别式Δ＝4(a ＋2)2－4(a 2－4)＝0，得a ＝－2.将a ＝－2代入方程，解得x ＝0，∴B ＝{0}满足B ⊆A ．当B ＝{0，－8}时，202(2)840a a ∆>⎧⎪-+=-⎨⎪-=⎩，可得a ＝2.综上可得，a ＝2或a ≤－2.16．（1）()01f =；（2）证明见解析；（3）证明见解析；（4）(,1k ∈-∞-+.【分析】（1）令0m =，1n =，化简后可得()0f 的值.（2）设0x <，由题设可得()()()f x x f x f x -+=-，从而得到()()1f x f x -=，结合()01f x <-<可得()1f x >.（3）利用单调性的定义可证()f x 在R 上单调递减.（4）原不等式等价于()33921x x x f k -+⋅->，利用单调性和（1）中的结论可得()()231320x x k -+⋅+>对任意的x ∈R 恒成立，参变分离后可求k 的取值范围.【详解】本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
【解析】天津市和平区2021届高三上学期期末考试数学试卷
天津市和平区2020-2021学年高三上学期期末数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．第I 卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上； 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号； 3．本卷共9小题，每小题5分，共45分． 参考公式：一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合2,1,0,1,2U ，{}0A =，{}2|20B x x x =+-<，则()U A B =（ ）．A. {}1-B. {}1C. {}1,1,2-D. {}2,1,1--【答案】A 【分析】化简集合B ，根据补集和交集的概念运算可得结果. 详解】{2,1,1,2}UA =--,{|21}B x x =-<<,()U A B ={}1-．故选：A2. 设x ∈R ，则“11x <”是“121x⎛⎫ ⎪⎭>⎝”的（ ）．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件．C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【分析】解不等式，利用两个不等式的解集的包含关系可得答案.【详解】11x<等价于110x -<等价于10xx -<等价于(1)0x x ->等价于0x <或1x >， 121x⎛⎫ ⎪⎭>⎝等价于01122x⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭等价于0x <， 因为{|0}x x <{|x 0x <或1x >}，所以“11x <”是“121x⎛⎫ ⎪⎭>⎝”的必要不充分条件．故选：B【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含． 3. 函数sin 2()x xxf x e e-=+在[–],ππ的大致图象是（ ）． A. B.C. D.【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性排除C 、D ，根据(0,)x π∈时，函数值的符号排除B ，故选A.【详解】因为sin 2()x x x f x e e -=+，所以()()()2sin 2sin x x x xx xf x f x e e e e----==-=-++，所以()f x 为[–],ππ上的奇函数，其图象关于原点对称，故C 、D 不正确； 当(0,)x π∈时，sin 0x >，所以()0f x >，故B 不正确; 故选：A【点睛】关键点点睛：利用函数的性质排除不正确选项是解题关键.4. 已知某校一次数学测验所有学生得分都在[80,150]内，根据学生得分情况绘制的频率分布直方图如图所示，则图中a 的值是（ ）．A. 0.015B. 0.020C. 0.030D. 0.040【答案】B 【分析】由频率分布直方图中所有小矩形的面积和为1，即可求得a 的值. 【详解】解：由频率分布直方图可知：()0.0030.0070.0080.0120.0302101a +++++⨯=，解得：0.020a =. 故选：B.5. 已知正方体1111ABCD A B C D -的所有顶点都在球O 的表面上，若球O 的体积为36π，则正方体1111ABCD A B C D -的体积为（ ）．A. B. C. D. 【答案】D 【分析】先求出球O 的半径，再根据正方体的棱长与其外接球半径的关系，求出正方体的棱长，即可求出正方体的体积. 【详解】解：球O 的体积为36π，即34363R ππ=， 解得：3R =，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，由题意知：2R即6=，解得：a =∴正方体1111ABCD A B C D -的体积(3V ==.故选：D.6. 设0.813a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.93b =，0.80.7log c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）．A. a b c <<B. b a c <<C. b c a <<D. c a b <<【答案】D 【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出,,a b c 的大小关系.【详解】解：0.80.8013313a -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭，0.90.8331b a ∴=>=>，又0.80.70.70.7log log 1c =<=，c a b ∴<<.故选：D.7. 已知抛物线2120x y =的焦点F 与双曲线22221y x a b-=（0a >，0b >）的一个焦点重合，且点F 到双曲线的渐近线的距离为4，则双曲线的方程为（ ）A. 221916x y -=B. 2211641x y -=C. 2214116y x -=D.221916y x -= 【答案】D 【分析】 由抛物线2120x y =，求得(0,5)F ，得到5c =，再由焦点(0,5)F 到渐近线的距离为4，求得4b =，进而得到9a =，即可求得双曲线的标准方程，得到答案.【详解】由题意，抛物线2120x y =可化为220x y =，可得焦点坐标为(0,5)F ，即双曲线22221y x a b-=的焦点坐标为(0,5)F ，即5c =，又由双曲线22221y x a b-=的一条渐近线的方程为a y x b =，即0ax by -=，所以焦点(0,5)F 到0ax by -=54bc==， 所以4b =，又由9a ===，所以双曲线的方程为221916y x -=.故选：D .【点睛】本题主要考查了双曲线与抛物线的标准方程及简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线和抛物线的几何性质，合理运算时解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8. 设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0>ω，||ϕπ<.若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则 A. 23ω=，12πϕ=B. 23ω=，12ϕ11π=- C. 13ω=，24ϕ11π=-D. 13ω=，724πϕ=【答案】A由题意125282118k k ωππϕπωπϕπ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，其中12,k k Z ∈，所以2142(2)33k k ω=--，又22T ππω=>，所以01ω<<，所以23ω=，11212k ϕ=π+π，由ϕπ<得12πϕ=，故选A ． 【考点】求三角函数的解+析式【名师点睛】有关sin()y A x ωϕ=+问题，一种为提供函数图象求解+析式或某参数的范围，一般先根据图象的最高点或最低点确定A ，再根据周期或12周期或14周期求出ω，最后再利用最高点或最低点坐标满足解+析式，求出满足条件的ϕ值，另一种时根据题目用文字形容的函数图象特点，如对称轴或曲线经过的点的坐标，根据题意自己画出图象，再寻求待定的参变量，题型很活，求ω或ϕ的值或最值或范围等. 9. 已知函数2(3),0()2,0k x x f x x k x +<⎧=⎨-⎩，若函数()()()g x f x f x =-+有且只有四个不同的零点，则实数k 的取值范围是（ ）． A. (,4)-∞- B. (4,)+∞ C. (,0)(4,)-∞+∞ D. (,4)(4,)-∞+∞【答案】B 【分析】判断可得()g x 为偶函数，所以()g x 在(0,)+∞上有且仅有2个不同的零点，求出()g x 在(0,)+∞上的解+析式，根据二次函数知识列式可得解.【详解】因为()()()g x f x f x =-+，所以()()()()g x f x f x g x -=+-=，所以()g x 为偶函数，因为()g x 有且只有四个不同的零点，所以()g x 在(0,)+∞上有且仅有2个不同的零点，且()()02040g f k ==-≠，即0k ≠，当0x >时，0x -<，()(3)f x k x -=-+，2()2f x x k =-，所以()g x =2(3)2k x x k -++-2x kx k =-+在(0,)+∞上有且仅有2个不同的零点，所以2(0)00240g k k k >⎧⎪-⎪->⎨⎪∆=->⎪⎩，解得4k >. 故选：B【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解+析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解第Ⅱ卷注意事项1．用黑色墨水的钢笔或签字笔答题： 2．本卷共1小题，共10S 分．二、填空图、本大题共6个小题，每小题5分，共30分．10. 已知i 是虚数单位，则531ii+=-______________． 【答案】14i + 【分析】根据复数的除法运算法则可得结果. 【详解】531ii+=-(53)(1)2814(1)(1)2i i i i i i +++===+-+, 故答案为：14i +.11. 二项式62x⎛- ⎝的展开式中常数项为_________.【答案】60 【分析】求出二项式的通项公式，再令x 对应的幂指数为0即可求解 【详解】二项式62x⎛⎝的展开式的通项公式为36662166(2)2(1)rr r r r r r r T C x C x ---+⎛==- ⎝,令3602r -=，解得4r =，所以该二项式展开式中常数项为464462(1)60C -⋅-=，故答案为：60【点睛】本题考查二项式中常数项的求解，属于基础题12. 已知圆C圆心在x 轴的正半轴上，且圆心到直线20x y -=，若点(M 在圆C 上，则圆C 的方程为______________________．【答案】()2214x y -+= 【分析】先由题意，设圆C 的圆心为()(),00C a a >，由点到直线距离求出圆心坐标，再由圆上的点求出半径，进而可求出圆的方程.【详解】由题意，设圆C 的圆心为()(),00C a a >，因为圆心到直线20x y -=，5=，解得1a =，即圆心坐标为()1,0；又点(M 在圆C 上，所以半径为2r ==，因此圆C 的方程为()2214x y -+=. 故答案为：()2214x y -+=.13. 现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，若某学校从中随机选取3种作为教师“停课不停学”的教学工具，则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率为______________． 【答案】910【分析】先列出从5种教学软件中随机选取3种的所有情况，然后计算出甲、乙、丙至多有2种的情况，再利用古典概型公式计算即可.【详解】解：从甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件随机选取3种， 共有以下10种等可能的情况：甲乙丙，甲乙丁，甲乙戊，甲丙丁，甲丙戊，甲丁戊，乙丙丁，乙丙戊，乙丁戊，丙丁戊， 其中甲、乙、丙至多有2种被选取的有以下9种情况：甲乙丁，甲乙戊，甲丙丁，甲丙戊，甲丁戊，乙丙丁，乙丙戊，乙丁戊，丙丁戊，即所求概率为910， 故答案为：910. 14. 已知0m >，0n >，且111223m n +=++，则2m n +的最小值为________.【答案】3+ 【分析】先换元，令2s m =+，2t n =+，则1113s t +=，226m n s t +=+-；再采用“乘1法”，求出2s t+的最小值即可得解．【详解】解：令2s m =+，2t n =+，则2s >，2t >，且1113s t +=，2(2)2(2)26m n s t s t ∴+=-+-=+-，而112223(2)()3(12)3(32)3(322)s t s ts t s t s t t s t s +=++=+++⨯+=+，当且仅当2s t t s =，即s =时，等号成立．2s t ∴+的最小值为3(3+，2263(322)63m n s t ∴+=+-+-=+．故答案为：3+【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，采用换元法和“乘1法”是解题的关键，考查学生的转化思想、分析能力和运算能力，属于中档题． 15. 在菱形ABCD 中，23πBAD ∠=，2AB =，点M ，N 分别为BC ，CD 边上的点，且满足||||||||BM CN BC CD =，则AM AN ⋅的最小值为______________． 【答案】32【分析】设||||||||BM CN BC CD =t =，01t ≤≤，将AM 和AN 用AB 、AD 表示，再根据向量数量的运算律进行求解可得结果. 【详解】设||||||||BM CN BC CD =t =，01t ≤≤， AM =AB BM AB +=+tBC AB t AD =+，AN AB BC CN =++AB BC tCD =++(1)AB AD t AB t AB AD =+-=-+，所以AM AN ⋅=()()(1)AB t AD t AB AD +⋅-+2(1)t AB =-2t AD +2(1)t t AB AD ++-⋅214(1)4(1)22()2t t t t =-+++-⨯⨯⨯-2222t t =-+，因为01t ≤≤，所以当12t =时，2222t t -+取得最小值32，即AM AN ⋅的最小值为32.故答案为：32【点睛】关键点点睛：将AM 和AN 用AB 、AD 表示，再根据向量数量的运算律进行求解是解题关键.三、解答题：本大题共5题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16. 在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足sin 4sin a A b B =，2223()ac a b c =--．（1）求cos A 的值； （2）求()sin 2B A +的值．【答案】（1）33-2）26159【分析】（1）根据正弦定理可得2a b =，再结合余弦定理可得结果； （2）由cos A =求出sin A ，由sin 4sin a A b B =求出sin B ，根据同角公式求出cos B ，利用二倍角公式求出sin 2,cos 2B B ，再根据两角和的正弦公式可求得结果. 【详解】（1）由sin 4sin a A b B =以及正弦定理可得224a b =，得2a b =，由222)ac a b c =--得222b c a +-==，所以2222b c a bc +-=，所以cos A =. （2）由cos 3A =-得sin A ==， 由sin 4sin a A b B =得sin sin sin 426a A A Bb ===， 又A 为钝角，所以B为锐角，所以cos B ===所以sin 22sin cos 2B B B ===22cos 22cos 1216B B ⎛=-=⨯- ⎝⎭23=， 所以()sin 2B A +sin 2cos cos2sin B A B A =+233339⎛=⨯-+⨯= ⎝⎭. 【点睛】关键点点睛：利用正弦定理和余弦定理求解是解题关键.17. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ， AB AD ⊥，//BC AD ，点M 是棱PD 上一点，且2AB BC ==，4AD PA ==．（1）若:1:2PM MD =，求证：//PB 平面ACM ； （2）求二面角A CD P --的正弦值； （3）若直线AM 与平面PCD 所成角的正弦值为63，求MD 的长． 【答案】（1）证明见解+析；（2）63；（3）22MD = 【分析】（1）连接BD 交AC 于点N ，连接MN ，证明//MN PB ； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角正弦值；（3）设(01)MD PD λλ=≤≤，用λ表示点M 坐标，利用线面夹角，求得λ得值及MD 得长. 【详解】（1）证明：如图，连接BD 交AC 于点N ，连接MN ，//BC AD ，12BN BC BD AD ∴==， 又:1:2PM MD =，//MN PB ∴， 又MN ⊂平面ACM ， PB ⊄平面ACM//PB ∴平面ACM（2）如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(2,2,0)C ，(0,4,0)D ，(0,0,4)P (2,2,0)CD =-，(0,4,4)PD =-，设平面PCD 法向量(,,)n x y z =，220440x y y z -+=⎧⎨-=⎩，令1x =，111x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，即(1,1,1)n =， 又平面ACD 的法向量(0,0,1)m =，3cos ,3m n ==， 故二面角A CD P --2361()33-=. （3）设(01)MD PD λλ=≤≤，()0,4,4MD λλ=-，点(0,4,44)M λλ-，(0,4,44)AM λλ∴=-，由（2）得平面PCD 法向量(2,2,2)n =，且直线AM 与平面PCD 6 224446cos ,(4)(44)AM n λλλλ+-∴==+-解得12λ=， 即12MD PD =， 又224442PD =+=， 故1222MD PD ==.【点睛】本题的核心在考查空间向量的应用，需要注意以下问题：(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算．(2)设,m n 分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与,m n <>互补或相等.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．18. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>5角形面积为25 （1）求椭圆C 的方程；（2）已知斜率为k 的直线l 经过点(,0)A a -，且直线l 与椭圆C 交于点P （P 不在x 轴上），若点Q 在y 轴的负半轴上，APQ 是等边三角形，求k 的值．【答案】（1）22194x y +=；（2【分析】（1）记椭圆的右焦点坐标为(),0c ，根据题中条件，列出关于,,a b c 的方程组求解，即可得出,,a b c ，从而可确定椭圆方程；（2）先由（1）得()30A -,，则直线l 的方程为()3y k x =+，联立直线与椭圆方程，求出222271224,4949k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，设()()0,0Q t t <，根据题中条件，得到cos cos 60AP AQ PAQ ⎧=⎨∠=⎩，解方程组，即可求出结果.【详解】（1）记椭圆的右焦点坐标为(),0c ，因为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>短轴的两个端点和右焦点构成的三角形面积为所以有222122c ab c a b c⎧=⎪⎪⎪⋅⋅=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得32a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，因此椭圆C 的方程为22194x y +=；（2）由（1）可得()30A -,，则直线l 的方程为()3y k x =+， 因为直线l 与椭圆C 交于点P （P 不在x 轴上），所以0k ≠，将()3y k x =+代入22194x y +=可得()22249336x k x ++=，整理得()2222495481360kxk x k +++-=，则22813649P A k x x k -⋅=+，即228136349P k x k --=+，所以22271249P k x k -=-+，因此()222271224334949P P k ky k x k k k ⎛⎫-=+=-+= ⎪++⎝⎭，即222271224,4949k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，则2222227122424243,,49494949k k k AP kk k k ⎛⎫-⎛⎫=-+= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭所以AP ==， 又点Q 在y 轴的负半轴上，设()()0,0Q t t <， 则()3,AQ t =，AQ ==，又APQ 是等边三角形，所以cos cos 60AP AQAP AQ PAQ AP AQ ⎧=⎪⋅⎨∠==⎪⎩，即22722412tk =⎪⎪⎨+⎪=⎪⎪⎩则()222272241349224149tktk k k +++==++， 所以()22121349k tk k +=++，则2221212122749k k tk k+--=+，整理得21549k t k -=+， 代入249k =+()()()222222224122594949k k k k +=+++， 则()()22226414925k k k +=++，整理得422711160k k +-=，解得21627k =，所以9k =±， 又215049k t k -=<+，所以0k >，故k =. 点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于根据APQ 是等边三角形，列出方程组cos cos 60AP AQPAQ ⎧=⎨∠=⎩，结合直线与椭圆方程，已经两点间距离公式等，化简方程组，即可求解；此类题目计算量较大，要求考生要具备较强的计算能力.19. 已知等比数列{}n a 满足3210a a -=，123125a a a =． （1）求数列{}n a 的前n 项和n S （2）若数列{}n b 满足11b =，且*23111()23nn b b b b b n nN ++++-∈+=， ①求{}n b 的通项公式： ②求211ni i i a b-=∑．【答案】（1）5(31)6n -（2）①n b n =②55(1)333n n -⨯+ 【分析】（1）根据等比数列的通项公式求出首项和公比，再根据等比数列的求和公式可得结果； （2）根据错位相减法可求得结果.【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则211211110125a q a q a a q a q ⎧-=⎨⋅⋅=⎩，解得1353q a =⎧⎪⎨=⎪⎩， 所以15(13)(1)3113n nn a q S q --==--5(31)6n =-. （2）①因为*23111()23nn b b b b b n nN ++++-∈+=， 所以2n ≥时，31211231n n b b b b b n -++++=--， 两式相减得1nn n b b b n+=-，即11n n b n b n ++=(2)n ≥， 又121b b =-，且11b =，所以22b =，1221b b =，所以11n n b n b n ++=*()n N ∈，即11n n b b n n+=+， 所以数列{}nb n 是常数数列，所以111n b b n ==，即n b n =. ②由（1）知111533n n n a a q --==⨯， 令n T =211ni i i a b-=∑11233521n n a b a b a b a b -=++++，即n T =01215555133353(21)33333n n -⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⨯⨯，即1215(13353(21)3)3n n T n -=+⨯+⨯++-⨯， 所以2353(133353(21)3)3nn T n =⨯+⨯+⨯++-⨯，所以()123152123333(21)33n nn T n -⎡⎤-=+++++--⨯⎣⎦， 所以153(13)212(21)3313n n n T n -⎡⎤--=+⨯--⨯⎢⎥-⎣⎦， 所以52(22)323n n T n ⎡⎤-=-⨯-⎣⎦， 所以55(1)333n n T n =-⨯+，即211ni i i a b -=∑55(1)333nn =-⨯+【点睛】关键点点睛：掌握等比数列的求和公式以及错位相减法是解决本题的关键. 20. 已知函数()21xf x e ax =--，()()2ln 1g x a x =+，a R ∈．（1）若()f x 在点(0,(0))f 处的切线倾斜角为4π，求a 的值； （2）求()f x 的单调区间；（3）若对于任意[0,)x ∈+∞，()()f x g x x +≥恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）0；（2）当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为R ；当0a >时，()f x 的单调递减区间是(,ln(2))a -∞，单调递增区间是(ln(2),)a +∞；（3）1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【分析】（1）根据()f x 在点(0,(0))f 处的切线倾斜角为4π，得到()01f '=，对()f x 进行求导，再求解即可；（2）对函数进行求导，对参数进行分类讨论，即可求得函数的单调区间；（3）构造函数()()()x f x g x x ϕ=+-，将原式化为：对于任意[0,)x ∈+∞，()min 0x ϕ≥恒成立，再利用1x e x ≥+进行适度放缩，从而判断()x ϕ的单调性，找到对应的参数范围即可. 【详解】（1）由题意知： ()2xf x e a '=-，()02120f e a a '∴=-=-，又()f x 在点(0,(0))f 的切线倾斜角为4π，()f x ∴在点(0,(0))f 的切线的斜率tan14πk ==， 即()1102f a '=-=， 解得：0a =；（2）由（1）知：()2xf x e a '=-，①当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在R 上为增函数；②当0a > 时， 令()20xf x e a '=-=，解得：()ln 2x a =，∴当(,ln(2))x a ∈-∞时，()0f x '<，()f x 在(,ln(2))a -∞上为减函数，当(ln(2),)x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在(ln(2),)a +∞上为增函数． 综上所述，当0a ≤ 时，()f x 的单调递增区间为R ；当0a >时，()f x 的单调递减区间是(,ln(2))a -∞，单调递增区间是(ln(2),)a +∞； （3）对任意的[0,)x ∈+∞，()()f x g x x +≥恒成立， 即()()0f x g x x +-≥恒成立，将()(),f x g x 代入，并整理得：e 2[ln(1)](1)0x a x x x ++--+≥，设()=e 2[ln(1)](1)x x a x x x ϕ++--+，则原式等价于对任意的[0,)x ∈+∞，min ()0x ϕ≥恒成立， 则2()=e (21)1x a x a x ϕ'+-++， 下面证明：1x e x ≥+，令()1xg x e x =--，则()1x g x e '=-，令()10x g x e '=-=， 解得：0x =，∴当(,0),()0x g x '∈-∞<，()g x 单调递减；当(0,),()0x g x '∈+∞>，()g x 单调递增； 故()(0)0g x g ≥=，即1x e x ≥+，2()=e (21)1x a x a x ϕ'∴+-++21(21)1a x a x ≥++-++ 22212(21)(21)2=11x x a a a x x x ax x x +++-+-++-=++(12)=1x x a x +-+， ①当12a ≤时， ()0x ϕ'≥ 在[)0,+∞上恒成立，()ϕx 在[)0,+∞上单调递增，min ()(0)00x ϕϕ==≥恒成立，即()()f x g x x +≥，对[0,)x ∀∈+∞恒成立． ②当12a > 时， 1x e x ≥+，1x e x -∴≥-，即 11x e x≤-，在[]0,1x ∈成立， 故当(0,1)x ∈时，2()=e (21)1xa x a x ϕ'+-++12(21)11a a x x <+-+-+22(21)(21)1a x a x x +--=-， 21(0,)(0,1)21a x a -∈⊂+时，()0x ϕ'<， 知()ϕx 在21(0,)21a a -+上为减函数，()(0)0x ϕϕ<=， 即在21(0,)21a a -+上，不存在a 使得不等式()()f x g x x +≥对任意0x ≥恒成立． 综上所述：实数a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦． 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于对参数的分类讨论以及应用1x e x ≥+对函数进行放缩.。
2020-2021学年重庆市某校高一(上)第一次月考数学试卷(有答案)
2020-2021学年重庆市某校高一（上）第一次月考数学试卷一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 下列关系正确的是（）A.{0}∈{0, 1, 2}B.{0, 1}≠{1, 0}C.{0, 1}⊆{(0, 1)}D.⌀⊆{0, 1}2. 已知集合A＝{1, 3a}，B＝{a, b}，若A∩B={13}，则a2−b2＝（）A.0B.43C.89D.2√233. 设x>0，y>0，M=x+y1+x+y ，N=x1+x+y1+y，则M，N的大小关系是（）A.M＝NB.M<NC.M>ND.不能确定4. 若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab＝0，则称a与b互补，记φ(a, b)=√a2+b2−a−b，那么φ(a, b)＝0是a与b互补的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5. 已知不等式ax2−bx−1≥0的解集是{x|−12≤x≤−13}，则不等式x2−bx−a<0的解集是（）A.{x|2<x<3}B.{x|x<2或x>3}C.{x|13<x<12}D.{x|x<13x>12}6. 若a>0，b>0且a+b＝7，则4a +1b+2的最小值为（）A.89B.1 C.98D.102777. 关于x的不等式x2−(a+1)x+a<0的解集中恰有两个整数，则实数a的取值范围是（）A.−2<a≤−1或3≤a<4B.−2≤a≤−1或3≤a≤4C.−2≤a<−1或3<a≤4D.−2<a<−1或3<a<48. 下列说法正确的是（）A.若命题p，￢q都是真命题，则命题“(￢p)∨q”为真命题B.命题“若x+y≠5，则x≠2或y≠3”与命题“若x＝2且y＝3，则x+y＝5”真假相同C.“x＝−1”是“x2−5x−6＝0”的必要不充分条件D.命题“∀x>1，2x>0”的否定是“∃x0≤1，2x0≤0”二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）下列各不等式，其中不正确的是（）A.a2+1>2a(a∈R)B.|x+1x|≥2(x∈R,x≠0)C.√ab ≥2(ab≠0) D.x2+1x2+1>1(x∈R)下列不等式中可以作为x2<1的一个充分不必要条件的有（）A.x<1B.0<x<1C.−1<x<0D.−1<x<1下列命题正确的是（）A.∃a，b∈R，|a−2|+(b+1)2≤0B.∀a∈R，∃x∈R，使得ax>2C.ab≠0是a2+b2≠0的充要条件D.若a≥b>0，则a1+a ≥b1+b给定数集M，若对于任意a，b∈M，有a+b∈M，且a−b∈M，则称集合M为闭集合，则下列说法中不正确的是（）A.集合M＝{−4, −2, 0, 2, 4}为闭集合B.正整数集是闭集合C.集合M＝{n|n＝3k, k∈Z}为闭集合D.若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）已知集合A＝{x∈Z|x2−4x+3<0}，B＝{0, 1, 2}，则A∩B＝________．若“x>3”是“x>a“的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．若不等式ax2+2ax−4<0的解集为R，则实数a的取值范围是________．已知x>0，y>0，且x+3y＝xy，若t2+t<x+3y恒成立，则实数t的取值范围是________四、解答题：（本大题共6小题，共70分。
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2020-2021学年天津市某校高二（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共9个小题，每小题5分，在每个小题给出的4个选项中，只有一个是符合题目要求的）1. 若A，B，C，D为空间任意四个点，则+-＝（）A. B. C. D.2. 已知＝(2, −4, 2)，＝(1, a, 1)，且⊥，则a＝（）A.−3B.−2C.1D.23. 下列命题正确的是（）A.若与共线，与共线，则与共线B.若，，共面，则它们所在的直线共面C.若与平行，则存在唯一的实数λ，使得＝λD.零向量是模为0，方向任意的向量4. 在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，＝，＝，＝，E是BC的中点，用，，表示为（）A.+-B.+-C.--D.-+5. 已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为＝(1, −3, z)，向量＝(3, −2, 1)与平面α平行，则z等于（）A.3B.6C.−9D.96. 直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BCA=90∘，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC= CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）A.1 10B.25C.√3010D.√227. 如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的余弦值为（）A.√63B.2√55C.√155D.√1058. 已知向量，，满足++＝，且||＝7，||＝5，||＝3，则与的夹角为（）A. B. C. D.9. 已知空间四个点A(−3, x, 3)，B(−2, −1, 4)，C(0, 3, 0)，D(1, 1, 1)在同个平面内，则实数x＝（）A.1B.−2C.0D.−1二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分）已知点P(1, 0, 2)，Q(1, −3, 1)，点M在y轴上，且M到P与到Q的距离相等，则M的坐标是________．已知A(1, −2, 5)，B(−2, 0, 3)，C(−1, 1, 0)，若＝2，则D的坐标为________．已知平面α，β的法向量分别为＝(−2, m, 1)，＝(n, 4, −2)，若α // β，则m−n＝________．已知，均为空间单位向量，且它们夹角为，则|4−5|＝________．已知＝(1, 5, −2)，＝(3, 1, c)，若＝(a, b, −7)，⊥，且⊥平面BCD，则＝________．已知三棱锥S−ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为________．三、解答题（本大题共5个小题，满分0分.解答应写出文字说明.演算步骤或推理过程）如图所示的正四棱柱中，BC＝2，BB1＝4，M是棱CC1的中点．（1）求异面直线AM和CD所成的角的余弦值；（2）证明：平面ABM⊥平面A1B1M．如图所示的五面体中，A1A，B1B，C1C都与底面ABC垂直，且∠ABC＝120∘，A1A＝8，C1C＝2，AB＝BC＝B1B＝4．（1）证明：B1A⊥平面A1B1C1；（2）求直线AC1与平面CBB1所成的角的正弦值．如图，正方形ABCD与梯形CDEF所在的平面互相垂直，CD⊥DE，CF // DE，CD＝CF＝2，DE＝4，G为AE的中点．（1）求证：FG // 平面ABCD；（2）求D点到平面FAE的距离；在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45∘，AD=AC=1，O为AC中点，PO⊥平面ABCD，PO=2，M为PD中点．（1）求证：PB // 平面ACM；（2）求证：AD⊥平面PAC；（3）求二面角M−AC−D的正切值．在如图所示的多面体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC＝BC＝BD ＝2AE＝2，M是AB的中点．求证：CM⊥EM；(Ⅱ)求平面EMC与平面BCD所成的二面角的正弦值；(Ⅲ)在棱DC上是否存在一点N，使得直线MN与平面EMC所成的角是60∘，若存在，指出点N的位置；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析2020-2021学年天津市某校高二（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共9个小题，每小题5分，在每个小题给出的4个选项中，只有一个是符合题目要求的）1.【答案】A【考点】空间向量向量的线性运算性质及几何意义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】C【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】D【考点】命题的真假判断与应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】A【考点】空间向量的基本定理及其意义空间向量的正交分解及其坐标表示【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】C【考点】共线向量与共面向量【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】C【考点】异面直线及其所成的角【解析】画出图形，找出BM 与AN 所成角的平面角，利用解三角形求出BM 与AN 所成角的余弦值．【解答】解：如图，直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，∠BCA =90∘，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，设BC 的中点为O ，连结ON ，则MN = // 12B 1C 1=OB ， 则MNOB 是平行四边形，BM 与AN 所成角就是∠ANO ，∵ BC =CA =CC 1，设BC =CA =CC 1=2，∴ CO =1，AO =√5，AN =√5，MB =√B 1M 2+BB 12=√(√2)2+22=√6，在△ANO 中，由余弦定理可得：cos ∠ANO =AN 2+NO 2−AO 22AN⋅NO =62×√5×√6=√3010． 故选C .7.【答案】C【考点】直线与平面所成的角【解析】连接A1C1交B1D1于点O，连接BO，在长方体中由AB=BC=2，可得CO1⊥B1D1，由长方体的性质可证有OC1⊥BB1，且由直线与平面垂直的判定定理可得OC1⊥平面BB1D1D，则∠C1BO为则BC1与平面BB1D1D所成角在Rt△BOC1中，可求【解答】解：连接A1C1交B1D1于点O，连接BO由AB=BC=2，可得A1B1C1D1为正方形即CO1⊥B1D1由长方体的性质可知BB1⊥面A1B1C1D1，从而有OC1⊥BB1，且BB1∩B1D1=B1∴OC1⊥平面BB1D1D则∠C1BO为则BC1与平面BB1D1D所成角在Rt△BOC1中，OC1=√2，BC1=√5OB=√3∴cos∠OBC1=OBBC1=√3√5=√155故选C．8.【答案】B【考点】平面向量数量积坐标表示的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】A【考点】共线向量与共面向量【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分）【答案】(0, −1, 0)【考点】空间向量的夹角与距离求解公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】(−7, 5, −4)【考点】空间向量向量的线性运算性质及几何意义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】−6【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】【考点】平面向量数量积坐标表示的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】(11, −5, −7)【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】34【考点】直线与平面所成的角【解析】过A作AE垂直于BC交BC于E，连接SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连BF，由题设条件证出∠ABF即所求线面角．由数据求出其正弦值．【解答】解：过A作AE垂直于BC交BC于E，连接SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连BF，∵正三角形ABC，∴E为BC中点，∵BC⊥AE，SA⊥BC，∴BC⊥面SAE，∴BC⊥AF，AF⊥SE，∴AF⊥面SBC，∵∠ABF为直线AB与面SBC所成角，由正三角形边长2，∴AE=√3，AS=3，∴SE=2√3，AF=3，2∴sin∠ABF=3．4．故答案为：34三、解答题（本大题共5个小题，满分0分.解答应写出文字说明.演算步骤或推理过程）【答案】正四棱柱中，BC＝21＝4，M是棱CC1的中点．以A为原点，AB为x轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，A(6, 0, 0)，2，2)，2，5)，2，0)，＝(8, 2, 2)，，5，0)，设异面直线AM和CD所成的角为θ，则cosθ＝＝＝，∴异面直线AM和CD所成的角的余弦值为．证明：A(0, 2, 0)，0，3)，A1(0, 6, 4)，B1(4, 0, 4)，5，2)，＝(2, 4, 0)，，2，6)，，6，0)，，8，−2)，设平面ABM的法向量＝(x，y，则，取y＝1，得，6，−1)，设平面A1B3M的法向量＝(a，b，则，取b＝1，得，1，3)，∵＝01B5M．【考点】异面直线及其所成的角平面与平面垂直【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】证明：∵∠ABC＝120∘，AB＝BC＝4，由勾股定理知，B1A2＝AB4+B1B2＝16+16＝32，＝AB4+＝16+16＝32，＝BC2+＝16+4＝20，＝AC2+＝48+4＝52，∴B7A2+＝64＝，B1A2+＝52＝，∴B1A⊥A2B1，B1A⊥B3C1，又A1B4∩B1C1＝B2，A1B1、B2C1⊂平面A1B4C1，∴B1A⊥平面A7B1C1．设点A到平面BCC7的距离为d，∵＝，∴CC1•AB⋅BC sin∠ABC＝BC⋅CC5，即d＝AB sin∠ABC＝，∴直线AC5与平面CBB1所成的角的正弦值为＝＝．【考点】直线与平面垂直直线与平面所成的角【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】证明：取AD的中点H，连接GH，∵G，H分别是AE，∴GH // DE，GH＝，∵DE // CF，CF＝，∴GH // CF，GH＝CF，∴四边形GHCF是平行四边形，∴GF // CH，又GF⊄平面ABCD，∴GF // 平面ABCD．∵DE⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴DE⊥CD，DE⊥AD，∵四边形ABCD是正方形，∴CD⊥AD，又AD∩DE＝D，∴CD⊥平面ADE，∵CF // DE，CF⊄平面ADE，∴CF // 平面ADE，∴F到平面ADE的距离等于CD，故V F−ADE＝S△ADE⋅CD＝＝，连接AC，则AC＝，∴AF＝，AE＝，EF＝，∴AF8+EF2＝AE2，∴AF⊥EF，∴S△AEF＝＝5，设D到平面AEF的距离为ℎ，则V D−AEF＝＝，又V F−ADE＝V D−AEF，∴＝，解得ℎ＝，故D点到平面FAE的距离为．【考点】直线与平面平行点、线、面间的距离计算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】（1）证明：连接OM，BD，∵M，O分别为PD和AC中点，∴OM // PB，∵OM⊂平面ACM，PB⊄ACM平面，∴PB // 平面ACM…．（2）证明：由已知得PO⊥平面ABCD∴PO⊥AD，∵∠ADC=45∘，AD=AC=1，∴AC⊥AD，∵AC∩PO=O，AC，PO⊂平面PAC，∴AD⊥平面PAC．…..（3）解：取DO中点N，连接MN，则MN // PO，∴MN⊥平面ABCD过点N作NE⊥AC于E，则E为AO中点，连接ME，由三垂线定理可知∠MEN即为二面角M−AC−D的平面角，∵MN=1，NE=12∴tan∠MEN=2…..【考点】与二面角有关的立体几何综合题直线与平面平行的判定直线与平面垂直的判定【解析】（1）连接OM，BD，由M，O分别为PD和AC中点，知OM // PB，由此能够证明PB // 平面ACM．（2）由PO⊥平面ABCD，知PO⊥AD，由∠ADC=45∘，AD=AC=1，知AC⊥AD，由此能够证明AD⊥平面PAC．（3）取DO中点N，连接MN，由MN // PO，知MN⊥平面ABCD．过点N作NE⊥AC于E，由E为AO中点，连接ME，由三垂线定理知∠MEN即为所求，由此能求出二面角M−AC−D的正切值．【解答】（1）证明：连接OM，BD，∵M，O分别为PD和AC中点，∴OM // PB，∵OM⊂平面ACM，PB⊄ACM平面，∴PB // 平面ACM…．（2）证明：由已知得PO⊥平面ABCD∴PO⊥AD，∵∠ADC=45∘，AD=AC=1，∴AC⊥AD，∵AC∩PO=O，AC，PO⊂平面PAC，∴AD⊥平面PAC．…..（3）解：取DO中点N，连接MN，则MN // PO，∴MN⊥平面ABCD过点N作NE⊥AC于E，则E为AO中点，连接ME，由三垂线定理可知∠MEN即为二面角M−AC−D的平面角，∵MN=1，NE=12∴tan∠MEN=2…..【答案】证明：(Ⅰ)∵AC＝BC，M是AB的中点，又∵EA⊥平面ABC，CM⊥EA，∵EA∩AB＝A点，∴CM⊥平面AEM，∵EM⊂平面AEM，∴CM⊥EM．（2）如图，以M为原点，MC为x，建立如图所示的坐标系M−xyz，∴M(0, 0, 4)，，0)，0，1)，B（，0，0)，0，2)，＝（-，0，1)，，，0)，，，0)，＝(0, 6, 2)，设平面EMC的法向量＝(x，y，则，取x＝2，得，0，），设平面BCD的法向量＝(x，y，则，取x＝1，得，8，0)，设平面EMC与平面BCD所成的二面角的平面角为θ，则|cosθ|＝＝＝，sinθ＝＝．∴平面EMC与平面BCD所成的二面角的正弦值为．(Ⅲ)在棱DC上存在一点N，设N(x，y，且＝(5≤λ≤1)，∴(x−，y，z−6)＝λ(−），∴＝（，，y＝，∵直线MN与平面EMC所成角为60∘，∴cos<>＝，解得，∴存在点N符合条件，且N是棱DC的中点．【考点】二面角的平面角及求法直线与平面所成的角【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。