高二上学期数学12月月考试卷第3套真题
高二数学上学期第三次月考12月试题 (2)
嘉积中学2021-2021学年高二数学上学期第三次月考〔12月〕试题〔考试时间是是：120分钟 满分是：150分〕欢送你参加这次测试，祝你获得好成绩！ 考前须知：1、把试题卷之答案写在答题卷上，并在方框内答题，答在框外不得分；2、制止考生使用计算器答题.一、选择题〔本大题一一共8小题，每一小题5分，满分是40分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕1.设集合}1,3,2{2+=a A ，}1,{2-+=a a B ，}2{=⋂B A ，那么a 的值是 A ．1B ．21-或C ．0D ．2-2.x 满足不等式21)41(22-+≤x x ，那么x 的取值范围是 A ．]1,3[- B ．)1,3(- C ．),1[+∞ D ．]3,(-∞3.直三棱柱111C B A ABC -的所有棱长都相等，M 为11C A 的中点，那么异面直线AM 与BC 所成角的余弦值是A ．1095 B ．35 C ．46 D ．1056π的直线l 经过双曲线422=-y x 的右焦点F ，与双曲线交于A 、B 两点，那么=AB A ．8 B ．38 C ．4 D ．345. 椭圆1422=+y x 的左右焦点分别是1F 、2F ，椭圆上一点P 使得 9021=∠PF F ，那么21PF F ∆的面积是A ．2B ．2C ．1D ．22 6.函数|sin |()ex f x x =⋅的图象大致为A ．B ．C ．D ．k 的直线与曲线342---=x x y 有公一共点，那么实数k 的取值范围是A ． ]0,3[-B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,33 C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡33,0 D ．]3,0[ )0(22>=p px y 的焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且3AF FB =，抛物线的准线l 与x 轴交于点C ，l AA ⊥1于点1A ，假设四边形CF AA 1的面积为312，那么准线l 的方程为A ．2-=xB ．22-=xC ．2-=xD ．1-=x二、多项选择题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，满分是20分，在每一小题给出的四个选项里面，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，局部选对得3分，有选错的得0分〕9. 以下说法正确的选项是A ．”则”的否定是“若则命题“若1,11,1≠===x x x xB ．的充要条件是"065""1"2=---=x x xC ．”的逆否命题是真命题则命题“若y x y x cos cos ,≠≠D ．直线01)1(:1=+++y a ax l ，02:2=++ay x l ，"2"-=a 是""21l l ⊥的充分不必要条件10.方程023222=+++++a a ay ax y x 表示圆的方程，那么实数a 可以是A ．1B ．2C ．3D ．411.对非零平面向量a ，b ，c，以下说法正确的选项是A ．假设0=+b a μλ，那么0==μλ B ．假设0>⋅b a ，那么><b a, 不可能为钝角C ．假设b c a c b a )()(⋅=⋅，那么c b =D ．a ，b ，c两两之间的夹角可以是钝角 1cos 22=+θy x ，其中πθ≤≤0，那么该方程表示的图形有A ．椭圆B ．圆C ．双曲线D ．直线三、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，满分是20分〕13．双曲线12222=-by a x 〔0,0>>b a 〕的一条渐近线方程是x y 3=，那么该双曲线的离心率为__________14．数列}{n a 满足131=a ，n a a n n =-+1，那么=n ______时，na n获得最小值，最小值是__________15．有兄妹二人，当哥哥年龄是妹妹今年年龄时，妹妹6岁。
高二数学上学期第三次月考12月试题理word版本
2017-2018学年度第一学期第三次统考试卷高二理数（时间120分钟 满分150分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设x R ∈ ，则“21x -<”是“220x x +->”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 2.设命题：2,2n n N n ∃∈>，则为( )A.2,2n n N n ∀∈>B.2,2n n N n ∃∈≤C.2,2n n N n ∀∈≤D.2,=2n n N n ∃∈3.双曲线22169144x y -=-的渐近线的方程是( ) A ．169y x =±B ．169x y =± C ．43y x =±D ．43x y =±4.下列说法正确的是( )A.若且为假命题，则，均为假命题B.“2x >”是“2320x x -+>”的必要不充分条件C.若1m <，则方程220x x m -+=无实数根D.命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题5.如果方程13422=-+-m y m x 表示椭圆，则的取值范围是 （ ）A ．)4,3(且27≠m B ．),4()3,(+∞-∞ C ．),4(+∞D ．)3,(-∞6.设,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是( )A.若//,//,//m l m l αα则；B.若,,//m l m l αα⊥⊥则；C.若//,,//,l m l m αβαβ⊥⊥则；D.若,//,,//,//m m l l αββααβ⊂⊂则；7.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12,1AB BC AA ===，则1BC 与平面11BB D D 所成角的正弦值为( )A.3B.5C.5D.58.抛物线)0(22>=p px y 上有),,(),,(2211y x B y x A ),(33y x C 三点，是它的焦点，若|||,||,|CF BF AF 成等差数列，则（ ）A ．321,,x x x 成等差数列B ．231,,x x x 成等差数列C ．321,,y y y 成等差数列D ．231,,y y y 成等差数列9.已知是抛物线214y x =的焦点，是该抛物线上的动点，则线段中点的轨迹方程是（ ） A 221x y =-B ．21216x y =-C ．212x y =-D ．222x y =-10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为( )D.311.已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与双曲线222:14y C x -=有公共的焦点，的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于,A B 两点．若恰好将线段AB 三等分，则 ( )A ．2132a =B ．213a =C ．212b =D ．22b =舒中高二统考理数 第1页（共4页）B12.抛物线26x by =-的准线与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右支分别交于,B C 两点，为双曲线的右顶点，为坐标原点，若AOC BOC ∠=∠，则双曲线的离心率为（ ）D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.若抛物线x y 42=上的点到轴的距离是，则到焦点的距离为．14.过点(1,1)M 作一直线与椭圆22194x y +=相交于A 、B 两点，若点恰好为弦的中点，则所在直线的方程为．15.边长为2的正方形ABCD 中，点E F 、分别是AB BC 、的中点，将,,ADE EBF FCD ∆∆∆,分别沿,,DE EF FD 折起，使得A B C 、、三点重合于点，若四面体'A EFD 的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为16.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ⋅过作一条直线（不与轴垂直）与椭圆交于,A B 两点，如果1ABF ∆恰好为等腰直角三角形，则该直线的斜率为 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．（本小题满分10分）已知0>a 且1≠a 。
北京市第三十五中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试卷
= 1中， b
=
4
，c
=
a2 + b2 =
a2 +16 ，
因为双曲线 C
的离心率为
e
=
c a
=
a2 +16 a
=
5 3
，\ a
=
3，c
=
5，
由双曲线的性质可知 PF2 ³ c - a = 2 ，由双曲线的定义可得 PF1 - PF2 = 2a = 6 ，
答案第31 页，共22 页
解得 PF2 = 4 或16 . 故选：A. 【点睛】关键点点睛：在利用双曲线的定义求解问题时，需要注意以下两点：
11．
2 y = ±2x
【解析】根据题意得 a2 = 1， 2c = 2 5 ，进而根据双曲线的性质求解即可.
【详解】解：根据题意得 a2 = 1 ， 2c = 2 5 ，所以 c = 5 ， b = c2 - a2 = 2 ，
由于双曲线焦点在
x
轴上，故渐近线方程为：
y
=
±
b a
x
=
±2x
.
故答案为： 2 ； y = ±2x .
=
24 7
时，求直线
PQ
的方程；
（3）设线段 PQ 的中点在直线 x + y = 0 上，求直线 PQ 的方程.
17．已知椭圆 C :
x2 a2
+
y2 b2
=1 (a
>
b
> 0) 的一个焦点为 F(-1,0)
， A1(-a,0) ，
A2(a,0) ，且
A2F = 3 ． （1）求椭圆 C 的方程；
试卷第31 页，共3Βιβλιοθήκη 页答案第41 页，共22 页
2020-2021学年人教版高二上册数学月考数学试卷(12月份)带答案
2020-2021学年高二（上）月考数学试卷（12月份）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.)1. 过点P(−2, m)和Q(m, 4)的直线的斜率等于1，则m 的值是（ ） A.1 B.2 C.3 D.42. 向量a →=(2, 1, x)，b →=(2, y, −1)，若|a →|=√5，且a →⊥b →，则x +y 的值为( ) A.−1 B.1C.4D.−43. 在等差数列{a n }中，若S n 为前n 项和，2a 7=a 8+5，则S 11的值是（ ） A.55 B.11C.50D.604. 位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可近似地看成抛物线，该桥的高度为ℎ，跨径为a ，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为（ ）A.a 28ℎ B.a 24ℎC.a 22ℎD.a 2ℎ5. 在公差不为零的等差数列{a n }中，a 1，a 3，a 7依次成等比数列，前7项和为35，则数列{a n }的通项a n 等于（ ） A.n B.n +1 C.2n −1 D.2n +16. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（ ） A.x 24−y 212=1 B.x 212−y 24=1C.x 23−y 2=1D.x 2−y 23=17. 点P是直线x+y−3＝0上的动点，由点P向圆O:x2+y2＝4作切线，则切线长的最小值为（）A.2√2B.32√2 C.√22D.128. 已知F1、F2是两个定点，点P是以F1和F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF1⊥PF2，e1和e2分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有（）A.e12+e22＝2B.e12+e22＝4C.1e12+1e22=2 D.1e12+1e22=4二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.)9. 下列说法正确的是（）A.过点(x1, y1)，(x2, y2)两点的直线方程为y−y1y2−y1=x−x1x2−x1B.点(0, 2)关于直线y＝x+1的对称点是(1, 1)C.直线x−y−2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积为2D.经过点(1, 1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y−2＝010. 在递增的等比数列{a n}中，S n是数列{a n}的前n项和，若a1a4＝32，a2+a3＝12，则下列说法正确的是（）A.q＝1B.数列{S n+2}是等比数列C.S8＝510D.数列{lg a n}是公差为2的等差数列11. 如图，设E，F分别是正方体ABCD−A1B1C1D1的棱DC上两点，且AB＝2，EF＝1，其中正确的命题为（）A.三棱锥D1−B1EF的体积为定值B.异面直线D1B1与EF所成的角为60∘C.D1B1⊥平面B1EFD.直线D1B1与平面B1EF所成的角为30∘12. 发现土星卫星的天文学家乔凡尼卡西尼对把卵形线描绘成轨道有兴趣．像笛卡尔卵形线一样，笛卡尔卵形线的作法也是基于对椭圆的针线作法作修改，从而产生更多的卵形曲线．卡西尼卵形线是由下列条件所定义的：曲线上所有点到两定点（焦点）的距离之积为常数．已知：曲线C是平面内与两个定点F1(−1, 0)和F2(1, 0)的距离的积等于常数a2(a>1)的点的轨迹，则下列命题中正确的是（）A.曲线C过坐标原点B.曲线C关于坐标原点对称C.曲线C关于坐标轴对称a2D.若点在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于12三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分)13. 在等差数列{a n}中，a1+a4+a7＝39，a3+a6+a9＝27，则数列{a n}的前9项之和S9等于________．14. 已知抛物线y2＝4x上一点P到准线的距离为d1，到直线l:4x−3y+16＝0为d2，则d1+d2的最小值为________．15. 数列{a n}的前n项和为S n＝n2+1，则数列{a n}的通项公式为________．16. 已知半径为5的动圆C的圆心在直线l:x−y+10＝0上．若动圆C过点(−5, 0)，求圆C的方程________，使得动圆C中满足与圆O:x2+y2＝r2相外切的圆有且仅有一个．三、解答：本小题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. 已知直线l1:ax+2y+1＝0，直线l2:x−y+a＝0．（1）若直线l1⊥l2，求a的值及垂足P的坐标；（2）若直线l1 // l2，求a的值及直线l1与l2的距离．18. 已知抛物线C:y2＝2px(p>0)上的点M(1, m)到其焦点F的距离为2．（1）求C的方程；并求其焦点坐标；（2）过点(2, 0)且斜率为1的直线l交抛物线于A，B两点，求弦AB的长．19. 已知{a n}是各项均为正数的等比数列，a1=2，a3=2a2+16．(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n=loga n，求数列{b n}的前n项和．220. 从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少15．本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加14．（1）设n 年内（本年度为第一年）总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元．写出a n ，b n 的表达式；（2）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？21. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AB // CD ，AB ⊥AD ，PA ⊥底面ABCD ，E 为BP 的中点，AB ＝2，PA ＝AD ＝CD ＝1．（1）证明：EC // 平面PAD ；（2）求二面角E −AC −P 的正弦值．22. 已知O 为坐标原点，椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝2，P 为椭圆的上顶点，以P 为圆心且过F 1，F 2的圆与直线x =−√2相切． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知直线l 交椭圆C 于M ，N 两点；(ⅰ)若直线l 的斜率等于1，求△OMN 面积的最大值；(ⅱ)若OM →⋅ON →=−1，点D 在l 上，OD ⊥l ．证明：存在定点W ，使得|DW|为定值．参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1.【答案】 A【解析】利用直线的斜率公式求解． 2. 【答案】 D 【解析】根据|a →|=√5求出x 的值，再根据a →⊥b →得出a →⋅b →=0，列方程求出y 的值，即可计算x +y 的值． 3.【答案】 A【解析】利用等差数列的通项公式与求和公式及其性质即可得出． 4. 【答案】 A【解析】本题根据题意建立一个平面直角坐标系，然后根据桥形的特点写出对应的抛物线方程，再将已知点(a2,−ℎ)代入抛物线方程解出p 的值，而桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离即为p ． 5.【答案】 B【解析】根据等差数列以及等比数列的性质求出首项和公差，从而求出通项公式． 6.【答案】 D【解析】 此题暂无解析 7.【答案】 C【解析】由圆的标准方程，找出圆心坐标和圆的半径，要使切线长的最小，则必须点P 到圆的距离最小，求出圆心到直线x +y −3＝0的距离，利用切线的性质及勾股定理求出切线长的最小值即可．8.【答案】C【解析】由题设中的条件，设焦距为2c，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2m，根据椭圆和双曲线的性质以及勾弦定理建立方程，联立可得m，a，c的等式，整理即可得到结论二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.【答案】B,C【解析】分类求出点(x1, y1)，(x2, y2)两点的直线方程判断A；由对称性判断B；求出直线x−y−2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积判断C；求出经过点(1, 1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程判断D．10.【答案】B,C【解析】本题先根据题干条件判断并计算得到q和a1的值，则即可得到等比数列{a n}的通项公式和前n项和公式，则对选项进行逐个判断即可得到正确选项．11.【答案】A,B,D【解析】根据题意画出图形，结合图形求出三棱锥D1−B1EF的体积为定值，可判断选项A；求得异面直线D1B1与EF所成的角为45∘可判断B；判断D1B1与平面B1EF不垂直可判断C；直线D1B1与平面B1EF所成的角是为30∘可判断D．12.【答案】B,C,D【解析】设动点坐标为(x, y)，根据题意可得曲线C的方程为[(x+1)2+y2]•[(x−1)2+y2]＝a4，对各个选项逐一验证，即可得出结论．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.【答案】99【解析】由等差数列的性质可求得a4，＝13，a6＝9，从而有a4+a6＝22，由等差数列的前n项和公式即可求得答案．14.【答案】4【解析】利用抛物线的定义，将d 1+d 2的最小值转化为焦点到直线4x −3y +16＝0的距离即可求得． 15. 【答案】a n ={2(n =1)2n −1(n ≥2)【解析】a 1＝S 1＝1+1＝2，a n ＝S n −S n−1＝(n 2+1)−[(n −1)2+1]＝2n −1．当n ＝1时，2n −1＝1≠a 1，由此能求出数列{a n }的通项公式． 16. 【答案】(x +10)2+y 2＝25或(x +5)2+(y −5)2＝25，存在正实数r ＝5√2−5 【解析】由已知先设原的标准方程，再由已知条件建立方程组即可求出圆的圆心，进而可以求解；然后再求出圆O 的圆心到直线l 的距离，利用直线与圆外切的圆只有一个可求出此时圆O 的半径，进而可以求解．三、解答：本小题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.【答案】∵ 直线l 1:ax +2y +1＝0，直线l 2:x −y +a ＝0， 当直线l 1⊥l 2时，a ×1+2×(−1)＝0， 解得a ＝2，∴ l 1:2x +2y +1＝0，直线l 2:x −y +2＝0， 联立解得{x =−54y =34∴ a 的值为2，垂足P 的坐标为(−54, 34)； 当直线l 1 // l 2时，a1=2−1≠1a ，解得a ＝−2，∴ l 1:−2x +2y +1＝0，直线l 2:−2x +2y +4＝0， 由平行线间的距离公式可得d =√(−2)2+22=3√24∴ a 的值为−2，直线l 1与l 2的距离为3√24【解析】（1）由垂直可得a ×1+2×(−1)＝0，解得a 值可得直线的方程，联立方程可解交点坐标；（2）当直线l 1 // l 2时，a1=2−1≠1a ，解得a 值可得直线的方程，由平行线间的距离公式可得答案． 18. 【答案】由抛物线的方程可得其准线方程为x =−p2，由抛物线的性质可得抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离， 所以1−(−p2)＝2，解得p ＝2，所以抛物线的方程为：y 2＝4x ，焦点F(1, 0)．由题意可得直线l 的方程为：y ＝x −2，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 由{y 2=4x y =x −2，整理可得：x 2−8x +4＝0，x 1+x 2＝8，x 1x 2＝4， 所以弦长|AB|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+1⋅√82−4×4=4√6， 所以弦AB 的长为4√6．【解析】（1）由抛物线的方程可得其准线方程，再由抛物线的性质可得抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，起床p 的值，进而求出抛物线的方程及焦点坐标；（2）由题意可得直线l 的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，再由弦长公式可得弦AB 的值． 19.【答案】解：(1)设等比数列的公比为q ，由a 1=2，a 3=2a 2+16，得2q 2=4q +16， 即q 2−2q −8=0，解得q =−2（舍）或q =4． ∴ a n =a 1q n−1=2×4n−1=22n−1； (2)b n =log 2a n =log 222n−1=2n −1，∵ b 1=1，b n+1−b n =2(n +1)−1−2n +1=2， ∴ 数列{b n }是以1为首项，以2为公差的等差数列， 则数列{b n }的前n 项和T n =n ×1+n(n−1)×22=n 2．【解析】（1）设等比数列的公比，由已知列式求得公比，则通项公式可求；（2）把（1）中求得的{a n }的通项公式代入b n ＝log 2a n ，得到b n ，说明数列{b n }是等差数列，再由等差数列的前n 项和公式求解． 20. 【答案】第1年投入为800万元，第2年投入为800×(1−15)万元，第n 年投入为800×(1−15)n−1万元．所以，n 年内的总投入为a n ＝800+800×(1−15)+...+800×(1−15)n−1=∑ n k=1800×(1−15)k−1＝4000×[1−(45)n ]；第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×(1+14)万元， 第n 年旅游业收入为400×(1+14)n−1万元． 所以，n 年内的旅游业总收入为b n ＝400+400×(1+14)+...+400×(1+14)n−1=∑ n k=1400×(54)k−1＝1600×[(54)n −1]．设至少经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入，由此 b n −a n >0，即1600×[(54)n −1]−4000×[1−(45)n ]>0． 化简得5×(45)n +2×(54)n −7>0， 设x ＝(45)n ，代入上式得5x 2−7x +2>0，解此不等式，得x <25，x >1（舍去）．即(45)n <25，由此得n ≥5．答：至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入．【解析】（1）依次写出第1年投入量，第2年投入量，等等，第n 年投入量，从而求出n 年内的总投入量a n ，再由第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×(1+14)万元，归纳出第n 年旅游业收入为400×(1+14)n−1万元．从而得出n 年内的旅游业总收入b n ． （2）先设至少经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入，由b n −a n >0，解得n 的取值范围即可． 21.【答案】证明：如图，取AP 的中点F ，连结EF ，DF ∵ BE ＝PE ，PF ＝AF ，∴ EF ∥=12AB ，∵ 直角梯形ABCD 中，AB // CD ，AB ＝2，PA ＝AD ＝CD ＝1， ∴ CD ∥=12AB ，∴ CD ∥=EF ，∴ 四边形EFDC 是平行四边形，∴ EC // FD ，∵ DF ⊂平面PAD ，EC ⊄平面PAD ，∴ EC // 平面PAD ．如图，∵ PA ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，∴ AP 、AB 、AD 两两垂直， 以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系 A(0, 0, 0)，P(0, 0, 1)，C(1, 1, 0)，B(2, 0, 0)，E(1, 0, 12)， AP →=(0, 0, 1)，AC →=(1, 1, 0)，AC →=(1, 1, 0)，AE →=(1, 0, 12)， 设平面APC 的法向量m →=(x, y, z)，则{m →⋅AP →=z =0m →⋅AC →=x +y =0，取x ＝1，得m →=(1, −1, 0)， 设平面EAC 的法向量n →=(a, b, c)，则{n →⋅AC →=a +b =0n →⋅AE →=a +12c =0 ，取a ＝1，得n →=(1, −1, −2)， 设二面角E −AC −P 的平面角为θ， 则cos θ=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=2√2×√6=√33， sin θ=√1−(√33)2=√63． ∴ 二面角E −AC −P 的正弦值为√63．【解析】（1）取AP 的中点F ，连结EF ，DF ，推导出四边形EFDC 是平行四边形，从而EC // FD ，由此能证明EC // 平面PAD ．（2）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E −AC −P 的正弦值． 22.【答案】由题意知：F 1(−1, 0)，F 2(1, 0)，由椭圆定义知，所以2a =|PF 1|+|PF 2|=2√2，设椭圆的半焦距为c ，所以b 2+c 2＝a 2，所以a =√2，b ＝1，c ＝1， 所以椭圆C 的标准方程为：x 22+y 2=1． (ⅰ)设直线l 的方程为：y ＝kx +t试卷第11页，总11页 将y ＝kx +t ，代入x 22+y 2=1得：(1+2k 2)x 2+4ktx +2t 2−2＝0，设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，所以x 1+x 2=−4kt1+2k 2，x 1x 2=2t 2−21+2t 2，又因为k ＝1，得|AB|=√2|x 1−x 2|=√2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√3−t 23， 点O 到直线l 的距离d =√1+k 2=√2， 所以S △AOB =12⋅√24√3−t 23=√23×√t 2(3−t 2)≤√23×(t 2+3−t 22)=√22， 等号当仅当t 2＝3−t 2时取，即当t =±√62时，△OMN 的面积取最大值为√22．(ⅱ)显然直线l 的斜率一定存在，设直线l 的方程为：y ＝kx +t ，由(ⅰ)知：x 1+x 2=−4kt1+2k 2,x 1x 2=2t 2−21+2k 2，所以y 1y 2=(kx 1+t)(kx 2+t)=k 2x 1x 2+kt(x 1+x 2)+t 2=t 2−2k 21+2k 2， 所以OM →⋅ON →=x 1x 2+y 1y 2=3t 2−2−2k 21+2k 2=−1， 解得t 2=13，t =±√33，直线y ＝kx ±√33过定点Z(0, √33)或(0,−√33) 所以D 在以OZ 为直径的圆上，该圆的圆心为W(0, √36)或(0, −√36)，半径等于√36， 所以存在定点W(0, √36)或(0, −√36)，使得|DW|为定值． 【解析】（1）利用椭圆的焦距求出c ，利用椭圆的定义求解a ，推出b ，即可得到椭圆方程．(2)(ⅰ)设直线l 的方程为：y ＝kx +t 将y ＝kx +t ，代入x 22+y 2=1，设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，利用韦达定理结合弦长公式，点到直线的距离求解三角形的面积，利用基本不等式推出结果．(ⅱ)显然直线l 的斜率一定存在，设直线l 的方程为：y ＝kx +t ，求出向量的数量积，推出直线系方程得到定点，然后推出结果．。
辽宁省大连市第八中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题
辽宁省大连市第八中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．1x =，12y =，12z =-C ．12x =，1y =，12z =-4．已知抛物线2:C y x =的焦点为为B ，1BF =，则BAF ∠=（A ．30°B ．45°5．美术绘图中常采用“三庭五眼鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如图，假设三庭中一庭的高度为中提供的直线AB 近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（A ．524C ．9246．已知双曲线221(0)x y m m-=>曲线的渐近线方程为（）A ．2y x=±B ．y =±7．已知直线20kx y k -+=与直线二、多选题9．4名男生和3名女生排队（排成一排）照相，下列说法正确的是（）A ．若女生必须站在一起，那么一共有5335A A 种排法B ．若女生互不相邻，那么一共有3434A A 种排法C ．若甲不站最中间，那么一共有1666C A 种排法A ．无论λ取何值，三棱锥B ．若24λ=，则EG ⋅ C ．点1D 到平面EFG 的距离为D ．若异面直线EF 与AG 12．法国数学家加斯帕·蒙日被称为相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，圆的蒙日圆.若椭圆Γ：22x a 动点M 作Γ的两条切线，分别与A ．2a b=B ．MPQ 面积的最大值为C ．M 到Γ的左焦点的距离的最小值为D ．若动点D 在Γ上，将直线三、填空题四、解答题(1)求1AC 的长；(2)求异面直线1CA 与1DC 所成角的余弦值．18．已知圆C 过点(02)M -，，(1)求圆C 的标准方程．(2)设直线10ax y -+=与圆C 的直线l 垂直平分弦AB ？若存在，求出实数19．已知圆22:22M x y x ++（1）求曲线E 的方程；（2）点A 是曲线E 与y 轴正半轴的交点，过点,AB AC 的斜率分别是12,k k ，试探索12k k ⋅是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.20．如图，在四棱锥P ABCD -中，ABC ∠=∠二面角P AD B --为直二面角．(1)求证：PA BD ⊥；(2)若直线PB 与平面PAD 弦值．21．已知双曲线C ：22x a -A(1)求双曲线C 的方程(2)动直线12y x t =+交双曲线22．抛物线1C ：24x y =，双曲线一点3,4M m ⎛⎫⎪⎝⎭作1C 的切线，其斜率为(1)求2C 的标准方程；。
高二数学12月(第三次)月考试题 理-人教版高二全册数学试题
万全中学2016-2017学年高二第一学期第三次月考数学试题（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题2",||0"x R x x ∀∈+≥的否定是( )0||,.2<+∈∀x x R x A 0||,.2≤+∈∀x x R x B2000.,||0C x R x x ∃∈+≥ 2000.,||0D x R x x ∃∈+< 2.下列说法中正确的是（ ）A ．“1a =”是直线1l ：210ax y +-=与直线2l ：(1)40x a y +++=平行”的充要条件B ．命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实数根”的逆否命题为“若方程20x x m +-=无实数根 ，则0m ≤”C ．命题“x R ∃∈，20x x ->”的否定“x R ∀∈，20x x ->”D ．若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题3.某学校有学生2500人，教师350人，后勤职工150人，为了调查队食堂服务的满意度，用分层抽样从中抽取300人，则学生甲被抽到的概率为（ ） A ．12500B ．1300C ．110D ．130004．若f (x )＝ln xx，0a b e <<<，则有 ( )A ．f (a )>f (b )B ．f (a )＝f (b )C ．f (a )<f (b )D ．f (a )·f (b )>15.在平面区域02,02x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩内随机取一点，在所取的点恰好满足x y +≤ ）A ．14B ．18C ．116D ．126．函数1sin sin 33y a x x =+在x ＝π3处有极值，则a 的值为 ( )A ．－6B ．2C ．－2D ．67.设n m , 是不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，有以下四个命题： ①若αα⊥⊥n m ,，则//m n ； ②若n m n m //,,==γβγα 则βα//；③若βα//αγβ⊥m ,//,，则γ⊥m ④若⊥γα，βγ⊥，则α//β。
上海市川沙中学2022-2023学年高二上学期12月月考数学试题
上海市川沙中学2022-2023年高二上12月月考数学试卷一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.直线410x y +-=的倾斜角为 ．2.半径为2的球的表面积是 ．3.若不垂直于x 轴的直线10kx y -+=与直线20x y -=所成的角的大小为25,则实数k 的值为 ．4.焦点在y 轴上,焦距为215,且过(0,4)-的椭圆方程为 ．5.若圆锥高为3,且母线与底面所成角为4arccos 5,则该圆锥的侧面积为 ． 6.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为102,则其渐近线的斜率是 ． 7.已知点(3,2)A 和(1,4)B -到直线10ax y ++=的距离相等,则a 的值为 ．8.过点(1,4)B -,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 ．9.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4,点P 是棱1BB 上一点,若异面直线1AC 与PD 所11,则BP = ． 10.已知关于x 的方程224(3)1x k x -=++有两个不同的实数根,则实数k 的范围 ．11.已知椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为12,,F F M 为椭圆C 上任意一点,N 为圆22:(3)(2)1E x y -+-=上任意一点,则1||MN MF -的最小值为 ．12.2222(8)(6)20x y x y +-+-=,则|34100|x y --的最大值为 ．二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分）13.直线310x y +-=的一个法向量可以是( )A.(3,1)-B.(3,1)C.(1,3)D.(1,3)-14.“1k <-”是“方程221324x y k k +=++表示焦点在x 轴上的椭圆”的()条件A.充分非必要B.必要非充分C.充分必要D.既非充分又非必要15.如图正方体1111ABCD A B C D -中,P 、Q 、R 、S 分别为棱1,,,AB BC BB CD 的中点,联结11,A S B D ,空间任意两点M 、N ,若线段MN 上不存在点在线段11,A S B D 上,则称M 、N 两点可视,下列选项中与点1D 可视的为（ ）A.点PB.点BC.点RD.点Q16.对于平面上点P 和曲线C ,任取C 上一点Q ,若线段PQ 的长度存在最小值,则称该值为点P 到曲线C 的距离,记作(,)d P C 若曲线C 足边长为6的等边三角形,则点集{(,)1}D P d P C =≤∣所表示的图形的面积为( )A.36B.363-C.36332π-D.3633π-三、解答题（本大题共5题，满分76分）17.如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,T 为1DD 上一点,已知2,4,2DT AB BC ===, 16AA =，(1)求直线TC 与平面ABCD 所成角的大小(用反三角函数表示);(2)求点1C 到平面1ATC 的距离.18.已知ABC 中,(2,1),(2,3)B C -(1)求BC 边所在直线的方程;(2)直线430kx y k -+-=过定点,设该定点为A ,求ABC 的面积.19.已知直线:1l x my =+,圆22:4C x y +=.(1)证明:直线l 与圆C 相交;(2)设l 与C 的两个交点分别为A 、B ,弦AB 的中点为M ,求点M 的轨迹方程.20.已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的长轴长为22,21 ,直线:l y kx m =+与椭圆Γ交于A ,B 两点.(1)求椭圆Γ的方程;(2)若A 为椭圆的上顶点,M 为AB 中点,O 为坐标原点,连接OM 并延长交椭圆Γ于N ,62ON OM =，求k 的值; (3)若原点O 到直线l 的距离为1,OA OB λ⋅=,当4556λ≤≤时,求OAB 的面积S 的范围.21.已知双曲线2212:14x y bΓ-=与圆2222:4(0)x y b b Γ+=+>交于点(),A A A x y (第一象限),曲线Γ为12,ΓΓ上取满足A x x >的部分.(1)若6A x 求b 的值;(2)当25,b =Γ与x 轴交点记作点12,,F F P 是曲线Γ点,且在第一象限,且18PF = ,求12F PF ∠;(3)过点20,22b D ⎛⎫+ ⎪⎝⎭斜率为2b -的直线l 与曲线Γ只有两个交点,记为M 、N ,用b 表示OM ON ⋅,并求OM ON ⋅的取值范围.。
高二数学12月(第三次)月考试题 文-人教版高二全册数学试题
万全中学2016—2017学年度第一学期12月月考高二年级数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分） 1.下列命题错误的是A.若p 且q 为假命题，则p ，q 均为假命题B.命题p ：∃0x ∈R ，使得20010x x ++<，则p ⌝：∀x ∈R ，都有210x x ++≥C.命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠”D.“1x <”是“2320x x -+>”的充分不必要条件 2.复数11z i=-（i 为虚数单位）的共轭复数z 是 A.1i - B ．1i + C ．1122i - D ．1122i -+ 3.运行如右图的程序框图，则输出s 的结果是 A.61B ．C ．D ．4.某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如上表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为 A. 12 B ．16 C ．18 D ．24 5.以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线C 的渐近线方程为37±=y ，则双曲线C 的离心率为 A.35或34 B. 34 C. 774或34 D. 7746.若在区间[]20，中随机地取两个数，则这两个数中较小的数大于32的概率是 A.31B. 32C. 94D. 917.已知点P 是抛物线x y 82-=上一点，设P 到此抛物线准线的距离是1d ，到直线010=-+y x 的距离是2d ，则21d d +的最小值是 A.26 B.32 C.3 D.3一年级 二年级三年级女生 373 xy男生377370zx15 16 18 19 22y102981151151208.经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似于线性相关关系．对某小组学生每周用于数学的学习时间x 与数学成绩y 进行数据收集如下： 由表中样本数据求得回归方程为∧∧∧+=a x b y ，则点),(∧∧b a 与直线18100x y +=的位置关系是 A.点在直线左侧 B. 点在直线上 C. 点在直线右侧 D.无法确定9.已知定点B ,A 且4AB =，动点P 满足3PB PA =-，则PA 的最小值是 A. 5 B ．27C ．23 D ．21 10.已知函数)(x f y =对任意的)2,2(ππ-∈x 满足0>+x x f x x f sin )(cos )('（其中)('x f 是函数)(x f 的导函数），则下列不等式成立的是 A.)()(320πf f >B.)()(432ππf f < C.)()(420πf f > D.)()(432ππ-<-f f11.已知P 是双曲线2221(0)4x y b b -=>上一点，1F 、2F 是其左、右焦点，12PF F ∆的三边长成等差数列，且12120F PF ∠=︒，则双曲线的离心率等于A ．27 B ．253 C ．72 D ．753 12.已知函数()()1114()ln 1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，则方程()f x ax =恰有两个不同的实根时，实数a 的取值范围是（注：e 为自然对数的底数）A.1(0,)e B ．)1,41[e C ．1(0,)4 D ． ),41[e 二、填空题：（本大共4小题，每小题5分，满分20分） 13.5.2PM 是指大气中直径小于或等于5.2微米的颗粒物，也称 为入肺颗粒物．右图是据北京某日早7点至晚8点甲、乙两个 5.2PM 监测点统计的数据列出的茎叶图（单位：毫克/每立方米）， 则甲、乙两地浓度的中位数较低的是 ．14.已知()tan f x x =,则)34('πf 等于.___________15.两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作11a =，第2个五角形数记作25a =，第3个五角形数记作312a =，第4个五角形数记作422a =，…，若按此规律继续下去，得数列{}n a ，则1_______(2)n n a a n --=≥；对*n N ∈，_____n a =．16.已知函数qx px x y ++=23，其图像与x 轴切于非原点的一点，且该函数的极小值是4-，那么切点坐标为 ．三、解答题：（本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(10分)为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：性别是否需要志愿男女需要 40 30 不需要160270 （1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（2）能否有99％的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？附：22()K ()()()()n ad bc a b c d a c b d -=++++2()P K k ≥0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.82818.(12分)某校从高一年级学生中随机抽取40名学生， 将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如下图的频率分布直方图． （1）求图中实数a 的值；（2）若该校高一年级共有学生640人， 试估计该校高一年级期中考试数学成绩 不低于60分的人数；（3）若从数学成绩在[40,50)与[90,100] 两个分数段内的学生中随机选取两名学生， 求这两名学生的数学成绩之差的绝对值 不大于10的概率． 19.(12分)设函数()ln ,R mf x x m x=+∈． （1）当m e =（e 为自然对数的底数）时，求()f x 的最小值；（2）讨论函数3x x f x g -=)()('零点的个数.（其中)('x f 是函数)(x f 的导函数）20.(12分)已知过抛物线()022>=p px y 的焦点，斜率为22的直线交抛物线于()12,,A x y ()22,B x y （12x x <）两点，且9=AB ．（1）求该抛物线的方程；（2）O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OB OA OC λ+=，求λ的值．21.(12分)已知椭圆2211x y m +=+的两个焦点是12(,0),(,0)(0)F c F c c ->． （1）设E 是直线2y x =+与椭圆的一个公共点,求12EF EF +取得最小值时椭圆的方程（2）已知点(0,1)N -，斜率为(0)k k ≠的直线l 与条件（1）下的椭圆交于不 同的两点,A B ，点Q满足AQ QB =，且0NQ AB ⋅=，求直线l 在y 轴上的截距的取值范围．22.(12分)已知函数112++-=x x a x f ln )()( （1）当41-=a 时，求函数)(x f 的极值； （2）当),[+∞∈1x 时，函数)(x f y =图像上的点都在⎩⎨⎧≤-≥01x y x 所表示的平面区域内，求实数a 的取值范围.1.A2. C3. D4. B5. C6. C7. A8. C9. B 10. D 11. A 12. B13. 乙 14. 4 15. 23-n ；232nn - 16. （-3,0）17. 解：（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估算值为7014%500= （2）22500(4027030160)9.96720030070430K ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯． 由于9．967>6．635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关． 18. 解：（1）由于图中所有小矩形的面积之和等于1， 所以10(0.0050.010.020.0250.01)1a ⨯+++++=， 解得0.03a =．…………………3分（2）根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为110(0.0050.01)0.85-⨯+=．由于该校高一年级共有学生640人，可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为6400.85544⨯=人．………7分（3）成绩在[40,50)分数段内的人数为400.052⨯=人，成绩在[90,100]分数段内的人数为400.14⨯=人，若从这6名学生中随机抽取2人，则总的取法有15．如果两名学生的数学成绩都在[40,50)分数段内或都在[90,100]分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10．如果一个成绩在[40,50)分数段内，另一个成绩在[90,100]分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10．则所取两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10分的取法数为7． 所以所求概率为7()15P M =．………………12分 19. 解：(1)由题设，当m ＝e 时，f (x )＝ln x ＋e x，则f ′(x )＝x －ex2， ∴当x ∈(0，e)时，f ′(x )<0，f (x )在(0，e)上单调递减； 当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(e ，＋∞)上单调递增． ∴x ＝e 时，f (x )取得极小值f (e)＝ln e ＋ee＝2，∴f (x )的极小值为2．(2)由题设g (x )＝f ′(x )－x 3＝1x －m x 2－x 3(x >0)，令g (x )＝0，得m ＝－13x 3＋x (x >0)，设φ(x )＝－13x 3＋x (x ≥0)，则φ′(x )＝－x 2＋1＝－(x －1)(x ＋1)，当x ∈(0，1)时，φ′(x )>0，φ(x )在(0，1)上单调递增； 当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )<0，φ(x )在(1，＋∞)上单调递减． ∴x ＝1是φ(x )的唯一极值点，且是极大值点，因此x ＝1也是φ(x )的最大值点，∴φ(x )的最大值为φ(1)＝23．又φ(0)＝0，结合y ＝φ(x )的图像(如图所示)，可知①当m >23时，函数g (x )无零点；②当m ＝23时，函数g (x )有且只有一个零点；③当0<m <23时，函数g (x )有两个零点；④当m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点．综上所述，当m >23时，函数g (x )无零点；当m ＝23或m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点；当0<m <23时，函数g (x )有两个零点．20. 解：（1）设直线AB的方程是)2py x =-，则与()022>=p px y 联立，22450x px p -+=，所以 4521px x =+，由抛物线定义得：921=++=p x x AB ，所以4p =，抛物线方程为：x y 82=．（2）由4p =，22450x px p -+=，化简得0452=+-x x ，从而,4,121==x x 24,2221=-=y y，从而(1,A B -．设)24,4()22,1()(3,3λ+-==→y x OC =)2422,41(λλ+-+，又3238x y =，即()[]=-21222λ8（41+λ），即14)12(2+=-λλ，解得2,0==λλ或．21. 解：由题意，知11m +>，即0m >.由22211y x x y m =+⎧⎪⎨+=⎪+⎩，得2(2)4(1)3(1)0m x m x m +++++= 又216(1)12(2)(1)4(1)(2)0m m m m m ∆=+-++=+-≥ 解得2m ≥或1m ≤-（舍去），2m ∴≥此时12EF EF +=2m =时，12EF EF +取得最小值此时椭圆的方程为2213x y +=.（2）设直线l 的方程为y kx t =+.由方程组2233x y y kx t⎧+=⎨=+⎩消去y 得222(13)6330k x ktx t +++-=. 直线l 与椭圆交于不同的两点,A B ，222(6)4(13)(33)0kt k t ∆=-+-> ，即2213.t k <+()*设1122(,),(,),(,)Q Q A x y B x y Q x y ，则122613ktx x k +=-+由AQ QB =，Q 的为线段AB 的中点， 则1223213Q x x kt x k +==-+，213Q Q ty kx t k=+=+. 0NQ AB ⋅=.∴直线AB 的斜率AB k 与直线QN 的斜率QN k 的成绩为1-，即AB k 1QNk ⋅=-,221131313tk t kt k ++⋅=--+ 化简得2132k t +=，代入()*式得22t t <，解得02t <<又0k ≠即21321k t +=>，故12t >. 综上，直线l 在y 轴上的截距t 的取值范围是1(,2)2.22. 解：（1）当2=x 时，函数)(x f 取得极大值2432ln )(+=f ---4分 （2）0≤a ---12分。
2021-2022年高二数学上学期第三次12月月考试题理
2021-2022年高二数学上学期第三次12月月考试题理一、选择题（每题5分共60分） 1 复数的共轭复数是（ ）A ．B ．C ．D ． 2若，，则是的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）． A. B. C. D. 4设函数在上可导，其导函数为，如图是函数的图象，则的极值点是( )A. 极大值点，极小值点B. 极小值点，极大值点C. 极值点只有D. 极值点只有5如图是一个几何体的三视图（尺寸的长度单位为），则它的体积是（ ）.A. B. C. D.6若函数在区间单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D.7已知点是双曲线（， ）右支上一点， 是右焦点，若（是坐标原点）是等边三角形，则该双曲线离心率为（ ） A. B. C. D.8如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点，若点是的中点，且，则线段的长为（ ）1 1侧视图正视图32A. B. C. D.9做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是，且用料最省，则圆柱的底面半径为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 610已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D.11若函数()()2122ln 2ax f x a x x =+--在区间内有极小值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D.12已知函数，关于的不等式只有两个整数解，则实数的取值范围是 A. B. C. D.二、填空题（每题5分，共20分）13 函数 的单调减区间为___________________． 14曲线与直线所围成图形的面积 .15设曲线在点(0,1)处的切线与曲线上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________． 16已知函数有两个零点，则的取值范围是__________三、简答题17（本题10分）已知等差数列满足：，的前项和为 （1）求及（2）令,求的前项和18（本题12分）在中，内角A,B,C 的对边分别为，已知 （1）求（2）若，求的面积19（本题12分）如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC ．（1）求证：AC⊥平面BDEF ； （2）求二面角A ﹣FC ﹣B 的余弦值．20(本小题满分12分)若函数在x ＝1处取得极值． (1)求的值；(2)求函数的单调区间及极值．21已知椭圆上点P到左右焦点的距离之和为，离心率为（1）求椭圆方程（2）过右焦点的直线交椭圆于A,B两点①若轴上一点M满足，求直线斜率的值②为坐标原点，是否存在这样的直线，使的面积最大值是？，若存在求出直线的方程，不存在说明原因理由22已知函数．（Ⅰ）若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围；（Ⅱ）设函数，在（Ⅰ）的条件下，试判断在上是否存在极值．若存在，判断极值的正负；若不存在，请说明理由．高二三模理数参考答案选择题BABCA CDCBB CC填空题13（0,1） 14 9 15 （1,1） 16 简答题所以数列的前项和= 。
2021-2022年高二上学期12月月考数学试题含解析
2021-2022年高二上学期12月月考数学试题含解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．命题“”的否定是．2．抛物线的焦点坐标为．3．已知正四棱锥的底面边长是6，高为，这个正四棱锥的侧面积是．4．已知函数，则．【答案】.试题分析：两函数的差求导数.分别求导再相减.故填.正弦函数的导数是余弦函数.考点：1.函数的差的求导方法.2.正弦函数的导数.5．一枚骰子（形状为正方体，六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的玩具）先后抛掷两次，骰子向上的点数依次为．则的概率为．6．若双曲线的离心率为2，则的值为．7．在不等式组所表示的平面区域内所有的格点（横、纵坐标均为整数的点称为格点）中任取3个点，则该3点恰能成为一个三角形的三个顶点的概率为．【答案】.【解析】试题分析：如图总共有5个点，所以，每三个点一组共有10种情况.其中不能构成三角形的只有一种共线的情况.所以能够成三角形的占.本题考查的是线性规划问题.结合概率的思想.所以了解格点的个数是关键.3y=xx考点：1.线性规划问题.2.概率问题.3.格点问题.8．如图，在三棱柱中，分别是的中点，设三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则9．已知椭圆的离心率，A,B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A,B的一点，直线PA,PB倾斜角分别为，则10．若“”是 “”的必要不充分条件，则的最大值为 ．11．已知函数)0()232()(23>+--++=a d x b a c bx ax x f 的图像如图所示，且．则的值是 ．12． 设和为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；（2）若外一条直线与内的一条直线平行，则和平行；（3）设和相交于直线，若内有一条直线垂直于，则和垂直；（4）直线与垂直的充分必要条件是与内的两条直线垂直．上面命题中，真命题．．．的序号（写出所有真命题的序号）．考点：1.面面平行.2.直线与平面平行.3.面面垂直.4.直线与平面垂直.13．已知可导函数的导函数满足＞，则不等式的解集是．14．已知椭圆E ：，椭圆E 的内接平行四边形的一组对边分别经过它的两个焦点（如图），则这个平行四边形面积的最大值是 ． 【答案】4. 【解析】试题分析：由题意得椭圆的半焦距为.i)当直线AB 与x 轴垂直的时候ABCD 为矩形面积为.ii)当直线AB 不垂直x 轴时假设直线:(3).:(3)AB CD l y k x l y k x ==.A （），B （）.所以直线AB 与直线CD 的距离d=.又有.消去y 可得：2222(41)831240x k k x k +-+-=.2212122834(31)41k k x x x x k -+==+.所以2222222834(31)4(1)()4414141k k k AB k k k -+=-⨯=+++.所以平行四边形的面积S=令.所以221383641681169(81)1081t tS t t t t +==++--++-因为时.S 的最大值为4.综上S 的最大值为4.故填4.本题关键考查弦长公式点到直线的距离.考点：1.分类的思想.2.直线与椭圆的关系.3.弦长公式.4.点到直线的距离.二、解答题：（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分14分）求实数的取值组成的集合，使当时，“”为真，“”为假． 其中方程有两个不相等的负根；方程无实数根．,044)]2(4[2<⨯--=∆m 即…………………10 分①② …………………13分综上所述：}.312|{<<-<=m m m M 或 …………………14分 考点：1.含连接词的复合命题.2.二次方程的根的分布. 3.集合的概念.16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，DC ∥AB ，∠BAD ＝，且AB ＝2AD ＝2DC ＝2PD ＝4，E 为PA 的中点．（1）证明：DE ∥平面PBC ； （2）证明：DE ⊥平面PAB ．17．（本小题满分15分）如图，过点的两直线与抛物线相切于A、B两点，AD、BC垂直于直线，垂足分别为D、C．（1）若，求矩形ABCD面积；（2）若，求矩形ABCD面积的最大值．（2）设切点为，则, 因为，所以切线方程为, 即，18．（本小题满分15分） 如图，在四棱柱中，已知平面，且31AB BC CA AD CD =====，． (1)求证：;(2)在棱BC 上取一点E ，使得∥平面，求的值．【答案】（1）证明参考解析；（2）【解析】试题分析：（1）由于AB=CB,AD=CD,BD=BD.可得三角形ABD全等于三角形CBD.所以这两个三角形关于直线BD对称.所以可得.再由面面垂直即可得直线BD垂直于平面.从而可得.19．（本小题满分16分）已知椭圆的左右两焦点分别为，是椭圆上一点，且在轴上方，．（1）求椭圆的离心率的取值范围；（2）当取最大值时，过的圆的截轴的线段长为6，求椭圆的方程；（3）在（2）的条件下，过椭圆右准线上任一点引圆的两条切线，切点分别为．试探究直线是否过定点？若过定点，请求出该定点；否则，请说明理由．(1)22222211111c b e a a λλλλ-==-=-=++，∴,在上单调递减． ∴时，最小，时，最大，∴，∴．(2) 当时，，∴，∴．∵,∴是圆的直径，圆心是的中点，∴在y 轴上截得的弦长就是直径，∴=6．又221322622b a PF a a a a a =-=-==，∴．∴椭圆方程是 -------10分20．（本小题满分16分）已知函数(为实常数) ．（1）当时，求函数在上的最大值及相应的值；（2）当时，讨论方程根的个数．（3）若，且对任意的，都有，求实数a的取值范围.【答案】（1）.；（2）时，方程有2个相异的根. 或时，方程有1个根. 时，方程有0个根.（3）.（2）易知，故，方程根的个数等价于时，方程根的个数． 设=， x x x x x x x x x g 222ln )1ln 2(ln 1ln 2)(-=-=' 当时，，函数递减，当时，，函数递增．又，，作出与直线的图像，由图像知： 当时，即时，方程有2个相异的根；当 或时，方程有1个根；当时，方程有0个根； -------10分（3）当时，在时是增函数，又函数是减函数，不妨设，则等34900 8854 衔28564 6F94 澔32945 80B1 肱34815 87FF 蟿G26778 689A 梚32221 7DDD 緝*23653 5C65 履24992 61A0 憠37048 90B8 邸31243 7A0B 程x23206 5AA6 媦20974 51EE 凮。
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高二上学期数学12月月考试卷
一、单选题
1. 数列2，6，12，20,,的第6项是（）
A . 42
B . 56
C . 90
D . 72
2. 设，则“ ”是“ ”的（）
A . 充分而不必要条件
B . 必要而不充分条件
C . 充要条件
D . 既不充分也不必要条件
3. 设抛物线上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线的焦点的距离是
A . 6
B . 4
C . 8
D . 12
4. 如图，在空间四边形ABCD中，设E，F分别是BC，CD的中点，则+
（- ）等于（）
A .
B .
C .
D .
5. 已知为非零实数，且，则下列命题成立的是（）
A .
B .
C .
D .
6. 若实数x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最大值是（）
A . -1
B . 1
C . 10
D . 12
7. 在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（）
A . （￢p）∨（￢q）
B . p∨（￢q）
C . （￢p）∧（￢q）
D . p∨q
8. 已知成等差数列，成等比数列，则等于（）
A .
B .
C .
D . 或
9. 方程（3x-y+1）（y- ）=0表示的曲线为（）
A . 一条线段和半个圆
B . 一条线段和一个圆
C . 一条线段和半个椭圆
D . 两条线段
10. 已知，，，且，则的最大值为（）
A . 3
B .
C . 18
D . 9
11. 已知椭圆C：的左右焦点为F1,F2离心率为
，过F2的直线l交C与A,B两点，若△AF1B的周长为，则C的方程为
A .
B .
C .
D .
12. 已知数列是递增的等差数列，且，是函数的两个零点．设数列的前项和为，若不等式对任意正整数恒
成立，则实数的取值范围为
A .
B .
C .
D .
二、填空题
13. 给出下列命题：
①命题“若，则”的否命题为“若，则
”；
②“ ”是“ ”的必要不充分条件；
③ 命题“，使得”的否定是：“ ，均有”；
④命题“若，则”的逆否命题为真命题
其中所有正确命题的序号是________.
14. 在平面直角坐标系中，若双曲线
的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是________．
15. 已知函数，若对于任意的都有
，则实数的取值范围为________.
16. 设，，，则
的最小值为________.
三、解答题
17. 在锐角ΔABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且
．
（1）求角A的大小；
（2）若，，求ΔABC的面积．
18. 已知数列的前项和为，且
.
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和 .
19. 设函数 .
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若恒成立，求的取值范围.
20. 在直角坐标系中，点到两点，
的距离之和为4，设点的轨迹为，直线
与轨迹交于两点.
（1）求出轨迹的方程；
（2）若，求弦长的值
21. 己知二次函数（、、
均为实常数，）的最小值是0，函数的零点是
和，函数满足
，其中，为常数.
（1）已知实数、满足、，且，试比较与的大小关系，并说明理由；
（2）求证：．。