2021-2022年高二12月月考 数学 含答案
四川省绵阳市南山中学2021-2022学年高二上学期12月月考试题 数学(理) Word版含答案
开始3,1,2S n T ===3S S =+2?T S >是否T 输出结束+1n n =+3T T n=2021年12月 绵阳南山中学2021年秋季高2021届12月月考数学试题命题人：吴川满分：100分，考试时间：100分钟一、选择题：本题共12题，每小题4分，共48分，在每小题的四个选项中，只有一个正确答案，把正确答案填涂在机读卡上。
1．已知点A (0,4)，B (4,0)在直线l 上，则l 的方程为( ) A ．x ＋y －4＝0 B ．x －y －4＝0 C ．x ＋y ＋4＝0D ．x －y ＋4＝02. 质点在数轴上的区间[0,2]上运动，假定质点消灭在该区间各点处的概率相等，那么质点落 在区间[0,1]上的概率为( )A.14B.13C.12 D ．以上都不对 3．已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a =( ) A ．4- B ．6- C ．8- D ．10-4．如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估平均数与中位数分别是( ) A ．12.5、12.5 B ．12.5、13 C ．13、12.5 D ．13、135．一个均匀的正方体的玩具的各个面上分别标以数字1，2，3，4，5，6，将这个玩具向上抛掷1次，设大事A 表示“向上的一面消灭的点数不小于3”，大事B 表示“向上的一面消灭奇数点”，大事C 表示“向上的一面消灭的点数不超过2”，则( ) A ． A 与B 是互斥而非对立大事 B ． A 与B 是对立大事 C ． A 与C 是互斥而非对立大事 D ． A 与C 是对立大事6．已知圆C ：22()(2)4(0)x a y a -+-=>及直线03:=+-y x l ，当直线l 被C 截得的弦长为32时，则a =( )A ．2B ．22-C ．12-D ．12+ 7. 假如方程11222=+++m ym x 表示双曲线，则实数m 的取值范围是( ) A. )1,2(-- B. ),1()2,(+∞---∞ C. )1,1(- D. )2,3(--8．某单位为了制定节能减排的目标，先调查了用电量y （单位：度）与气温x （单位：c ︒）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对比表：x (单位：c ︒)1714 10 1-y (单位：度)2434 3864由表中数据得线性回归方程：a x y +-=∧2.当气温为c ︒20时，猜测用电量约为( ) A. 5 B ．10 C. 16 D. 20 9. 执行如图所示的程序框图，输出的T =( ) A ．29 B ．44 C ．52 D ．62 10.已知抛物线22y px =(0)p >，过其焦点且斜率为-1的直线 交抛物线于,A B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为3，则 该抛物线的准线方程为( )A ．1x =B ．2x =C ．1x =-D ．2x =- 11.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若112(2)m m m a a a m +-⋅=≥，数列{}n a 的前n 项积为n T ， 若21512m T -=，则m 的值为( ) A ．4B ．5C ．6D ．712.我们把由半椭圆)0(1)0(122222222<=+≥=+x cx b y x b y a x 与半椭圆合成的曲线称作“果圆”（其中0,222>>>+=c b a c b a ）。
2022-2023学年广东广雅中学高二年级上册学期12月月考数学试题【含答案】
2022-2023学年广东广雅中学高二上学期12月月考数学试题一、单选题1．数列，，，，，的一个通项公式为（ ）3591733⋯A ．B ．C ．D ．2n a n=21nn a =-12n n a +=21n n a =+【答案】D【分析】根据数列的前几项归纳出数列的一个通项公式.【详解】解：因为，，，，，……，1321=+2521=+3921=+41721=+53321=+所以数列，，，，，的一个通项公式可以为.3591733⋯21n n a =+故选：D2．若双曲线（， ）22221x y a b -=0a >0b >A ．B ．y =y =C ．D ．12y x=±2y x=±【答案】D【分析】由离心率，从而求得渐近线方程.c a =2ba =【详解】因为双曲线（，22221x y a b -=0a >0b >所以c a =222222215c a b b a a a +==+=所以2b a =则双曲线的渐近线方程为2by x xa =±=±故答案为：D【点睛】双曲线的渐近线方程为，而双曲线()222210,0x y a b a b -=>>by x a =±的渐近线方程为(即)，应注意其区别与联系.()222210,0y x a b a b -=>>a y x b =±bx y a =±3．如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点.若，，AB a = AD b = ，则下列向量中与相等的向量是（ ）.1AA c= BMA ．B ．1122-++ a b c1122a b c ++C ．D ．1122a b c--+ 1122a b c -+ 【答案】A【分析】根据空间向量线性运算的定义进行求解即可.【详解】，1111111111=()()2222BM BA AA A M a c A B A D a c a b a b c++=-+++=-+++=-++故选：A4．直线在轴上的截距为（ ）230x y -+=y A ．3B ．C ．D ．3-3232-【答案】A【分析】把直线方程由一般式化成斜截式，即可得到直线在轴上的截距.230x y -+=y 【详解】由，可得，则直线在轴上的截距为3.230x y -+=23y x =+230x y -+=y 故选：A5．已知矩形ABCD ，AB ＝1，BC AC 将△ABC 折起，若平面ABC 与平面ACD 所成=角的余弦值为，则B 与D 之间距离为（ ）13-A ．1BCD 【答案】C【分析】过B 和D 分别作BE ⊥AC ，DF ⊥AC ，根据向量垂直的性质，利用向量数量积进行转化求解即可．【详解】过B 和D 分别作BE ⊥AC ，DF ⊥AC ，∵AB ＝1，BC =∴AC ＝2，∵，12AB BC ⋅12AC BE=⋅∴BE ＝DF=则AE ＝CF，即EF ＝2﹣1＝1，12=∵平面ABC 与平面ACD 所成角的余弦值为，13-∴，1cos ,3EB FD =-∵，BD BE EF FD =++ ∴()22222222BD BE EF FDBE EF FD BE EF EF FD BE FD++++⋅==+⋅⋅++，331123443⎛⎫=++--= ⎪⎝⎭则||BD=即B 与D 故选：C ．6．抛物线的准线方程为（ ）2230y x +=A ．B ．C ．D ．34x =38x =16y =16y =-【答案】C【分析】将抛物线方程化为标准式，即可求出抛物线的准线方程.【详解】解：抛物线，即，2230y x +=223x y =-所以抛物线的准线方程为.16y =故选：C7．已知直线与平行，则（ ）1:10l ax y +-=22:0l x ay a +-==a A ．1B ．C ．0D ．1或1-1-【答案】B【分析】由两直线平行的条件求解．【详解】因为，所以解得.12l l //2210,0,a a a ⎧-=⎨-≠⎩1a =-故选：B ．8．已知椭圆：与双曲线：有相同的焦点，1C ()222210x y a b a b +=>>2C ()222210,0x y m n mn -=>>1F ，点使两曲线的一个公共点，且，若椭圆离心率的离心率2F P 1260F PF ∠=︒1e =2C （）2e =A B ．2C D ．3【答案】C 【分析】设，由椭圆和双曲线的定义，解方程可得s ，t ，由余弦定理，可得12,P F s P F t==a ，m 与c 的关系，结合离心率公式，可得e 1，e 2的关系，计算可得所求值．【详解】设，P 为第一象限的交点，12,P F s P F t==由椭圆和双曲线的定义可得，2,2s t a s t m +=-=解得，,s a m t a m =+=-中，，12F PF ∆1260F PF ∠=︒可得，()22222222242cos 6022c s t st a m am a m am a m ︒=+-=++++---即，22234a m c +=可得，222234am c c +=即，2221314e e +=由，1e =2e =故选：C【点睛】本题主要考查了椭圆和双曲线的定义和性质，主要是离心率，余弦定理，考查了化简整理的运算能力，属于中档题．二、多选题9．已知等差数列的前项和为，，，则下列结论正确的有（ ）{}n a n n S 10a <713S S =A ．是递减数列B ．{}n a 120a >C ．D ．最小时，200S <n S 10n =【答案】BD【分析】根据等差数列的性质首项可得：公差且即可判断等差数列是10a <0d >11100a a =->{}n a 递增数列，进而求解.【详解】因为等差数列的前项和为，且，{}n a n n S 713S S =所以，则有，137891011121310113()0S S a a a a a a a a -=+++++=+=0111a a =-因为，所以公差，且，所以等差数列是递增数列，故选项错误；10a <0d >11100a a =->{}n a A ，故选项正确；12110a a >>B 因为，故选项错误；12010112020()20()022a a a a S ++===C 由可知：等差数列的前10项均为负值，所以最小时，，故选项正确，11100a a =->{}n a n S 10n =D 故选：.BD 10．已知，曲线，下列说法正确的有（ ）()0,πα∈22:sin cos 1C x y αα+=A ．当时，曲线C 表示一个圆π4α=B ．当时，曲线C 表示两条平行的直线π2α=C ．当时，曲线C 表示焦点在x 轴的双曲线π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．当时，曲线C 表示焦点在y 轴的椭圆π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【答案】ABC【分析】根据曲线方程的特点，结合圆、直线、椭圆、双曲线的标准方程分别判断即可．【详解】对于A ，当时，曲线表示圆A 正确；π4α=22sin cos 1x y αα+=22x y +=对于B ，当时，曲线C 表示两条平行的直线，所以B 正确．π2α=1x =±对于C ，当时，曲线表示焦点在x 轴的双曲线，所以C 正确．π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭22:sin cos 1C x y αα-=对于D ，当时，，曲线C 表示焦点在x 轴的椭圆，所以D 不正确．π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭0sin cos 1αα<<<故选：ABC ．11．已知直线与圆，则下列结论正确的是（ ）()():110l a x y a +++=∈R 22:1C x y +=A ．直线必过定点B ．与可能相离l l CC ．与可能相切D ．当时，被l C 1a =l C 【答案】ACD【分析】求出直线过定点，由定点在圆上判断ABC ，再由弦长公式判断D.l C 【详解】直线，当时，，则直线过定点，而且定点()():110l a x y a +++=∈R 0x =1y =-l ()0,1-在圆上，则AC 正确，B 错误；当时，圆心到直线的()0,1-22:1C x y +=1a =()0,0:210l x y ++=距离被截得的弦长为D 正确；d ==l C =故选：ACD12．某牧场2022年年初牛的存栏数为500，预计以后每年存栏数的增长率为20%，且在每年年底卖出60头牛．设牧场从2022年起每年年初的计划存栏数依次为，，，…，，…，其中1c 2c 3c n c ，则下列结论正确的是（ ）（附：，，，*n ∈N 51.2 2.4883≈61.2 2.9860≈71.2 3.5832≈．）101.2 6.1917≈A ．2540c =B ．与的递推公式为1n c +n c 1 1.260n n c c +=-C ．按照计划2028年年初存栏数首次突破1000D ．令，则（精确到1）1012310S c c c c =+++⋅⋅⋅+108192S ≈【答案】ABD【分析】可以利用“每年存栏数的增长率为”和“每年年底卖出60头”建立与的关系，用20%1n c ＋n c 待定系数法构造等比数列，求出通项公式即可求解.n c 【详解】由题意得，并且，故B 正确；1500c =1 1.260n n c c +=-则，故A 正确；211.260 1.250060540c c =-=⨯-=设，则，则0.2x ＝60，则x ＝300，()1 1.2n n c x c x +-=-1 1.20.2n n c c x +=-∴，即数列{}是首项为，公比为1.2的等比数列，则()1300 1.2300n n c c +-=-300n c -1300200c -=，则，1300200 1.2n n c --=⨯1300200 1.2n n c -=+⨯令，则，1300200 1.21000n n c -=+⨯>11.2 3.5n ->∵，，∴n －1≥7，则n ≥8，61.2 2.9860≈71.2 3.5832≈故2029年年初存栏数首次突破1000，故C 错误；()101010123101 1.23001020030001000 1.211 1.2S c c c c -=++++=⨯+⨯=+⨯-- ≈3000＋1000×(6.1917－1)≈8192，故D 正确.故选：ABD.三、填空题13．已知空间向量，则___________.()()2,1,2,1,2,2AB AC ==BC =【分析】由空间向量的减法法则求得向量的坐标，然后由模的定义计算．【详解】因为.()1,1,0BC AC AB =-=-=．14．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜，据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一”，在某种玩法中，用表示解下个圆环所需的移动最少次数，若，且，则解(9,)n n n *≤∈N 11a =1121,22,n n n a n a a n ---⎧=⎨+⎩为偶数为奇数下5个环所需的最少移动次数为______.【答案】16【分析】根据递推关系可以得到奇数项的递推关系式，判断奇数项为等比数列，写出奇数项构成的数列的通项公式，由此可得的值，即为所求.5a 【详解】由已知可得，当时，,*N n ∈()21221212222124n n n n a a a a +--=+=-+=所以是以为首项，以为公比的等比数列，{}21n a -11a =4q =∴,112114n n n a a q---==∴,31252314416a a -⨯-====故答案为：1615．圆在点处的切线方程为________．2240x y x +-=P30y -+=【分析】先求过圆心和点P 的直线斜率，然后可得切线斜率，再由点斜式可得.【详解】圆心为，()2,0k ==所以直线方程为)1y x =-30y -+=30y -+=16．已知抛物线的焦点为，准线，点在抛物线上，点在准线2:2(0)C y px p =>F 3:2l x =-M C A上，若，且直线的斜率，则的面积为__________．l MA l ⊥AF AF k =AFM ∆【答案】【详解】抛物线的焦点为F （，0），准线方程为x=﹣，抛物线C ：y 2=6x3232点M 在抛物线C 上，点A 在准线l 上，若MA ⊥l ，且直线AF 的斜率k AF =，准线与x 轴的交点为N ，则AN=3A （﹣，，则M （，），tan3π3292∴S △AMN =12故答案为：点睛：在解决与抛物线有关的问题时，要注意抛物线的定义在解题中的应用．抛物线定义有两种用途：一是当已知曲线是抛物线时，抛物线上的点M 满足定义，它到准线的距离为d ，则|MF |＝d ，可解决有关距离、最值、弦长等问题；二是利用动点满足的几何条件符合抛物线的定义，从而得到动点的轨迹是抛物线．四、解答题17．在等差数列中，求：{}n a 345984,73.a a a a ++==(1)；4a (2)求数列的通项公式．{}n a 【答案】(1)28(2)98n a n =-【分析】(1)应用基本量运算把条件转化为方程组计算即可(2)基本量运算分别得到首项和方差,再应用通项公式即可.【详解】（1）因为等差数列且,{}n a 34584,a a a ++=所以11123484a d a d a d +++++=即,()13384a d +=4384a =所以428a =（2）因为等差数列且,{}n a 345984,73a a a a ++==所以111123484873a d a d a d a d +++++=⎧⎨+=⎩解得119a d =⎧⎨=⎩得()()1119198n a a n d n n =+-=+-=-所以98n a n =-18．如图，在正方体中， E 为的中点．1111ABCD A B C D -1BB（Ⅰ）求证：平面；1//BC 1AD E （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．1AA 1AD E 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.23【分析】（Ⅰ）证明出四边形为平行四边形，可得出，然后利用线面平行的判定定11ABC D 11//BC AD 理可证得结论；也可利用空间向量计算证明；（Ⅱ）可以将平面扩展，将线面角转化，利用几何方法作出线面角，然后计算；也可以建立空间直角坐标系，利用空间向量计算求解 .【详解】（Ⅰ）[方法一]：几何法如下图所示：在正方体中，且，且，1111ABCD A B C D -11//AB A B 11AB A B =1111//A B C D 1111A B C D =且，所以，四边形为平行四边形，则，11//AB C D ∴11AB C D =11ABC D 11//BC AD 平面，平面，平面；1BC ⊄ 1AD E 1AD ⊂1AD E 1//BC ∴1AD E [方法二]:空间向量坐标法以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标A AD AB 1AA x y z系，A xyz-设正方体的棱长为，则、、、，1111ABCD A B C D -2()0,0,0A ()10,0,2A ()12,0,2D ()0,2,1E ，，()12,0,2AD =()0,2,1AE =设平面的法向量为，由，得，1AD E (),,n x y z = 100n AD n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 22020x z y z +=⎧⎨+=⎩令，则，，则.2z =-2x =1y =()2,1,2n =-又∵向量,,()12,0,2BC = ()1·2201220BC n =⨯+⨯+⨯-=又平面，平面；1BC ⊄ 1AD E 1//BC ∴1AD E （Ⅱ）[方法一]：几何法延长到，使得，连接，交于，1CC F 1C F BE =EF 11B C G 又∵，∴四边形为平行四边形，∴，1//C F BE 1BEFC 1//BC EF 又∵,∴,所以平面即平面,11//BC AD 1//AD EF 1AD E 1AD FE 连接，作,垂足为,连接,1D G 11C H D G ⊥H FH ∵平面,平面,∴，1FC ⊥1111D C B A 1D G ⊂1111D C B A 11FC D G ⊥又∵,∴直线平面,111FC C H C ⋂=1D G ⊥1C FH 又∵直线平面,∴平面平面,1D G ⊂1D GF 1D GF ⊥1C FH∴在平面中的射影在直线上,∴直线为直线在平面中的射影，∠为直1C 1D GF FH FH 1FC 1D GF 1C FH 线与平面所成的角，1FC 1D GF 根据直线直线，可知∠为直线与平面所成的角.1//FC 1AA 1C FH 1AA 1AD G 设正方体的棱长为2，则,∴,111C G C F ==1D G =1CH ==∴FH ==∴,112sin 3C H CFH FH ∠==即直线与平面所成角的正弦值为.1AA 1AD E 23[方法二]：向量法接续（I)的向量方法，求得平面平面的法向量，1AD E ()2,1,2n =-又∵,∴，()10,0,2AA =11142cos ,323n AA n AA n AA ⋅<>==-=-⨯⋅∴直线与平面所成角的正弦值为.1AA 1AD E 23[方法三]：几何法+体积法 如图，设的中点为F ，延长，易证三线交于一点P ．11B C 111,,A B AE D F 因为，111,BB AA EF AD ∥∥所以直线与平面所成的角，即直线与平面所成的角．1AA 1AD E 1B E PEF 设正方体的棱长为2，在中，易得，PEFPE PF EF ===可得．32PEF S =由，得，11B PEFP B EF V V --=三棱锥三棱锥113111123232B H ⨯⋅=⨯⨯⨯⨯整理得．123B H =所以．1112sin 3B H B EH B E∠==所以直线与平面所成角的正弦值为．1AA 1AD E 23[方法四]：纯体积法设正方体的棱长为2，点到平面的距离为h ，1A 1AED在中，，1AED △113AE AD D E===，2221111cos 2D E AE AD AED D E AE +-∠===⋅所以．1sin AED ∠=13AED S = 由，得，解得，1111E AA D A AED V V --=111111133AD A AED S A B S h ⋅=⋅ 43h =设直线与平面所成的角为，所以．1AA 1AED θ12sin 3h AA θ==【整体点评】（Ⅰ）的方法一使用线面平行的判定定理证明，方法二使用空间向量坐标运算进行证明；（II ）第一种方法中使用纯几何方法，适合于没有学习空间向量之前的方法，有利用培养学生的集合论证和空间想象能力，第二种方法使用空间向量方法，两小题前后连贯，利用计算论证和求解，定为最优解法；方法三在几何法的基础上综合使用体积方法，计算较为简洁；方法四不作任何辅助线，仅利用正余弦定理和体积公式进行计算，省却了辅助线和几何的论证，不失为一种优美的方法.19．设椭圆过点，离心率为．2222:1(0)x y C a b a b +=>>(0,4)M 35（1）求椭圆的方程；C （2）过点且斜率为的直线交椭圆于、两点，求弦的中点坐标及．(3,0)45l C A B AB AB【答案】（1）；（2）中点坐标为，．2212516x y +=36,25⎛⎫- ⎪⎝⎭41||5AB =【分析】（1）依题意求出，再由离心率及，求出，即可求出椭圆方程；b 222c a b =-a （2）首先求出直线的方程，设直线与的交点为，，联立直线与椭圆方程，消l C ()11,A x y ()22,B x y 元、列出韦达定理，即可求出中点坐标，再利用弦长公式求出弦长；【详解】解：（1）将点代入椭圆的方程得，(0,4)C 2161b =所以．4b =又由，35c e a ==222c a b =-得，222925a b a -=即，2169125a-=所以．5a =所以椭圆的方程为．C 2212516x y +=（2）过点且斜率为的直线方程为，(3,0)454(3)5y x =-设直线与的交点为，，C ()11,A x y ()22,B x y 联立方程224(3)512516y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去得，y 2380x x --=得，．123x x +=128x x =-设线段的中点坐标为，AB ()00,x y则，120322x x x +==，()12012266255y y y x x +==+-=-即中点坐标为36,25⎛⎫- ⎪⎝⎭由弦长公式41||5AB ===20．1.如图所示，已知平行四边形中，，，， ，垂足ABCD 2AD =CD =45ADC ︒∠=AE BC ⊥为，沿直线将翻折成，使得平面平面；连接，是上的E AE BAE B AE ' B AE '⊥AECD BD 'P B D '点．(1)当时，求证：平面；B P PD '=⊥CP AB D '(2)当时，求二面角的余弦值.2B P PD '=P AC B '--【答案】(1)证明见解析【分析】（1）由面面垂直可直接建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量，证明向量垂直即可；（2）通过建立空间直角坐标系，分别求出其法向量，代入公式即可.【详解】（1）∵，平面平面，∴平面，AE BC ⊥B AE '⊥AECD B E '⊥AECD 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，E ECx EA y EB 'z 则，，，，，，(0,1,0)A (0,0,1)B '(1,0,0)C (2,1,0)D (0,0,0)E 111,,22P ⎛⎫⎪⎝⎭，，.(0,1,1)AB '=- (2,0,0)AD = 110,,22CP ⎛⎫= ⎪⎝⎭∵，，11022CP AB '⋅=-+= ·0CP AD =∴，.CP AB '⊥CP AD ⊥又，∴平面 ．AD AB A '⋂=⊥CP B AD '（2）设 ，则(,,)P x y z (,,1),(2,1,)B P x y z PD x y z =-=--'- 由得：，解得2B P PD '=422212x x y y z z =-⎧⎪=-⎨⎪-=-⎩421,,333x y z ===∴ ．421411,,,,,,(1,1,0)333333P AP AC ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设面的法向量为 ，则 ．PAC 111(,,)n x y z = 111114·0333·0x y z n AP n AC x y ⎧=-+=⎪⎨⎪=-=⎩ 取 ，则 ，1111,3x y z ===-(1,1,3)n =-设平面的法向量为，ACB '()222,,m x y z =则，取，平面的法向量为，2222·0·0m AB y z m AC x y ⎧'=-+=⎪⎨=-=⎪⎩ 21x =ACB '(1,1,1)m = 由题可知，二面角为锐二面角，P AC B '--设二面角的大小为，则．P AC B '--θcos θ=所以cos θ=21．已知数列的前项和为，满足．{}n a n n S 2n n a S n +=(1)求证：数列是等比数列；{}2n a -(2)求数列的通项公式；{}n a (3)若不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围．()()22232n n a λλ->--n λ【答案】(1)证明见解析(2)112()2n n a -=-(3)13,22⎛⎫⎪⎝⎭【分析】（1）由条件取时可解得，利用项与项的递推式做差，可得与的关系，1n =1a 1n +n 1n a +n a 构造等比数列形式，可证明结论.（2） 由数列是等比数列，可求得.{}2n a -n a （3）设，通过做差研究单调性，求出的最大值，11(23)(2)(23)(2n n n b n a n -=--=-{}n b {}n b 恒成立等价于即可解得结果.22(23)(2)n n a λλ∴->--2332,4b λλ->=【详解】（1）证明：由，得，即，2n n a s n +=11122a s a +==11a =由，可得，2n n a s n +=112(1)n n a s n +++=+两式相减得，122n n a a +-=112(2)2n n a a +∴-=-所以数列是首项为，公比为的等比数列.{}2na -121a -=-12（2）由数列是首项为，公比为的等比数列{}2na -121a -=-12所以即.112(),2n n a --=-112(2n n a -=-（3）设，11(23)(2)(23)(2n n n b n a n -=--=-11521(,22n n n n b b -+-∴-=⋅当时，，2n ≤1n n b b +≥当时，，3n ≥1n n b b +≤恒成立等价于22(23)(2)n n a λλ∴->--2332,4b λλ->=解得1322λ<<所以实数的取值范围是.λ13,22⎛⎫⎪⎝⎭22．如图，过抛物线的焦点F 任作直线l ，与抛物线交于A ，B 两点，AB 与x 轴不垂直，且24y x =点A 位于x 轴上方.AB 的垂直平分线与x 轴交于D 点.（1）若求AB 所在的直线方程；2,AF FB = （2）求证：为定值.||||AB DF 【答案】（1）；（2）证明见解析.0y --=【解析】（1）由于直线斜率不为0，，所以设直线，设，由题l (1,0)F :1l x ty =+()()1122,,,A x y B x y 意可得，然后直线方程和抛物线方程联立，消去，再利用韦达定理结合可120,0y y ><x 2,AF FB =求出的值，从而可得AB 所在的直线方程；t （2）设中点为，则由（1）可得，从而可得AB 中垂线AB (),N N N x y 2122,212N N y y y t x t +===+，求出点，进而可求出的长，再利用两点间的距离公式可()2:221l y t t x t -=---'()223,0D t+DF 求出的长，从而可求得的值AB ||||AB DF 【详解】解：（1）直线斜率不为0，，设直线，l (1,0)F :1l x ty =+设，()()1122,,,A x y B x y 因为A 点在x 轴上方，所以120,0y y ><由，得214x ty y x =+⎧⎨=⎩2440y ty --=12124,4y y t y y ∴+==-()()11221221,21,2AF FB x y x y y y =⇒-=-∴-=由代入1211224824y y t y ty y y t ⎧+==⎧⎪⇒⎨⎨-==-⎪⎩⎩124y y=-因，所以，解得10y >0t >t =所以AB 所在直线方程为0y --=（2）设中点为AB (),N N N x y ()22122,2121,22N N y y y t x t N t t +∴===+∴+所以AB 中垂线()()22:22123,0l y t t x t D t -=---+'∴22||23122DF t t ∴=+-=+||AB ====244t =+(定值)22||442||22AB t DF t +∴==+【点睛】关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的应用，解题的关键是利用设而不求的方法，设出直线方程和交点坐标，然后将直线方程和抛物线的方程联立，消元，再利用韦达定理，然后结已知条件求解即可，考查计算能力，属于中档题。
2022-2023学年山西省晋城市校高二年级上册学期12月月考数学试题【含答案】
2022-2023学年山西省晋城市第二中学校高二上学期12月月考数学试题一、单选题1．抛物线28y x =的焦点到其准线的距离为（ ） A ．132B ．116 C ．18D ．4【答案】B【分析】将抛物线方程转化为标准方程求解.【详解】解：抛物线的标准方程为218x y =， 所以焦点坐标为10,32F ⎛⎫⎪⎝⎭，其准线方程为132y =-，所以抛物线28y x =的焦点到其准线的距离为111323216d ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭， 故选：B2．若直线1:20l x y -+=与直线2:230l x ay +-=平行，则实数a 的值为（ ） A ．2- B ．1- C ．2 D ．1【答案】A【分析】解方程1(1)20a ⨯--⨯=即得解. 【详解】解：由题得1(1)20, 2.a a ⨯--⨯=∴=- 经检验，当2a =-时，满足题意. 故选：A3．已知直线3260x y --=经过焦点在坐标轴上的椭圆的两个顶点，则该椭圆的方程为（ ） A ．22194x y +=B ．22419x y +=C ．22194y x +=D ．22419y x +=【答案】C【分析】求出直线3260x y --=与两坐标轴的焦点为()0,3-，()2,0.根据32->，可设椭圆的方程为22221y x a b+=，求出,a b 即可. 【详解】令0x =，可得=3y -；令0y =，可得2x =. 则由已知可得，椭圆的两个顶点坐标为()0,3-，()2,0.因为32->，所以椭圆的焦点在y 轴上. 设椭圆的方程为22221y x a b +=，则3a =，2b =，所以椭圆的方程为22194y x +=.故选：C.4．若方程222141x y m m-=-+表示焦点在y 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围为（ ）A ．()2-∞-，B ．()21--，C ．()22-，D ．()11-，【答案】A【分析】原方程可变形为222141y x m m ---=-，根据已知有21040m m -->⎧⎨-+>⎩，解出即可. 【详解】因为方程222141x y m m -=-+表示焦点在y 轴上的双曲线， 222141x y m m -=-+可变形为222141y x m m ---=-. 所以有21040m m -->⎧⎨-+>⎩，即21040m m +<⎧⎨->⎩，解得2m <-. 故选：A. 5．数列262,4,,203--，…的一个通项公式可以是（ ） A ．()12nn a n =-⋅ B ．()311n nn a n-=-⋅C ．()1221n nn a n+-=-⋅D ．()31n nn na n⋅-=-【答案】B【分析】利用检验法，由通项公式验证是否符合数列的各项结合排除法即可. 【详解】选项A ：()331236a =-⨯⨯=-，不符合题意； 选项C ：()212222132a +-=-⨯=不符合题意； 选项D ：()222327122a -=-⨯=，不符合题意； 而选项B 满足数列262,4,,203--，故选：B6．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1CC 的中点，则1AE BD ⋅=（ ）A ．0B ．1C ．32D ．2【答案】D【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可. 【详解】解：如图，建立空间直角坐标系， 则()()()()12,0,0,0,2,1,2,2,0,0,0,2A E B D ， 所以，()()12,2,1,2,2,2AE BD =-=--， 所以，14422AE BD ⋅=-+=. 故选：D7．在数列{}n a 中，122,a a a ==，且132(2,N )n n a a n n n *+=-++≥∈，若数列{}n a 单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（2，52）B ．（2，3）C ．（52，4）D ．（2，4）【答案】C【分析】由递推关系，结合条件122,a a a ==，求出数列的通项公式，再结合数列的单调性，列不等式可求实数a 的取值范围.【详解】因为132(2,N )n n a a n n n *+=-++≥∈，所以()21312(N )n n a a n n *++=-+++∈，328a a =-+，所以23(2,N )n n a a n n *+=+≥∈，又2a a =， 328a a =-+，所以数列{}n a 的偶数项按项数从小到大排列可得一公差为3的等差数列，所以当n 为偶数时，332n a n a =+-， 当n 为大于等于3的奇数时，3722n a n a =+-， 因为数列{an }单调递增，所以1n n a a -≥(2,N )n n *≥∈，所以当n 为大于等于3的奇数时，()37313222n a n a +->-+-，化简可得4a <，当n 为大于等于4偶数时，()33731222n a n a +->-+-，解得52a >，由21a a >可得，2a >， 所以542a <<， 故选：C.8．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左，右顶点分别为A ，B ，且椭圆C，点P是椭圆C 上的一点，且1tan 4PAB ∠=，则tan APB ∠（ ）A ．109-B ．1110-C ．1110D ．109【答案】B【分析】设()00,P x y 是椭圆上的点，设11tan 4k PAB =∠=，2tan k PBA =-∠求出12k k ⋅为定值，从而能求出tan PBA ∠的值，然后根据()tan tan APB PAB PBA ∠=-∠+∠求解. 【详解】设()00,P x y 代入椭圆方程，则()22002210x y a b a b+=>>整理得：()2222002,b y a x a=-设11tan 4k PAB =∠=，2tan k PBA =-∠ 又010y k x a =+，020y k x a=-,所以 ()22222000122222000116y y y b a c k k e x a x a x a a a -⋅=⋅==-=-=--=-+-- 而11tan 4k PAB =∠=，所以22tan 3k PBA =-∠=-，所以2tan 3PBA ∠=()12tan tan 1143tan tan 121tan tan 10143PAB PBA APB PAB PBA PAB PBA +∠+∠∠=-∠+∠=-=-=--∠⋅∠-⨯ 故选：B二、多选题9．在等比数列{n a }中，262,32a a ==，则{n a }的公比可能为（ ） A ．1- B ．2-C ．2D ．4【答案】BC【分析】根据等比数列的通项即可求解.【详解】因为在等比数列{n a }中，262,32a a ==，设等比数列的公比为q ，则54611216a a q q a q a ===，所以2q =±， 故选：BC .10．已知圆226430C x y x y +-+-=：，则下列说法正确的是（ ） A ．圆C 的半径为16B ．圆C 截x 轴所得的弦长为C ．圆C 与圆E ：()()22621x y -+-=相外切D ．若圆C 上有且仅有两点到直线340x y m ++=的距离为1，则实数m 的取值范围是()()19,2426,21⋃--【答案】BC【分析】先运用配方法将一般式方程化为标准方程，可确定其圆心个半径;根据点到弦的距离可求出弦长；圆心距和半径的关系可确定圆与圆的位置关系；圆心到直线的距离与半径之间的数量关系可确定圆C 上有且仅有两点到直线的距离为1【详解】A:将一般式配方可得：()()223216,4x y r -++=∴=，A 错；B ：圆心到x 轴的距离为2，弦长为B 对；C:5,C E CE r r ===+外切，C 对；D: 圆C 上有且仅有两点到直线340x y m ++=的距离为111,35r d r ∴-<<+∴<<，解之: ()()14,2426,16m ∈⋃--,D 错；故选：BC11．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且151416S S S <<，则下列说法正确的是（ ） A ．0d > B ．0d <C ．300S >D ．当15n =时，n S 取得最小值【答案】ACD【分析】根据题干条件利用()12n n n a S S n -=-≥可得到150a <，15160a a +>，160a >，然后即可根据三个结论依次判断四个选项的正误.【详解】因为151416S S S <<，所以1515140a S S =-<，1616150a S S =->，151616140a a S S +=->. 对于A 、B 选项，因为150a <，160a >，所以16150d a a =->，故选项A 正确，选项B 错误； 对于C ，因为15160a a +>，所以()()130301516301502a a S a a +==+>，故选项C 正确； 对于D ，因为150a <，160a >，可知10a <，0d >，等差数列{}n a 为递增数列，当15n ≤时，0n a <，当16n ≥时，0n a >，所以当15n =时，n S 取得最小值，故D 选项正确. 故选：ACD.12．已知抛物线C ：212y x =，点F 是抛物线C 的焦点，点P 是抛物线C 上的一点，点(4,3)M ，则下列说法正确的是（ ） A ．抛物线C 的准线方程为3x =-B ．若7PF =，则△PMF 的面积为32C ．|PF PM -|D ．△PMF 的周长的最小值为7【答案】ACD【分析】根据抛物线的标准方程可得准线方程为3x =-，即可判断A ，根据抛物线定义得到4P x =，故P 点可能在第一象限也可能在第三象限，分情况计算三角形面积即可判断B ，利用三角形任意两边之差小于第三边结合三点一线的特殊情况即可得到()max ||||PF PM F M -∴=，计算即可判断C ，三角形PMF 的周长PM MF PF PM PF =++=+||||PM PF +的最小值，即得到周长最小值.【详解】212y x =，6p ∴=，()3,0F ∴，准线方程为3x =-，故A 正确； 根据抛物线定义得372P P pPF x x =+=+=，4P x =，()4,3M ,//PM y ∴轴，当4x =时，y =±若P 点在第一象限时，此时(4,P ,故433PM =-，PMF △的高为1，故()1343312322PMFS=⨯-⨯=-， 若点P 在第四象限，此时()4,43P -，故433PM =+，PMF △的高为1，故()1343312322PMFS=⨯+⨯=+，故B 错误； ||||PF PM MF -≤，()()()22max 433010||||M P F PF M ∴+--==-=,故C 正确；（连接FM ，并延长交于抛物线于点P ，此时即为||||PF PM -最大值的情况， 图对应如下）过点P 作PD ⊥准线，垂足为点D ，PMF △的周长1010PM MF PF PM PF PM PD =++=++若周长最小，则PM PD +长度和最小，显然当点,,P M D 位于同一条直线上时，PM MF +的和最小，此时7PM MF PD +==,故周长最小值为710D 正确. 故选：ACD.三、填空题13．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，121916a a =，则28223log log a a +=___________. 【答案】4【分析】由条件，结合等比数列性质可得82316a a =，再对数运算性质求28223log log a a +即可.【详解】因为数列{}n a 为等比数列，所以3122198a a a a =， 又121916a a =，所以82316a a =， 所以2822328234log log log a a a a ==+， 故答案为：4.14．已知向量(2,4,)m a =，(1,,3)n b =-，若n m λ=，则 ||n m -=___________.【答案】【分析】根据n m λ=，列出1243b a λλλ-=⎧⎪=⎨⎪=⎩，分别求出,,a b λ，然后得到,m n ，进而计算，可求出||n m -的值.【详解】n m λ=，故1243b a λλλ-=⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得1226b a λ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩，故(2,4,6)m =-，(1,2,3)n =--，(3,6,9)n m -=--，则||(3)n m -=-=故答案为：15．在数列{}n a ，{}n b 中，112a =，3110a =，且11112(2)n n n n a a a -++=≥，记数列{bn }的前n 项和为Sn ，且122n n S +=-，则数列{}n n a b ⋅的最小值为___________.【答案】23【分析】可由题意构建1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差，求出n a 通项公式，{}n b 可由1n n S S --得出n b 的通项公式，再利用作差法求出新数列n n a b ⋅单调性即可求出最小值.【详解】由11112(2)n n nn a a a -++=≥可得111111n n n n a a a a +--=-，即数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，设公差为d ， 首项112a =，311121028d a a =-=-=，可得4d =，则12(1)442n n n a =+-⨯=-，即142n a n =-， 由122n n S +=-，可得当2n ≥时，11222n n nn n n b S S +-=-=-=，112b S ==，代入后符合2n n b =，即{}n b 的通项公式为2n n b =，设新数列{}n c ，242nn n n c a b n ==-，11122(23)24(1)242(21)(21)n n n n n n c c n n n n +-+--=-=+--+-，当10n n c c +->时，得 1.5n >，即2n ≥时，{}n c 是递增数列； 当10n n c c +-<时，得 1.5n <，即21c c <，综上所述223c =是最小值，即数列{}n n a b ⋅的最小值为23，故答案为：2316．已知双曲线2322100x y C a b a b -=>>：（，）的右焦点为F ，离心率为102，点A 是双曲线C 右支上的一点，O 为坐标原点，延长AO 交双曲线C 于另一点B ，且AF BF ⊥，延长AF 交双曲线C 于另一点Q ，则||||QF BQ =___________. 【答案】22【分析】在1Rt F AF △中，由勾股定理可求得||AF 、1||AF 用含有a 的代数式表示，在1Rt F AQ △中，由勾股定理可求得||QF 用含有a 的代数式表示，在Rt BFQ △中，由勾股定理可求得||BQ 可用含有a 的代数式表示，进而求得结果. 【详解】如图所示，∵22101c b e a a ==+ ，则2252c a = ，2232b a =，由双曲线的对称性知：OA OB =，1OF OF = ， 又∵AF BF ⊥，∴四边形1AFBF 为矩形，设||0AF m => ，则由双曲线的定义知：1||2AF a m =+，在1Rt F AF △中，22211||||||F F AF AF =+，即：2224(2)c a m m =++ ，整理得：22230m am a +-=，即：()(3)0m a m a -+= ， ∵0m >，∴m a = ， ∴1||3AF a =设||0QF n => ，则由双曲线的定义知：1||2QF a n =+，在1Rt F AQ △中，22211||||||F Q AQ AF =+，即：222(2)(3)()a n a a n +=++，解得：3n a = ，即：||3QF a =， 又∵1||||3BF AF a ==，∴在Rt BFQ △中，||BQ ==∴||||2QF BQ =四、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为258,224,100n S a a S +==. (1)求{an }的通项公式； (2)若+11n n n b a a =，求数列{n b }的前n 项和Tn . 【答案】(1)31n a n =- (2)2(32)n nT n =+【分析】（1）由等差数列的通项公式以及等差数列的前n 项和公式展开可求得结果； （2）由裂项相消求和可得结果.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意知，1112()4248(81)81002a d a d a d +++=⎧⎪⎨⨯-+=⎪⎩解得：123a d =⎧⎨=⎩ ∴1(1)23(1)31n a a n d n n =+-=+-=-. 故{}n a 的通项公式为31n a n =-. （2）∵1111()(31)(32)33132n b n n n n ==--+-+111111111111()()()()325358381133132111111111 ()325588113132111 =()3232=2(32)n T n n n n n nn =⨯-+⨯-+⨯-++--+=⨯-+-+-++--+⨯-++即：{}n b 的前n 项和2(32)n nT n =+.18．已知圆22:10C x y mx ny ++++=，直线1:10l x y --=，2:20l x y -=，且直线1l 和2l 均平分圆C . (1)求圆C 的标准方程(2)0y a ++-=与圆C 相交于M ，N 两点，且120MCN ∠=，求实数a 的值. 【答案】(1)()()22214x y -+-= (2)1a =或3a =-【分析】（1）根据直线1l 和2l 均平分圆C ，可知两条直线都过圆心，通过联立求出两条直线的交点坐标，由此得到圆心坐标即可得到圆的标准方程.（2）根据120MCN ∠=，及MCN △为等腰三角形可得到30CMN ∠=，可得圆心到直线的距离sin d r CMN =∠，再根据点到直线的距离公式即可求出实数a 的值.【详解】（1）因为直线1l 和2l 均平分圆C ，所以直线1l 和2l 均过圆心C ，因为1020x y x y --=⎧⎨-=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩，所以直线1l 和2l 的交点坐标为()2,1，所以圆心C 的坐标为()2,1，因为圆22:10C x y mx ny ++++=，所以圆心坐标为,22m n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以2212m n ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得42m n =-⎧⎨=-⎩，所以圆C 的方程为224210x y x y +--+=，即()()22214x y -+-=， 所以圆C 的标准方程为()()22214x y -+-=.（2）由（1）得圆C 的标准方程为()()22214x y -+-=，圆心()2,1C ，半径2r =，因为120MCN ∠=，且MCN △为等腰三角形，所以30CMN ∠=， 因为CM CN r ==，所以圆心C 到直线3230x y a ++-=的距离sin 2sin301d r CMN =∠==， 根据点到直线的距离公式()222312311231a a d ++-+===+， 即12a +=，解得1a =或3a =-， 所以实数a 的值为1a =或3a =-.19．如图，在四棱锥P —ABCD 中，四边形ABCD 是菱形.1202DAB PA AD ∠===，，22PC PD ==，点E 是棱PC 的中点.(1)证明：PC ⊥BD .(2)求平面P AB 与平面BDE 所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 3【分析】（1）首先根据线面垂直的判定定理证明PA ⊥平面ABCD ，然后建立空间直角坐标系，通过空间向量垂直的判定条件证明PC BD ⊥即可；（2）通过第（1）问的空间直角坐标系，根据二面角夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）120DAB ∠=，四边形ABCD 为菱形， 60CAD ∴∠=，又60ADC ∠=，ACD ∴为等边三角形，2AD =，2AC CD ∴==，2PA =，22=PC222PA AC PC +=，PA AC ∴⊥， 222PA AD PD +=，PA AD ∴⊥，ACAD A =，AC ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，PA ∴⊥平面ABCD .过点A 作AF BC ⊥，则PA AF ⊥，AF AD ⊥，PA AD ⊥，∴分别以AF ，AD ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴如图建立空间直角坐标系.2AB =，cos603AF AB ∴=⋅=，1BF =，2BC =，1FC ∴=.)3,0,0F∴，()002P ,,，)3,1,0C，()3,1,0B-，()0,2,0D ，()3,1,2PC ∴=-，()3,3,0BD =-，(33130PC BD ⋅=-⨯=，PC BD ∴⊥.（2）()0,0,2P ，)3,1,0C，E 为PC 中点，31,12E ⎫∴⎪⎪⎝⎭，设平面PAB 的法向量为()1111,,n x y z =，()0,0,2PA =-，()3,1,0AB =-，1112030z x y -=⎧⎪∴⎨-=⎪⎩，()11,3,0n ∴=.设平面BDE 的法向量为()2222,,n x y z =，()3,3,0BD =-，33,122DE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，222223303302x y y z ⎧-+=⎪∴⎨-+=⎪，()23,1,0n ∴=， 设平面PAB 与平面BDE 夹角为θ， 则121213313cos n n n n θ⋅⨯+⨯==⋅∴平面PAB 与平面BDE 320．已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点F 关于抛物线C 的准线的对称点为()9,0P -. (1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 作倾斜角为θ的直线l ，交抛物线C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，记OAB 的面积为S ，求证：18sin S θ=. 【答案】(1)212y x = (2)证明见解析【分析】（1）根据抛物线的简单几何性质得到抛物线的焦点坐标和准线方程，结合条件得到()19222p p ⎡⎤⨯+-=-⎢⎥⎣⎦，即可求解. （2）设直线:3l x my =+，且cos sin m θθ=（()0,πθ∈），()11,A x y ，()22,B x y ，联立抛物线的方程结合韦达定理计算得到12y y -，结合图形得到1212OFA OFB S S S OF y y =+=⨯⨯-△△，即可求证.【详解】（1）由题意得：抛物线C 的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程0l ：2p x =-，因为焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭关于准线0:2p l x =-的对称点为()9,0P -，则()19222p p ⎡⎤⨯+-=-⎢⎥⎣⎦，解得：6p ， 所以抛物线C 的方程为：212y x =. （2）由（1）知，焦点()3,0F ，如图：过点F 作倾斜角为θ的直线l ，交抛物线C 于A ，B 两点， ∴直线l 的倾斜角θ不为0，则()0,πθ∈，即sin 0θ>，则设直线:3l x my =+，且cos sin m θθ=（()0,πθ∈），()11,A x y ，()22,B x y ， 联立2312x my y x=+⎧⎨=⎩，得：212360y my --=，由()2124360m ∆=+⨯>，得：12121236y y m y y +=⎧⎨=-⎩，则12y y -==又222cos 111sin sin m θθθ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，所以121212sin y y θ-=（()0,πθ∈）， 又1212111222OFA OFB S S S OF y OF y OF y y =+=⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯-△△，即1121832sin sin S θθ=⨯⨯=. 综上：OAB 的面积18sin S θ=，得证. 【点睛】方法点睛：（1）解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系. （2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.21．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线方程为yx =，且过点(3,.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)若双曲线C 的右焦点为F ，点()0,4P -，过点F 的直线l 交双曲线C 于,A B 两点，且PA PB =，求直线l 的方程.【答案】(1)2213x y -=(2)0y =，或1233y x =-或2y x =-+.【分析】（1）根据题意得22921b a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，进而解方程即可得答案；（2）由题知()2,0F ，进而先讨论直线l 的斜率不存在不满足条件，再讨论l 的斜率存在，设方程为()2y k x =-，设()()1122,,,A x y B x y ，进而与双曲线方程联立得线段AB 中点为22262,1313k k E k k ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭，再结合题意得PE AB ⊥，进而再分0k =和0k ≠两种情况讨论求解即可.【详解】（1）解：因为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线方程为y=，且过点(3,， 所以，22921b a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得221,3b a ==所以，双曲线C 的标准方程为2213x y -=（2）解：由（1）知双曲线C 的右焦点为()2,0F ，当直线l 的斜率不存在时，方程为:2l x =，此时,2,A A ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭，PA PB =≠= 所以，直线l 的斜率存在，设方程为()2y k x =-，所以，联立方程()22213y k x x y ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩得()222213121230k x k x k -+--= 所以()()422214441331212120k k k k ∆=----=+>，且2130k -≠，所以，k ≠设()()1122,,,A x y B x y ，则2212122212123,1313k k x x x x k k --+=-=-- 所以()3121222124441313k ky y k x x k k k k+=+-=--=---， 所以，线段AB 中点为22262,1313k k E k k ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭， 因为PA PB =，所以，点()0,4P -在线段AB 的中垂线上， 所以PE AB ⊥，所以，当0k =时，线段AB 中点为()0,0E ，此时直线l 的方程为0y =，满足题意；当0k ≠时，22222222424122613,66313PEAB kk k k k k k k k k k k k -+-+--+--====----， 所以，222613PE AB k k k k k k -+-⋅=⋅=--，整理得23210k k +-=，解得13k =或1k =-，满足k ≠综上，直线l 的方程为0y =，或1233y x =-或2y x =-+.22．已知椭圆2222:1(0x y C a b a b +=>>0x y -=相切.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：1y kx =+与椭圆C 交于,A B 两点，点P 是y 轴上的一点，过点A 作直线PB 的垂线，垂足为M ，是否存在定点P ，使得PB PM ⋅为定值？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)22164x y += (2)存在，1(0,)4P【分析】（1）根据题意得,a b ==，由C与直线0x y --=相切，联立方程得22c =，即可解决；（2）1122(0,),(,),(,)P t A x y B x y ，结合韦达定理得PB PM PB PA ⋅=⋅222292(1)(312)23t t k k -+-+-=+，即可解决.【详解】（1）由题知，,c a b a ==， 所以椭圆C 为2222132x y c c+=，即2222360x y c +-=，因为C与直线0x y --=相切，所以22223600x y c x y ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩，消去y得22223(60x x c +-=，所以2253060x c -+-=，所以236045(306)0c ∆=-⨯⨯-=，得22c =，所以椭圆C 的标准方程为22164x y +=； （2）设1122(0,),(,),(,)P t A x y B x y ，由221641x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22222(23)690,3636(23)144720,k x kx k k k ++-=∆=++=+> 所以12122269,2323k x x x x k k +=-=-++， 所以()PB PM PB PA AM PB PA PB AM PB PA ⋅=⋅+=⋅+⋅=⋅1122(,)(,)x y t x y t =-⋅-1212(1)(1)x x kx t kx t =++-+- 221212(1)(1)()(1)k x x k t x x t =++-++-222296(1)()(1)()(1)2323kk k t t k k=+-+-⋅-+-++ 222292(1)(312)23t t k k -+-+-=+，所以2231292(1)32t t --+-=，解得14t =， 所以存在点1(0,)4P ，使得PB PM ⋅为定值.。
2021-2022学年上海市高桥中学高二年级上册学期12月月考数学试题【含答案】
2021-2022学年上海市高桥中学高二上学期12月月考数学试题一、填空题1．已知，，，则与的位置关系是______.AB B α⋂=l ⊂αB l ∉AB l 【答案】异面【分析】画出符合要求的图形，推出两者的位置关系.【详解】如图所示，因为，，故与不相交，又与不平行，B l ∉AB B α⋂=AB l AB l 故与的位置关系是异面.AB l故答案为：异面2，则该正四棱柱的全面积等于_________．【答案】10【分析】结合已知条件分别求出正四棱柱的底面边长和高即可求解.【详解】由题意，正四棱柱如下图：1111ABCD A B C D -不妨设正四棱柱底面边长为，，1111ABCD A B C D -a 1||AA h =由已知条件可得，，2222221||26BD a a h a h =++=+==又因为底面，所以对角线与底面所成角为，1DD ⊥ABCD 1BD ABCD 1DBD ∠，||BD =所以，从而，11||cos ||BD DBD BD ∠===1a =2h =故该正四棱柱的表面积.12411210S =⨯⨯+⨯⨯=故答案为：10.3．如图所示，是的直观图，则的面积_________（请用数字填写）ABC ABC 【答案】2【分析】根据斜二测画法的性质进行求解即可.【详解】由图可知：在三角形中，，，由斜二测画法可111A B C 1111111A O B O O C ===11145A O C ︒∠=知：在中，，ABC 1,2,90BO CO AO AOC ︒===∠=所以的面积为，ABC 12222⨯⨯=故答案为：24．长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=2，BC=3，AA1=5，则一只小虫从A 点沿长方体的表面爬到C1点的最短距离是____________ ．【答案】【详解】试题分析：画出长方体的展开图，在三种不同情况下，利用勾股定理得故小虫从A 点沿长方体的表面爬到C 1点的最短距离是．【解析】本题主要考查长方体的几何特征及其展开图．点评：“化曲为直”是常用方法之一，当把长方体展开图画出后小虫爬行最短距离转化为计算线段的长度．注意三种情况下，线段长度的比较．5．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年.在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图是阳马，平面，P ABCD -PA ⊥ABCD ，，，则该阳马的外接球的表面积为___________.5PA =4AB =3AD =【答案】50π【分析】把四棱锥放置在长方体中，求出长方体外接球的表面积得答案．P ABCD -【详解】把四棱锥放置在长方体中，P ABCD -则长方体的外接球即为四棱锥的外接球，，，，5PA = 4AB =3AD =，∴=则长方体的外接球的半径，R =该阳马的外接球的表面积为．∴224450S R πππ==⋅=故答案为：．50π6．若α，β是两个相交平面，m 为一条直线，则下列命题中，所有真命题的序号为___________.①若m ⊥α，则在β内一定不存在与m 平行的直线；②若m ⊥α，则在β内一定存在无数条直线与m 垂直；③若m α，则在β内不一定存在与m 垂直的直线；⊂④若m α，则在β内一定存在与m 垂直的直线.⊂【答案】②④【分析】根据各项的线面关系，结合平面的基本性质判断正误即可.【详解】若m ⊥α，如果α，β互相垂直，则在平面β内存在与m 平行的直线，故①错误；若m ⊥α，则m 垂直于平面α内的所有直线，故在平面β内一定存在无数条直线与m 垂直，故②正确；若m α，在空间中其它平面都可找到与m 平行的直线，故在面β内一定存在与m 垂直的直线，故⊂③错误，④正确.故答案为：②④7．如图所示，是所在平面外一点，平面平面，分别交线段，，于P ABC //αABC αPA PB PC ，，，若，则_____.A 'B 'C ':2:3PA AA ''=A B C ABCS S '''= 【答案】425##0.16【分析】由面面平行得到，再由相似三角形得到面积比为相似比的平方，即可得到A B C ABC ''' ∽面积比．【详解】解：由图知，平面平面，//αABC 平面，//AB ∴α又由平面平面，则，α PAB A B =''//A B AB ''同理可得，，//B C BC ''//A C AC ''，，，B AC BAC '''∴∠=∠A B C ABC '''∠=∠A C B ACB '''∠=∠，∴A B C ABC ''' ∽，即:2:3PA AA ''= :2:5PA PA '=，:2:5A B AB ''∴=由于相似三角形得到面积比为相似比的平方，．∴425A B C ABC S S '''=故答案为：．4258．如图所示，三棱柱的侧面是菱形，设是上的点且，111ABC A B C -11BCC B D 11A C 11C B D A B 平面则的值为________．11:A D DC【答案】1【分析】利用线面平行证明出，再通过中位线的性质证明出点为的中点，即可得出1A B OD D 11A C 结论.【详解】，且平面平面，11A B B CD 平面11A BC ⋂1B CD OD =，1A B OD ∴ 四边形是菱形，11BCC B 为的中点，O ∴1BC 为的中点，D ∴11A C 即.11:1A D DC =9．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为，则圆台较小84π底面的半径为_____.【答案】7【详解】试题分析：设上底面半径为r ，因为圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，所以S 侧面积=π（r+3r ）l=84π，解得r=7．故答案为7．【解析】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．10．过圆锥高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比为________．【答案】【详解】试题分析：求不熟悉平面图形面积或者立体图形体积的时候，往往会通过割补、转化的方法，把问题转化为熟悉的面积问题或体积问题来处理，该圆锥被分成的这三部分从上至下分别为圆锥、圆台、圆台，所以这个问题相当于三个几何体的侧面积之比，而圆台的侧面积又等于圆锥侧面积的差，这样就把问题转化为求圆锥的侧面积问题 了，圆锥的侧面积为，设最上面圆的半径为,母线为,则下面两个圆的半径依次为，三部分几何体的侧面积分别为【解析】圆锥、圆台的侧面积问题．11．设、是直角梯形两腰的中点，于（如下图）．现将沿折起，M N ABCD DE AB ⊥E ADE DE 使二面角为，此时点在平面内的射影恰为点，则、的连线与所A DE B --45︒A BCDE B M N AE 成角的大小等于________．【答案】90︒【分析】先取的中点，将平移到，则角或其补角就是异面直线与所成AE P MN PB APB ∠MN AE 的角，在三角形中再利用等腰直角三角形的中线就是高这一原理即可求的结果.ABE 【详解】解：如图，取中点，连接，，AE P PB PM 点，点是，的中点，M P AD AE .∴//PM ED ，为直角梯形，DE AB ⊥ABCD ，.∴CB AB ⊥//DE CB ,且，∴//PM BN PM BN =四边形为平行四边形，.∴PMNB //MN PB ，，AB BE ⊥45AEB ∠=︒.∴PB AE ⊥，//MN PB .∴AE MN ⊥、的连线与所成角的大小等于.∴M N AE 90︒故答案为：.90︒12．如图，在正方体中，，是棱上任一点，若平面和平面1111ABCD A B C D -11AA =P AB 1B DP 所成的角为，则的最小值为________．11AA D D θtan θ【分析】分类讨论点的位置，当异于时，先作二面角的平面角，并设，进P P ,A B θPHA ∠PA x =而转化为关于的函数，最后求出该函数的最小值即可x 【详解】如下图所示：当与重合时，可得：；P ,A B tan 1θ=②当异于时，延长交于点，连接，则为平面与平面的交线，P ,A B 11,B P A A Q QD DQ 1B DP 11AA D D 由平面，平面，可得：PA ⊥11AA D D DQ ⊂11AA D D PA DQ ⊥过作于点，连接，可得：平面A AH QD ⊥H PH DQ ⊥PHA 可得：PH DQ ⊥故为平面与平面所成的角，即PHA ∠1B DP 11AA D D PHA θ∠=设，可得：，(01)PA x x =<<1x AQ x =-DQ =AH可得：tan tan AP PHA AH θ=∠==≥当且仅当，即为的中点时取等号.12x =P AB 综上，tan θ【点睛】求二面角方法：（1）作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角；（2）通过向量法：建立空间直角坐标系，然后求出两个平面的法向量，进而根据法向量表示出二面角；13．已知直线a ，如果直线b 同时满足：（1）与a 异面；（2）与a 所成的角是；（3）与a 10.8︒的距离为2021，这样的直线b 有（ ）条．A ．2B ．3C ．4D ．无数条【答案】D【分析】根据题意画出图形分析可得出答案.【详解】根据题意可作图如下，其中，//,,a b αβαβ⊂⊂则平面内任意一条与平行的直线都满足要求，故这样的直线有无数条.βb 故选：D.14．已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于323πA ．BCD 【答案】D【分析】设正方体棱长为a,先由球的体积求球的半径r ，直径2r ，列等式即可求出棱长．【详解】正方体外接球的体积是则外接球的半径r=2，323π设正方体棱长为a,=2r=4，则棱长=故选：D【点睛】本题考查正方体的外接球问题，掌握正方体的体对角线为球的直径是解题的关键.15．体积为的圆台，一个底面积是另一个底面积的倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是( )529A ．B ．C ．D ．5454π5858π【分析】将圆台补成圆锥，利用几何体的相似比与面积比、体积比的关系，可得大圆锥的体积和圆台体积之比，即可得出答案．【详解】如图所示，将圆台补成圆锥，则图中小圆锥与大圆锥是相似的几何体设大、小圆锥的底面半径分别为r 、R ，高分别为h 、H ∵圆台上、下底面的面积之比为1：9，∴小圆锥与大圆锥的相似比为1：3，即半径之比且高之比13r R =13h H =因此，小圆锥与大圆锥的体积之比（）3，V V =小大13127=可得 1，V V=圆台大1262727-=因此，截得这个圆台的圆锥体积和圆台体积之比27：26，又圆台的体积为52cm 3，则截该圆台的圆锥体积为52＝54．2726⨯故选A ．【点睛】本题考查几何体的体积的求法，通过圆台的上下底面面积之比，求截得这个圆台的圆锥体积和圆台体积之比．着重考查了锥体体积计算公式和相似几何体的性质等知识．16．设三棱锥的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱上的点（不含端点），记直线V ABC -VA 与直线所成的角为，直线与平面所成的角为，二面角的平面角是PB AC αPB ABC βP AC B --则三个角，，中最小的角是（ ）γαβγA ．B ．C ．D ．不能确定αβγ【答案】B【分析】根据异面直线夹角，直线与平面的夹角，平面与平面的夹角的定义分别做PB 与AC ，PB 与平面ABC ，平面PAC 与平面ABC 的夹角，再根据三角函数的性质比较几个角的大小.【详解】如图，取BC 的中点 D ，作VO ⊥平面ABC 于点O ，由题意知点O 在AD 上，且AO =2OD .作PE //AC ，PE 交VC 于点E ，作PF ⊥AD 于点F ，连接BF ，则PF ⊥平面ABC取AC 的中点M ，连接BM ，VM ，VM 交 PE 于点H ，连接BH ，易知BH ⊥PE ，作于点G ，连接FG ，由PG ⊥AC ，PF ⊥AC ，PG PF =P ，由线面垂直判定定理可得AC ⊥平面PGF ，又平面PGFFG ⊂∴ FG ⊥AC ,作FN ⊥BM 于点N .∵ PG ∥VM ，PF ∥VN∴ 平面PGF ∥平面VMB ， 又 PH ∥FN ,四边形PFNH 为平行四边形，所以PH =FN因此，直线PB 与直线AC 所成的角，=BPE α∠直线PB 与平面ABC 所成的角，PBF β=∠二面角P -AC -B 的平面角，PGF γ=∠又cos cos PH FN BF PB PB PB αβ==<=又，,[0,]2παβ∈∴ αβ>因为tan =tan PF PF GF BFγβ>=,(0,2πβγ∈∴ γβ>综上所述，中最小角为，故选 B.,,αβγβ【点睛】(1)求直线与平面所成的角的一般步骤：①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．(2)作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．三、解答题17．在长方体中，已知，，，E 、F 分别是线段AB 、BC 上1111ABCD A B C D -4AB =3AD =12AA =的点，且.1EB FB ==（1）求二面角的正切值；1C DE C --（2）求直线与所成角的余弦值.1EC 1FD【答案】（1；（2【分析】以A 为原点，分别为x 轴，y 轴，z 轴的正向建立空间直角坐标系，()11,,AB AD AA A xyz -写出要用的点的坐标，设出平面的法向量的坐标，根据法向量与平面上的向量垂直，利用数量积表示出两个向量的坐标之间的关系，求出平面的一个法向量，根据两个向量之间的夹角求出结果把两条直线对应的点的坐标写出来，根据两个向量之间的夹角表示出异面直线的夹角．()2【详解】以A 为原点，分别为x 轴，y 轴，z 轴的正向建立空间直角坐标系，()11,,AB AD AA则有3，、3，、0，、1，、3，(0,D 0)1(0,D 2)(3,E 0)(4,F 0)1(4,C 2)于是，2，()()113,3,0,1,3,2,(4,DE EC FD =-==- 2)设向量与平面垂直，(),,n x y z = 1C DE 则有330113202x y n DE x y z x y z n EC -=⎫⊥⎪⎫⇒++=⇒==-⎬⎬⊥⎭⎪⎭，其中(),,1,1,2222z z z n z ⎛⎫∴=--=-- ⎪⎝⎭ 0z >取则是一个与平面垂直的向量，()01,1,2,n =-- 0n 1C DE 向量0，与平面CDE 垂直，1(0,AA = 2)与所成的角为二面角的平面角0n ∴ 1AA θ1C DE C --0101||n AA cos n AA θ⋅===⨯tan θ∴=二面角；∴1C DE C --设与所成角为，则，()21EC 1FDβ1111||EC FD cos EC FD β⋅===⨯直线与∴1EC 1FD 【点睛】本题主要考查了空间向量求平面间的夹角，异面直线的夹角，属于中档题．18．已知过球面上A ，B ，C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝2，求球的表面积．【答案】.649π【分析】设截面的圆心为O ′，球心为O ，连接O ′A ，OA ，OO ′，由已知得截面圆半径，然后由截面性质求得球半径后可得表面积．【详解】解：设截面圆心为O ′，球心为O ，连接O ′A ，OA ，OO ′，设球半径为R ，因为O ′A ＝223在Rt △O ′OA 中，OA 2＝O ′A 2＋O ′O 2，所以R 2＝，所以R＝，2214R+43所以S 球＝4πR 2＝π.64919．已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20和30的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上下底面面积之和，求棱台的高和体积.【答案】.1900【解析】首先根据题中条件求出侧面等腰梯形的高，再根据勾股定理求出棱台的高，最后利用棱台的体积公式求出棱台的体积.【详解】如图所示，在三棱台中，ABC A B C '''-，分别为上、下底面的中心，O O '，分别是，的中点，D D ¢BC B C ''连接，，，，OO 'A D ''AD DD '则点，分别在，上，O O 'AD A D ''是等腰梯形的高，记为，DD 'BCC B ''0h 所以，()00132030752S h h =⨯⨯+=侧上、下底面面积之和为()222030S S +=+=下上由，S S S =+下侧上075h =0h =又，1203O D ''==1303OD ==记棱台的高为，h则，h O O '====由棱台的体积公式，得棱台体积，(3h V S S =+下下上上2030⎛⎫=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭计算得棱台体积.1900V =【点睛】本题主要考查了棱台的高与棱台的体积的计算，属于基础题.20．如图，某柱体实心铜质零件的截面边界是长度为55毫米线段和88毫米的线段以及圆AB AC 心为，半径为的一段圆弧构成，其中．P PB BC 60BAC ∠=︒（1）求半径的长度；PB （2）现知该零件的厚度为3毫米，试求该零件的重量（每1个立方厘米铜重8.9克，按四舍五入精确到0.1克）．（）V S h =⋅柱底【答案】（1） （2）克4982.7【分析】（1）在中，用余弦定理求出，用正弦定理求出，从而求出，再用ABC ∆BC BCA ∠BPC ∠正弦定理，即可求出结果；（2）求出该几何体截面面积，进而求出体积，即可求解.【详解】解：（1），77BC ==所以，55sin 60sin 77BCA ︒∠==0,2BCA π⎛⎫∠∈⎪⎝⎭BPC π∴∠=-，11cos 14BCA ∠==sin sin(2)sin 2112sin cos 214BPC BCA BCA BCA BCA π∠=-∠=∠=∠∠=⨯=.sin 49sin BC PC PB BCP BPC ∴==⋅∠=∠（2）2115539sin 604922S π⎛=⋅⋅⋅︒+⋅⋅- ⎝.23098.956mm =所以重量为克.0.330.989658.982.74282.7⨯⨯=≈【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，考查几何体的体积，考查计算能力，属于中档题.21．如图，已知、分别是正方形边、的中点，与交于点，、都E F ABCD BC CD EF AC O PA NC 垂直于平面，且，，是线段上一动点.ABCD 4PA AB ==2NC =M PA（1）求证：平面；EF ⊥PAC （2）若平面，试求的值；//PC MEF :PM MA （3）当是中点时，求二面角的余弦值.M PA M EF N --【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）13【分析】（1）连接，易得，由正方形的性质有，再由线面垂直的性质及判定BD //BD EF BD AC ⊥可证结论.（2）若是的四等分点靠近的位置，连接，结合题设易得，再应用线面M PA P OM 3AM AO MP OC ==平行的判定可得平面，即可得的值.//PC MEF :PM MA （3）连接，由题设易知二面角为，进而求,OM ON M EF N --()MOA NOC π-∠+∠的正余弦值，应用诱导公式及两角和余弦公式求二面角的余弦值.,MOA NOC ∠∠M EF N --【详解】（1）连接，由、分别是、的中点，则，BD E F BC CD //BD EF 由为正方形，则，故，ABCD BD AC ⊥EF AC ⊥∵面，面，PA ⊥ABCD EF ⊂ABCD ∴，，则平面；PA EF ⊥PA AC A = EF ⊥PAC （2）若是的四等分点靠近的位置，连接，M PA P OM 由题设及（1），易知：是的四等分点靠近的位置，O AC C ∴在△中，即，又面，面，PAC 3AM AO MP OC ==//OM PC OM ⊂MEF PC ⊄MEF ∴平面，符合题设.//PC MEF 故面时，.//PC MEF 1:3PM MA =（3）连接，由（1）结论易知：二面角、的平面角分别为,OM ON M EF A --N EF C --，则二面角为，,MOA NOC ∠∠M EF N --()MOA NOC π-∠+∠由，，结合（2）知：，4PA AB ==2NC =2,MA OA OC ===∴tan MA MOA OA ∠==tan NC NOC OC ∠==cos MOA MOA ∠=∠=，cos NOC NOC ∠=∠=由二面角的余弦值知：M EF N --cos[()]cos()MOA NOC MOA NOC π-∠+∠=-∠+∠=sin sin cos cos MOA NOC MOA NOC ∠∠-∠∠=。
2022-2023学年辽宁省本溪市本溪满族自治县高级中学高二上学期12月月考数学试题(解析版)
2022-2023学年辽宁省本溪市本溪满族自治县高级中学高二上学期12月月考数学试题一、单选题 1．复数13i3iz +=-（i 为虚数单位）的共轭复数=z （ ） A ．i B ．i - C ．3i D ．3i -【答案】B【分析】根据复数的除法运算及共轭复数的概念求解. 【详解】因为13i (13i)(3i)i 3i (3i)(3i)z +++===--+，所以i z =-. 故选：B.2．以点(3,2)-为圆心，且与直线310x y -+=相切的圆的方程是（ ） A ．22(3)(2)10x y -++= B ．22(3)(2)1x y ++-= C ．22(3)(2)10x y ++-= D ．22(3)(2)1x y -++=【答案】C【分析】根据直线与圆的位置关系求得圆的半径，即可求得结果.【详解】因为点(3,2)-到直线310x y -+=的距离是d ==，所以圆的方程为22(3)(2)10x y ++-=. 故选：C.3．小明每天上学途中必须经过2个红绿灯，经过一段时间观察发现如下规律：在第一个红绿灯处遇到红灯的概率是13，连续两次遇到红灯的概率是14，则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下，第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为（ ） A ．23B ．34C ．14D ．13【答案】B【分析】由条件概率公式求解即可【详解】设“小明在第一个红绿灯处遇到红灯”为事件A ， “小明在第二个红绿灯处遇到红灯”为事件B ， 则由题意可得()()11,34P A P AB ==，则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下，第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为()()()34P AB P B A P A ==∣. 故选：B .4．以坐标轴为对称轴，焦点在直线45100x y -+=上的抛物线的标准方程为（ ） A ．210x y =或28y x =- B ．210x y =-或28y x = C ．210y x =或28x yD ．210y x =-或28x y =【答案】D【分析】直线45100x y -+=与坐标轴的交点即为焦点，根据焦点可求出p ，可得答案. 【详解】直线45100x y -+=与坐标轴的交点为()5,0,0,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，当抛物线的焦点为5,02⎛⎫- ⎪⎝⎭时，其标准方程为210y x =-；当抛物线的焦点为()0,2时，其标准方程为28x y =. 故选：D.5．若角θ的终边经过点()1,2-，则sin (1sin 2)sin cos θθθθ+=+（ ）A ．65B ．65-C ．25D ．25-【答案】C【分析】根据题意可求得tan 2θ=-，利用同角的三角函数关系结合二倍角公式化简sin (1sin 2)sin cos θθθθ++，代入求值，可得答案.【详解】根据角θ的终边经过点()1,2-，得tan 2θ=-， 又2sin (1sin 2)sin (sin cos )sin cos sin cos θθθθθθθθθ++=++()2222sin sin cos sin sin cos sin sin c o os sin c s θθθθθθθθθθθ+=+=+=+22tan tan 422tan 1415θθθ+-===++, 故选:C.另解：根据三角函数的定义，得sin θ=cos θ=，所以4sin 22sin cos 25θθθ⎛===- ⎝⎭，所以41sin (1sin 2)2sin cos 5θθθθ⎛⎫- ⎪+==+， 故选：C.6．已知双曲线2222:1x y C a b-=C过点)1-，直线():2l y k x =-与C 的右支有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．()(),11,-∞-⋃+∞ B ．()1,1- C．( D．((),2,-∞+∞【答案】A【分析】联立直线与双曲线方程，根据双曲线与双曲线右支有两个不同的交点，利用韦达定理列出不等式进行求解.【详解】的双曲线是等轴双曲线，所以可设双曲线C 的方程是()220x y λλ-=≠，将点)1-的坐标代入得1λ=，所以C 的方程是221x y -=，将()2y k x =-代入上式并消去y 整理得()222214410k xk x k -+--=，则24222122212210Δ164(1)(41)04014101k k k k k x x k k x x k ⎧-≠⎪=---->⎪⎪⎨+=->-⎪⎪+⎪=->-⎩解得1k <-或1k >.故选:A.7．中国空间站已经进入正式建造阶段，天和核心舱､问天实验舱和梦天实验舱将在2022年全部对接，形成“T "字结构.在中国空间站建造阶段，有6名航天员共同停留在空间站，预计在某项建造任务中，需6名航天员在天和核心舱､问天实验舱和梦天实验舱这三个舱内同时进行工作，由于空间限制，每个舱至少1人，至多3人，则不同的安排方案共有（ ） A ．360种 B ．180种C ．720种D ．450种【答案】D【分析】根据分组分配问题的处理步骤，先将6人分成三组，再将三组分到三个舱内即可.【详解】方案一：每个舱各安排2人，共有2223642333C C C A 90A ⋅=（种）不同的方案； 方案二：分别安排3人，2人，1人，共有32136313C C C A 360=（种）不同的方案.所以共有90360450+=（种）不同的安排方案. 故选：D .8．香港科技大学“逸夫演艺中心”鸟瞰图如图1所示，最上面两层类似于离心率相同的两个椭圆，我们把离心率相同的两个椭圆叫做“相似椭圆”.如图2所示，在“相似椭圆”12,C C 中，由外层椭圆1C 的下顶点A 和右顶点C 分别向内层椭圆2C 引切线,AB CD ，且两切线斜率之积等于34，则该组“相似椭圆”的离心率为（ ）A ．34B ．14C 3D ．12【答案】D【分析】分别写出切线,AB CD 的方程，与内层椭圆联立方程，根据判别式为零分别表示出12,k k ，再根据斜率之积等于34解出离心率.【详解】设内层椭圆2C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，因为内外椭圆离心率相同，所以外层椭圆1C 可设成22221(1)()()x y m ma mb +=>， 设切线AB 的方程为1y k x mb =-，与22221x y a b+=联立，得()()2222222211210b a k x mk a bx m a b +-+-=，又Δ0=，所以()222121b k m a=-.设切线CD 的方程为()2y k x ma =-，与22221x y a b+=联立，得()2222232242222220ba k x mk a x k m a ab +-+-=，又Δ0=，所以2222211b k a m =⋅-.又1234k k ⋅=，所以2234b a =，因此12c e a ====.故选：D.二、多选题9．已知圆221:66140C x y x y +-++=和圆222:230C x y y +--=，则（ ） A ．125C C = B ．两圆半径都是4 C ．两圆相交 D ．两圆外离【答案】AD【分析】先根据配方法确定两个圆的圆心和半径，根据圆心距和半径的关系可判断两圆的位置. 【详解】圆1C 的标准方程为22(3)(3)4x y -++=，圆心为()13,3C -，半径为12r =，圆2C 的标准方程为22(1)4x y +-=，圆心为()20,1C ，半径为22r =，所以125C C =，故A 正确，B 错误；因为1212C C r r >+，所以两圆外离，故C 错误，D 正确. 故选:AD .10．已知e 是自然对数的底数，函数()e e x x f x -=-，实数,m n 满足不等式(32)(2)0f n m f n -+->，则下列结论正确的是（ ） A ．e 2e m n > B ．若1,n >-则11n nm m+>+ C ．ln()0m n -> D ．20222022m n >【答案】ABC【分析】根据函数的单调性和奇偶性性质得到1m n >+，利用不等式的性质即可一一判断.【详解】()f x 的定义域为R ，()()e e x xf x f x --=-=-，所以()f x 是奇函数．因为1e e xx y -⎛⎫== ⎪⎝⎭，e x y =-在R 上都单调递减，所以()f x 在R 上是减函数．又()()3220f n m f n -+->，则()()322f n m f n ->--，即()()322f n m f n ->-，所以322n m n -<-，即1m n >+．因为e x y =在R 上是增函数，所以1e e 2e m n n +>>，故A 正确； 因为1n >-，所以110m m n +>>+>，所以()()()()1110111m n n m n n m nm m m m m m +-++--==>+++，故B 正确； 因为ln y x =在()0,∞+上是增函数，所以()ln ln1m n ->，即()ln 0m n ->，故C 正确； 取1m =，3n =-，满足1m n >+， 但20222022m n >不成立，故D 错误． 故选:ABC ．11．已知2nx⎛ ⎝的展开式中第4项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为0，则（ ） A ．9n =B ．2nx⎛⎝的展开式中有理项有5项C ．2nx⎛⎝的展开式中偶数项的二项式系数和为512D ．(7)n a -除以9余8 【答案】ABD【分析】由二项式系数的概念与组合数的性质可判断A ；由二项式的通向结合有理项的概念判断B ；由偶数项的二项式系数和判断C ；由二项式定理判断D【详解】对于A ，因为第4项与第7项的二项式系数相等，所以36C C n n =，由组合数的性质知9n =，故A 正确；对于B ，在92x⎛ ⎝的展开式中，令1x =，得9(1)0a +=，所以1a =-，所以92x⎛ ⎝的二项式通项为518219(1)C kk k k T x -+=-⋅.由5182k -为整数，得0,2,4,6,8k =，所以展开式中有理项有5项，故B 正确；对于C ，展开式中偶数项的二项式系数和为1398999C C C 2256+++==，故C 错误；对于D ，由B 知1a =-，则()()99909188081789999997(71)8(91)C 9C 9C 919C 9C 9C 18na -=+==-=-++-=-++-+，所以()7na -除以9余8，故D 正确. 故选：ABD.12．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 交C 于()()1122,,,A x y B x y 两点，则下列结论正确的是（ ）A ．以AB 为直径的圆与抛物线C 的准线相切B ．221212,4p x x y y p ==-C ．112||||AF BF p+= D ．若直线l 的倾斜角为π6，且12x x <，则||1||3AF BF = 【答案】ACD【分析】根据抛物线焦点弦性质，抛物线定义，数形结合思想解决即可.【详解】抛物线22x py =的焦点坐标为(0,)2P F ，准线方程是2py =-，由题意知，直线l 的斜率一定存在，设其方程为2p y kx =+，联立22,,2x py p y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩消去y 得2220x pkx p --=， 设线段AB 的中点00(,)M x y ， 所以121200,22x x y y x y ++==， 所以点M 到准线2py =-的距离120||222p y y p AB d y ++=+==， 所以以AB 为直径的圆与抛物线C 的准线相切，故A 正确；由韦达定理，得2222121212,224x x p x x p y y p p =-=⨯=，故B 错误；()212122y y k x x p pk p +=++=+， 所以()1221212121111||||2224y y p p p p p AF BF y y y y y y +++=+==+++++()()()22222222122212424p k pk p p p p p p k pk p ++==++++，故C 正确；若直线l 的倾斜角为π6，且12x x <，则点A 在点B 左侧，如图，直线l 与准线交于点D ，,AA BB ''分别表示点,A B 到准线2py =-的距离，则1sin ||2AA ADA AD ='='∠，设||AF t =，则,||2AA t AD t '==， 又sin ||BB BDB BD ∠=''=||1||||||2||2BB BF AD AF BF t t BF ==++++'， 所以||3BF t =，所以||1||33AF t BF t ==，故D 正确. 故选:ACD.三、填空题13．张勇同学在上学期的8次物理测试中的成绩（单位：分）分别是：78，82，76，85，88，94，95，86，则这8次成绩的75%分位数为______. 【答案】91【分析】根据百分位数的计算方法计算即可.【详解】解：先将这8次成绩从小到大排列为76，78，82，85，86，88，94，95， 因为875%6⨯=， 所以75%分位数为8894912+=. 故答案为：9114．如图，在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，DC 边上，且DF FC =，2CE EB =，若120ABC ∠=︒，8AB =，6AD =，则DE BF ⋅=______.【答案】24-【分析】由题知23DE AB BC =-，12BF BC AB =-，再根据数量积的运算律运算求解即可.【详解】解：因为DF FC =，2CE EB =，所以，23DE DC CE AB BC =+=-，12BF BC CF BC AB =+=-，因为120ABC ∠=︒，8AB =，6AD =， 所以222141232323DE BF AB BC BC AB AB BC AB BC ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2241128686243223=⨯⨯⨯-⨯-⨯=-.故答案为：24-15．已知椭圆C 的方程为22142x y +=，其左､右顶点分别为,A B ，一条垂直于x 轴的直线l 交椭圆C 于,E F 两点，直线AE 与直线BF 相交于点M ，则点M 的轨迹方程为___________.【答案】()221242x y x -=≠±【分析】设直线l 为()()00002,,x x x E x y =≠±，()()00,,,F x y M x y -，由,,A E M 三点共线及,,B F M 三点共线，可得22022044y y x x =---，又2200142x y +=，代入即可求解 【详解】由题意知()()2,0,2,0A B -，设直线l 为()()00002,,x x x E x y =≠±，()()00,,,F x y M x y -， 由,,A E M 三点共线及,,B F M 三点共线， 得0000,2222y y y y x x x x -==++--， 两式相乘化简，得22022044y y x x =---， 又2200142x y +=， 所以2202201442y y x x =-=--，即22142x y -=， 又240x -≠，即2x ≠±，所以点M 的轨迹方程为()221242x y x -=≠±.故答案为：()221242x y x -=≠±16．在菱形ABCD 中，=4AB ，120BAD ∠=︒，M 为BC 的中点，将ABM △沿直线AM 翻折成1AB M △，如图所示，当三棱锥1B AMD -的体积最大时，三棱锥1B AMD -的外接球的体积是______.【答案】642π3##642π3 【分析】易得平面1AB M ⊥平面AMD 时三棱锥1B AMD -的体积最大，要求三棱锥1B AMD -外接球体积，利用长方体外接球，求出球的半径，即可求解【详解】易得平面1AB M ⊥平面AMD 时三棱锥1B AMD -的体积最大， 由题意知BM AM ⊥，故1B M AM ⊥，当平面1AB M ⊥平面AMD 时，1B M ⊥平面AMD ， 因为90DAM DAB BAM ∠=∠-∠=︒， 所以AM AD ⊥.如图所示，要求三棱锥1B AMD -外接球体积，即求如图所示的长方体外接球的体积， 由已知得长方体的长、宽、高分别为4，23，2，则长方体外接球半径()2224232222r ++==，则球的体积是34642ππ33r =.故答案为：642π3四、解答题17．已知直线l 经过直线350x y ++=和3270x y --=的交点，且与直线50x y -+=垂直.(1)求直线l 的方程；(2)若圆C 过点()2,0-，且圆心C 在y 轴的负半轴上，直线l 被圆C 所截得的弦长为211，求圆C 的标准方程.【答案】(1)10x y ++=； (2)22(3)13x y ++=.【分析】（1）将两直线联立方程求出交点，再根据垂直的条件求出直线l 的斜率，代入点斜式可得直线方程；（2）设出圆的圆心和半径，圆过点()2,0-和弦长公式可联立方程解方程可得.【详解】（1）由已知，得350,3270,x y x y ++=⎧⎨--=⎩解得两直线交点为1,2，设直线l 的斜率为k ，因为直线l 与50x y -+=垂直，所以11k ⨯=-，解得1k =-， 所以直线l 的方程为()21y x +=--，即10x y ++=. （2）设圆C 的标准方程为222()(0)x y b r b +-=<， 则由题意，得()()()2222222,111,2b r b r ⎧-+-=⎪⎪⎨⎛⎫++=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩ 解得3b =-或5b =（舍去），所以13r =，所以圆C 的标准方程为：22(3)13x y ++=.18．已知四棱锥M ABCD -的底面为直角梯形，//AB CD ，90ADC ︒∠=，MD ⊥底面ABCD ，且22MD DC AD AB ====，P 是MC 的中点.(1)证明：//BP 平面MAD ；(2)求直线MB 与平面DBP 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析 (2)49【分析】（1）取MD 的中点为Q ，连接PQ 、AQ ，即可证明四边形ABPQ 是平行四边形，从而得到//BP AQ ，即可得证；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）证明：取MD 的中点为Q ，连接PQ 、AQ ， 因为P 、Q 分别是MC 、MD 的中点，所以//PQ DC 且12PQ DC =， 又//AB DC 且12AB DC =，所以//PQ AB 且PQ AB =，所以四边形ABPQ 是平行四边形，所以//BP AQ ， 又BP ⊄平面MAD ，AQ ⊂平面MAD ，所以//BP 平面MAD .（2）解：因为90ADC ∠=，MD ⊥底面ABCD ，所以,,DA DC DM 两两互相垂直，以D 为坐标原点， 以,,DA DC DM 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系如图所示， 则()()()()()()0,0,0,2,0,0,0,2,0,2,1,0,0,0,2,0,1,1D A C B M P ， 则()()()2,1,2,2,1,0,0,1,1MB DB DP =-==，设平面DBP 的一个法向量为(),,m x y z =，所以=0=0m DB m DP ⎧⋅⎨⋅⎩，即200x y y z +=⎧⎨+=⎩，令1x=，则()1,2,2m =-，设直线MB 与平面DBP 所成角为θ，则44sin 339MB m MB mθ⋅-===⨯⋅， 即直线MB 与平面DBP 所成角的正弦值为49.19．已知抛物线2:2C y px =的焦点为()0,2,F P y 是抛物线C 上一点，且4PF =.(1)求抛物线C 的标准方程；(2)直线():20l y x m m =+≠与抛物线C 交于,M N 两点，若以MN 为直径的圆过原点O ，求直线l 的方程.【答案】(1)28y x =； (2)216=-y x .【分析】（1）根据抛物线的定义，到焦点的距离与到准线的距离相等，转化焦半径，可得p ，从而求出抛物线方程；（2）直线与抛物线相交，采用标准计算步骤设而不求的思想可解得. 【详解】（1）抛物线2:2C y px =的准线为2p x =-，所以242pPF =+=， 解得4p =，所以抛物线C 的标准方程为28y x =.（2）设()()1122,,,M x y N x y ，联立28y x =与2y x m =+，消去x 得2440,Δ16160y y m m -+==->，即1m <；由韦达定理有：12124,4y y y y m +==，因为以MN 为直径的圆过原点O ，所以12120OM ON x x y y ⋅=+=， 即1212022y m y m y y --⋅+=，化简可得：()2121250444m m y y y y -++=， 代入韦达定理得：()25440444m m m ⨯-⨯+=，解得16m =-或0m =（舍去）， 所以直线l 的方程为216=-y x .20．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为矩形，2,AD AB M =为BC 中点，平面11AA D D ⊥平面11,ABCD AA A D AD ==．(1)证明：1A D ⊥平面11ABB A ；(2)求二面角1B A A M --的平面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 6【分析】（1）由面面垂直的性质可得AB ⊥平面11AA D D ，再由线面垂直的性质可得1AB A D ⊥，由勾股定理的逆定理可得11AA A D ⊥，然后利用线面垂直的判定定理可证得结论；（2）取AD 的中点O ，连接1A O ，由已知可证得1,,OM AD OA 两两互相垂直，所以以O 为坐标原点，1,,OM OD OA 为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用空间向量求解即可.【详解】（1）证明：因为底面ABCD 是矩形， 所以AB AD ⊥，又平面11AA D D ⊥平面ABCD ，平面11AA D D ⋂平面,ABCD AD AB =⊂平面ABCD ， 所以AB ⊥平面11AA D D ，又1A D ⊂平面11AA D D ， 所以1AB A D ⊥， 因为112AA A D AD ==，所以22211AA A D AD +=， 所以11AA A D ⊥，又11,,AA AB A AA AB ⋂=⊂平面11ABB A ， 所以1A D ⊥平面11ABB A ；（2）取AD 的中点O ，连接1A O ，因为11A A A D =， 所以1A O AD ⊥，又平面11AA D D ⊥平面ABCD ，平面11AA D D ⋂平面1,ABCD AD AO =⊂平面11AA D D ， 所以1A O ⊥平面ABCD ，连接OM ，又底面ABCD 为矩形，所以OM AD ⊥， 所以1,,OM AD OA 两两互相垂直，以O 为坐标原点，1,,OM OD OA 为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设1AB =， 则()()()()10,1,0,0,1,0,0,0,1,1,0,0A D A M -， 所以()()()110,1,1,0,1,1,1,1,0AA A D AM ==-=．由（1）知1A D ⊥平面11ABB A ，所以1A D 是平面11ABB A 的一个法向量． 设平面1A AM 的一个法向量为(),,n x y z =，则 10n AA y z n AM x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1x =，则()1,1,1n =-． 设二面角1B A A M --的平面角为θ，则1126cos 323A D n A D nθ⋅===⨯⋅ 由图可知二面角1B A A M --的平面角为锐角， 所以二面角1B A A M --的平面角的余弦值为63．21．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为8，双曲线C 的左焦点到渐近线的距离为2.(1)求双曲线C 的方程；(2)设,A B 分别是双曲线C 的左､右顶点，P 为双曲线C 上任意一点（P 不与,A B 重合），线段BP 的垂直平分线交直线BP 于点M ，交直线AP 于点N ，设点,M N 的横坐标分别为,M N x x ，求证：M N x x -为定值.【答案】(1)221124x y -=； (2)证明见解析【分析】（1）根据焦距为8，可得c ，再用点到直线的距离公式可解；（2）先写出,,A B P 的坐标，进而求出BP 的斜率，可得线段BP 的垂直平分线方程，分别求出其与,AP BP 的交点横坐标，代入M N x x -可证.【详解】（1）双曲线2222:1x y C a b-=的渐近线为0bx ay ±=，左焦点为(),0c -，所以d b ==，所以2b =.又焦距为8，所以4c =，所以a =C 的方程为221124x y -=.（2）证明：设()()000,0P x y y ≠，由（1）得()(),A B -，又点M 是线段BP的中点，则点02y M ⎫⎪⎪⎝⎭， 直线BPAP又BP MN ⊥，则直线MN的方程为002y y x -=⎝⎭，即200001222x y y y -++ 又直线AP的方程为y x =+，联立方程2000012,22,x y y x y y x ⎧-=++⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得()2220001222x y x x x -+++， 又22004112x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，代入消去20y，得()()(2000212133x x x x x -+=-+， 因为00y ≠，所以00x -≠.所以((02133x x x +-+=+，解得x =即点N，则M N x x -==，所以M N x x -为定值. 【点睛】求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为8,O 是坐标原点，12,F F 分别为椭圆C 的左､右焦点，点()0,2M x 在椭圆C 上，且12MF F △的内切圆半径为23. (1)求椭圆C 的方程；(2)设直线:(0,0)l y kx m k m =+>>与椭圆C 交于,E F 两点，且直线,OE OF 的斜率之和为2k -. ①求直线l 经过的定点的坐标； ②求OEF 的面积的最大值. 【答案】(1)2211612x y +=； (2)①()0,26；②43.【分析】（1）根据长轴长为8可求出a ，再根据12MF F △的面积公式可求出c ，进而确定椭圆的方程；（2）①设出直线方程与椭圆进行联立，标准设而不求的步骤后，将韦达定理代入斜率和为2-的表达式中可得定点；②将①中求出的参数代入韦达定理，表示出OEF 的面积，求此表达式的最大值即可.【详解】（1）由题意可知121228,2MF MF a F F c +===，又12MF F △的内切圆半径为23，所以()()12121212182233MF F SMF MF F F c =++⨯=+， 又12121122222MF F M SF F y c c =⨯=⨯⨯=，所以()18223c c +=，解得2c =.因为22212b a c =-=，所以椭圆C 的方程为2211612x y +=. （2）①设()()1122,,,E x y F x y ，联立22,1,1612y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理，得()2223484480k x kmx m +++-=，所以()()2222Δ644344480k m k m =-+->，可得221216m k <+，21212228448,3434km m x x x x k k-+=-=++， 设直线,OE OF 的斜率分别为12,k k ，因为直线,OE OF 的斜率之和为2k -，所以122k k k +=-，即()()2121212221212122242224401212k m m x x y y kx m kx m km k k k k m x x x x x x m m -+++-++=++=+=+⋅==--，所以224m =，又0m >，所以m =l经过的定点的坐标为(0,. ②设直线l经过的定点为(N，则1212OEF OEN OFNSSSx=-=⨯-==，设0t ，则21242662OEFt St t t==⨯=++6t t=时，即t =294k =时取等号，此时0∆>，所以43OEFS ，即OEF 的面积的最大值为【点睛】求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．。
2022-2023学年山东省菏泽第一中学高二上学期12月月考数学试题(解析版)
2022-2023学年山东省菏泽第一中学高二上学期12月月考数学试题一、单选题1．抛物线22y x =的焦点坐标是（ ）A ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,08⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】先把抛物线化为标准方程，直接写出焦点坐标．【详解】抛物线22y x =的方程为212x y =，所以焦点在y 轴 由122p =， 所以焦点坐标为10,8⎛⎫⎪⎝⎭．故选：D ．2．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知311a =，1060S =，则5a =（ ） A ．7 B ．8C ．9D ．10【答案】A【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意建立方程，即可求出1a ，d ，再根据等差数列的通项公式，即可求出结果．【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可知11211?104560a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得115a =，2d =-，所以5141587a a d =+=-=． 故选：A3．设点B 是(2,3,5)A 关于坐标平面xOy 的对称点，则||=AB （ ） A ．10 BC ．38D【答案】A【分析】根据空间直角坐标系的坐标特点得点B 坐标，根据空间中两点间的距离公式计算即可得||AB .【详解】解：因为点B 是(2,3,5)A 关于坐标平面xOy 的对称点，所以(2,3,5)B -所以10AB AB ==.故选：A.4．已知向量()()1,1,0,1,0,=-=a b m ，且ka b +与2a b -互相平行，则k =（ ） A ．114-B ．15C ．35D ．12-【答案】D【分析】由空间向量平行的条件求解.【详解】由已知(1,,)ka b k k m +=-，2(3,1,2)a b m -=--， 因为ka b +与2a b -平行， 若0m =，则131k k -=-，12k =-， 若0m ≠，则1312k k mm-==--，k 无解． 综上，12k =-，故选：D ．5．设向量OA ，OB ，OC 不共面，空间一点P 满足OP xOA yOB zOC =++，则A ，B ，C ，P 四点共面的一组数对(,,)x y z 是（ ）A ．111(,,)432B ．131(,,)442-C ．(1,2,3)-D ．121(,,)332-【答案】B【分析】由题设条件可知，A ，B ，C ，P 四点共面等价于1x y z ++=，由此对选项逐一检验即可. 【详解】因为向量OA ，OB ，OC 不共面，OP xOA yOB zOC =++， 所以当且仅当1x y z ++=时，A ，B ，C ，P 四点共面， 对于A ，1111432++≠，故A 错误；对于B ，1311442-++=，故B 正确；对于C ，1231-+≠，故C 错误；对于D ，1211332-++≠，故D 错误.故选：B.6．已知数列{}n a 中，11a =且()133nn n a a n a *+=∈+N ，则16a 为（ ）A ．16B ．14C ．13D ．12【答案】A【分析】采用倒数法可证得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，根据等差数列通项公式可推导得到n a ，代入16n =即可.【详解】由133n n n a a a +=+得：1311133n n n n a a a a ++==+，又111a ，∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，13为公差的等差数列，()1121133n n n a +∴=+-=，32n a n ∴=+，1616a ∴=. 故选：A.7．已知三个数1，a ，9成等比数列，则圆锥曲线2212x ya +=的离心率为（ ）A 3B 5C 510D 310 【答案】D【详解】椭圆、双曲线的方程简单性质，等比数列的性质，分类讨论，由已知求得a 值，然后分类讨论求得圆锥曲线2212x y a +=的离心率解决即可． 【解答】因为三个数1，a ，9成等比数列， 所以29a =，则3a =±．当3a =时，曲线方程为22132x y +=，表示椭圆， 31， 3 当3a =-时，曲线方程为22123y x -=，表示双曲线，255102． 故选：D8．若数列{}n a 是等差数列，首项10a >，公差()2020201920200,0d a a a <+<，则使数列{}n a 的前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是（ ）A ．4039B ．4038C ．4037D ．4036【答案】B【分析】根据等差数列的单调性，结合等差数列前n 项和公式进行求解即可. 【详解】因为0d <，所以等差数列{}n a 是递减数列， 因为()2020201920200a a a +<，所以201920200,0a a ><，且20192020a a >，201920200a a +>， ()1403920192020403920204038201920204039()40390,403820190,22a a a a S a S a a ++===⨯=+所以使数列{}n a 的前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是4038． 故选：B二、多选题9．下列结论错误的是（ ）A ．过点()1,3A ，()3,1B -的直线的倾斜角为30︒B ．若直线2360x y -+=与直线20ax y ++=平行，则23a =-C ．直线240x y +-=与直线2410x y ++=D ．已知()2,3A ，()1,1B -，点P 在x 轴上，则PA PB +的最小值是5 【答案】AC【分析】对于A ，tan AB k α=即可解决；对于B ，由题意得231a -=即可解决；对于C ，平行线间距离公式解决即可；对于D ，数形结合即可. 【详解】对于A ，131tan 312AB k α-===--，即30α≠︒，故A 错误； 对于B ，直线2360x y -+=与直线20ax y ++=平行，所以123a =-，解得23a =-，故B 正确；对于C ，直线240x y +-=与直线2410x y ++=（即1202x y ++=）之间的距离为d =故C 错误；对于D ，已知()2,3A ，()1,1B -，点P 在x 轴上，如图取()1,1B -关于x 轴的对称点()1,1B '--，连接AB '交x 轴于点P ，此时22(21)(31)5PA PB PA PB AB ''+=+≥=+++，所以PA PB +的最小值是5，故D 正确； 故选：AC.10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，25n S n n =-，则下列说法不正确．．．的是（ ） A ．{}n a 为等差数列 B ．0n a >C ．n S 最小值为254- D ．{}n a 为单调递增数列【答案】BC【分析】根据n S 求出n a ，并确定{}n a 为等差数列，进而可结合等差数列的性质以及前n 项和分析求解.【详解】对于A ，当2n ≥时，()()221515126n n n a S S n n n n n -⎡⎤==-----=-⎣⎦-， 1n =时114a S ==-满足上式，所以26,N n a n n *=-∈,所以()()1216262n n a a n n +-=+---=， 所以{}n a 为等差数列，故A 正确；对于B ，由上述过程可知26,N n a n n *=-∈，12340,20,0a a a =-<=-<=，故B 错误；对于C ，因为25n S n n =-，对称轴为52.52=， 又因为N n *∈，所以当2n =或3时，n S 最小值为6-，故C 错误； 对于D ，由上述过程可知{}n a 的公差等于2， 所以{}n a 为单调递增数列，故D 正确. 故选:BC.11．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为BC ，11CC BB ，的中点，则下列结论中正确的是（ ）A ．1D D AF ⊥B ．点G 到平面AEF 的距离是点C 到平面AEF 的距离的2倍 C ．1//A G 平面AEFD ．异面直线1A G 与EF 5【答案】BC【分析】对于选项A ：由11//DD CC 以及1CC 与AF 不垂直，可知A 错误；对于选项B ：利用等体积法,A GEF G AEF A CEF C AEF V V V V ----==，可求得结果，进而判断选项B 正确；对于选项C ：取11B C 的中点M ，根据面面平行的性质即可得出1//A G 平面AEF ，可知选项C 正确； 对于选项D ：根据线面垂直的判定定理和性质，结合二面角的定义可知D 错误；【详解】对于选项A ：因为1AC AC ≠，所以1ACC △不是等腰三角形，所以1CC 与AF 不垂直，因为11//DD CC ，所以1DD 与AF 不垂直，故选项A 错误；对于选项B ：设正方体的棱长为2，设点G 到平面AEF 的距离与点C 到平面AEF 的距离分别为12,h h ，则11133A GEF GEFG AEF AEFV AB S V h S--=⋅==⋅，21133A CEF CEFC AEF AEFV AB S V h S--=⋅==⋅，所以12121221112GEFCEFS h h S ⨯⨯===⨯⨯△△，故选项B 正确； 对于选项C ：取11B C 的中点M ，连接11,,GM A M BC ，由题意可知：1//GM BC ，因为1//BC EF ，所以//GM EF ，GM ⊄平面AEF ， EF ⊂平面AEF ，所以//GM 平面AEF ，因为1A M AE ∥，1A M 平面AEF ， AE ⊂平面AEF ，所以1//A M 平面AEF ，因为11,,A MGM M A M GM =⊂平面1AGM ，所以平面AEF //平面1AGM ， 因为1AG ⊂平面1AGM ，所以1//A G 平面AEF ，故选项C 正确； 对于选项D ：因为111//,//AD EF AG D F ，所以异面直线1A G 与EF 所成的角为1AD F ∠（或其补角），设正方体的棱长为2，则22112253AD D F AF AC CF ===+=，，， 在1AD F △中，由余弦定理可得：2221111110cos 22225AD D F AF AD F AD D F +-∠===⋅⨯⨯D 错误，故选：BC .12．下列命题中，正确的命题有（ ） A ．a b a b +=-是a ，b 共线的充要条件 B ．若//a b ，则存在唯一的实数λ，使得a b λ=C ．对空间中任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若243OP OA OB OC =-+，则P ，A ，B ，C 四点共面D ．若{},,a b c 为空间的一个基底，则{},2,3a b b c c a +++构成空间的另一个基底 【答案】CD【分析】对A ，向量a 、b 同向时a b a b +=-不成立； 对B ， b 为零向量时不成立； 对C ，根据空间向量共面的条件判定； 对D ，根据能成为基底的条件判定.【详解】对A ，向量a 、b 同向时，a b a b +≠-，∴只满足充分性，不满足必要性，∴A 错误； 对B ，b 应该为非零向量，故B 错误； 对C ，由于243OP OA OB OC =-+得，1324PB PA PC =+， 若,PA PC 共线，则,,PA PC PB 三向量共线，故A ，B ，C 三点共线，与已知矛盾，故,PA PC 不共线，由向量共面的充要条件知,PB PA PC ,共面，而,PB PA PC ,过同一点P ，所以P ，A ，B ，C 四点共面，故C 正确；对D ，若{},,a b c 为空间的一个基底，则a ，b ，c 不共面， 假设a b +，2b c +，3c a +共面，设()()23a b x b c y c a +=+++，所以13102yxx y =⎧⎪=⎨⎪=+⎩ ，无解，故a b +，2b c +，3c a +不共面， 则{},2,3a b b c c a +++构成空间的另一个基底，故D 正确． 故选： CD ．三、填空题13．等比数列{}n a 中，39a =-，114a =-，则7a =______． 【答案】6-【分析】由等比数列的性质计算．【详解】因为{}n a 是等比数列，所以2731136a a a ==，又{}n a 的所有奇数项同号，所以76a =-．故答案为：6-．14．直线230x y +-=被圆()()22214x y-++=截得的弦长____________【分析】首先求出圆心坐标与半径，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，最后利用勾股定理与垂径定理计算可得；【详解】圆()()22214x y -++=的圆心为2,1，半径2r =， 圆心2,1到直线的距离d ==所以直线被圆截得弦长为22223525522255r d ⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭. 故答案为：2555. 15．已知数列{}n a .的前n 项和为n S ，且()*2120N n n n a a a n +++-=∈.若11151912a a a ++=，则29S =______.【答案】116【分析】先判断出数列是等差数列，然后运用等差数列的性质可得答案.【详解】(){}*211220N ,2,n n n n n n n a a a n a a a a +++++-=∈∴=+∴为等差数列，111912915111519152,12,4,a a a a a a a a a ∴+=+=++=∴=129291529292941162a a S a +∴=⨯==⨯=. 故答案为：116.四、双空题16．如图，在棱长为1的正方体ABCD A B C D -''''中，M 为BC 的中点，则AM 与D B ''所成角的余弦值为___________；C 到平面DA C ''的距离为___________.【答案】103【分析】第一空根据向量法即可求得异面直线之间的夹角. 第二空利用等体积法即可求得.【详解】由已知连接BD ，如图所示建立空间直角坐标系,则()0,0,1A ，1,1,12M ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,1,0B '，()1,0,0D '1,1,02AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭()1,1,0D B ''=-10cos ,10AM D B AM D B AM D B ''''==''⋅ AM 与D B ''所成角的余弦值为1010如图所示设C 到平面DA C ''的距离为d 因为C A DC A DCC V V '''--=1111322sin 601113232d d ⨯⋅=⨯⨯⨯⨯⇒=103五、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，11221,1,2a b a b =-=+=. （1）若335a b +=，求{}n b 的通项公式； （2）若321T =，求3S .【答案】（1）12n n b -=；（2）当5q =-时，321S =.当4q =时，36S =-.【分析】设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，（1）由条件可得3d q +=和226d q +=，解方程得12d q =⎧⎨=⎩，进而可得通项公式； （2）由条件得2200q q +-=，解得5,4q q =-=，分类讨论即可得解.【详解】设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则1(1)n a n d =-+-，1n n b q -=.由222a b +=得3d q +=.①（1）由335a b +=得226d q +=②联立①和②解得30d q =⎧⎨=⎩（舍去），12d q =⎧⎨=⎩ 因此{}n b 的通项公式为12n n b -=.（2）由131,21b T ==得2200q q +-=.解得5,4q q =-=.当5q =-时，由①得8d =，则321S =.当4q =时，由①得1d =-，则36S =-.【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的基本量运算，属于基础题.18．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -的底面是菱形，且1160C CB C CD BCD ∠=∠=∠=︒，12CD CC ．(1)求1AC 的长；(2)求异面直线1CA 与1DC 所成的角．【答案】(1)122AC =(2)90°．【分析】(1)因为1,,CD CB CC 三组不共线，则可以作为一组基底，用基底表示向量1AC ，平方即求得模长.(2) 求出两条直线1CA 与1DC 的方向向量，用向量夹角余弦公式即可.【详解】（1）设CD a =，CB b =，1CC c =，{},,a b c 构成空间的一个基底．因为()11()AC CC CD CB c a b =-+=-+， 所以()22211AC AC c a b ⎡⎤==-+⎣⎦ 222222c a b a c b c a b =++-⋅-⋅+⋅ 12222cos608=-⨯⨯⨯︒=，所以1AC =（2）又1CA a b c =++，1DC c a =-，所以()()11CA DC a b c c a ⋅=++⋅- 220c a b c a b =-+⋅-⋅=∴11CA DC ⊥∴异面直线1CA 与1DC 所成的角为90°．19．已知等差数列{}n a 的前n 项和为258,224,100n S a a S +==.(1)求{an }的通项公式；(2)若+11n n n b a a =，求数列{n b }的前n 项和Tn . 【答案】(1)31n a n =-(2)2(32)n n T n =+【分析】（1）由等差数列的通项公式以及等差数列的前n 项和公式展开可求得结果；（2）由裂项相消求和可得结果.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意知，1112()4248(81)81002a d a d a d +++=⎧⎪⎨⨯-+=⎪⎩ 解得：123a d =⎧⎨=⎩ ∴1(1)23(1)31n a a n d n n =+-=+-=-.故{}n a 的通项公式为31n a n =-.（2）∵1111()(31)(32)33132n b n n n n ==--+-+ 111111111111()()()()325358381133132111111111 ()325588113132111 =()3232=2(32)n T n n n n n n n =⨯-+⨯-+⨯-++--+=⨯-+-+-++--+⨯-++ 即：{}n b 的前n 项和2(32)n n T n =+. 20．如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，2AB AC ==，14AA =，AB AC ⊥，1BE AB ⊥交1AA 于点E ，D 为1CC 的中点.(1)求证：BE ⊥平面1AB C ；(2)求直线1B D 与平面1AB C 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；15【分析】（1）先证明1AA AC ⊥，从而可得AC ⊥平面11AA B B ，进而可得AC BE ⊥，再由线面垂直的判定定理即得；（2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法即得.【详解】（1）因为三棱柱111ABC A B C 为直三棱柱，所以1AA ⊥平面ABC ，又AC ⊂平面ABC ，所以1AA AC ⊥,又AC AB ⊥，1AB AA A ⋂=，AB ⊂平面11AA B B ，1AA ⊂平面11AA B B ，所以AC ⊥平面11AA B B ，因为BE ⊂平面11AA B B ，所以AC BE ⊥，又因为1BE AB ⊥， 1AC AB A ⋂=，AC ⊂平面1AB C ，1AB ⊂平面1AB C ，所以BE ⊥平面1AB C ；（2）由（1）知AB ，AC ，1AA 两两垂直，如图建立空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()12,0,4B ，()0,2,0C ，()2,0,0B ，()0,2,2D ，设()0,0,E a ，()12,0,4AB =，()2,0,BE a =-，()0,2,0AC =，因为1AB BE ⊥，所以440a -=，即1a =，则()2,0,1BE =-，由（1）平面1AB C 的一个法向量为()2,0,1BE =-，又()12,2,2B D =--，设直线1B D 与平面1AB C 所成角的大小为π20θθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，则 11115sin cos ,512BE B D BE B D BE B D θ⋅====⋅⋅， 因此，直线1B D 与平面1AB C 1521．已知数列{}1221,2,5,43.++===-n n n n a a a a a a(1)令1n n n b a a +=-，求证：数列{}n b 是等比数列；(2)若n n c nb =，求数列{}n c 的前n 项和n S ．【答案】(1)见解析 (2)11133244n n S n +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据递推公式证明2113n n n na a a a +++--为定值即可； （2）利用错位相减法求解即可.【详解】（1）证明：因为2143n n n a a a ++=-，所以()2113n n n n a a a a +++-=-，即13n n b b +=， 又1213b a a -==，所以数列{}n b 是以3为首项，3为公比的等比数列；（2）解：由（1）得11333n n n n a a +--=⋅=， 3n n n c nb n =⋅=，则23323333n n S n =+⨯+⨯++⋅，23413323333n n S n +=+⨯+⨯++⋅，两式相减得()2311131313233333331322n n n n n n S n n n +++-⎛⎫-=++++-⋅=-⋅=-- ⎪-⎝⎭， 所以11133244n n S n +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 22．如图，在多面体ABCDEF 中，梯形ADEF 与平行四边形ABCD 所在平面互相垂直，1//122AF DE DE AD AD BE AF AD DE AB ⊥⊥====，，，，.(1)求证：BF ∥平面CDE ；(2)求二面角B EF D --的余弦值；(3)判断线段BE 上是否存在点Q ，使得平面CDQ ⊥平面BEF ？若存在，求出BQ BE 的值，若不存在，说明理由.【答案】(1)详见解析 (2)63(3)存在点Q ；17BQ BE =【分析】（1）根据线面平行的判断定理，作辅助线，转化为证明线线平行；（2）证得DA ，DB ，DE 两两垂直，从而建立以D 点为原点的空间直角坐标系，求得平面DEF 和平面BEF 的一个法向量，根据法向量的夹角求得二面角的余弦值；（3）设()[]()0,,20,1BQ BE λλλλ==-∈，求得平面CDQ 的法向量为u ，若平面CDQ ⊥平面BEF ，则0m u =⋅，从而解得λ的值，找到Q 点的位置.【详解】（1）取DE 的中点M ，连结MF ，MC ，因为12AF DE =，所以AF DM =，且AF DM =， 所以四边形ADMF 是平行四边形，所以//MF AD ，且MF AD =,又因为//AD BD ,且AD BC =，所以//MF BC ,MF BC =,所以四边形BCMF 是平行四边形，所以//BF CM ,因为BF ⊄平面CDE ,CM ⊂平面CDE ，所以//BF 平面CDE ；（2）因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF 平面ABCD AD =，DE AD ⊥， 所以DE ⊥平面ABCD ，DB ⊂平面ABCD ，则DE DB ⊥，故DA ，DB ，DE 两两垂直，所以以DA ，DB ，DE 所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()1,0,0A ，()0,1,0B ，()1,1,0C -，()0,0,2E ，()1,0,1F ，所以()0,1,2BE =-，()1,0,1EF =-，()0,1,0n =为平面DEF 的一个法向量. 设平面BEF 的一个法向量为(),,m x y z =，由0m BE ⋅=，0m EF ⋅=，得200y z x z -+=⎧⎨-=⎩， 令1z =，得()1,2,1m →=. 所以26cos ,36m n m n m n →→→→→→⋅===. 如图可得二面角B EF D --为锐角，所以二面角B EF D --的余弦值为63. （3）结论：线段BE 上存在点Q ，使得平面CDQ ⊥平面BEF . 证明如下：设()[]()0,,20,1BQ BE λλλλ==-∈，所以(0,1,2)DQ DB BQ λλ=+=-.设平面CDQ 的法向量为(),,u a b c =，又因为()1,1,0DC =-， 所以0u DQ ⋅=，0u DC ⋅=，即(1)200b c a b λλ-+=⎧⎨-+=⎩， 若平面CDQ ⊥平面BEF ，则0m u =⋅，即20a b c ++=， 解得[]10,17λ=∈.所以线段BE 上存在点Q ，使得平面CDQ ⊥平面BEF ， 且此时17BQ BE =.。
高二12月月考(数学)试题含答案
高二12月月考（数学）（考试总分：150 分）一、单选题（本题共计8小题，总分40分）1.（5分）1．直线x﹣y+1＝0的斜率为（）A．B．﹣C．D．﹣2.（5分）2．已知向量＝（2，3，1），＝（1，2，0），则|+|等于（）A．B．3C．D．93.（5分）3．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M为A1C1的中点，若＝，＝，＝，则下列向量与相等的是（）A．﹣﹣+B．+﹣C．﹣++D．++4.（5分）4．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列．若冬至、大寒、雨水的日影子长的和是40.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为（）A．6.5尺B．13.5尺C．14.5尺D．15.5尺5.（5分）5．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别为棱A1B1和BB1的中点，那么异面直线AM和CN所成角的余弦值是（）A．B．C．D．﹣6.（5分）6．历时23天嫦娥五号成功携带月球样品返回地球，标志着中国航天向前迈出一大步．其中2020年11月28日晚，嫦娥五号成功进行首次近月制动，进入一个大椭圆轨道．该椭圆形轨道以月球球心为一个焦点F1，若其近月点A（离月球表面最近的点）与月球表面距离为r1公里，远月点B（离月球表面最远的点）与月球表面距离为r2公里，并且F1，A，B在同一直线上已知月球的半径为R公里，则该椭圆形轨道的离心率为（）A．B．C．D．7.（5分）7．已知动点P在直线l1：3x﹣4y+1＝0上运动，动点Q在直线l2：6x+my+4＝0上运动，且l1∥l2，则|PQ|的最小值为（）A．B．C．D．8.（5分）8．若等差数列{a n}的前n项和为S n，首项a1＞0，a2020+a2021＞0，a2020•a2021＜0，则满足S n＞0成立的最大正整数n是（）A．4039B．4040C．4041D．4042二、多选题（本题共计4小题，总分20分）9.（5分）9．关于双曲线C1：＝1与双曲线C2：＝1，下列说法正确的是（）A．它们的实轴长相等B．它们的渐近线相同C．它们的离心率相等D．它们的焦距相等10.（5分）10．已知圆C1：x2+y2＝1和圆C2：x2+y2﹣4x＝0的公共点为A，B，则（）A．|C1C2|＝2B．直线AB的方程是x＝C．AC1⊥AC2D．|AB|＝11.（5分）11．若数列{a n}满足a1＝1，a2＝1，a n＝a n﹣1+a n﹣2（n≥3，n∈N+），则称数列{a n}为斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用则下列结论成立的是（）A．a7＝13B．a1+a3+a5+……+a2019＝a2020C．S7＝54D．a2+a4+a6+……+a2020＝a202112.（5分）12．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点E，F在平面A1B1C1D1内，若|AE|＝，AC⊥DF，则（）A．点E的轨迹是一个圆B．点F的轨迹是一个圆C．|EF|的最小值为﹣1D．AE与平面A1BD所成角的正弦值的最大值为三、填空题（本题共计3小题，总分15分）13.（5分）13．若直线x﹣y+1＝0与直线mx+3y﹣1＝0互相垂直，则实数m的值为．14.（5分）14．若双曲线的渐近线为，则双曲线C的离心率为．15.（5分）16．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点（，0）的直线l与圆C：x2+y2﹣4x+8＝0交于A，B两点，则四边形OACB面积的最大值为．四、解答题（本题共计7小题，总分75分）16.（5分）15．已知四面体ABCD的顶点分别为A（2，3，1），B（1，0，2），C（4，3，﹣1），D（0，3，﹣3），则点D到平面ABC的距离．17.（10分）17．在：①圆C与y轴相切，且与x轴正半轴相交所得弦长为2；②圆C经过点A（4，1）和B（2，3）；③圆C与直线x﹣2y﹣1＝0相切，且与圆Q：x2+（y﹣2）2＝1相外切。
2022-2023学年湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高二上册学期12月月考数学试题【含答案】
2022-2023学年湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高二上学期12月月考数学试题一、单选题1．如图，在平行六面体中，是与的交点，若，1111ABCD A B C D -M 11A C 11B D AB a=，，且，则等于（ ）AD b = 1AA c =MB xa yb zc =++ x y z ++A ．B ．C ．D ．112-01-【答案】D【分析】以为一组基底可表示出，从而求得的值，进而得到结果.{},,a b cMB ,,x y z 【详解】()1111111111222MB MB B B D B AA DB AA AB AD AA =+=-=-=--，111112222AB AD AA a b c =--=--，，，.12x ∴=12y =-1z =-1x y z ∴++=-故选：D.2．已知向量共面，则实数的值是（ ）()()()2,1,3,1,3,2,1,,1a b c t =-=-=-t A ．1B ．C ．2D ．1-2-【答案】C【分析】根据空间共面向量定理，结合已知向量的坐标，待定系数，求解即可.【详解】因为共面，所以存在，使得，,,a b c ,x y ∈R c xa yb =+整理得，解得.()()1,,12,3,32t x y x y x y -=--++1,1,2x y t =-==故选：C.3．已知的三个顶点分别为，，，则边上的中线长为ABC ()5,3,2A ()1,1,3B -()1,3,5C --BC（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】求得的中点坐标，利用两点间的距离公式即可求得答案.BC 【详解】由题意，，，可得的中点坐标为，()5,3,2A ()1,1,3B -()1,3,5C --BC ()0,2,4D -所以边上的中线长为，BC AD ==故选：B.4．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若C 2212x y +=1F 2F 2F l的方程是（ ）1ABF l A ．或B ．或1133y x =-1133y x =-33y x =-33y x =-C ．或D ．或1122y x =-1122y x =-22y x =-22y x=-【答案】D【分析】由内切圆的周长可以求出内切圆的半径，结合椭圆定义，可以求出的面积，1ABF 1ABF 设直线的方程为，与椭圆方程联立，可以将的面积以表示，以面积建立l 1x my =+1ABF m 1ABF 方程，即可解出，求出直线的方程.m l 【详解】设内切圆的圆心为，半径为，1ABF M r，∴，2πr=r =111ABF MAB MAF MBF S S S S =++ 11111222AB r AF r BF r =++()1112AB AF BF r =++由椭圆的定义知，114AB AF BF a ++==∴1ABF S = ()1112AB AF BF r =++12=⨯=∵由已知，，，()11,0F -()21,0F 易知直线的斜率不为，∴设直线的方程为：，l 0l 1x my =+，消去，化简，得，22121x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩x ，()222210my my ++-=，()222442880m m m ∆=++=+>设，，()11,A x y ()22,B x y 则，，12222my y m +=-+122102y y m =-<+112121211221122ABF AFF BF F S S S F F y F F y =+=+ 121212=-F F y y122=⨯===解得，∴，214m =12m =±∴直线的方程为：，即或.l 112x y =±+22y x =-22y x =-故选：D.【点睛】本题解题关键在的面积，以两种形式将三角形表示出来，即可求出直线方程.1ABF 1ABF 5．已知抛物线的焦点为F ，点M 在抛物线C 的准线l 上，线段与y 轴交于2:2(0)C y px p =>MF 点A ，与抛物线C 交于点B ，若，则（ ）||3||3MA AB ==p =A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】由题知点A 为的中点，结合已知得，过点B 作，由MF ||6,||2,||4MF BF BM ===BQ l ⊥抛物线的定义即可求解.【详解】设l 与x 轴的交点为H ，由O 为中点，知点A 为的中点，FH MF 因为，所以．||3||3MA AB ==||6,||2,||4MF BF BM ===过点B 作，垂足为Q ，则由抛物线的定义可知，BQ l ⊥||||2BQ BF ==所以，则，所以．||2||BM BQ =||2||6MF FH ==||3p FH ==故选：C6．已知为抛物线的焦点，点在抛物线上，为的重心，则F 2y x =,,A B C F ABC （ ）AF BF CF ++=A ．B ．C ．D ．121322【答案】C【分析】由抛物线方程确定焦点坐标，根据抛物线焦半径公式和重心的坐标表示可直接求得结果.F 【详解】由抛物线方程知：；1,04F ⎛⎫ ⎪⎝⎭设，，，()11,A x y ()22,B x y ()33,C x y 则；()12312311134444AF BF CF x x x x x x ++=+++++=+++为的重心，，则，F ABC 123134x x x ++∴=12334x x x ++=.333442AF BF CF ∴++=+=故选：C.7．已知直线上动点，过点向圆引切线，则切线长的最小值是（ ）:40l x y +-=P P 221x y +=A B C ．D ．1-【答案】A【分析】根据切线长，半径以及圆心到点的距离的关系，求得圆心到直线的距离，再求切线长距P 离的最小值即可.【详解】圆，其圆心为，半径，则到直线的距离221x y +=()0,0O 1r =O l d==设切线长为，则，若最小，则取得最小值，显然最小值为m 22211m OP OP =-=-mOP d =故m ==故选：A.8．在正三角形中，为中点，为三角形内一动点，且满足，则最小值ABC M BC P2PA PM =PAPB为（ ）A ．BCD 1【答案】D【分析】以为坐标原点建立平面直角坐标系，设边长为，由向量坐标运算可表示出点M ABC 2P 轨迹，利用两点间距离公式可得；当时，可求得；当222241PA PM PB PB=12x =-2PAPB =时，令的几何意义，利用直线与圆的位置关系可求得的范围，进而得到12x ≠-t =t t 最小值；综合两种情况可得结果.【详解】以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示平面直角坐标系，M ,MC MA,x y 不妨设正三角形的边长为，则，，，ABC 2(A ()0,0M ()1,0B -设，则，，(),P xy (222PA x y =+222PMx y =+，，2PA PM = 224PA PM ∴=，即；(222244x y xy∴+=+2210x y y +-=点轨迹为：，P∴()22403x y y ⎛+=> ⎝；()()()222222222222224444212111x y x y PA PM x PB PB x y x x y x y ++=====++++++++1=当时，，；12x =-224PA PB =2PA PB ∴=当时，令，则表示与连线的斜率，12x≠-t =t (),P x y 12⎛- ⎝设直线与圆相切，12y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2243x y ⎛+=⎝则圆心到直线距离，解得：d k =k =，),t ⎛∴∈-∞+∞ ⎝ 则当取得最小值，t =22PA PB 34min PA PB ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭综上所述：.PAPB 故选：D.二、多选题9．已知圆：，直线：，点在直线上运动，直线，分别与M ()2222x y ++=l 20x y +-=P l PA PB 圆相切于点.则下列说法正确的是（ ）M ,A B A ．四边形的面积的最小值为PAMBB ．最小时，弦PA AB C ．最小时，弦所在直线方程为PAAB 10x y +-=D ．直线过定点AB 31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】AD 【分析】利用AB ；设，，1222PAM S S PA r ==⨯⋅= ()11,A x y ()22,B x y ，利用两条切线方程联立得到直线关于的方程，求出最小时点坐标代入00(,)P x y AB 00(,)P xy PAP即可判断C ；由含参直线方程过定点的求法计算D 即可.【详解】由圆的方程知：圆心，半径()2,0M-r =对于AB ，四边形的面积PAMB 1222PAM S S PA r ==⨯⋅=则当最小时，四边形的面积最小，PAPAMB 点到直线的距离，所以，Ml dmin PA ==此时A 正确；min S =又，所以此时，B错误；111222PAMS PA r PM AB =⋅=⋅ =对于C ，设，，，()11,A x y ()22,B x y 00(,)P x y 则过作圆的切线，切线方程为：，A ()()11222x x y y +++=过作圆的切线，切线方程为：，B ()()22222x x y y +++=又为两切线交点，所以，P 10102020(2)(2)2(2)(2)2x x y y x x y y +++=⎧⎨+++=⎩则两点坐标满足方程：，,A B ()()00222x x y y +++=即方程为：；AB ()()00222x x y y +++=当最小时，，所以直线方程为：，PAPM l ⊥PM 2y x =+由得，即，220y x x y =+⎧⎨+-=⎩02x y =⎧⎨=⎩()0,2P所以方程为：，即，C 错误AB ()2222x y ++=10x y ++=对于D ，由C 知：方程为：；AB ()()00222x x y y +++=又，即，0020x y +-=002y x =-所以方程可整理为：，AB ()022220x y x x y -++++=由得，所以过定点，D 正确.202220x y x y -+=⎧⎨++=⎩3212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩AB 31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：AD 10．已知正方体，棱长为1，分别为棱的中点，则（ ）1111ABCD A B C D -,E F 1,AB CC A ．直线与直线共面B ．1AD EF 1A E AF⊥C ．直线与直线的所成角为D ．三棱锥的体积为1A E BF 60︒1C ADF -112【答案】BD【分析】如图，以为原点，以所在直线分别为建立空间直角坐标系，对于A ，D 1,,DA DC DD ,,x y z 利用面面平行性质结合平行公理分析判断，对于B ，通过计算进行判断，对于C ，利用向1A E AF⋅量的夹角公式求解，对于D ，利用求解.11C ADF A C DFV V --=【详解】如图，以为原点，以所在直线分别为建立空间直角坐标系，则D 1,,DA DC DD ,,x y z ，，(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0)D A B C 1111(0,0,1),(1,0,1),(1,1,1),(0,1,1)D A B C ，111,,0,0,1,22E F ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于A ，假设直线与直线共面，因为平面∥平面，平面平面1AD EF 11ABB A 11DCC D 1AEFD ，平面平面，11ABB A AE =11DCC D 111ABB A D F =所以∥，AE 1D F 因为∥，所以∥，矛盾，所以直线与直线不共面，所以A 错误；AE 11C D 11C D 1D F 1AD EF 对于B ，因为，11101,1,1,22A E AF ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，，所以，所以，所以，所以B 正确，1110022A E AF ⋅=+-= 1A E AF ⊥ 1A E AF ⊥对于C ，设直线与直线的所成角为，因为，1A E BF θ11101,1,0,22A E BF ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，，所以，121cos cos ,52A E θ==≠ 所以，所以C 错误，60θ≠︒对于D ，因为平面，AD ⊥11DCC D 所以，所以D 正确，1111111111332212C ADF A C DF C DF V V S AD --==⋅=⨯⨯⨯⨯=故选：BD.11．如图，正方体的棱长为2，E 是的中点，则（ ）1111ABCD A B C D -1DDA ．11B C BD ⊥B ．点E 到直线的距离为1BC C ．直线与平面所成的角的正弦值为1B E 11B C C 23D ．点到平面的距离为1C 1B CE 23【答案】AC【分析】以点为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法逐一判断分析各个选项即可.A 【详解】如图以点为原点，建立空间直角坐标系，A 则，()()()()()()1112,0,0,2,2,0,0,2,1,2,0,2,0,2,2,2,2,2B C E B D C ，()()110,2,2,2,2,2B C BD =-=-则，所以，故A 正确；110440B C BD ⋅=+-=11B C BD ⊥，则()12,2,1B E =--111111cos ,B E BC B E B C B E B C ⋅===所以，1sin CB E ∠=所以点E 到直线的距离为B 错误；1B C 11sin B E CB E ∠=因为平面，所以即为平面的一条法向量，11C D ⊥11B C C ()112,0,0D C =11B C C 则直线与平面所成的角的正弦值为，故C 正确；1B E 11B C C 11111111142cos ,233D C BE D C B E D C B E ⋅===⨯ ()10,0,2CC =设平面的法向量为，1B CE (),,n x y z =则有，可取，11220220n B C y z n B E x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩()1,2,2n =则点到平面的距离为，故D 错误.1C 1BCE 143CC n n⋅=故选：AC.12．已知点F 为椭圆C ：，的左焦点，过原点O 的直线l 交椭圆于P ，Q 两22221x y a b +=()0a b >>点，点M 是椭圆上异于P ，Q 的一点，直线MP ，MQ 的斜率分别为，，椭圆的离心率为e ，1k 2k 若，，则（ ）2PF QF=23PFQ π∠=A ．B ．C ．D．e =e =12916k k =-1223k k =-【答案】BD【分析】设出右焦点，根据椭圆定义结合对称性以及余弦定理得到关系，则离心率可求，设F ',a c 出坐标，利用点差法可求得的表示，结合关系可求解出的值.,P M 12k k ⋅,a c 12k k 【详解】连接，根据椭圆对称性可知四边形为平行四边形，则，且由PF QF ''，PFQF '||QF PF='，可得,120PFQ ︒∠=60FPF '︒∠=所以,则.||32PF PF PF a''+==24,||33PF a PF a '==由余弦定理可得，22222164421(2)||2||cos 60299332c PF PF PF PF a a a a ''︒=+-⋅=+-⨯⋅⋅化简得，故，所以2213c a =213e =e =设，则，()()0011,,,M x y P x y ()010111120101,y y y y Q x y k k x x x x -+--==-+，，所以，又，相减可得因为，220101011222010101y y y y y y k k x x x x x x -+-=⋅=-+-22220011222211x y x y a b a b +=+=，2220122201y y b x x a -=--2213c a =所以，，所以.22213a b a -=2223a b ∴=1223k k =-故选：BD.【点睛】解答本题的关键在于合理运用焦点三角形的知识以及点差法设而不求的思想去计算；椭圆是一个对称图形，任何过原点的直线(不与焦点所在轴重合)与椭圆相交于两点，这两点与椭圆的焦点构成的四边形为平行四边形.三、填空题13．已知抛物线，直线与抛物线交于，两点，与圆：2:8M x y =:2l y kx =+A D 交于，两点（，在第一象限），则的最小值为_______．22:430N x y y +-+=B C A B ||2||AC BD +【答案】9+9【分析】分别在，时，结合抛物线的性质证明，结合图象可得0k =0k ≠111||||2AF DF +=，再利用基本不等式求其最小值.||2||||2||3AC BD AF DF +=++【详解】因为抛物线M 的方程为，28x y =所以抛物线M 的焦点为，准线，(0,2)F =2y -则直线过抛物线的焦点F ，2y kx =+当时，联立与可得，0k =2y =28x y =4x =±所以，则；||||4AF DF ==111||||2AF DF +=当时，如图，0k ≠过作轴于K ，设抛物线的准线交y 轴于E ，A AK y ⊥则，||||||EK EF FK =+||cos ||p AF AFK AF =+∠=得，||1cos pAF AFK =-∠则，11cos ||AFKAF p -∠=同理可得，11cos ||AFK DF p +∠=所以，1121||||2AF DF p +==化圆N ：为，则圆N 的圆心为F ，半径为1，22430x y y +-+=22(2)1x y +-=||2||AC BD +=||12(||1)AF DF +++||2||3AF DF =++2(||2||)AF DF =+113||||AF DF ⎛⎫⨯++ ⎪⎝⎭||2||233||||AF DF DF AF ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，当且仅当且时等号成立，233⎛≥++⎝9=+||||AF DF =111||||2AF DF +=即，2DF =2AF =+所以的最小值为．||2||AC BD+9+故答案为：9+14．已知曲线C 的方程为，则下列说法中：221+-=x y xy ①曲线C 关于原点中心对称；②曲线C 关于直线对称；y x =-③若动点P 、Q 都在曲线C 上，则线段的最大值为PQ④曲线C 的面积小于3．所有正确的序号是__________________．【分析】对于①②：根据对称理解运算即可判断；对于③④：根据椭圆定义可知曲线C 为椭圆，结合椭圆性质分析即可求解.【详解】对①：∵曲线C 的上任一点关于原点的对称点为，(),A x y (),A x y '--则，即在曲线C 上，()()()()22221x y x y x y xy -+----=+-=A '∴曲线C 关于原点中心对称，①正确；对②：∵曲线C 的上任一点关于直线的对称点为，(),B x y y x =-(),B y x '--则，即在曲线C 上，()()()()22221y x y x x y xy -+----=+-=B '∴曲线C 关于直线对称，②正确；y x =-∵，则，221+-=x y xy ()()2243x y x y -++=∴，即，()24x y +≤22x y -≤+≤又∵，即，221+-=x y xy ()213x y xy +-======，()x y +⎤=⎦，()x y =++⎤⎦则曲线C 的上任一点到的距离之和为：(),P x y ,M N ⎛ ⎝()()x y x y ⎤⎤=⎦⎦++∴曲线C 表示以为焦点且的椭圆，则，,M N a c ==b ==对③：则线段的最大值为③正确；PQ2a =对④：则曲线C 的面积，④错误；3S ab π==>15．已知､分别在直线与直线上，且，点，P Q 1:10l x y -+=2:10l x y --=1PQ l ⊥()4,4A -，则的最小值为___________.()4,0B AP PQ QB++【分析】利用线段的等量关系进行转化，找到最小值即为所求.AP QB+【详解】由直线与作直线垂直于，如图，1l 2l ()4,0B l 1:10l x y -+=则直线的方程为：，将沿着直线个单位到点，有，l 4y x =-+()4,0B l B '()3,1B '连接交直线于点P ，过P 作于Q ，连接BQ ，有，即四边形AB '1l2⊥PQ l //,||||BB PQ BB PQ ''=为平行四边形，BB PQ '则，即有，显然是直线上的点与点距离和的最||||PB BQ '=||AP QB AP PB AB ''+=+=AB '1l ,A B '小值，因此的最小值，即的最小值，而，AP QB+AP PB '+AB '=所以的最小值为AP PQ QB++【点睛】思路点睛：（1）合理的利用假设可以探究取值的范围，严谨的思维是验证的必要过程.（2）转化与划归思想是解决距离最值问题中一种有效的途径.（3）数形结合使得问题更加具体和形象，从而使得方法清晰与明朗.16．在正三棱柱中，，，D ，E 分别为棱，的中点，F 是线段111ABC A B C -2AB =14AA =1AA 11A B 上的一点，且，则点到平面的距离为______．1BC 12FC BF =C DEF【分析】根据题意建立空间直角坐标系，利用向量的数量积运算求出平面的法向量与，再DEF CD利用空间向量法即可求得点到平面的距离.C DEF 【详解】记的中点为，连结，过作，如图，AC O BO O 1//OG AA 根据题意，易知两两垂直，以为原点，为轴，建立空间直角坐标系，,,OB OC OG O ,,OB OC OG ,,x y z则))()()()()111,4,0,1,0,0,1,4,0,1,0,0,1,4,BB C C A A --故，，，()10,1,2,,42D E ⎫--⎪⎪⎭())1,2,0,0,2,2DE DA AB ⎫==-=⎪⎪⎭()14BC =因为，所以，12FC BF =())()10,0,243DF DA AB BF =++=-++42,33⎫=-⎪⎪⎭设平面的一个法向量为，则，即，DEF (),,n x y z = 00DE n DF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩120242033x y z y z ++=+-=令，则，故，x =-5,1y z ==()n =-又，()0,2,2CD =-所以点到平面.CDEF..四、解答题17．如图，在三棱柱中，为111ABC A B C -112,AB AC BC AA A C =====1A B =M 的中点，点是上一点，且.11B C N 11C A 113C N NA =(1)求点A 到平面的距离；1A BC (2)求平面与平面所成平面角的余弦值.1BCC AMN【答案】【分析】（1）取的中点，连接，以为原点，分别为轴，为轴，建AC O 1,BO A O O ,OB OC ,x y Oz z 立空间直角坐标系，再利用空间向量法求解即可.（2）利用空间向量法求解即可.【详解】（1）取的中点，连接，如图所示：AC O 1,BO A O因为112,AB AC BC AA A C ====所以，，OB AC ⊥1A O AC ⊥所以.OB ==11A O ==以为原点，分别为轴，为轴，建立空间直角坐标系，O ,OB OC ,x y Oz z ，，，设，()0,1,0A-)B()0,1,0C ()1,0,A x z 则，，11A O==1A B == x =12z =即.112A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，112A B ⎫=-⎪⎭ ()BC =设平面的法向量为，1A BC ()111,,m x y z =则，令，即.111111020m A B z m BC y ⎧⋅=-=⎪⎨⎪⋅=+=⎩1x =113,9y z ==)m =，设点A 到平面的距离为，()0,2,0AC =1A BCd 则AC m d m⋅===（2），，()BC=1112CC AA ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭ 设平面的法向量为，1BCC ()222,,x n y z =则，令，解得，2212220102n BC y n CC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩ 2x =223,3y z ==-即.)3n =-设，则，，()1333,,C x yz 113331,2A C x y z ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ()0,2,0AC= 因为，解得.11A C AC = 112,2C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭设，则，，()1444,,B x yz 114441,2A B x y z ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ )AB = 因为，解得.11A B AB = 112B ⎫⎪⎪⎭因为点为的中点，所以，.M 11B C 310,,22M ⎛⎫ ⎪⎝⎭510,,22AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭.()11111111310,2,0,42422AN AA A N AA A C ⎛⎫⎛⎫=+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 设平面的法向量为，AMN ()555,,p x y z =则，令，解得，555553102251022p AN x y z p AM y z ⎧⋅=++=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩ 51y=555x z ==-即.5p ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，cos ,n p n p n p⋅===⋅因为平面与平面所成平面角为锐角，1BCC AMN 所以平面与平面1BCC AMN 18．如图，直四棱柱ABCD–A 1B 1C 1D1的底面是菱形，AA1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M，N 分别是BC ，BB1，A1D 的中点.（1）证明：MN ∥平面C1DE ；（2）求点C 到平面C1DE 的距离．【答案】（1）见解析；（2【分析】（1）利用三角形中位线和可证得，证得四边形为平行四边形，11//A D B C//ME NDMNDE进而证得，根据线面平行判定定理可证得结论；//MN DE （2）根据题意求得三棱锥的体积，再求出的面积，利用求得点C1C CDE -1C DE ∆11C CDE C C DE V V --=到平面的距离，得到结果.1C DE【详解】（1）连接，ME 1B C，分别为，中点 为的中位线M E 1BB BC ME ∴1B BC ∆且1//ME B C ∴112ME B C =又为中点，且 且N 1A D 11//A D B C 1//ND B C ∴112ND B C = 四边形为平行四边形//ME ND ∴∴MNDE ，又平面，平面//MN DE ∴MN ⊄1C DE DE ⊂1C DE平面//MN ∴1C DE（2）在菱形中，为中点，所以，ABCD E BC DE BC ⊥根据题意有，，DE =1C E =因为棱柱为直棱柱，所以有平面，DE ⊥11BCC B所以，所以，1DE EC ⊥112DEC S ∆=设点C 到平面的距离为，1C DE d根据题意有，则有，11C CDEC C DEV V --=1111143232d ⨯=⨯⨯解得d ==所以点C 到平面.1C DE【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定，点到平面的距离的求解，在解题的过程中，注意要熟记线面平行的判定定理的内容，注意平行线的寻找思路，再者就是利用等积法求点到平面的距离是文科生常考的内容.19．如图，在长方体中，点分别在棱上，且，．1111ABCD A B C D -,E F 11,DD BB 12DE ED =12BF FB =（1）证明：点在平面内；1C AEF （2）若，，，求二面角的正弦值．2AB =1AD =13AA =1A EF A --【答案】（1）证明见解析；（2.【分析】（1）方法一:连接、，证明出四边形为平行四边形，进而可证得点在平1C E 1C F 1AEC F 1C 面内；AEF （2）方法一：以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐1C 11C D 11C B 1C C x y z 标系，利用空间向量法可计算出二面角的余弦值，进而可求得二面角1C xyz -1A EF A --的正弦值.1A EF A --【详解】（1）［方法一］【最优解】：利用平面基本事实的推论在棱上取点，使得，连接、、、，如图1所示.1CC G 112C G CG=DG FG 1C E 1C F在长方体中，，所以四边形为平行四边形，则1111ABCD A B C D -//,BF CG BF CG =BCGF ，而，所以，所以四边形为平行四//,BC FG BC FG =,//BC AD BC AD =//,AD FG AD FG =DAFG 边形，即有，同理可证四边形为平行四边形，，，因此点//AF DG 1DEC G 1//C E DG ∴1//C E AF ∴在平面内.1C AEF ［方法二］：空间向量共线定理以分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图2所示．11111,,C D C B C C 设，则．11111,,3C D a C B b C C c ===1(0,0,0),(,0,2),(0,,),(,,3)C E a c F b c A a b c 所以．故．所以，点在平面内．1(,0,2),(,0,2)C E a c FA a c == 1C E FA =1AF C E ∥1C AEF ［方法三］：平面向量基本定理同方法二建系，并得，1(0,0,0),(,0,2),(0,,),(,,3)C E a c F b c A a b c 所以．111(,0,2),(0,,),(,,3)C E a c C F b c C A a b c === 故．所以点在平面内．111C A C E C F =+1C AEF ［方法四］：根据题意，如图3，设．11111,2,3A D a A B b A A c ===在平面内，因为，所以．11A B BA 12BF FB =1111133B F B B A A ==延长交于G ，AF 11A B 平面，AF ⊂AEF 平面．11A B ⊂1111D C B A ，11,G AF G A B ∈∈所以平面平面①．∈G ,AEF G ∈1111D C B A 延长交于H ，同理平面平面②．AE 11A D H ∈,AEF H ∈1111D C B A 由①②得，平面平面．AEF ⋂1111A B C D GH =连接，根据相似三角形知识可得．11,,GH GC HC 11,2GB b D H a ==在中，11Rt C B G 1C G =同理，在中，11Rt C D H 1C H =如图4，在中，1Rt A GH GH =所以，即G ，，H 三点共线．11GH C G C H =+1C 因为平面，所以平面，得证．GH ÌAEF 1C ⊂AEF ［方法五］：如图5，连接，则四边形为平行四边形，设与相交于点O ，则O 为11,,DF EB DB 1DEB F 1DB EF 的中点．联结，由长方体知识知，体对角线交于一点，且为它们的中点，即1,EF DB 1AC ，则经过点O ，故点在平面内．11AC B D O = 1AC 1C AEF（2）［方法一］【最优解】：坐标法以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐1C 11C D 11C B 1C C x y z 标系，如图2.1C xyz -则、、、，()2,1,3A ()12,1,0A ()2,0,2E ()0,1,1F ，，，，()0,1,1AE =--()2,0,2AF =--()10,1,2A E =-()12,0,1A F =-设平面的一个法向量为，AEF ()111,,m x y z =由，得取，得，则，00m AE m AF ⎧⋅=⎨⋅=⎩11110220y z x z --=⎧⎨--=⎩11z =-111x y ==()1,1,1m =- 设平面的一个法向量为，1A EF ()222,,n x y z =由，得，取，得，，则，1100n A E n A F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 22222020y z x z -+=⎧⎨-+=⎩22z =21x =24y =()1,4,2n =cos ,m n m n m n⋅<>===⋅设二面角的平面角为，则，1A EF A --θcossin θ∴==因此，二面角1A EF A --［方法二］：定义法在中，，即，所以．在AEF △AE AF EF ====222AE EF AF +=AE EF ⊥中，，如图6，设的中点分别为M ，N ，连接，则1A EF 11A E A F ==,EF AF 11,,A M MN A N，所以为二面角的平面角．1,A M EF MN EF ⊥⊥1A MN ∠1A EF A --在中，1A MN11MN A MA N ====所以，则1cosA MN ∠==1sin A MN ∠==［方法三］：向量法由题意得11AE AF A F A E EF =====由于，所以．222AE EF AF +=AE EF ⊥如图7，在平面内作，垂足为G ，1A EF 1A G EF ⊥则与的夹角即为二面角的大小．EA 1GA1A EF A --由，得．11AA AE EG GA =++ 22221111222AA AE EG GA AE EG EG GAAE GA =++++⋅⋅+⋅ 其中，，解得，1EG AG ==11AE GA ⋅=1cos ,AE GA 〉〈=所以二面角．1A EF A --［方法四］：三面角公式由题易得，11EA FA FEEA FA =====所以．2221111cos 2EA EA AA AEA EA EA +-∠===⋅．222cos 0,sin 12EA EF AF AEF AEF EA EF +-∠===∠=⋅22211111cos 2EA EF A F A EF A EF EA EF +-∠===∠=⋅设为二面角的平面角，由二面角的三个面角公式，得θ1A EF A --，所以111cos cos cos cos sin sin AEA AEF A EF AEF A EF θ∠-∠⋅∠===∠⋅∠sin θ=【整体点评】（1）方法一：通过证明直线，根据平面的基本事实二的推论即可证出，思路1//C E AF 直接，简单明了，是通性通法，也是最优解；方法二：利用空间向量基本定理证明；方法三：利用平面向量基本定理；方法四：利用平面的基本事实三通过证明三点共线说明点在平面内；方法五：利用平面的基本事实以及平行四边形的对角线和长方体的体对角线互相平分即可证出．（2）方法一：利用建立空间直角坐标系，由两个平面的法向量的夹角和二面角的关系求出；方法二：利用二面角的定义结合解三角形求出；方法三：利用和二面角公共棱垂直的两个向量夹角和二面角的关系即可求出，为最优解；方法四：利用三面角的余弦公式即可求出．20．已知双曲线C ：与x 轴的正半轴交于点M ，动直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，221x my -=当l 过双曲线C 的右焦点且垂直于x 轴时，，O 为坐标原点．54OA OB ⋅=(1)求双曲线C的方程；(2)若，求点M 到直线l 距离的最大值．90AMB ∠=︒【答案】(1)；2221x y -=(2)2【分析】（1）由双曲线方程求得右焦点，则可求出l 过双曲线C 的右焦点且垂直于x 2F ⎫⎪⎪⎭轴时的A ，B 两点坐标，由及数量积的坐标运算即可解出m ，得到双曲线方程；54OA OB ⋅=（2）由得，分别讨论直线斜率存在、不存在的情况，当斜率不存在时，90AMB ∠=︒0MA MB ⋅=设，直接求出交点，结合数量积运算可解出，即可得点M 到直线l 距离；当斜率存在时，x x =0x 设，联立双曲线方程，结合韦达定理及数量积运算可得与b 的关系，即可结合点线距离y kx b =+k 公式进一步讨论距离范围.【详解】（1）由曲线为双曲线得，双曲线标准形式为，故，0m >2211y x m -=222111,,1a b c m m ===+右焦点，，2F ⎫⎪⎪⎭()1,0M 当，故，x=1ym =±11,A B m m ⎫⎫-⎪⎪⎪⎪⎭⎭由得，54OA OB ⋅=()2211512024m m m m +-=⇒-=⇒=故双曲线C 的方程为；2221x y -=（2）由得，90AMB ∠=︒0MA MB ⋅=i.当直线斜率不存在时，设为，联立得，故当才有两个交点，此0x x =2221x y -=2212x y -=01x >时，，解得00,,A x B x ⎛⎛ ⎝⎝()()()2200001101302M x A B x x M x ---=⇒--⋅==或（舍）.03x =01x =故点M 到直线l 距离为2；ii.当直线斜率存在时，设为，联立得，y kx b =+2221x y -=()222124210kxkbx b ----=故当（*）才有两个交点，()()()222222211202Δ44122102210k k kb k b b k ⎧⎧-≠≠⎪⎪⇒⎨⎨=----->⎪⎪⎩-+>⎩设，则，()()1122,,,A x y B x y 2121222421,1212kb b x x x x k k ++==---故，即，()()1212110x M x B y A y M -⋅=-+=()()()2212121110k x x kb x x b ++-+++=即 ，整理得，得或.()()2222221411101212b kbk kb b k k +-++-++=--()()30k b k b ++=3b k =-b k =-①当时，直线l 为过与M 重合，不合题意；b k =-()1y k x =-()1,0②当时，代入（*）可得时有两个交点，3b k =-212k ≠∴点M 到直线l .2=<综上，点M 到直线l 距离的最大值为2.【点睛】关键点点睛：（1）根据直线与圆锥曲线的交点个数，注意讨论个数成立的条件；（2）结合韦达定理可以表示，即可进一步求出直线系数间的关系.MA MB ⋅21．已知椭圆C 的方程为，右焦点为．22221(0)x y a b a b +=>>F （1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线与曲线相切．证明：M ，N ，F 三点MN 222(0)x y b x +=>共线的充要条件是||MN =【答案】（1）；（2）证明见解析.2213x y +=【分析】（1）由离心率公式可得，即可得解；a =2b （2充分性：设直线，由直线与圆相切得，联立直线与椭圆方程结合():,0MN y kx b kb =+<221b k =+，即可得解.=1k =±【详解】（1）由题意，椭圆半焦距c =c e a ==a =又，所以椭圆方程为；2221b a c =-=2213x y +=（2）由（1）得，曲线为，221(0)x y x +=>当直线的斜率不存在时，直线，不合题意；MN :1MN x =当直线的斜率存在时，设，MN ()()1122,,,M xy N x y 必要性：若M ，N ，F 三点共线，可设直线即，(:MN y k x =0kxy -=由直线与曲线，解得，MN 221(0)x y x +=>11k =±联立可得，所以，(2213y xx y ⎧=±⎪⎨⎪+=⎩2430x -+=121234x x x x +=⋅=,=所以必要性成立；充分性：设直线即，():,0MN y kx b kb =+<0kx y b -+=由直线与曲线，所以，MN 221(0)x y x +=>1=221b k =+联立可得，2213y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()222136330k x kbx b +++-=所以，2121222633,1313kbb x x x x k k-+=-⋅=++==化简得，所以，()22310k -=1k =±所以，所以直线，1k b=⎧⎪⎨=⎪⎩1k b =-⎧⎪⎨=⎪⎩:MN y x =y x =-所以直线过点，M ，N ，F 三点共线，充分性成立；MN F 所以M ，N ，F三点共线的充要条件是||MN =【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的重中之重.22．在平面直角坐标系中，椭圆C 过点，焦点，圆O 的直径为xOy 1)212(F F ．12F F （1）求椭圆C及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于两点．若l 的方程．,A B OAB【答案】（1），；（2）①；②2214x y +=223x y +=y =+【分析】（1）根据条件易得圆的半径，即得圆的标准方程，再根据点在椭圆上，解方程组可得a ,b ，即得椭圆方程；（2）方法一：①先根据直线与圆相切得一方程，再根据直线与椭圆相切得另一方程，解方程组可得切点坐标；②先根据三角形面积得三角形底边边长，再结合①中方程组，利用求根公式以及两点间距离公式，列方程，解得切点坐标，即得直线方程.【详解】（1）因为椭圆C 的焦点为，()12,F F 可设椭圆C 的方程为．又点在椭圆C 上，22221(0)x y a b a b +=>>12⎫⎪⎭所以，解得2222311,43,ab a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩224,1,a b ⎧=⎨=⎩因此，椭圆C 的方程为．2214x y +=因为圆O 的直径为，所以其方程为．12F F 223x y +=（2）［方法一］：【通性通法】代数法硬算①设直线l 与圆O 相切于，则，()0000,(0,0)P x y x y >>22003x y +=所以直线l 的方程为，即．()0000x y x x y y =--+0003x y x y y =-+由，消去y ，得（*），22000143x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩()222200004243640x y x x x y +-+-=因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以．()()()()22222200000024443644820x x y y y x ∆=--+-=-=因为，所以，因此，点P 的坐标为．00,0x y >001x y ==②因为三角形OAB，所以，从而．12AB OP ⋅=AB=设，由（*）得()()1122,,,A x y B x y 1,2x =所以．()()2221212AB x x y y =-+-()()222000222200048214y x x y x y -⎛⎫=+⋅⎪⎝⎭+因为，所以，即，22003x y +=()()22022016232491x AB x -==+42002451000x x -+=解得舍去），则，因此P 的坐标为．22005(202x x ==2012y =综上，直线l 的方程为．y =+［方法二］： 圆的参数方程的应用设P 点坐标为．π),0,2ααα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭因为原点到直线，所以与圆O 切于点P 的cos sinx y αα+=d r===直线l 的方程为cossin x y αα+=由消去y ，得．22cos sin 1,4x y x yαα⎧+=⎪⎨+=⎪⎩()()22213cos )124sin 0x x ααα+-+-=①因为直线l 与椭圆相切，所以．()()22Δ16cos 23cos 20αα=-⋅--=因为，所以，故．π0,2α⎛⎫∈⎪⎝⎭cos (0,1)α∈cos α=sin α=所以，P 点坐标为．②因为直线O 相切，所以中边，因为的:cos sin lx y αα+=OABAB r =OAB ，所以．||AB =设，由①知()()1122,,,A x y B x y 22121222124sin 84cos 13cos 13cos x x x x αααα-++===++，||AB===即，64218cos153cos235cos1000ααα-+-=即．()()()2226cos5cos13cos200ααα---=因为，所以，故，所以π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos(0,1)α∈25cos6α=cosαα==所以直线l的方程为y=+［方法三］：直线参数方程与圆的参数方程的应用设P点坐标为，则与圆O切于点P的直线l的参数方程为：π),0,2ααα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（t为参数），πcos2πsin2x ty tαααα⎧⎛⎫=++⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=++⎪⎪⎝⎭⎩即（t为参数）．sincosx ty tαααα⎧=-⎪⎨=+⎪⎩代入，得关于t的一元二次方程．2214xy+=()()22213cos cos)89cos0t tαααα+++-=①因为直线l与椭圆相切，所以，，()()222Δcos)413cos89cos0αααα=-+-=因为，所以，故．π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos(0,1)α∈cosα=sinα=所以，P点坐标为．②同方法二，略．【整体点评】（2）方法一：①直接利用直线与圆的位置关系，直线与椭圆的位置关系代数法硬算，即可解出点的坐标；②根据三角形面积公式，利用弦长公式可求出点的坐标，是该题的通性通P P法；方法二：①利用圆的参数方程设出点，进而表示出直线方程，根据直线与椭圆)αα的位置关系解出点的坐标；②根据三角形面积公式，利用弦长公式可求出点的坐标；P P方法三：①利用圆的参数方程设出点，将直线的参数方程表示出来，根据直线)ααP P与椭圆的位置关系解出点的坐标；②根据三角形面积公式，利用弦长公式可求出点的坐标．。
2022-2023学年上海市南洋模范中学高二上学期12月月考数学试题(解析版)
2022-2023学年上海市南洋模范中学高二上学期12月月考数学试题一、填空题1．在空间直角坐标系中，点(1,2,3)A -关于xOz 平面对称的点的坐标是______. 【答案】()1,2,3--【分析】根据空间对称的知识求得正确答案.【详解】点关于xOz 平面对称点，横坐标和竖坐标不变，纵坐标相反， 所以点(1,2,3)A -关于xOz 平面对称的点的坐标是()1,2,3--. 故答案为：()1,2,3--2．为了解某校高三年级男生的体重，从该校高三年级男生中抽取17名，测得他们的体重数据如下（按从小到大的顾序排列，单位：kg ）56 56 57 58 59 59 61 63 64 65 66 68 69 70 73 74 83 据此估计该校高三年级男生体重的第75百分位数为______kg 【答案】69【分析】根据百分位数的求法求得正确答案. 【详解】170.7512.75⨯=， 数据从小到大第13个数是69， 所以第75百分位数为69kg 故答案为：693．第14届国际数学教有大会（ICME-14）于2021年7月12日至18日在上海举办，已知张老师和李老师都在7天中随机选择了连续的3天参会，则两位老师所选的日期恰好都不相同的概率为______. 【答案】625##0.24 【分析】先确定随机试验张老师和李老师各在7天中随机选择了连续的3天参会的基本事件数，再确定事件两位老师所选的日期恰好都不相同所包含的基本事件数，由古典概型概率公式求事件两位老师所选的日期恰好都不相同的概率.【详解】因为张老师在7天中随机选择连续的3天参会共有5种选法，即()12,13,14，()13,14,15，()14,15,16，()15,16,17，()16,17,18，所以随机试验张老师和李老师各在7天中随机选择连续的3天参会的基本事件数为25，其中两位老师所选的日期恰好都不相同选法有：张老师选()12,13,14，李老师选()15,16,17或()16,17,18，张老师选()13,14,15，李老师选()16,17,18，张老师选()15,16,17，李老师选()12,13,14，张老师选()16,17,18，李老师选()12,13,14或()13,14,15，即事件两位老师所选的日期恰好都不相同包含6个基本事件，所以事件两位老师所选的日期恰好都不相同的概率625P =. 故答案为：625. 4．设等差数列{}n a 的公差为d ，若1234576,,,,,,a a a a a a a 的方差为1，则d =________．【答案】12±【详解】由题意得2222222411[(3)(2)()0()(2)(3)]47x a d d d d d d d =∴=-+-+-++++= ，因此12d =±5．某学校随机抽取100名学生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[]0,100，样本数据分组为[)0,20，[)20,40，[)40,60，[)60,80，[]80,100．则该校学生上学所需时间的均值估计为______________．（精确到1分钟）.【答案】34.【详解】由直方图可得0.0250.00650.0032201x +++⨯⨯=（）． 所以0.0125x =，该校学生上学所需时间的均值估计为：10200.012530200.02550200.006570200.00390200.00333.6⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=分钟，故该校新生上学所需时间的平均值为34分，故答案346．由8个整数形成的样本数据中，至少有六个互不相同的整数，若平均数、中位数、唯一的众数和全距（即样本中最大数与最小数之差）都是8，则可能成为样本数据中的最大整数是________． 【答案】12【分析】根据平均数、中位数、唯一的众数和全距求得最大整数的值.【详解】依题意，平均数=中位数=众数=8，所以偏态系数为0，数据分布对称， 因为存在众数且众数唯一，所以可设这8个整数为123456,,,8,8,,,x x x x x x ， 且12345688x x x x x x <<<=<<<， 所以6116882x x x x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得612x =.故答案为：127．如图：已知矩形ABCD 中，2AB =，BC t =，若PA ⊥平面ABCD ，在BC 边上取点E ，使PE DE ⊥，则满足条件的E 点有两个时，t 的取值范围是________．【答案】4t >【分析】由题意可证得DE AE ⊥，转化为以AD 为直径的圆与矩形另一边有2个交点，根据圆心到直线的距离小于半径求解即可. 【详解】连接AE ，如图，因为PA ⊥平面ABCD ，DE ⊂平面ABCD ，所以PA DE ⊥，又PE DE ⊥，PA PE P =，,PA PE ⊂平面PAE ，所以DE ⊥平面PAE ， 因为AE ⊂平面PAE ，所以DE AE ⊥． 即E 点为以AD 为直径的圆与BC 的交点．因为2AB =，BC t =，满足条件的E 点有2个，即圆心也就是AD 中点到BC 的距离小于半径即可，即平行线间的距离22tAB =<，解得4t >． 故答案为：4t >8．某部门有8位员工，其中6位员工的月工资分别为8200，8300，8500，9100，9500，9600（单位：元），另两位员工的月工资数据不清楚，但两人的月工资和为17000元，则这8位员工月工资的中位数可能的最大值为__________元. 【答案】8800【详解】要使得这8位员工月工资的中位数最大值，即月工资数据不清楚的两个人的工资分别为比8200小，比9500大，即中位数为9100850088002+=. 9．已知正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为棱AB ，1BB 的中点，过1D ，M ，N 三点作该正方体的截面，若截面为一个多边形Γ，则Γ在顶点1D 处的内角的余弦值为________．【答案】413【分析】建立空间直角坐标系，根据1//D P QN →→，1//D Q PM →→求出,P Q 坐标，利用向量的夹角公式求解即可.【详解】设正方体棱长为2，多边形Γ与棱11,B C AD 相交于,Q P ，以1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图，则1(2,1,0),(2,2,1),(0,0,2)M N D ，设(,0,0)P a ，(,2,2)Q b ，则11(,0,2),(2,1,0),(,2,0),(2,0,1)D P a PM a D Q b QN b →→→→=-=-==--，由正方体左右侧面平行，与截面多边形Γ分别交于1D P QN ，，所以1//D P QN ， 同理，可得1//D Q PM 故1//D P QN →→，1//D Q PM →→，所以2(2)2(2)a b b a =-⎧⎨=-⎩，解得43a b ==，所以14(,0,2)3D P →=-，14(,2,0)3D Q →=，则111111161649cos ,16163613||||49D P D Q D P D Q D P D Q →→→→→→⋅<>====++， 所以Γ在顶点1D 处的内角的余弦值为413． 故答案为：413. 10．已知A 、B 、C 是半径为1的球面上的三点，若1AB AC ==，则BC 的最大值为______. 【答案】3【分析】设ABC 的外接圆半径为r ，2BC x =，由条件列关系式确定,x r 的关系，由此可求x 的最大值，由此确定BC 的最大值.【详解】因为A 、B 、C 是半径为1的球面上的三点，过点A 、B 、C 作球的截面，设截面圆的圆心为1O ，半径为r ，设BC 的中点为D ，则1O D BC ⊥，因为1AB AC ==，所以AD BC ⊥，设2BC x =，则21AD x =-，211O D r x =--，又22211BD O D O B +=，所以()22221r x r x =+--，所以22114x r =-，因为球的半径为1，所以1r ≤，所以当1r =时，2x取最大值，最大值为34，所以BC 的最大值为3， 故答案为：3.11．在直三棱柱111ABC A B C 中，11AB AC AA ===，{}1Ω,01,02,03P AP AB AC AA λμηλμη==++≤≤≤≤≤≤，若Ω中所有的点构成的几何体的体积为3，则AB 与AC 夹角的大小为________．【答案】π6或5π6【分析】由条件确定区域Ω与三棱柱111ABC A B C 的体积关系，结合柱体体积公式列方程可求AB 与AC 夹角的正弦值，由此可得夹角大小.【详解】因为{}1Ω,01,02,03P AP AB AC AA λμηλμη==++≤≤≤≤≤≤， 所以Ω中所有的点构成的几何体的体积是直三棱柱111ABC A B C 体积的236⨯=倍， 则16sin ,3AB AC AB AC AA ⨯⨯=，又11AB AC AA ===，所以1sin ,2AB AC =，因为[],0,πAB AC ∈，所以π,6AB AC =或5π6， 所以AB 与AC 夹角的大小为π6或5π6．故答案为：π6或5π6.12．在一个112⨯⨯的长方体内部，有一半径为12的小球自由运动，则当小球在长方体内滚动时，长方体内没有被小球滚到的部分其体积为________． 【答案】5212π-【分析】根据条件，画直观图，直接计算即可.【详解】由题意，小球在长方体内活动如图中虚线所示，是由上下两个半球和中间的圆柱构成， 所以小球不能达到的空间体积为2314151121223212πππ⎛⎫⎛⎫⨯⨯-⨯⨯-⨯=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 故答案为：5212π-.二、单选题13．如图是6株圣女果植株挂果个数（两位数）的茎叶图，则6株圣女果植株挂果个数的中位数为（ ）A ．21B ．21.5C ．22D ．22.5【答案】B【分析】根据中位数的知识求得正确答案. 【详解】6个数据为16,18,21,22,22,31， 所以中位数为212221.52+=. 故选：B14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()e ,0,1a =-与()20232023,π,b a S =垂直，则{}n a 不可能是（ ）A ．公差大于0的等差数列B ．公差小于0的等差数列C ．公比大于0的等比数列D ．公比小于0的等比数列【答案】C【分析】根据空间向量互相垂直的性质、空间向量数量积的运算性质，结合等差数列和等比数列的性质逐一判断即可.【详解】因为()e ,0,1a =-与()20232023,π,b a S =垂直，所以2023202300a b a S ⋅=⇒-=，则20232023S a =，若20232023S a =，则2022202320230S S a =-=，所以保证20220S =即可， 若{}n a 为等差数列，取前2022项分别为2021,,3,1,1,3,,2021---即可，反之，取2021,,3,1,1,3,,2021---也可，故A 、B 均可能，若{}n a 为等比数列，取(1)nn a =-即可，故D 有可能，若公比大于0，则()2022120221S a q ==或()()202212022111a q S q q-=≠-均不为0，故C 不可能； 故选C ．15．设a ,b ,c ,x ,y ,z 是正数，且2a +2b +2c =10, 2x +2y +2z =40, ax +by +cz =20,则a b cx y z++++=A ．14B ．13C ．12D ．34【答案】C【详解】由柯西不等式得()2222222111111444222a b c x y z ax by cz ⎛⎫⎛⎫++++≥++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当111222a b c x y z ==时等号成立， 2222221040a b c x y z ++=++=，,20ax by cz ++=∴等号成立111222a b c x y z ∴== 12a b c x y z ++∴=++故答案选C16．已知a ，b 是异面直线，若直线m 上任意一点到a ，b 的距离都相等，则这样的直线m （ ） A ．存在且只有一条 B ．存在且只有两条 C ．存在无数条 D ．不存在【答案】B【分析】分别过a ，b 作与它们都平行的平面，再作一个他们正中间的平面，将两条异面直线投影到中间平面上，投影直线构成的四个角的角平分线即为所求.【详解】分别过a ，做平面α，使得b α，过b 作平面β，使得a β∥，然后在这两个平行平面中间作一个平面γ，使得平面γ到平面α、平面β的距离相等，则直线,a b 在平面γ内的投影分别为,a b ''，则//,//a a b b ''，则在平面γ内两条直线,a b ''构成的四个角的角平分线即为所求直线（共两条）, 故选：B .三、解答题17．某单位有10000名职工，想通过验血的方法筛查乙肝病毒携带者．假设携带病毒的人占5%，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验10000次．统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验．如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次． (1)求按照专家提出的这种化验方法需要化验的次数并说明是否能减少化验次数； (2)若携带病毒的人只占2%，按照k 个人一组，试问k 取多少时化验次数最少？ 【答案】(1)平均需要化验4262次，能减少化验次数. (2)k 取8时化验次数最少【分析】（1）设每个人需要的化验次数为X ，结合独立重复试验概率计算公式、对立事件概率计算公式求得()E X ，从而确定正确答案.（2）假设k 个人一组，设每个人需要的化验次数为Y ，结合独立重复试验概率计算公式、对立事件概率计算公式求得()E Y ，从而确定正确答案. 【详解】（1）设每个人需要的化验次数为X ，若混合血样呈阳性，则15X =；若混合血样呈阴性，则65X =；因此，X 的分布列为510.955P X ⎛⎫== ⎪⎝⎭，5610.955P X ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()551()0.95610.950.42625E X ⎡⎤=+⨯-≈⎣⎦， 说明每5个人一组，平功每个人需要化验0.4262次；100000.4262426210000⨯=<，所以能减少化验次数.（2）假设k 个人一组，设每个人需要的化验次数为Y ，若混合血样呈阳性，则1Y k =；若混合血样呈阴性，则11Y k =+； 因此，Y 的分布列为10.98k P X k ⎛⎫== ⎪⎝⎭，1110.98kP X k ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，()()()11()0.98110.9810.98k kk E Y k k k ⎡⎤=++⨯-=+-⎣⎦， 利用计算器，对k 取1,2,3,，逐一计算110.98kk+-，发现当k 取8时，()E Y 取到最小值0.2742， 此时，10000个人大约需要化验2742次．18．现有甲、乙、丙三个人相互传接球，第一次从甲开始传球，甲随机地把球传给乙、丙中的一人，接球后视为完成第一次传接球；接球者进行第二次传球，随机地传给另外两人中的一人，接球后视为完成第二次传接球；依次类推，假设传接球无失误，设第n 次传球后，甲接到球的概率为n P ． (1)求0P ，1P ，2P 的值；(2)试用1n P -表示()*n P n N ∈，并求数列{}n P 的通项公式．【答案】(1)01P =，10P =，212P =(2)()1112n n P P -=-，1111332n n P -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭【分析】（1）直接由题意求值即可.（2）由（1）得10P =，根据*n ∈N ，2n ≥时，第n 次传给甲的事件是第n 1-次传球后，球不在甲手上并且第n 次必传给甲的事件，进而有()1112n n P P -=-，然后变形借助等比数列的定义即可求出数列{}n P 的通项公式.【详解】（1）第一次从甲开始传球，甲随机地把球传给乙、丙中的一人，则01P =，10P =， 接球者进行第二次传球，随机地传给另外两人中的一人，则212P =. 故：01P =，10P =，212P =. （2）第一次传球后，球落在乙或丙手中，则10P =，*n ∈N ，2n ≥时，第n 次传给甲的事件是第n 1-次传球后，球不在甲手上并且第n 次必传给甲的事件， 于是有()1112n n P P -=-，即1111323n n P P -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， 数列13n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为11133P -=-，公比为12-的等比数列， 则1111332n n P -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，所以1111332n n P -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．故：1111332n n P -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.19．高二A 班计划在学校即将举办的夏季游园会上为同学们提供单球冰激凌的销售服务.已知购买一圆柱形桶装冰激凌需要1300元，此桶装冰激凌桶内底面直径为25厘米，冰激凌净高20厘米.单球冰激凌的平均直径约为5厘米，一副一次性杯勺的成本约1元(其他成本忽略不计).根据前期调查，冰激凌球能全部售完.高二A 班打算将每个单球冰激凌定价为15元，你认为这样的定价是否合理？请作出必要的计算，结合计算结果阐述你的理由. 【答案】合理，理由见解析【分析】根据条件先求圆柱和单球冰激凌的体积，再计算每个单球冰激凌的成本，最后比较.【详解】2212.5203125V R h πππ==⋅⋅=圆柱，33441252.5336V r πππ==⋅=球， 每个单球冰激凌的成本价为125296130019.6731253ππ⋅+=≈(元)，定价为15元，利润率约为55%，较为合理.【点睛】本题考查几何体的实际应用问题，重点考查读题能力，抽象概括能力，属于基础题型. 20．如图，等高的正三棱锥P-ABC 与圆锥SO 的底面都在平面M 上，且圆O 过点A ，又圆O 的直径AD ⊥BC ，垂足为E ，设圆锥SO 的底面半径为1，圆锥体积为33π．(1)求圆锥的侧面积；(2)求异面直线AB 与SD 所成角的大小；(3)若平行于平面M 的一个平面N 3P A 与底面ABC 所成角的大小．【答案】(1)2π；(2)3(3)3arctan 2 【分析】（1）利用圆锥体积可求得圆锥的高，进而得到母线长，根据圆锥侧面积公式可求得结果；（2）作//DF AB 交圆锥底面圆于点F ，则SDF ∠即为异面直线AB 与SD 所成角，在SDF ∆中，求解出三边长，利用余弦定理可求得cos SDF ∠，从而得到结果；（3）根据截面面积之比可得底面积之比，求得ABC S ∆，进而求得等边三角形的边长，利用正棱锥的特点可知若Q 为ABC ∆的中心，则PAQ ∠即为侧棱PA 与底面ABC 所成角，在Rt PAQ ∆中利用正切值求得结果.【详解】（1）设圆锥高为h ，母线长为l由圆锥体积得：21313h π⨯⨯= 3h ∴=132l ∴=+= ∴圆锥的侧面积：2S π=（2）作//DF AB 交圆锥底面圆于点F ，连接AF ，SF则SDF ∠即为异面直线AB 与SD 所成角 由题意知：126ADF EAB CAB π∠=∠=∠=，AF DF ⊥ 33DF AD ∴==2SD SF == 2222323cos 232SDF +-∴∠==⨯⨯ 3SDF ∴∠= 即异面直线AB 与SD 所成角为：3（3）平行于平面M 的一个平面N 33ABC O S S ∆∴=3ABC S ∆∴=又21sin 323ABC S AB π∆=⨯=AB 2∴=，即ABC ∆为边长为2的等边三角形 设Q 为ABC ∆的中心，连接PQ ，则22234133AQ AE ==-三棱锥-P ABC 为正三棱锥 PQ ∴⊥平面ABCPAQ ∴∠即为侧棱PA 与底面ABC 所成角33tan 223PQ PAQ AQ ∴∠=== 3arctan 2PAQ ∴∠= 即侧棱PA 与底面ABC 所成角为：3arctan 2【点睛】本题考查圆锥侧面积的求解、异面直线所成角的求解、直线与平面所成角的求解.解决立体几何中的角度问题的关键是能够通过平移找到异面直线所成角、通过找到直线在平面内的投影，得到线面角.21．同底的两个正三棱锥内接于半径为R 的球，它们的侧面与底面所成的角分别为12,.αα求：（1）侧面积的比；（2）体积的比；（3）角12αα+的最大值．【答案】（1）21cos :cos αα（2）12tan :tan αα（3）4arctan 3π- 【分析】分别计算出其侧面积，再计算比值．分别计算出其侧体积，再计算比值．根据tan x 在(0,)2π 单调递增，通过计算12tan()αα+的最大值，求出角12αα+的最大值． 【详解】解：（1）设O 为球心，1O 为正三棱锥底面ABC 所在圆的圆心，两个三棱锥的顶点分别为P ,Q ,取BC 的中点D ,则,,PD BC AD BC ⊥⊥∴∠1PDO 是侧面与底面所成二面角的平面角， ∴∠1PDO 1α=，同理1QDO ∠=2α．11,cos DO PD α∴=12cos DO QD α=， 11133.22cos P ABC DO S BC PD BC α-∴=⋅⋅=⋅侧 1213322cos Q ABC DO S BC QD BC α-=⋅⋅=⋅侧． P ABC S -∴侧:Q ABC S -侧=21cos :cos αα．(2)111112tan ,tan PO DO QO DO αα=⋅=⋅,这两个三棱锥的底都是三角形ABC ∆，1112::tan :tan .P ABC Q ABC V V PO QO αα--∴==（3）设ABC ∆边长为a ,1OO h =,则1111tan ,PO R h DO DO α-== 1211tan ,QO R h DO DO α+==而111,33DO AD ===12.3AO AD ==222211,3R h AO a -== ()121122221212112tan tan 2tan 1tan tan 13RDO R R h a DO DO DO αααααα+∴+===----0.=< 12,2πααπ∴<+<当平面ABC 通过球心O 时，aR 时，12tan()αα+取最大值43-，这时12αα+也最大，最大值为4arctan 3π-. 【点睛】用已知数量表示所求量，再求比值．求角的最大值，可以根据单调性通过求其三角函数值的最值来求．。
2021-2022学年上海市金山区高二年级上册学期12月月考数学试题【含答案】
2021-2022学年上海市金山区高二上学期12月月考数学试题一、填空题1．半径为2的球的体积为__．【答案】.32π3【分析】由球体体积公式可得答案.【详解】.3432ππ33V R ==故答案为：32π32．直线的倾斜角是______．10x y +-=【答案】34π【分析】根据直线方程可得斜率，进而可得倾斜角【详解】解：由已知，则直线斜率，1y x =-+1k =-又倾斜角的范围为.[)0,p 故直线的倾斜角是.10x y +-=34π故答案为：.34π3．已知幂函数的图象过点，则实数__．k y x =12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭k =【答案】1-【分析】将点代入求解即可.12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭k y x =【详解】解：将点代入，12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭k y x =可得，122k=即有，122k -=解得.1k =-故答案为：-14．已知，，则直线的两点式方程为__．(1,2)A (1,1)B -AB【答案】121(1)21x y --=---【分析】直接由直线的两点式方程公式得出答案.【详解】当直线过两点，时，其两点式方程为，()11,x y ()22,x y 111212x x y y x x y y --=--则直线的两点式方程为，AB 121(1)21x y --=---故答案为：.121(1)21x y --=---5．正方体的棱长为1，､分别在线段与上，的最小值为______.1111ABCD A B C D -M N 11A C BD MN 【答案】1【分析】方法一，该题可以结合正方体的结构特征，将其转化为两异面直线的距离来求；方法二，可设出变量，构建相应的函数，利用函数的最值求解；方法三，建立空间直角坐标系，利用点的坐标以及距离公式表示出目标函数，然后利用函数方法求解最值.【详解】方法一(定义转化法)：因为直线与是异面直线，所以当是两直线的共垂线段11A C BD MN 时，取得最小值.取的中点，的中点.则线段就是两异面直线与的共垂MN 11A C P BD Q PQ 11A C BD 线段.下证明之.在矩形中，为中位线，所以，11BDD B PQ 1//PQ BB 又因为平面，所以平面1BB ⊥ABCD PQ ⊥ABCD又因为平面，BD ⊆ABCD 所以.PQ BD ⊥同理可证，11PQ A C ⊥而，，PQ BD Q ⋂=11PQ A C P ⋂=所以线段就是两异面直线与的共垂线段，且.PQ 11A C BD 1PQ =由异面直线公垂线段的定义可得，故的最小值为1.1MN PQ ≥=MN 方法二：(参数法)如图，取的中点，的中点.则线段就是两异面直线与的共11A C P BD Q PQ 11A C BD 垂线段.由正方体的棱长为1可得.1PQ =连结，则，所以为两异面直线与所成角.AC 11//AC A C BQC ∠11A C BD 在正方形中，，所以.ABCD AC BD ⊥90BQC ∠=︒过点作，垂足为，连结，则，且.M MH AC ⊥H NH //MH PQ 1MH PQ ==设，，则.PM m =QN t =QH m =在中，，Rt QNH △22222HN QN QH n m =+=+在中，.Rt MHN 2222221MN MH HN n m =+=++显然，当时，取得最小值1，即的最小值为1.0m n ==2MN MN 方法三：(向量法)如图，以为坐标原点，分别以射线､､为､､轴建立空间直角坐D DA DC 1DD x y z 标系.设，.则，即；DN m =1A M n =()cos 45,sin 45,0N m m ︒︒,0N ⎫⎪⎪⎭，即.()1cos 45,sin 45,1M n n -︒︒1,1M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭所以())222222112MN m n m n ⎤⎛⎫⎫=-++=+++⎥ ⎪⎪ ⎪⎪⎥⎝⎭⎭⎦，221m n ⎛⎛=++ ⎝⎝故当取得最小值1，即的最小值为1.m n=2MN MN 故答案为：1.6．如图，圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则该圆锥的母线与底面所成的角的大小是______________．【答案】【详解】试题分析：根据圆锥的侧面展开扇形的周长等于圆锥的底面周长，分别设出圆锥的母线长和圆锥的底面半径，利用上述关系得到关系式求出两者的比值即可，然后得到其正弦值，求得夹角．设圆锥的母线长为R ，底面半径为r ，∵圆锥的侧面展开图是一个半圆，∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：πR ，∵圆锥的侧面展开扇形的周长等于圆锥的底面周长，∵πR=2πr ，∴R ：r=2：1，所以母线与底面夹角为．60︒【解析】圆锥的计算．7．从甲､乙､丙､丁4名同学中选2名同学参加志愿者服务，则甲､乙两人都没有被选到的概率为___________(用数字作答).【答案】16【解析】先计算出从4名同学中选2名同学的情况，再计算出甲､乙两人都没有被选到的情况，即可求出概率.【详解】解：从4名同学中选2名同学共有种,2443621C ⨯==⨯甲､乙两人都没有被选到有种，1 甲､乙两人都没有被选到的概率为.∴168．已知直线，，平面，，满足且，则“”是“”的___________条a b αβb αβ= αβ⊥a b ⊥a β⊥件.【答案】必要非充分条件【分析】根据线面垂直的性质以及充分条件和必要条件的定义即可求解.【详解】如图长方体中，满足且， b αβ= αβ⊥取，满足，则，AB a =a b ⊥ a β⊂取，满足，则，AF a =a b ⊥ a A β⋂=取，满足，则，EF a =a b ⊥ //a β所以由“”得不出“，故充分性不成立，a b ⊥ a β⊥因为，所以，若，由线面垂直的性质可得，故必要性成立，b αβ= b β⊂a β⊥a b ⊥ 故答案为：必要非充分条件.9．一个圆锥轴截面的顶角为，母线为2，过顶点作圆锥的截面中，最大截面面积为__．2π3【答案】2【分析】截面三角形为等腰直角三角形时，截面面积最大，进而计算面积即可.【详解】解：由题知，过圆锥顶点的截面中，截面三角形为等腰直角三角形(直角边为母线）时，截面面积最大，所以，最大截面面积为．12222S =⨯⨯=故答案为：210．正四棱锥P －ABCD 的所有棱长均相等，E 是PC 的中点，那么异面直线BE 与PA 所成角的余弦值为______.【分析】连接AC 交BD 于O 点，连接OE ，则OE PA ，所以就是异面直线BE 与PA 所成//OEB ∠的角，在直角三角形EOB 中求解即可.【详解】如下图：连接AC 交BD 于O 点，连接OE ，则OE PA ，所以就是异面直线BE 与PA 所成的角，连//OEB ∠接，因为面ABCD ，所以，又因为，，所以面PO PO ⊥PO DB ⊥AC DB ⊥AC PO O ⊥=BD ⊥，所以，所以直在角三角形EOB 中，设，则，POC BD OE ⊥PA a=,2a OE BE ==cos OE OEB BE ∠==11．若一个三棱锥中，有一条棱长为，其余棱长均为1，则其体积取得最大值时的值为a ()F a a__．【分析】方法一由题意画出图，根据图由三棱锥的体积公式换元由二次函数求得最值时的值.a 方法二由三棱锥的体积可知，底面积一定，要使体积最大，只需高最大，即可得出垂直时最大，再由勾股定理即可求出的值.a 【详解】方法一：由题意画出棱锥的图形，，；1AB BC CD BD AC =====AD a =取、的中点分别为、，所以平面垂直，BC AD E F AED BC ，12AED S AD EF ∆=⋅E F =所以1111()133212AED F a S BC a ∆=⋅⋅=⨯⨯==令，，关于的二次函数，2t a =24233y a a tt =-=-t 当，即取得最大值，故32t =a =()F a a =方法二：由题意画出棱锥的图形，，；1AB BC CD BD AC =====AD a =要使三棱锥的体积最大，只需点到底面的距离最大，此时面面，取的A BCD -A ABC ⊥BCD BC 中点分别为，连接E ,AE ED.AD ===a =12．在棱长为3的正方体中，分别是棱、的中点，点在四边形1111ABCD A B C D -,E F BC 1CC G 内运动（含边界），若直线与平面无交点，则线段的取值范围是__．11BCC B 1A G AEF CG 【答案】【分析】作出辅助线，证明平面平面，故点在线段上运动（含端点位置），当1//A PQ AEF G PQ 与或重合时，最大，当时，最小，由勾股定理求出最值，得到取值范围.G Q P CG CG PQ ⊥CG 【详解】正方体的体积为27，所以正方体的棱长为3，1111ABCD A B C D -分別取线段、的中点、，连接、、，11B C 1B B P Q 1A P 1A Q PQ 分别是棱、的中点，,E F BC 1CC则，又平面平面，//PQ EF PQ ⊂/,AEF EF ⊂AEF 所以平面，，//PQ AEF 1//A P AE 又平面平面，所以平面，1A P ⊂/,AEF AE ⊂AEF 1//A P AEF 又平面，11,,PQ A P P PQ A P =⊂ 1A PQ 所以平面平面，故点在线段上运动（含端点位置），1//A PQ AEF G PQ 当与或重合时，最大，G Q P CG 此时，CG CQ ====当时，最小，此时CG PQ ⊥CG 13344CG CB ===所以的取值范围为.CG故答案为：二、单选题13．下列命题中，正确的是（ ）A ．三点确定一个平面B ．垂直于同一直线的两条直线平行C ．若直线与平面上的无数条直线都垂直，则l αl α⊥D ．若a 、b 、c 是三条直线，且与c 都相交，则直线a 、b 、c 在同一平面上a b ∥【答案】D【分析】利用空间点、线、面位置关系直接判断.【详解】A.不共线的三点确定一个平面，故A 错误；B.由墙角模型，显然B 错误；C.根据线面垂直的判定定理，若直线与平面内的两条相交直线垂直，则直线与平面垂直，若l αl α直线与平面内的无数条平行直线垂直，则直线与平面不一定垂直，故C 错误；l αl αD.因为，所以确定唯一一个平面，又与都相交，故直线共面，故D 正确；//a b a b 、c a b 、a b c 、、故选：D.14．在正方体中，下列四个结论中错误的是（ ）1111ABCD A B C D -A ．直线与直线所成的角为B ．直线与平面所成的角为1B C AC 60︒1B C 1AD C 60︒C ．直线与直线所成的角为D ．直线与直线所成的角为1B C 1AD 90︒1B C AB 90︒【答案】B【解析】连接，求出可判断选项A ；连接找出点在平面的投影O ，设直线1AB 1ACB ∠11B D 1B 1AD C ⊥与平面所成的角为θ，由可判断选项B ；利用平移法找出选项C 和D 涉及的1B C 1AD C 1cos OCB C θ=异面直线夹角，再进行相关运算，即可得解．【详解】连接∵为等边三角形，∴，即直线与所成的角为60°，故选1AB 1AB C 160ACB ∠=︒1B C AC 项A 正确；连接，∵，∴四面体是正四面体，11B D 1111AB B C CD AD ===11AB CD∴点在平面上的投影为的中心，设为点O ，连接，，则，1B 1AD C 1AD C 1B O OC OC =设直线与平面所成的角为θ，1B C 1AD C则，故选项B 错误；11cos 2OC B C θ===≠连接，∵，且，∴直线与所成的角为90°，故选项C 正确；1BC 11AD BC 11B C BC ⊥1B C 1AD ∵平面，∴，即直线与所成的角为90°，故选项D 正确．AB ⊥11BCC B 1AB B C ⊥1B C AB 故选：B ．15．已知函数的图象与直线的三个相邻交点的横()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>()0y b b A =<<坐标分别是1，2，4，下列区间是函数的增区间的是（ ）()f x A ．B ．C ．D ．[]0,33,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]3,693,2⎡⎤⎢⎣⎦【答案】D【分析】首先根据已知条件得到，再求其单调增区间即可.()2cos3f x A x π=-【详解】由题知函数的周期，解得．2413T πω==-=23πω=由知，当时，函数取得最大值，0b A <<12322x +==∴，解得，232322k ππϕπ⨯+=+22k πϕπ=-k ∈Z ∴，()22sin +2cos 323f x A x k A xππππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭令，解得，，222,3k x k k ππππ≤≤+∈Z3332k x k ≤≤+k ∈Z ∴当时，的增区间是．1k =()f x 93,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：D16．定义域在的函数图像的两个端点为A 、B ，向量，设[],a b ()y f x =()1ON OA OB λλ=+-是图像上任意一点，其中，，若不等式恒成立，则(),M x y ()f x ()1x a bλλ=+-[]0,1λ∈MN k≤称函数在上满足“k 范围线性近似”，其中最小的正实数k 称为该函数的线性近似阈值.下()f x [],a b 列定义在上的函数中，线性近似阈值最小的是（ ）[]1,2A ．B ．C ．D ．2y x=2y x=1y x x=-sin3y xπ=【答案】C【分析】由题意可得点的横坐标相等，点在线段上，然后可得，然后,M N N AB M NMN y y =-每个选项逐一求解即可.【详解】由题意可得点的横坐标相等，点在线段上，所以,M N N AB M NMN y y =-对于A ，因为，所以，直线的方程为2y x =()()1,2,2,1A B AB 3y x =-+所以，因为，(),3N x x -+2,M x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，当且仅当22333M N MN y y x x x x =-=-+-=--≤-x所以；3k ≥-3-对于B ，因为，所以，直线的方程为2y x =()()1,1,2,4A B AB 32y x =-所以，因为，(),32N x x -()2,M x x 所以，当且仅当时等号成立21324M N MN y y x x =-=--≤32x =所以，所以该函数的线性近似阈值为；14k ≥14对于C ，由函数，得，，1y x x =-(1,0)A 3(2,)2B 直线方程为∴AB 3(1)2y x =-，线性近似阀值为()1331312222x MN x x x x ⎛⎫∴=---=-+≤ ⎪⎝⎭32对于D ，由函数可得，，方程为sin3y xπ=A B AB y =由三角函数图象与性质可知1MN ≤1因为133142>->>1y x x =-故选：C三、解答题17．如图，直三棱柱中，，，，点为线段的中111ABC A B C -1AB AC ==π2BAC ∠=14AA =M 1AA 点．(1)求三棱锥的体积；1A ABC -(2)求异面直线与所成角的大小．BM 11B C 【答案】(1)23V =(2)【分析】（1）根据求解.113ABC V S AA =⋅ (2) 或其补角即为异面直线与所成的角，根据余弦定理MBC ∠BM 11B C.222cos 2BM BC CM MBC BM BC +-∠==⋅【详解】（1）因为，，所以，1AB AC ==π2BAC ∠=111122ABC S =⨯⨯=又因为直三棱柱中，所以平面111ABC A B C -1A A ⊥ABC即是三棱锥的高，1A A 1A ABC -则三棱锥的体积为1A ABC -1111243323ABC V S AA =⋅=⨯⨯= （2）因为，所以或其补角即为异面直线与所成的角，11//BC B C MBC ∠BM 11B C在中，，MBC BM CM ==BC =由余弦定理得，222cos 2BM BC CM MBC BM BC +-∠==⋅所以MBC ∠=故异面直线与所成角的大小为BM 11B C 18．已知两条直线，，，判断两直线的位置关系．1:1l mx y m +=+2:2l x my m +=m R ∈【答案】答案见解析.【分析】以是否为0判断两条直线相交或不相交，注意考虑垂直的情况；当时，判21m -210m -=断两直线平行或重合.【详解】令，解得，所以当时，与相交；210m -≠1m ≠±1m ≠±1l 2l 当时，与互相垂直；0m =1l 2l 令，解得；210m -=1m =±当时，的方程为，的方程为，与重合；1m =1l 2x y +=2l 2x y +=1l 2l 当时，的方程为，的方程为，此时；1m =-1l0x y -=2l 2x y -=-12l l //所以当时，与相交，其中时，与互相垂直；当时，与重合；当1m ≠±1l 2l 0m =1l 2l 1m =1l 2l 时，．1m =-12l l //19．如图，“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜，其反射面的形状为球冠，球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为球冠的底，与截面垂直的球体直径被截得的部分为球冠的高，设球冠底的半径为r ，球冠的高为h ，球冠底面圆周长为C ．(1)求球冠所在球的半径R (结果用h ､r 表示)；(2)已知球冠表面积公式为，当，时，求的值及球冠所在球的表面2S Rh π=65000S π=500C π=rR 积.【答案】(1)222h r R h +=(2)；5131690000π【分析】(1)根据给定信息结合球的截面小圆性质，再借助勾股定理列式计算即得.(2)根据给定条件结合(1)的结论求出球半径R 即可计算作答.【详解】（1）如图，点O 是球冠所在球面的球心，点O 1是球冠底面圆圆心，点A 是球冠底面圆周上一点，线段O 1B 是球冠的高，依题意，OB 垂直于球冠底面，显然O 1B =h ，OO 1=R -h ，O 1A =r ，在中，，即，整理化简得：，1Rt OO A △22211OA OO O A =+222()R R h r =-+222h r R h +=所以球冠所在球的半径R 有：.222h r R h +=（2）因球冠底面圆周长，则，500C π=2502Cr π==又球冠表面积公式为，且，则，由(1)知，2S Rh π=65000S π=325002Sh R R π==222h r R h +=即，解得，2223250065000250R =+650R =于是得，球O 的表面积为，250565013r R ==22446501690000R πππ=⨯=所以的值是，球冠所在球的表面积是.rR 5131690000π20．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面是矩形，且AD ＝2，AB ＝PA ＝1，平面PA ⊥ABCD ，E ，F 分别是线段AB ，BC 的中点．(1)证明：；PF FD ⊥(2)求四棱锥P ﹣ABCD 的表面积；(3)求直线PE 与平面PFD 所成角的大小．【答案】(1)证明见解析(3)【分析】（1）利用勾股定理证得，再由线面垂直证得，由此证得得平面DF AF ⊥DF PA ⊥DF ⊥PAF ，进一步得到；PF FD ⊥（2）利用线面垂直的性质证得，，，从而分别求出各面面积，PB BC ⊥PD CD ⊥,PA AB PA AD ⊥⊥由此得到四棱锥P ﹣ABCD 的表面积；（3）连接EP 、ED 、EF ，由等体积法求点E 到平面PFD 的距离，即可求直线PE 与平面PFD 所成角的正弦值，则所求得解．【详解】（1）连结AF ，则在中，，同理：DF ，又AD ＝2，Rt ABF AF ==∴DF 2+AF 2＝AD 2，则，DF AF ⊥∵底面ABCD ，面ABCD ，∴，PA ⊥DF ⊂DF PA ⊥又PA ∩AF ＝A ，平面PAF ，∴平面PAF ，,PA AF ⊂DF ⊥而平面PAF ，则；PF ⊂PF FD ⊥ .（2）已知底面ABCD ，所以，PA ⊥PA BC ⊥因为在矩形中，，ABCD AB BC ⊥又面，所以面，,,PA AB A PA AB ⋂=⊂PAB BC ⊥PAB 又面，所以，PB ⊂PAB PB BC ⊥同理：，又，PD CD ⊥,PA AB PA AD ⊥⊥因此，，，1122PAB S PA AB =⋅= 112PAD S PA AD =⋅= 2ABCDS AB BC =⋅=，，12PBC S PB BC BC =⋅== 12PDC S PD CD CD =⋅==∴四棱锥P ﹣ABCD 的表面积1122S =++=（3）连接EP 、ED 、EF ，∵，EFD ABCD BEF ADE CDFS S S S S =---= 111324224---=∴＝，13P EFD EFD V S PA -=⋅ 1311344⨯⨯=又，PF ==DF =PE ==设点E 到平面PFD 的距离为h ，则由VE ﹣PFD ＝VP ﹣EFD ，得，解得11113324PFD S h PF FD h ⋅=⨯⋅⋅==h =设直线PE 与平面PFD 所成角的大小为θ，则sin h PE θ==则直线PE 与平面PFD 所成角的大小为21．已知函数的定义域为，且的图像连续不间断，若函数满足：对于给定的实数()f x [0,2]()f x ()f x 且，存在，使得，则称具有性质.m 02m <<0[0,2]x m ∈-00()()f x f x m =+()f x ()P m（1）已知函数，判断是否具有性质，并说明理由；()f x =()f x 1()2P （2）求证：任取，函数，具有性质；(0,2)m ∈2()(1)f x x =-[0,2]x ∈()P m （3）已知函数，，若具有性质，求的取值范围.()sin f x x π=[0,2]x ∈()f x ()P m m 【答案】（1）具有，理由见解析；（2）证明见解析；（3）(0,1]【分析】（1）根据新定义可知，即，代入求即可进行判断；12m =001()()2f x f x =+0x （2）根据条件验证时的取值范围即可；00()()f x f x m =+m （3）考虑和两种情况，利用反证法即可求出取值范围．(0,1]m ∈(1,2)m ∈m 【详解】（1）具有性质，()f x 1(2P 设，令，则，03[0,2x ∈001()()2f x f x =+22001(1)()2x x -=-解得，又，所以具有性质；034x =33[0,]42∈()f x 1(2P （2）任取，令，则，0[0,2]x m ∈-00()()f x f x m =+2200(1)(1)x x m -=+-因为，解得，又，所以，0m ≠012m x =-+02m <<0112m<-+<当，时，，02m <<012mx =-+0(2)(2)(1)11022m m m x m --=---+=-=-+>即，即任取实数，都具有性质；0122mm<-+<-(0,2)m ∈()f x ()P m（3）若，取，则且，(0,1]m ∈012m x -=102m - 132022m mm ----=>故，0[0,2]x m ∈-又，，所以具有性质；0()sin(22m f x ππ=-00()sin()sin()()2222m m f x m f x ππππ+=+=-=()f x ()P m 假设存在使得具有性质，即存在，使得，(1,2)m ∈()f x ()P m 0[0,2]x m ∈-00()()f x f x m =+若，则，，，，00x =0(1,2)x m +∈0()0f x =0()0f x m +<00()()f x f x m ≠+若，则，进而，，，，0[0,2]x m ∈-0(,2]x m m +∈0(0,1)x ∈0(1,2]x m +∈0()0f x >0()0f x m + ，所以假设不成立，所以．00()()f x f x m =+(0,1]m ∈【点睛】本题以函数的性质新定义为背景，考查函数基本性质及函数与方程的关系，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.。
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2021年高二12月月考 数学 含答案
一、选择题(共12个小题，每小题5分，共60分)
1．命题“如果，那么”的逆否命题是 （ ）
A ．如果，那么
B ．如果，那么
C ．如果，那么
D ．如果，那么 2．已知则是的 ( )A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．已知向量的夹角为 ( )
A.0°
B.45°
C.90
D.180°
4．已知方程表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ） A ．m <2 B ．1<m <2 C ．m <－1或1<m < D ．m <－1或1<m <2
5．过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的弦，是另一焦点，若∠，则双曲线的离心率等于 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 6. 已知的值分别为与则若μλμλλ,//),2,12,6(),2,0,1(b a b a -=+= ( ) A.
B.5，2
C.
D.-5，-2
7．若 是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且，则Δ的面积为 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 8．在同一坐标系中，方程与的曲线大致是（ ）
9．已知圆锥曲线的离心率e 为方程的两根，则满足条件的圆锥曲线的条数为 ( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．已知双曲线的离心率为2,有一个焦点恰好是抛物线的焦点,则此双曲线的渐近线方程是( )
A． B． C． D．
11．椭圆上有n个不同的点:P1 ,P2 ,…,P n , 椭圆的右焦点为F，数列｛|P n F|｝是公差大于的等差数列, 则n的最大值是（）
A．198 B．199 C．200 D．201
12．若椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点分成5:3两段，则此椭圆的离心率为（）
A． B．C．D．
二、填空题(共4个小题，每小题5分，共20分)
13．“末位数字是0或5的整数能被5整除”的否定形式是;否命题是 .
14.在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，则= 。
（用表示）15．若双曲线与椭圆有相同焦点，且经过点，则双曲线的方程是____________________. 16．若P是椭圆＝1上的点，F1和F2是焦点，则k＝|PF1|·|PF2|的最大值和最小值分别是________和_________.
三、解答题(共6个小题，17题10分，18题－22题各12分，共70分)
17．设命题，命题，若“”为假命题，“”为真命题，求实数的取值范围．
18．设双曲线与直线交于两个不同的点，求双曲线的离心率的取值范围.
19．如图椭圆的上顶点为A，左顶点为B, F为右
焦点, 过F作平行与AB的直线交椭圆于C、D两点. 作平行四边形OCED, E恰在椭圆上。
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若平行四边形OCED的面积为, 求椭圆的方程.
20．已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的离心率为，为其焦点，一直线过点与椭圆相交于两点，且的最大面积为，求椭圆的方程.
21．已知圆C1的方程为(x－2)2+(y－1)2=，椭圆C2的方程为，C2的离心率为，如果C1与C2相交于A、B两点，且线段AB恰为圆C1的直径，试求：
（I）直线AB的方程；
（II）椭圆C2的方程.
22．已知焦点在轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点为圆心，1为半径的圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线对称．
（I）求双曲线C的方程；
（II）设直线与双曲线C的左支交于A，B两点，另一直线经过M（－2，0）及AB的中点，求直线在轴上的截距b的取值范围．
高二月考数学试题答案
一、CACCB ABDCA CB
二、13、末位数字是0或5的整数不能被5整除 末位数字不是0且不是5的整数不能被5整除 14、 15、
16、4 3
三、17、解：由，得，因此，或， 由，得．因此或，
因为是的必要条件，所以，
即{}
11|12
x x a x a x x x ⎧⎫<>+⊆<>⎨⎬⎩
⎭
，或，或|．因此解得．
18、解：由与相交于两个不同的点，可知方程组有两组不同的解， 消去，并整理得 解得，
而双曲线的离心率=， 从而， 故双曲线的离心率的取值范围为
19、解：(Ⅰ) ∵焦点为F(c, 0), AB 斜率为, 故CD 方程为y=(x －c). 于椭圆联立后消去y 得2x 2－2c x －b 2=0. ∵CD 的中点为G(), 点E(c, －)在椭圆上, ∴将E(c, －)代入椭圆方程并整理得2c 2=a 2, ∴e =. (Ⅱ)由(Ⅰ)知CD 的方程为y=(x －c), b =c, a =c. 与椭圆联立消去y 得2x 2－2c x －c 2=0.
∵平行四边形OCED 的面积为S=c|y C －y D |=c
=c, ∴c=, a =2, b =. 故椭圆方程为
20、解：由＝得，所以椭圆方程设为 设直线，由 得：
0)1(8)22(4)2(4422222222>+=+=++=∆m c m c m c c m
设，则是方程的两个根
由韦达定理得 所以2
1
224)(22212
2121++=-+=-m m c y y y y y y
＝
2222222
1
221
1122c c m m c =•≤++
+ 当且仅当时，即轴时取等号 所以，所求椭圆方程为 21、（I ）由e=，得=，a 2=2c 2,b 2=c 2。
设椭圆方程为+=1。
又设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)。
由圆心为(2,1)，得x 1+x 2=4,y 1+y 2=2。
又+=1，+=1，两式相减，得 +=0。
∴
∴直线AB 的方程为y －1= －(x －2)，即y= －x +3。
（II ）将y= －x +3代入+=1，得3x 2－12x +18－2b 2=0 又直线AB 与椭圆C 2相交，∴Δ=24b 2－72>0。
由|AB |=|x 1－x 2|==,得·=。
解得 b 2
=8，故所求椭圆方程为+=1 22、（1）设双曲线C 的渐近线方程为y=kx ，则kx-y=0
∵该直线与圆相切，∴双曲线C 的两条渐近线方程为y=±x ． 故设双曲线C 的方程为．
又双曲线C 的一个焦点为，∴，．
∴双曲线C 的方程为:. （2）由得．令
∵直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f(x)=0在上有两个不等实根．
因此2
2
02012
01m
m m ⎧
⎪∆>⎪⎪<⎨-⎪-⎪>⎪-⎩，解得又AB 中点为，∴直线l 的方程为：． 令x =0，得． ∵，∴，∴。