初中数学论文巧用坐标系解几何题

巧用坐标系解几何题

在新的初中数学课程标准中,数形结合作为一种重要的思想方法,渗透在新教材中.而平面直角坐标系作为数学研究的一种重要工具,它更是数形结合思想的重要体现.可是在新教材中,坐标系侧重于数结合形解决代数问题,而形结合数解决几何题则涉及较少.本文将从形结合数解决几何题的角度作一些探索. 例1: 如图,已知正方形ABCD 的边长为5,E,F 分别是边CD,AD 的中点,BE,CF 交于点P. 求AP 的长。

分析;从几何解题的角度出发,此题有多种解法.

解法一;猜想AP=AB=5，并加以证明.先证△BCE ≌△CDF ,得CF ⊥BE.延长CF,BA 交于点Q.证△AFQ ≌△DFC

得AQ=CD=AB.利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得AP=AB=5.

解法二;同解法一证得CF ⊥BE,平移CF 至AG 交BE 于H,利用三角形全等或相似证得G 为BC 中点,从而证得H 为BP 中点,CF ⊥BE ，即AH 为BP 的中垂线,得AP=AB=5

以上两种解法先猜后证,大大简化了计算过程,但有两个难点:一要先猜,二证法繁复,而且都需要添加辅助线,对几何定理的运用要求较高. 解法三;通过几何计算的方法解直角三角形.同前两种解法证得CF ⊥BE,过P 作PG ⊥AB 于G,PH ⊥BC 于H,利用 △BCP ∽△

A

B D

E

F

P

Q A B

C

D E

F P

A

B

C

D E

F

P G H

A

B

C

D E

F

P H

G

BEC ， 求得CP ∶BP=1∶2,BC=5,解Rt △BCP ， 得CP=5，BP=52再利用相似解Rt △PBH ，得PH=2,BH=PG=4,则AG=3，PG=4，得AP=5

这种解法既有证明又有计算，对解题能力同样有较高的要求。 下面我们来探讨使用坐标系解题的方法。

解：以BC ，AB 所在直线建立坐标系。则由题意得C （5，0），F （2.5，5），E （5，2.5）求得直线BE 解析式为x y 2

1

=，直线CF 解析式为102+-=x y ，

则P 点坐标由⎪⎩⎪⎨⎧

+-==10

22

1x y x

y 的解决定，解方程组得P （4，2）。∵A （0，5）∴5)25(422=-+=AP ，由两点间距离公式得AP=5。

这种解法简洁易懂，通过坐标系这个数形结合的媒介，把较复杂的几何问题转化成了简单的一次函数问题，充分体现了数形结合思想方法的优越性。 变式1：如图，正方形ABCD 中，AF ：DF=1：3，CE ：DE=1 ：2求CP ：FP

变式2：如图，矩形ABCD 中，BC=2AB ，E ，F 分别是CD ，AD 的中点，求CP ：FP 变式1解；设正方形边长为单位1，以BC ，AB 所在直线建立坐标系。由题意得E （1，1/3），C （1，0），F （1/4，1），则直线BE 解析式为x y 3

1

=

，直线CF 解析式为3

434+-=x y

解方程组⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧+-==34343

1x y x y 得P （154,54），过P 作BC 的垂

A

B

C

D E F

P

A

B

C D

E

F

P

A

N

线交AD 。BC 于M ，N 。则CP ： FP=NP ：MP=11:4)15

4

1(154=- 同理可解变式2，CP ：FP=2 ：3

例2，如图正方形ABCD 中，E 是BC 中点，EF ⊥AE 交∠DCP 的角平分线于点F ， 求证：△CFD 为等腰直角三角形。

证明：设正方形边长为2，则E （1，0），A （0，2），C

（2，0），D （2，2），由△ABE ∽△ECG ，得G （2，)2

1

∴直线EG 解析式为：2

1

21-=x y ，直线CF 解析式为

2-=x y ；

∴F （3，1） ∴CF=FD =2

∵∠DCF=45度 ∴△CDF 是等腰直角三角形。

例3（2004全国初中数学联赛初试题）如图正方形ABCD 与正方形CEFG 边长分别

为2，3，M 是AF 中点，则MG=。 解：如图建立坐标系，由题意得A （-2，

2），F （3，3），则M （2

5

,21），G （0，3）

∴22

)325()21(22=-+=MG

通过以上几个例题，我们看到，在固定

形状和大小的几何图形中进行，证明或计算，利用平面坐标系可以充分体现利用数形结合思想的解题的优越性，使学生加深对平面直角坐标系的理解，增强学习数学的兴趣，同时也为学生以后更好地学习解析打下基础。

P

C E

y