中考数学_数形结合专题
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第九讲数形结合思想
【中考热点分析】
数形结合思想是数学中重要的思想方法,它根据数学问题中的条件和结论之间的在联系,既分析其数量关系,又揭示其几何意义,使数量关系和几何图形巧妙的结合起来,并充分利用这种结合,探求解决问题的思路,使问题得以解决的思考方法。几何图形的形象直观,便于理解;代数方法的一般性,解题过程的操作性强,便于把握。 【经典考题讲练】
例1.(2015)如图,已知直线3
34
y x =-
+分别交x 轴、y 轴于点A 、B ,P 是抛物线21
252y x x =-++的一个动点,其横坐标为a ,过点P 且平行于y 轴的直线交直线
3
34
y x =-+于点Q ,则当PQ =BQ 时,a 的值是 .
例2.(2014•)已知平面直角坐标系中两定点A (-1,0),B (4,0),抛物线()过点A 、
B ,顶点为
C .点P (m ,n )(n <0)为抛物线上一点.
(1)求抛物线的解析式与顶点C 的坐标. (2)当∠APB 为钝角时,求m 的取值围.
(3)若,当∠APB 为直角时,将该抛物线向左或向右平移t ()个单位,点P 、C 移动后对应的点分别记为、,是否存在t ,使得首尾依次连接A 、B 、、所构成的多边形的周长最短?若存在,求t 值并说明抛物线平移的方向;若不存在,请说明理由.
解析:(1)待定系数法求解析式即可,求得解析式后转换成顶点式即可.
(2)因为AB 为直径,所以当抛物线上的点P 在⊙C 的部时,满足∠APB 为钝角,所以-1<m <0,或3<m <4.
(3)左右平移时,使A ′D+DB ″最短即可,那么作出点C ′关于x 轴对称点的坐标为C ″,得到直线P ″C ″的解析式,然后把A 点的坐标代入即可. 答案:(1)解:依题意把的坐标代入得: ;解得: 抛物线解析式为
顶点横坐标,将代入抛物线得
(2)如图,当时,设,
则
过作直线轴,
(注意用整体代入法)
解得
,
当在之间时,
或时,为钝角.
(3)依题意,且
设移动(向右,向左)
连接
则
又的长度不变
四边形周长最小,只需最小即可
将沿轴向右平移5各单位到处
沿轴对称为
∴当且仅当、B、三点共线时,最小,且最小为,此时
,设过的直线为,代入
∴即
将代入,得:,解得:
∴当,P、C向左移动单位时,此时四边形ABP’C’周长最小。
例3.(2012)如图,A E切⊙O于点E,A T交⊙O于点M,N,线段O E交A T 于点C,O B⊥A T于点B,已知∠E A T=30°,,.(1)求∠C O B的度数;(2)求⊙O的半径R;(3)点F在⊙O上(是劣弧),且E F=5,把△O B C经过平移、旋转和相似变换后,使它的两个顶点分别与点E,F重合.在E F的同一侧,这样的三角形共有多少个?你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗?请在图中画出这个三角形,并求出这个三角形与△O B C的周长之比.
解:(1)∵AE切⊙O于点E,∴OE⊥AE,
∵OB⊥AT,∴在△CAE和△COB中,∠AEC=∠CBO=90°,
而∠BCO=∠ACE,∴∠COB=∠A=30°.(3分)
图(1)
(2)在Rt△ACE中,AE=3,∠A=30°,
∴EC=AE·tan30°=3.
如图(1),连接OM,
在Rt△MOB中,OM=R,MB==,
∴OB==.
在Rt△COB中,∠COB=30°,
∴OC=.
∵OC+EC=R,∴·+3=R
整理得R2+18R-115=0,即(R+23)(R-5)=0,
∴R=-23(不符合题意,舍去),或R=5,∴R=5.(8分)
(3)在EF的同一侧,满足题意的三角形共有6个,如图(2)(3)(4),每个图有2个满足题意的三角形.
能找出另一个顶点也在⊙O上的三角形,如图(1),延长EO交⊙O于D,连接DF,则△DFE 为符合条件的三角形.
图(2) 图(3) 图(4)
由题意得,△DFE∽△OBC.
由(2)得,DE=2R=10,OC==2,∴===5.(14分)
【解答策略提炼】
解题策略,数形结合思想包含“以形助教”和“以数助形”两个方面,即用数形结合思想解题可分两类:一是依形判教,用形解决数的问题,常见于借助数轴、函数图像、几何图形来求解代数问题;二十就数论形,用数解决形的问题,常见于运用恒等变形、建立方程(组)、面积转换等求解几何问题。
【专项达标训练】
一、填空题
1.如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AD=AB=6,BC=14,点M是线段BC上一定点,且MC=8,动点P从C点出发沿C→D→A→B的路线运动,运动到点B停止,在点P的运动过程中,使△PMC为等腰三角形的点P有()个。
8.(2015•)如图,在平面直角坐标系xOy 中,直线y=x+2与x 轴交于点A ,与y 轴交于点C .抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴是x=﹣且经过A 、C 两点,与x 轴的另一交点为点B . (1)①直接写出点B 的坐标;②求抛物线解析式.
(2)若点P 为直线AC 上方的抛物线上的一点,连接PA ,PC .求△PAC 的面积的最大值,并求出此时点P 的坐标.
(3)抛物线上是否存在点M ,过点M 作MN 垂直x 轴于点N ,使得以点A 、M 、N 为顶点的三角形与△ABC 相似?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.
【基础重点轮动】 选择题 1.(-
2
1)-1+(π-3)0
+√(-2)2的值为 ( ) A.-1 B.-3 C.1 D.0