接收函数法基本原理

深部速度结构反演的接收函数法
3.1远震P 波波形接收函数的求取方法
接收函数法是利用远震P 波波形的单台记录来反演台站下方一维S 波速度结构的波形反演方法。

远震P 波波形含有关于震源时间函数、源区介质结构、上地幔传播路径以及接收区介质结构的丰富信息。

远震P 波波形与这些影响机制的关系可表示成：
)(*)(*)(*)(*)()(t I t M t M t M t S t D R Ray S = （6） 其中：)(t D 为所记录的远震P 波波形数据； )(t S 为震源时间函数； )(t M S 为近源介质结
构响应；)(t M Ray 为P 波在地幔中传播的透射响应；)(t M R 为台站下方接收介质的响应；)(t I 为仪器响应。

在以上因素中，除了仪器响应外，其它因素都是难以一一加以确定的。

而只有台站下方介质的响应才是我们所感兴趣的、可用来反演台站下方地壳、上地幔速度结构的波形信息。

因此要有一种方法将接收介质的响应从整个P 波波形中分离出来，而接收函数法就是这样一种行之有效的方法。

Langston(1979)提出用震源等效化方法来消除有效震源时间函数对远震P 波波形的影响，得到了所谓的接收函数。

他认为从一系列水平分层或倾斜分层介质底部入射的平面P 波产生的地表位移响应在时间域可表示为：
⎪⎩⎪⎨⎧===)(*)(*)()()(*)(*)()()(*)(*)()(t E t S t I t D t E t S t I t D t E t S t I t D T T
R R V V （7）
其中，)(t S 代表入射平面波的有效震源时间函数，)(t I 代表仪器的脉冲响应，)(t E V 、)(t E R 、)(t E T 分别代表介质结构脉冲响应的垂直分量、径向分量和切向分量。

对于许许多多波形简单的远震事件的观测表明，深源远震地表位移的垂直分量表现为尖脉冲的时间函数与仪器响应的褶积，紧随其后的续至震相非常小（Burdick and Helmberger,1974）。

理论计算也表明，即使地壳内存在角度适中的强速度界面，陡角度入射P 波所产生的转换波及地壳内部的鸣震震相的垂直分量也是非常小的（Burdick and Langston,1977）。

因此，可以认为介质结构响应的垂直分量近似为Dirac 函数，即：
)()(t t E V δ≈ （8）
显然在（8）的假设条件下，地表位移的垂直分量可作为与接收介质响应无关的远震P 波波形的影响因素， 也就是说，地表位移的垂直分量可以近似为仪器响应和有效震源时间函数
的褶积：
)()(*)(t D t S t I V = （9）
如果三分量地震仪的脉冲响应都一致的话，那么用)(t D V 对)(t D R 、)(t D T 分别作反褶积处理就可以得到)(t E R 、)(t E T 。

反褶积在频率域可表示成：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧ωω≈ωωω=ωωω≈ωωω=ω)
()()()()()()()()()()()(V T T T V R R R D D S I D E D D S I D E （10） 将)(ωR E 、)(ωT E 分别反变换回时间域，就可得到介质结构响应的径向分量)(t E R 和切向分量)(t E T ，也就是所谓的径向接收函数和切向接收函数。

由于实际地震资料是有限带宽的， 且包含随机噪声，直接用（10）在频率域作除法运算往往是不稳定的。

为了确保频率域反褶积的稳定性，常采用Helmnerger and Wiggins(1971)提出的频率域反褶积稳定算法。

为了克服频率域反褶积的固有缺点，需要发展数据长度和滤波因子长度灵活可变的时间域反褶积方法，以获得稳定而精确的接收函数。

Wiener 滤波反褶积以远震P 波波形的垂直分量作为输入，以接收函数作为滤波因子，以远震P 波波形的水平分量（径向和切向）作为期望输出， 通过远震P 波波形垂直分量与接收函数的褶积得到Wiener 滤波器的实际输出，以期望输出与实际输出的均方误差取极小，作为求取接收函数的准则。

Wiener 滤波反褶积可归结为Toeplitz 方程的求解； Levinson 递推算法大大提高了Wiener 滤波的计算效率； Toeplitz 方程的非奇异性保证了Wiener 滤波反褶积的稳定性。

此外还可引入镶窗技术来压制噪声，提高接收函数的精度。

另外还可以用最大熵谱反褶积法（Tselentis,1990）来求取接收函数。

3.2模型接收函数的计算方法
为了反演速度结构，需要将从实际资料得到的接收函数与理论模型的接收函数相拟合，从而确定速度参数随深度的变化。

而要得到理论接收函数，就需要计算某一模型下的理论地震图。

而为了在反演中求解参数变化对理论结果的影响，就需要求解微分地震图。

这是一个十分复杂的工作。

对此Kennett （1979,1980）已有过详细的描述和推导，这里就不再贅述。

需要说明的是，由于理论地震图是在频率域合成的，用地表位移的径向分量直接除以垂直分量，最后反变换回时间域，就可以得到接收函数理论地震图。

这与实际资料接收函数的前述三种求取方法（频率域反褶积、时间域中的wiener 滤波反褶积或最大熵谱反褶积）是不同
的。

3.3反演方法和参数选取
通过上述方法，求得了实际地震记录的接收函数，并通过理论模型的正演计算得到了理论地震图的接收函数，下面就要考虑如何通过两者间的最佳拟合，来确定模型参数，即建立反演方法。

接收函数对S 波速度的垂向变化最为敏感。

依据接收函数的频率范围，选择合适的层厚度，以S 波层速度作为反演参数，并根据经验公式对P 波层速度和层密度作动态调节，选择适当的理论地震图与微分地震图，对接收函数的波形作广义线性反演，可以得到接收介质的S 波速度模型。

为压制速度模型的高频假象，采用跳动算法，对模型施加光滑度约束，在波形拟合残差与模型光滑度之间折衷，在允许的波形残差范围内，尽可能获得比较合理的S 波速度，分辨出接收介质主要的速度特征。

考虑到用孤立的台站接收函数来求解台站下方介质物性参数这一具体的反演问题，一般是用横向均匀的水平分层介质模型，或把界面的走向、倾角等界面产状信息包含在内的倾斜分层介质模型来模拟接收函数。

对于前者，可用一维合成地震图的方法来计算介质的完全响应或部分响应；对于后者，可用三维射线追踪（Langston,1977）来近似模拟倾斜分层介质的接收函数。

水平分量一般取径向分量。

因为在水平分层介质中，远震P 波只产生径向优势极化的SV 型转换波。

切向分量被认为是横向非均匀或各向异性引起的。

应选择S 波的层速度β作为反演参数，应用统计或经验公式对P 波速度和介质密度作动态调整。

即： β=α731.； 770320..+α=ρ。

由于接收函数对下伏半无限空间的S 波速度的变化并不敏感，因此可令其不变。

层厚度也是反演时要考虑的一个重要层参数。

其选取原则是，既要反映接收函数最小分辨厚度，又要尽量减小介质层数。

而接收函数最小分辨厚度取决于接收函数的有效频率范围和S 波速度。

若用系数为2.5的高斯滤波器对接收函数作了低通滤波，则接收函数的有效频率范围在1Hz 以内，地壳传播的S 波的最短波长约为4km 左右，接收函数能分辨1km 厚的薄层。

但为减少未知参数个数和计算耗时，并提高反演精度，一般把层厚度取为
1.5-
2.5km ， 在估计有薄层或梯度带的深度范围内把层厚度相应地取为1.0-1.5km 。