第2章随机变量及其分布
概率论与数理统计教案第2章 随机变量及其分布
概率论与数理统计教学教案 第2章 随机变量及其分布授课序号01教 学 基 本 内 容一．随机变量1. 随机变量：设E 是随机试验，样本空间为S ，如果对随机试验的每一个结果ω，都有一个实数()X ω与之对应，那么把这个定义在S 上的单值实值函数()X X ω=称为随机变量．随机变量一般用大写字母,,X Y Z ,…表示．2.随机变量的两种常见类型:离散型随机变量和连续型随机变量. 二．分布函数1. 分布函数：设X 是一个随机变量，x 是任意实数，称函数{}(),F x P X x x =≤-∞<<∞为随机变量X 的分布函数，显然，()F x 是一个定义在实数域R 上，取值于[0,1]的函数．2．几何意义：在数轴上，将X 看成随机点的坐标，则分布函数()F x 表示随机点X 落在阴影部分（即X x ≤）内的概率，如下图．3．对任意的实数,,()a b c a b <，都有：授课序号02(,)B n p ，其中在二项分(1,)B p X 服从（0-1）分布是二项分布的特例，简记0,1,2,...，其中λ为大于()P λ．在一次试验中出现的概率为(12,kk nnC p p -.）说明：泊松定理表明，泊松分布为二项分布的极限分布，即在试验次数很大，而n np 不太大时，()G p．）说明：几何分布描述的是试验首次成功的次数次才取得第一次成功，前）超几何分布：若随机变量X的分布律为H n N(,,件不合格，从产品中不放回）超几何分布与二项分布之间的区别：超几何分布是不放回抽取，二项分布是放回抽取，因此，二项两个分布之间也有联系，当总体的容量授课序号03(,)U a b ．内的任一个子区间()E λ．1,0,xe x λ-⎧->⎪⎨⎪⎩其它.）定理：（指数分布的无记忆性）设随机变量()E λ，则对于任意的正数{}{P X s t t P X >+>=为连续型随机变量，若概率密度为2(,N μσ处取到最大值，并且对于同样长度（iii ）当参数μ固定时，σ的值越大，()f x 的图形就越平缓；σ的值越小，()f x 的图形就越尖狭，由此可见参数σ的变化能改变图形的形状，称σ为形状参数．（iv ）当参数σ固定时，随着μ值的变化，()f x 图形的形状不改变，位置发生左右平移，由此可见参数μ的变化能改变图形的位置，称μ为位置参数．（4）标准正态分布(0,1)XN（i ）概率密度221(),2x x e x ϕπ-=-∞<<∞（ii ）分布函数221(),.2t xx e dt x π--∞Φ=-∞<<∞⎰（iii ）根据概率密度()x ϕ的对称性，有()1().x x Φ-=-Φ （5）定理：（标准化定理）若2(,)XN μσ，则(0,1).X Z N μσ-=（6）标准化定理的应用：设,,()x a b a b <为任意实数，则(){}{}{}(),X x x x F x P X x P P Z μμμμσσσσ----=≤=≤=≤=Φ{}{}()().a X b b a P a X b P μμμμμσσσσσ-----<≤=<≤=Φ-Φ6.“3σ”法则：设2(,)XN μσ，则{33}(3)(3)2(3)10.997,P X μσμσ-<<+=Φ-Φ-=Φ-≈即正态分布2(,)N μσ的随机变量以99.7%的概率落在以μ为中心、3σ为半径的区间内，落在区间以外的概率非常小，可以忽略不计，这就是“3σ”法则. 三．例题讲解例1．车流中的“时间间隔”是指一辆车通过一个固定地点与下一辆车开始通过该点之间的时间长度.设X 表示在大流量期间，高速公路上相邻两辆车的时间间隔，X 的概率密度描述了高速公路上的交通流量规律，其表达式为：0.15(0.5)0.15,0.5,()0,x e x f x --⎧≥⎪=⎨⎪⎩其它.概率密度()f x 的图形如下图，求时间间隔不大于5秒的概率.例2．设随机变量X 表示桥梁的动力荷载的大小（单位:N ），其概率密度为13,02;()880,x x f x ⎧+≤≤⎪=⎨⎪⎩其它.求：（1）分布函数()F x ；（2）概率{1 1.5}P X ≤≤及{1}P X >.例3．某食品厂生产一种产品，规定其重量的误差不能超过3克，即随机误差X 服从（-3,3）上的均匀分布.现任取出一件产品进行称重，求误差在-1~2之间的概率.例4．设随机变量X 在（1,4）上服从均匀分布，对X 进行三次独立的观察，求至少有两次观察值大于2的概率.例5.设随机变量X 表示某餐馆从开门营业起到第一个顾客到达的等待时间（单位：min ），则X 服从指数分布，其概率密度为0.40.4,0,()0,xex f x -⎧>⎪=⎨⎪⎩其它.求等待至多5分钟的概率以及等待3至4分钟的概率.例6．汽车驾驶员在减速时，对信号灯做出反应所需的时间对于帮助避免追尾碰撞至关重要．有研究表明，驾驶员在行车过程中对信号灯发出制动信号的反应时间服从正态分布，其中μ=1.25秒，σ=0.46秒．求驾驶员的制动反应时间在1秒至1.75秒之间的概率？如果2秒是一个非常长的反应时间，那么实际的制动反应时间超过这个值的概率是多少？例7．设某公司制造绳索的抗断强度服从正态分布，其中μ=300千克，σ=24千克.求常数a ，使抗断强度以不小于95%的概率大于a .授课序号0450。
第二章随机变量及其分布
第二章 随机变量及其分布第二节 离散随机变量一、选择1 设离散随机变量X 的分布律为:),,3,2,1(,}{ ===k b k X P kλ )(0为，则且λ>b11)D (11)C (1)B (0)A (-=+=+=>b bb λλλλ的任意实数).()0(,11111·,1,11)1(·lim lim 1)1(·1}{111C b b b b S b b S b k X P n n n n n nk kn k kk 所以应选因所以时当于是可知即因为解><+==-<=--=--=====∞→∞→=∞=∞=∑∑∑λλλλλλλλλλλλ二、填空1 如果随机变量X 的分布律如下所示,则=C .X0 1 2 3PC1 C 21 C 31 C 41.12251)(31==∑=C x P x i 得：根据解 2 进行重复独立试验,设每次试验成功的概率为54, 失败的概率为51, 将试验进行到出现一次成功为止, 以X 表示所需试验次数, 则X 的分布律是__ ___ ____.(此时称X 服从参数为p 的几何分布).解:X 的可能取值为1，2，3 ，{}{}.,1~1次成功第次失败第K K K X -==所以X 的分布律为{} 1,2, , 54)51(1=⋅==-K K X P K 三、简答1 一个袋子中有5个球,编号为1,2,3,4,5, 在其中同时取3只, 以X 表示取出的3个球中的最大号码, 试求X 的概率分布.的概率分布是从而，种取法，故只，共有任取中，，个号码可在，另外只球中最大号码是意味着事件种取法，故只，共有中任取，，个号码可在，另外只球中最大号码是意味着事件只有一种取法，所以只球号码分布为只能是取出的事件的可能取值为解X C C X P C X C C X P C X C X P X X 53}5{624,321253},5{103}4{2321243},4{1011}3{,3,2,13},3{.5,4,335242235232335=============X 3 4 5 P101 103 532 一汽车沿一街道行驶, 需要通过三个均设有绿路灯信号的路口, 每个信号灯为红和绿与其他信号为红或绿相互独立, 且红绿两种信号显示时间相等, 以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口个数, 求X 的概率分布.故分布律为于是相互独立，且，遇到红灯个路口首次汽车在第表示设的可能值为由题设知解3321321332132122121132121)()()()(}3{21)()()()(}2{21)()()(}1{21)(}0{,21)()(,,"")3,2,1(,3,2,1,0==================A P A P A P A A A P X P A P A P A P A A A P X P A P A P A A P X P A P X P A P A P A A A i i A X i i iX 0 1 2 3 P21 221 321 321 第三节 超几何分布 二项分布 泊松分布一、选择1 甲在三次射击中至少命中一次的概率为0.936, 则甲在一次射击中命中的概率p =______.(A) 0.3 (B) 0.4 (C) 0.5 (D) 0.6 解: D设=X ”三次射击中命中目标的次数”,则),3(~p B X , 已知936.0)1(1)0(1)1(3=--==-=≥p X P X P ， 解之得6.04.01064.0)1(3=⇒=-⇒=-p p p2 设随机变量),3(~),,2(~p b Y p b X , {}{}=≥=≥1,951Y P X P 则若______. 43)A (2917)B ( 2719)(C 97)D ( 解: C二、填空1设离散随机变量X 服从泊松分布,并且已知{}{},21===X P X P{}______4＝则=X P .解:232-e 三、简答1.某地区的月降水量X （单位：mm ）服从正态分布N(40,24),试求该地区连续10个月降水量都不超过50mm 的概率.9396.09938.010Y P 9938.010B Y mm 50Y 10mm 50109938.0)5.2()44050440P )50P A P mm 50A 10＝）＝＝（），（～的月数”，则过＝“该地区降水量不超设天贝努利试验，相当做超过个月该地区降水量是否观察（（）＝（”＝“某月降水量不超过解：设==-≤-=≤φx x2 某地区一个月内发生交通事故的次数X 服从参数为λ的泊松分布,即)(~λP X ,据统计资料知,一个月内发生8次交通事故的概率是发生10次交通事故的概率的2.5倍.(1) 求1个月内发生8次、10次交通事故的概率； （2）求1个月内至少发生1次交通事故的概率； （3）求1个月内至少发生2次交通事故的概率；983.001.000248.0}1{}0{1}2{01487.06}1{)3(9975.000248.01}0{1}1{00248.0}0{)2(0413.0!106}10{1033.0!86}8{)1(6,36!105.2!8}10{5.2}8{.,.,2,1,0,!}{),(~610610682108≈+≈=-=-=≥≈==≈-≈=-=≥≈===≈==≈====⨯====⋯===-------X P X P X P e X P X P X P e e X P e X P e X P e e X P X P k k e k X P P X k λλλλλλλλλλλλ解出即据题意有关键是求出是未知的这里题这是泊松分布的应用问解第五节 随机变量的分布函数一、 填空题1设离散随机变量,216131101~⎪⎪⎭⎫⎝⎛-X 则X 的分布函数为 .⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤--<==++=≤=≥=+=≤=<≤=≤=<≤-=≤=-<1,110,2101,311,0)(1216131}{)(1;216131}{)(1031}{)(01;0}{)(1x x x x x F x X P x F x x X P x F x x X P x F x x X P x F x 当当当当整理，得时，当时，当时，当时，当解二、选择1 设)(1x F 与)(2x F 分别为随机变量1X 与2X 的分布函数,为使)()()(21x bF x aF x F -=是某一变量的分布函数,在下列给定的数值中应取52,53)A (-==b a 32,32)B (==b a 23,21)C (=-=b a 23,21)D (-==b a ).(1)(lim )(lim )(lim ,1)(lim 21A b a x F b x F a x F x F x x x x 故应选即因此有根据分布函数的性质：分析-=-==+∞→+∞→+∞→+∞→2. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=1x , 11x 0 , 2x 0x,0)(x F .则)(x F ______.(A) 是随机变量的分布函数. (B) 不是随机变量的分布函数.(C) 是离散型随机变量的分布函数. (D) 是连续型随机变量的分布函数. 解: A显然)(x F 满足随机变量分布函数的三个条件:(1))(x F 是不减函数 ， (2) 1)(,0)(,1)(0=+∞=-∞≤≤F F x F 且 ， (3))()0(x F x F =+3. 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<≤=2x, 12x (*) , 4x(*)x,0)(2x F 当(*)取下列何值时,)(x F 是随机变量的分布函数.(A) 0 (B) 0.5 (C) 1.0 (D)1.5解: A 只有A 使)(x F 满足作为随机变量分布函数的三个条件.三．简答1 设随机变量X 的分布函数为x B A x F arctan )(+=,求B A ,的值. 解:由随机变量分布函数的性质.0)(lim =-∞→x F x .1)(lim =+∞→x F x 知.2)2()a r c t a n (lim )(lim 0B A B A x B A x F x x ππ-=-⨯+=+==-∞→-∞→.22)arctan (lim )(lim 1B A B A x B A x F x x ππ+=⨯+=+==+∞→+∞→ 解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-1202B A B A ππ得π1,21==B A第六节 连续随机变量的概率密度一、选择1.设()f x 、()F x 分别表示随机变量X 的密度函数和分布函数，下列选项中错误的是（ A ）（A ） 0()1f x ≤≤ （B ） 0()1F x ≤≤（C ）()1f x dx +∞-∞=⎰（D ） '()()f x F x =2.下列函数中，可为随机变量X 的密度函数的是( B )（A ） sin ,0()0,x x f x π≤≤⎧=⎨⎩其它 （B ）sin ,0()20,x x f x π⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它（C ） 3sin ,0()20x x f x π⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩，其它（D ）()sin ,f x x x =-∞<<+∞ 二、填空1.设连续随机变量X 的分布函数为11()arctan ,2F X x x π=+-∞<<+∞ (1)(11)P X -≤≤= 0.5 ， (2)概率密度()f x =21,(1)x x π-∞<<+∞+三、简答题1. 设随机变量X 的概率密度20()0,x Ax e x f x x -⎧>=⎨≤⎩，求：（1）常数A ；（2）概率(1)P X ≥。
概率论课件第二章
例1. 抛硬币试验中S {H,T}, 样本点H与T不是数量。
例2. 测试灯泡寿命试验, S={e}={t|t≥0},样本点本身 是数量。
定义 : 设随机试验E的样本空间是S，若 X : S R为单值实范数，则称X为随机变量 （random variable, 简记为r.v.) 。
2. 特例: (1,) 是参数为的指数分布. （=1） 3. 伽玛函数的性质: (i) (+1)= ();
1 (iii)( ) . 2
(ii) 对于正整数n, (n+1)=n!;
§5. 随机变量的函数的分布
一、 X为离散型r.v. 例1.设X具有以下的分布律,求Y=(X-1)2分布律: X -1 0 1 2 pk 0.2 0.3 0.1 0.4
(二) 贝努利试验
(二项分布)
定 义 : 设 试 验E只 有 两 个 可 能 结 果 A与 A , 且 P( A ) p ( 0 p 1), 将 试 验E独 立 重 复 地 进 行 n次 , 这 样 的 试 验 称 为 贝 努 利 试 验.
设X是n重贝努利试验中事件A发生的次数, 则X 是一个随机变量, 于是
§4. 连续型随机变量及其概率密度
F(x) , 存在非负函 1.定义 : 对于r.v.X的分布函数 数f(x) , 使对于任意的实数 x, 有
则称X为连续型r.v.f(x)称为X概率密度函数, 简称概率密度. 连续型r.v.的分布函数是连续函数.
F(x ) f(t)dt
x
2.概率密度 f(x)的性质:
25
标准正态分布的上分位点:
设X ~ N(0,1), 若z 满足条件
概率论与数理统计课件第2章
X0
1
pk 03.5
0.25
4
625
0.0625
X的分布函数为
2 0.125
0
x0
0.5
0 x1
F
(
x)
0.75 0.875
1 x 2 2 x3
0.9375 3 x 4
Байду номын сангаас
1
x4
0.0
分布函数 是累计概率
例3 有人对随机变量X的分布列表述如下:
X -1
0 12 3
P
a 0.16
a2 2a 0.3
第2章 随机变量及其分布
2.1 随机变量及其分布函数 2.2 离散型随机变量及其分布律 2.3 几种常见的离散型分布 2.4 连续型随机变量及其密度函数 2.5 正态分布 2.6 随机变量函数及其分布
2.1 随机变量及其分布函数
一、随机变量 二、随机变量的分布函数
信息管理学院 徐晔
一、随机变量
例
包含出现1点
包含出现1,2点
包含出现1,2,3点
包含出现1,2,3,4 点 包含出现1,2,3,4,5 点包含出现1,2,3,4,5,6 点
分布函数的性质
F(x) P(X x), （ x ）
(1) F x 在 , 上是一个不减函数 ,
即对 x1 , x2 , 且 x1 x2 ,都有 F x1 F x2 ;
样本点
1， 4， 5 2， 3， 4 2， 3， 5 2， 4， 5 3， 4， 5
黑球数 X
1 2 2 1 1
由上表可以看出，该随机试验的每一个结果都对应
着变量 X 的一个确定的取值，因此变量 X 是样本空
间Ω上的函数：
概率论与数理统计第二章 随机变量及其分布
15
例4: 甲、乙两名棋手约定进行10盘比赛，以赢的盘数 较多者为胜. 假设每盘棋甲赢的概率都为0.6，乙赢的概 率为0.4，且各盘比赛相互独立，问甲、乙获胜的概率 各为多少？ 解 每一盘棋可看作0-1试验. 设X为10盘棋赛中甲赢的 盘数，则 X ～ b(10, 0.6) . 按约定，甲只要赢6盘或6盘 以上即可获胜. 所以
定义：若随机变量X所有可能的取值为x1，x2，…，xi，…，且 X 取这些值的概率为 P(X=xi)= pi , i=1, 2, ... (*)
则称(*)式为离散型随机变量X 的分布律。 分布律的基本性质： (1) 表格形式表示: pi 0, i=1，2，... (2)
i
pi 1
X pk
x1 p1
这里n=500值较大，直接计算比较麻烦. 利用泊松定理作近似计算: n =500, np = 500/365=1.3699>0 ，用 =1.3699 的泊松分布作近似 计算：
(1.3669) 5 1.3669 P{ X 5} e 0.01 5!
23
例2: 某人进行射击，其命中率为0.02，独立射击400次，试求击 中的次数大于等于2的概率。 解 将每次射击看成是一次贝努里试验，X表示在400次射击中 击的次数，则X~B(400, 0.02)其分布律为
k 0,1
14
(2) 二项分布 设在一次伯努利试验中有两个可能的结果，且有 P(A)=p 。则在 n 重伯努利试验中事件 A发生的次数 X是一个 离散型随机变量，其分布为
P ( X k ) C nk p k q n k
k =0, 1, 2 ,, n
称X 服从参数为n，p的二项分布，记为 X~b(n, p) 对于n次重复一个0-1试验. 随机变量X表示: n次试验中, A发生的次数. 如： 掷一枚硬币100次, 正面出现的次数X服从二项分布. b(100, 1/2) 事件 X～
第二章《随机变量及其分布》作业
第二章 《随机变量及其分布》作业班级 学号 姓名一、单项选择题1. 设连续随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它，；,020,2)(x x x f 则P {－3≤X ≤1}＝ ( ) (A). 0(B). 0.25(C). 0.5(D). 12.设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且{}{}21===X P X P , 则λ=( )(A) 1 ; (B) 2 ; (C) 3; (D) 4. 3.设随机变量),(~2σμN X ，则=≤≤)(b X a P （ ）).(A )()(b a Φ-Φ； ).(B )()(b a Φ+Φ； ).(C )()(σμσμ-Φ--Φb a ； ).(D )()(σμσμ-Φ--Φa b .4. 若4重伯努利试验中，事件A 至少发生一次的概率为8165，则在一次 试验中，事件A 发生的概率为（ ）).(A 1； ).(B 32； ).(C 41； ).(D 43.5. 设随机变量，且，则c=（ ）．0 ； ； ； ．二 .填空题1.已知随机变量只能取-1，0，1，2四个数值，其相应的概率依次是，则2.则X 的分布函数为=)(x F .),(~2σμN X )()(c X p c X p >=≤)(A )(B μ)(C μ-)(D σX c c c c 161,81,41,21=c3.设连续型随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤=其它021)2(10)(x x k x kx x f ,则k= ; ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤2321X P = .4.某高速公路一天的事故数X 服从参数3=λ的泊松分布,则一天内没有发生事故的概率是5.设离散型随机变量X 的分布列为则 随机变量函数 Y =()21+X 的分布列是6．设随机变量ξ在(1,6)上服从均匀分布,求方程012=++x x ξ有实根的概率 .7.已知ξ服从)4,150(2N ，则140(P ＜=≤)160ξ ，=≤)150(ξP 。
第二章随机变量及其分布函数
28
例2.2.9 设在时间t分钟内通过某交叉路口的汽车 数服从参数与t成正比的泊松分布. 已知在一分钟内 没有汽车通过的概率为0.2，求在2分钟内多于一辆 车通过的概率.
S={红色、白色} ?
将 S 数量化
非数量 可采用下列方法
X ()
红色 白色
S
1 0R
3
即有 X (红色)=1 , X (白色)=0.
1, 红色, X () 0, 白色.
这样便将非数量的 S={红色，白色} 数量化了.
4
实例2 抛掷骰子,观察出现的点数.
则有
S={1，2，3，4，5，6} 样本点本身就是数量 X () 恒等变换
20
泊松分布是一个非常常用的分布律，它常与 单位时间、单位面积等上的计数过程相联系. 例如一小时内来到某百货公司中顾客数、单位 时间内某电话交换机接到的呼唤次数和布匹 上单位面积的疵点数等随机现象都可以用泊
松分布来描述. 附表 2 给出了不同 值对应的
泊松分布函数的值.
21
泊松分布的取值规律
记 P(k; ) k e ，则
P
1 2
X
5
2
P(X
1 X
2)
P(X 1) P(X 2) 5
9
12
例 2.2.2 一只口袋中有 m 只白球， n m 只黑球.连 续无放回地从这口袋中取球，直到取出黑球为止．设 此时取出了 X 只白球，求 X 的分布律.
解 X 的可能取值为 0,1,2,, m ，且事件{X i}意 味着总共取了 i+1 次球，其中最后一次取的是黑球而 前面 i 次取得都是白球.
或 X ~ Bn, p.
二项分布的背景是伯努利试验：如果每次试验中事 件A发生的概率均为p，则在n重伯努利试验中A发生 的次数服从参数为n,p的二项分布。
第2章 随机变量与分布函数 0
其中X的取值为0，1，2，„，n，X取各个值的概率为
将随机变量X服从二项分布记为X～B（n，p）。 ③泊松分布 设随机变量X 所有可能取的值为0 ，1，2，„，而取各个值的概率为：
其中λ>0是常数，则称X服从参数为λ的泊松分布，记为X~P(λ)。
☞定理2-1（泊松定理）设λ>0是一个常数，n是任意正整数，设npn=λ，则对于任一固定的非负整数k，有
第2章 随机变量与分布函数 2.1 随机变量及其分布 随机变量 离散型随机变量及其分布列 连续型随机变量 2.2 随机变量函数的分布 离散型随机变量函数的分布 连续型随机变量函数的分布 2.3 二维随机变量的相关分布 二维随机变量的联合分布及性质 二维离散型随机变量 二维连续型随机变量
条件分布
2.4 随机变量的独立性 随机变量的独立性 卷积公式 极大极小值的分布
p
n 1
i
1
则称｛pi｝为随机变量X的概率分布列（简称分布列）。 ②离散型随机变量X的分布列也可用下表表示：
X P x1 p1 x2 p2 „ „ xi pi „ „
说明：随机变量的分布列与随机变量的分布函数不是同一个概念，但它们可相互确定。
③离散型随机变量X的分布函数的计算公式： F ( x ) P( X
A．e-1 【答案】C
）。
B．e-2 C．e-3 D．e-4 E．e-5
1 1 1000 x e , x 0 【解析】由题意可知，元件寿命X服从指数分布： f ( x) 1000 0, x 0
元件使用1000小时后，没有损坏的概率为： P( X 1000) 1 P( X 1000) 1
1 1
3
2
联立①②，解得a=－0.5，b=1。从而
第二章随机变量及其概率分布(概率论)
当 x ≥ 1 时,F ( x) = P( X ≤ x) =P( X = 0) + P( X = 1) =1 ⎧0 x < 0
所以 F ( x) = ⎪⎨0.3 0 ≤ x < 1. ⎪⎩1 1 ≤ x
⎧0 x < 0 分布函数为 F ( x) = ⎪⎨0.3 0 ≤ x < 1
⎪⎩1 1 ≤ x
分布函数图形如下
F(x) 1 0.3
x 01
3
例 设X的概率分布律如下,求X的分布函数. X012 P 0.4 0.35 0.25
解
⎧0
x<0
F
(
x)
=
⎪⎪ ⎨
⎪
0.4 0.75
0≤ x<1 1≤ x<2
⎪⎩ 1
x≥2
由此可见
(1)离散型随机变量的分布函数是分段函数,分 段区间是由X的取值点划分成的左闭右开区间; (2)函数值从0到1逐段递增,图形上表现为阶梯 形跳跃递增; (3)函数值跳跃高度是X取值区间中新增加点的 对应概率值.
z 泊松在数学方面贡献很多。最突出的是1837 年在提出泊松分布。
z 除泊松分布外，还有许多数学名词是以他的 名字命名的，如泊松积分、泊松求和公式、 泊松方程、泊松定理。
当一个随机事件,以固定的平均瞬时速率 λ随机独立地出现时,那么这个事件在单 位时间(面积或体积)内出现的次数或个数 就近似地服从泊松分布。
解: 依题意, X可取值 0, 1, 2, 3.
设 Ai ={第i个路口遇红灯}, i=1,2,3
路口3
路口2
P(X=0)= P(A1)=1/2,
路口1
X=该汽车首次停下时通过的路口的个数. 设 Ai={第i个路口遇红灯}, i=1,2,3
概率统计 第二章 随机变量及其分布
引入适当的随机变量描述下列事件： 例1：引入适当的随机变量描述下列事件： 个球随机地放入三个格子中， ①将3个球随机地放入三个格子中，事件 A={有 个空格} B={有 个空格} A={有1个空格}，B={有2个空格}， C={全有球 全有球} C={全有球}。 进行5次试验， D={试验成功一次 试验成功一次} ②进行5次试验，事件 D={试验成功一次}， F={试验至少成功一次 试验至少成功一次} G={至多成功 至多成功3 F={试验至少成功一次}，G={至多成功3次}
例2
xi ∈( a ,b )
∑
P( X = xi )
设随机变量X的分布律为 设随机变量X
0 1 2 3 4 5 6 0.1 0.15 0.2 0.3 0.12 0.1 0.03
试求: 试求:
P( X ≤ 4), P (2 ≤ X ≤ 5), P ( X ≠ 3)
0.72 0.7
F ( x) = P{ X ≤ x} =
k : xk ≤ x
∑p
k
离散型随机变量的分布函数是阶梯函数, 离散型随机变量的分布函数是阶梯函数 分布函数的跳跃点对应离散型随机变量的 可能取值点,跳跃高度对应随机变量取对应 可能取值点 跳跃高度对应随机变量取对应 值的概率;反之 反之,如果某随机变量的分布函数 值的概率 反之 如果某随机变量的分布函数 是阶梯函数,则该随机变量必为离散型 则该随机变量必为离散型. 是阶梯函数 则该随机变量必为离散型
X
x
易知，对任意实数a, 易知，对任意实数 b (a<b), P {a<X≤b}＝P{X≤b}－P{X≤a}＝ F(b)－F(a) ≤ ＝ ≤ － ≤ ＝ －
P( X > a) = 1 − F (a)
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B, B
事件的概率
P( B) P( Ai ) P( B Ai )
i 1
应用概率统计
第7页
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应用贝叶斯公式解题的分析过程 试验过程E
E1 E2
可能结果
A1 , A2 ,L Ai L , An
P( Ai B)
B, B
事件的概率
P( Ai ) P( B Ai )
P( A ) P( B A )
实数，函数
F ( x) P{ X x}
称为随机变量 X 的分布函数（Distribution function） ，记作 F ( x) ．
应用概率统计
第25页
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§1.4 分布函数的性质
设 F ( x) 为随机变量 X 的分布函数，则
性质 1（单调性） F ( x) 是单调不减函数，即当 x1 x2 时，有 F ( x1 )
应用概率统计
第29页
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离散型随机变量 X 的概率分布可用表格来表示：
X
P
x1 p1
x2
p2
„ „
xi pi
„ „
应用概率统计
第30页
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§2.2 概率分布的性质
离散型随机变量 X 的概率分布满足以下两个基本性质：
i 1, 2, ； 性质 1 （非负性） pi 0 ，
性质 2 （规范性）
{ X 2} 表示掷出的点数大于 2 这一随机事件．
应用概率统计
第17页
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例
上午 8:00～9:00 在某路口观察，令 X 为该时
间间隔内通过的汽车数， 则 X 就是一个随机变量． 它 的取值为 0，1，„． {X 1000} 表示通过的汽车数小于 1000 辆这一 随机事件； { X 500} 表示通过的汽车数大于等于 500 辆这 一随机事件．
a xi b
p
i
应用概率统计
第34页
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例
设随机变量 X 的概率分布为
X
1
2
3
P
a
7a 2
a a2
（1） 确定常数 a 的值；
（2） 求分布函数 F ( x) ．
应用概率统计
第35页
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解
（1）由概率分布的非负性知 a 0 ；再利用概率分
布的规范性可得：
1 a 7a (a a ) 8a 2a 1 ；从中解得 a ． 4
应用概率统计
第18页
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例
一个公交车站，每隔 10 分钟有一辆公共汽车通
过， 一位乘客在任一随机时刻到达该站， 则乘客等车 时间 X 为一随机变量，它的取值为： 0 X 10 ． { X 5} 表示等车时间不超过 5 分钟这一随机事 件；
{2 X 8} 表示等车时间超过 2 分钟而不超过 8
性质 4
对任意实数 x1 , x2 ( x1 x2 ) ，有
P{x1 X x2} P{X x2} P{X x1}
F ( x2 ) F ( x1 )
【注】满足单调性、有界性和右连续性这三个性质的
函数，一定可以作为某个随机变量的分布函数.
应用概率统计
第27页
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P (C )
F ( x ) P( X x )
P( B) P( A)
分布函数
P{a X b} P{X b} P{ X a}
P{a X b}
=
F (b) F (a).
=
F (b)
=
=
F (a)
A B C
=
应用概率统计
第24页
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定义
设 X 是样本空间 上的随机变量， x 为任意
至命中时的射击次数”, 则 X 的可能值是:
1, 2, 3, .
离散型例 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,
现该射手射了30次,则随机变量 X 记为“击中目标 的次数”，则 X 的所有可能取值为:
0, 1, 2, 3, , 30.
应用概率统计
第23页
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§1.3 分布函数
对于随机变量X, 想知道 X 在任意有限区间(a,b] 内取值的概率.
个值（即取值能够一一列举出来） ，则称 X 为离散型 随机变量（Discrete random variable） ，否则称为非 离散型随机变量．
若随机变量 X 可能取值充满数轴上的一个区 间，随机变量 X 称为连续型随机变量（Continuous random variable）.
应用概率统计
第21页
应用概率统计
第12页
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§1
随机变量
• 有些试验结果本身与数值有关：
（1）掷一颗骰子面上出现的点数； （2）每天到杭州下火车的人数；
（3）昆虫的产卵数； （4）七月份临安的最高温度；
应用概率统计
第13页
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在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们 可以引进一个变量来表示它的各种结果. 也就是说， 把试验结果数值化. 例 在一装有红球、白球的袋中任摸一个球,观 察摸出球的颜色. ? Ω={红色、白色} 将 Ω 数量化 非数量
A1 , A1
A2 , A2
An , An
事件的概率
P(I Ak )
k 1
n
P( A1 ) P( A2 A1 ) P( A3 A1 A2 ) L P( An A1 A2 L An1 )
应用概率统计
第6页
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应用全概率公式解题的分析过程 试验过程E
E1 E2
可能结果
A1 , A2 ,L , An
P{X xi }
由密度函数求概率 P{a
X b} p( x)dx
a
b
P{( X , Y ) D} p( x, y)dxdy
D
应用概率统计
第10页
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第2章 随机变量及其分布
§1 §2 §3 §4 随机变量 离散型随机变量及其分布 连续型随机变量及其分布 随机变量函数的分布
P( AB) P( B A) P( A)
条件概率
应用概率统计
第4页
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求古典概率的分析过程
nA A包含的样本点数 P( A) n 中的样本点总数
n
示意图
随机试验E
nA
示意图
随机事件A
应用概率统计
第5页
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应用乘法公式解题的分析过程 试验过程E E1 E2
L L
En
可能结果
第2章习题课
应用概率统计
第11页
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第2章 随机变量及其分布
概率论是从数量上来研究随机现象内在规律
性的，为了更方便有力的研究随机现象，就要用
数学分析的方法来研究， 因此为了便于数学上的
推导和计算，就需将任意的随机事件数量化．当
把一些非数量表示的随机事件用数字来表示时，
就建立起了随机变量的概念．
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随机变量 离散型 非离散型
连续型
其它
连续型例 随机变量 X 为“灯泡的寿命”， 则 X 的取值范围为： [0, )
连续型例 随机变量 X 为“测量某零件尺寸时的测量
误差”，则 X 的取值范围为： (a, b)
应用概率统计
第22页
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离散型例 若随机变量 X 记为 “连续射击, 直
xi D
p ．
i
性质 4
F ( x) pi ．
xi x
应用概率统计
第32页
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例
袋中有 5 只分别编号为 1，2，3，4，5 的球，
从袋中同时随机地抽取 3 只，以 X 表示取出的球中 的最大号码，试求随机变量 X 的分布律．
解 P{ X 3} 1 0.1 3
C5 2 C3 P{ X 4} 3 0.3 C5
应用概率统计
第9页
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求由随机变量表示的典型事件的概率 分布函数
F ( x) P{ X x}
F ( x, y) P( X x, Y y)
由分布函数求概率 P{a X b} F (b) F (a)
由分布律求概率
P{a X b}
xi ( a ,b ]
例 设有函数 F ( x) ， 试说明 F ( x) 能否是某个随机变量 的分布函数.
sin x 0 x F ( x) 0 其它
解
注意到函数 F ( x) 在 [ 2, ] 上下降，不满足单
调不减性，故 F ( x) 不能是分布函数.
或者
F () lim F ( x) 0 1
性质 3
p
i 1
i
1 ．
xi D
对任意的区间 D ， P{X D}
p ．
i
性质 4
F ( x) pi ．
xi x
【注】满足非负性和规范性的数组 pi (i 1, 2,) ，一 定是某个离散型随机变量的概率分布．
应用概率统计
第31页
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性质 3
对任意的区间 D ， P{X D}
应用概率统计
第14页
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即有
X (红色)=1 , X (白色)=0.
1, 红色 X 0, 白色
这样便将非数量的 Ω ={红色，白色} 数量化了.
应用概率统计
第15页
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§1.1 随机变量的概念
定义 设随机试验 E 的样本空间是 ， 如果对每一样