3-1二维随机变量及其联合分布
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概率论-3-1 二维随机变量
★ 证明 P{ x1 X x2 , y1 Y y2 }
P{ X x2 , y1 Y y2 } P{ X x1, y1 Y y2 } P{ X x2 ,Y y2 } P{ X x2 ,Y y1}
P{ X x1,Y y2 } P{ X x1,Y y1} 0,
(3,1)
p31
1 4
1 3
1 12
P( X ,Y )
(3,2)
p32
1 4
2 3
1. 6
从而所求的分布列为： X Y 1 2 3
1 0 1 6 1 12
2 16 16 16
3 1 12 1 6 0
三、连续型二维随机变量
定义
对于二维随机变量（X ,Y）的分布函数F（x, y), 如果存在非负的函数f (x, y)，使得对于任意的x, y有
定义
给定一个随机试验, 是它的样本空间, 如果对
每一个 ，有一对有序实数[ X (),Y ()]与之对
应，则这样一个定义域为，取值为有序实数( X ,Y )
[ X (),Y ()]的变量称为二维随机变量（向量），
简记为( X ,Y )。
e S
X (e) Y (e)
2、联合分布函数
定义：设 ( X ,Y ) 是二维随机变量,对于任意实数 x, y, 二元函数: F ( x, y) P{( X x) (Y y)} P{ X x,Y y} 称为二维随机变量( X ,Y ) 的分布函数,或称为随 机变量X 和 Y 的联合分布函数.
F ( x, y)的函数值就是随机点落在如图所示区
0,
3-1概率论
G
例5 设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度
2 x y , x0 , y0 , ke f ( x, y ) , 其它. 0
试求： ⑴ 常数 k 的值； ⑵ 分布函数 F ( x, y) ; ⑶ 概率 P{Y X }; ⑷ 概率 P{X Y 1};
得
A( B 2 )(C 2 ) 1, A( B )(C ) 0, 2 2 A( B 2 )(C 2 ) 0.
则
A 2 , B , C 2 2 P{ X 3, Y 4} F (3, 4)
pij P{( X , Y ) (i, j )} P{( X i) (Y j )}
独立性
i 3
P{ X i} P{Y j}
i 3 i j 3 j 3 j
C 0.6 0.4 C 0.7 0.3
① P{ X Y } P00 P 11 P 22 P 33 ? ② P{ X Y } P 10 P 20 P 21 P 30 P 31 P 32 ? ③ P{ X 1 Y } P01 P 12 P 23 ?
p12 P{ X 1, Y 2}
1 P{ X 1}P{Y 1| X 1} 0 0 4
1 2 1 P{ X 1}P{Y 2 | X 1} 4/ 4 1/ 3 1/12 , p21 2 / 4 1/ 3 1/ 6
2 F ( x, y ) f ( x, y ) ③ 若 f ( x, y ) 在点 ( x, y ) 连续，则有 xy
④ P{( X , Y ) ( x, y)} 0 ,即连续型随机变量在某点的 概率为0。 ⑤ P{( X ,Y ) G} f ( x, y)dxdy , G表示xoy平面上的区域, 落在此区域上的概率相当于以 G为底,以曲面z f ( x, y) 为顶的曲顶柱体体积。
例5 设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度
2 x y , x0 , y0 , ke f ( x, y ) , 其它. 0
试求： ⑴ 常数 k 的值； ⑵ 分布函数 F ( x, y) ; ⑶ 概率 P{Y X }; ⑷ 概率 P{X Y 1};
得
A( B 2 )(C 2 ) 1, A( B )(C ) 0, 2 2 A( B 2 )(C 2 ) 0.
则
A 2 , B , C 2 2 P{ X 3, Y 4} F (3, 4)
pij P{( X , Y ) (i, j )} P{( X i) (Y j )}
独立性
i 3
P{ X i} P{Y j}
i 3 i j 3 j 3 j
C 0.6 0.4 C 0.7 0.3
① P{ X Y } P00 P 11 P 22 P 33 ? ② P{ X Y } P 10 P 20 P 21 P 30 P 31 P 32 ? ③ P{ X 1 Y } P01 P 12 P 23 ?
p12 P{ X 1, Y 2}
1 P{ X 1}P{Y 1| X 1} 0 0 4
1 2 1 P{ X 1}P{Y 2 | X 1} 4/ 4 1/ 3 1/12 , p21 2 / 4 1/ 3 1/ 6
2 F ( x, y ) f ( x, y ) ③ 若 f ( x, y ) 在点 ( x, y ) 连续，则有 xy
④ P{( X , Y ) ( x, y)} 0 ,即连续型随机变量在某点的 概率为0。 ⑤ P{( X ,Y ) G} f ( x, y)dxdy , G表示xoy平面上的区域, 落在此区域上的概率相当于以 G为底,以曲面z f ( x, y) 为顶的曲顶柱体体积。
3.1二维随机变量及其分布
4/ 9
4/ 9 1/ 9
四、二维连续型随机变量及其分布 1.定义 1.定义 设二维随机变量 ( X ,Y ) 的联合分布 函数为 F(x, y) 如果存在一非负二元函数 f (x, y) ， 使对任意实数 x, y, 有
F(x, y) = ∫
x
−∞ −∞
∫
y
f (x, y)dydx
二维连续型随机变量， 则称 ( X ,Y )是二维连续型随机变量，相应的二 元函数 f (x, y)称为( X , Y )的联合概率密度。 的联合概率密度。
−∞
1 4xydx = 2 y,0 ≤ y ≤ 1 ∫0 = 0 ， 其它
由定义： （4）由定义：
F( x, y) = ∫
x
−∞ −∞
∫
y
f ( x, y)dxdy
Y
(1,1)
D5
D2
D4
D3
D1
00
X
( 当 x, y) ∈ D1,即x < 0或y < 0
F( x, y) = 0
( 当 x, y)∈ D2 ,0 ≤ x ≤ 1且y > 1
（ 2 ）由
P{( X , Y ) ∈ D} = ∫∫ f ( x, y)dxdy
D
= ∫ dx∫
0
1
1− x
0
4xydy
Y
1 = 6
(1,1)
0 x+ y =1X
（3）由边缘概率密度的定义： 由边缘概率密度的定义：
f X ( x) = ∫ f ( x, y)dy
−∞
1
+∞
4xydy = 2x,0 ≤ x ≤ 1 ∫0 = 类似的， 类似的， 0 ， 其它 +∞ fY ( y ) = ∫ f ( x , y )dx
二维随机向量的分布
2019/1/6 14
X
Y
0 1 2 3
0 0 0 1/ 8 0 3/ 8 0 0 0 3/ 8 0 0 0 0 0 1/ 8
0
X
Y
1 3
1
2
3
01 / 8 1 3/ 8 0 2 3/ 8 0 3 01/ 8
0
2019/1/6
15
三、连续型随机向量的联合密度函数
定义3
对于二维随即向量(X,Y)的分布函数 F( x, y)，如果存在一个非负可积函数f (x, y) x y 使得对于 x , y R ,有 F ( x ,y ) u , v ) dud f(
F ( y ) P ( Y y ) F ( ,y ) P ( X , Y y ) Y
2019/1/6 21
例7 设二维随机变量(X，Y)的分布函数为
x y x y xy 1 e e e , x 0 , y 0 F ( x , y ) 0 , 其它 称此分布为二维指数分布,其中参数 0 .
0 第二次取到白球 Y 1 第二次取到黑球
试分别求出有放回和无放回取球情况下(X,Y)的 联合分布律。
2019/1/6 11
离散型二维随机向量联合概率分布确定方法: 1. 找出随机变量X和Y的所有取值结果,得 到(X,Y)的所 有取值数对; 2. 利用古典概型或概率的性质计算每个数 值对的概率; 3. 列出联合概率分布表.
2019/1/6
25
例9 设(X,Y)的联合概率分布表为:
X Y -1 0 1 p.j 0 0.05 0.1 0.1 0.25 1 0.1 0.2 0.2 0.5 2 0.1 0.1 0.05 0.25
X
Y
0 1 2 3
0 0 0 1/ 8 0 3/ 8 0 0 0 3/ 8 0 0 0 0 0 1/ 8
0
X
Y
1 3
1
2
3
01 / 8 1 3/ 8 0 2 3/ 8 0 3 01/ 8
0
2019/1/6
15
三、连续型随机向量的联合密度函数
定义3
对于二维随即向量(X,Y)的分布函数 F( x, y)，如果存在一个非负可积函数f (x, y) x y 使得对于 x , y R ,有 F ( x ,y ) u , v ) dud f(
F ( y ) P ( Y y ) F ( ,y ) P ( X , Y y ) Y
2019/1/6 21
例7 设二维随机变量(X，Y)的分布函数为
x y x y xy 1 e e e , x 0 , y 0 F ( x , y ) 0 , 其它 称此分布为二维指数分布,其中参数 0 .
0 第二次取到白球 Y 1 第二次取到黑球
试分别求出有放回和无放回取球情况下(X,Y)的 联合分布律。
2019/1/6 11
离散型二维随机向量联合概率分布确定方法: 1. 找出随机变量X和Y的所有取值结果,得 到(X,Y)的所 有取值数对; 2. 利用古典概型或概率的性质计算每个数 值对的概率; 3. 列出联合概率分布表.
2019/1/6
25
例9 设(X,Y)的联合概率分布表为:
X Y -1 0 1 p.j 0 0.05 0.1 0.1 0.25 1 0.1 0.2 0.2 0.5 2 0.1 0.1 0.05 0.25
《概率论与数理统计》课件3-1二维随机变量及其联合分布
P{a X b} = F(b) − F(a) + P{X = a}
二维随机变量联合分布函数
F(x,y) = P{X x,Y y}
(1) 有界性 0 F(x,y) 1，且有F(− ,y) = lim F(x,y) = 0
x→−
F(x，− ) = lim F(x,y) = 0 F(− ，− ) = lim F(x,y) = 0 ，
1
F(
) 1 F( y) 0 F(x ) 0
F ( , ) A(B )(C ) 1
2
2
F ( , y) A(B )(C arctan y) 0 2
F ( x,
) A( B arctan x) ( C
)0
2
A
F (x, y) y).
1
2
,
B
1
2 (2
C.
2
arctan x)( 2
arctan
(2) P 0 X , 0 Y 1 F( ,1) F(0,1) F( , 0) F(0, 0) ．
则〈
l
0，
它
P 恳1 < X 共 2,3 < Y 共 5}
x > 0, y > 0 其
= F(2,5) − F(1,5) − F(1,3) + F(2,3)
A) V
B) 根
A
B
提交
1 F(x, y) A(B arctan x)(C arctan y).
1
A, B,C 2 P 0 X , 0 Y 1
A.
B.
C.
D.
A
C
B
D
提交
1. F(x, y) P{X x,Y y}.
2.
二维随机变量联合分布函数
F(x,y) = P{X x,Y y}
(1) 有界性 0 F(x,y) 1，且有F(− ,y) = lim F(x,y) = 0
x→−
F(x，− ) = lim F(x,y) = 0 F(− ，− ) = lim F(x,y) = 0 ，
1
F(
) 1 F( y) 0 F(x ) 0
F ( , ) A(B )(C ) 1
2
2
F ( , y) A(B )(C arctan y) 0 2
F ( x,
) A( B arctan x) ( C
)0
2
A
F (x, y) y).
1
2
,
B
1
2 (2
C.
2
arctan x)( 2
arctan
(2) P 0 X , 0 Y 1 F( ,1) F(0,1) F( , 0) F(0, 0) ．
则〈
l
0，
它
P 恳1 < X 共 2,3 < Y 共 5}
x > 0, y > 0 其
= F(2,5) − F(1,5) − F(1,3) + F(2,3)
A) V
B) 根
A
B
提交
1 F(x, y) A(B arctan x)(C arctan y).
1
A, B,C 2 P 0 X , 0 Y 1
A.
B.
C.
D.
A
C
B
D
提交
1. F(x, y) P{X x,Y y}.
2.
二维随机变量及其分布
第三章 二维随机变量及其分布 一、 二维随机变量及其联合分布设Ω为某实验的样本空间，X 和Y 是定义在Ω上的两个随机变量，则称有序随机变量对（X,Y ）为比如，研究某地区人口的健康状况可能取身高和体重两个参数作为随机变量；打靶弹着点选取横纵坐标。
§3.1.1联合分布函数定义1：设（X ，Y ）为二维随机变量，对任意实数χ，y为（X ，Y ）的分布函数或称为X 与Y 几何上，F （χ，y ）表示（X ，Y ）落在平面直角坐标系中以（χ,y ）为顶点左下方的无穷矩形内的概率（见图） y 二维随机变量（X ，Y ）的分布函数F （x,y 1°F(x,y)对每个自变量是单调不减的，即若x1<x2，则有F(x1,y)≤F(x2,y); 若y1<y2，则有F(x,y1)≤F(x,y2).2°0≤F(x,y)≤1且 F(x,-∞)=F(-∞,y)=F(-∞,-∞)=0,F(+∞,+∞)=13° F(x,y)对每个自变量是右连续的，即 F （x+0,y ）= F （x,y ）, F （x,y+0）= F （x,y ） 4° 对任意x1≤x2, y1≤y2有 F(x2,y2)-F(x1,y2)- F(x2,y1)+F(x1,y1)≥0事实上，由图可见(见右图)F(x2,y2)-F(x1,y2)- F(x2,y1)+F(x1,y1)例1设（X ，Y ）的分布函数为解：由性质4°可得X，Y）的所有可能取值为有限对或可列对，则称（X，Y设（X，Y）的所有可能取值为（xi,yj）,i ,j=1,2,……P{X=xi,Y=yj }=pij,i,j=1,2,……，为（X，Y）的分布律，或称为X与Y 用表格表示:性质 1. pij≥0,一切i,j,2. 显然，（X，Y）落在区域D内的概率应为由此便得（X，Y）的分布函数与分布律之间关系为例2两封信随机地向编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ的四个邮筒内投，令 X表示投入Ⅰ号邮筒内的信件数； Y 表示投入Ⅱ号邮筒内的信件数。
二维随机变量(x,y)的联合分布律
二维随机变量(x,y)的联合分布律
二维随机变量的联合分布律是一类重要的参数，它某种程度上反映和描述了两个不同变量
关系的概率性质。
一般来说，定义在一定空间某点上的联合分布概率，可以用一个函数来
表示，即联合分布函数。
它可以是连续的或离散的，它包括条件概率和条件协方差分布两
部分。
联合分布律不仅描述两个变量之间的关系，还可以揭示各个变量的独立性，或特定变量的正态分布等信息。
研究二维随机变量的联合分布律，有助于我们更加深入、全面地理解变
量之间的关系，分析不同概率分布，从而制定合理的投资策略。
联合分布律经常用于自然科学和经济等领域，非常有用。
如艺术家需要对不同色调和饱和度进行评估，就可以用联合分布律来更好地识别不同色调，也可以帮助统计学家更好地预测某一特定变量的行为趋势。
此外，它也可以帮助金融专业人士观察大量投资者之间的独立性，并做出相应的经济决策。
总之，研究二维随机变量的联合分布律对于解决许多问题至关重要，在金融投资中尤其如此。
熟悉这样的数学模型，能够帮助投资人更好地预测市场的走向，获得资金的最高价值。
概率论与数理统计第3章第一节-二维随机变量3-1解析
X， Y X e， Y e e S
看作一个整体，因为 X 与Y 之间是有联系的；
⑶ 在几何上，二维随机变量 ( X ,Y ) 可看 作平面上的随机点． 二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X及Y有关,而且 还依赖于这两个随机变量的相互关系,因此,逐个 地研究X及Y的性质是不够的，还需将(X,Y)作为 一个整体来研究．和一维的情况类似，我们也借 助“分布函数”来研究二维随机变量
时 F x1, y F x2, y ;
对任意固定的 x R 及 y1 , y2 R , 当 y1 y2
时 F x, y1 F x, y2 ;
x1, y y
x2, y
x1 O
x2 x
X ,Y
X ,Y
3 . 0 F x, y 1, 且
对任意固定的 y R , F , y 0 ,
得
1
F
，
A
B
2
C
2
0 F x， A B arctan x C
2 2
0 F ， y A B C arctan y
2
3
由 以 上 三 式 可 得A，
1，
2
B
，
2
C
2
．
n 维随机变量
设 E 是一个随机试验，S是其样本空间，
Xi Xi e e S i 1， 2， ， n
我们称此函数为n维随机变量的分布函数.
二、二维离散型随机变量
1．定义：
若二维随机向量(X,Y)的可能取值只有有限个或可 列个,则称(X,Y)是离散型二维随机向量.
若二维离散型随机向量(X,Y)的所有可能取值为
(xi,yj),i,j=1,2,…
记P{X=xi,Y=yj}=pij, i, j=1,2,…
看作一个整体，因为 X 与Y 之间是有联系的；
⑶ 在几何上，二维随机变量 ( X ,Y ) 可看 作平面上的随机点． 二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X及Y有关,而且 还依赖于这两个随机变量的相互关系,因此,逐个 地研究X及Y的性质是不够的，还需将(X,Y)作为 一个整体来研究．和一维的情况类似，我们也借 助“分布函数”来研究二维随机变量
时 F x1, y F x2, y ;
对任意固定的 x R 及 y1 , y2 R , 当 y1 y2
时 F x, y1 F x, y2 ;
x1, y y
x2, y
x1 O
x2 x
X ,Y
X ,Y
3 . 0 F x, y 1, 且
对任意固定的 y R , F , y 0 ,
得
1
F
，
A
B
2
C
2
0 F x， A B arctan x C
2 2
0 F ， y A B C arctan y
2
3
由 以 上 三 式 可 得A，
1，
2
B
，
2
C
2
．
n 维随机变量
设 E 是一个随机试验，S是其样本空间，
Xi Xi e e S i 1， 2， ， n
我们称此函数为n维随机变量的分布函数.
二、二维离散型随机变量
1．定义：
若二维随机向量(X,Y)的可能取值只有有限个或可 列个,则称(X,Y)是离散型二维随机向量.
若二维离散型随机向量(X,Y)的所有可能取值为
(xi,yj),i,j=1,2,…
记P{X=xi,Y=yj}=pij, i, j=1,2,…
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1 p ij 0 ,
即 p11 p12 L
p 21 p 22 L
2 p ij 1 . i1 j1
p n1 p n2 L L 1
二维随机变量 ( X,Y ) 的分布律也可表示为
XY
x1 x2 M
xi M
y1 y2 L yj L
p 1 1 p 1 2 L p 1j L p 2 1 p 2 2 L p 2j L
解 ( X, Y ) 所取的可能值是
(0,0), (0,1),(0,2),(1,0), (1,1), (2,0).
两P { 封X 一信 封都0 ,信Y 投 投入0 入第}第33个122 个,邮邮箱箱,另一封信投入第3个邮箱
P { X 0 ,Y 1 } P { X 1 ,Y 0 } 322
y
x1, y2
x2, y2
x1 , y1
x
x2 , y1
二、二维离散型随机变量 及其联合分布律
1. 定义 (P62)
若二维随机变量 ( X, Y ) 所取的可能值是有 限对或无限可列多对,则称 ( X, Y ) 为二维离散型 随机变量.
例如 二维随机变量( X, Y ) 表示掷两颗骰子出现 的点数, 则( X, Y )的所有可能取值为36对.
即 F(x,y)关x 于 右连 ,关续 y于 也右. 连续
4 o对 于 任 意 x 1 x 2 ,y 1 y 2 ,有
P x 1 X x 2 ,y 1 Y y 2
= F ( x 2 ,y 2 ) F ( x 1 ,y 2 ) F ( x 2 ,y 1 ) F ( x 1 ,y 1 )
• X ( )
图示
•
•Y ( )
实例1 炮弹的弹着点的 位置 ( X, Y ) 就是一个二维 随机变量.
实例2 考查某一地 区学前 儿童的发育情况 , 则儿童的 身高 H 和体重 W 就构成二 维随机变量 ( H, W ).
说明 二维随机变量 ( X, Y ) 的性质不仅与 X 、Y
有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.
2.二维随机变量的分布函数
(1)分布函数的定义 (P61-定义1)
设(X,Y)是二维随机,对 变于 量任意实 x, y数 , 二元函:数
F(x,y)P{(Xx) (Y y)}P{Xx,Y y} 称为二维随机(X变 ,Y)量 的分布函 ,或数称为随 机变X 量和Y的联合分布. 函数
Joint Probability Distribution Function
对于任意固定的y, F (,y ) liF ( m x ,y ) 0 , x
对于任意固定的x, F (x ,) liF m (x ,y ) 0 , y
y
F (, ) lim F (x,y)0,
x
y
Xx,Yy
(x, y) •
F (, ) lim F (x,y)1.
o
x
x
y
3oF(x,y)F(x0,y)F ,(x,y)F(x,y0),
i4 i1,2,3,4, j i.
于是(X,Y)的分布律为
i1,2,3,4, j i. P {X i,Yj} P { Y jX i} P { X i} 1 1 ,
i4
Y X
1
2 34
1
1 4
0
00
1
2
8
1 8
00
3
1 12
1 12
10
12
1
1
11
4
16
16
1 6 16
P63-例1
例2 将两封信随意地投入3个空邮箱,设 X, Y分别 表示第1、第2个邮箱中信的数量.求 (1) ( X,Y )的 联合分布列;(2)第3个邮箱里至少投入一封信的 概率;(3)联合分布函数在点(3/2,1/2)处的值F (3/2,1/2).
2. 二维离散型随机变量的分布律 (P62-定义2)
设二维离散型随机 (X,变 Y)所 量有可能取的
值为(xi, yj),i, j 1, 2,,记
P{X xi,Y yj} pij, i, j 1, 2,, 称此为二维离散型 变随 量(机 X,Y) 的分布,律
或随机变X量和Y的联合分布 . 律
其中,
第一节 二维பைடு நூலகம்机变量
一、二维随机变量及其分布函数 二、二维离散型随机变量 三、二维连续型随机变量 四、两个常用的分布 五、小结
一、二维随机变量及其分布函数
1.定义
设E是一个随机试验,它的样本空间是{},
设XX()和YY()是定义在上的随机变量,
由它们构成的一个向量(X,Y),叫作二维随机向量
或二维随机变量.
2, 9
P { X 1 ,Y 1 } P { X 1 ,Y 1 } 2 32
2 9
,
P { X 0 ,Y 2 } P { X 2 ,Y 0 } 1 ,
9
故所求分布律为
Y X
01 2
0 19 29 19
1 29 29
0
2 19 0
0
( 2 ) P { 第 三 个 邮 筒 里 至 少 有 一 封 信 } ＝ P { X Y 1 }
P {X0,Y0 }P {X0,Y1 }P {X1 ,Y0 }
1225 999 9
(3)F
3 2
,
1 2
P X
3 ,Y 2
1 2
PX 0,Y 0 PX 1,Y 0
1 2 1. 99 3
说明
离散型随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数归纳为
F(x,y)pij,
xixyjy
其中和式是x对 i x,一 yj 切 y的 i满 ,j求 足 .和
F(x,y)的函数值就是 在随 如机 图点 所落 示
域内的. 概率 y
(x, y) •
Xx,Yy
o
x
(2) 分布函数的性质 (P61-基本性质(1)-(4)) 1oF(x,y)是变 x和 量 y的不减 ,即函 对数 于 意固y,定 当 x2的 x1时 F(x2,y)F(x1,y), 对于任 x ,当 y 2 意 y 1 时 F ( 固 x ,y 2 ) 定 F (x ,y 1 ) 的 . 2o0F (x,y)1, 且有
p i1 p i2 L p ij L
例1设随机变 X在 量1,2,3,4四个整数中等可 取值 ,另一个随机Y在 变1量 ~X中等可能地取 整数.值 试求 (X,Y)的分布. 律 P29-(9)
解 {Xi,Yj}的取值情: 况 i1 是 ,2,3,4,
j取不大i的 于正整. 且数由乘法公式得 P {X i,Yj} P { Y jX i} P { X i} 1 1 ,
即 p11 p12 L
p 21 p 22 L
2 p ij 1 . i1 j1
p n1 p n2 L L 1
二维随机变量 ( X,Y ) 的分布律也可表示为
XY
x1 x2 M
xi M
y1 y2 L yj L
p 1 1 p 1 2 L p 1j L p 2 1 p 2 2 L p 2j L
解 ( X, Y ) 所取的可能值是
(0,0), (0,1),(0,2),(1,0), (1,1), (2,0).
两P { 封X 一信 封都0 ,信Y 投 投入0 入第}第33个122 个,邮邮箱箱,另一封信投入第3个邮箱
P { X 0 ,Y 1 } P { X 1 ,Y 0 } 322
y
x1, y2
x2, y2
x1 , y1
x
x2 , y1
二、二维离散型随机变量 及其联合分布律
1. 定义 (P62)
若二维随机变量 ( X, Y ) 所取的可能值是有 限对或无限可列多对,则称 ( X, Y ) 为二维离散型 随机变量.
例如 二维随机变量( X, Y ) 表示掷两颗骰子出现 的点数, 则( X, Y )的所有可能取值为36对.
即 F(x,y)关x 于 右连 ,关续 y于 也右. 连续
4 o对 于 任 意 x 1 x 2 ,y 1 y 2 ,有
P x 1 X x 2 ,y 1 Y y 2
= F ( x 2 ,y 2 ) F ( x 1 ,y 2 ) F ( x 2 ,y 1 ) F ( x 1 ,y 1 )
• X ( )
图示
•
•Y ( )
实例1 炮弹的弹着点的 位置 ( X, Y ) 就是一个二维 随机变量.
实例2 考查某一地 区学前 儿童的发育情况 , 则儿童的 身高 H 和体重 W 就构成二 维随机变量 ( H, W ).
说明 二维随机变量 ( X, Y ) 的性质不仅与 X 、Y
有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.
2.二维随机变量的分布函数
(1)分布函数的定义 (P61-定义1)
设(X,Y)是二维随机,对 变于 量任意实 x, y数 , 二元函:数
F(x,y)P{(Xx) (Y y)}P{Xx,Y y} 称为二维随机(X变 ,Y)量 的分布函 ,或数称为随 机变X 量和Y的联合分布. 函数
Joint Probability Distribution Function
对于任意固定的y, F (,y ) liF ( m x ,y ) 0 , x
对于任意固定的x, F (x ,) liF m (x ,y ) 0 , y
y
F (, ) lim F (x,y)0,
x
y
Xx,Yy
(x, y) •
F (, ) lim F (x,y)1.
o
x
x
y
3oF(x,y)F(x0,y)F ,(x,y)F(x,y0),
i4 i1,2,3,4, j i.
于是(X,Y)的分布律为
i1,2,3,4, j i. P {X i,Yj} P { Y jX i} P { X i} 1 1 ,
i4
Y X
1
2 34
1
1 4
0
00
1
2
8
1 8
00
3
1 12
1 12
10
12
1
1
11
4
16
16
1 6 16
P63-例1
例2 将两封信随意地投入3个空邮箱,设 X, Y分别 表示第1、第2个邮箱中信的数量.求 (1) ( X,Y )的 联合分布列;(2)第3个邮箱里至少投入一封信的 概率;(3)联合分布函数在点(3/2,1/2)处的值F (3/2,1/2).
2. 二维离散型随机变量的分布律 (P62-定义2)
设二维离散型随机 (X,变 Y)所 量有可能取的
值为(xi, yj),i, j 1, 2,,记
P{X xi,Y yj} pij, i, j 1, 2,, 称此为二维离散型 变随 量(机 X,Y) 的分布,律
或随机变X量和Y的联合分布 . 律
其中,
第一节 二维பைடு நூலகம்机变量
一、二维随机变量及其分布函数 二、二维离散型随机变量 三、二维连续型随机变量 四、两个常用的分布 五、小结
一、二维随机变量及其分布函数
1.定义
设E是一个随机试验,它的样本空间是{},
设XX()和YY()是定义在上的随机变量,
由它们构成的一个向量(X,Y),叫作二维随机向量
或二维随机变量.
2, 9
P { X 1 ,Y 1 } P { X 1 ,Y 1 } 2 32
2 9
,
P { X 0 ,Y 2 } P { X 2 ,Y 0 } 1 ,
9
故所求分布律为
Y X
01 2
0 19 29 19
1 29 29
0
2 19 0
0
( 2 ) P { 第 三 个 邮 筒 里 至 少 有 一 封 信 } ＝ P { X Y 1 }
P {X0,Y0 }P {X0,Y1 }P {X1 ,Y0 }
1225 999 9
(3)F
3 2
,
1 2
P X
3 ,Y 2
1 2
PX 0,Y 0 PX 1,Y 0
1 2 1. 99 3
说明
离散型随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数归纳为
F(x,y)pij,
xixyjy
其中和式是x对 i x,一 yj 切 y的 i满 ,j求 足 .和
F(x,y)的函数值就是 在随 如机 图点 所落 示
域内的. 概率 y
(x, y) •
Xx,Yy
o
x
(2) 分布函数的性质 (P61-基本性质(1)-(4)) 1oF(x,y)是变 x和 量 y的不减 ,即函 对数 于 意固y,定 当 x2的 x1时 F(x2,y)F(x1,y), 对于任 x ,当 y 2 意 y 1 时 F ( 固 x ,y 2 ) 定 F (x ,y 1 ) 的 . 2o0F (x,y)1, 且有
p i1 p i2 L p ij L
例1设随机变 X在 量1,2,3,4四个整数中等可 取值 ,另一个随机Y在 变1量 ~X中等可能地取 整数.值 试求 (X,Y)的分布. 律 P29-(9)
解 {Xi,Yj}的取值情: 况 i1 是 ,2,3,4,
j取不大i的 于正整. 且数由乘法公式得 P {X i,Yj} P { Y jX i} P { X i} 1 1 ,