二维随机变量函数的概率分布.ppt
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第三章 多维随机变量及其分布 第一节 二维随机变量及其分布函数 概率论课件
前面我们介绍了二维随机变量的概 念, 二维随机变量的分布函数及其性质。
二维随机变量也分为离散型和连续型, 下面我们分别讨论它们。
三、二维离散型随机变量 及其概率分布
如果二维随机变量(X,Y)的每个分 量都是离散型随机变量,则称(X,Y)是 二维离散型随机变量.
二维离散型随机变量(X,Y)所有可 能取的值也是有限个或可列无穷个.
求: 二维随机变量(X,Y)的概率分布和其边缘分 布.
解: (X,Y)所有可能取的值是
(0,0),(0,1),(1,0,),(1,1).
P{X=0,Y=0}
=P{第一次取到正品且第二次也取到正品},
利用古典概型,得: P{X=0,Y=0}=(76)/(109)=7/15
同理求得:
P{X=0,Y=1}=(73)/(109)=7/30
第三章
多维随机变量及其分布
一般地，我们称n个随机变量的整体
X=(X1, X2, …，Xn)为n维随机变量或随
机向量. 以下重点讨论二维随机变量.
请注意与一维情形的对照 .
第三章 第一节
二维随机变量及其分布函数
一、二维随机变量
设随机试验E的样本空间是Ω，X=X() 和Y=Y()是定义在Ω上的随机变量, 由它们 构成的向量(X,Y),称为二维随机变量(向量)。
而把F(x,y)称为X和Y的联合分布函数。
注意
X与Y的边缘分布函数,实质上就是一维随 机变量X或Y的分布函数。称其为边缘分布函数 的原因是相对于(X,Y)的联合分布而言的。
同样地,(X,Y)的联合分布函数F(x, y)是相 对于(X,Y)分量X与Y的分布而言的。
求法
FX(x)=P{X≤x}=P{X≤x,Y<∞}=F(x,∞) FY(y)=P{Y≤y}=P{X<∞,Y≤y}=F(∞,y)
概率论二维随机变量及其分布 ppt课件
二维随机变量的分布函数
F ( x , y ) P { X x , Y y } 就是随机点 (X,Y)落入区域
{t,s ( )|t x ,s y }
的概率(如图1).
由概率的加法法则，随机点(X,Y)落入矩形域
{ x 1 x x 2 ,y 1 y y 2 }
的概率
P { x 1 x x 2 ,y 1 y y 2 } F ( x 2 ,y 2 ) F ( x 2 ,y 1 )
F (x ,y)1 2 2arc 2 x t 2a anrc 3 y .ta
(2)由 (1)式得
P { 2 X , 0 Y 3 } F ( , 3 ) F ( , 0 ) F ( 2 , 3 ) F ( 2 , 0 ) 1/1.6
完 21
三、二维离散型随机变量及其概率分布
Pi1
i
Pi 2
Pij
i
27
联合概率分布表
对离散型随机变量而言，联合概率分布不仅比联合
分布函数更加直观，而且能够更加方便地确定(X,Y)
取值于任何区域 D上的概率. 设二维离散型随机变
量的概率分布为
P { X x i , Y y j } p i ( i j , j 1 , 2 , )
二维离散型随机变量及其概率分布
分布:
p i ( i 1 , 2 , )p , j( j 1 , 2 ).
p i P {X x i} p i,ji 1 ,2 , j
p j P { Y y j}p i,jj 1 ,2 ,25 i
二维离散型随机变量及其概率分布
分布: p i ( i 1 , 2 , )p , j( j 1 , 2 ).
F X ( x ) P { X x } P { X x , Y } F(x, )
《概率论与数理统计》课件3-1二维随机变量及其联合分布
P{a X b} = F(b) − F(a) + P{X = a}
二维随机变量联合分布函数
F(x,y) = P{X x,Y y}
(1) 有界性 0 F(x,y) 1，且有F(− ,y) = lim F(x,y) = 0
x→−
F(x，− ) = lim F(x,y) = 0 F(− ，− ) = lim F(x,y) = 0 ，
1
F(
) 1 F( y) 0 F(x ) 0
F ( , ) A(B )(C ) 1
2
2
F ( , y) A(B )(C arctan y) 0 2
F ( x,
) A( B arctan x) ( C
)0
2
A
F (x, y) y).
1
2
,
B
1
2 (2
C.
2
arctan x)( 2
arctan
(2) P 0 X , 0 Y 1 F( ,1) F(0,1) F( , 0) F(0, 0) ．
则〈
l
0，
它
P 恳1 < X 共 2,3 < Y 共 5}
x > 0, y > 0 其
= F(2,5) − F(1,5) − F(1,3) + F(2,3)
A) V
B) 根
A
B
提交
1 F(x, y) A(B arctan x)(C arctan y).
1
A, B,C 2 P 0 X , 0 Y 1
A.
B.
C.
D.
A
C
B
D
提交
1. F(x, y) P{X x,Y y}.
2.
二维随机变量联合分布函数
F(x,y) = P{X x,Y y}
(1) 有界性 0 F(x,y) 1，且有F(− ,y) = lim F(x,y) = 0
x→−
F(x，− ) = lim F(x,y) = 0 F(− ，− ) = lim F(x,y) = 0 ，
1
F(
) 1 F( y) 0 F(x ) 0
F ( , ) A(B )(C ) 1
2
2
F ( , y) A(B )(C arctan y) 0 2
F ( x,
) A( B arctan x) ( C
)0
2
A
F (x, y) y).
1
2
,
B
1
2 (2
C.
2
arctan x)( 2
arctan
(2) P 0 X , 0 Y 1 F( ,1) F(0,1) F( , 0) F(0, 0) ．
则〈
l
0，
它
P 恳1 < X 共 2,3 < Y 共 5}
x > 0, y > 0 其
= F(2,5) − F(1,5) − F(1,3) + F(2,3)
A) V
B) 根
A
B
提交
1 F(x, y) A(B arctan x)(C arctan y).
1
A, B,C 2 P 0 X , 0 Y 1
A.
B.
C.
D.
A
C
B
D
提交
1. F(x, y) P{X x,Y y}.
2.
二维随机变量的函数的分布
即 pij pi p j .
(2) 设连续型随机变量( X ,Y )的概率密度为f ( x, y) , 边缘概率密度分别为f X ( x) , fY ( y) ,则有
X 和Y 相互独立 f ( x, y) f X ( x) fY ( y).
在f ( x, y) , f X ( x) , fY ( y)的一切连续点(x, y)处
Z=X+Y的概率密度。
解
fX (x)
1
x2
e 2,
2
fY ( y)
1
y2
e 2 ,( x, y )
2
fZ (z) fX ( x) fY (z x)dx
t 2(x z ) 2
1
x2
e2
2
1 e dx
(
z x 2
0.1 0.3 0.3 0.1 0.2
X与Y独立，X,Y取0,1,2，…，则Z=X+Y Z=max(X,Y)
的分布律
设X与Y独立，分别服从参数为 1 ，2 的泊松分布， 证明Z=X+Y服从参数为 1 2 的泊松分布。
【注】分布具有可加性
二项分布的可加性（P89）
二、 连续型随机变量的函数的分布
例2 设随机变量X和Y相互独立，且X和Y都是（0，a） 上的均匀分布，求Z=X+Y的概率密度。
例2 在一简单电路中，两电阻R1和R2串联联接，设
R1, R2相f (互x)独 立1，050它x 们, 的0 概x率密10度, 均为 z
0,
其 它.
求总电阻R=R1+R2的概率密度.
z=x+10 z=x
0,
, x 0, 其它.
(2) 设连续型随机变量( X ,Y )的概率密度为f ( x, y) , 边缘概率密度分别为f X ( x) , fY ( y) ,则有
X 和Y 相互独立 f ( x, y) f X ( x) fY ( y).
在f ( x, y) , f X ( x) , fY ( y)的一切连续点(x, y)处
Z=X+Y的概率密度。
解
fX (x)
1
x2
e 2,
2
fY ( y)
1
y2
e 2 ,( x, y )
2
fZ (z) fX ( x) fY (z x)dx
t 2(x z ) 2
1
x2
e2
2
1 e dx
(
z x 2
0.1 0.3 0.3 0.1 0.2
X与Y独立，X,Y取0,1,2，…，则Z=X+Y Z=max(X,Y)
的分布律
设X与Y独立，分别服从参数为 1 ，2 的泊松分布， 证明Z=X+Y服从参数为 1 2 的泊松分布。
【注】分布具有可加性
二项分布的可加性（P89）
二、 连续型随机变量的函数的分布
例2 设随机变量X和Y相互独立，且X和Y都是（0，a） 上的均匀分布，求Z=X+Y的概率密度。
例2 在一简单电路中，两电阻R1和R2串联联接，设
R1, R2相f (互x)独 立1，050它x 们, 的0 概x率密10度, 均为 z
0,
其 它.
求总电阻R=R1+R2的概率密度.
z=x+10 z=x
0,
, x 0, 其它.
二维正态分布.ppt
第三节 二维正态分布
数学与信息技术系
定义 设二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度为
f (x, y)
1
2 x y 1 r2
2
1 (1
r
2
)
(
x
x
2 x
)2
2
r
(
xx
)( y x y
y
)
(
y
y
2 y
)2
e 其中 x , y , x 0, y 0, r r 1 是分布参数
这种分布叫做二维正态分布。
x
)
t，得到
I(x) y1 r2来自t1r2
r(x x) x
t2 e 2 dt
y 1 r2
te
t2 2
dt
r
y
(x
x
)
1 r2
t 2
e 2 dt
x
r y (x x )
1 r2
t 2
e 2 dt
x
r y (x x ) 2 1 r2 x
t2
e 2 dt 2 ,
当z≤0时，显然， FZ(z)=0；当z>0时，
1
x2 y2
FZ (z)
2
e
x2 y2 z
2 dxdy
1
2
d
z
2
e2
d
1
z
e2
2 0
0
所以 Z的分布函数为
FZ
(z)
1
e
z 2
,
z
0
0, z 0
由此Z的概率密度为
fZ
(z)
1 2
e
z 2
,
z
0
数学与信息技术系
定义 设二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度为
f (x, y)
1
2 x y 1 r2
2
1 (1
r
2
)
(
x
x
2 x
)2
2
r
(
xx
)( y x y
y
)
(
y
y
2 y
)2
e 其中 x , y , x 0, y 0, r r 1 是分布参数
这种分布叫做二维正态分布。
x
)
t，得到
I(x) y1 r2来自t1r2
r(x x) x
t2 e 2 dt
y 1 r2
te
t2 2
dt
r
y
(x
x
)
1 r2
t 2
e 2 dt
x
r y (x x )
1 r2
t 2
e 2 dt
x
r y (x x ) 2 1 r2 x
t2
e 2 dt 2 ,
当z≤0时，显然， FZ(z)=0；当z>0时，
1
x2 y2
FZ (z)
2
e
x2 y2 z
2 dxdy
1
2
d
z
2
e2
d
1
z
e2
2 0
0
所以 Z的分布函数为
FZ
(z)
1
e
z 2
,
z
0
0, z 0
由此Z的概率密度为
fZ
(z)
1 2
e
z 2
,
z
0
二维连续随机变量及其概率分布
P{x1 X x2, y1 Y y2} P{x1 X x2}P{y1 Y y2}
定理2 二维随机变量(X,Y)的两个分量独立的充 分必要条件是: 对任意实数x, y有
P{X x,Y y} P{X x}P{Y y}
定理3 若(X , Y ) 是离散型随机变量，则X与Y相 互独立的充分必要条件是
lim F ( x, y) 0
x
lim F ( x, y) 0
y
lim F ( x, y) 1
x, y
性质3 对于x 和y，F(x, y)都是右连续的，即对任意 的实数x0和y0，均有
Lim xx0 F(x, y)=F(x0 , y), Lim yy0 F( x, y )=F(x, y0 )
(3) f (x, y)与 fX (x), fY (y)之间的关系
f X (x)
f (x, y)dy
fY ( y) f (x, y)dx.
例3 设随机变量X 和Y 具有联合分布
f
(
x,
y)
6, 0,
求X 和Y 边缘密度
x2 y x 其他
解：
f X (x)
f (x, y)dy
x
6dy x2
0
x 0, y 0 其它
求 (X, Y )的边缘分布函数。
解： X的边缘分布函数为
FX
(x)
F
( x,)
lim
y
F ( x,
y)
1 ex x 0
0 x0
1 ex ey exyxy x 0, y 0
(X ,Y) ~ F(x, y)
0
其它
Y的边缘分布函数为
FY
(
y)
F
(,
定理2 二维随机变量(X,Y)的两个分量独立的充 分必要条件是: 对任意实数x, y有
P{X x,Y y} P{X x}P{Y y}
定理3 若(X , Y ) 是离散型随机变量，则X与Y相 互独立的充分必要条件是
lim F ( x, y) 0
x
lim F ( x, y) 0
y
lim F ( x, y) 1
x, y
性质3 对于x 和y，F(x, y)都是右连续的，即对任意 的实数x0和y0，均有
Lim xx0 F(x, y)=F(x0 , y), Lim yy0 F( x, y )=F(x, y0 )
(3) f (x, y)与 fX (x), fY (y)之间的关系
f X (x)
f (x, y)dy
fY ( y) f (x, y)dx.
例3 设随机变量X 和Y 具有联合分布
f
(
x,
y)
6, 0,
求X 和Y 边缘密度
x2 y x 其他
解：
f X (x)
f (x, y)dy
x
6dy x2
0
x 0, y 0 其它
求 (X, Y )的边缘分布函数。
解： X的边缘分布函数为
FX
(x)
F
( x,)
lim
y
F ( x,
y)
1 ex x 0
0 x0
1 ex ey exyxy x 0, y 0
(X ,Y) ~ F(x, y)
0
其它
Y的边缘分布函数为
FY
(
y)
F
(,
《概率论与数理统计》第3章 二维随机变量及其分布
23 April 2012
第三章 多维随机变量及其分布
注意点
第32页
(1) X 与Y是独立的其本质是： 任对实数a, b, c, d，有
Pa X b, c Y d Pa X b Pc Y d
(2) X 与Y 是独立的，则g(X)与h(Y)也是独立的.
23 April 2012
0
=A/6
所以, A=6
23 April 2012
第三章 多维随机变量及其分布
第22页
例3.3.2
若
(X,
Y)
～
p( x,
y)
6e(2x3y) , 0,
x 0, y 0 其它
试求 P{ X< 2, Y< 1}.
23 April 2012
第三章 多维随机变量及其分布
第23页
y
解: P{ X<2, Y<1} p(x, y)dxdy
3.1.2 联合分布函数
定义3.1.2 (以下仅讨论两维随机变量)
任对实数 x 和 y, 称 F(x, y) = P( X x, Y y)
为(X, Y) 的联合分布函数.
注意：
F(x, y)为(X, Y)落在点(x, y)的左下区域的概率.
23 April 2012
第三章 多维随机变量及其分布
x1 x2 … xi …
23 April 2012
y1 y2 … yj …
p11 p12 … p1j … p21 p22 … p2j … … … ……… pi1 pi2 … pi j … … … ………
第三章 多维随机变量及其分布
第9页
联合分布列的基本性质
(1) pij 0, i, j = 1, 2,… (非负性)
3.1 二维随机变量及其分布
可得
三、二维连续型随机变量及其概率分布
例：设二维随机变量（X, Y）具有概率密度
试求：（1）c 的值；（2）两个边缘密度。
解：（2）由 概率密度函数性质 4，即
即Y的边缘 密度函数为
三、二维连续型随机变量及其概率分布
例：设二维随机变量（X, Y）具有概率密度
试求：（1）c 的值；（2）两个边缘密度。
解：（2）由 概率密度函数性质 4，即
即X的边缘 密度函数为
三、二维连续型随机变量及其概率分布
例：设二维随机变量（X, Y）具有概率密度
试求两个边缘密度。
解：由 概率密度函数性质 4，即
三、二维连续型随机变量及其概率分布
例：设二维随机变量（X, Y）具有概率密度
试求两个边缘密度。
解：由 概率密度函数性质 4，即
三、二维连续型随机变量及其概率分布
解：依题意知，概率密度函数为
由 概率密度函数性质 4，得
三、二维连续型随机变量及其概率分布
解：依题意知，概率密度函数为
三、二维连续型随机变量及其概率分布
两个常见二维连续型概率分布
三、二维连续型随机变量及其概率分布
关于二维正态分布的说明 （1）服从二维正态分布的密度函数的典型图形见下图； （2）二维正态分布的两个边缘分布是一维正态分布。
解：（1）由二维随机变量分布函数的性质, 可得
一、二维随机变量及其分布函数
例：设二维随机变量（X, Y）的分布函数为
解：由（1）式可得
第一节 二维随机变量及其分布
二维随机变量及其分布函数
二维离散型随机变量及其概率分布 二维连续型随机变量及其概率密度
二、二维离散型随机变量及其概率分布
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0 x 1, 其 它.
fY
y
e y 0,
,
y 0, y 0.
设随机变量Z=X+Y的密度函数fZ(z),则有
fZ z f X x fY z xdx 0 x 1, z x 0
随机变量函数的分布
f Z z f X x fY z xdx, z
不可能事件的0概率x等于10,. z x 0 1
随机变量函数的分布
在实际问题中，常常会遇到需要求随机变量函数的
分布问题。例如：在下列系统中，每个元件的寿命
分别为随机变量 X,Y ，它们相互独立同分布。我们 想知道系统寿命 Z 的分布。
1）
Z min(X ,Y )
2）
Z max(X ,Y )
3）
Z X Y
这就是求随机变量函数的分布问题。
离散型随机变量、
x
FZ z PZ z PX Y z
O
f x， ydxdy
x yzz ຫໍສະໝຸດ zxdddxxu fffx，xx，，uuyxdxdyudx
作变换：y u x,
随机变量函数的分布
z
F (z) du f x， u xdx
利用分布函数与密度函数的关系,对FZ(z)求导, 得Z=X+Y的密度函数:
1 4
0
82
1 8
5 8
由此得 Z=X+Y的分布律
Z123 P 1/4 1/8 5/8
随机变量函数的分布
2.连续型随机变量和的分布
设(X,Y)是二维连续型随机变量，其联合概率密度
函数为f (x , y), 令：Z=X+Y.试求随机变量Z的密度函
数fZ(z).
y
1.计算随机变量Z=X+Y的分布函数FZ(z).
我们称上式为函数fX(x)与 fY(y) 的卷积.记为: fX(x)* fY(y).
fZ z fX x* fY y
随机变量函数的分布
例2 设随机变量X和Y相互独立，X服从区间(0,1）上 的均匀分布，Y服从λ=1的指数分布.令Z=X+Y,试求 随机变量Z的密度函数.
解 由题意知:
f
X
x
1, 0,
§4.5 多维随机变量函数的分布
一般情形求随机变量函数分布 的方法
和的分布 最值分布
随机变量函数的分布
一、二维随机变量函数的概念
定义：设Z=g(X,Y)是定义在随机变量(X,Y)一切可能取值(x,y)
的集合上的函数，如果对于(X,Y)每一对取值(x,y)，另一个 随机变量Z相应地取值为z=f (x , y),于是确定一个随机变量 Z，称Z为(X,Y)的函数。记为：Z=g(X,Y).
说明：二维随机变量(X,Y)的函数Z=g(X,Y)是一维随机变量，
若设(X,Y)的联合概率密度函数为z=f (x, y),则二维随机变量 (X,Y)的函数Z=g(X,Y)是一维连续型随机变量.
随机变量函数的分布
解题步骤： 已知二维随机变量(X,Y)的联合密度为f (x, y),
g(x , y)是二元连续函数，欲求随机变量 Z=g (X,Y)的 概率密度。
e 2 e 2 dx
2
1 e 1 e du 1
z2
e 1 e dx 4
2
z2 2
2
x
z
2
2
u2 2
u
x z du dx
22 2 2z2 2
2
22
1
e 2
2
2
2 2
Z ~ N 0， 2．
随机变量函数的分布
结论1： 如果随机变量与Y相互独立，且X~N(μ1, σ12), Y~N(μ2, σ22),令Z=X+Y,则Z ~N(μ1 +μ2,σ12 +σ22).
令: Z=X+Y, 试求随
1 1/4 0
机变量Z的分布律.
2 1/8 5/8
解 由随机变量X,Y的取值,知Z的可能取值是1,2,3.
PZ 1 PX 1， Y 0 1 ； 4
随机变量函数的分布
PZ 2 PX 1， Y 1 PX 2， Y 0
0 1 1； 88
Y X
0
1
PZ 3 PX 2， Y 1 5 ； 1
设(X,Y)是二维独立随机变量，其联合分布函数 为F(x,y),边缘分布函数分别为FX(x)和FY(y).
1.M maxX ,Y的分布．
FM z PM z PX z,Y z F z, z
FX zFY z
X与Y相互独立
2.N minX ,Y的分布．
FN z PN z 1 PN z 1 PX z,Y z
1.求 Z gX， Y 的分布函数FZ z，
FZ z PZ z f ( x, y)dxdy gx, yz
2, 求 Z gX， Y 的密度函数 fZ z FZ z.
随机变量函数的分布
二、和Z=X+Y的分布
1.离散型随机变量和的分布
例 1 设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为
Y
X
01
1 1 FX z1 FY y
X与Y相互独立
随机变量函数的分布
f Z z FZ z f x， z xdx （1）
同理可得
f Z z f z y， ydy （2）
随机变量函数的分布
如果随机变量X,Y相互独立,则有
f x， y f X x fY y.
于是,(1)(2)式可写为:
fZ z fX x fY z xdx ; fZ z fX z y fY ydy
结论2：如果随机变量X1, X2,…, Xn相互独立，且
Xi~N(μi,σi2) (i=1,2,…,n), 又a1, a2,…, an为n个
实常数,令
n
Z ai X i，则
i 1
Z
~
N
n
a
i
，
i
i 1
i
n 1
a
i2
2 i
随机变量函数的分布
三、极值分布 M maxX ,Y, N minX ,Y
0
随机变量函数的分布
例3: 设随机变量X和Y相互独立，X~N(0,1),Y~N(0,1)
令Z=X+Y,试求随机变量Z的密度函数.
解
由题意知:
fX x fY x
1
x2
e2
2
x ,
设随机变量Z=X+Y的密度函数fZ(z),则有
fZ
z fX
x
fY
z x dx
1
x2 z x 2
zx0
(于1)是若得z≤随0机,则变f量Z(zX)=+0Yz的密度函数为
(2) 若0<z<1, f Z z 1 e (zx)dx
0
1
x
00 z
z0
(3)
fZ z
若z≥1,
fZe
1 eez z e 10
zz1 ee(zz
x
dx01ze1
x)dxz 1
z
01
e z e x dx e z1 e z