二维随机变量及其分布题目
概率论与数理统计 第三章 二维随机变量及其概率分布 例题
1．甲乙两人独立地进行两次射击，命中率分别为0.2、0.5，把X、Y分别表示甲乙命中的次数，求（X,Y）联合分布律。
2．袋中有两只白球，两只红球，从中任取两只以X、Y表示其中黑球、白球的数目，求（X,Y）联合分布律。
3．设，且P{}=1，求（，）的联合分布律，并指出，是否独立。
4．设随机变量X的分布律为Y=，求（X,Y）联合分布律。
5．设（X,Y）的概率分布为且事件{X=0}与{X+Y=1}独立求a，b。
6. 设某班车起点上车人数X服从参数λ(λ>0)的泊松分布，每位乘客中途下车的概率为P （0<P<1）相互独立。
以Y表示中途下车的人数。
（1）求在发车时有n个人的情况下，中途m个人下车的概率；（2）求（X,Y）联合分布律。
7. 设二维随机变量（X,Y）联合分布函数F(x.y)=A(B+arctan) (C+arctan)。
（1）A、B、C （2）(X,Y)的联合密度f(x,y) （3）（X,Y）的边缘密度，概率论与数理统计第三章二维随机变量及其概率分布例题8.设f(x,y)=为二维随机变量（X,Y）的联合密度函数，求：其它（1）C的值（2）， (3)P{X+Y1}并判别X与Y是否独立。
为（X,Y）的密度函数，求：9．设f(x,y)=其它(3)P{X>1/2|Y>0}为（X,Y）的密度函数，求10. 设f(x,y)=其它11. 设f(x,y)=为（X,Y）的密度函数，求（）的联合分布其它函数。
12.设X,Y独立，均服从(0,1)上的均匀分布，Z的密度函数。
13. 设f(x,y)=（）为（X,Y）的密度函数，Z=X+Y,求的密度函其它数。
概率论与数理统计第三章二维随机变量及其概率分布例题14.设X,Y独立，X~N(μ,),Y~V(-π,π),Z=X+Y,求，结果用Φ( x)表示。
15.设（X,Y）的联合密度函数为f(x,y)=,Z=X+Y,求Z的概率密度。
为（X,Y）的密度函数，Z=X+2Y,求的密度函数。
概率统计第三章
第三章二维随机变量及其分布练习题 3.1一、判断题1(X,Y)的分布可确定 X 与 Y 的边缘分布。
()、由2、设、是两个随机变量，则是二维随机变量。
3、设二维随机变量 (,)的联合分布函数为 F (x, y) ，则 F ( x, y)P{x,y} 1 P{x,y} 。
() 4、设二维随机变量(,) 的联合分布函数为 F (x, y) 则，P{ x1x2 , y1y2 } F (x2 , y2 ) F ( x1 , y1 )()5、由( X,Y)的两个边缘分布可确定 ( X ,Y )的联合分布()6、若(X,Y)为离散型二维随机变量，则P{ X a,Y b}P{ x a, y b} (其中 a,b 为常数)() 7、设( , )的概率分布为0133 1010131 1010则， U的概率分布为U012343。
( )P1010 10二、填空题1.设二维随机变量 ( , ) 的联合概率分布为01200.10.2010.30.10.120.100.1则 P0 =____。
2.设二维随机变量 ( , ) 的概率密度e y0 x yx, y0其他而的边缘密度为y ，则 2 =________。
3.设二维随机变量 ( , ) 的概率密度为1 0 x 1,0 y1x, y0其他则概率 P0.5,0.6 =________。
4.设二维随机变量 ( , ) 的概率密度为4xy0 x1,0y1x, y0其他则 P 01 , 12 41=___________，P{} =_________，P{} =_________。
5.(X ,Y)是二维连续型随机变量，用(X ,Y)的联合分布函数 F ( x, y)表示下列概率（1）p( a X b, Y c)__________ __________;（2）p( X a, Y b)____________________ ;（3） p(0 Y a ) __________ __________;（4） p( X a, Y b) ____________________ .练习题 3.2一、选择题1、设,为随机变量，则事件1,1的逆事件为 ().A1, 1 ;B1, 1 ;C1, 1 ;D1 1 .2、p ij P{x i ,y j }( i, j1,2,) 是离散型二维随机变量( ,) 的（）。
考研数学一二维随机变量及其分布历年真题试卷汇编2_真题(含答案与解析)-交互
考研数学一（二维随机变量及其分布）历年真题试卷汇编2(总分150, 做题时间180分钟)选择题1.[2009年] 设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N(0，1)，Y(z)为随机变量Z=XY的分布函数，则函的概率分布P(Y=0)=P(Y=1)=1／2．记FZ数F(z)的间断点的个数为( )．ZSSS_SINGLE_SELAB1C2D3分值: 7.5答案:BF(z)=P(Z≤z)=P(XY≤z)=P(XY≤z｜Y=0)P(Y=0)+P(XY≤z｜Y=1)P(Y=1)Z=[P(XY≤z｜Y=0)+P(XY≤z｜Y=1)]／5．又X，Y相互独立，故 F(z)=[P(X·0≤z)+P(X≤z)]／2．Z(z)=[+ф(z)]／2=ф(z)／2．当z＜0时， FZ(z)=[P(Ω)+P(X≤z)]／2=[1+ф(z)]／2．当z≥0时， FZ综上所述，得到因(z)只有一个间断点z=0．仅B入选．所以FZ2.[2012年] 设随机变量X与Y相互独立，且分别服从参数为1和参数为4的指数分布，则P(X＜Y)=( )．SSS_SINGLE_SELA1／5B1／3C2／5D4／5分值: 7.5答案:A由题设有而X与Y相互独立，故f(x，y)=fX (x)fY(y)=则P(X＜Y)= f(x，y)dxdy=∫0+∞∫x+∞4e-(x+4y)dxdy=一∫+∞e-x dx∫x+∞e-4y d(一4y)=∫0+∞e-x·e-4x dx=∫+∞e-5x dx=仅A入选．3.[2005年] 设二维随机变量(X，Y)的概率分布为若随机事件{X=0}与{X+Y=1}相互独立，则( )．SSS_SINGLE_SELAa=0．2，b=0．3Ba=0．4，b=0．1Ca=0．3，b=0．2Da=0．1，b=0．4分值: 7.5答案:B由=(a+0．4)+(b+0．1)=a+b+0．5=1(归一性)知，a+b=0．5．又由事件{X=0}与{X+Y=1}相互独立，有P(X=0，X+Y=1)=P(X=0)P(X+Y=1)，而P(X=0，X+Y=1)=P(X=0，Y=1)=a，P(X=0)=a+0．4，P(X+Y=1)=P(X=0，Y=1)+P(X=1，Y=0)=a+b，故 a=(a+0．4)(a+b)=(a+0．4)×0．5．①所以a=0．4．从而b=0．5一a=0．1．填空题4.[2003年] 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为则P(X+Y≤1)=______．SSS_FILL分值: 7.5答案:首先求出积分区域D ∩ G．D ∩ G实质上是G={(x，y)｜0≤x≤y≤1}与D={(x，y)｜x+y≤1}交集．可知，0≤x≤y≤1是在y=x上方的区域，而x+y≤1是直线x+y=1下方的区域．两者之交即为D ∩ G(见图)，故5.[2015年] 设二维随机变量(X，Y)服从正态分布N(1，0；1，1；0)，则P{XY—Y＜0}=_______．SSS_FILL分值: 7.5答案:因(X，Y)～N(1，1；0，1；0)，ρ=0，故X，Y相互独立，则P{XY—y＜0}=P{(X一1)Y＜0}=P{X一1＜0，Y＞0}+P{X一1＞0，Y＜0}=P{X＜1}P{Y＞0}+P{X＞1}P{Y＜0}．因X～N(1，1)，故P{X＜1}=P{X＞1}=．因Y～N(0，1)，故P{Y＞0}=P{Y＜0}=．所以6.[2006年] 设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间[0，3]上的均匀分布，则P(max{X，Y}≤1)=______．SSS_FILL分值: 7.5答案:1/9P(max(X，Y)≤1)=P({X≤1}{Y≤1})=P(X≤1，Y≤1)=P(X≤1)P(Y≤1)=[(1一0)／(3—0)][(1一0)／(3一0)]=(1／3)×(1／3)=1／9．解答题[2008年] 设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为P(X=i)=1／3(i=一1，0，1)，Y的概率密度为记Z=X+Y．SSS_TEXT_QUSTI7.求P(Z≤1／2｜X=0)；分值: 7.5答案:由于X，Y相互独立，有P(Z≤1／2 ｜X=0)=P(X+Y≤1／2｜X=0)=P(y≤1／2｜X=0)SSS_TEXT_QUSTI8.求Z的概率密度fZ(z)．分值: 7.5答案:因X的可能取值为一1，0，1，而fY(y)取非零值的自变量的变化范围为0≤y≤1，一1≤z=x+y≤2．(1)当z≥2时，X，Y的所有取值均满足上式，故F(z)=P(Z≤z)=P(X+Y≤z)=1．(2)当z=x+y＜一1时，X，Y的取值为空值，则P(X+Y≤z)==0．(3)当一1≤z＜2时，下面用全概率公式求出FZ(z)的表示式：FZ(z)=P(Z≤z)=P(X+Y≤z)=P(X+Y≤z｜X=一1)P(X=一1)+P(X+Y≤z｜X=0)P(X=0)+P(X+Y≤z｜X=1)P(X=1)(Fy(z)为y的分布函数)，则fZ (z)=F'Z(z)=[FY(z+1)+fY(z)+fY(z—1)]．当0＜z+1＜1或0＜z＜1或0＜z—1＜1，即一1＜z＜2时，FZ(z)=；其他情况下，fZ(z)=0．[2017年] 设随机变量X，Y相互独立，，Y的概率密度为fY(y)=SSS_TEXT_QUSTI9.求P{Y≤E(Y)}；分值: 7.5答案:因E(Y)=∫-∞+∞yfY(y)dy=∫1y·2ydy=，故SSS_TEXT_QUSTI10.求Z=X+Y的概率密度．分值: 7.5答案:Z的分布函数FZ(Z)=P{X+Y≤z，X=0}+P{X+Y≤z，X=2} =P{X=0，Y≤z}+P{X=2，Y+2≤z}=，故Z的概率密度函数为[2014年] 设随机变量X的概率分布为P(X=1)=P(X=2)=，在给定X=i的条件下，随机变量y服从均匀分布U(0，i)(i=1，2)．SSS_TEXT_QUSTI11.求Y的分布函数F(y)；Y分值: 7.5答案:记U(0，i)的分布函数为F(x)(i=1，2)，则i(y)=p(Y≤Y)=P(x=1)P(Y≤y｜X=1)+P(X=2)P(Y≤y｜X=2)于是FY因在X=i的条件下，Y服从均匀分布U(0，i)(i=1，2)，故当y≤0时，(y)=0．Fi当0＜y≤1时，当1＜y＜2时，当y≥2时，所以SSS_TEXT_QUSTI12.求期望E(Y)．分值: 7.5答案:(y)可得概率密度函数为由Y的分布函数FY+∞yfy(y)dy=故E(Y)=∫-∞[2013年] 设随机变量X的概率密度为令随机变量，SSS_TEXT_QUSTI13.求y的分布函数；分值: 7.5答案:+∞f(x)dx=，得到a=9．此时，X的利用概率密度函数的归一性，由1=∫-∞概率密度为(y)．由题设知，Y的取值范围为1≤Y≤2，故设Y的分布函数为FY(y)=P{Y≤y}=0；P(1≤Y≤2)=1．因而当y＜1时，FY当1≤Y＜2时，F(y)=P{Y≤y}=P{Y＜1}+P{Y=1}+P{1＜Y≤y}Y=0+P{X≥2}+P{1＜X≤Y}=(y)=P{Y≤y}=P{Y≤2}=1．当Y≥2时，FY综上得到y的分布函数为SSS_TEXT_QUSTI14.求概率P{X≤Y}．分值: 7.5答案:由随机变量y的分段表示式易看出，满足x≤y的x的取值范围为x＜2．因而所求概率为P{X≤Y}=P{X＜2}=[2016年]设二维随机变量(X，Y)在区域D=((x，y)｜0＜x＜1，x2＜y＜)上服从均匀分布．令SSS_TEXT_QUSTI15.写出(X，Y)的概率密度；分值: 7.5答案:易求得区域D的面积，故(X，Y)的概率密度SSS_TEXT_QUSTI16.问U与X是否相互独立?并说明理由；分值: 7.5答案:考查事件{U=0}与乘积的概率是否与事件{U=0}的概率的乘积相等．事实上，它们不相等．易求得显然，故U与X不独立．SSS_TEXT_QUSTI17.求Z=U+X的分布函数FZ(z)．分值: 7.5答案:下面用全集分解法求f(u，v)的分布函数FZ(z)=P(Z≤z)=P(U+X≤z)．FZ(z)=P(U+X≤z)=P(U=0，U+X≤z)+P(U=1，U+X≤z)=P(U=0，X≤z)+P(U=1，U≤z—1)=P(X＞y，X≤z)+P(X≤Y，X≤z一1)注意到x取值的边界点为0，1，而U取值边界点也为0，1，因而z的取值的分段点为0，1，2．于是应分下述四种情况分别求出FZ(z)的表示式．①z＜0时，则P(X≤z)==0，P(X≤z—1)==0，故FZ(z)=0．②0≤z＜1时，③1≤z＜2时，④z≥2时，FZ(z)=P(X＞Y)+P(X≤y)=P(U=0)+P(U=1)=1．综上所述，Z的分布函数为[2009年] 袋中有一个红球、两个黑球、三个白球．现在有放回地从袋中取两次，每次取一个，以X，Y，Z分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球个数．SSS_TEXT_QUSTI18.求P(X=1｜Z=0)；分值: 7.5答案:(I)用缩减样本空间的方法求之．求时应注意两次取球取到的是不同类的球，要讲次序．因而两次都没取到白球(Z=0)的条件下，只能取红、黑两种球，且每次都要取到一个红球，其可能性为C11×C21+C21×C11=4，总的可能性为C 31×C31=3×3=9，故SSS_TEXT_QUSTI19.求二维随机变量(X，Y)的概率分布．分值: 7.5答案:由题设知X与Y的所有可能取值均为0，1，2，而取值的概率可由古典概率的计算公式得到．计算时要注意两次取球取到的是不同类的球要讲次序，取到的是同类的球不讲次序．故(X，Y)的概率分布为20.设随机变量X的概率密度为f(x)=e-｜x｜／2，一∞＜x＜+∞，问随机变量X 与｜X｜是否相互独立?为什么?SSS_TEXT_QUSTI分值: 7.5答案:因X和｜X｜为两个随机变量，下面证明对于给定的a(0＜a＜+∞)，式P(X＜x，Y＜y)=P(X＜x)P(Y＜y)不成立，从而X与｜X｜不相互独立．事实上，因事件{｜X｜＜a}包含在事件{X＜a}之中，即{X＜a} {｜X｜＜a}，故P(X＜a，｜X｜＜a)=P({X＜a}∩{｜X｜＜a})=P(｜X｜＜a)．又P(X＜a)＜1，P(｜X｜＜a)＞0，因而P(X＜a)P(｜X｜＜a)＜P(｜X｜＜a)．于是P(X＜a，｜X｜＜a)=P(｜X｜＜a)＞P(X＞a)P(｜X｜＜a)，故P(X＞a，｜X｜＜a)≠P(X＜a)P(｜X｜＜a) (0＜a＜+∞)．可知，X与｜X｜不相互独立．1。
概率统计习题选讲〔5-6〕
1
2
1
;
其他类似可求得.
4 3 6 1 1 1 ; P ( X 1, Y 3) P ( X 1) P ( Y 3 X 1) 4 3 12
2
(X,Y)的联合分布列为
Y
X
1
0
1/ 6 1 /12
2
1/ 6 1/ 6 1/ 6
3
1 /12 1/ 6
1 2 3
0
P ( X Y ) P ( X Y 1) P ( X Y 2 ) P ( X Y 3)
7 9 2 9
0 .6 2 2 2;
P ( X 0, Y 1) P ( X 0 ) P ( Y 1 X 0 )
0 .1 7 8 8;
P ( X 1, Y 0 ) P ( X 1) P ( Y 0 X 1)
2
8
0 .1 7 8 8;
1, 5 x 6; f X (x) 0, 其 他 .
1
Y 1 4
2
X .
2
2 5 4
Y 9 .
FY ( y ) P ( Y y ) P ( X 4
4y
y ) P (5 X
5.
1
4y
)
5
f X ( x )d x
4y
X Y
的分布。
y
x y 2
解： X Y 的可能取值范围是： 2 Z 2 . Z 2
x y 2
x
2 在这两条平行直线之间，满足 2 z x y 2
概率论与数理统计第3章：二维随机变量及其分布总复习题
第3章总复习题()()1.15 选择题：小题，每小题4分，共20分.下列每小题给出的4个选项中，只有一个是符合题目要求的.()()()()(){}()1,,1,1.X Y X Y F x y F x F y P X Y >>=设随机变量的联合分布函数为,其边缘分布函数为和,其概率()()11,1.A F -()()()111.X YB F F --()()()()1,1111.X Y C F F F --+()()()()1,111 1.X Y D F F F ++-()1.C 答案为()(){}()222011.X Y P X Y +≤=设随机变量和相互独立，且都服从区间，上的均匀分布，则()1.4A ()12B ().8C π().4D π()2.D 答案为()()(){}()31,1min ,2.X Y E P X Y <<设相互独立的两个随机变量与均服从指数分布则的值为()12.A e e ---()11.B e --()21.C e --()24.D e e ---()3.D 答案为()()()()40111.X Y X N Y N 设随机变量与相互独立，且，，，，则(){}10.2A P X Y +≤=(){}11.2B P X Y +≤=(){}102C P X Y -≤=(){}11.2D P X Y -≤=()4.B 答案为(){}()151.2X Y B P X Y ⎛⎫== ⎪⎝⎭设随机变量和相互独立，它们的概率分布均为，，则()0.A ()1.4B ()1.4C ()1.D ()5.C 答案为()()2.610.填空题小题，每题4分，共20分()6.X Y Z X Y λ=+已知随机变量和相互独立，且均服从参数为的泊松分布，则服从的分布为()()62.Z P λ 答案:()()(){}7,0,1,0,2,.X Y X U Y U P X Y <=已知随机变量和相互独立则(){}()37,.4x yP XY f x y dxdy <<==⎰⎰答案：()()()()()21,20418,01,20,,1,4.x X f x x F x y X X F ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩-，设随机变量的概率密度为，记为二维随机变其它。
概率统计10——二维随机变量函数分布
特殊情况，如果X与Y具有相同分布，
重庆大学数理学院
FZ1 ( z) F ( z) F ( z) F ( z)
2
即FX(z)=FY(z)记为F(z)，则上述公式变为
FZ2 ( z) 1 [1 F ( z)][1 F ( z)] 1 [1 F ( z)]
2
推广： 若Z1=max(X1,X2,…,Xn), Z2=min(X1,X2,…,Xn),
P
14
14
16
18
18
1 12
重庆大学数理学院
( X,Y ) (-1,-1) (-1,0) (1,-1) (1,0) (2,-1) (2,0) -1 0 1 1 2 X +Y -2 X -Y XY
0
1 1
-1
0 0
2
-1 -1
1
0 0
3
-2 -1/2
2
0 0
Y/X
X+Y P
-2
-1
0
1
2
14
14
0
重庆大学数理学院
z x ( z x) xe ( z x)e dx, f Z ( z ) f ( x) f ( z x)dx 0 0, z3 z e , 6 0, z0 other z0 other
解：设 X i (i 1,2) 表示第i周需求量，且它们独立同分布， 则欲求 Y X1 X 2 的密度函数。
e
dx
1
2
e
z2 4
所以，X+Y～N(0, 2)。
一般地，X～N(μ1,σ12), Y～N(μ2,σ22), 则X+Y～N(μ1+μ2, σ12+σ22)。 称该性质为线性可加性，二项分布、泊松分布都 机变量的情形。
二维随机变量函数的分布
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例1 设随机变量 ( X, Y ) 的联合分布列如下
Y
X0
1
2
3
4
5
0
0
0.01
0.03
0.05
0.07
0.09
1
0.01
0.02
0.04
0.05
0.06
0.08
2
0.01
0.03
0.05
0.05
0.05
0.06
3
0.01
0.02
0.04
0.06
0.06
0.05
试求 ZXY 的分布列．
解 Z 所有可能的取值显然为 0，1，2, ···, 8 . 在联合分布列中对使 Z 可取同一值的X 与Y的取值概率进行归并, 即得Y 的分布律如下
退出
退出
退出
Z = X＋Y
1. 离散变量之和的分布列可用归并法求之
在离散量的分布列中, 对X , Y 所有能 使函数 Z 取同一值的全部取值概率进行 归并 ( 例如, 固定一个变量的取值, 然后 寻找另一变量与其之和为同一值的取值 概率), 所得之和即是函数 Z 在同一可取 之值上的取值概率.
那么, 其和变量 Z = X1 + X2 + … + X k
也是泊松量，且有
k
Z ~ P ( i ) i1
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例2-4 两[ 0 ,1 ]上的均匀量 X 与Y 相互独立, 试求和变量
ZXY的概率密度.
解 Q X ~ R ( 0 , 1 ) ,Y ~ R ( 0 , 1 ) , 且相互独立 , ∴概率密度
x ty z
[ f(ty,y)d t]d y
第3章习题
第三章习题3-1二维向量及分布一. 单项选择题1. 已知二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数F（x, y）= P{X≤x,Y≤y}，则事件{X>1,Y>0}的概率是（A）F（1, 0）（B）1－F（1, +∞）－F（+∞,0）+F （1, 0）（C）F（1, +∞）－F（1, 0）（D）1－F（1, 0）2. 下列说法不正确的是（A）分布函数F（x, y）是变量x和y的不减函数（B）0< F（x, y）<1（C）P{x1<X2<x2, y1<Y<y2}≥0 （D）f（x, y）≥03. 下列二元函数中，可作为连续型随机变量的联合概率密度为（A）（B）;（C）（D）二.填空题1. 因为二元函数不满足，所以不是某一个二维随机变量的联合分布函数。
2. 用（X ，Y）的联合分布函数F（x, y）表示下述概率：（1）P{a≤X≤b, Y <c} ；（2）P{a≤X, Y≥b} 。
3. 设随机变量X与Y相互独立，且均匀服从正态分布N（0，1），则概率P{XY ≥0}=。
4. 设随机变量（X ，Y）的概率密度为则概率P{ X<0.5,y<0.6}= 。
三. 计算题1. 在一箱子中装有12只开关，其中2只是次品，在其中取两次，每次任取一只，考虑放回抽样试验现定义随机变量如下：0 若第一次取出的是正品 0 若第二次取出的是正品X= ，Y=1 若第一次取出的是次品 1 若第二次取出的是次品试就此情况，写出和的联合分布律2. 上题中若作不放回抽样，写出和的联合分布律3. 设随机变量的概率密度为（1）确定常数k（2）求P{X<1, Y<3}（3）求P{X<1.5}（4）求P{X+ Y≤4}四.证明题1. 二元函数不是一个分布函数。
参考答案一. （1）B（2）B（3）B二． 1. P{x1<X2<x2,y1<Y<y2}= F（x2, y2）－F（x2, y1）－F（x1, y2）+ F（x1, y1），2. （1）F（b, c）－F（a, c）（2） 1－F（+∞, b）－F（a, +∞）+ F（a,b）3. 0.54. 0.3三. 1.010 25/36 5/36 15/36 1/362.0 1 0 45/6610/66 110/661/663. （1）k = 1/8（2）3/8， （3）27/32， （4）2/3 四．3.2-边缘分布与条件分布一、单项选择题：1. 如果二维随机变量（X , Y ）分布律为P {X =x i ,Y =y j }=p i j ，X 的分布律为，X x1x2x31/3 1/5a则a =（A ） （B ） （C ）（D ）不能确定2. 设X ~N (1,0.5)，Y ~ N (0,0.5), 且相互独立。
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一、单项选择题
1
，那么下列结论正确的是
（）A B
C
D.以上都不正确
2设X与Y相互独立，X
0—1分布，Y
0—1分布，则方程
t
有相同实根的概率为
（A（B（C
（D
3．设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
则k的值必为
（A（B（C
（D
4．设（X，Y）的联合密度函数为
（A
（B（C（D
5．设随机变量X与Y相互独立，而且X服从标准正态分布N（0，1），Y服从二项分布B（n，p），0<p<1，则X+Y的分布函数
（A
）是连续函数（B）恰有n+1个间断点
（C）恰有1个间断点（D）有无穷个间断点 [] 6．设X
与Y
（A
（B
（C）（D
二、填空题
2
若（X ，Y ）的联合密度
，
3
4
，则
且区域
5。
6
.
7
=⎰
∞+∞
-)(x f X
.
8 如果随机变量),(Y X 的联合概率分布为
X
1 2 3
1
61 91 181 2
3
1
α β
则βα,应满足的条件是 ；若X 与Y 相互独立，则=α ，=β . 9 设Y X ,相互独立，)1.0(~),1,0(~N Y N X ，则),(Y X 的联合概率密度
=),(y x f ，Y X Z +=的概率密度=)(Z f Z . 10、 设 ( 、 ) 的 联 合 分 布 函 数 为
()()()()⎪⎩
⎪⎨⎧
≥≥+-+-+++= y x y x y x A y x F 00,0111111,2
22则 A =_____。
11设X 服从参数为1的泊松分布，Y 服从参数为2的泊松分布，而且X 与Y 相互独立，则
(max(,)0)_______. (min(,)0)_______.P X Y P X Y ≠=≠=
12 设X 与Y 相互独立，均服从[1，3]上的均匀分布，记(),A X a =≤(),B Y a =>
7
()9
P A B ⋃=
且，则a=_______. 13 二维随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为
221()21sin sin (,)(,),2x y x y f x y e x y π
-++=
-∞<<+∞ 则两个边缘密度为_________.
三．解答题
1 一个袋中有三个球,依次标有数字 1, 2, 2,从中任取一个, 不放回袋中 , 再任取一个, 设每次取球时,各球被取到的可能性相等,以 X , Y 分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字 ,求 ( X , Y ) 的分布律与分布函数.
2．箱子里装有12件产品，其中2件是次品，每次从箱子里任取一件产品，共取2次，定义随机变量12,X X 如下：
0,,1,i i X i ⎧=⎨⎩
第次取出正品第次取出次品.
试分别在下面两种情况下求出（12,X X ）的联合分布律和关于12,X X 的边缘分布律：
（1） 放回抽样；
（2） 不放回抽样。
3、设随机变量),(Y X 的密度函数为⎩⎨⎧>>=+-其它0
,0),()43(y x ke y x f y x
(1)确定常数k
(2)求),(Y X 的分布函数 (3)求}20,10{≤<≤<Y X P
4设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为
()(6),02,24,
,0,.k x y x y f x y --≤≤≤≤⎧⎪=⎨
⎪⎩
其他 试求：（1）k 的值；
（2）(2,3)P X Y ≤≤；
（3）3()2
P X ≤； （4）(4).P X Y +≤ 5 设随机变量
),(Y X 的概率密度为
⎩⎨
⎧≤≤≤≤+=其它
02
0,103
/),(2y x xy x y x f 求}1{≥+Y X P
6 设二维随机变量(X,Y)服从区域D 上的均匀分布，求一元 二次方程220t Xt Y ++=有实根的概率，其中区域D 为
7 设 随 机 变 量 ( , )的 分 布 函 数 为
F x y A B arctg x C arctg y
(,)()()=++23
求：( 1 )
系 数 A , B 及 C 的 值 ， ( 2 ) ( , )的 联 合 概 率 密 度 (x , y)。
8一电子器件包含两部分，分别以Y X ,记这两部分的寿命(以小时记)，设),(Y X 的分布函
{(,)|01,01}D x y x y =<<<<
(1)
(2)
9．
（1,并判
（2
（3
（4
（5
10 设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度函数为
试求: (1)常数c ; (2)X与Y的边缘密度函数
.
11 设（X, Y
（1（3（4
12．
（1
（2
13．
（1
（2
（3
（4
()0,
,
0.
y
cxe x y
f x y
-
⎧<<<+∞
=⎨
⎩其它
P72页第2，3,4题
P75页1， 3，4和5.
P79页 2，3和5.
P86页 1，2,3,4,5
14 X,Y相互独立，其分布密度函数各自为
.
四、综合应用题
.
试求（1.
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