大学概率论二维随机变量的边缘分布

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3.2(二维随机变量的边缘分布)

作业：解答题 2 4 5 6
3.2.3
二维连续型随机变量的边缘概率密度
设二维连续型随机变量(X，Y)的分布函数为 F(x，y)，概率密度为f(x，y). 因为 FX ( x ) F ( x,) ( f ( x, y)dy)dx
由分布函数定义知， X 是一个连续型随机变量，且其概率密度为 f X ( x ) f ( x, y )dy

设随机变量X 和 Y 具有联合概率密度【补充例】 6, x 2 y x , f ( x, y) 0, 其他. 求关于 X的边缘概率密度 fX ( x) 和边缘分布函数 FX ( x ).
解:
f X ( x)

f ( x , y)
1 2 1 2
1 ( x 1 ) 2 ( x 1 )( y 2 ) ( y 2 ) 2 exp{ [ 2 ]} 2 2 2 2 2(1 ) 1 1 2 2 1
且
( y 2 ) 2
2 2
2
3.2.2
二维离散型随机变量的边缘分布律
于是(X，Y)的分布律和边缘分布律如下：
Y X 0 1 P{Y = yj}
0
9/25 6/25 3/5
1
6/25 4/25 2/5
P{X = xi}
3/5 2/5 1
3.2.2
二维离散型随机变量的边缘分布律
(2) (X，Y)所有可能取值仍然为：(0，0)、(0，1)、 (1，0)、(1，1)则
☺课堂练习
一整数N 等可能地在 1, 2, 3, ,10 十个值中取一个值 . 设 D D( N ) 是能整除N 的正整数的个数 , F F(N )是能整除 N的素数的个数 .试写出D 和 F 的联合分布律 , 并求边缘分布律 . 解样本点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

概率论二维随机变量总结

概率论二维随机变量总结二维随机变量是指具有两个随机变量组成的随机向量，用(X, Y)表示。

概率论中研究二维随机变量的分布、期望、方差以及其它统计特性。

1. 二维随机变量的联合分布：联合分布是描述二维随机变量X 和Y的取值情况和对应的概率的函数。

可以通过联合概率密度函数或联合分布函数来表示。

2. 边缘分布：边缘分布是指某个变量的分布，不考虑另一个变量的取值情况。

对于二维随机变量(X, Y)，X的边缘分布是通过对所有可能的Y求和或积分得到的函数，Y的边缘分布同理。

3. 条件分布：条件分布是指在已知一个变量的取值情况下，另一个变量的分布情况。

对于二维随机变量(X, Y)，给定X的条件下Y的条件分布可以通过联合分布和边缘分布得到，形式为P(Y|X)。

4. 期望和方差：对于二维随机变量(X, Y)，期望E(X)表示X的平均取值，E(Y)表示Y的平均取值，方差Var(X)表示X的取值的离散程度，Var(Y)表示Y的取值的离散程度。

5. 协方差和相关系数：协方差描述了X和Y之间的线性相关程度，可以通过公式Cov(X, Y) = E((X - E(X))(Y - E(Y)))计算得到。

相关系数表示X和Y之间的线性相关程度的强度，公式为Corr(X, Y) = Cov(X, Y) / (SD(X) * SD(Y))，其中SD(X)和SD(Y)分别表示X和Y的标准差。

6. 独立性：如果二维随机变量(X, Y)的联合分布可以拆分为X 的边缘分布和Y的边缘分布的乘积形式，即P(X, Y) = P(X) * P(Y)，则称X和Y是独立的。

独立性意味着X和Y之间没有任何关联。

7. 协变和不相关性：如果协方差Cov(X, Y)为0，则X和Y是不相关的，不相关性不一定意味着独立性。

如果协方差Cov(X, Y)大于0，则X和Y是正相关的，如果Cov(X, Y)小于0，则X和Y是负相关的。

以上是二维随机变量的一些基本概念和理论，这些知识可以用于分析和解决涉及二维随机变量的问题。

《概率学》3.2_3.3二维随机变量的边缘分布及独立性

i, j=1, 2, ...,
连续型
f (x, y)
第三章多维随机变量及其分布
（X，Y）边缘分布
FX(x) = F（x,＋∞） F Y(y) = F（＋∞, y）
pi .=P{X= xi}= pij i=1, 2, ..., j 1
p.j=P{Y= yj}= pij j=1, 2, ..., i 1
连续型 f (x, y)
第三章多维随机变量及其分布
（X，Y）边缘分布
FX(x)=（
）
F Y(y) =（
）
pi .=P{X= xi}（=
）
p.j=P{Y= yj}=（
）
f X ( x) （
）
fY ( y) （
）
作答
1
8
山东农业大学公共数学系概率统计课程组版权所有
第2节二维随机变量的边缘分布
第三章多维随机变量及其分布
f X (x)
f (x, y)dy
fY ( y)
f (x, y)dx
1
7
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主第观2节题二维随2机分变量的填边缘空分布填空
( X, Y )联合分布一般 F(x,y)= P{X ≤ x,Y≤y}
离散型 P{X=xi ,Y=y j}= pi j
i, j=1, 2, ...,
1
2
fX (x)
f (x, y)dy
1
exp{ 1 (u2 2u v2)}dv
21 1 2
2(1 2)
1
u2
e2
1
exp{ (v u)2 }dv
2 1
2 1 2
2(1 2)

12 二维连续型随机变量,边缘分布

fY ( y )

f ( x , y )dx
0 y1 1 24 y( 2 x )dx y fY ( y ) 5 0 其它 24 3 y2 y( 2 y ) 0 y 1 5 2 2 0 其它
例5 设随机变量 X 和 Y 具有联合概率密度 2 6 , x y x, f ( x, y) 0, 其他.
1
k 1 kx kx 2 1 0 dx0 kxydy 0 [ 2 y ] 0 dx 0 2 dx 4 1
k 4.
7
( 2) P{ X Y }
1 dx 4 xydy 0 0 2
1

x
y x
(3) P{ X Y 1}
dx
0
1
1 x 0
9
二、边缘分布函数
问题 : 已知( X ,Y )的分布, 如何确定X ,Y 的分布?
F ( x , y ) P{ X x ,Y y } , F ( x ) P{ X x },
P { X x } P { X x ,Y } F ( x , ) FX ( x )
X
Y
0 1
0
16 49 12 49
1
12 49 9 49
解
X Y
0

1
12 42 6 42
pi
012 42 12 142 4 p j 7
3 7
4 7 3 7
1
注意联合分布边缘分布
练习将一枚均匀硬币掷三次，设 X 为三次中正面出现的次数，而Y 为正面次数与反面次数差的绝对值, 求( X , Y )的联合概率分布及边缘分布律。解：由已知， ( X , Y )所有可能取值有

2.4 概率论——二维随机变量的独立性

y
FY ( y) F(, y) [ f ( x, v)dx]dv,
故X,Y 的边缘密度函数为：
fX ( x) FX ( x)
f ( x, y)dy,
fY ( y) FY ( y)
f ( x, y)dx,
例2：设（X，Y）服从下列区域上的二维均匀分布，
试求X，Y的边缘概率密度。
y
(1)D ( x, y) | 0 x 2,0 y 1 1
2.4 二维随机变量的独立性
一、二维随机变量的边缘分布
随机向量( X ,Y )中, X ,Y的分布分别称为关于X、Y的边缘分布。X, Y的分布函数 FX ( x), FY ( y) 称为边缘分布函数。
巳知 (X, Y) 的联合分布函数为 F(x, y)，则易知：
FX x PX x PX x,Y F x, FY y PY y PX ,Y y F , y
次击中目标所进行的射击次数，以 Y 表示总共进行的射击次数 . 试求 X 和 Y 的联合分布及条件分布.
解依题意，{Y=n} 表示在第n次射击时击中目标 , 且在前n-1次射击中有一次击中目标. {X=m} 表首次击中目标时射击了m次 .
1 2 ……m…………. n-1 n
n次射击击中
击中
j
P{[( X xi ) (Y y j )]}
j
P{X xi ,Y y j }
j
pij pi• (i 1,2, ) j
同理，Y的边缘分布
P{Y y j } pij p• j i
( j 1,2, )
XY
x1 x2 xi
p• j
y1 y2 y j pi•
p11 p12 p1 j p1•
暂时固定

二维连续型随机变量的边缘分布函数与边缘概率密度

ｙ→＋∞
数学学习与研究２０２１２０
ＪＩＥＴＩＪＩＱＩＡＯＹＵＦＡＮＧＦＡ
解题技巧与方法
１５９
－ ∞ ＜ｘ＜＋∞ ，
ＦＹ（ｙ）＝ｌｉｍＦ（ｘ，ｙ）
ｘ→＋∞
( π１ａｒｃｔａｎｘ＋２１ ) ( π１ａｒｃｔａｎ３ｙ＋２１ )
０，其他．
－∞
４５
＋∞
ｙ２，０≤ｙ≤１，
ｆＹ（ｙ）＝
ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘ＝３
－∞
０，其他．
２．２已知联合分布函数求边缘概率密度
主要有两种方法：方法一：利用联合分布函数和边缘分
布函数之间的关系求出边缘分布函数，由于边缘分布函数
在其定义域内是可导的，则对边缘分布函数求导即可得到
边缘概率密度，即：
＋∞
＋∞
３
ｆＸ（ｘ）＝
ｆ（ｘ，ｙ）ｄｙ＝
ｄｙ
２
２
２
－∞
－ ∞ π （１＋ｘ）（９＋ｙ）
１
＝
，
π（１＋ｘ２）
－ ∞ ＜ｘ＜＋∞ ，
＋∞
＋∞
３
ｆＹ（ｙ）＝
ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘ＝
ｄｘ
２
２
２
－∞
－ ∞ π （１＋ｘ）（９＋ｙ）
３
＝
，
π（９＋ｙ２）
－ ∞ ＜ｙ＜＋∞ ．
一般地，当联合分布函数或者联合概率密度已知求边
【摘要】二维连续型随机变量（Ｘ，Ｙ）的边缘分布函数与
边缘概率密度，能够全面地描述二维连续型随机变量（Ｘ，
Ｙ）的分布规律，是概率论与数理统计的重要组成部分．若不
理解相关概念和性质就盲目求解边缘概率密度与边缘分布

12 二维连续型随机变量,边缘分布讲解

第12讲二维连续型随机变量和边缘分布
主要内容： 1、二维连续型随机变量 2、边缘分布函数 3、离散型随机变量的边缘分布 4、连续型随机变量的边缘分布
重点：1；3；4 难点：1；4
1
一、二维连续型随机变量
1.定义
对于二维随机变量( X ,Y ) 的分布函数 F y) 使对于任意 x, y 有
联合分布
1
pi
12
4
462
7 3
42
7
3
7
1
边缘分布
练习将一枚均匀硬币掷三次，设X 为三次中正
面出现的次数，而Y 为正面次数与反面次数差的
1
1 x
0 dx 0 4 xydy
1 6
y x
y 1 x
8
练习：设随机变量( X ,Y )的密度函数为
f
( x,
y)＝k(6

x 0,
y),
0 x 2, 2 y 4, 其它
求(1)常数k;
(2)P{X 1,Y 3};
(3)P{X 1.5};
(4)P{X Y 4}.
提示：

f ( x, y)dxdy 1

k1 8
P{X 1,Y 3}
1
dx
31 (6
x
y)dy

3
0
28
8
(3)P{X 1.5} 27 32
(4)P{X Y 4} 2 3
9
二、边缘分布函数问题 : 已知( X ,Y )的分布,如何确定X ,Y 的分布?
YX
G x

第2节二维随机变量的边缘分布

定理2.1 若随机变量( X , Y )服从二维正态分布 N ( 1 , ; 2 , ; )，则
2 1 2 2
X N (1, ) , Y N (2 , )
2 1 2 2
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20
§2.10 二维随机变量的边缘分布
小结
1. 边缘分布的含义,研究边缘分布的目的. 2. 二维连续随机变量的边缘分布的计算公式与具体求法： f X ( x ) f ( x, y ) d y ,
1

类似可得 Y 的边缘分布为 y 1 2, 0 y 1; Y ( y ) 其它. 0,
dx f ( x, y) dy.

x

[ X 的边缘概率密度] d f X ( x) FX ( x) f ( x, y ) dy. dx
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§2.10 二维随机变量的边缘分布
同理可得,
[Y 的边缘分布函数]
§2.10 二维随机变量的边缘分布
( 2) 当 y 0 时, fY ( x) 0;
y
y
yx
当 y 0 时，
fY ( y) f ( x, y)d x
e d x y e y .
0

y y
O
y
x
从而
y e y , y 0 ; fY ( y ) 其它 . 0,
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16
例5 设随机变量( X , Y )服从二维正态分布 N (0,1;0,1; )，求关于X 与Y的边缘概率密度。

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§2.10 二维随机变量的边缘分布
[例 2] 设二维随机变量(X ,Y )的联合概率密度为:
f
(x,
y)

4.8
y(2
0,
x),
0 x 1,0 y x；其它.
求 f X (x), fY ( y) .
y yx
解 : (1) 当 x 0或x 1 时，
x
[X 的边缘分布函数]
FX (x) P( X x) P(X x,Y )
F(x,)
x
dx f (x, y)dy.
[X 的边缘概率密度]
f X
(x)

d dx
FX
(x)

f (x, y) dy.

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问题：已知联合分布,求边缘分布.
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§2.10 二维随机变量的边缘分布
1.二维离散随机变量的边缘分布
设 ( X ,Y )表示二维离散随机变量.联合分布为：
p (xi , y j ) P( X xi ,Y y j ),
i 1, 2, , m, ; j 1, 2, , n, .
结束
第二章随机变量及其分布
§2.11 二维随机变量的条件分布
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第二章随机变量及其分布
§2.12 随机变量的独立性
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§2.11 随机变量的独立性
离散随机变量的独立性
设 X 与Y 为离散随机变量，如果对于它们的任意一对

fX (x)
f (x, y)d y 0;

O
当 0 x 1 时，

x
fX (x)
f (x, y)d y

0
f (x, y)d y
x 1x
x
4.8y(2 x)d y 2.4x2(2 x). 0
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P( X xi ,Y y j )
ij
p(xi , y j ),
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§2.10 二维随机变量的边缘分布
同理可得,
[Y 的边缘分布函数]
y

FY ( y) F(, y )
dy

f (x, y) d x.

[Y 的边缘概率密度]
fY
(
y)

d dy
FY
(
y)

f (x, y) d x.

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显然,可以认为X与Y之间相互独立, 于是，( X ,Y )的联合
密度函数为
f
( x, y)

fX (x) fY ( y)
2 (5 125
y), 0
x
5,0
y
5;
0,
其它.
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§2.11 随机变量的独立性
事件"旅客能乘上火车"可以表示为"Y X ",也就是 "0 Y X 5",因此问题归结为求"0 Y X 5"的概率,
则 X 的边缘分布表为：
X
0
1
pX (xi )
14
34
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§2.10 二维随机变量的边缘分布
类似可得Y 的边缘分布表为：
Y
pY ( y j )
0
5 /12
1
7 /12
将它们写在联合分布表上,即得下表 :
X
Y
0
1
pY ( y j )
0
1/12
1/ 3
f (x , y) fX (x) fY ( y) ,
所以随机变量 X 与Y 是独立的.
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§2.11 随机变量的独立性
小结
1. 独立性是随机变量之间的一种最基本的关系,是概率论的重要概念.
2. 独立随机变量的性质： p(xi , y j ) pX (xi ) pY ( y j ), f (x, y) fX (x) fY ( y).
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§2.10 二维随机变量的边缘分布
[例 1] 已知(X ,Y )的联合分布表为
X
Y
0
1
0
1/12 1/ 6
1
1/ 3 5/12
求 X 与Y 的边缘分布.
解 : P( X 0) 1 1 1 ; P( X 1) 1 5 3.
12 6 4
3 12 4
5 /12
1
1/ 6
5 /12 7 /12
pX (xi ) 1/ 4 3/4
1
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§2.10 二维随机变量的边缘分布
2.二维连续随机变量的边缘分布
设二维连续随机变量(X ,Y )的联合分布函数为
F (x, y), 联合概率密度为 f (x, y).
结束
§2.10 二维随机变量的边缘分布
小结
1. 边缘分布的含义,研究边缘分布的目的.
2. 二维连续随机变量的边缘分布的计算公式与具
体求法：

fX (x)
f (x, y)d y,

fY ( y)
f (x, y) d x.

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0
2
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§2.11 随机变量的独立性
由此得 X 的边缘概率密度
ex ,
f
X
(
x)

0
,
x 0; x 0.
同理，可以得 Y 的边缘概率密度
2e2 y ,
fY ( y)
0,
由上面得到的结果易知
y 0; y 0.
[X 的边缘概率函数]
pX (xi )

P( X

xi )

P

(X

xi ,Y

y j )
j1

P( X xi ,Y y j )
j 1
p(xi , y j ), i 1, 2, , m, .
j 1
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可能值 xi 及 y j，事件 X xi 与 Y y j 是独立的，则称随机
变量 X 与Y 是独立的.
由概率乘法定理有：
[定理1] 若离散随机变量X 与Y 独立,则
p(xi , y j ) pX (xi ) pY ( y j ),
ji

1,2,, m,, 1,2,, n,.
y),
0
y 5;
0 ,
其它.
求旅客能乘上火车的概率 .
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§2.11 随机变量的独立性
解：将7：55作为时间轴(单位 : 分)的起点,则X在区间 [0,5]上服从均匀分布, X 的概率密度函数为
f
X
(
x)

1 5,

0
,
0 x 5; 其它.
(2) 当 y 0 时, fY (x) 0;
y
当 y 0 时，
y

fY ( y)
f (x, y)d x

y ey d x y ey . 0
O
从而
ye y, y 0;
fY
(
y)

0,
其它.
yx
y
x
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F(x, y) FX (x)FY ( y), f (x, y) fX (x) f Y( y).
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§2.11 随机变量的独立性
[例1] 已知二维随机变量 (X ,Y )的联合概率密度为
2e(x2 y) , f (x , y)
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§2.11 随机变量的独立性
连续随机变量的独立性
设 X 与Y 为连续随机变量，如果对于它们的任意一对实数值 x 及 y ，事件 X x 与 Y y 是独立的，则称随机变量 X 与 Y 是独立的.
由概率乘法定理有： [定理2] 若连续随机变量X 与Y 独立,则
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§2.10 二维随机变量的边缘分布
于是X 的边缘分布表为：
X
x1
x2

xm