2.4 概率论——二维随机变量的独立性

y
FY ( y) F(, y) [ f ( x, v)dx]dv,
故X,Y 的 边缘密度函数为：
fX ( x) FX ( x)
f ( x, y)dy,
fY ( y) FY ( y)
f ( x, y)dx,
例2：设（X，Y）服从下列区域上的二维均匀分布，
试求X，Y的边缘概率密度。
y
(1)D ( x, y) | 0 x 2,0 y 1 1
2.4 二维随机变量的独立性
一、二维随机变量的边缘分布
随机向量( X ,Y )中, X ,Y的分布分别称为关于X、Y的 边缘分布。X, Y的分布函数 FX ( x), FY ( y) 称为边缘分布函数。
巳知 (X, Y) 的联合分布函数为 F(x, y)， 则易知：
FX x PX x PX x,Y F x, FY y PY y PX ,Y y F , y
次击中目标所进行的射击次数，以 Y 表示总共进行 的射击次数 . 试求 X 和 Y 的联合分布及条件分布.
解 依题意，{Y=n} 表示在第n次射击时击中目 标 , 且在前n-1次射击中有一次击中目标. {X=m} 表 首次击中目标时射击了m次 .
1 2 ……m…………. n-1 n
n次射击 击中
击中
j
P{[( X xi ) (Y y j )]}
j
P{X xi ,Y y j }
j
pij pi• (i 1,2, ) j
同理，Y的边缘分布
P{Y y j } pij p• j i
( j 1,2, )
XY
x1 x2 xi
p• j
y1 y2 y j pi•
p11 p12 p1 j p1•
暂时固定
当 y 0 时,
fY y
0dx 0
y
当 y 0 时,
fY
y
y e y dx ye y
0
y
故
fY
y
ye 0,
y
,
y y
0, 0.
0
y
y
暂时固定
概率论
y x x
二、二维r.v.的条件分布
1. 离散型 定义2.4： 设（X,Y)的联合概率分布列为
pij P( X xi ,Y y j ), i, j 1, 2,L
6 10
5 9
1 3
类似可得其余三个联合概率(见下表)。
(1)不放回抽取
(2)有放回抽取
X2 X1
0
1
1
4
0
3 15
4
2
1
15 15
(2)有放回抽取
X2 X1
0
1
9
6
0
25 25
6
4
1
25 25
事件“X1 i”与“X2 j”相互独立, 则有
P{X1 0, X2 0} P{X1 0} P{X2 0} 6 6 9
f (x, y)
0,
其它 暂时固定
求 (1) c的值; (2) 两个边缘密度 .
解 (2)
fY y
f x, ydx
y
当 y 1或 y 0时,对x ,, y
y x
都有 f x, y 0,故 fY y 0 .
1
当0 y 1时,
fY y
y f x, ydx
y 0 y1 x y
p21 p22 p2 j p2• ..........................................
pi1 pi2
pij pi•
..........................................
p•1 p•2 p• j
再回到第二节之例题
例1 : 10件产品中有4件次品，6件合格品，每次任取一件，
pj i
P(Y
yj
X
xi )
P( X xi ,Y y j ) P( X xi )
pij , pi g
j 1, 2,L
为在 X xi 条件下Y的条件分布列。
例4：设二维d.r.v.（X,Y）的联合分布列为
XY 1
1
0.1
2
0.2
p gj
0.3
2
3
pi g
0.3
0.2 0.6
0.05 0.15 0.4
1
f
(
x,
y)
2
0 x 2,0 y 1
0
其它
0
D 2x
y
(2)D ( x, y) | x2 y2 1
1
1
f
(
x,
y)
x2 y2 1
1
0 其它
0 D 1x 1
解 (1)D ( x, y) | 0 x 2,0 y 1
f
(
x,
y)
1 2
0 x 2,0 y 1
概率论
为求条件分布，先求边缘分布. X的边缘分布律是：
PX m PX m,Y n
nm1
p2 (1 p)n2 p2 (1 p)n2
n m 1
n m 1
p2 (1 p)m12 p(1 p)m1
1 (1 p)
( m=1,2, … )
概率论
Y的边缘分布律是：
n1
PY n PX m,Y n
解
(2)
fX x
f x, ydy
当 x 1或 x 0时 , y ,, y
y x
都有 f x, y 0,故 fX x 0 .
当 0 x 1时,
fX
x
0
f
x,
y dy
x x0
x
0
f
x,
y dy
x
f
x,
y dy
.
x1 x x
概率论
当 0 x 1时,
fX
x
0
f
x,
y dy
概率论
1 2 ……m…………. n-1 n
n次射击 击中
击中
不论m(m<n)是多少， P{X=m,Y=n}都应等于
每次击中目标的概率为 p P{X=m,Y=n}=？
PX m,Y n p2 1 p n2
由此得X和Y的联合分布律为
PX m,Y n p2 1 p n2
( n=2,3, …; m=1,2, …, n-1)
连取两次，用 Xi 表示第i 次取到的次品数 (i 1,2)， 分别就不放 回和有放回两种抽样方式，求( X1, X2 )的联 合概率分布。
解 ( X1, X2 )可取 (0,0),(0,1),(1,0),(1,1) 共四个值。
(1) 不放回抽取
P{X1 0, X2 0}
P{X1 0} P{X2 0 | X1 0}
x
0
f
x,
y dy
x
f
x,
y dy
.
x 24 y(2 x)dy 05
y
y x
12 x2(2 x),
x
综上 , 5
x 0 x1x x
fX x 152 x22 x,0 x 1, 注意取值范围
0 , , 其它 .
例 3 设(X,Y)的概率密度是
概率论
cy(2 x), 0 x 1,0 y x
其联合分布与边缘分布如下表所示
pij X 0
1
2
3 p• j
Y
111 1
8
0
27 9 9 27 27
1
121 0
4
999
9
2
110 0
2
99
9
3
1 00 0
1
27
27
pi•
84 2 27 9 9
1
27 1
(1) P(X i Y 0) P(X i , Y 0) P(Y 0)
P(X i , Y 0) i 0,1,2,3
2 1 y2 fY ( y)
0
1 y 1 其它
易见，(1)中X与Y均服从一维均匀分布，(2)中则不然。
例3 设(X,Y)的概率密度是
概率论
cy( 2 x ), 0 x 1,0 y x
f ( x,y )
0,
其它
求 (1) c的值； （2）两个边缘密度。 y
解 (1) 1 f x, ydxdy
3
2
5
5
X1 0
1
3
2
P
5
5
X2 0
1
3
2
P5
5
➢ 由联合分布可以唯一确定边际分布. ➢ 但由边际分布一般无法确定联合分布. ➢ 所以联合分布包含随机向量更多的信息.
2. 二维c.r.v.
X,Y 的 边缘分布函数为：
FX ( x) F( x, )
x
f (u, v)dvdu
x
[ f (u, y)dy]du,
m1
n1
p2 (1 p)n2 m 1
(n 1) p2 (1 p)n2
( n = 2,3, … )
于是可求得：
概率论
当n=2,3, …时，
PX m Y n
联合分布
P{X m,Y n} P{Y n}
边缘分布
(n
p2 (1 p)n2 1) p2 (1 p)n2
1, n1
m=1,2, …,n-1
0.35 0.35
因为 P( X 1) p1g 0.6, 在X=1的条件下，Y 的分布列为
Y X 1 1
2
3
p
1/ 6
1/ 2
1/ 3
因为 P( X 2) p2g 0.4, 在X=2的条件下，Y的分布列为