概率论-二维随机变量
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概率论-二维随机变量
P{ X xi , Y y j } pij , i, j 1, 2,
称上式为二维离散型随机变量( X , Y )的联合分布律, 或称
为随机变量 ( X , Y ) 的分布律.
(X,Y)的分布律也可用表格形式表示
Y X
y1
y2 …
yi
…
x1 x2 . . xi
p11 p12 … p1j … p21 p22 … p2j … . . . . . . . . . . . . . . . . . . pi1 pi2 … pij …
一、二维随机变量和联合分布函数 定义3.1: 设E是一个随机试验,它的样本空间是 {}. 设X = X (ω)与Y = Y(ω)是定义在Ω上的两个随机变量, 由 它们构成一个向量(X, Y), 叫做的二维随机向量或二维随 机变量。 定义3.2：设(X,Y)是二维随机向量,对于任意实数x, y,
在几何上 z f ( x, y ) 表示空间的一张曲面。由性 质（2）知，介于该曲面和 xOy 平面之间空间区域的 体积为 1 ，由性质（4）知，概率 P{( X , Y ) D} 的值 等于以 G 为底，以曲面 z f ( x, y ) 为顶的曲顶柱体
的体积。
例1 设
0, x y 1, F ( x, y ) 1, x y 1,
对于任意的y, F ( , y ) lim F ( x, y ) 0
对于任意的x, F ( x, ) lim F ( x, y ) 0
y
x
F (, ) lim F ( x, y ) 0，
F (, ) lim F ( x, y ) 1.
P{ X 2, Y 0} C / C
概率论之二维随机变量及其分布
2
arctan
y 4
(2) P(3<<+，0<4)
=F(+，4)-F(+，0) -F(3，4) +F(3，0)
1. 16
3、二维随机变量的概率分布
1）离散型随机变量
如果二维随机变量(，)是在有限个或无限可列 个点(xi，yj)上取值（i，j=1，2，…）。则称(，)为
离散型随机变量。 并称
P{ =xi， =yj}=pij i，j=1，2，… 为二维离散型随机变量(，)的概率分布或分布律， 或称二维型离散随机变量(，)的联合分布律。
2）性质
二维分布函数F(x，y)具有下述性质：
(1) F(x，y)是x、y的单调不减函数.即对任意固定 的y，当x2>x1时，F(x2，y) ≥F(x1，y)，对任意固 定的x，当y2>y1时，F(x，y2)≥F(x，y1)；
(2)F(x，y)关于x、y均是右连续的，即
F(x，y)=F(x+0，y)，F(x，y)=F(x，y+0)；
j 1,2,
例5 一盒中装有三只正品和两只次品的某种产品， 现随机地抽取两次，每次抽取一种产品，记
1, 0,
第一次取出的是正品， 第一次取出的是次品。
1, 0,
第二次取出的是正品， 第二次取出的是次品。
试就有放回、无放回情形考察(，)的分布。
(1) 有放回情形
的分布
0
1
pi
0 22 32
2
55 55 5
xy
F ( x, y)
p(u, v)dudv
则称(，)是连续型二维随机变量，函数p(x，y)称 为二维随机变量(，)的概率密度，或称随机变量
概率论二维随机变量总结
概率论二维随机变量总结二维随机变量是指具有两个随机变量组成的随机向量，用(X, Y)表示。
概率论中研究二维随机变量的分布、期望、方差以及其它统计特性。
1. 二维随机变量的联合分布：联合分布是描述二维随机变量X 和Y的取值情况和对应的概率的函数。
可以通过联合概率密度函数或联合分布函数来表示。
2. 边缘分布：边缘分布是指某个变量的分布，不考虑另一个变量的取值情况。
对于二维随机变量(X, Y)，X的边缘分布是通过对所有可能的Y求和或积分得到的函数，Y的边缘分布同理。
3. 条件分布：条件分布是指在已知一个变量的取值情况下，另一个变量的分布情况。
对于二维随机变量(X, Y)，给定X的条件下Y的条件分布可以通过联合分布和边缘分布得到，形式为P(Y|X)。
4. 期望和方差：对于二维随机变量(X, Y)，期望E(X)表示X的平均取值，E(Y)表示Y的平均取值，方差Var(X)表示X的取值的离散程度，Var(Y)表示Y的取值的离散程度。
5. 协方差和相关系数：协方差描述了X和Y之间的线性相关程度，可以通过公式Cov(X, Y) = E((X - E(X))(Y - E(Y)))计算得到。
相关系数表示X和Y之间的线性相关程度的强度，公式为Corr(X, Y) = Cov(X, Y) / (SD(X) * SD(Y))，其中SD(X)和SD(Y)分别表示X和Y的标准差。
6. 独立性：如果二维随机变量(X, Y)的联合分布可以拆分为X 的边缘分布和Y的边缘分布的乘积形式，即P(X, Y) = P(X) * P(Y)，则称X和Y是独立的。
独立性意味着X和Y之间没有任何关联。
7. 协变和不相关性：如果协方差Cov(X, Y)为0，则X和Y是不相关的，不相关性不一定意味着独立性。
如果协方差Cov(X, Y)大于0，则X和Y是正相关的，如果Cov(X, Y)小于0，则X和Y是负相关的。
以上是二维随机变量的一些基本概念和理论，这些知识可以用于分析和解决涉及二维随机变量的问题。
概率论公式大全二维随机变量多项分布与独立同分布
概率论公式大全二维随机变量多项分布与独立同分布概率论是数学中的一个重要分支，它研究随机事件以及其概率性质。
其中，随机变量是概率论中的一个基本概念，它可以用来描述随机现象和随机试验的结果。
本文将介绍概率论中与二维随机变量、多项分布以及独立同分布相关的公式。
一、二维随机变量在概率论中，随机变量可以分为一维和多维两种情况。
一维随机变量描述的是具有一个取值的随机事件，而二维随机变量则描述的是具有两个取值的随机事件。
常见的二维随机变量包括离散型和连续型两种。
1. 离散型二维随机变量离散型二维随机变量的概率分布可以通过联合概率质量函数（Joint Probability Mass Function，简称JPMS）来描述。
对于二维离散型随机变量(X, Y)，其概率分布可以用如下公式表示：P(X = x, Y = y) = P(X, Y)其中，P(X = x, Y = y)表示随机变量X取值为x，随机变量Y取值为y的概率，P(X, Y)表示联合概率质量函数。
2. 连续型二维随机变量对于连续型二维随机变量，其概率分布则可以通过联合概率密度函数（Joint Probability Density Function，简称JPDS）来描述。
对于二维连续型随机变量(X, Y)，其概率分布可以用如下公式表示：P(a ≤ X ≤ b, c ≤ Y ≤ d) = ∬f(x, y)dxdy其中，f(x, y)表示联合概率密度函数，∬表示对整个平面积分，a、b、c、d为常数。
二、多项分布多项分布是二项分布的推广，它适用于具有多个离散可能结果的试验。
假设有n个独立的试验，每个试验有k种可能的结果，且每种结果出现的概率是固定的。
那么多项分布描述了试验结果中每种可能出现的次数的概率分布。
多项分布的概率质量函数可以表示为：P(X₁ = x₁, X₂ = x₂, ..., Xk = xk) = (n! / (x₁! * x₂! * ... * xk!)) *(p₁^x₁ * p₂^x₂ * ... * pk^xk)其中，n为试验次数，xi表示结果i出现的次数，pi表示结果i出现的概率。
2.2 概率论——二维离散型随机变量及其分布
1,
x 0或y 0, 0 x 1, y 0或0 y 1, x 0 x 1, y 1
P(X1=1, X2=1) = P(|Y|<1, |Y|<2)= P(|Y|<1) = 0.6826
列表为：
X1 X2 0 1
0
0.0455 0
1
0.2719 0.6826
例5：设二维d.r.v.(X,Y)服从二元两点分布：
Y X
0
1
0
q
0
1
0
p
试求（X，Y）的分布函数。
0, F ( x, y) q,
2.2 二维d.r.v.及其分布
定义 如果随机向量 ( X,Y ) 的全部取值 (向量或点 ) 为有限多个或至多可列个，则称 ( X,Y )为离散型随机向量。
( X,Y )为离散型随机向量
X与Y均为离散型随机变量
记( X ,Y )的取值集合为 E {( xi , y j ), i, j 1,2, } P{ X xi ,Y y j } pij , i, j 1,2,
(1) 确定随机变量 (X, Y) 的所有取值数对. (2) 计算取每个数值对的概率. (3) 列出表格.
对任意的A E
P{( X ,Y ) A} pij
ij
( xi , y j ) A
( X ,Y )的联合分布函数
F(x, y) P{X x,Y y}
pij
xi x y j y
解 (1) X 可能的取值为 1，2，3，Y 可能的取值为2，3，4,
但 ( X ,Y )的取值为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3)，(2,4),(3,4)。
由古典概型公式
P{ X
1,Y
2}
x 0或y 0, 0 x 1, y 0或0 y 1, x 0 x 1, y 1
P(X1=1, X2=1) = P(|Y|<1, |Y|<2)= P(|Y|<1) = 0.6826
列表为：
X1 X2 0 1
0
0.0455 0
1
0.2719 0.6826
例5：设二维d.r.v.(X,Y)服从二元两点分布：
Y X
0
1
0
q
0
1
0
p
试求（X，Y）的分布函数。
0, F ( x, y) q,
2.2 二维d.r.v.及其分布
定义 如果随机向量 ( X,Y ) 的全部取值 (向量或点 ) 为有限多个或至多可列个，则称 ( X,Y )为离散型随机向量。
( X,Y )为离散型随机向量
X与Y均为离散型随机变量
记( X ,Y )的取值集合为 E {( xi , y j ), i, j 1,2, } P{ X xi ,Y y j } pij , i, j 1,2,
(1) 确定随机变量 (X, Y) 的所有取值数对. (2) 计算取每个数值对的概率. (3) 列出表格.
对任意的A E
P{( X ,Y ) A} pij
ij
( xi , y j ) A
( X ,Y )的联合分布函数
F(x, y) P{X x,Y y}
pij
xi x y j y
解 (1) X 可能的取值为 1，2，3，Y 可能的取值为2，3，4,
但 ( X ,Y )的取值为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3)，(2,4),(3,4)。
由古典概型公式
P{ X
1,Y
2}
2.4 概率论——二维随机变量的独立性
y
FY ( y) F(, y) [ f ( x, v)dx]dv,
故X,Y 的 边缘密度函数为：
fX ( x) FX ( x)
f ( x, y)dy,
fY ( y) FY ( y)
f ( x, y)dx,
例2：设（X，Y）服从下列区域上的二维均匀分布，
试求X，Y的边缘概率密度。
y
(1)D ( x, y) | 0 x 2,0 y 1 1
2.4 二维随机变量的独立性
一、二维随机变量的边缘分布
随机向量( X ,Y )中, X ,Y的分布分别称为关于X、Y的 边缘分布。X, Y的分布函数 FX ( x), FY ( y) 称为边缘分布函数。
巳知 (X, Y) 的联合分布函数为 F(x, y)， 则易知：
FX x PX x PX x,Y F x, FY y PY y PX ,Y y F , y
次击中目标所进行的射击次数，以 Y 表示总共进行 的射击次数 . 试求 X 和 Y 的联合分布及条件分布.
解 依题意，{Y=n} 表示在第n次射击时击中目 标 , 且在前n-1次射击中有一次击中目标. {X=m} 表 首次击中目标时射击了m次 .
1 2 ……m…………. n-1 n
n次射击 击中
击中
j
P{[( X xi ) (Y y j )]}
j
P{X xi ,Y y j }
j
pij pi• (i 1,2, ) j
同理，Y的边缘分布
P{Y y j } pij p• j i
( j 1,2, )
XY
x1 x2 xi
p• j
y1 y2 y j pi•
p11 p12 p1 j p1•
暂时固定
概率论-2-5二维随机变量
➢ 表示方法
➢ 公式法 P{ X xi ,Y y j } pij , i, j 1,2,
➢ 列表法(二维表格)
➢ 概率计算：求和
二维连续型随机变量的联合概率密度(非负性，归一性) ➢概率计算：求积分
本节练习
习题二：13,14,15
A. 4行2列 B. 2行4列 C. 3行3列 D. 4行4列
答案：C
XY
1
0
1
2
3
4
(4)计算每一个(X,Y)点对的取值 概率，即联合分布律表格中每 一格中的值
PX 2,Y 1和PX 3,Y 1
的值分别为多少？
0 1/4 0
A. 1/3, 1/3 B. 0,1/3 C. 0,1/4 D. 1/4,0
1
3
解
PX
1,Y
3
1
dx
3
f x, ydy
1 8
1
dx
0
36 x y dy 1
2
8
1 0
7 2
x
dx
3 8
一种常见的二维分布.
设G是平面上的有界区域，其面积为A.若二 维随机变量（ X,Y）具有概率密度
f
(
x,
y)
1 A
,
(x, y) G
0, 其它
则称（X,Y）在G上服从均匀分布.
例
向平面上有界区域G上任投一质点，若质点落 在G内任一小区域B的概率与小区域的面积成正比， 而与B的形状及位置无关. 则质点的坐标 (X,Y)在G 上服从均匀分布.
三、二维随机变量的分布函数
定义1 设 X ,Y 是二维
随机变量, 如果对于任意实数
x, y, 二元 函数
一维随机变量 X的分布函数
➢ 公式法 P{ X xi ,Y y j } pij , i, j 1,2,
➢ 列表法(二维表格)
➢ 概率计算：求和
二维连续型随机变量的联合概率密度(非负性，归一性) ➢概率计算：求积分
本节练习
习题二：13,14,15
A. 4行2列 B. 2行4列 C. 3行3列 D. 4行4列
答案：C
XY
1
0
1
2
3
4
(4)计算每一个(X,Y)点对的取值 概率，即联合分布律表格中每 一格中的值
PX 2,Y 1和PX 3,Y 1
的值分别为多少？
0 1/4 0
A. 1/3, 1/3 B. 0,1/3 C. 0,1/4 D. 1/4,0
1
3
解
PX
1,Y
3
1
dx
3
f x, ydy
1 8
1
dx
0
36 x y dy 1
2
8
1 0
7 2
x
dx
3 8
一种常见的二维分布.
设G是平面上的有界区域，其面积为A.若二 维随机变量（ X,Y）具有概率密度
f
(
x,
y)
1 A
,
(x, y) G
0, 其它
则称（X,Y）在G上服从均匀分布.
例
向平面上有界区域G上任投一质点，若质点落 在G内任一小区域B的概率与小区域的面积成正比， 而与B的形状及位置无关. 则质点的坐标 (X,Y)在G 上服从均匀分布.
三、二维随机变量的分布函数
定义1 设 X ,Y 是二维
随机变量, 如果对于任意实数
x, y, 二元 函数
一维随机变量 X的分布函数
概率论：二维随机变量的函数的分布
( X ,Y ) Z X Y
(1, 2 ) (1,4 ) ( 3, 2 ) ( 3 ,4 )
3 5 5 7
所以
Z X Y P
3
0.18
5
7
0.54
0.28
具有可加性的两个离散分布
设 X ~B (n1, p), Y ~B (n2, p), 且独立， 则 X + Y ~ B ( n1+n2, p) 设 X ~ P (1), Y ~ P (2), 且独立， 则 X + Y ~ P(1+ 2)
证明过程见73页例3.21
三、连续型随机变量函数的分布
问题 已知二维随机变量( X ,Y )的密度函数， g(x,y)为已知的二元函数， 求 Z= g( X ,Y ) 的密度函数. 方法 从求Z 的分布函数出发,将Z 的分布函数 转化为( X ,Y )的事件
连续型随机变量函数的分布主要形式
(1) Z X Y 的分布
□
卷积计算思路
f Z ( z) f X ( x) fY ( z x)dx
在xoz平面上确定被积函数及其非零区域D;
参照D就z在(-∞,+∞)上进行分段;
对上述各分段中取定的z值,就x从- ∞积分至 +∞,实际只需在非零区域D上一段积分. 注意：上述也是一般参量积分的计算方法。
x2 2
e
( z x)2 2
dx
1 e z 2 t x
2
z 2 z ( x ) 2 4 2
e
dx
1 e 2
z 2 t 2 4
e
dt
1 e 2 z 1 2( 2 ) e ( z ). 2 2
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即:
2 x y (1 e )(1 e ), x 0, y 0, P{ X x, Y y} 其他. 0,
(3) 区域如图所示, 则
P{( X , Y ) G} f ( x, y)dxdy
G
dx 2e 2 x y dy
x y F ( x, y ) A B arctan C arctan , x, y R 2 3
(1) 试确定常数A、B、C;
(2) 求事件 {2 X ,0 Y 3} 的概率.
解 (1) 由分布函数的性质(2)知
f ( x, y )dxdy 1;
(3) 若 f ( x, y)在连续点( x, y) 处，有
2 F ( x, y ) f ( x, y ); xy
(4) 设 G 为 xOy平面的一区域，则
P{( X , Y ) G} f ( x, y )dxdy.
G
例5 若(X,Y)的联合概率密度函度为
第三章
多维随机变量及其分布
在实际问题中, 试验结果有时需要同时用两个或两 个以上的 随机变量来描述. 例如:用温度和风力来描述天气情况. 通过对含碳、 含硫、含磷量的测定来研究钢的成分. 要研究这些随机
变量之间的联系, 就需要把它们作为一个整体来考虑.
这就需要我们研究多维随机变量.
第一节
二维随机变量
P{ X xi , Y y j } pij , i, j 1, 2,
称上式为二维离散型随机变量( X , Y )的联合分布律, 或称
为随机变量 ( X , Y ) 的分布律.
(X,Y)的分布律也可用表格形式表示
Y X
y1
y2 …
yi
…
x1 x2 . . xi
p11 p12 … p1j … p21 p22 … p2j … . . . . . . . . . . . . . . . . . . pi1 pi2 … pij …
对于任意的y, F ( , y ) lim F ( x, y ) 0
对于任意的x, F ( x, ) lim F ( x, y ) 0
y
x
F (, ) lim F ( x, y ) 0，
F (, ) lim F ( x, y ) 1.
F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y1 ) F ( x1 , y2 )≥0
事实上
y2 y1
x1 x2
F(x2,y2) – F (x2,y1)– F (x ,y ) 1 2 + F (x1,y1)
P( x1 X x2 , y1 Y y2 ) 0
y
(x, y) x
(X,Y)的联合分布函数满足如下基本性质：
(1)F(x,y)是变量x, y的不减函数.
即对于任意固定的
y ,当 x1 x2 时, F ( x1 , y)≤F ( x2 , y) ;
对于任意固定的 x , 当 y1 y2 时, F ( x, y1 )≤F ( x, y2 ) . (2) 0 F ( x, y ) 1.
(1) 非负性: pij 0, i, j 1, 2,
;
( 2) 规范性： pij 1
i, j
离散型随机变量 X，Y 的联合分布函数为
F ( x, y ) P{ X x, Y y} pij
xi x yi y
例3 从一个装有2个红球,3个白球和2个黑球的袋中随机 地取2个球,设X和Y分别表示取出的红球数和黑球数,求 (X,Y)的分布律,并求P{X≤1,Y<2},P{X+Y=2},及P{X=1}. 解:X的可能值为0,1,2,Y的可能为0,1,2. (X,Y)的所有可 能值为(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0). 由古典概率计算可得 P{ X 0, Y 0} C32 / C72 1 7,
0
0
Ae (2 x y ) dxdy
2 x
0
0
y A e d x e Ae e dxdy 0 0 dy
2 x y
0
0
y A e d x e Ae e dxdy 0 0 dy
2 x y
2 x
A 1 2 x y . A( e ) ( e ) 2 0 0 2
P{X 1, Y 0} P{X 1, Y 1}
1 2 2 4 19 7 7 7 21 21
P{X Y 2}
P{X 0, Y 2} P{X 1, Y 1} P{X 2, Y 0}
1 4 1 2. 21 21 21 7
F ( x, y )
x
y
f (u , v)dvdu
则称(X,Y)为二维连续型随机变量.
非负二元函数 f ( x, y ) 称为 ( X , Y ) 的联合概率密度
函数, 简称为概率密度.
概率密度 f(x, y) 的性质：
(1) f ( x, y) 0;
(2)
ce (2 x y ) , x≥0, y≥0, f ( x, y ) 其他. 0, 试求:(1)常数c; (2)求出它的分布函数 F ( x, y );
(3) P{(X,Y)∈G},其中G是直线 y = 2, x = 1, x轴和 y轴 围成的区域
解 (1) 由联合概率密度的性质, 有
y (0,2)•
讨论F (x, y)能否成为二维随机变量的分布函数？ 解
F (2,2) F (0,2)
•(2,2)
F (2,0) F (0,0)
111 0
1 0
(0,0) •
(2,0) •
x
故F(x, y)不能作为某二维 随机变量的分布函数.
例2 设二维随机变量 ( X , Y ) 的分布函数为
在几何上 z f ( x, y ) 表示空间的一张曲面。由性 质（2）知，介于该曲面和 xOy 平面之间空间区域的 体积为 1 ，由性质（4）知，概率 P{( X , Y ) D} 的值 等于以 G 为底，以曲面 z f ( x, y ) 为顶的曲顶柱体
的体积。
例1 设
0, x y 1, F ( x, y ) 1, x y 1,
π π F (, ) A B C 1 2 2
1 由此解得 A 2 , π
π BC . 2
从而有
x 1 1 y 1 1 F ( x, y ) arctan arctan . 2 2 π 3 2 π
求 P{ X 1, Y 0} 及 F (0, 0).
解： P{ X 1, Y 0} P{ X 1, Y 0} P{ X 1, Y 1}
P{X 1, Y 0} P{X 1, Y 1}
0.1 0.1 0.2 0 0.4.
二元函数
F ( x, y ) P{ X x, Y y}
称为二维随机变量(X,Y)的分布函数或联合分布函数。
分布函数的几何意义
如果用平面上的点 (x, y) 表示二维随机变量 (X , Y )的 一组可能的取值,则 F (x, y) 表示(X , Y ) 的取值落入下图 所示角形区域的概率.
0 0
1
2
2e
0
1
2 x
dx e y dy (1 e 2 ) 2 .
0
x y
x y
(3) F ( x, y )关于x, y是右连续的，即
F ( x, y ) F ( x 0, y )，F ( x, y ) F ( x, y 0)
(4)对于任意 x1 , x2 ( x1 x2 )及 y1 , y2 ( y1 y2 ) ，有
3 1 9 3 1 . 4 2 16 8 16
二、二维离散型随机变量 若二维随机向量(X,Y)的所有可能取值是有限对或无 限可列多对,则称( X,Y ) 为二维离散型随机变量。 定义3.3：设(X,Y)的一切可能值为 ( xi , y j ), i, j 1,2, , 且( X, Y )取各对可能值的概率为
P{ X 2, Y 0} C / C
2 2 2 7
1 21
.
于是(X,Y)的分布可用表示
Y X 0 1 2 0 1 2 1/21 0 0
1/7 2/7 2/7 4/21 1/21 0
由(X,Y)的分布律,所求概率为
P{ X 1, Y 2} P{ X 0, Y 0} P{ X 0, Y 1}
x π F ( x, ) A B arctan C 0 2 2
π y F (, y ) A B C arctan 0 2 3
解 (1) 由分布函数的性质(2)知
x π F ( x, ) A B arctan C 0 2 2 π y F (, y ) A B C arctan 0 2 3
所以,
A 2.
(2)
P{ X x, Y y}
x Yy来自yf ( s , t ) dt ds
所以, 当x≥0,y≥0时,
0
x
y
0
2e
(2 s t )
x
dtds
y 0
0
x
2 x y (1 e )(1 e ), x 0, y 0, P{ X x, Y y} 其他. 0,
(3) 区域如图所示, 则
P{( X , Y ) G} f ( x, y)dxdy
G
dx 2e 2 x y dy
x y F ( x, y ) A B arctan C arctan , x, y R 2 3
(1) 试确定常数A、B、C;
(2) 求事件 {2 X ,0 Y 3} 的概率.
解 (1) 由分布函数的性质(2)知
f ( x, y )dxdy 1;
(3) 若 f ( x, y)在连续点( x, y) 处，有
2 F ( x, y ) f ( x, y ); xy
(4) 设 G 为 xOy平面的一区域，则
P{( X , Y ) G} f ( x, y )dxdy.
G
例5 若(X,Y)的联合概率密度函度为
第三章
多维随机变量及其分布
在实际问题中, 试验结果有时需要同时用两个或两 个以上的 随机变量来描述. 例如:用温度和风力来描述天气情况. 通过对含碳、 含硫、含磷量的测定来研究钢的成分. 要研究这些随机
变量之间的联系, 就需要把它们作为一个整体来考虑.
这就需要我们研究多维随机变量.
第一节
二维随机变量
P{ X xi , Y y j } pij , i, j 1, 2,
称上式为二维离散型随机变量( X , Y )的联合分布律, 或称
为随机变量 ( X , Y ) 的分布律.
(X,Y)的分布律也可用表格形式表示
Y X
y1
y2 …
yi
…
x1 x2 . . xi
p11 p12 … p1j … p21 p22 … p2j … . . . . . . . . . . . . . . . . . . pi1 pi2 … pij …
对于任意的y, F ( , y ) lim F ( x, y ) 0
对于任意的x, F ( x, ) lim F ( x, y ) 0
y
x
F (, ) lim F ( x, y ) 0，
F (, ) lim F ( x, y ) 1.
F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y1 ) F ( x1 , y2 )≥0
事实上
y2 y1
x1 x2
F(x2,y2) – F (x2,y1)– F (x ,y ) 1 2 + F (x1,y1)
P( x1 X x2 , y1 Y y2 ) 0
y
(x, y) x
(X,Y)的联合分布函数满足如下基本性质：
(1)F(x,y)是变量x, y的不减函数.
即对于任意固定的
y ,当 x1 x2 时, F ( x1 , y)≤F ( x2 , y) ;
对于任意固定的 x , 当 y1 y2 时, F ( x, y1 )≤F ( x, y2 ) . (2) 0 F ( x, y ) 1.
(1) 非负性: pij 0, i, j 1, 2,
;
( 2) 规范性： pij 1
i, j
离散型随机变量 X，Y 的联合分布函数为
F ( x, y ) P{ X x, Y y} pij
xi x yi y
例3 从一个装有2个红球,3个白球和2个黑球的袋中随机 地取2个球,设X和Y分别表示取出的红球数和黑球数,求 (X,Y)的分布律,并求P{X≤1,Y<2},P{X+Y=2},及P{X=1}. 解:X的可能值为0,1,2,Y的可能为0,1,2. (X,Y)的所有可 能值为(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0). 由古典概率计算可得 P{ X 0, Y 0} C32 / C72 1 7,
0
0
Ae (2 x y ) dxdy
2 x
0
0
y A e d x e Ae e dxdy 0 0 dy
2 x y
0
0
y A e d x e Ae e dxdy 0 0 dy
2 x y
2 x
A 1 2 x y . A( e ) ( e ) 2 0 0 2
P{X 1, Y 0} P{X 1, Y 1}
1 2 2 4 19 7 7 7 21 21
P{X Y 2}
P{X 0, Y 2} P{X 1, Y 1} P{X 2, Y 0}
1 4 1 2. 21 21 21 7
F ( x, y )
x
y
f (u , v)dvdu
则称(X,Y)为二维连续型随机变量.
非负二元函数 f ( x, y ) 称为 ( X , Y ) 的联合概率密度
函数, 简称为概率密度.
概率密度 f(x, y) 的性质：
(1) f ( x, y) 0;
(2)
ce (2 x y ) , x≥0, y≥0, f ( x, y ) 其他. 0, 试求:(1)常数c; (2)求出它的分布函数 F ( x, y );
(3) P{(X,Y)∈G},其中G是直线 y = 2, x = 1, x轴和 y轴 围成的区域
解 (1) 由联合概率密度的性质, 有
y (0,2)•
讨论F (x, y)能否成为二维随机变量的分布函数？ 解
F (2,2) F (0,2)
•(2,2)
F (2,0) F (0,0)
111 0
1 0
(0,0) •
(2,0) •
x
故F(x, y)不能作为某二维 随机变量的分布函数.
例2 设二维随机变量 ( X , Y ) 的分布函数为
在几何上 z f ( x, y ) 表示空间的一张曲面。由性 质（2）知，介于该曲面和 xOy 平面之间空间区域的 体积为 1 ，由性质（4）知，概率 P{( X , Y ) D} 的值 等于以 G 为底，以曲面 z f ( x, y ) 为顶的曲顶柱体
的体积。
例1 设
0, x y 1, F ( x, y ) 1, x y 1,
π π F (, ) A B C 1 2 2
1 由此解得 A 2 , π
π BC . 2
从而有
x 1 1 y 1 1 F ( x, y ) arctan arctan . 2 2 π 3 2 π
求 P{ X 1, Y 0} 及 F (0, 0).
解： P{ X 1, Y 0} P{ X 1, Y 0} P{ X 1, Y 1}
P{X 1, Y 0} P{X 1, Y 1}
0.1 0.1 0.2 0 0.4.
二元函数
F ( x, y ) P{ X x, Y y}
称为二维随机变量(X,Y)的分布函数或联合分布函数。
分布函数的几何意义
如果用平面上的点 (x, y) 表示二维随机变量 (X , Y )的 一组可能的取值,则 F (x, y) 表示(X , Y ) 的取值落入下图 所示角形区域的概率.
0 0
1
2
2e
0
1
2 x
dx e y dy (1 e 2 ) 2 .
0
x y
x y
(3) F ( x, y )关于x, y是右连续的，即
F ( x, y ) F ( x 0, y )，F ( x, y ) F ( x, y 0)
(4)对于任意 x1 , x2 ( x1 x2 )及 y1 , y2 ( y1 y2 ) ，有
3 1 9 3 1 . 4 2 16 8 16
二、二维离散型随机变量 若二维随机向量(X,Y)的所有可能取值是有限对或无 限可列多对,则称( X,Y ) 为二维离散型随机变量。 定义3.3：设(X,Y)的一切可能值为 ( xi , y j ), i, j 1,2, , 且( X, Y )取各对可能值的概率为
P{ X 2, Y 0} C / C
2 2 2 7
1 21
.
于是(X,Y)的分布可用表示
Y X 0 1 2 0 1 2 1/21 0 0
1/7 2/7 2/7 4/21 1/21 0
由(X,Y)的分布律,所求概率为
P{ X 1, Y 2} P{ X 0, Y 0} P{ X 0, Y 1}
x π F ( x, ) A B arctan C 0 2 2
π y F (, y ) A B C arctan 0 2 3
解 (1) 由分布函数的性质(2)知
x π F ( x, ) A B arctan C 0 2 2 π y F (, y ) A B C arctan 0 2 3
所以,
A 2.
(2)
P{ X x, Y y}
x Yy来自yf ( s , t ) dt ds
所以, 当x≥0,y≥0时,
0
x
y
0
2e
(2 s t )
x
dtds
y 0
0
x