二维随机变量及联合分布
二维随机变量及其联合分布函数
E-mail: xuxin@
实例1 炮弹的弹着点的 位置 (X,Y) 就是一个二维 随机变量. 实例2 考查某一地 区学 前儿童的发育情况 , 则儿 童的身高 H 和体重 W 就 构成二维随机变量(H,W). 说明 二维随机变量 ( X, Y ) 的性质不仅与X 、Y 有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.
0
+∞
−2 x
(1 − e )dx = [−e
−x
−2 x
2 −3x +∞ 2 1 + e ] |0 = 1 − = . □ 3 3 3
本例是一个典型题.大家应熟练掌握分析与计 算的方法。特别是会根据不同形状的概率密度非零 区域与所求概率的事件区域G来处理这类问题。 与所求概率的
E-mail: xuxin@
( x, y ) 处的函数值就是事件
“随机点(X,Y)落在以点
( x, y )为右上顶点的角形区
域”的概率.
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分布函数具有下列基本性质:
（1）0 ≤ F ( x, y ) ≤ 1 (−∞ < x < +∞, −∞ < y < +∞) F 且对于任意固定的y， (−∞, y) = xlim F ( x, y ) = 0, →−∞
P{( X , Y ) ∈ G} =
( xi , y j )∈G
∑ P{ X = x , Y = y }
i j
F ( x, y )
E-mail: xuxin@
三、二维连续型随机变量
1、概念
定义5 设二维随机变量(X,Y)的分布函数为 F ( x, y ) 如果存在非负函数 f ( x, y )，使得对任意的X， Y均有 y x
二维随机变量(X,Y)的联合分布
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解：设X可能的取值为 i, i 1,2,3,4
Y可能的取值为 j, j 1, , i .
则： P( X i,Y j)
定义 设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数 为F(x,y),分别把X和Y的分布函数记为FX(x)和FY(y)， 叫做二维随机变量(X,Y) 关于X和Y的边缘分布函数.
即: FX (x) P{X x} PX x,Y F(x,)
FY ( y) P{Y y} PX ,Y y F(, y)
定义：设二维随机变量（X，Y）的分布函数为 F(x,y),若存在非负函数f（x，y），使对任 意实数 x，y 有
x
y
F( x, y)
f (u, v)dudv
则称（X，Y）是二维连续型随机变量,f（x，y）
称为（X，Y）的联合概率密度函数。
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说明
(1) 分布函数 F( x, y) 是连续函数. (因为 F( x, y)
是积分上限函数)
(2)
的性质
(i) f (x, y) 0
(ii)
f ( x, y)dxdy F (,) 1
(注：从几何上看，z f ( x, y)表示空间的一个曲面，
介于它和XOY面的空间区域的体积为1）
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xy
F( x, y)
f ( x, y)dxdy
f ( x, y) Fxy ( x, y)
几何意义
(X,Y)平面上随机点的坐标
F (x, y) P { X x,Y y }
概率论与数理统计3.1.2 二维离散型随机变量及其联合分布律
pk
xi
pi1 pi2 ... pij ...
分布律的性质 (1)非负性：pk 0 , k 1, 2, ;
(2)规范性： pk 1. k 1
3.联合分布律的性质
(1) 非负性: pij 0，i, j 1, 2, ;
(2) 规范性: pij 1 i1 j1
二维离散型随机变量(X,Y)
如果二维随机变量（X,Y） 全部可能取值是有限对或 可列个无限对，则称（X,Y） 为二维离散型随机变量。
随机变量(X,Y)的联合分布率
设二维离散型随机变量( X ,Y ) 所有可能取值为( xi , y j ),则称 P{ X xi ,Y y j } pij (i, j 1, 2, ...,) 为( X ,Y )的联合分布律.
解：(2) (X ,Y ) {(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}
P{X 0,Y 0} 3 2 0.3
54
Y X
0
1
P{X 0} P{Y 0 | X 0} 3 2 0.3 0
P{X 0,Y 1} 3 2 0.3 5 4
Y
1 0
第二次摸到白球 第二次摸到黑球
(3)不放回下P{X Y}. P{X Y}、 P{X Y}.
解：(3) (X ,Y ) {(0,0),(1,0),(1,1)}
P{X Y} p{(X 0,Y 0) (X 1,Y 0) (X 1,Y 1)}
§3.1.2 二维离散型随机变量及其联合分布律
一、二维离散型随机变量的定义及联合分布律 二、典型例题
一、二维离散型随机变量的定义及联合分布律
3.3二维随机变量及其分布一、联合分布函数1、定义：设X,Y是二维
3.3二维随机变量及其分布一、联合分布函数1、定义：设(X, Y)是二维随机变量，(x,y)∈R 2,则称F(x,y)=P{X<x,Y<y}为(X,Y)的分布函数，或X 与Y 的联合分布函数。
几何意义：分布函数F(00,y x )表示随机点(X,Y)落在区域{}00,),(y y x x y x <<-∞<<∞-中的概率。
如图阴影部分： 对于(x 1,y 1),(x 2,y 2)∈R 2,(x 1<x 2，y 1<y 2),则P{x 1≤X<x 2，y 1≤y<y 2}＝F(x 2,y 2)－F(x 1,y 2)－F(x 2,y 1)＋F(x 1,y 1)2、分布函数F(x, y)具有如下性质(p119)：(1)归一性：对任意(x,y)∈R 2, 0≤F(x,y)≤1,(2)单调不减：对任意y ∈R,当x 1<x 2时，F(x 1,y)≤F(x 2,y)；对任意x ∈R ，当y 1<y 2时，F(x,y 1)≤F(x,y 2)。
(3)左连续：对任意x ∈R,0y ∈R,1),(lim ),(==∞∞∞→∞→y x F F y x 0),(lim ),(==-∞-∞-∞→-∞→y x F F y x 0),(lim ),(==-∞-∞→y x F y F x 0),(lim ),(==-∞-∞→y x F x F y ).,(),(lim )0,(000y x F y x F y x F y y ==--→(4)矩形不等式：对于任意(x 1,y 1),(x 2,y 2)∈R 2,(x 1<x 2，y 1<y 2),F(x 2,y 2)－F(x 1,2)－F(x 2,y 1)＋F(x 1,y 1)≥0.反之，任一满足上述四个性质的二元函数F(x, y)都可以作为某个二维随机变量(X,Y)的分布函数。
例1:已知二维随机变量(X,Y)的分布函数为:1)求常数A ，B ，C ；2)求P{0≤X<2,0≤Y<3}。
《概率论与数理统计》课件3-1二维随机变量及其联合分布
二维随机变量联合分布函数
F(x,y) = P{X x,Y y}
(1) 有界性 0 F(x,y) 1，且有F(− ,y) = lim F(x,y) = 0
x→−
F(x，− ) = lim F(x,y) = 0 F(− ，− ) = lim F(x,y) = 0 ，
1
F(
) 1 F( y) 0 F(x ) 0
F ( , ) A(B )(C ) 1
2
2
F ( , y) A(B )(C arctan y) 0 2
F ( x,
) A( B arctan x) ( C
)0
2
A
F (x, y) y).
1
2
,
B
1
2 (2
C.
2
arctan x)( 2
arctan
(2) P 0 X , 0 Y 1 F( ,1) F(0,1) F( , 0) F(0, 0) ．
则〈
l
0，
它
P 恳1 < X 共 2,3 < Y 共 5}
x > 0, y > 0 其
= F(2,5) − F(1,5) − F(1,3) + F(2,3)
A) V
B) 根
A
B
提交
1 F(x, y) A(B arctan x)(C arctan y).
1
A, B,C 2 P 0 X , 0 Y 1
A.
B.
C.
D.
A
C
B
D
提交
1. F(x, y) P{X x,Y y}.
2.
第三章 二维随机变量及其分布
第三章 二维随机变量及其分布第一节 基本概念1、概念网络图⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧→⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧→分布分布分布三大统计分布函数分布正态分布均匀分布常见二维分布独立性条件分布边缘分布连续型分布密度离散型分布律联合分布F t X X X Z Y X Z Y X n 221),,min(max,),(χξΛ2、重要公式和结论例3．1 二维随机向量（X ，Y ）共有六个取正概率的点，它们是：（1，-1），（2，-1），（2，0），2，2），（3，1），（3，2），并且（X ，Y ）取得它们的概率相同，则（X ，Y ）的联合分布},1||,1|:|),{(≤-≤+=y x y x y x D求X 的边缘密度f X (x)例3．3：设随机变量X 以概率1取值0，而Y 是任意的随机变量，证明X 与Y 相互独立。
例3．4：如图3.1，f(x,y)=8xy, f X (x)=4x 3, f Y (y)=4y-4y 3，不独立。
例3．5：f(x,y)=⎩⎨⎧≤≤≤≤其他,010,20,2y x Axy例3．6：设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，且X ～U （0，1），Y ～e （1），求Z=X+Y 的分布密度函数f z (z)。
例3．7：设随机变量X 与Y 独立，其中X 的概率分布为,6.04.021~⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡X 而Y 的概率密度为e(1)，求随机变量U=1+Y X的概率密度g(u)。
概率论第三章二维随机变量
取下列数组中的值:(0,0),( :(0,0),(例2 二维离散型随机向量 ( X ,Y ) 取下列数组中的值:(0,0),(-1,1) 1,2),(2,0);且相应的概率依次为 且相应的概率依次为:1/6, (-1,2),(2,0);且相应的概率依次为:1/6, 1/3, 1/12, 5/12. 的联合概率分布 分布. 求X与Y的联合概率分布.
X Y y1
y2
⋯
yj
⋯
Hale Waihona Puke x1 p11 x 2 p21 ⋮ ⋮ xi pi1 ⋮ ⋮ 联合分布律 联合分布律的性质 (1) p ij ≥
p12 ⋯ p1 j p22 ⋯ p2 j ⋮ ⋮ pi 2 ⋯ pij ⋮ ⋮ 0 ; (2) ∑ ∑
⋯ ⋯ ⋯
p ij = 1
i ≥1 j ≥1
边缘分布 分布律 ２. 边缘分布律 二维离散型随机变量的边缘分布律可列于联合分布 二维离散型随机变量的边缘分布律可列于联合分布 可列 的两侧: 表的两侧 Y y y ⋯ y ⋯
型随机变量(X,X, 的分布律,或随机变量X 型随机变量(X,X,)的分布律,或随机变量X与Y的联合 (X,X 分布律 分布律.可记为
, ( X ,Y) ~ pij = P( X = xi ,Y = y j ) (i, j =1,2,⋯ )
二维离散型随机变量的联合分布律可列表如下: 二维离散型随机变量的联合分布律可列表如下 可列表如下
p12 1/ 4 p22 1/ 2 p32 1/ 4 1/ 2 1/ 2 1
3. 求联合分布的步骤与方法 求联合分布的步骤与方法 分布 先画出二向表的表头,并确定X 的取值; (1) 先画出二向表的表头,并确定X与Y的取值; 求联合分布表的中的概率项. (2) 求联合分布表的中的概率项.
二维随机变量与联合概率分布
二维随机变量与联合概率分布随机变量是概率论中的重要概念，它描述了随机试验的结果。
而在某些情况下，我们需要考虑两个或者多个随机变量之间的关联关系，这就引出了二维随机变量的概念。
本文将介绍二维随机变量以及联合概率分布的相关知识。
一、二维随机变量的定义在概率论中，二维随机变量由两个随机变量组成，通常用大写字母（如X、Y）表示。
二维随机变量可以表示为(X,Y)。
二、联合概率分布的定义联合概率分布是二维随机变量(X,Y)所对应的概率分布。
对于任意的(x,y)，联合概率分布可以表示为P(X=x,Y=y)，其中P表示概率。
三、联合概率密度函数如果二维随机变量的取值是连续的，那么联合概率分布可以用联合概率密度函数来描述。
记为f(x,y)，则对于任意的(x,y)，联合概率密度函数满足以下条件：1. f(x,y)大于或等于0；2. 在整个定义域上的积分等于1，即∬f(x,y)dxdy=1；3. 对于任意的事件A，有P((X,Y)∈A)=∬Af(x,y)dxdy。
四、边缘概率分布边缘概率分布是指在二维随机变量的联合分布中，只考虑某一个随机变量的概率分布。
对于离散型二维随机变量，边缘概率分布可以通过联合概率分布进行计算。
对于连续型二维随机变量，边缘概率分布可以通过联合概率密度函数积分得到。
五、条件概率分布条件概率分布是指在给定一个随机变量的取值时，另一个随机变量的概率分布。
对于二维随机变量(X,Y)，在给定X=x的条件下，Y的条件概率为P(Y=y|X=x)，表示Y取值为y的条件下，X取值为x的概率。
六、独立性如果二维随机变量X和Y的联合概率分布等于边缘概率分布之积，即P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y)，那么称X和Y是相互独立的。
七、联合分布函数与边缘分布函数联合分布函数是指二维随机变量(X,Y)的分布函数，记为F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)。
边缘分布函数是指在联合分布函数中，只考虑某一随机变量的取值的分布函数。
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i，j
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§1 二 维 随 机 变 量
例1
将两个球等可能地放入编号为1，2，3的三个盒子中．
令：X：放入1号盒中的球数； Y：放入 2号盒中的球数．
试求 X， Y 的联合分布律．
解：
X 的可能取值为 0，1，2；
Y 的可能取值为 0，1，2．
PX
0， Y
0
1 32
1 9
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§1 二 维 随 机 变 量
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§1 二 维 随 机 变 量
n维随机变量的分布函数
F x1， x2， ， xn
PX1 x1， X 2 x2， ， X n xn
我们称此函数为n维随机变量
X
，
1
X
，
2
，
Xn
的分布函数.
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§1 二 维 随 机 变 量
二维离散型随机变量
若二维随机变量 X， Y 的取值是有限个或可列无穷 个，则称 X， Y 为二维离散型随机变量． 设 X， Y 二维离散型随机变量， X 的取值为
Px1 X x2 ， y1 X y2
F x2 ， y2 F x2 ， y1
F x1，
y2
F x1，
y1
y y2
y1
(x1 , y2) (X, Y )
(x1 , y1)
(x2 , y2) (x2 , y1)
o
x1
•..... . x2
x
§1 二 维 随 机 变 量
分布函数具有以下的基本性质：
y1
y2
…
yj
…
x1
p11
p12
…
p1 j
…
x2
p21
p22
…
p2 j
…
xi
pi1
pi 2
…
pij
…
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§1 二 维 随 机 变 量
二维离散型随机变量联合分布律的性质
性质 1 ：
对任意的i， j， i，j 1， 2，
有 pij P X xi， Y y j 0
性质 2 ：
pij 1
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§1 二 维 随 机 变 量
例 1（续）
由此得 X， Y 的联合分布律为
§1 二 维 随 机 变 量
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§1 二 维 随 机 变 量 n 维随机变量
设 E 是一个随机试验，S是其样本空间，
X i X i e e S i 1， 2， ， n
是该样本空间上的n个随机变量．
则称
X 1， X 2， ， X n X1e， X 2 e， ， X n e
eS
为样本空间 S上的 n 维随机变量．
x1， x2， ， xi，
Y 的取值为 y1， y2， ， y j，
则称 Pij P X xi ， Y y j i，j 1， 2，
为二维离散型随机变量 X， Y 的（联合）分布律．
§1 二 维 随 机 变 量
二维离散型随机变量的联合分布律
X， Y 的联合分布律也可以由下表表示
Y X
y y2
(x1 , y2)
(X, Y )
y1 (x1 , y1)
o
x1
•..... .
(x2 , y2)
(x2 , y1) x2 x
§1 二 维 随 机 变 量 说明
上述四条性质是二维随机变量分布函数的最基本的 性质，即任何二维随机变量的分布函数都具有这四 条性质； 更进一步地，我们还可以证明：如果某一二元函数 具有这四条性质，那么，它一定是某一二维随机变 量的分布函数（证明略）．
X：该地区成年男子的身高； Y：该地区成年男子的体重．
则X， Y 就是一个二维随机变量．
⒉ 对一目标进行射击，令：
X：弹着点与目标的水平距离； Y：弹着点与目标的垂直距离；
则X， Y 就是一个二维随机变量． •..... . 返回主目录
§1 二 维 随 机 变 量
二维随机变量的例子 ⒊ 考察某地区的气候状况，令：
•..... . 返回主目录
§1 二 维 随 机 变 量
二元分布函数的几何意义
二元分布函数的几何
意义是：F x， y
表示平面上的随机
点X， Y 落在以 x， y 为右上顶
点的无穷矩形中的 概率．
y
(X, Y ) o
(x, y)
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§1 二 维 随 机 变 量 一个重要的公式
设：x1 x2 ，y1 y2 ，则
1) F (x , y )是变量 x , y 的不减函数，即 对于任意固定的 y , 当 x1< x2时， F(x1, y) F(x2, y); 对于任意固定的 x , 当 y1< y2时， F(x1, y) F(x2, y);
2) 0 F(x, y) 1, 且
对于任意固定的 Y , F(, y) 0;
二维随机变量及联 合分布
§1 二 维 随 机 变 量
定义
设 E 是一个随机试验，它的样本空间是 S={e}， 设 X=X(e) 和 Y=Y(e) 是定义在 S 上的随机变量。 由它们构成的一个向量 (X, Y) ，叫做二维随机 向量，或二维随机变量。
X(e)
e
S
Y(e)
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§1 二 维 随 机 变 量 注意事项
对于任意固定的 X , F(x,) 0;
F(,) 0; F(,) 1.
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§1 二 维 随 机 变 量
3) F (x , y )=F(x+0,y), F (x , y )=F(x ,y+0), 即
F (x , y )关于 x 右连续，关于 y 也右连续.
4) F(x2, y2 ) F(x2, y1) F(x1, y1) F(x1, y2 ) 0.
例 1（续）
PX 0， Y 1 2 2 PX 1， Y 2 P 0
32 9
PX
0， Y
2
1 32
1 9
PX
2， Y
0
1 32
1 9
PX
1， Y
0
2 32
2 9
PX 2， Y 1 P 0
PX 1， Y 1 2 2 PX 2， Y 2 P 0
32 9
X：该地区的温度；
Y：该地区的湿度．
则X， Y 就是一个二维随机变量．
⒋ 考察某钢厂钢材的质量，令：
X：钢材的含碳量； Y：钢材的含硫量；
则X， Y 就是一个二维随机变量．
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定义
§1 二 维 随 机 变 量
Fx， y PX x， Y y
是 x， y的函数．我们称此函数为二维随机 变量 X， Y 的分布函数.
⑴ 二维随机变量也称为二维随机向量；
⑵ 我们应把二维随机变量
X， Y X e， Y e e S
看作一个整体，因为 X 与Y 之间是有联 系的；
⑶ 在几何上，二维随机变量 X， Y 可看
作平面上的随机点．
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§1 二 维 随 机 变 量
二维随机变量的例子
⒈ 考察某地区成年男子的身体状况，令