2.1二维随机变量及其联合分布
二维随机变量的联合分布
4.概率计算
求( X , Y )落在某个正方形区域的 概率
( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) 若x1 x2 , y1 y2
P (( X , Y ) G ) F ( x2 , y2 ) F ( x1, y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1, y1) 0
F y' ( x x , y ) F y' ( x , y )
lim
x 0
x
' Fyx ( x, y )
联合密度函数与联合分布函数的关系
2 F ( x, y) f ( x, y ) xy
F ( x, y )
x
y
f ( x, y )dydx
联合密度函数的性质：
2 X Y 4
0 0 0
3
4
0 0
0
i 4 i j C3 C5j C2 P( X i , Y j ) • 定义：设(X,Y)是一个二维随机向量，对于任意的实数x,y，
F ( x, y) P( X x, Y y)
叫做随机变量X和Y的联合分布函数。
1. f ( x, y ) 0
2.
f ( x, y)dxdy 1
如果随机点定义域是区 域S，则
( X ,Y )S
f ( x , y )dxdy 1
3. P ( X , Y ) D
( X ,Y )D
f ( x, y )dxdy
随机点落在区域D上的概率等于密 度函数在区域D上的双重积分！
二维随机变量及其联合分布函数
E-mail: xuxin@
实例1 炮弹的弹着点的 位置 (X,Y) 就是一个二维 随机变量. 实例2 考查某一地 区学 前儿童的发育情况 , 则儿 童的身高 H 和体重 W 就 构成二维随机变量(H,W). 说明 二维随机变量 ( X, Y ) 的性质不仅与X 、Y 有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.
0
+∞
−2 x
(1 − e )dx = [−e
−x
−2 x
2 −3x +∞ 2 1 + e ] |0 = 1 − = . □ 3 3 3
本例是一个典型题.大家应熟练掌握分析与计 算的方法。特别是会根据不同形状的概率密度非零 区域与所求概率的事件区域G来处理这类问题。 与所求概率的
E-mail: xuxin@
( x, y ) 处的函数值就是事件
“随机点(X,Y)落在以点
( x, y )为右上顶点的角形区
域”的概率.
E-mail: xuxin@
分布函数具有下列基本性质:
（1）0 ≤ F ( x, y ) ≤ 1 (−∞ < x < +∞, −∞ < y < +∞) F 且对于任意固定的y， (−∞, y) = xlim F ( x, y ) = 0, →−∞
P{( X , Y ) ∈ G} =
( xi , y j )∈G
∑ P{ X = x , Y = y }
i j
F ( x, y )
E-mail: xuxin@
三、二维连续型随机变量
1、概念
定义5 设二维随机变量(X,Y)的分布函数为 F ( x, y ) 如果存在非负函数 f ( x, y )，使得对任意的X， Y均有 y x
二维随机变量(X,Y)的联合分布
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解：设X可能的取值为 i, i 1,2,3,4
Y可能的取值为 j, j 1, , i .
则： P( X i,Y j)
定义 设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数 为F(x,y),分别把X和Y的分布函数记为FX(x)和FY(y)， 叫做二维随机变量(X,Y) 关于X和Y的边缘分布函数.
即: FX (x) P{X x} PX x,Y F(x,)
FY ( y) P{Y y} PX ,Y y F(, y)
定义：设二维随机变量（X，Y）的分布函数为 F(x,y),若存在非负函数f（x，y），使对任 意实数 x，y 有
x
y
F( x, y)
f (u, v)dudv
则称（X，Y）是二维连续型随机变量,f（x，y）
称为（X，Y）的联合概率密度函数。
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说明
(1) 分布函数 F( x, y) 是连续函数. (因为 F( x, y)
是积分上限函数)
(2)
的性质
(i) f (x, y) 0
(ii)
f ( x, y)dxdy F (,) 1
(注：从几何上看，z f ( x, y)表示空间的一个曲面，
介于它和XOY面的空间区域的体积为1）
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xy
F( x, y)
f ( x, y)dxdy
f ( x, y) Fxy ( x, y)
几何意义
(X,Y)平面上随机点的坐标
F (x, y) P { X x,Y y }
二维随机变量(x,y)的联合分布律
二维随机变量(x,y)的联合分布律
二维随机变量的联合分布律是一类重要的参数，它某种程度上反映和描述了两个不同变量
关系的概率性质。
一般来说，定义在一定空间某点上的联合分布概率，可以用一个函数来
表示，即联合分布函数。
它可以是连续的或离散的，它包括条件概率和条件协方差分布两
部分。
联合分布律不仅描述两个变量之间的关系，还可以揭示各个变量的独立性，或特定变量的正态分布等信息。
研究二维随机变量的联合分布律，有助于我们更加深入、全面地理解变
量之间的关系，分析不同概率分布，从而制定合理的投资策略。
联合分布律经常用于自然科学和经济等领域，非常有用。
如艺术家需要对不同色调和饱和度进行评估，就可以用联合分布律来更好地识别不同色调，也可以帮助统计学家更好地预测某一特定变量的行为趋势。
此外，它也可以帮助金融专业人士观察大量投资者之间的独立性，并做出相应的经济决策。
总之，研究二维随机变量的联合分布律对于解决许多问题至关重要，在金融投资中尤其如此。
熟悉这样的数学模型，能够帮助投资人更好地预测市场的走向，获得资金的最高价值。
第三章 二维随机变量及其分布
第三章 二维随机变量及其分布第一节 基本概念1、概念网络图⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧→⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧→分布分布分布三大统计分布函数分布正态分布均匀分布常见二维分布独立性条件分布边缘分布连续型分布密度离散型分布律联合分布F t X X X Z Y X Z Y X n 221),,min(max,),(χξΛ2、重要公式和结论例3．1 二维随机向量（X ，Y ）共有六个取正概率的点，它们是：（1，-1），（2，-1），（2，0），2，2），（3，1），（3，2），并且（X ，Y ）取得它们的概率相同，则（X ，Y ）的联合分布},1||,1|:|),{(≤-≤+=y x y x y x D求X 的边缘密度f X (x)例3．3：设随机变量X 以概率1取值0，而Y 是任意的随机变量，证明X 与Y 相互独立。
例3．4：如图3.1，f(x,y)=8xy, f X (x)=4x 3, f Y (y)=4y-4y 3，不独立。
例3．5：f(x,y)=⎩⎨⎧≤≤≤≤其他,010,20,2y x Axy例3．6：设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，且X ～U （0，1），Y ～e （1），求Z=X+Y 的分布密度函数f z (z)。
例3．7：设随机变量X 与Y 独立，其中X 的概率分布为,6.04.021~⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡X 而Y 的概率密度为e(1)，求随机变量U=1+Y X的概率密度g(u)。
二维随机变量的边缘分布与联合分布关系探讨
二维随机变量的边缘分布与联合分布关系探讨摘要本文首先理解二维随机变量的联合分布的概念、性质及其两种基本表达形式：离散型二维随机变量联合概率分布和连续型二维随机变量联合概率密度。
掌握已知两个随机变量的联合分布时分别求它们的边缘分布的方法。
在文献研究的基础上，运用随机事元和随机事元集合，建立了二维随机变量分布和边缘分布的形式化可拓模型。
利用可拓变换和传导变换，结合形式化的可拓推理知识，对二维随机变量在可拓变换下的传导分布模型进行了研究。
将随机事元、随机事元集合、可拓变换、可拓推理知识等引入到二维随机变量分布的研究中，使分析更加形式化，逻辑性更强。
运用随机事元和随机事元集合建立了二维随机变量分布的可拓模型。
本文对这种特例作了深入研究，分析了具有这种性质的二维密度f(x，y)的结构特点与本质，有助于我们更好地了解正态分布的特殊性质。
关键词：二维随机变量；边缘分布；联合分布AbstractIn this paper，we first understand the concept and properties of the joint distribution of two-dimensional random variables and their two basic expressions: joint probability distribution of discrete two-dimensional random variables and joint probability density of continuous two-dimensional random variables. The method of finding the edge distribution of the joint distribution of two known random variables is mastered. On the basis of literature research， a formal extension model of two-dimensional random variable distribution and edge distribution is established by using random event element and random element set. By using extension transformation and conduction transformation combined with formalized knowledge of extension reasoning，the conduction and distribution models of two-dimensional random variables under extension transformation are studied. The random event element，random event set，extension transformation and extension reasoning knowledge are introduced into the study of two-dimensional random variable distribution，making the analysis more formalized and logical. The extension model of the distribution of two dimensional random variables is established by using the random event element and the set of random element. This special case is studied in depth. The structure and nature of the two-dimensional density f (x，y) with this property is analyzed，which helps us to better understand the special properties of normal distribution.Key words:two-dimensional random variables; edge distribution; joint distribution目录摘要 (I)Abstract (II)1 随机变量独立性及其判定 (1)1.1 随机变量独立性定义 (1)1.1.1随机变量及随机变量独立性的定义 (1)1.1.2随机变量独立性的两个简单定理 (2)1.2 离散型随机变量独立性的判定 (4)1.2.1离散型随机变量判别法一 (4)1.2.2离散型随机变量判别法二 (8)1.3 连续型随机变量独立性的判定 (12)1.3.1连续型随机变量判别法一 (12)1.3.2连续型随机变量判别法二 (13)2 边缘分布与联合分布关系探讨 (16)2.1 二维随机变量的分布函数 (16)2.2 二维离散型随机变量 (17)2.3 二维连续型随机变量 (18)2.4 随机变量的独立性 (18)2.5条件分布 (19)2.6 二维随机变量函数的分布 (20)结论 (21)致谢 (21)参考文献 (22)0 引言概率论是研究随机现象数量规律的数学分支，而随机现象是相对于决定性现象而言的。
二维离散型随机变量的联合分布函数
对每个变量左连续
d F (x0 , y0) = F (x0 -0 , y0)
F (x0 , y0) = F (x0, y0 - 0) c
对于任意的a < b , c < d
a
b
F (b,d) – F (b,c) – F (a,d) + F (a,c) 0
2
2
FY ( y) F(, y)
1 1 arctan y ,
2
2
y ,
(3) P(X 2) 1 P(X 2)
1
1 2
1
arctan
2 2
1 4
可以将二维随机变量及其边缘分布函数的概
念推广到 n 维随机变量及其联合分布函数与边缘
(X x) (Y y) (记为 X x,Y y)
的概率 PX x,Y y， 定义了一个二元实
函数 F ( x , y )，称为二维随机变量( X ,Y ) 的分 布函数，即
F(x, y) PX x,Y y．
分布函数的几何意义
如果用平面上的点(x, y)表示二维随机变量 (X ,Y )的一组可能的取值，则F (x, y)表示(X ,Y ) 的取值落入下图所示的阴影区域的概率．
4
9 99 0
9
11
2
2
99 00 9
1
1
3
27 0 0 0 27
pi•
84 2
1
27 9 9
27 1
(2) 由表可知
P(Y X ) 7 27
二维随机变量的联合分布函数
二维随机变量的联合分布函数随机变量是概率论和数理统计中的重要概念之一，它可以描述一个随机事件以及该事件可能出现的结果。
二维随机变量则是另一种更为复杂的随机变量类型，它可以同时描述两个随机事件之间的关系。
在二维随机变量中，我们有一个联合分布函数，它描述了两个随机变量的值同时出现的可能性，也就是两个随机变量之间的联合关系。
二维随机变量的联合分布函数定义为：F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)
其中，X和Y是两个二维随机变量，F(x,y)表示X≤x且Y≤y的概率。
联合分布函数可以用来描述两个随机变量之间的关系，从而可以计算出相应的统计特征，如均值、方差、协方差等。
在实际应用中，联合分布函数也可以用于概率分布估计、预测和建模等问题。
例如，如果我们有两个随机变量X和Y，它们分别表示某个商品的价格和销量。
我们可以通过计算它们之间的联合分布函数，来研究价格和销量之间的关系。
如果联合分布函数的曲线表现为随价格上升而
销量下降的趋势，那么我们可以得出这个商品的价格和销量之间是负
相关的。
另外，联合分布函数还可以衍生出边际分布函数和条件分布函数。
边际分布函数指的是某一个随机变量的概率分布函数，而条件分布函
数则指的是在已知另一个随机变量取某一值的情况下，另一个随机变
量的概率分布函数。
总之，二维随机变量的联合分布函数是概率论和数理统计中重要
的概念之一。
通过联合分布函数，我们可以研究和描述两个随机变量
之间的相互关系，从而得出相应的统计特征，如均值、方差、协方差等。
同时，联合分布函数还可以衍生出边际分布函数和条件分布函数，有助于在实际应用中进行概率分布估计、预测和建模等问题的解决。
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二维随机变量及其联合分布 边缘分布与独立性 两个随机变量的函数的分布
前面我们讨论的是随机实验中单独的 一个随机变量，又称为一维随机变量；然而 在许多实际问题中，常常需要同时研究一个 试验中的两个甚至更多个随机变量。
例如 E：抽样调查15-18岁青少年的身高 X与体重
F(x, y) 4dxdy 梯形
4S梯形
2 y 1
y 2
y 1时，
F(x, y) 4dxdy 4S三角形 1 三角形
所以，所求的分布函数为
0,
(x 1 或y 0) 2
2
y
2x
y 2
1 ,
( 1 x 0, 0 y 2x 1) 2
F
(x,
y)
4
x
1 2
2
0 x 2, 2 y 4
0,
其他
求概率 PX Y 4 X 1
解答 PX Y 4 X 1
4
PX Y 4, X 1
2
PX 1
2
dx
4x 1 (6 x y)dy
1 2 8
7 48 7
12
2
dx
4 1 (6 x y)dy
1 28
3 8 18
二维均匀分布
设二维随机变量 (X ,Y) 的概率密度为
XY
x1
x2
... 。。。
xi
y y 1
2
。。。
p p 11
12 。。。...
p p 21
22 。。。...
。。。...
pi1
... 。。。
pi 2
。。。... ... 。。。
... 。。。
... 。。。
。。。... 。。。...
(i 1,2,L ; j 1,2,L )
yj p1 j
p2 j
。。。
...
联合概率密度函数的性质
非负性 f (x, y) 0
.
f (x, y)dxdy 1
F(,) 1
. 2F(x, y) f (x, y) xy
f (x, y)
几何解释
P((x, y) D) f (x, y)d
D
x
随机事件的概率=曲顶柱体的体积
Dy
例 设二维随机变量 (X ,Y) 的概率密度为
pij
...
... 。。。 ... 。。。 ... 。。。 ... 。。。
... 。。。 。。。
...
性质
0 pij 1
pij 1
i1 j1
例 一个口袋中有三个球， 依次标有数字1， 2， 2， 从中任 取一个， 不放回袋中， 再任取一个， 设每次取球时， 各球被 取到的可能性相等.以Ｘ、Ｙ分别记第一次和第二次取到的球 上标有的数字， 求(X ,Y ) 的联合分布列.
(0， 0)， (-1， 1)， (-1， 1/3)，（2，0）
P(X ,Y ) (0, 0) 1 , P( X ,Y ) (1,1) 1
6
3
P(X ,Y ) (1,1 3) 1 , P(X ,Y ) (2, 0) 5
12
12
（X，Y）的 联合分布律为
y X
0 -1 2
0
1/6 0
5/12
0
0
k[
1 2
e2 x
]0[
1 3
e3
y
]0
k1 1 6
所以 k 6
xy
(2) F(x, y) f (u,v)dudv
当 x 0,或y 0 时， F(x, y) 0
当 x 0,且y 0 时，
F (x, y) x y 6e2x3ydudv (1 e2x )(1 e3y ) 00
F(4,1) (1 e8 )(1 e3) 0.95
(4) P{X Y} f (x, y)dxdy y x 0, y 0
D
y x
f (x, y)dxdy
x y
0
y 0
6e(2
x3
y
)dx
dy
0
x
3e3y[1 e2 y ]dy
0
3e3ydy 3e5ydy 1 3 2
f
(
x,
y)
4,
( 1 x 0, 0 y 2x 1) 2
0, 其他
y=2x+1
分布函数为 F(x, y) PX x,Y y
（1）当 x 1 时，
2
-1/2
F(x, y) P 0
（2）当 1 x 0 时， 2
y 0时，f (x, y) 0,
y=2x+1
所以，F(x, y) 0
(1 e2x )(1 e3y ), (x 0, y 0)
所以， F(x, y)
0
其他
(3) P{0 X 4, 0 Y 1}
1 4 6e(2x3y)dxdy 00 1
(1 e8 )(1 e3) 0.95
或解
4
P{0 X 4, 0 Y 1}
F(4,1) F(0,0) F(4,0) F(0,1)
,
( 1 x 0, 2x 1 y) 2
2
y
1
y 2
,
(0 x, 0 y 1)
1,
(x 0, y 1)
P Y
1
2
4dxdy 梯形
3 4
y=2x+1 0.5
-1/2
二维正态分布
N
(1
,
2
,12
,
2 2
,
)
设二维随机变量 (X ,Y) 的概率密度为
1 f (x, y)
ke(2x3y) x 0, y 0
f (x, y)
0
其它
(1) 确定常数 k；
(2) 求 ( X ,Y ) 的分布函；数.；
(3)求 P{0 X 4, 0 Y 1}
(4) 求 P{X Y}
解 (1)
f (x, y)dxdy
ke(2x3y)dxdy 00
k e2xdx e3ydy
二维离散型随机变量
定义 若二维 随机变量 （X，Y）的所有可能取
值只有限对或可列对，则称（X，Y）为二维离散型 随机变量。
研究问题
如何反映（X，Y）的取值规律呢？
联想一维离散型随机变量的分布律。
（X，Y）的联合概率分布（分布律）
表达式形式
P X xi ,Y yj pij
表格形式（常见形式）
解 ( X ,Y ) 的可能取值为(1， 2)， (2， 1)， (2， 2).
Ｐ{Ｘ＝１，Ｙ＝２}＝(1/3) × (2/2)＝1/3， Ｐ{Ｘ＝２，Ｙ＝１}＝(2/3) ×(1/2)＝1/3， Ｐ{Ｘ＝２，Ｙ＝２}= (2/3) ×(1/2)＝1/3，
Ｙ Ｘ １
２
１
２
０
1/3
1/3
1/3
例 见书P69，习题1 解 (X ,Y ) 的可能取值为
0
0
55
例 已知二维随机变量（X，Y）的分布密度为
f
(x,
y)
1 8
(6
x
y),
0 x 2, 2 y 4
0,
其他
求概率 (1)PX 1,Y 3;(2)PX Y 3
解 PX 1,Y 3 f (x, y)dxdy
D
1
dx
3 1 (6 x y)dy
0 28
11 08
(6 y
xy
0 y 2x 1时，
-1/2
F ( x,
y)
4dxdy
梯形
4S梯形
2y
2x
1
y 2
y 2x 1时，
F(x, y) 4dxdy 三角形
4S三角形
4
x
1 2
2
（3）当 x 0 时，
y 0时，f (x, y) 0,
y=2x+1
所以，F(x, y) 0
0 y 1时，
-1/2
1 2
y2)
3 2
dx
3 8
4 2
12
续解 ……….
PX Y 3 f (x, y)dxdy
D
1
dx
3x 1 (6 x y)dy
0 28
1 1 (6 y 08
xy
1 2
y2)
3 x 2
dx
5 24
x+y=3
思考 已知二维随机变量（X，Y）的分布密度为
f
(x,
y)
1 8
(6
x
y),
f
(x,
y)
1 A
,
0,
(x, y) D 其它
其中 D 是平面上的有界区域，其面积为 A ，则称 (X ,Y) 在 D上服从均匀分布.
思考 已知二维随机变量（X，Y）服从区域D上的
均匀分布，D为x轴，y轴及直线y=2x+1所围成的三角形
区域。求（1）分布函数；（2）P Y
1
2
解 （X,Y）的密度函数为
Y,以研究当前该年龄段青少年的身体发育情况。
不过此时我们需要研究的不仅仅是X及Y各自的性 质， 更需要了解这两个随机变量的相互依赖和制约 关系。因此， 我们将二者作为一个整体来进行研究， 记为(X, Y),称为二维随机变（向）量。
二维随机变量
定义 设X、Y 为定义在同一样本空间Ω上的随机变
量，则称向量（ X，Y ）为Ω上的一个二维随机变
1
0 1/3
0
1/3
0 1/12
0
二维连续型随机变量的联合概率密度
定义 若存在非负函数 f（x，y），使对任意
实数x，y，二元随机变量(X,Y)的分布函数 可表示成如下形式