九年级数学下册 2.2 结识抛物线
北师大版九年级下册第二章二次函数第二章：结识抛物线教学设计
北师大版九年级下册第二章二次函数第二章：结识抛物线教学设计一、教学目标1.理解抛物线的概念与特征，掌握一般式、顶点式和焦点式的表示方法；2.能够灵活应用抛物线的顶点坐标、对称轴以及焦点坐标等信息，解决相关问题；3.进一步掌握二次函数的基本性质，认识二次函数在现实生活中的应用。
二、教学重点1.抛物线的概念、特征和各种式子的相互转化；2.如何利用顶点、对称轴以及焦点坐标等信息解决相关问题。
三、教学难点1.如何区分不同式子表示的抛物线相应的概念和特征；2.如何准确地应用顶点坐标、对称轴以及焦点坐标等信息进行问题的解答。
四、教学过程1. 导入•引出抛物线的概念：以实物形象、图形表现等方式让学生初步认识抛物线的形状和特征；•通过举例让学生感受二次函数的特殊性质，如开口方向等。
2. 讲解•带领学生通过实物演示、图像观察等方式，掌握一般式、顶点式和焦点式表示抛物线的方法；•通过多个实例，让学生了解不同式子表示的抛物线的特征和概念间的相互关系；•讲解抛物线的顶点坐标、对称轴以及焦点坐标等信息与其特征之间的关系；•帮助学生领会抛物线的对称性、单调性等基本性质。
3. 练习•在板书上挂出大量有关抛物线的练习，让学生自主进行练习和思考；•带领学生通过课堂练习、组内合作等形式进一步巩固和应用所学的知识和技能。
4. 主题实践•组织小组活动，让学生在拥有一定应用基础的前提下，寻找和探究抛物线在生活中的具体应用，洞察抛物线的神奇和突出之处，并进行总结和分享。
五、教学反思1.针对不同学生的需求，要及时调整教学节奏和难度，让每个学生都有所收获；2.教师要尽可能多地运用生动有趣的教学方法和案例，让学生主动探究和学习；3.在小组合作中，要积极引导学生，鼓励各自思考，培养合作意识和自主学习能力。
北师大版九年级下册数学《结识抛物线》二次函数说课教学课件复习
返回
2．2结识抛物线
1．二次函数y=x2的图象是抛物线
2．抛物线y=x2的性质
开口方向： 对称轴： 增减性： 最值：
3．抛物线y=x2的性质
y=-x2的图象有最高点，在y＝-x2中， y有最大值，即x=０时，y最大=０．
相同点：
①图象都是抛物线； ②图象都与x轴交于点（０,０）； ③图象都关于y轴对称．
返回
创设情境,提出问题
教 学
合作交流,探究新知
流
变式训练,巩固提高
程
图
总结反思,纳入系统
布置作业,拓宽视野
创设情境，提出问题
师生行为：教师 演示课件，学生 观察：喷泉的水 流、篮球的投掷 形成的路径，抛 物线型拱桥、抛 物线型隧道，都 与抛掷一个物体 形成的路径的曲 线类似，由此导 入课题.紧接着提 出两个问题.
(2) 类似的你能说 出它的性质吗?
设计意图：这一问题设计为学生 提供思考的空间，培养学生在观 察、分析、对比、交流中发展分 析能力和从图象中获取信息的能 力．
合作交流，探究新知
议一议:函数y＝x2与y ＝－x2的图象及其性 质有何异同？
开口
增减性
最值
相同点
关系
师生行为：教 师出示议一议 中的问题，学 生观察图形， 通过小组讨论， 归纳y＝x2与y＝ －x2的图象及 其性质的异同, 然后回答，学 生自己总结出 哪一点就出在 多媒体上出示 哪一点，学生 想不到的，及 时给予引导.
创设情境，提出问题
1．我们已经学过哪些函数？研究 函数问题的一般程序是怎样的？ 2．一次函数、反比例函数的图象 各是怎样的图形？
初中数学知识点精讲精析 结识抛物线
2·2结识抛物线1.做函数图像方法：①列表、②描点、③连线.2.抛物线：二次函数的图象称为抛物线.对称轴:.抛物线与x 轴交点个数的判定：3.二次函数y=ax 2的图象的一些性质：①、图象——“抛物线”是轴对称图形；②、与x 、y 轴交点——（0，0）即原点；③、a 的绝对值越大抛物线开口越大，a 的绝对值越大，图象越靠近y 轴. a ﹥0，开口向上，当x ﹤0时，（对称轴左侧），y 随x 的增大而减小（y 随x 的减小而增大）. 当x ﹥0时，（对称轴右侧），y 随x 的增大而增大（y 随x 的减小而减小）. a ﹤0，开口向下，当x ﹤0时，（对称轴左侧），y 随x 的增大而增大（y 随x 的减小而减小）. 当x ﹥0时，（对称轴右侧），y 随x 的增大而减小（y 随x 的减小而增大）.4.函数y=x 2与y=-x 2的图象的比较：不同点： (1)．开口方向不同，y ＝x 2开口向上，y ＝－x 2开口向下． （）当时，开口向上当时，开口向下顶点坐标：，，对称轴：2002442a a b a ac b a ><--()直线x b a =-2①个交点b ac 2402->②个交点b ac 2401-=③个b ac 2400-<(2)．函数值随自变量增大的变化趋势不同，在y ＝x 2图象中，在对称轴左侧，y 随x 的增大而减小，在对称轴右侧，y 随x 的增大而增大．在y ＝－x 2的图象中正好相反．(3)．在y ＝x 2中y 有最小值，即x ＝0时，y 最小＝0，在y ＝－x 2中y 有最大值．即当x ＝0时，y 最大＝0．(4)．y ＝x 2有最低点，y ＝－x 2有最高点．相同点：(1)．图象都是抛物线．(2)．图象都与x 轴交于点(0，0)．(3)．图象都关于y 轴对称．联系：它们的图象关于x 轴对称．1.已知函数y ＝m ·m m x -2．m 取何值时，它的图象开口向上．当x 取何值时，y 随x 的增大而增大．当x 取何值时，y 随x 的增大而减小．x 取何值时，函数有最小值．【解析】由题意得：⎩⎨⎧=+≠202m m m 解得⎩⎨⎧-==≠210m m m 或 当m ＝－2时，y ＝－2x 2开口向下∴m ＝1即当m ＝1时，它的图象是开口向上的抛物线．函数关系式为y ＝x 2．当x ＞0时，y 随x 的增大而增大．当x ＜0时，y 随x 的增大而减小．当x ＝0时，函数有最小值．2. 跳水运动员在跳水时，距离水面的高度h （米）与时间t （秒）之间的关系可以 度.一运动员参加10米跳台跳水，起跳时的速度为5米/秒，则起跳后几秒钟该运动员入水？【解析】根据题意得答：起跳后2秒钟入水。
2.2结识抛物线课件
（2）S是a的
次函数；
（3）a能否小于零？ （4）你能作出面积S随边长a变化而变化的函数图象吗？
读一读： 二次函数的广泛应用
请看下面的一些例子： 二次函数是刻画客观世界许多现象的一种重要模型。
1。某一物体的质量为m，它运动时的能量E与它的运动速度v之间的关系是：
E 1 mv2 （m为定值） 2
(2)在直角坐标系中描点 y
10
y=x2
8
6
4
2 1
-4
-3 -2 -1
o
1
2
3
4x
-2
(3)用光滑的曲线连接各点，便得到函数Y=X2的图象.
y
10
8
6
4
2 1
-4
-3 -2 -1
o
1
-2
y=x2
2
3
4x
y
10
8
6
4
2 1
-4 -3 -2 -1 o 1
-2
y=x2
2 3 4x
如图，二次函数Y=X2的图象是一条抛物 线，它的开口向上，且关于Y轴对称。对 称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，
它是图象的最低点。
二次函数y=-x2的图象是什么形状？ 先想一想，然后作出它的图象． 它与二次函数y=x2的图象有什么关系？
y
y y=x2
y=x2
o
x
y=-x2
猜想：
y 1 x2, y 2x2, y 3x2 它们的函数图象怎样？ 2
与刚才研究 y x2的函数图象类似吗？是抛物线吗？
2。导线的电阻为R，当导线中有电流通过时，单位时间所产生的热量Q与
电流强度I之间的关系是：Q 1 RI 2 （R为定值） 2
2.2结识抛物线
九年级数学下册第二章二次函数2.2 结识抛物线学习活动单【学习目标】 1．能够利用描点法作出函数 y=x2 的图象，能根据图象认识和理解二次函 数 y=x2 的性质． 2．猜想并能作出 y=-x2 的图象，能比较它与 y=x2 的图象的异同 3．通过学生的探索活动，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性 质的理解． 【重、难点】 1.作出函数 y＝±x2 的图象，并根据图象认识和理解二次函数 y＝±x2 的 性质。
2.由 y=x2 的图象及性质对比地学习 y＝-x2 的图象及性质，比较出它们的 异同点。
【学习过程】 一、创设情境，揭示目标 1、一般地，形如 y=ax2+bx+c（a、b、c 是常数，a≠0）的函数叫做 x 的 ___________. 2、画函数图象的主要步骤是什么？ （1）_____ ； （2）_____ ； （3） ______。
二、自主学习，基础达标 (一)探究二次函数 y=x2 的图象 请你画出二次函数 y=x2 的图象 x y1九年级数学下册第二章二次函数1.你能描述图象的形状吗？与同伴交流。
2.图象与 x 轴有交点吗？如果有，交点的坐标是什么？ 3.当 x<0 时，y 随着 x 的增大，y 的值如何变化？当 x>0 时呢？ 4.当 x 取什么值时，y 的值最小？ 5.图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对 称点，并与同伴交流我们得出的结论是: (1) 二次函数 y =x2 的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做 (2) 这条抛物线关于 轴对称, 轴就是它的对称轴.(3) 对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的 (4) 当 x<0 (图像在对称轴的左侧)时,y 随着 x 的增大而 像在对称轴的右侧)时, y 随着 x 的增大而 (5) 抛物线 y =x2 在 x 轴的上方(除顶点外),顶点是它的最 (二) 探究二次函数 y =-x2 的图象 x y 点,开口向 . 当 x>0 (图上,并且向上无限伸展;当 x= 时,函数 y 的值最小,最小值是说说二次函数 y=－x2 的图象有哪些性质？与同伴交流并总结。
初三抛物线知识点归纳总结
初三抛物线知识点归纳总结抛物线是数学中的一种重要曲线，具有许多特殊的性质和应用。
在初三数学中，学生将接触到抛物线的相关知识，并需要进行归纳总结。
本文将对初三抛物线的知识点进行系统整理，以帮助学生更好地掌握和运用这一知识。
一、抛物线的定义和性质抛物线是一个平面曲线，其定义为到定点（焦点）和直线（准线）的距离相等的点所构成的轨迹。
抛物线有以下性质：1. 对称性：抛物线关于准线对称，焦点和准线的中点是抛物线的对称中心。
2. 准线上的点：准线上的点到焦点的距离等于到抛物线的顶点的距离。
3. 焦点和直线关系：焦点到直线的距离等于焦距（焦点到抛物线顶点的距离）。
二、抛物线的方程及其性质抛物线的方程有两种常见形式：一般形式和顶点形式。
1. 一般形式：$y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$和$c$是常数。
- 当$a>0$时，抛物线开口向上；当$a<0$时，抛物线开口向下。
- 抛物线的平移：通过改变常数$b$和$c$，可以使抛物线平移。
2. 顶点形式：$y=a(x-h)^2+k$，其中$(h,k)$是抛物线的顶点。
- 顶点坐标$(h,k)$为抛物线的最低点或最高点。
- 抛物线的平移：通过改变顶点坐标$(h,k)$，可以使抛物线平移。
三、抛物线的焦点和准线1. 焦点的坐标：对于一般形式的抛物线，焦点的横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$，纵坐标为$y=\frac{1}{4a}-\frac{b^2}{4ac}+c$。
2. 焦距的计算：焦距等于$\frac{1}{4a}$。
3. 准线的方程：对于一般形式的抛物线，准线方程为$y=\frac{-b^2+4ac}{4a}$。
四、与抛物线相关的常见问题1. 抛物线的判别式：对于一般形式的抛物线，判别式$D=b^2-4ac$可以判断抛物线的开口方向和与坐标轴的交点情况。
- 当$D>0$时，抛物线与$x$轴有两个交点。
- 当$D=0$时，抛物线与$x$轴有一个交点，抛物线为切线。
九年级数学下册：2.2结识抛物线教案(北师大版)
2．2 结识抛物线一、函数y=x2的图象．在二次函数y=x2中，y随x的变化而变化的规律是什么?你想直观地了解它的性质吗?先作二次函数y=x2的图象．(1)观察y= x2的表达式，选择适当的x值，并计算相应的y值，完成下表：(2)在直角坐标系中描点．(3)用光滑的曲线连接各点，便得到函数y=x2的图象．二、议一议对于二次函数y=x2的图象，(1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流．(2)图象与x轴有交点吗?如果有，交点坐标是什么?(3)当x<0时，随着x值的增大，y的值如何变化?当x>0时呢?(4)当x取什么值时，y的值最小?最小值是什么?你是如何知道的?(5)图象是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么?请你找出几对对称点，并与同伴进行交流．三、二次函数y=x²的图象的性质（1）抛物线的开口向上；（2）它的图象有最低点，最低点的坐标是（0，0）；（3）它是轴对称图形，对称轴是y轴。
在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大。
（4）图象与x轴有交点，这个交点也是对称轴与抛物线的交点，称为抛物线的顶点，同时也是图象的最低点，坐标为（0，0）；（5）因为图像有最低点，所以函数有最小值，当x=0时，四.做一做二次函数的图象y=-x²是什么形状?先想一想,然后作出它的图象.它与二次函数y=x²的图象有什么关系?与同伴交流。
五．课时小结1．作二次函数y=x2的图象2．作二次函数y=-x2的图象3．函数y=x²与y=-x²的图象的比较六．作业1．说说自己生活中遇到的哪些动物和植物身体的部分轮廓线呈抛物线形状。
2．设正方形的边长为a，面积为s，试作出S随a的变化而变化的图象。
九年级数学 结识抛物线 课件
2、某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得 水面宽AB=1.6m，涵洞顶点O到水面的距离为2.4m。 在图中直角坐标系内，求涵洞所在抛物线的表达式。
y o A
x B
例题欣赏P408
2.填空:(1)抛物线y=2x2的顶点坐标是 （0，0） ,对称轴是 y轴 在 对称轴的右 侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的左 侧,y随 着x的增大而减小,当x= 0 时,函数y的值最小,最小值是 0 , 抛物线y=2x2在x轴的 上 方(除顶点外). (2)抛物线 y 2 x 2 在x轴的 下 方(除顶点外),在对称轴的
观察图象,回答问题串
y=x
(2)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什 6 么?图像与对称轴有交点吗？请你找出几对对称点 , 并与同伴交流. 4 (3)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?
抛物线的顶点.
当x<0 (在对称轴的 2 (4)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？ 左侧)时,y随着x的增大而 1 减小. -4 -3 -2 -1 0 1 2 当x>0 3 当 4 时， x y=4 x=2 (在对称轴的 当x=-2时，y=4 -2 x=1x 时， y=1 右侧)时, 当 y随着 的增大而 (5)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么？你是如何 当x=-1时，y=1 增大.
（1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流.
-6 抛物线y= -x2在x轴的 （4)当x<0时,随着x的值增大 ,y 的值如何变化？当 x>0呢 -8 下方 ( 除顶点外 ), 顶点 当x= -2时,y= -4 2 ？当x= -1时,y= -1 是它的最高点,开口 当x=1时,y= -1 -10 向下,并且向下无限 当x= 2时,y= -4 （5)当x取什么值时,y 的值最小 ?最小值是什么？你是如何 伸展 ;当x=0时 ,函数y 的值最大,最大值是0. 知道的？
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第2课时
§2.2 结识抛物线
教学目标
1、 经历探索二次函数2x y =的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验
2、 经历探索二次函数2x y =的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验
3、 能够利用描点法作出2x y =的图象，并能根据图象认识和理解二次函数表达式与图象之间
的联系
教学重点和难点
重点：二次函数2x y =的图象的作法和性质
难点：根据图象认识和理解二次函数表达式与图象之间的联系
教学过程设计
一、 从学生原有的认知结构提出问题
上一节课，我们学习了二次函数。
一般函数都有其图象，二次函数都不例外。
那么它的图象是一条什么曲线呢？这节课，我们先研究最简单的二次函数2x y =和2x y -=的图象。
让我们通过动手，画一画它的图象吧。
二、 师生共同研究形成概念
1、 作二次函数2x y =的图象
此图象由老师和学生一起探究完成，一般取七个点。
2、 二次函数2x y =的图象和性质（开口方向、对称轴、顶点坐标）
本节讨论最简单的二次函数2x y =的图象的作法，并引出抛物线的概念，在此基础上初步归纳这类抛物线的性质，要结合图象讲解，尽可能让学生讲，老师作适当点拨。
☆ 议一议 书本P 39 议一议
学生可以用自己的语言进行描述，要提醒学生不要忽略y 轴左侧的图象。
二次函数2x y =的图象是一条抛物线，它的开口向上，且关于y 轴对称。
对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，它的图象的最低点。
☆ 巩固练习 练习册P 19 1 、2
3、 作二次函数2x y -=的图象
此函数的图象由学生完成，老师作适当指导。
两个图象的形状相同，但是开口向下，两个图象关于x 轴对称。
☆ 巩固练习 练习册P 19 3
4、 讲解例题
例1
已知二次函数2ax y =的图象过点P （1，8），求此函数的解析式。
例2 已知二次函数c x y +=22的图象过点P （2，6），求此函数的解析式。
分析：两道例题都是通过图象的已知点，求出函数的未知的系数。
求解时，要分清坐标点的两个数应该分别代入哪个位置上。
三、 随堂练习
1、 《练习册》 P 19 4 ~ 9
2、 《练习册》 P 20
四、 小结
二次函数2x y =和2x y -=的图象及其性质。
五、 作业
已知二次函数c x y +-=23的图象过点P （1，6）和Q （2，k ），求此函数的解析式及k 值。
六、 教学后记。