结识抛物线-精品
结识抛物线
3
y=-2x2
( 3,6)
( 3,6)
例2：已知函数y=ax2 （a≠0）与函数y=kx-2 的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标是 （-1,-1）。 求：⑴a，k的值； ⑵B点的坐标； ⑶△OAB的面积。
例3:如图所示，抛物线y=x2与直线y=2x在第 一象限内有一个交点A。 ⑴你能求出A点坐标吗？
当 x=-2 当 x=1时， 时，y=-4 y=-1 当 x=-1 当 x=2时， 时，y=-1 y=-4
y x
当a<0时，在对称轴的 2 右侧，y随着x的增大而 减小。
y x2
二次函数y=ax2的性质
1、抛物线y=ax2的顶点是 原点，对称轴是y轴。
2、当a>0时，抛物线 y=ax2在x轴的上（除 3、当a>0时，在对称轴的左侧， 顶点外），它的开口 y随着x的增大而减小；在对称 向上，并且 向上无限 轴右侧，y随着x的增大而增大。 伸展； 当x=0时函数y的值最小。 当a<0时，抛物线 y=ax2在x轴的下（除 当a<0时，在对称轴的左侧，y 随着x的增大而增大；在对称轴 顶点外），它的开口 的右侧，y随着x增大而减小， 向下，并且向下无限 当x=0时，函数y的值最大。 伸展。
y x2
列表
画出下列函数的图象。
描点
连线
1 2 (1) y x 2 (2) y 2 x 2
y x2
x
1 2 y 2 x y=x 2
... ... ... ...
-4 -3 8 4.5
-2 -1 2 0.5
0 0
1 0.5
2 2
3 4.5
4 8 2 8
...
...
... ...
北师大版九年级数学下册《结识抛物线》PPT课件
14.已知点A(1,a)在抛物 线y=x2上. (1)求A点的坐标. (2)在x轴上是否存在点P, 使得△OAP是等腰三角形? 若存在,求出点P的坐标; 若不存在,说明理由.
猜想：
y 1 2 x , y 2 x , y 3 x 它们的函数图象怎样？
2 2 2
与刚才研究 y x 2 的函数图象类似吗？是抛物线吗？ 它们的开口朝向，对称轴，顶点怎样？ 顶点是最高点还是最低点？
6．抛物线y=－x2上有一点A(2,__ ), 点A关于y -4 轴的对称点A’坐标为(__ , __)，这个点 -2 -4 ____(填“在”或“不在”)y=－x2的图象 在 上．
小结
（0，0） 7．抛物线y=x2的顶点坐标为 ．若点A （a，4）在其图象上，则a的值是 ±2 ．若 点B（3，b）在其图象上，则b= 9 ．
3．观察二次函数y=x2的图象，可以知道当x ＜0时，随着x的增大，y值 减小 ；当x＞0时， 随着x的增大，y值 增大 ． 4．观察二次函数y=－x2的图象，可以知道当 x＜0时，随着x的增大，y值 增大 ；当x＞0时， 减小 随着x的增大，y值 ．
小结
5．观察y=x2图象可知，无论x取何值，y ﹥ 2图象可知，无论x取何值，y 0．观察y=－x ﹤ 0．
x y
… …
－3 －2 －1 -9 -4 -1
0 -0
1 -1
2 -4
3 -9
… …
描点,连线
-4 -3 -2 -1 -1 -2 -4 -6 -8 -10 0
y 1 2 3 4 x
y=-x2
yx
2
观察右图，
完成填空。
0
y x
2
抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 极值
2.2结识抛物线
2.2结识抛物线知识点一：函数图象性质1.学会画2x y =的图象，掌握作法2.函数2x y =的图象是一条开口向上的抛物线，当0<x 时，Y 随X 的增大而减小；当0>x 时，Y 随X 的增大而增大；当0=x 时，Y 取最小值为0；即抛物线2x y =的顶点坐标是（0,0） 该点也是图象的最低点，抛物线关于Y 轴对称3.函数2x y -=的图象是一条开口向下的抛物线，当0<x 时，Y 随X 的增大而增大；当0>x 时，Y 随X 的增大而减小；当0=x 时，Y 取最大值为0；即抛物线2x y -=的顶点坐标是（0,0）该点也是图象的最高点，抛物线关于Y 轴对称4.函数2x y =和2x y -=是关于X 轴对称的【例1】已知函数42)1(-+-=k k x k y 是二次函数，且当0>x 时，Y 随X 的增大而增大（1）求K（2）画出函数图象（3）根据图象指出该函数的对称轴和顶点坐标练习：1.观察函数2x y =的图象，下列判断正确的是（ ）A 若b a ,互为相反数，则b x a x ==,的函数值相同B 对于同一个自变量X ，有两个函数与它对应C 对任意一个实数Y ，有两个X 与之对应D 对任意实数X ，都有0>y2.已知点),2(),,2(),,1(321y C y B y A ---在函数2x y -=的图象上，则321,,y y y 的大小关系是（ ）A 321y y y >>B 231y y y >>C 123y y y >>D 312y y y >>3.若某函数图象最低点为原点（0,0)则这个函数是（ ） A 321+=x y B 2x y -= C 2x y = D x y -= 4.在抛物线上2x y -=有两个点)641,(),641,(--n B m A =+≠n m n m ),(（ ） A 0 B 81 C 161 D 641 5.如图所示，在直角坐标系中，函数23x y x y =-=与的图象大致是（ ）6.已知1-<a，点),1(),,(),,1(321y a y a y a +-都在函数2x y =的图象上，则（ ） A 321y y y << B 231y y y << C 123y y y << D 312y y y <<知识点二：二次函数2x y ±=与一次函数b kx y +=的综合1.二次函数2x y ±=与一次函数b kx y +=图象的交点坐标即是方程组⎩⎨⎧+=±=b kx y x y 2的解2.求坐标平面内的点围成的几何图形的面积应将其转化为以轴为其边长的几何图形的面积和或差。
九年级数学结识抛物线1
2．2 结识抛物线一、函数y=x2的图象．在二次函数y=x2中，y随x的变化而变化的规律是什么?你想直观地了解它的性质吗?先作二次函数y=x2的图象．(1)观察y= x2的表达式，选择适当的x值，并计算相应的y值，完成下表：(2)在直角坐标系中描点．(3)用光滑的曲线连接各点，便得到函数y=x2的图象．二、议一议对于二次函数y=x2的图象，(1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流．(2)图象与x轴有交点吗?如果有，交点坐标是什么?(3)当x<0时，随着x值的增大，y的值如何变化?当x>0时呢?(4)当x取什么值时，y的值最小?最小值是什么?你是如何知道的?(5)图象是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么?请你找出几对对称点，并与同伴进行交流．三、二次函数y=x²的图象的性质（1）抛物线的开口向上；（2）它的图象有最低点，最低点的坐标是（0，0）；（3）它是轴对称图形，对称轴是y轴。
在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大。
（4）图象与x轴有交点，这个交点也是对称轴与抛物线的交点，称为抛物线的顶点，同时也是图象的最低点，坐标为（0，0）；（5）因为图像有最低点，所以函数有最小值，当x=0时，四.做一做二次函数的图象y=-x²是什么形状?先想一想,然后作出它的图象.它与二次函数y=x²的图象有什么关系?与同伴交流。
五．课时小结1．作二次函数y=x2的图象2．作二次函数y=-x2的图象3．函数y=x²与y=-x²的图象的比较六．作业1．说说自己生活中遇到的哪些动物和植物身体的部分轮廓线呈抛物线形状。
2．设正方形的边长为a，面积为s，试作出S随a的变化而变化的图象。
结识抛物线JA
结识抛物线教学目标1利用描点法作出函数y=x2的图象，能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质，猜想并能作出y=-x2的的图象，能比较它与y=x2的图象的异同＜2. 能力上让学生经历探索的过程，培养学生类比学习能力和求同存异的思维并且会用所学知识，解决简单的问题。
教学重点：1. 能够利用描点法作出函数y=x2的图象，根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质。
2. 能够作出函数y=-x2的图象，并自己比较它与y=x2的图象的异同' 教学难点：1.能够总结y=ax2的性质。
2. 实现“探索一一经验一一运用”的思维过程教学方法：探索——总结教具准备：课件教学过程：仓U设情境，弓I入新课一、函数图象的画法一次函数的图象是一条直线，反比例函数的图象是双曲线。
二次函数的图象是什么形状呢？让我们先来研究最简单的二次函数y=x2的图象。
大家还记得画函数图象的一般步骤吗？二.课件中打出二次函数的标准图象；1. 问题：(1)列表：(2)在直角坐标系中描点(3)用光滑的曲线连结各点，便得到函数图象①你能描述图象的形状吗？②图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？③当x<0时，随着x值的增大，y的值的变化如何？当x>0呢?④当x取什么值时，y的值最小？最小值是什么？你是如何知道的？⑤图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点。
2. 让学生同桌互相讨论，交换各自的意见，完成上述问题。
3. 教师总结，在课件上演示①开口方向②对称轴③顶点坐标④最值⑤增减性：当xvO时，当x>0时二. y=-x 2的图象1先猜想一下，y=-x2的图象是什么形状，然后作出它的图象，比较它与y=x2的图象有什么关系？与同桌交流、校对。
2.教师巡视、提问。
①开口方向②对称轴③顶点坐标④最值⑤增减性：当x<0时，当x>0时三.例题解析：1.已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）.（1）求此抛物线的函数解析式；（2）判断点B（-1，- 4 ）是否在此抛物线上.（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.四.我们学习的是y=x2与y=-x 2的图象，总结相同点、不同点。
26.1.2结识抛物线-4.doc
《26.1.2结识抛物线》课件设计说明一、课件运行平台及制作软件运行平台:windows—xp,制作软件：主体部分为幻灯片《PowerPoint》，首页导入的视频用《视频转换大师》进行转换；抛物线的制作用到《几何画板》二、课件结构本课件共17张，其中首页1张；学习目标和复习引入共2张民，探究新知6张；学以致用3张；学习日记1张；结束1张。
三、课件设计理念：多媒体课件的运用在数学教学中比传统教学手段有着更强的表现力和感染力，它能调动学生多种感官的综合作用，诱发学生的情感共鸣，激发学生的学习兴趣。
教学实践证明：合理利用多媒体课件，对优化课堂教学，提高教学效率有重要作用。
所以在进行《26.1.2结识抛物线》一课的教学时我把课件设计作为非常重要的一个部分。
四、与本课教学目标紧密结合：知识和能力目标：通过课件演示二次图像的生成，感受图像的性质。
情感目标：通过课件的整体演示，让学生能够全身心地投入到数学活动中去，能积极与同伴合作交流，培养学生自主探索的意识和团结协作的精神五、课件环节说明：1、利用课件以激趣有人说：“良好的开端是成功的一半”，为了让学生产生一种积极情绪，主动积极求知，我在课堂导入环节插入NBA全明星3分球大赛的一个片断，让学生感受到物体在重力作用下的运动路线，对学习本课产生兴趣。
2、运用课件以排难本课的难点是：经历探索二次函数y=ax2的图象的作法和性质的过程，理解二次函数y=ax2的性质．在第5、7、9、11页的设计中，我充分利用了课件的排难功能。
在图象的画法上给予动画演示，通过观察与研究，解决了图像的性质.3、利用课件提高效率脱离练习无疑是纸上谈兵，本节课时间短，有效的练习量就显得弥足珍贵，课件在练习环节让问题有次序的打出，达到了学习与运用的结合，让学生对知识能够举一反三，融会贯通，省时清晰，达到练兵效果，增大了课堂容量，提高了效率。
4、利用课件把握整体教学思路，形成对知识的立体掌握。
课件的制作本身就是教学思路的体现，所以我在做本课件时紧紧围绕本课的教学思路展开。
2.2结识抛物线课件
（2）S是a的
次函数；
（3）a能否小于零？ （4）你能作出面积S随边长a变化而变化的函数图象吗？
读一读： 二次函数的广泛应用
请看下面的一些例子： 二次函数是刻画客观世界许多现象的一种重要模型。
1。某一物体的质量为m，它运动时的能量E与它的运动速度v之间的关系是：
E 1 mv2 （m为定值） 2
(2)在直角坐标系中描点 y
10
y=x2
8
6
4
2 1
-4
-3 -2 -1
o
1
2
3
4x
-2
(3)用光滑的曲线连接各点，便得到函数Y=X2的图象.
y
10
8
6
4
2 1
-4
-3 -2 -1
o
1
-2
y=x2
2
3
4x
y
10
8
6
4
2 1
-4 -3 -2 -1 o 1
-2
y=x2
2 3 4x
如图，二次函数Y=X2的图象是一条抛物 线，它的开口向上，且关于Y轴对称。对 称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，
它是图象的最低点。
二次函数y=-x2的图象是什么形状？ 先想一想，然后作出它的图象． 它与二次函数y=x2的图象有什么关系？
y
y y=x2
y=x2
o
x
y=-x2
猜想：
y 1 x2, y 2x2, y 3x2 它们的函数图象怎样？ 2
与刚才研究 y x2的函数图象类似吗？是抛物线吗？
2。导线的电阻为R，当导线中有电流通过时，单位时间所产生的热量Q与
电流强度I之间的关系是：Q 1 RI 2 （R为定值） 2
结识抛物线优质导学案
结识抛物线导学案学习目标1．能够作出函数y=x2的图象，通过对图像的观察得出二次函数性质。
2．猜想并能作出y=-x2的图象，能比较它与y=x2的图象的异同．学习重点:理解掌握二次函数y=x2 y=-x2图象的作法和性质学习过程一、复习引入1、一次函数的表达式为图象为2、反比例函数的表达式为图象为3、二次函数的表达式为猜想一下它的图象是什么形状呢？回顾一下，我们是怎样研究一次函数和反比例函数图象的？作图象的三步骤：、、。
这节课，我们来类比研究一次函数和反比例函数图象方法，来研究最简单的二次函数2xy=和2xy-=的图象。
二、自主学习1、作二次函数2xy=的图象(1)列表：(2)描点：(3)连线：用光滑的曲线连接各点看图说话，先独立做，再小组交流（我看我仔细）2、观察二次函数2xy=的图象，回答下列问题：(1)你能描述图象的形状吗？它像。
(2)图象与x轴交点，交点坐标是。
(3)当x＜0时，y的值随着x的增大而，当x＞0时，y的值随着x的增大而。
(4)当x取值时，y的值最小，最小值是。
(5)图象是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？3、小结归纳：二次函数2xy=的图象是一条，它的开口向，且关于轴对称，对称轴与抛物线的交点是抛物线的，它是图象的最点。
三、类比探究：1、作二次函数2xy-=的图象，并分析它的特征。
(1)(2)(3)连线：2、观察2xy-=二次函数的图象，回答下列问题：(1)你能描述图象的形状吗？它像。
(2)图象与x轴交点，交点坐标是。
(3)当x＜0时，y的值随着x的增大而，当x＞0时，y的值随着x的增大而。
(4)当x取值时，y的值最小，最小值是。
(5)图象是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？3、小结归纳：二次函数2xy-=的图象是一条，它的开口向，且关于轴对称，对称轴与抛物线的交点是抛物线的，它是图象的最点。
四、归纳总结，思维提升（我思我进步）1、函数y=x2与y＝-x2的图象的比较．不同点：（1）开口方向，y=x2开口，y=-x2开口．（2）．函数值随自变量增大的变化趋势不同。
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分析：当x=2时， 代入求y值，所以， 水面到顶部的距离
为-y米.
注意：实际问题转化为数学问题时，能把长度转化为点 的坐标，同时也能把点的坐标转化为线段的长度.
2020/8/3
1、二次函数y=x2的图像和性质； 2、二次函数y=x2和y=-x2 图像的关 系；
(1)列表 观察y=x2的表达式，选择适当x值，并计算相应 的y值，完成下表：
x -3 -2 -1 0 1 2 3 ……
y=x2
9 4 1 0 1 4 9 ……
2020/8/3
y
y=x2
• 在二次函数y=x2
观
察
(-3,9)
图
中，y随x的变化
而变化的规律是
(3,9)
什么？
象
，
回
(-2,4)
• 考虑下列几个问
2020/8/3
y
y=x2
(-3,9)
(3,9)
(-2,4)
(2.4)
(-1,1) (1,1)
o (0,0)
x
2020/8/3
4、当x取什么值时，y的 值最小？
5、图象是轴对称图形吗？ 如果是，它的对称轴 是什么？请你找出几 对对称点，并与同伴 交流。
归纳：二次函数y=x²的图 象是一条抛物线，它的开 口向上，且关于y轴对称， 对称轴与抛物线的交点是 抛物线的顶点，它是图象 的最低点。
2.2、结识抛物线
2020/8/3
一、引 入
• 学习了正比例函数，一次函数与反比例函数的 定义后，研究了它们各自的图象特征，下面请 同学们谈谈它们的图象有哪些特征？
• 我们将要学习的二次函数:y=ax²（a≠ 0）， 那么它的图象是否也为直线或为双曲线呢？
2020/8/3
二、作二次函数y=x2的图象
相 1.图象形状 ：抛物线
同 点：
2.图像的对称轴：y轴
即形状完
3.图像的顶点坐标（：0，0） 全相同
不
同
点 开口方向：相反 还有图像的增
减性不同.
2020/8/3
巩固应用
• 1.若抛物线y=ax2 和y=x2的形状完全一
-1 样，开口方向相反，则a=_______.
• 2.已知：a＞1,点（a-1,y1）、（a,y2） 、（a+1,y3）都在函数y=-x2的图像上， 试比较y1、y2、y3的大小.
三、做一做
•二次函数y=-x2的图象是什么形状？ •先想一想，然后作出它的图象． •它与二次函数y=x2的图象有什么关系？
2020/8/3
y=x2 y
o
练习：1.在同一直角坐 标系中画出函数y=x²与 y=-x²的图象。 x
2020/8/3
y=-x2
y
y=x2
y
o
x
o
x
y=-x2
相同点：图象都是抛物线；图象都与x轴交与点 （0，0）；
y1＞y2＞y3
2020/8/3
活动与探索 3.如图一座抛物线的拱桥，其形状可以用y=-x2
来描述. （1）当水面到桥拱顶部的距离为2米时，水面的
宽为多少米？
分析：当y=-2时，求 出x的值，水面的宽 度应为2x米.（x＞0）
2020/8/3
活动与探索
3.如图一座抛物线的拱桥，其形状可以用y=-x2 来描述.
y=2x2 y 10 8 6 4 2
-4 -2 0 2 4 x
问题2、它们的图
象又有什么异同？
y=-2x2
2020/8/3
猜一猜
函数y=3x²及y=-3x²的图象会有哪些特点？ 说说你的理由。
函数
y=3x²
图象形状 开口方向 对称轴 顶点坐标
抛物线 向上
y轴 （0，0）
y=-3x² 抛物线 向下 y轴 （0，0）
x y=-x² 抛物线 向下 y轴 (0,0)
2020/8/3
这两个函数的图象形状完全相
同，只是开口方向不同.
y=-x2
这两个图像关于x轴对称，也关
于原点对称。
在下列平面直角坐标中， 作出y=2x²及y=-2x²的图象
x
-2 -1 0
y=2x2 8 2
0
y=-2x2 -8 -2 0
12 28 -2 -8
3、二次函数y=ax2的图像和性质；
4.应用二次函数的图像和性质解决实际问题.
2020/8/3
图象都关于y轴对称。
不同点：开口方向不同；函数值随自变量增大的变化趋势
不同；最值不同；一个有最高点，一个有最低点。
联系：它们的图象关于x轴对称，也关于原点对称。
2020/8/3
&知识升华
y=x2
函数y=x²和y=-x²的图象
6
2
-4 -2
2
函数 图象形状 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=x² 抛物线 向上 y轴 (0,0)
2020/8/3
猜一猜
你能说出函数y=ax²(a≠0)的图象特征吗？ 说说你的理由.
1.图象形状： 抛物线
2.图像的对称轴：y轴
3.图像的顶点坐标：（0，0）
4.开口方向： 当a＞0时，开口向上； 当a＜0时，开口向下.
2020/8/3
猜一猜
函数y=ax²(a＞0)及y=-ax²的图象有什么关系 ？说说你的理由.
(2.4)
题。
答 书 本
(-1,1) (1,1)
问
o (0,0)
x
题
2020/8/3
y
y=x
2
(-3,9)
(3,9)
(-2,4)
(2.4)
(-1,1)
(1,1)
o (0,0)
x
1. 你能描述图象的 形状吗？与同伴 交流。
2. 图象与x轴有交 点吗？如果有， 交点的坐标是什 么？
3. 当x<0时，y随着 x的增大，y的值 如何变化？当 x>0时呢？