《结识抛物线》二次函数PPT课件3
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二次函数ppt课件
想一想 自变量的取值范围是 x＞6 .
典 例3 如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形 例 菜园ABCD，设AB边长为x米，求菜园的面积y(单位：平方米)与x(单位：米) 精 的函数关系式.
析 解：∵AB边长为x米.
D
C
A
B
在根据实际问题列二次函数关系式时，要注意自变量的取值范围.
第二十二章 二次函数
22.1.1二次函数
视 频
观察都匀 绿博园音
引 乐喷泉视
入 频有时会
形成一条
条曲
线．这些
曲线能否
用函数关
系式表示？
复 1.什么是函数? 习 一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x 巩 的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是 固 自变量，y是x的函数.
典 例4 某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次(最低档次)的产 例 品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但 精 一天产量减少5件.若生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整数， 析 且1≤x≤10)，求出y关于x的函数关系式.
解：∵第一档次的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一 个档次，每件利润加2元，但一天产量减少5件，
课 堂 小 结
作业设计
必做：课本41页1、2题
选做： 若函数
是二次函数，求：
（1）求a的值. （2）求函数关系式. （3）当x=-2时，y的值是多少？
共勉：
走进名家，乐享数学
一切问题都可以转化为数学问题，
一切数学问题都可以转化为代数问题，
而一切代数问题又可以转化为函数问题，
因此，一旦解决了函数问题，
典 例3 如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形 例 菜园ABCD，设AB边长为x米，求菜园的面积y(单位：平方米)与x(单位：米) 精 的函数关系式.
析 解：∵AB边长为x米.
D
C
A
B
在根据实际问题列二次函数关系式时，要注意自变量的取值范围.
第二十二章 二次函数
22.1.1二次函数
视 频
观察都匀 绿博园音
引 乐喷泉视
入 频有时会
形成一条
条曲
线．这些
曲线能否
用函数关
系式表示？
复 1.什么是函数? 习 一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x 巩 的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是 固 自变量，y是x的函数.
典 例4 某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次(最低档次)的产 例 品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但 精 一天产量减少5件.若生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整数， 析 且1≤x≤10)，求出y关于x的函数关系式.
解：∵第一档次的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一 个档次，每件利润加2元，但一天产量减少5件，
课 堂 小 结
作业设计
必做：课本41页1、2题
选做： 若函数
是二次函数，求：
（1）求a的值. （2）求函数关系式. （3）当x=-2时，y的值是多少？
共勉：
走进名家，乐享数学
一切问题都可以转化为数学问题，
一切数学问题都可以转化为代数问题，
而一切代数问题又可以转化为函数问题，
因此，一旦解决了函数问题，
结识抛物线
3
3
y=-2x2
( 3,6)
( 3,6)
例2：已知函数y=ax2 （a≠0）与函数y=kx-2 的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标是 （-1,-1）。 求：⑴a，k的值； ⑵B点的坐标； ⑶△OAB的面积。
例3:如图所示，抛物线y=x2与直线y=2x在第 一象限内有一个交点A。 ⑴你能求出A点坐标吗？
当 x=-2 当 x=1时， 时，y=-4 y=-1 当 x=-1 当 x=2时， 时，y=-1 y=-4
y x
当a<0时，在对称轴的 2 右侧，y随着x的增大而 减小。
y x2
二次函数y=ax2的性质
1、抛物线y=ax2的顶点是 原点，对称轴是y轴。
2、当a>0时，抛物线 y=ax2在x轴的上（除 3、当a>0时，在对称轴的左侧， 顶点外），它的开口 y随着x的增大而减小；在对称 向上，并且 向上无限 轴右侧，y随着x的增大而增大。 伸展； 当x=0时函数y的值最小。 当a<0时，抛物线 y=ax2在x轴的下（除 当a<0时，在对称轴的左侧，y 随着x的增大而增大；在对称轴 顶点外），它的开口 的右侧，y随着x增大而减小， 向下，并且向下无限 当x=0时，函数y的值最大。 伸展。
y x2
列表
画出下列函数的图象。
描点
连线
1 2 (1) y x 2 (2) y 2 x 2
y x2
x
1 2 y 2 x y=x 2
... ... ... ...
-4 -3 8 4.5
-2 -1 2 0.5
0 0
1 0.5
2 2
3 4.5
4 8 2 8
...
...
... ...
3
y=-2x2
( 3,6)
( 3,6)
例2：已知函数y=ax2 （a≠0）与函数y=kx-2 的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标是 （-1,-1）。 求：⑴a，k的值； ⑵B点的坐标； ⑶△OAB的面积。
例3:如图所示，抛物线y=x2与直线y=2x在第 一象限内有一个交点A。 ⑴你能求出A点坐标吗？
当 x=-2 当 x=1时， 时，y=-4 y=-1 当 x=-1 当 x=2时， 时，y=-1 y=-4
y x
当a<0时，在对称轴的 2 右侧，y随着x的增大而 减小。
y x2
二次函数y=ax2的性质
1、抛物线y=ax2的顶点是 原点，对称轴是y轴。
2、当a>0时，抛物线 y=ax2在x轴的上（除 3、当a>0时，在对称轴的左侧， 顶点外），它的开口 y随着x的增大而减小；在对称 向上，并且 向上无限 轴右侧，y随着x的增大而增大。 伸展； 当x=0时函数y的值最小。 当a<0时，抛物线 y=ax2在x轴的下（除 当a<0时，在对称轴的左侧，y 随着x的增大而增大；在对称轴 顶点外），它的开口 的右侧，y随着x增大而减小， 向下，并且向下无限 当x=0时，函数y的值最大。 伸展。
y x2
列表
画出下列函数的图象。
描点
连线
1 2 (1) y x 2 (2) y 2 x 2
y x2
x
1 2 y 2 x y=x 2
... ... ... ...
-4 -3 8 4.5
-2 -1 2 0.5
0 0
1 0.5
2 2
3 4.5
4 8 2 8
...
...
... ...
《结识抛物线》二次函数PPT课件(上课用)
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创设情境,提出问题
教 学 流 程 图
合作交流,探究新知
变式训练,巩固提高 总结反思,纳入系统
布置作业,拓宽视野
创设情境，提出问题
师生行为：教师 演示课件，学生 观察：喷泉的水 流、篮球的投掷 形成的路径，抛 物线型拱桥、抛 物线型隧道，都 与抛掷一个物体 形成的路径的曲 线类似，由此导 入课题.紧接着提 出两个问题.
师生行为：让学生先猜想再画图 验证，在学生画图时可让每一小 组部分同学将与的图象画在一个 坐标系内,而后学生通过讨论交流 得出结论，教师只给以必要的引 导． 设计意图：这一问题设计为学生 提供思考的空间，培养学生在观 察、分析、对比、交流中发展分 析能力和从图象中获取信息的能 力．
合作交流，探究新知
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针对本节课的特点，采用“创设情境—作图探 索—总结归纳—知识运用”为主线的教学方法.
把教学的重心放在如何促进学生的“学”上， 引导学生采用观察、实验、自主探索、小组活动、 集体交流等多样化的学习方式.教学过程中始终坚 持学生为主体,教师为主导的方针，使探究知识和 培养能力融为一体,让学生不仅学到科学探究的方 法,而且体验到探究的甘苦,领会到成功的喜悦.
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(二). 教学目标
. 知识与技能目标
（）能够利用描点法作出函数的图象， 并能根据图象认识和理解二次函数 的性质． （）猜想并能作出的图象，能比较它与 的图象的异同．
.过程与方法目标
（）经历探索二次函数的图象的作法 和性质的过程，获得利用图象研究函 数性质的经验． （）由函数的图象及性质，对比地学 习的图象及性质，并能比较出它 们的异同点，培养学生的类比学习能 力和发展学生的求同求异思维．
相同点：
①图象都是抛物线； ②图象都与x轴交于点（０,０）；
《结识抛物线》二次函数PPT课件2-北师大版九年级数学下册
第二章 二次函数
结识抛物线
学习目标(1分钟) 1、会用描点法画二次函数y=x2和
y=-x2的图象;
2、根据函数y=x2和y=-x2的图象, 直观地了解它的性质．
自学指导（一）3分钟
阅读课本P41----P42, 思考: 1．你会用描点法画二,次函数y=x2的图象吗?
2．你能不能结合二次函数y=x2的图象, 说一 说它的有关性质?
y
y
y=x2
0 x
它们之间有 何关系?
0
y=x2和y=-x2是 y=ax2当a=±1 时的特殊例 x 子．a的符号确 定着 抛物线
y=-x2
二次函数y=±x2的性质
y x2
1．位置与开口方向
2．顶点坐标与对称轴
３．增减性与最值
根据图形填表:
y x2
抛物线 顶点坐标
y=x2 （0, 0）
y= -x2 （0, 0）
y=x2
2 3 4x
抛物线y=x2在x轴的
观察图象，回答P42问题串 上方(除顶点外)，顶点
是它的最y低点，开口 向上，并且向上无限
y=x 伸展；当1x0=0时，函数y
二次函数y=x2的 图象形如物体抛射
时们2所把经它过叫这的做条路抛抛线物物线，线我．关于
y轴对称，y轴就
的值最小，最小值是0．
抛物线y=x2与x轴
解（1）把（-2, -8）代入y=ax2，得 -8=a(-2)2， 解得a= -2，所求函数解析式为y= -2x2．
（2）把x= -1代入，y＝ -2 -4. 所以点B不在抛物线上。
（3）由-6=-2x2 ,得x2=3, x 3
所以纵坐标为-6的点有两个，它们分别是
( 3,6)与( 3,6)
结识抛物线
学习目标(1分钟) 1、会用描点法画二次函数y=x2和
y=-x2的图象;
2、根据函数y=x2和y=-x2的图象, 直观地了解它的性质．
自学指导（一）3分钟
阅读课本P41----P42, 思考: 1．你会用描点法画二,次函数y=x2的图象吗?
2．你能不能结合二次函数y=x2的图象, 说一 说它的有关性质?
y
y
y=x2
0 x
它们之间有 何关系?
0
y=x2和y=-x2是 y=ax2当a=±1 时的特殊例 x 子．a的符号确 定着 抛物线
y=-x2
二次函数y=±x2的性质
y x2
1．位置与开口方向
2．顶点坐标与对称轴
３．增减性与最值
根据图形填表:
y x2
抛物线 顶点坐标
y=x2 （0, 0）
y= -x2 （0, 0）
y=x2
2 3 4x
抛物线y=x2在x轴的
观察图象，回答P42问题串 上方(除顶点外)，顶点
是它的最y低点，开口 向上，并且向上无限
y=x 伸展；当1x0=0时，函数y
二次函数y=x2的 图象形如物体抛射
时们2所把经它过叫这的做条路抛抛线物物线，线我．关于
y轴对称，y轴就
的值最小，最小值是0．
抛物线y=x2与x轴
解（1）把（-2, -8）代入y=ax2，得 -8=a(-2)2， 解得a= -2，所求函数解析式为y= -2x2．
（2）把x= -1代入，y＝ -2 -4. 所以点B不在抛物线上。
（3）由-6=-2x2 ,得x2=3, x 3
所以纵坐标为-6的点有两个，它们分别是
( 3,6)与( 3,6)
《二次函数》优质PPT课件(共65页ppt)
抛物线
y 2x 32 1
2
y 1 x 12 5
3
y 2x 32 5
y 0.5x 12
y 3 x2 1 4
y 2x 22 5
y 0.5x 42 2 y 3 x 32
4
开口方向
向上 向下 向上 向下 向下 向上 向上 向下
对称轴
直线x=-3 直线x=-1 直线x=3 直线x=-1 直线x=0 直线x=2 直线x=-4 直线x=3
__10_0___x棵橙子树，这时平均每棵树结_______个橙6子00。 5x
（3）如果果园橙子的总产量为y个，那么y与x
之间的关系式为_____y____6_0_0__5_x_。100 x
y 5x2 100 x 60000
y 5x2 100 x 60000 在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？
-2
-1
2
4
6
-2
y x2
-3
-4
-5
1.二次函数所描述的关系 2.结识抛物线 3.刹车距离与二次函数 4.二次函数的图象 5.用三种方式表示二次函数 6.何时获得最大利润 7.最大面积是多少 8.二次函数与一元二次方程
影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系 数。
有研究表明，晴天在某段公路上行驶时，速度为v（km/h）的 汽车的刹车距离s（m）可以由公
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
棵
y 个
60095
60180
60255
60320
60375
60420
60455
60480
60495
60500
二次函数的课件ppt课件ppt课件
二次函数的极坐标表示
二次函数$y = ax^{2} + bx + c$在极 坐标系下的表示为$r = a\cos^{2}\theta + b\cos\theta + c$。
05
二次函数的应用实例
生活中的二次函数应用
打篮球的抛物线
篮球运动员投篮时，篮球的运动 轨迹可以近似为二次函数。通过 调整投篮角度和力度，可以最大
数是偶函数。
03
二次函数的公式与运算
二次函数的公式
标准的二次函数公式
y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为系数，且a≠0。
顶点式
y = a(x-h)^2 + k，其中(h,k)为顶点坐标。
交点式
y = a(x-x1)(x-x2)，其中x1、x2为与x轴的交点坐标。
二次函数的运算规则
解
根据顶点式，可知顶点坐标为(1.5, -0.75)；根据交点式，可知 与x轴的交点坐标为(2.5, 0)和(2.5, 0)；与y轴的交点坐标为(0, 5)。
例题2
已知二次函数y = -3x^2 + 6x + 9，求函数的对称轴和最小值。
04
二次函数的图像变换
平移变换
水平平移
二次函数$y = ax^{2} + bx + c$ 向右平移$m$个单位，得到新的 二次函数$y = a(x - m)^{2} + b(x - m) + c$。
垂直平移
二次函数$y = ax^{2} + bx + c$ 向上平移$n$个单位，得到新的 二次函数$y = ax^{2} + bx + c + n$。
二次函数$y = ax^{2} + bx + c$在极 坐标系下的表示为$r = a\cos^{2}\theta + b\cos\theta + c$。
05
二次函数的应用实例
生活中的二次函数应用
打篮球的抛物线
篮球运动员投篮时，篮球的运动 轨迹可以近似为二次函数。通过 调整投篮角度和力度，可以最大
数是偶函数。
03
二次函数的公式与运算
二次函数的公式
标准的二次函数公式
y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为系数，且a≠0。
顶点式
y = a(x-h)^2 + k，其中(h,k)为顶点坐标。
交点式
y = a(x-x1)(x-x2)，其中x1、x2为与x轴的交点坐标。
二次函数的运算规则
解
根据顶点式，可知顶点坐标为(1.5, -0.75)；根据交点式，可知 与x轴的交点坐标为(2.5, 0)和(2.5, 0)；与y轴的交点坐标为(0, 5)。
例题2
已知二次函数y = -3x^2 + 6x + 9，求函数的对称轴和最小值。
04
二次函数的图像变换
平移变换
水平平移
二次函数$y = ax^{2} + bx + c$ 向右平移$m$个单位，得到新的 二次函数$y = a(x - m)^{2} + b(x - m) + c$。
垂直平移
二次函数$y = ax^{2} + bx + c$ 向上平移$n$个单位，得到新的 二次函数$y = ax^{2} + bx + c + n$。
初三二次函数ppt课件ppt课件
轴是$x = - \frac{b}{2，利用描点法可以 绘制出二次函数的图像。
与x轴交点
当$\Delta > 0$时，二次函数的 图像与x轴有两个交点；当
$\Delta = 0$时，二次函数的图 像与x轴只有一个交点；当
$\Delta < 0$时，二次函数的图 像与x轴没有交点。
理解二次函数的基本 概念和图像表示。
能够运用二次函数解 决实际问题。
掌握二次函数的性质 ，包括开口方向、顶 点坐标和对称轴。
课程计划
通过PPT演示，引导学生了解 二次函数的概念和图像表示。
通过例题讲解，帮助学生掌握 二次函数的性质和应用。
组织课堂练习和讨论，加深学 生对二次函数的理解和应用能 力。
二次函数的表达式
01
02
03
表达式
二次函数的表达式为$y = ax^{2} + bx + c$，其中 $a \neq 0$。
各项的意义
$a$是二次项系数，$b$ 是一次项系数，$c$是常 数项。
如何确定表达式
通过已知条件，利用待定 系数法可以确定二次函数 的表达式。
二次函数的图像
图像特点
二次函数的图像是一个抛物线， 其顶点坐标是$( - \frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^{2}}{4a})$，对称
06
参考资料
初三二次函数ppt课件
初三二次函数的概念
介绍二次函数的基本定义、表达式和 图像特征。
初三二次函数的图像和性质
详细描述了如何绘制二次函数的图像 ，并分析了图像的开口方向、顶点坐 标、对称轴和增减性等性质。
初三二次函数的实际应用
通过实例和练习题，展示了二次函数 在解决实际问题中的应用，如最值问 题、行程问题等。
与x轴交点
当$\Delta > 0$时，二次函数的 图像与x轴有两个交点；当
$\Delta = 0$时，二次函数的图 像与x轴只有一个交点；当
$\Delta < 0$时，二次函数的图 像与x轴没有交点。
理解二次函数的基本 概念和图像表示。
能够运用二次函数解 决实际问题。
掌握二次函数的性质 ，包括开口方向、顶 点坐标和对称轴。
课程计划
通过PPT演示，引导学生了解 二次函数的概念和图像表示。
通过例题讲解，帮助学生掌握 二次函数的性质和应用。
组织课堂练习和讨论，加深学 生对二次函数的理解和应用能 力。
二次函数的表达式
01
02
03
表达式
二次函数的表达式为$y = ax^{2} + bx + c$，其中 $a \neq 0$。
各项的意义
$a$是二次项系数，$b$ 是一次项系数，$c$是常 数项。
如何确定表达式
通过已知条件，利用待定 系数法可以确定二次函数 的表达式。
二次函数的图像
图像特点
二次函数的图像是一个抛物线， 其顶点坐标是$( - \frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^{2}}{4a})$，对称
06
参考资料
初三二次函数ppt课件
初三二次函数的概念
介绍二次函数的基本定义、表达式和 图像特征。
初三二次函数的图像和性质
详细描述了如何绘制二次函数的图像 ，并分析了图像的开口方向、顶点坐 标、对称轴和增减性等性质。
初三二次函数的实际应用
通过实例和练习题，展示了二次函数 在解决实际问题中的应用，如最值问 题、行程问题等。
北师大版九年级下册数学《结识抛物线》二次函数精品PPT教学课件
九年级数学(下)第二章 二次函数 第二节
2020/11/24
1
说 一、教材分析 课 二、教法分析
流 三、学法指导
程 四、教学过程 图
五、板书设计
2020/11/24
2
(一). 教材的地位及作用 (二). 教学目标
(三). 教学重点、难点
2020/11/24
3
(一). 教材的地位及作用
本节内容是学生学习了正比例函数、一次函数和 反比例函数以后，进一步学习的函数知识，是函数知 识螺旋发展的一个重要环节.二次函数曲线——抛物线 ，也是人们最为熟悉的曲线之一.喷泉的水流、标枪的 投掷等都形成抛物线路径.同时抛物线形状在建筑上也 有着广泛的应用，如抛物线型拱桥、抛物线型隧道等. 本节课研究最简单的二次函数y=±x2的图象,是学生学 习函数知识的过程中的一个重要环节，既是前面所学知 识的延续，又是探究其它二此函数的图象及其性质的 基础，起到承上启下的作用.
2020/11/24
2020/11/24
返回7Байду номын сангаас
(三). 教学重点、难点
教学重点： 经历探索二次函数y=±x2的图象的作法和性
质的过程，理解二次函数y=±x2的性质．
教学难点： 描点法画y=x2的图象，体会数与形的相互联
系.
2020/11/24
返回8
针对本节课的特点，采用“创设情境—作图探 索—总结归纳—知识运用”为主线的教学方法.
画一画:你 能试着用描 点法画二次 函数y=x2的 图象吗?
2020/11/24
师生行为：两名学生上台板演 ，其他学生在下面尝试画图． 在学生画图时，教师溶入到学 生中，了解并搜集学生可能出 现的各种问题．比如：学生可 能会画成折线、半个抛物线、 没画出延伸的趋势……等情形 ，这时正好针对问题鼓励小组 间互相讨论、相互比较，交流 各自的观点．以下是学生在作 图过程中可能出现的几种情况.
2020/11/24
1
说 一、教材分析 课 二、教法分析
流 三、学法指导
程 四、教学过程 图
五、板书设计
2020/11/24
2
(一). 教材的地位及作用 (二). 教学目标
(三). 教学重点、难点
2020/11/24
3
(一). 教材的地位及作用
本节内容是学生学习了正比例函数、一次函数和 反比例函数以后，进一步学习的函数知识，是函数知 识螺旋发展的一个重要环节.二次函数曲线——抛物线 ，也是人们最为熟悉的曲线之一.喷泉的水流、标枪的 投掷等都形成抛物线路径.同时抛物线形状在建筑上也 有着广泛的应用，如抛物线型拱桥、抛物线型隧道等. 本节课研究最简单的二次函数y=±x2的图象,是学生学 习函数知识的过程中的一个重要环节，既是前面所学知 识的延续，又是探究其它二此函数的图象及其性质的 基础，起到承上启下的作用.
2020/11/24
2020/11/24
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(三). 教学重点、难点
教学重点： 经历探索二次函数y=±x2的图象的作法和性
质的过程，理解二次函数y=±x2的性质．
教学难点： 描点法画y=x2的图象，体会数与形的相互联
系.
2020/11/24
返回8
针对本节课的特点，采用“创设情境—作图探 索—总结归纳—知识运用”为主线的教学方法.
画一画:你 能试着用描 点法画二次 函数y=x2的 图象吗?
2020/11/24
师生行为：两名学生上台板演 ，其他学生在下面尝试画图． 在学生画图时，教师溶入到学 生中，了解并搜集学生可能出 现的各种问题．比如：学生可 能会画成折线、半个抛物线、 没画出延伸的趋势……等情形 ，这时正好针对问题鼓励小组 间互相讨论、相互比较，交流 各自的观点．以下是学生在作 图过程中可能出现的几种情况.
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8 7
y=x2
当 x=0 时，函数 y
6
的值最小，最小值是0．
5
4
可以观察图象，也
3 2
可以分析表达式．
1
-3 -2 -1 O 1 2 3 x
(5) 图 象 是 轴 对 称 图 形 吗 ？
y
如果是，它的对称轴是什么？
9
请你找出几对对称点．
8 7
y=x2
是，对称轴是 y 轴．
6 5
对称点有很多，如：
y
(2)在直角坐标系 中描点.
-3 -2 -1-O1
1
23x
-2
(3)用光滑的曲线
-3 -4
顺次连接各点，便得
-5
到函数 y=-x2 的图象.
-6 -7
y=- x2
-8
-9
(1)二次函数 y=-x2
y
的图象是一条抛物线． -3 -2 -1-O1 1 2 3 x
(2)图象与 x 轴交于
-2 -3
原点(0，0)．
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y … 94 10 14 9 …
(2)在直角坐标系 中描点.
(3)用光滑的曲线 顺次连接各点，便得
到函数 y=x2 的图象.
y 9
8 7
y=x2
6
5
4
3
2
1
-3 -2 -1 O 1 2 3 x
y
9
8
(1)你能描述图象的形状吗？ 7
y=x2
6
5
4
3
2
1
-3 -2 -1 O 1 2 3 x
-4
-5
(3)当x <0时，y 随 x 的 -6
y=- x2
增大而增大；当x >0时， -7
y 随 x 的增大而减小．
-8 -9
y
(4)当 x=0时，y最大值 = 0 -3 -2 -1-O1 1 2 3 x
-2
(5)图象关于 y 轴对称．
-3
-4
(6)图象的顶点是原点，它 是图象的最高点．
-5
-6
y 9
(1)你能描述图象的形状吗？ 8
7
y=x2
6
二次函数y=x2的图象
5
形如物体抛射时所经
4 3
过的路线,我们把它
2
叫做抛物线y=x2.
1 -3 -2 -1 O 1 2 3 x
(2)图象与 x 轴有交点
吗？如果有，交点坐标 是什么？
有，（0，0）
y 9
8 7
y=x2
6
53 -2 -1 O 1 2 3 x
2
3．开口方向；
-5
4．增减性；
5．最值.
o
x5
-2
y=－x2
-4
-6
抛物线 图象
y = x2
y
y = - x2
y
o
x
ox
对称轴
y轴
y轴
顶点
原点（最低点）
原点（最高点）
开口方向
开口向上
开口向下
在对称轴左侧,y随x的增 在对称轴左侧,y随x的增 增减性 大而减小；在对称轴右 大而增大；在对称轴右侧
侧,y随着x的增大而增大 ,y随着x的增大而减小
2．点 A(2，a)，B(b，9)在抛物线 y=x2 上，则 a = 4 ，b = ±3 ．
3．若点 A(2,m)在抛物线 y=x2 上，则
点A关于 y 轴对称点的坐标是 (-2，4)．
(3)当x<0时，随着x值的增大， y的值如何变化？
当x>0时呢？
y 9
8 7
y=x2
当 x<0 时，
6
y随着x的增
5 4
当 x>0 时，
大而减小．
3
y随着x的增
2 1
大而增大．
-3 -2 -1 O 1 2 3 x
(4) 当 x 取 什 么 值 时 ,y 的
y
值最小？最小值是什么？
9
你是如何知道的？
结识抛物线
1．一般地,形如 y =a x²+ b x + c (a、b、
c是常数,a≠0) 的函数叫做 x 的二次函数.
2．我们学习过哪些函数？
变
一次函数 y = k x+ b (k≠0)
量 之 间 的
函 数
正比例函数 y = k x (k≠0)
反比例函数
k
y=
(k≠0)
关
x
系
二次函数 y = ax²+ bx +c (a≠0)
二次函数 y=x2 的图
y
9
象是一条抛物线，它的 特点是：
8 7
y=x2
6
1.开口向上；
5
4
2.对称轴是y轴；
3
3.顶点是原点，它是
2
1
图象的最低点．
-3 -2 -1 O 1 2 3 x
作出二次函数 y = -x2 的图象．
(1) 列表:
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
2
o
x5
-2
y=－x2
-4
-6
联系：
函数 y = - x2 的
图象与函数 y = x2 的 -5
图象关于 x 轴对称．
6
y
4
y=x2
2
o
x5
-2
y=－x2
-4
-6
实际上，二次函数的图象都是抛物线， 它们的开口或者向上或者向下．一般地， 二次函数 y =a x²+ b x + c 的图象叫做抛 物线 y =a x²+ b x + c .
4
（-1，1）和（1，1）；
3 2
（-2，4）和（2，4）；
1
（-3，9）和（3，9）等等．
-3 -2 -1 O 1 2 3 x
(6)图象与对称轴有交点吗？
y
9
抛物线与对称轴的交
8 7
y=x2
点叫做抛物线的顶点．
6
5
二次函数y=x2的图象
4
的顶点是原点，它是图象
3 2
的最低点．
1
-3 -2 -1 O 1 2 3 x
最值 当x=0时,最小值为0 当x=0时,最大值为0
二次函数 y=±x2 的图6 象和性质：
相同点：
y
4
y=x2
2
1.顶点都是原点；
-5
o
2.对称轴都是 y 轴；
x5
-2
3.形状完全相同．
y=－x2
-4
-6
不同点:
1．开口方向不同；
2．y 随 x 值的变
-5
化趋势不同；
3．最值不同．
6
y
4
y=x2
y=- x2
-7
-8
-9
二次函数 y=-x2 的
y
图象是一条抛物线，它的-3 -2 -1-O1 1 2 3 x
特点是：
-2
-3
1.开口向下；
-4
2.对称轴是y轴；
-5
-6
y=- x2
3.顶点是原点，它是
-7
-8
图象的最高点．
-9
二次函数 y=±x2 的图象和6 性质：
y
1．对称轴；
4
y=x2
2．顶点坐标；
3.一次函数的图象是 一条直线 ． 4.反比例函数的图象是 双曲线 . 5.二次函数的图象是什么形状呢？
6.通常怎样画一个函数的图象？ 答：通常用描点法画一个函数的图象.
用描点法画函数图象的主要步骤是： （1）列表；（2）描点；（3）连线.
请作出二次函数 y=x2 的图象． (1)观察 y=x2 的表达式，选择适当的 x 值，并计算相应的 y 值，完成下表：
每条抛物线都有对称轴，顶点是抛物 线的最低点或最高点．
你会画出6 y=x2 ，y=2x2 ，y=1/2x2吗？？
y
4
y=ax2（a>0）的图像中
2
a有什么规律么？
y=ax2（a<0）呢？
-5
o
x5
-2
-4
-6
1．抛物线 y=ax2 与 y=x2 的开口大小、形 状一样、开口方向相反，则 a = -1 .