最新高等数学习题册部分答案及解析

高等数学

1.对于数列{}∞=1n n x ，试证明a x a x x n n k n n =⇔==∞

→∞

→∞

→lim lim lim 1-22k ，并

以此说明{}∞=+1)

1

1()1(-n n n

极限不存在。

解：充分性显然成立 必要性

极限不存在。

时，当时，当得证。

成立，有时，，当，取和时有当成立，取时，有当同理时，有当对∴=+===∴+===⇔==∴<>=<<>=<>>∃<>>∃>∀∴=∞

→∞→∞

→∞

→∞

→∞

→,1-lim )

1

1-(1-2,1lim ,112k n lim lim lim -N n 2K N --},,{max -,0-,0,0lim 1-221-22k 21-2212221-2112k n n k n n n n k n n n k k k k k n x n

x k n x n x a x a x x a x a x a x K k k k K a x k k k a x k k k a x εεεεε

ε

2.对于数列{}∞

-1n n U ，试证明a U a U n n n n =⇒=∞

→∞→lim lim 。 证明：

a

U a U a U a U a U N n N a U n n n n n n n n =∴<∴<∴<>>∃>∀∴=∞

→∞

→lim ----,0,0,lim 成立成立

时，有当对于εεε

）（则若A ,1)1

3

11(

.331

lim =-=+-+-→a x ax x

A.1

B.-1

C.0

D. 都不对

2141*)sin ()22sin

(*2sin 2sin 2sin cos 1sin sin tan .4220

2

2

20

20

lim lim lim

lim

===-=-→→→→x x x x x x x x x x x x x x x 4

2

022

20

])1[()]1([)

(.5lim lim lim e e x e e x

e e x x

x

e

x

e x x x

x x

x x

x

x =+=+=+→→→

P3

n

n n

n n n x

n x x x x x lim ),,2,1(),1

(21,0.611∞

→+⋯⋯=+=

>证明该数列收敛，并求满足：设数列{}{}{,11,,10()-1

(21-1)1

(21lim

1111==∴∴≠∴≥≤=

≥+=

→

++x n n

n n n n

n n n

n n x x x x x x n x x x x x x x 该数列收敛，则若从第二项起单调有界，递

则从第二项起，若又成立，证明：

)

?(0)(,0)0(.7B x x f f 处连续在下列哪个条件可以得到已知==

)1

(.0

)1-(.0

)sin (.0

)1-cos (.lim lim lim lim 0

2

====→→→→n f D e f C x f B x f A x x x x x

3

()()()(),(,],[(.8321321）

使得证明存在上连续，）在设x f x f x f c f b a c b x x x a b a x f ++=

∈<<<<.

3

()()()(),,(3

()()(],[)(),()(321321）

使得即）

间的与最小值上取得最大值必能在上连续，在证明：x f x f x f c f b a c x f x f x f m M b a x f b a x f ++=

∈∃++∴ 不可导

在点不可导，则在点可导，在点若判断：设000,.9x x f x x x x f ===+=ψϕψϕ处不可导。

在点假设不成立不可导矛盾，在点可导，与可导，即处可导，则在正确。假设000-x x f x x f x x f =∴∴==ψψϕ)

ln ()(.102x f e f y x =求导

P5

)()ln (1)ln ()()(22'

''x x x x e f x f x

x f e f e e f y +

⋅⋅⋅= 2

2

1.11dx y d xe y y 数

所确定的函数的二阶导求由方程+=

3

22

2'

'''

'''''

''

)-1()-1(-11)

-1(ln -ln -1x e e x e e y x e e x e y y y y x e y y x

e e y x e y e y y y

y y y y y y y y

y

y

+=∴++

===

∴+=求导两边取对数解：两边同时求导

有且只有三个实数根

证明方程1-2.122=x x