6 第6讲 对数与对数函数

第6讲对数与对数函数1．对数概念如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底数N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，log a N叫做对数式性质对数式与指数式的互化：a x＝N⇔x＝log a N(a>0，且a≠1) log a1＝0，log a a＝1，a log a N＝N(a>0，且a≠1)运算法则log a(M·N)＝log a M＋log a Na>0，且a≠1，M>0，N>0 log aMN＝log a M－log a Nlog a M n＝n log a M(n∈R)换底公式log a b＝log c blog c a(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)2.对数函数的图象与性质a>10<a<1 图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R过定点(1，0)当x>1时，y>0 当x>1时，y<0当0<x<1时，y<0当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若MN>0，则log a(MN)＝log a M＋log a N.()(2)log a x·log a y＝log a(x＋y)．()(3)函数y ＝log 2x 及y ＝log 133x 都是对数函数．( )(4)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( )(5)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1，0)且过点(a ，1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ 函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( ) A ．(0，1) B ．[0，1) C ．(0，1]D ．[0，1]解析：选B .因为y ＝x ln(1－x )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，1－x >0，解得0≤x <1.函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)解析：选D.设t ＝x 2－4，因为y ＝log 12t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)． lg 52＋2lg 2－⎝⎛⎭⎫12－1＝________．解析：lg 52＋2lg 2－⎝⎛⎭⎫12－1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝(lg 5＋lg 2)－2＝1－2＝－1. 答案：－1(教材习题改编)函数y ＝log a (4－x )＋1(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过点________． 解析：当4－x ＝1即x ＝3时，y ＝log a 1＋1＝1. 所以函数的图象恒过点(3，1)． 答案：(3，1)对数式的化简与求值[典例引领]计算下列各式： (1)lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2； (2)(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)．【解】 (1)原式＝(lg 2)2＋(1＋lg 5)lg 2＋lg 52 ＝(lg 2＋lg 5＋1)lg 2＋2lg 5＝(1＋1)lg 2＋2lg 5 ＝2(lg 2＋lg 5)＝2.(2)原式＝⎝⎛⎭⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9⎝⎛⎭⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8＝⎝⎛⎭⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3⎝⎛⎭⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2＝3lg 22lg 3·5lg 36lg 2＝54.[提醒] 对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的前提下才成立的，不能出现log 212＝log 2[(－3)×(－4)]＝log 2(－3)＋log 2(－4)的错误．[通关练习]1．(2018·湖北省仙桃中学月考)计算2log 63＋log 64的结果是( ) A ．log 62 B ．2 C ．log 63D ．3解析：选B .2log 63＋log 64＝log 69＋log 64＝log 636＝2.故选B . 2．若x log 23＝1，则3x ＋3－x ＝( ) A.53 B.52 C.32D.23解析：选B.因为x log 23＝1， 所以log 23x ＝1， 所以3x ＝2，3－x ＝12，所以3x ＋3－x ＝2＋12＝52.故选B.3．化简12lg 3249－43lg 8＋lg 245＝__________．解析：12lg 3249－43lg 8＋lg 245＝12×(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(lg 5＋2lg 7) ＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋12lg 5＋lg 7＝12lg 2＋12lg 5＝12lg(2×5)＝12. 答案：124．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝________．解析：因为2a ＝5b ＝m >0，所以a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，所以1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2.所以m 2＝10，所以m ＝10.答案：10对数函数的图象及应用[典例引领](1)(2018·沈阳市教学质量检测(一))函数f (x )＝ln(x 2＋1)的图象大致是( )(2)(数形结合思想)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( )A ．(0，22) B ．(22，1) C ．(1，2) D ．(2，2)【解析】 (1)函数f (x )的定义域为R ，由f (－x )＝ln[(－x )2＋1]＝ln(x 2＋1)＝f (x )知函数f (x )是偶函数，则其图象关于y 轴对称，排除C ；又由f (0)＝ln 1＝0，可排除B ，D .故选A . (2)构造函数f (x )＝4x 和g (x )＝log a x ，当a >1时不满足条件，当0<a <1时，画出两个函数在(0，12]上的图象，可知f (12)<g (12)，即2<log a 12，则a >22，所以a 的取值范围为(22，1)．【答案】 (1)A (2)B1.若本例(2)变为：方程4x ＝log a x 在⎝⎛⎦⎤0，12上有解，求实数a 的取值范围． 解：构造函数f (x )＝4x 和g (x )＝log a x ，当a >1时不满足条件，当0<a <1时，画出两个函数在⎝⎛⎦⎤0，12上的图象(见例题(2)解析图象)，可知，只需两图象在⎝⎛⎦⎤0，12上有交点即可，则f ⎝⎛⎭⎫12≥g ⎝⎛⎭⎫12，即2≥log a 12，则a ≤22，所以a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，22. 2.若本例(2)变为：若不等式x 2－log a x <0对x ∈⎝⎛⎭⎫0，12恒成立，求实数a 的取值范围． 解：由x 2－log a x <0得x 2<log a x ， 设f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝log a x ，要使x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，不等式x 2<log a x 恒成立， 只需f 1(x )＝x 2在⎝⎛⎭⎫0，12上的图象在f 2(x )＝log a x 图象的下方即可．当a >1时，显然不成立； 当0<a <1时，如图所示，要使x 2<log a x 在x ∈⎝⎛⎭⎫0，12上恒成立， 需f 1(12)≤f 2⎝⎛⎭⎫12， 所以有⎝⎛⎭⎫122≤log a 12，解得a ≥116，所以116≤a <1. 即实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫116，1.利用对数函数的图象可求解的两类热点问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．本例(2)充分体现四大数学思想，不等式4x <log a x 转化为两函数y ＝4x 和y ＝log a x 问题，还要对a 的取值再讨论．最后借助图象确定结果．[通关练习])1.已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是( ) A ．a>1，c>1 B ．a>1，0<c<1 C ．0<a<1，c>1 D ．0<a<1，0<c<1解析：选D.由对数函数的性质得0<a <1，因为函数y ＝log a (x ＋c )的图象在c >0时是由函数y ＝log a x 的图象向左平移c 个单位得到的，所以根据题中图象可知0<c <1.2．已知函数f (x )＝log a (x ＋b )(a >0且a ≠1)的图象过两点(－1，0)和(0，1)，则log b a ＝________． 解析：f (x )的图象过两点(－1，0)和(0，1)． 则f (－1)＝log a (－1＋b )＝0且f (0)＝log a (0＋b )＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －1＝1，b ＝a ，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，a ＝2.所以logb a ＝1. 答案：13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．解析：问题等价于函数y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a >1. 答案：(1，＋∞)对数函数的性质及应用(高频考点)对数函数的性质是每年高考的必考内容之一，多以选择题或填空题的形式考查，难度低、中、高档都有．高考对对数函数性质的考查主要有以下三个命题角度： (1)比较对数值的大小； (2)解简单的对数不等式或方程； (3)对数型函数的综合问题．[典例引领]角度一 比较对数值的大小(2018·福州市综合质量检测)已知a ＝16ln 8，b ＝12ln 5，c ＝ln 6－ln 2，则( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．c <b <a【解析】 因为a ＝16ln 8，b ＝12ln 5，c ＝ln 6－ln 2，所以a ＝ln 2，b ＝ln 5，c ＝ln 62＝ln 3.又对数函数y ＝ln x 在(0，＋∞)上为单调递增函数，由2<3<5，得ln 2<ln 3<ln 5，所以a <c <b ，故选B. 【答案】 B角度二 解简单的对数不等式或方程若log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是( )A ．(0，1) B.⎝⎛⎭⎫0，12 C.⎝⎛⎭⎫12，1D ．(0，1)∪(1，＋∞)【解析】 由题意得a >0且a ≠1，故必有a 2＋1>2a ， 又log a (a 2＋1)<log a 2a <0，所以0<a <1， 同时2a >1，所以a >12.综上，a ∈⎝⎛⎭⎫12，1. 【答案】 C角度三 对数型函数的综合问题已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0，且a ≠1.(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性，并予以证明； (3)当a >1时，求使f (x )>0的x 的取值范围． 【解】 (1)因为f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1.故所求函数的定义域为{x |－1<x <1}． (2)f (x )为奇函数．证明如下：由(1)知f (x )的定义域为{x |－1<x <1}，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )． 故f (x )为奇函数．(3)因为当a >1时，f (x )在定义域{x |－1<x <1}上是增函数，由f (x )>0，得x ＋11－x >1，解得0<x <1.所以x 的取值范围是(0，1)．(1)比较对数值的大小的方法(2)解对数不等式的函数及方法①形如log a x >log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a >1与0<a <1两种情况讨论．②形如log a x >b 的不等式，需先将b 化为以a 为底的对数式的形式． (3)解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤[通关练习]1．(2017·高考全国卷Ⅱ)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)解析：选D.由x 2－2x －8>0，得x <－2或x >4.因此，函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y ＝x 2－2x －8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是(4，＋∞)，选D.2．若f (x )＝lg x ，g (x )＝f (|x |)，则g (lg x )>g (1)时，x 的取值范围是________．解析：当g (lg x )>g (1)时，f (|lg x |)>f (1)，由f (x )为增函数得|lg x |>1，从而lg x <－1或lg x >1，解得0<x <110或x >10.答案：⎝⎛⎭⎫0，110∪(10，＋∞) 3．已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，a ≠1)，若f (x )>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：当a >1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1，2]上是减函数， 由f (x )>1恒成立，则f (x )min ＝log a (8－2a )>1， 解之得1<a <83，当0<a <1时，f (x )在x ∈[1，2]上是增函数， 由f (x )>1恒成立，则f (x )min ＝log a (8－a )>1， 即8－2a <0，所以a >4，又0<a <1，故不存在． 综上可知，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，83. 答案：⎝⎛⎭⎫1，83对数函数图象的特点(1)当a >1时，对数函数的图象呈上升趋势；当0<a <1时，对数函数的图象呈下降趋势．(2)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限．(3)在直线x ＝1的右侧，当a >1时，底数越大，图象越靠近x 轴；当0<a <1时，底数越小，图象越靠近x 轴，即“底大图低”． 几个常用的结论(1)函数y ＝log a |x |的图象关于y 轴对称．(2)函数y ＝a x 与y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．即若f (x )的图象上有一点(a ，b )，则(b ，a )必在其反函数图象上． (3)函数f (x )＝|log a x |的定义域为(0，＋∞)，值域为[0，＋∞)，在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． 易错防范(1)在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y ＝log a x 的定义域应为(0，＋∞)．对数函数的单调性取决于底数a 与1的大小关系，当底数a 与1的大小关系不确定时，要分0<a <1与a >1两种情况讨论．(2)在运算性质log a M α＝αlog a M 中，要特别注意条件，在无M >0的条件下应为log a M α＝αlog a |M |(α∈N *，且α为偶数)．1．函数y ＝log 23（2x －1）的定义域是( )A ．[1，2]B ．[1，2) C.⎣⎡⎦⎤12，1D.⎝⎛⎦⎤12，1解析：选D .要使该函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧2x －1>0，log 23（2x －1）≥0，解得：12<x ≤1，故定义域为⎝⎛⎦⎤12，1. 2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( ) A ．log 2x B ．12xC ．log 12xD ．2x －2解析：选A.由题意知f (x )＝log a x ，因为f (2)＝1，所以log a 2＝1.所以a ＝2.所以f (x )＝log 2x . 3．若函数y ＝a |x |(a >0，且a ≠1)的值域为{y |0<y ≤1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )解析：选A.函数y ＝a |x |(a >0，且a ≠1)的值域为{y |0<y ≤1}，则0<a <1，由此可知y ＝log a |x |的图象大致是A.4．(2018·河南新乡模拟)设a ＝60.4，b ＝log 0.40.5，c ＝log 80.4，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．c <b <a C ．c <a <bD ．b <c <a解析：选B.因为a ＝60.4>1，b ＝log 0.40.5∈(0，1)，c ＝log 80.4<0，所以a >b >c .故选B. 5．(2018·河南平顶山模拟)函数f (x )＝log a |x ＋1|(a >0，a ≠1)，当x ∈(－1，0)时，恒有f (x )>0，则( )A ．f (x )在(－∞，0)上是减函数B ．f (x )在(－∞，－1)上是减函数C ．f (x )在(0，＋∞)上是增函数D ．f (x )在(－∞，－1)上是增函数解析：选D.由题意，函数f (x )＝log a |x ＋1|(a >0且a ≠1)，则说明函数f (x )关于直线x ＝－1对称，当x ∈(－1，0)时，恒有f (x )>0，即|x ＋1|∈(0，1)，f (x )>0，则0<a <1.又u ＝|x ＋1|在(－∞，－1)上是减函数，(－1，＋∞)上是增函数，结合复合函数的单调性可知，f (x )在(－∞，－1)上是增函数，选D.6．已知函数y ＝log a (x －1)(a >0，a ≠1)的图象过定点A ，若点A 也在函数f (x )＝2x ＋b 的图象上，则f (log 23)＝________．解析：由题意得A (2，0)，因此f (2)＝4＋b ＝0，b ＝－4，从而f (log 23)＝3－4＝－1. 答案：－17．已知2x ＝3，log 483＝y ，则x ＋2y 的值为________．解析：由2x ＝3，log 483＝y 得x ＝log 23，y ＝log 483＝12log 283，所以x ＋2y ＝log 23＋log 283＝log 28＝3. 答案：38．若函数f (x )＝log a 2－1(2x ＋1)在⎝⎛⎭⎫－12，0上恒有f (x )>0，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为x ∈⎝⎛⎭⎫－12，0， 所以2x ＋1∈(0，1)，且log a 2－1(2x ＋1)>0， 所以0<a 2－1<1，解得－2<a <－1或1<a <2； 所以实数a 的取值范围是(－2，－1)∪(1，2)．答案：(－2，－1)∪(1，2)9．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2.(1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值． 解：(1)因为f (1)＝2，所以log a 4＝2(a >0，a ≠1)，所以a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，3－x >0，得－1<x <3， 所以函数f (x )的定义域为(－1，3)．(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]，所以当x ∈(－1，1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1，3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2. 10．已知f (x )＝log a (a x －1)(a >0且a ≠1)．(1)求f (x )的定义域；(2)判断函数f (x )的单调性．解：(1)由a x －1>0，得a x >1，当a >1时，x >0；当0<a <1时，x <0.所以当a >1时，f (x )的定义域为(0，＋∞)；当0<a <1时，f (x )的定义域为(－∞，0)．(2)当a >1时，设0<x 1<x 2，则1<ax 1<ax 2，故0<ax 1－1<ax 2－1，所以log a (ax 1－1)<log a (ax 2－1)．所以f (x 1)<f (x 2)．故当a >1时，f (x )在(0，＋∞)上是增函数．类似地，当0<a <1时，f (x )在(－∞，0)上为增函数．综上知，函数f (x )在定义域上单调递增．1．若函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎫x 2＋32x (a >0，a ≠1)在区间⎝⎛⎭⎫12，＋∞内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(12，＋∞)解析：选A.令M ＝x 2＋32x ，当x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，M ∈(1，＋∞)，f (x )>0，所以a >1，所以函数y ＝log a M 为增函数，又M ＝⎝⎛⎭⎫x ＋342－916，因此M 的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－34，＋∞.又x 2＋32x >0，所以x >0或x <－32.所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)． 2．函数f (x )＝|log 2x |，若0<a <1<b 且f (b )＝f (a )＋1，则a ＋2b 的取值范围为( )A ．[4，＋∞)B ．(4，＋∞)C ．[5，＋∞)D ．(5，＋∞) 解析：选D.画出f (x )＝|log 2x |的图象如图：因为0<a <1<b 且f (b )＝f (a )＋1，所以|log 2b |＝|log 2a |＋1，所以log 2b ＝－log 2a ＋1，所以log 2(ba )＝1，所以ab ＝2.所以y ＝a ＋2b ＝a ＋4a(0<a <1)， 因为y ＝a ＋4a 在(0，1)上为减函数，所以y >1＋41＝5， 所以a ＋2b 的取值范围为(5，＋∞)，故选D.3．若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为________．解析：令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧g （1）>0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1，2)． 答案：[1，2)4．函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为________．解析：显然x >0，所以f (x )＝log 2x ·log2(2x )＝12log 2x ·log 2(4x 2)＝12log 2x ·(log 24＋2log 2x )＝log 2x ＋(log 2x )2＝⎝⎛⎭⎫log 2x ＋122－14≥－14. 当且仅当x ＝22时，有f (x )min ＝－14. 答案：－145．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x . (1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2.解：(1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x )．因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )＝log 12(－x )，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12（－x ），x <0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)>－2转化为f (|x 2－1|)>f (4)．又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5，即不等式的解集为(－5，5)．6．设f (x )＝|lg x |，a ，b 为实数，且0<a <b .(1)求方程f (x )＝1的解；(2)若a ，b 满足f (a )＝f (b )＝2f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，求证：a ·b ＝1，a＋b2>1.解：(1)由f (x )＝1，得lg x ＝±1，所以x ＝10或110.(2)证明：结合函数图象，由f (a )＝f (b )可判断a ∈(0，1)，b ∈(1，＋∞)，从而－lg a ＝lg b ，从而ab ＝1.又a ＋b 2＝1b ＋b2，令φ(b )＝1b ＋b (b ∈(1，＋∞))，任取1<b 1<b 2，因为φ(b 1)－φ(b 2)＝(b 1－b 2)·⎝⎛⎭⎫1－1b 1b 2<0，所以φ(b 1)<φ(b 2)，所以φ(b )在(1，＋∞)上为增函数．a＋b所以φ(b)>φ(1)＝2.所以2>1.。