掌门人一对一全套资料高一数学1-6对数与对数函数
高一同步对数与对数函数讲义-
精锐教化学科老师辅导讲义一、日校回顾二、上节课学问点回顾三、学问梳理 （一）、对数定义一般地，假如 ()1,0≠>a a a 的b 次幂等于N, 就是 N a b =，那么数 b 叫做 以a 为底 N 的对数， 记作 b N a =log ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数（二）对数的性质（1）负数与零没有对数（∵在指数式中 N > 0 ） （2）1的对数是零；01log =a ， （3）底数的对数是1；1log =a a （4）对数恒等式 N aNa =log注：常用对数：以10为底的对数叫做常用对数,N 的常用对数N 10log 简记作lgN自然对数：在科学技术中经常运用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数，为了简便，N 的自然对数N e log 简记作lnN底数的取值范围),1()1,0(+∞ ；真数的取值范围),0(+∞（三）、对数的运算法则（四）、对数函数的定义：函数叫做对数函数，定义域为，值域为． 1、函数x y x y x y lg ,log ,log 52===的图象如图所示，回答下列问题．（1）说明哪个函数对应于哪个图象，并说明为什么？（2）函数x y a log =与x y a1log =,0(>a 且)0≠a 有什么关系？(3)图象之间又有什么特别的关系？（4）已知函数x y x y x y x y a a a a 4321log ,log ,log ,log ==== 的图象，则底数之间的关系： ．2、对数函数的性质由对数函数的图象，视察得出对数函数的性质．a ＞10＜a ＜1x y a log =)10(≠>a a 且),0(+∞),(+∞-∞log =y x a1 log =y x a2 log =y x a3 log =y x a4图象性 质定义域：（0，+∞） 值域：R过点（1，0），即当x=1时，y=0时 时时 时在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数四、例题讲解 例1、计算下列各题：(1)lg 2＋lg 5－lg 8lg 50－lg 40； (2)2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋lg 22－lg 2＋1.例2、求值：lg 3＋25lg 9＋35lg 27－lg 3lg 81－lg 27.例3、若函数y ＝lg(3－4x ＋x 2)的定义域为M.当x∈M 时，求f(x)＝2x ＋2－3×4x的最值及相应的x 的值．例4、已知f(x)＝log a 1＋x1－x(a>0，a≠1)．(1)求f(x)的定义域；(2)推断f(x)的奇偶性并予以证明； (3)求使f(x)>0的x 的取值范围．1111)1,0(∈x 0<y ),1(+∞∈x 0>y )1,0(∈x 0>y ),1(+∞∈x 0<y例13、函数f(x)是定义域为R 的偶函数，且对随意的x ∈R ，均有f(x ＋2)＝f(x)成立，当x ∈[0,1] 时，f(x)＝log a (2－x)(a ＞1)．(1)当x ∈[－1，－1]时，求f(x)的表达式；(2)若f(x)的最大值为12，解关于x ∈[－1,1]的不等式f(x)＞14.【答案】例1、解 (1)原式＝lg 2×58lg 5040＝lg54lg 54＝1.(2)原式＝lg 2(2lg 2＋lg 5)＋lg 22－2lg 2＋1＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋|lg 2－1| ＝lg 2·lg(2×5)＋1－lg 2＝1.例2、解：解法一：原式＝lg 3＋45lg 3＋910lg 3－12lg 341g 3－3lg 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋45＋910－12lg 34－3lg 3＝115.解法二：原式＝lg3×925×2712×35×3－12lg 8127＝lg 3115lg 3＝115.例3、解 ∵y＝lg(3－4x ＋x 2)，∴3－4x ＋x 2>0，解得x<1或x>3，∴M＝{x|x<1，或x>3}， f(x)＝2x ＋2－3×4x ＝4×2x －3×(2x )2.令2x＝t ，∵x<1或x>3，∴t>8或0<t<2.∴f(t)＝4t －3t 2＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫t －232＋43(t>8或0<t<2)．综上可知：当x ＝log 2 23时，f(x)取到最大值为43，无最小值．例6、解：(1)f(－x)＝－f(x)，即lg 1－ax 1－2x ＝－lg 1＋ax 1＋2x ，即1－ax 1－2x ＝1＋2x1＋ax ，整理得：1－a 2x 2＝1－4x 2，∴a ＝±2，又a≠2，故a ＝－2.(2)f(x)＝lg 1－2x 1＋2x 的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，∴0＜b≤12.(3)f(x)＝lg 1－2x 1＋2x＝lg－1＋2x ＋21＋2x ＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋21＋2x .∴函数在定义域内是单调递减的．例7、解：(1)当x ∈[－1,0]时，f(x)＝f(－x)＝log a [2－(－x)]＝log a (2＋x)，所以f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log a2－x ， x ∈[0，1]log a 2＋x . x ∈[－1，0].(2)因为f(x)是以2为周期的周期函数，且为偶函数，所以f(x)的最大值就是当x ∈[0,1] 时，f(x)的最大值．因为a ＞1，所以f(x)＝log a (2－x)在[0,1]上是减函数． 所以[f(x)]max ＝f(0)＝log a 2＝12，所以a ＝4.当x ∈[－1,1]时f(x)＞14得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x＜0log 42＋x ＞14或⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤1，log 42－x ＞14，得2－2＜x ＜2－ 2.例8、解(1)：要使函数有意义，必需：041212≥---x 即11212≤≤-⇒-≥--x x 值域：∵11≤≤-x ∴012≤-≤-x 从而 1122-≤--≤-x∴2124112≤≤--x ∴41412012≤-≤--x ∴210≤≤y(2)∵522++x x 对一切实数都恒有4522≥++x x ∴函数定义域为R 从而24log )52(log 222=≥++x x 即函数值域为2≥y(3)函数有意义，必需：5105405422<<-⇒<--⇒>++-x x x x x由51<<-x ∴在此区间内 9)54(max 2=++-x x∴ 95402≤++-≤x x从而 29log )54(log 31231-=≥++-x x 即：值域为2-≥y(4)要使函数有意义，必需： 02>--x x ①0)(log 2≥--x x a ②由①：01<<-x由②：当1>a 时 必需 12≥--x x φ∈x当10<<a 时 必需 12≤--x x R x ∈综合①②得 1001<<<<-a x 且 当01<<-x 时 41)(max 2=--x x ∴4102≤--<x x ∴41log )(log 2a a x x ≥-- 41log a y ≥ )10(<<a例9、 解：（1）令,011>-+x x 得011<-+x x ， 即(x+1)(x-1)＜0，故f(x)的定义域为(-1，1)．又因为f(x)的定义域关于原点对称，所以f(x)是奇函数．例10、解：定义域 3601832-<>⇒>--x x x x 或单调区间是),6(+∞ 设2121),6(,x x x x <+∞∈且 则)183(log 121211--=x x y )183(log 222212--=x x y---)183(121x x )183(222--x x =)3)((1212-+-x x x x∵612>>x x ∴012>-x x 0312>-+x x ∴183222--x x 183121-->x x 又底数1210<< ∴012<-y y 12y y <∴y 在),6(+∞上是减函数。
人教A版数学必修第一册期末复习：对数与对数函数课件
技巧点拨
➢ 无论题型如何变化，都是围绕对数函数的单调性
方法
总结
➢ 弄清对数函数的单调性是解题的关键
➢ 注意有时需对底数字母参数进行讨论
过关检测
1．设a，b，c均为正数，且2a＝
的大小关系是 ( A )
A．a＜b＜c
C．c＜a＜b
a＞0
b＞0
c＞0
2a＞1
0＜
1
2
1
>0
2
,
在 , 单调递减
×
×
常考题型
1
例 4 当 0＜x≤2时，4x＜logax，则 a 的取值范围是( B )
题
型
二
对
数
函
数
的
图
象
及
应
用
A. 0，
2
2
B.
C．(1， 2)
2，1源自2D．( 2，2)
易知0＜a＜1
依图知需满足 >
>
＜a＜1
当0＜x＜1时，y＜0
当0＜x＜1时，y＞0
核心考点
1．换底公式的两个重要结论
常
用
结
论
(1)logab＝
1
log
(2)log =
log
其中a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，m≠0，n∈R.
核心考点
2．对数函数的图象与底数大小的比较
常
用
结
论
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应
高中数学必修一《对数函数》
答案：1
C．6
D．1
()
知识点二 换底公式 (一)教材梳理填空
logcb logab＝ logca
对数换底公式．
(a＞0，且a≠1；b＞0；c＞0，且c≠1)．我们把上式叫做
[微思考] 换底公式中底数c是特定数还是任意数？
提示：是大于0且不等于1的任意数．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)由换底公式可得 logab＝lloogg－ －22ba.
()
(3)loga(xy)＝logax·logay.
()
(4)log2(－5)2＝2log2(－5)．
()
答案：(1)× (2)× (3)× (3)×
2．计算log84＋log82等于
A．log86
B．8
答案：D
3．log 1 27－log 1 9＝________.
3
3
答案：－1
4．2lg 4＋lg58＝________.
法二：原式
＝lglg1225＋llgg245＋llgg
5lg 8lg
25＋llgg245＋lglg1825
＝3llgg25＋22llgg
52＋3llgg52llgg
25＋22llgg
25＋33llgg
2 5
＝133llgg253llgg52＝13.
法三：原式＝(log253＋log2252＋log2351)·(log52＋log5222＋log5323)
aamn ＝am－n (am)n＝amn
logaN＝b loga(MN)＝logaM＋logaN
logaMN ＝logaM－logaN logaMn＝nlogaM
(二)基本知能小试
1．判断正误：
掌门人一对一全套资料高一数学1-5指数与指数函数
已知函数 f(x)＝2x，等差数列{an}的公差为 2，若 f(a2 ＋a4＋a6＋a8＋a10)＝4，则 log2[f(a1)·f(a2)·f(a3)·…·f(a10)] ＝________.
2019/12/24
解析：∵f(a2＋a4＋a6＋a8＋a10)＝4，f(x)＝2x， ∴a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝2， ∵{an}为公差 d＝2 的等差数列， ∴a1＋a2＋…＋a10＝2(a2＋a4＋a6＋a8＋a10)－5d＝－ 6. ∴log2[f(a1)·f(a2)·…·f(a10)] ＝log2[2a1·2 a2·…·2 a10]＝log22a1＋a2＋…＋a10＝－6.
2019/12/24
解析：令 t＝ax，则 y＝t2＋2t－1，对称轴方程为 t＝ －1，
若 a>1，∵x∈[－1,1]，t＝ax∈1a，a， y 最大值＝a2＋2a－1＝14，∵a>0，∴a＝3.
若 0<a<1，∵x∈[－1,1]，∴t＝ax∈a，1a， y 最大值＝1a2＋21a－1＝14， ∵0<a<1，∴a＝13，∴a＝3 或13.
∴bb··aa＝ 3＝624 ②
①
②÷①得 a2＝4，
又 a>0，且 a≠1，∴a＝2，b＝3，
∴f(x)＝3·2x.
2019/12/24
(2)由(1)知 a＝2，b＝3，∴(1a)x＋(1b)x－m≥0 在(－∞， 1]上恒成立，即 m≤(12)x＋(13)x 在(－∞，1]上恒成立．
2019/12/24
答案：D
2019/12/24
指数函数的单调性
[例 3] 已知 log1 b<log1 a<log1 c，则( )
高一数学上册 第二章基本初等函数之对数函数知识点总结及练习题(含答案)
高一数学上册第二章基本初等函数之对数函数知识点总结及练习题(含答案)高一数学上册第二章基本初等函数之对数函数知识点总结及练习题(含答案)〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若a某N(a0,且a1)，则某叫做以a为底N的对数，记作某logaN，其中a叫做底数，N叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：某logaNa某N(a0,a1,N0)．（2）几个重要的对数恒等式:loga10，logaa1，logaabb．N；自然对数：lnN，即loge（3）常用对数与自然对数：常用对数：lgN，即log10…）．e2.71828（4）对数的运算性质如果a0,a1,M①加法：logaN（其中0,N0，那么MlogaNloga(MN)M②减法：logaMlogaNlogaN③数乘：nlogaMlogaMn(nR)④alogaNNnlogaM(b0,nR)bn⑤logabM⑥换底公式：logaNlogbN(b0,且b1)logba【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数函数名称定义函数对数函数yloga某(a0且a1)叫做对数函数a1y某10a1y某1yloga某yloga某图象O(1,0)O(1,0)某某定义域值域过定点奇偶性(0,)R图象过定点(1,0)，即当某1时，y0．非奇非偶单调性在(0,)上是增函数在(0,)上是减函数loga某0(某1)函数值的变化情况loga某0(某1)loga某0(某1)loga某0(0某1)loga某0(某1)loga某0(0某1)a变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越靠低，越靠近某轴在第一象限内，a越小图象越靠低，越靠近某轴在第四象限内，a越大图象越靠高，越靠近y轴在第四象限内，a越小图象越靠高，越靠近y轴(6)反函数的概念设函数果对于yf(某)的定义域为A，值域为C，从式子yf(某)中解出某，得式子某(y)．如y在C中的任何一个值，通过式子某(y)，某在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子某(y)表示某是y的函数，函数某(y)叫做函数yf(某)的反函数，记作某f1(y)，习惯上改写成yf1(某)．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式③将某yf(某)中反解出某f1(y)；f1(y)改写成yf1(某)，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质①原函数②函数yf(某)与反函数yf1(某)的图象关于直线y某对称．yf(某)的定义域、值域分别是其反函数yf1(某)的值域、定义域．yf(某)的图象上，则P"(b,a)在反函数yf1(某)的图象上．③若P(a,b)在原函数④一般地，函数yf(某)要有反函数则它必须为单调函数．一、选择题：1．log89的值是log23A．（）23B．1C．32D．22．已知某=2+1,则log4(某3－某－6)等于A.（）C.0D.32B.54123．已知lg2=a，lg3=b，则lg12等于lg15（）A．2ab1abB．a2b1abC．2ab1abD．a2b1ab4．已知2lg(某－2y)=lg某＋lgy，则某的值为 yA．1B．4（）C．1或4C．(C．ln5D．4或-1（）5.函数y=log1(2某1)的定义域为2A．(1，＋∞)B．［1，＋∞)2B．5e1，1]2D．(－∞，1)（）D．log5e（）y6.已知f(e某)=某，则f(5)等于A．e57．若f(某)loga某(a0且a1),且f1(2)1,则f(某)的图像是yyyABCD8．设集合A{某|某10},B{某|log2某0|},则AB等于A．{某|某1}C．{某|某1}B．{某|某0}D．{某|某1或某1}2O某O某O某O某（）9．函数yln某1,某(1,)的反函数为（）某1e某1,某(0,)B．y某e1e某1,某(,0)D．y某e1e某1,某(0,)A．y某e1e某1,某(,0)C．y某e1二、填空题：10．计算：log2.56.25＋lg11log23＋lne＋2=10011．函数y=log4(某－1)2(某＜1的反函数为__________．12．函数y=(log1某)2－log1某2＋5在2≤某≤4时的值域为______．44三、解答题：13．已知y=loga(2－a某)在区间{0，1}上是某的减函数，求a的取值范围．14．已知函数f(某)=lg[(a2－1)某2＋(a＋1)某＋1]，若f(某)的定义域为R，求实数a的取值范围．15．已知f(某)=某2＋(lga＋2)某＋lgb，f(－1)=－2，当某∈R时f(某)≥2某恒成立，求实数a的值，并求此时f(某)的最小值？一、选择题：.15.(lgm)0.9≤(lgm)0.8，16.25y8413，14.y=1－2某(某∈R)，217.解析：因为a是底，所以其必须满足a>0且a不等于1a>0所以2-a某为减函数，要是Y=loga(2-a某)为减函数，则Y=loga（Z）为增函数，得a>1又知减函数区间为[0,1]，a必须满足2-a某0>02-a某1>0即得a扩展阅读：高一数学上册_第二章基本初等函数之对数函数知识点总结及练习题(含答案)〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若a某N(a0,且a1)，则某叫做以a为底N的对数，记作某logaN，其中a叫做底数，N叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：某logaNa某N(a0,a1,N0)．（2）几个重要的对数恒等式:loga10，logaa1，logbaab．（3）常用对数与自然对数：常用对数：lgN，即log10N；自然对数：lnN，即logeN（其中e2.71828…）．（4）对数的运算性质如果a0,a1,M0,N0，那么①加法：logaMlogaNloga(MN)②减法：logaMlogaNlogMaN③数乘：nlogaMlogaMn(nR)log④aaNN⑤lognnabMblogaM(b0,nR)⑥换底公式：logbNaNloglog(b0,且b1)ba【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数函数名称对数函数定义函数yloga某(a0且a1)叫做对数函数a10a1y某1ylog某1a某yyloga某图象(1,0)OO(1,0)某某定义域(0,)值域R 过定点图象过定点(1,0)，即当某1时，y0．奇偶性非奇非偶单调性在(0,)上是增函数在(0,)上是减函数loga某0(某1)loga某0(某1)函数值的变化情况loga某0(某1)loga某0(某1)loga某0(0某1)loga某0(0某1)a变化对在第一象限内，a越大图象越靠低，越靠近某轴在第四象限内，a越大图象越靠高，越靠近y轴在第一象限内，a越小图象越靠低，越靠近某轴在第四象限内，a越小图象越靠高，越靠近y轴④一般地，函数yf(某)要有反函数则它必须为单调函数．图象的影响(6)反函数的概念设函数yf(某)的定义域为A，值域为C，从式子yf(某)中解出某，得式子某(y)．如果对于y在C中的任何一个值，通过式子某(y)，某在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子某(y)表示某是y的函数，函数某(y)叫做函数yf(某)的反函数，记作某f1(y)，习惯上改写成yf1(某)．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式yf(某)中反解出某f1(y)；③将某f1(y)改写成yf1(某)，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质①原函数②函数yf(某)与反函数yf1(某)的图象关于直线y某对称．yf(某)的定义域、值域分别是其反函数yf1(某)的值域、定义域．yf(某)的图象上，则P(b,a)在反函数yf(某)的图象"1③若P(a,b)在原函数上．一、选择题：1．log89log的值是23A．23B．12．已知某=2+1,则log4(某3－某－6)等于A.3B.5243．已知lg2=a，lg3=b，则lg12lg15等于A．2ab1abB．a2b1abD．a2b1ab4．已知2lg(某－2y)=lg某＋lgy，则某y的值为A．1B．45.函数y=log1(2某1)的定义域为2A．(12，＋∞)B．［1，＋∞)1)6.已知f(e某)=某，则f(5)等于C．32（）C.0（）C．（）C．1或4C．(12，1]（）D．2D.122ab1abD．4或-1）D．(－∞，（）A．e5B．5eC．ln5D．log5e7．若f(某)loga某(a0且a1),且f1(2)1,则f(某)的图像是（）yyyyABCDO某O某某OO某8．设集合A{某|某210},B{某|lo2某g0|}则,AB等于（）A．{某|某1}B．{某|某0}C．{某|某1}D．{某|某1或某1}9．函数yln某1某1,某(1,)的反函数为（）A．ye某1e某1,某(0,)B．ye某1e某1,某(0,)C．ye某1e某1e某1,某(,0)D．ye某1,某(,0)二、填空题：10．计算：log2.56.25＋lg1100＋lne＋21log23=（11．函数y=log4(某－1)2(某＜1的反函数为__________．12．函数y=(log1某)2－log1某2＋5在2≤某≤4时的值域为______．44三、解答题：13．已知y=loga(2－a某)在区间{0，1}上是某的减函数，求a的取值范围．14．已知函数f(某)=lg[(a2－1)某2＋(a＋1)某＋1]，若f(某)的定义域为R，求实数a的取值范围．15．已知f(某)=某2＋(lga＋2)某＋lgb，f(－1)=－2，当某∈R时f(某)≥2某恒成立，求实数a的值，并求此时f(某)的最小值？一、选择题：.132，14.y=1－2某(某∈R)，15.(lgm)0.9≤(lgm)0.8，16.254y817.解析：因为a是底，所以其必须满足a>0且a不等于1a>0所以2-a某为减函数，要是Y=loga(2-a某)为减函数，则Y=loga（Z）为增函数，得a>1又知减函数区间为[0,1]，a必须满足2-a某0>02-a某1>0即得a。
2024年新高一数学初升高衔接《对数及其运算》含答案解析
第16讲 对数及其运算模块一 思维导图串知识模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三模块四 小试牛刀过关测1．理解对数的概念，掌握对数的基本性质；2．掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程；3．理解对数的运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；4．会运用运算性质进行一些简单的化简与证明.知识点 1 对数的概念与性质1、对数的概念：如果x a N =（0a >且1a ≠），那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x =log a N ，其中a 叫作对数的底数，N 叫作真数．2、常用对数与自然对数名称定义记法常用对数以10为底的对数叫做常用对数lg 自然对数以无理数 2.71828e =⋅⋅⋅为底的对数称为自然对数ln3、对数的性质（1）当0a >，且1a ≠时，x a N =⇔log a x N =；（2）负数和0没有对数，即0>N ；（3）特殊值：1的对数是0，即log 1a =0（0a >，且1a ≠）；底数的对数是1，即log 1a a =（0a >，且1a ≠）；（4）对数恒等式：log a N a N =；（5）log ba ab =．知识点 2 对数的运算性质及应用1、运算性质：0>a ,且1≠a ，0,0>>N M （1）N M MN a a a log log )(log +=；（2）N M NMa a alog log log -=；（3）M n M a na log log =2、换底公式（1）换底公式：abb c c a log log log =(a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0)．（2）可用换底公式证明以下结论：①ab b a log 1log =； ②1log log log =⋅⋅a c b c b a ；③b b a na n log log =；④b n mb a ma n log log =； ⑤b b a alog log 1-=.知识点 3 对数运算常用方法技巧1、对数混合运算的一般原则（1）将真数和底数化成指数幂形式，使真数和底数最简，用公式log log m n a a nM b m=化简合并；（2）利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式；（3）将同底对数的和、差、倍运算转化为同底对数真数的积、商、幂；（4）如果对数的真数可以写成几个因数或因式的相乘除的形式，一般改写成几个对数相加减的形式，然后进行化简合并；（5）对数真数中的小数一般要化成分数，分数一般写成对数相减的形式．2、对数运算中的几个运算技巧（1）lg 2lg 51+=的应用技巧：在对数运算中如果出现lg 2和lg 5，则一般利用提公因式、平方差公式、完全平方公式等使之出现lg 2lg 5+，再应用公式lg 2lg 51+=进行化简；（2）log log 1a b b a ⋅=的应用技巧：对数运算过程中如果出现两个对数相乘且两个对数的底数与真数位置颠倒，则可用公式log log 1a b b a ⋅=化简；（3）指对互化的转化技巧：对于将指数恒等式xyza b c ==作为已知条件，求函数(),,f x y z 的值的问题，通常设(0)x y za b c k k ===>，则log a x k =，log b y k =，log c z k =，将,,x y z 值带入函数(),,f x y z 求解．考点一：对数的概念及辨析例1．（23-24高一上·全国·专题练习）（多选）下列选项中错误的是（ ）A ．零和负数没有对数B ．任何一个指数式都可以化成对数式C ．以10为底的对数叫做自然对数D ．以e 为底的对数叫做常用对数【变式1-1】（23-24高一上·贵州贵阳·月考）使式子(31)log (2)x x --有意义的x 的取值范围是（ ）A ．2x >B ．123x <<C ．123x <<且23x ≠D ．2x <，【变式1-2】（23-24高一上·吉林延边·期中）在对数式()()3log 5a b a -=-中，实数a 的取值范围是（ ）A ．()(),35,-∞⋃+∞B ．()3,5C ．()3,4D ．()()3,44,5【变式1-3】（22-23高一上·江苏宿迁·期中）在下列四个命题中，正确的是（ ）A ．若M N =则log log a a M N =；B ．若log log a a M N =，则M N =；C ．22log log a a M N =，则M N =；D ．若M N =，则22log log a a M N =．考点二：对数式与指数式互化例2.（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）将3log 0.81x =化成指数式可表示为（ ）A ．30.81x =B ．0.813x =C ．0.813x=D ．30.81x=【变式2-1】（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）将328=化为对数式正确的是（ ）A ．2log 38=B ．2log 83=C ．8log 23=D ．3log 28=【变式2-2】（23-24高一上·江苏连云港·期中）已知)4x =，则x =（ ）A ．2-B ．0C ．2D ．4【变式2-3】（23-24高一上·江西宁冈·期中）（多选）下列指数式与对数式的互化，正确的一组是（ ）A ．0e 1=与ln1=0B ．131273-=与2711log 33=-C ．2log 42=与1242=D ．5log 5=1与155=考点三：利用对数性质解对数方程例3.（23-24高一·江苏·假期作业）方程()()2lg 1lg 22x x -=+的根为（ ）A ．3-B ．3C ．1-或3D ．1或3-【变式3-1】23-24高一上·山东烟台·月考）方程()3log 941xx -=+的实数解为.【变式3-2】（23-24高一上·广东深圳·期中）已知a ，b 是方程22(ln )3ln 10x x -+=的两个实数根，则log log a b b a +=．【变式3-3】（23-24高一上·全国·练习）已知a ，b 是方程3273log log 433x x +=-的两个根，试给出关于a ，b 的一个结论．考点四：利用对数运算性质化简例4.（23-24高一下·云南昆明·期中）下列等式正确的是（ ）A ．22(lg5)2lg2(lg2)1+-=B ．335log 5log 2log 93⋅⋅=C．ln 2eπ+=D122.535[(0.064)]1-=【变式4-1】（23-24高一下·浙江·期中）化简()2151515155log 91log 3log 5log log 155⎛⎫+-⋅= ⎪⎝⎭.【变式4-2】（23-24高一上·贵州毕节·期末）计算：(1)2+00.5281(log 8log 2)(3)16⋅-；(2)ln3427log 9log 8lg 4lg 25e+⋅++.【变式4-3】（24-25高一上·全国·课后作业）计算：(1)420.5251log log 3log 95+-；(2)()2323223log 2log 3log 2log 3log 3log 2+--．考点五：用已知对数表示其他对数例5.（23-24高一下·江苏盐城·期末）若lg2a =，lg3b =，则用a ，b 表示lg12=（ ）A ．2a bB ．2abC ．2+a bD ．2a b+【变式5-1】（23-24高一上·江苏淮安·期中）已知25a=，则lg 2=（ ）A ．1aa +B ．1a a -C ．11a +D ．1a a -【变式5-2】（23-24高一上·江苏宿迁·期末）已知2log 3a =，27b =，用a ，b 表示42log 56为（ ）A ．3b a b++B ．3b a b+C ．31b a b +++D ．31b a b ++【变式5-3】（23-24高一上·甘肃武威·月考）已知lg2,lg3a b ==，则30log 18=（ ）A ．21a bb +-B ．21a b b ++C ．21a b b --D ．21a b b -+考点六：利用换底公式证明等式例6.（23-24高一上·山东淄博·期末）设a ，b ，c 都是正数，且346a b c ==，那么下列关系正确的是（ ）A ．2a b c+=B ．2ac bc ab+=C ．1112a b c+=D ．112a b c+=【变式6-1】（23-24高一上·全国·随堂练习）求证：28log 643log 64=．【变式6-2】（23-24高一上·全国·随堂练习）设0a >，0b >，0α≠，且1a ≠，1b ≠，利用对数的换底公式证明：(1)1log log a b b aαα=；(2)log log a a b b αββα=．【变式6-3】（23-24高一上·河北石家庄·月考）设000a b a >>≠，，，且11a b ≠≠，，利用对数的换底公式证明：(1)log log a a b b αββα=；(2)1log log a b b aαα=；(3)计算：若2log 32x =，求33x x -+的值．一、单选题1．（23-24高一上·全国·专题练习）在()log 5a b a =-中，实数a 的取值范围是（ ）A ．5a >或a<0B ．01a <<或15a <<C ．01a <<D ．15a <<2．（23-24高一下·湖南株洲·月考）若lg a （0a >）与lgb （0b >）互为相反数，则（ ）A ．1a b +=B ．0a b -=C ．1ab =D ．1ab=3．（23-24高一上·全国·课后作业）将31128⎛⎫= ⎪⎝⎭化为对数式正确的是（ ）A ．121log 38=B ．121log 38=C ．181log 32=D ．311log 28=4．（23-24高一下·陕西西安·月考）1lg 22+=（ ）A ．12B ．1C ．lg 5D．5．（23-24高一上·北京·月考）若1ab >，则下列等式中正确是的是（ ）A ．()lg lg lg ab a b=+B ．lg lg lg a a bb ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()21lg()lg 2a b a b +=+D ．()1lg log 10ab ab =6．（23-24高一上·天津·期末）化简2345log 3log 4log 5log 8⨯⨯⨯的值为（ ）A ．1B ．3C ．4D ．8二、多选题7．（23-24高一上·贵州安顺·期末）下列运算正确的有（ ）A ．lg 2lg 3lg 5+=B ．33log 10010log 10=C ．4log 545=D ．34log 4log 31⋅=8．（23-24高一上·吉林延边·期中）下列命题中正确的是（ ）A ．已知25a=，8log 3b =，则34a b -=259B ．222(lg 2)3lg 2lg 5(lg 5)lg 2++-的值为1C ．若3log 41x =，则44x x -+的值为103D ．若23m n k ==且112m n+=，则k =6三、填空题9．（23-24高一下·上海嘉定·月考）已知2log 3a =，25b =则12log 45= .（用含,a b的式子表示）10．（23-24高一下·云南昆明·期中）若4312,log 12a b ==，则11a b+=.11．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）设m ，n 是方程()23lg lg 10x x -+=的两个实根，则mn =．四、解答题12．（22-23高一上·新疆喀什·期末）求值：(1)0113410.027167-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；(2)ln 2145log 2lg 4lg e 2+++.(3)()()48392log 3log 3log 2log 2++13．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）（1）若3515a b ==，求55a b+的值；（2）求值：()()22327lg 5lg 2lg 503π++⨯--.第16讲 对数及其运算模块一 思维导图串知识模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三模块四 小试牛刀过关测1．理解对数的概念，掌握对数的基本性质；2．掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程；3．理解对数的运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；4．会运用运算性质进行一些简单的化简与证明.知识点 1 对数的概念与性质1、对数的概念：如果x a N =（0a >且1a ≠），那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x =log a N ，其中a 叫作对数的底数，N 叫作真数．2、常用对数与自然对数名称定义记法常用对数以10为底的对数叫做常用对数lg自然对数以无理数 2.71828e =⋅⋅⋅为底的对数称为自然对数ln3、对数的性质（1）当0a >，且1a ≠时，x a N =⇔log a x N =；（2）负数和0没有对数，即0>N ；（3）特殊值：1的对数是0，即log 1a =0（0a >，且1a ≠）；底数的对数是1，即log 1a a =（0a >，且1a ≠）；（4）对数恒等式：log a N a N =；（5）log ba ab =．知识点 2 对数的运算性质及应用1、运算性质：0>a ,且1≠a ，0,0>>N M （1）N M MN a a a log log )(log +=；（2）N M NMa a alog log log -=；（3）M n M a na log log =2、换底公式（1）换底公式：abb c c a log log log =(a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0)．（2）可用换底公式证明以下结论：①ab b a log 1log =； ②1log log log =⋅⋅a c b c b a ；③b b a na n log log =；④b n mb a ma n log log =； ⑤b b a alog log 1-=.知识点 3 对数运算常用方法技巧1、对数混合运算的一般原则（1）将真数和底数化成指数幂形式，使真数和底数最简，用公式log log m n a a nM b m=化简合并；（2）利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式；（3）将同底对数的和、差、倍运算转化为同底对数真数的积、商、幂；（4）如果对数的真数可以写成几个因数或因式的相乘除的形式，一般改写成几个对数相加减的形式，然后进行化简合并；（5）对数真数中的小数一般要化成分数，分数一般写成对数相减的形式．2、对数运算中的几个运算技巧（1）lg 2lg 51+=的应用技巧：在对数运算中如果出现lg 2和lg 5，则一般利用提公因式、平方差公式、完全平方公式等使之出现lg 2lg 5+，再应用公式lg 2lg 51+=进行化简；（2）log log 1a b b a ⋅=的应用技巧：对数运算过程中如果出现两个对数相乘且两个对数的底数与真数位置颠倒，则可用公式log log 1a b b a ⋅=化简；（3）指对互化的转化技巧：对于将指数恒等式xyza b c ==作为已知条件，求函数(),,f x y z 的值的问题，通常设(0)x y za b c k k ===>，则log a x k =，log b y k =，log c z k =，将,,x y z 值带入函数(),,f x y z 求解．考点一：对数的概念及辨析例1．（23-24高一上·全国·专题练习）（多选）下列选项中错误的是（ ）A ．零和负数没有对数B ．任何一个指数式都可以化成对数式C ．以10为底的对数叫做自然对数D ．以e 为底的对数叫做常用对数【答案】BCD【解析】对于A ：由对数的定义可知：零和负数没有对数.故A 正确；对于B ：只有符合0a >，且10a N ≠>，，才有log xa a N x N =⇔=，故B 错误；对于C ：以10为底的对数叫做常用对数，故C 错误；对于D ：以e 为底的对数叫做自然对数，故D 错误.故选：BCD.【变式1-1】（23-24高一上·贵州贵阳·月考）使式子(31)log (2)x x --有意义的x 的取值范围是（ ）A ．2x >B ．123x <<C ．123x <<且23x ≠D ．2x <，【答案】C【解析】由式子(31)log (2)x x --有意义，则满足31031120x x x ->⎧⎪-≠⎨⎪->⎩，解得123x <<且23x ≠.故选：C.【变式1-2】（23-24高一上·吉林延边·期中）在对数式()()3log 5a b a -=-中，实数a 的取值范围是（ ）A ．()(),35,-∞⋃+∞B ．()3,5C ．()3,4D ．()()3,44,5 【答案】D【解析】要使对数式()()3log 5a b a -=-有意义，需满足303150a a a ->⎧⎪-≠⎨⎪->⎩，解得34a <<或45a <<，所以实数a 的取值范围是()()3,44,5 ．故选:D.【变式1-3】（22-23高一上·江苏宿迁·期中）在下列四个命题中，正确的是（ ）A ．若M N =则log log a a M N =；B ．若log log a a M N =，则M N =；C ．22log log a a M N =，则M N =；D ．若M N =，则22log log a a M N =．【答案】B【解析】对A ，若0M N =≤，则log ,log a a M N 均无意义，故A 错；对B ，若log log a a M N =，说明0M N =>，则B 项正确；对C ，若22log log a a M N =，则22M N =，不一定能推出M N =，故C 错；对D ，若0M N ==，则22log ,log a a M N 无意义，故D 错.故选：B考点二：对数式与指数式互化例2.（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）将3log 0.81x =化成指数式可表示为（ ）A ．30.81x =B ．0.813x =C ．0.813x=D ．30.81x=【答案】A【解析】把对数式3log 0.81x =化成指数式，为30.81x =．故选：A ．【变式2-1】（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）将328=化为对数式正确的是（ ）A ．2log 38=B ．2log 83=C ．8log 23=D ．3log 28=【答案】B【解析】328=化为对数式为2log 83=，故选：B ．【变式2-2】（23-24高一上·江苏连云港·期中）已知)4x =，则x =（ ）A ．2-B ．0C ．2D ．4【答案】C【解析】由)4x =得42x =，即22x x =，又0x >且1x ≠，所以2x =，故选：C ．【变式2-3】（23-24高一上·江西宁冈·期中）（多选）下列指数式与对数式的互化，正确的一组是（ ）A ．0e 1=与ln1=0B ．131273-=与2711log 33=-C ．2log 42=与1242=D ．5log 5=1与155=【答案】ABD【解析】根据指数式与对数式的互化公式log Na ab b N =⇔=(0a >且1,0)a N ≠>可知，ABD 正确；对于C ，22log 4242=⇔=，故C 错误.故选：ABD考点三：利用对数性质解对数方程例3.（23-24高一·江苏·假期作业）方程()()2lg 1lg 22x x -=+的根为（ ）A ．3-B ．3C ．1-或3D ．1或3-【答案】B【解析】由()()2lg 1lg 22x x -=+，得2212210220x x x x ⎧-=+⎪->⎨⎪+>⎩，即2223010220x x x x ⎧--=⎪->⎨⎪+>⎩，解得3x =，所以方程()()2lg 1lg 22x x -=+的根为3.故选：B【变式3-1】23-24高一上·山东烟台·月考）方程()3log 941xx -=+的实数解为.【答案】3log 4【解析】由()3log 941x x -=+，得()133log 94log 3x x +-=，所以1943x x +-=，即()23433x x -=⋅，即()()34310x x-+=，所以34x =或31x =-（舍去），所以3log 4x =.故答案为：3log 4.【变式3-2】（23-24高一上·广东深圳·期中）已知a ，b 是方程22(ln )3ln 10x x -+=的两个实数根，则log log a b b a += ．【答案】52/2.5【解析】方法一：因为a ，b 是方程()22ln 3ln 10x x -+=的两个实数根，由韦达定理得1ln ln 2a b ⋅=，3ln ln 2a b +=，则()()()()2222ln ln ln ln 2ln ln ln ln ln ln 5log log 2ln ln ln ln ln ln ln ln 2a b a b a b a b a b b a b a a b a b a b a b ++-⋅++=+===-=⋅⋅⋅，即5log log 2a b b a +=；方法二：因为22310t t -+=的根为1t =或12t =，不妨设ln 1a =，1ln 2b =，则e a =，b =，所以e 15log log log 222e a b b a +=+=+=．故答案为：52.【变式3-3】（23-24高一上·全国·练习）已知a ，b 是方程3273log log 433x x +=-的两个根，试给出关于a ，b 的一个结论 ．【答案】1081a b +=（答案不唯一）【解析】根据换底公式有33333log log lo 7g l 343og 32x x +=-，即33114133log log x x ++=-+，令3g 1lo x t +=，则1433t t +=-，解得1t =-或3t =-.所以31log 1x +=-或31log 3x +=-，解得19x =或181x =.故答案为：1081a b +=（答案不唯一）考点四：利用对数运算性质化简例4.（23-24高一下·云南昆明·期中）下列等式正确的是（ ）A ．22(lg5)2lg2(lg2)1+-=B ．335log 5log 2log 93⋅⋅=C．ln 2e π+=D122.535[(0.064)]1-=【答案】A【解析】对于A 中，由2222(lg5)2lg2(lg2)(1lg2)2lg2(lg2)1+-=-+-=，所以A 正确；对于B 中，由335lg5lg22lg3log 5log 2log 93lg3lg3lg5⋅⋅=⋅⋅≠，所以B 错误；对于C中，由ln 27e log 825ππ=++-≠，所以C 错误；对于D 中，122.513551515[(0.064)](0.4)122222--=+⨯=+⨯≠，所以D错误．故选：A【变式4-1】（23-24高一下·浙江·期中）化简()2151515155log 91log 3log 5log log 155⎛⎫+-⋅= ⎪⎝⎭.【答案】1【解析】原式()()()()22221515151515151515log 3log 9log 5log 5log 32log 3log 5log 5=+⋅+=+⋅+()21515log 3log 5=+()215log 151==.故答案为：1.【变式4-2】（23-24高一上·贵州毕节·期末）计算：(1)2+00.5281(log 8log 2)(3)16⋅-；(2)ln3427log 9log 8lg 4lg 25e+⋅++.【答案】(1)0；(2)6【解析】（1）原式=1122234937(1()1021644+-=+-=（2）原式=3+log 23⋅log 32+lg100=3+1+2=6．【变式4-3】（24-25高一上·全国·课后作业）计算：(1)420.5251log log 3log 95+-；(2)()2323223log 2log 3log 2log 3log 3log 2+--．【答案】(1)0；(2)2【解析】（1）420.5251log log 3log 95+-22222251log log 95log 3log 4log 0.5=+-2225log log 3log 53=+-225log 35log 103⎛⎫=⨯÷== ⎪⎝⎭；（2）()2323223log 2log 3log 2log 3log 3log 2+--2ln 2ln 3ln 2ln 2ln 3ln 3ln 3ln 2ln 3ln 3ln 2ln 2⎛⎫=+-⋅-⋅ ⎪⎝⎭2222ln 2ln 3ln 2ln 322ln 3ln 2ln 3ln 2⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.考点五：用已知对数表示其他对数例5.（23-24高一下·江苏盐城·期末）若lg2a =，lg3b =，则用a ，b 表示lg12=（ ）A ．2a bB ．2abC ．2+a bD ．2a b+【答案】D【解析】由对数运算性质可得()2lg12lg 34lg3lg4lg3lg2lg32lg22a b =⨯=+=+=+=+，故选：D.【变式5-1】（23-24高一上·江苏淮安·期中）已知25a=，则lg 2=（ ）A ．1aa +B ．1a a -C ．11a +D ．1a a -【答案】C 【解析】由25a=得，2lg 51lg 2log 5lg 2lg 2a -===，则1lg 21a =+，故选：C ．【变式5-2】（23-24高一上·江苏宿迁·期末）已知2log 3a =，27b =，用a ，b 表示42log 56为（ ）A ．3b a b++B ．3b a b+C ．31b a b +++D ．31b a b ++【答案】C【解析】因为27b =，所以2log 7=b ，2222242222222log 56log 7log 8log 73log 23log 56log log 7742log log log l g 62o ++==+=++31+=++b b a .故选： C.【变式5-3】（23-24高一上·甘肃武威·月考）已知lg2,lg3a b ==，则30log 18=（ ）A ．21a bb +-B ．21a b b ++C ．21a b b --D ．21a b b -+【答案】B 【解析】30lg18lg2lg92log 18lg30lg311a bb ++===++，故选:B.考点六：利用换底公式证明等式例6.（23-24高一上·山东淄博·期末）设a ，b ，c 都是正数，且346a b c ==，那么下列关系正确的是（ ）A ．2a b c +=B ．2ac bc ab+=C ．1112a b c+=D ．112a b c+=【答案】C【解析】由346a b c k ===，得3log a k =，4log b k =，6log c k =，1log 3k a=，1log 4k b =，1log 6k c =，则11log 4log 222k k b ==，根据log 3log 2log 6k k k +=可知，1112a b c+=.故选：C 【变式6-1】（23-24高一上·全国·随堂练习）求证：28log 643log 64=．【答案】证明见解析【解析】左边622log 26log 26===，右边362263log 23log 263==⨯⨯=，所以左边=右边，得证.【变式6-2】（23-24高一上·全国·随堂练习）设0a >，0b >，0α≠，且1a ≠，1b ≠，利用对数的换底公式证明：(1)1log log a b b aαα=；(2)log log a a b b αββα=．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】（1）log 1log log log b a b b b b a aααα==，所以等式成立；（2）log log log log log log a a a a a a b b b b a a αββαββαα===，所以等式成立.【变式6-3】（23-24高一上·河北石家庄·月考）设000a b a >>≠，，，且11a b ≠≠，，利用对数的换底公式证明：(1)log log a a b b αββα=；(2)1log log a b b aαα=；(3)计算：若2log 32x =，求33x x -+的值．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)174【解析】（1）因为log log log log log a a a a a a b b b b a a αββββα===，所以命题log log a ab b αββα=得证.（2）因为log 1log log log b a a b b b b a aαα==，所以命题1log log ab b a αα=得证.（3）因为2log 32x =，所以22322log 22log 4log 3log 3x ===，故1333log 4log 4log 4117333343444x x---+=+=+=+=，即33x x -+的值为174.一、单选题1．（23-24高一上·全国·专题练习）在()log 5a b a =-中，实数a 的取值范围是（ ）A ．5a >或a<0B ．01a <<或15a <<C ．01a <<D ．15a <<【答案】B【解析】由对数的定义可知5001a a a ->⎧⎪>⎨⎪≠⎩，解得05a <<，且1a ≠，故选：B ．2．（23-24高一下·湖南株洲·月考）若lg a （0a >）与lg b （0b >）互为相反数，则（ ）A ．1a b +=B ．0a b -=C ．1ab =D ．1a b=【答案】C【解析】因为lg a （0a >）与lg b （0b >）互为相反数，所以lg lg lg 0a b ab +==，所以1ab =.故选：C.3．（23-24高一上·全国·课后作业）将31128⎛⎫= ⎪⎝⎭化为对数式正确的是（ ）A ．121log 38=B ．121log 38=C ．181log 32=D ．311log 28=【答案】B【解析】31128⎛⎫= ⎪⎝⎭化为对数式：121log 38=，故选：B 4．（23-24高一下·陕西西安·月考）1lg 22+=（ ）A ．12B ．1C ．lg 5D．【答案】A【解析】11111lg 2lg 2lg 5lg(25)22222+=+=⨯=.故选：A5．（23-24高一上·北京·月考）若1ab >，则下列等式中正确是的是（ ）A ．()lg lg lg ab a b=+B ．lg lg lg a a bb ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()21lg()lg 2a b a b +=+D ．()1lg log 10ab ab =【答案】D【解析】当0,0a b <<时，ABC 均不成立，由换底公式知D 正确．故选：D ．6．（23-24高一上·天津·期末）化简2345log 3log 4log 5log 8⨯⨯⨯的值为（ ）A ．1B ．3C ．4D ．8【答案】B【解析】由题意可得：2345ln 3ln 4ln 5ln 8ln 83ln 2log 3log 4log 5log 83ln 2ln 3ln 4ln 5ln 2ln 2⨯⨯⨯=⨯⨯⨯===.故选：B.二、多选题7．（23-24高一上·贵州安顺·期末）下列运算正确的有（ ）A ．lg 2lg 3lg 5+=B ．33log 10010log 10=C ．4log 545=D ．34log 4log 31⋅=【答案】CD【解析】对A ，lg 2lg 3lg 6+=，故A 错误；对B ，33log 1002log 10=，故B 错误；对C ，4log 545=正确；对D ，34log 4log 31⋅=正确.故选：CD8．（23-24高一上·吉林延边·期中）下列命题中正确的是（ ）A ．已知25a=，8log 3b =，则34a b -=259B ．222(lg 2)3lg 2lg 5(lg 5)lg 2++-的值为1C ．若3log 41x =，则44x x -+的值为103D ．若23m n k ==且112m n+=，则k =6【答案】ABC 【解析】因为25a=，则2log 5a =，且821log 3log 33b ==，则22253log 5log 3log 3a b -=-=则()22252log 253log 9332542229a b a b--====，故A 正确；()()222(lg 2)3lg 2lg 5(lg 5)lg 22lg 2lg 5lg 2lg 5lg 22lg 2lg 5lg 2++-=++-=+-lg 2lg 51=+=，故B 正确；由3log 41x =可得431log 3log 4x ==，则44log 3log 31104444333x x --+=+=+=，故C 正确；因为23m n k ==，则23log ,log m k n k ==，则11log 2,log 3k k m n==，所以11log 2log 3log 62k k k m n+=+==，所以k =D 错误；故选：ABC 三、填空题9．（23-24高一下·上海嘉定·月考）已知2log 3a =，25b =则12log 45=.（用含,a b的式子表示）【答案】22a b a ++【解析】因为25b =，所以2log 5b =，又2log 3a =，所以()()2222122222log 59log 45log 5log 9log 45log 12log 34log 3log 4⨯+===⨯+222222log 52log 3log 32log 2a ba ++=++=.故答案为：22a b a ++10．（23-24高一下·云南昆明·期中）若4312,log 12ab ==，则11a b +=.【答案】1【解析】因为312a =，所以3log 12a =，所以121212341111log 3log 4log 121log 12log 12a b +=+=+==.故答案为：1.11．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）设m ，n 是方程()23lg lg 10x x -+=的两个实根，则mn =．【答案】1000【解析】()23lg lg 10x x -+=，即()2lg 3lg 10x x -+=，设lg t x =，由题意lg lg m n ，是方程2310t t -+=的两个根，由根与系数关系得lg lg 3m n +=，即lg 3mn =，所以1000mn =.故答案为：1000.四、解答题12．（22-23高一上·新疆喀什·期末）求值：(1)0113410.027167-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；(2)ln 2145log 2lg 4lg e 2+++.(3)()()48392log 3log 3log 2log 2++【答案】(1)53-；(2)52；(3)2【解析】（1）()()()111113443344410.027160.32147--⎛⎫⎡⎤-+=-+- ⎪⎣⎦⎝⎭10521433=-+-=-（2）2ln 221245log 2lg 4lg e log 2lg 2lg 5lg 222-+++=++-+13352lg 2lg 5lg 22lg 2lg 512222=-++-+=++=+=（3）()()()()232483932232log 3log 3log 2log 22log 3log 3log 2log 2++=++223311log 3log 3log 2log 232⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2343log 3log 2232⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）（1）若3515a b ==，求55a b+的值；（2）求值：()()22327lg 5lg 2lg 503π++⨯--.【答案】（1）5；（2）13π-【解析】（1）因为3515a b ==，所以35log 15,log 15==a b ，3551,1lo 1g 15l g 1o 1a b ==，则()()15151535551155log 3log 55log 355log 15log 15a b ⎛⎫+=+=+=⨯= ⎪⎝⎭；（2）()()()()()22223331027lg 5lg 2lg 503π3lg 5lglg 105π35++⨯--=++⨯⨯-+()()()()()22223lg 51lg 51lg 5π312πlg 51lg 513π=++-⨯+-+=-++-=-．。
2024年新高一数学讲义(人教A版2019必修第一册)对数函数及其性质(解析版)
第17讲对数函数及其性质模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．理解对数函数的概念，知道对数函数模型是一类重要的函数模型；2．会求简单的对数型函数的定义域；3．会用描点法画出对数函数的简图；4．掌握对数函数的性质，会解决简单的与性质有关的问题.知识点1对数函数的概念1、对数函数的概念：函数log a y x =（0a >，且1a ≠）叫做对数函数，其中x 是自变量，定义域为()0,∞+．2、判断一个函数是对数函数的依据（1）形如log a y x =，且系数为1；（2）底数a 满足0a >，且1a ≠；（3）真数是x 而不是x 的函数；（4）整体只有一项；（5）定义域为()0,∞+．例如，2log (1)y x =+，22log y x =都不是对数函数，可称为对数型函数．3、两种特殊的对数函数（1）常用对数函数：以10为底的对数函数x y lg =．（2）自然对数函数：以无理数e 为底的对数函数x y ln =．知识点2对数函数及其性质1、对数函数的图象与性质a ＞10＜a ＜1图象性质定义域(0，＋∞)值域R过定点过定点(1，0)，即x ＝1时，y ＝0函数值的变化当0＜x ＜1时，y ＜0；当x ＞1时，y ＞0当0＜x ＜1时，y ＞0；当x ＞1时，y ＜0单调性是(0，＋∞)上的增函数是(0，＋∞)上的减函数2、底数a 对函数图象的影响（1）底数a 与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当1a >时，图象呈上升趋势；当01a <<时，图象呈下降趋势；（2）函数log a y x =与1log ayx=（0a >，且1a ≠）的图象关于x 轴对称；（3）底数的大小决定了图象相对位置的高低：无论1a >还是01a <<，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．知识点3反函数1、反函数的定义一般地，函数()()y f x x A =∈，设它的值域为C ，根据这个函数中,x y 的关系，用y 把x 表示出来，得到()x g y =．如果y 在C 中的任何取值，通过()x g y =，x 在A 中都有唯一值和它对应，则()x g y =就表示x 是关于自变量y 的函数．这样的函数()()x g y y C =∈叫做()()y f x x A =∈的反函数，记作1()y f x -=．例如，对数函数log a y x =(0a >,且1a ≠)是指数函数x y a =(0a >,且1a ≠)的反函数．2、反函数的性质（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线y x =对称；（2）若函数()y f x =的图象上有一点(,)a b ，则点(,)b a 必在其反函数的图象上，反之也成立；（3）互为反函数的两个函数的单调性相同；（4）反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域；（5）单调函数必有反函数．考点一：对数函数的概念辨析例1．（22-23高一上·云南曲靖·月考）下列函数是对数函数的是（）A ．ln y x =B ．22log y x=C ．log 9ax y =D ．2log 2022y x =-【答案】A【解析】形如()log 0,1a y x a a =≠＞的函数叫作对数函数，它的定义域是()0,∞+，对于A ，e ln log y x x ==满足，故A 正确；对于B ，C ，D ，形式均不正确，均错误.故选：A【变式1-1】（22-23高一上·河北唐山·月考）下列函数是对数函数的是（）A ．()log 2a y x =B ．lg10xy =C ．()2log a y x x =+D ．ln y x=【答案】D【解析】因为函数log a y x =(0a >且1a ≠)为对数函数，所以ABC 均为对数型复合函数，而D 是底数为自然常数的对数函数.故选：D.【变式1-2】（23-24高一上·全国·课后作业）下列函数，其中为对数函数的是（）A ．12log ()y x =-B ．42log (1)y x =-C ．ln y x=D ．2()log a a y x+=【答案】C【解析】函数12log ()y x =-，42log (1)y x =-的真数不是自变量，它们不是对数函数，AB 不是；函数ln y x =是对数函数，C 是；函数2()log a a y x +=的底数含有参数a ，而a 的值不能保证2a a +是不等于1的正数，D 不是.故选：C【变式1-3】（23-24高一上·全国·课堂例题）（多选）下列函数中为对数函数的是（）A ．()12log y x =-B ．24log y x=C ．ln y x=D ．()22log a a y x ++=（a 是常数）【答案】CD【解析】对于A ，真数是x -，故A 不是对数函数；对于B ，242log log y x x ==，真数是x ，不是x ，故B 不是对数函数；对于C ，ln x 的系数为1，真数是x ，故C 是对数函数；对于D ，底数22172124a a a ⎛⎫+=++> ⎪⎝⎭+，真数是x ，故D 是对数函数．故选：CD考点二：对数函数过定点问题例2.（23-24高一下·广东湛江·开学考试）函数()()log 43a f x x =-（0a >且1a ≠）的图象所过的定点为（）A ．()1,0B ．3,04⎛⎫⎪⎝⎭C ．()1,1D ．3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】因为函数()()log 43a f x x =-（0a >且1a ≠），令431x -=，解得1x =，则()log 110a f ==，所以()f x 的图象所过的定点为()1,0.故选：A.【变式2-1】（23-24高一下·甘肃威武·开学考试）函数()log (23)5a f x x =-+（0a >，1a ≠）的图象过定点A ，则A 的坐标为（）A ．(1,0)B ．(1,5)C ．(2,5)D ．(2,6)【答案】C【解析】令231x -=，则2x =，此时()log 155a f x =+=，故定点A 的坐标为(2,5).故选：C【变式2-2】（23-24高一上·全国·专题练习）函数1log 2x a y x a -=++（0a >且1a ≠）的图象恒过的定点是（）A ．()1,2B ．()1,3C ．()2,2D ．()0,2【答案】B【解析】当1x =时，()log a f x x =恒等于0，()1x g x a -=恒等于1，故1log 2x a y x a-=++恒等于0123++=，所以1log 2x a y x a -=++的图象恒过的定点是()1,3.故选：B【变式2-3】（23-24高一上·江苏苏州·月考）已知曲线log (2)1a y x =-+（0a >且1a ≠）过定点(,)s t ，若m n s t +=-且0m >，0n >，则91m n+的最小值为（）A ．16B ．10C ．8D ．4【答案】C【解析】对于log (2)1a y x =-+，令21x -=，即3x =，则1y =，即曲线log (2)1a y x =-+（0a >且1a ≠）过定点(3,1)，即3,1s t ==，故2m n +=，又0m >，0n >，则91191191()()(10(108222n m m n m n m n m n +=++=++≥⨯+=，当且仅当9n m m n=，结合2m n +=，即31,22m n ==时等号成立，故选：C考点三：与对数函数有关的函数图象例3.（23-24高一下·青海西宁·开学考试）函数()lg 1y x =+的图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】因为()lg 10y x =+≥，故排除D ；当0x =时，()00lg 1y =+=，故排除BC ；结合对数函数的性质可知A 正确.故选：A.【变式3-1】（23-24高一上·四川攀枝花·月考）已知0a >且1a ≠，则函数()log 1a y x =+与1(1xy a=+在同一直角坐标系中的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】结合()log 1a y x =+与1()1xy a=+可知，两函数单调性一定相反，排除选项A ；因为()log 1a y x =+恒过定点()0,0，1()1xy a=+恒过定点()0,2，排除选项B ，D ．故选：C ．【变式3-2】（23-24高一下·浙江·期中）在同一直角坐标系中，函数()(1),()log a f x a x g x x =-=的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】函数()(1),()log a f x a x g x x =-=，由对数函数可知，0a >且1a ≠，当01a <<时，()(1)f x a x =-为过原点的减函数，()log a g x x =为减函数，则B 错误，D 正确；当1a >时，()(1)f x a x =-为过原点的增函数，()log a g x x =为增函数，则A 错误，C 错误；故选：D.【变式3-3】（23-24高一上·全国·专题练习）已知函数①y ＝log ax ；②y ＝log bx ；③y ＝log cx ；④y ＝log dx 的大致图象如图所示，则下列不等关系正确的是（）A ．a ＋c ＜b ＋aB ．a ＋d ＜b ＋cC ．b ＋c ＜a ＋dD ．b ＋d ＜a ＋c【答案】A【解析】由已知可得b ＞a ＞1＞d ＞c ，则a ＋b ＞a ＋c ，b ＋d ＞a ＋c ，故A 正确，D 错误；又a ＋d 与b ＋c 的大小不确定，故B ，C 错误．故选A.考点四：对数型复合函数的定义域例4.（23-24高一上·四川广安·期末）函数()1lg 12x x -+-的定义域为（）A ．(1,)+∞B ．[)(1,22),⋃+∞C ．(0,2)(2,)⋃+∞D ．(1,2)(2,)⋃+∞【答案】D【解析】要使函数有意义，则1020x x ->⎧⎨-≠⎩，解得1x >，且2x ≠.故函数()f x =()1lg 12x x -+-的定义域为(1,2)(2,)⋃+∞.故选：D.【变式4-1】（23-24高一上·河南洛阳·月考）函数2lg(21)()1x f x x -=-的定义域为（）A ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．(1,)+∞C ．()11,1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ D ．()1,11,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】由2lg(21)()1x f x x -=-，则221010x x ->⎧⎨-≠⎩，解得12x >且1x ≠，即其定义域为()1,11,2∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭.故选：D ．【变式4-2】（23-24高一下·河南·开学考试）函数()log x f x -=的定义域为（）A ．{1xx >∣且2}x ≠B ．{12}xx <<∣C ．{2}xx >∣D ．{}1x x ≠∣【答案】C【解析】由题得21011320x x x x ->⎧⎪-≠⎨⎪-+>⎩，解得2x >，即函数()f x 的定义域为{2}xx >∣.故选：C 【变式4-3】（23-24高一上·湖北·期末）函数y =的定义域为（）A ．5,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．53,42⎛⎤⎥⎝⎦C ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B【解析】由题意可得()0.5log 450x -≥，∴0451x <-≤，∴5342x <≤，即y =53,42⎛⎤⎥⎝⎦，故选：B 考点五：对数型复合函数的单调性例5.（23-24高一上··期末）函数2lg 43()()f x x x =+-的单调递减区间是（）A ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．31,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】由()()243lg f x x x =+-可得，2430x x +->，解得()1,4x ∈-，故()f x 的定义域为()1,4-，由ln y x =为增函数，令243t x x =+-，对称轴为32x =，故其单调递减区间为3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭，所以()()243lg f x x x =+-的单调递减区间为3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：D.【变式5-1】（23-24高一下·山西大同·月考）函数()()lg 4f x x =-的单调递增区间为（）A ．()4,0-B ．(),0∞-C ．()0,4D ．()0,∞+【答案】A【解析】对于函数()()lg 4f x x =-，令40x ->，即4x <，解得44x -<<，所以函数的定义域为()4,4-，又4,044,0x x y x x x -≥⎧=-=⎨+<⎩，所以4y x =-在()0,∞+上单调递减，在(),0∞-上单调递增，函数lg y x =在定义域()0,∞+上单调递增，所以()()lg 4f x x =-的单调递增区间为()4,0-，单调递减区间为()0,4.故选：A【变式5-2】（22-23高一下·湖南长沙·期末）已知()()212log 3f x x ax a =-+在[)2,+∞上为减函数，则实数a的取值范围是（）A ．(],4∞-B ．(]4,4-C ．()0,2D ．(]0,4【答案】B【解析】设()23x x a g ax -+=，因为函数()()212log 3f x x ax a =-+在[)2,+∞上是减函数，可得()23x x a g ax -+=在[)+∞上是增函数，故有对称轴22ax =≤，即4a ≤，且()24230g a a =-+>，解得44a -<≤，即实数a 的范围是(]4,4-.故选：B.【变式5-3】（23-24高一下·贵州遵义·期中）已知函数log 1,1()(4),1a x x f x a x x +≥⎧=⎨-<⎩是R 上的单调递增函数，则a的取值范围是（）A ．[2,4)B ．[3,4)C ．(1,2]D ．(1,3]【答案】B【解析】由题意可知()f x 是R 上的单调递增函数，则1404log 11a a a a >⎧⎪->⎨⎪-≤+⎩，解得34a ≤<．故选：B.考点六：对数型函数有关的值域例6.（23-24高三上·陕西汉中·月考）已知()()24216log log f x x x =⋅，1,82x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()f x 的值域为（）A ．[]3,1-B ．[]1,3-C ．[]0,1D ．[]3,0-【答案】A【解析】令2log x t =，则[]1,3t ∈-，又24442216log log 16log 2log 2x x t x=-=-=-，所以原函数可变为()2y t t =-=-()211t -+，[]1,3t ∈-，所以max 1y =，min 3y =-，所以()f x 的值域为[]3,1-.故选：A.【变式6-1】（23-24高一上·四川眉山·期中）已知函数()()22log log 88x f x x ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，则函数()f x 的值域为（）A ．[]9,0-B ．[)9,-+∞C ．(],9-∞-D ．[]12,0-【答案】B【解析】()()()()2222log 3log 3log 9f x x x x =-+=-．故()f x 的值域为[)9,-+∞．故选：B ．【变式6-2】（22-23高一下·云南保山·月考）函数()()2lg 2f x x x m =++的值域为R ，则实数m 的取值范围是（）A ．1m >B ．m 1≥C ．1m ≤D ．m ∈R【答案】C【解析】因为函数()()2lg 2f x x x m =++的值域为R ，所以，()0,∞+为函数22y x x m =++的值域的子集，所以，440m ∆=-≥，解得1m £.故选：C.【变式6-3】（23-24高一上·山东菏泽·月考）已知函数()2log 42x xy a a =-⋅+的值域为R ，则实数a 的取值范围是．【答案】(,0][4,)-∞+∞ 【解析】由函数()2log 42x xy a a =-⋅+，令()42x x f x a a =-⋅+，令20x t =>，可得()2g t t a t a =-⋅+，要使得函数()2log 42x xy a a =-⋅+的值域为R ，则()2,0g t t a t a t =-⋅+>的值域能取遍一切正实数，当0a >时，则满足2()40a a ∆=--≥，解得4a ≥；当0a =时，可得()20g t t =≥，符合题意；当a<0时，则满足()00g a =<，此时函数()g t 的值域能取遍一切正实数，符合题意，综上可得，实数a 的取值范围为(,0][4,)-∞+∞ .故答案为：(,0][4,)-∞+∞ .考点七：利用单调性比较大小例7.（23-24高一下·湖北·月考）已知32a -=，2log 3b =，4log 6c =，则（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．c<a<b【答案】B【解析】因为24222log 61log 6log 6log log 42c ====3所以根据对数函数的单调性可知1c b <<，又因为321a -=<，所以a c b <<，故选：B【变式7-1】（23-24高一下·河南开封·月考）已知0.10.52log 3,log 3,2a b c -===，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a c b <<B ．c a b<<C ．a b c<<D ．b<c<a【答案】A【解析】由题意得0.5log y x =在(0,)+∞上单调递减，2log y x =在(0,)+∞上单调递增，2x y =在R 上单调递增，故0.10.50.0522102121log 3log ,log 3log ,02a b c -=<<==<=>==，故a c b <<，故选：A【变式7-2】（23-24高一下·浙江·期中）已知6log 2a =，0.6log 0.2b =，0.20.6c =，则a ，b ，c 的大小关系（）A ．a c b <<B ．a b c<<C ．c a b<<D ．c b a<<【答案】A【解析】因为0.6log y x =在定义域()0,∞+内单调递减，可得0.60.6log 0.2log 0.61>=，即1b >；且6log y x =在定义域()0,∞+内单调递增，可得66610log 1log 2log 2=<<=，即102a <<；又因为00.20.30.31110.60.60.60.50.52=>>>>=，即112c <<；所以a c b <<.故选：A【变式7-3】（23-24高一下·湖南长沙·开学考试）已知3log 2a =，4log 3b =，5log 4c =，则（）A ．a b c >>B ．b a c>>C ．c b a>>D ．a c b>>【答案】C【解析】22243ln 2ln 4ln 3ln 3ln 2ln 3ln 2ln 42log 3log 20ln 4ln 3ln 3ln 4ln 3ln 4b a +⎛⎫- ⎪-⎝⎭-=-=-=>=22254ln 3ln 5ln 4ln 4ln 3ln 4ln 3ln 52log 4log 30ln 5ln 4ln 5ln 4ln 5ln 4c b +⎛⎫- ⎪-⎝⎭-=-=-=>=所以c b a >>.故选：C.考点八：利用单调性解对数不等式例8.不等式()3log 212x -≤的解集为（）A ．3,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．1,52⎛⎤⎥⎝⎦C ．(],5∞-D ．7,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦【答案】B【解析】()3log 212x -≤= 3log 9，0219x ∴<-≤，15.2x ∴<≤∴不等式()3log 212x -≤的解集为1,52⎛⎤⎥⎝⎦．故选：B【变式8-1】（22-23高一下·湖南株洲·期中）已知()()44log 3log 1x x <+，则x 的取值范围为（）A ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】因为4log y x =在定义域()0,∞+内单调递增，若()()44log 3log 1x x <+，则031<<+x x ，解得102x <<，所以x 的取值范围为10,2⎛⎫⎪⎝⎭.故选：D.【变式8-2】（23-24高一上·四川内江·月考）设函数()()2lg 1f x x =+，则使得()()211f x f x ->+成立的x的取值范围为（）A ．()0,2B ．()0,2C ．(),2-∞D ．()(),02,-∞+∞ 【答案】D【解析】因为()f x 为偶函数，且在()0,∞+上单调递增，因为()()211f x f x ->+，所以22211x x ->+，即2241412x x x x +->++，所以2360x x ->，所以0x <或2x >故选：D.【变式8-3】（23-24高一上·辽宁沈阳·月考）已知不等式()2log 21log (3)0x x x x +<<成立，则实数x 的取值范围（）A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】当1x >时，不等式即为202131x x <+<<，由22103x x -+<解得112x <<，又1x >，所以x ∈∅；当01x <<时，不等式即为22131x x +>>，由22310x x -+>解得12x <或1x >；又13x >，所以1132x <<.综上，实数x 的取值范围为11,32⎛⎫⎪⎝⎭.故选：B.考点九：对数型函数的奇偶性例9.（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）函数2()lg(1)1f x x =-+的图象关于（）对称.A ．直线y =xB ．原点C ．x 轴D ．y 轴【答案】B 【解析】21()lg(1)lg 11xf x x x -=-=++，令101x x->+得11x -<<，故2()lg(1)1f x x =-+的定义域为()1,1-，关于原点对称，又1111()()lglg lg(lg101111x x x xf x f x x x x x-+-++-=+=⋅==+-+-，故()()f x f x -=-.该函数为奇函数，关于原点对称.故选：B【变式9-1】（23-24高一上·湖南娄底·期末）已知函数()()lg22a xf x x x-=≠-+是定义在(),b b -的奇函数，则b a 的取值范围为（）A ．(]0,4B ．()0,4C ．(]1,4D ．()1,4【答案】C【解析】函数()()lg22a xf x x x-=≠-+是定义在(),b b -的奇函数，则有()0lg 02af ==，解得2a =，即()2lg2x f x x-=+，()f x 有意义，202xx ->+，解得22x -<<，所以有02b <≤，此时()()1222lg lg lg222x x xf x f x x x x-+--⎛⎫-===-=- ⎪-++⎝⎭，满足在(),b b -上为奇函数，由02b <≤，所以(]21,4b ba =∈.故选：C.【变式9-2】（23-24高一上·全国·专题练习）已知函数()()()22log 3log 3f x x x =++-.(1)求()f x 的定义域；(2)求证：函数()f x 为偶函数；(3)求f的值.【答案】(1)()3,3-；(2)证明见解析；(3)1【解析】（1）由()()()22log 3log 3f x x x =++-，则有3030x x +>⎧⎨->⎩，解得33x -<<，所以()f x 的定义域为()3,3-；（2）因为()f x 的定义域为()3,3-，又()()()()22log 3log 3f x x x f x -=-++=，故函数()f x 为偶函数；（3）(((2222log 3log 3log 33log 21f⎡⎤=+===⎣⎦.【变式9-3】（23-24高一上·陕西安康·期末）已知函数()2log 1x af x x+=-（a 为常数）是奇函数.(1)求a 的值与函数()f x 的定义域；(2)若2()log (1)f x x m +-<恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】(1)1a =，函数的定义域为()1,1-；(2)[)1,+∞【解析】（1）因为函数()2log 1x af x x+=-（a 为常数）是奇函数，所以()()f x f x -=-，则22log log 11x a x ax x-++=-+-，即22log log 011x a x a x x -+++=+-，所以111x a x ax x-++⋅=+-，即21a =，解得1a =±，当1a =时()21log 1x f x x+=-，则令101x x +>-，解得11x -<<，即函数的定义域为()1,1-，且()()1222111log log log 111x x x f x f x x x x--+++⎛⎫-===-=- ⎪+--⎝⎭，所以()f x 为奇函数，符合题意，当1a =-时()()2211log log 11x x f x x x---==--函数无意义，故舍去；综上可得1a =，函数的定义域为()1,1-.（2）因为()21log 1x f x x +=-，则()()22221log (1)log log (1)log 11x f x x x x x++-=+-=+-，因为2()log (1)f x x m +-<恒成立，所以()2log 1x m +<对任意的()1,1x ∈-恒成立，又()2log 1y x =+在()1,1-上单调递增，所以()22log 1log 21x +<=，所以m 1≥，即m 的取值范围是[)1,+∞.考点十：反函数及其性质应用例10.（23-24高一上·湖南长沙·期中）若对数函数()f x 经过点()4,2，则它的反函数()g x 的解析式为（）A ．()2xg x =B ．()12xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．()4xg x =D ．()2g x x=【答案】A【解析】设()log a f x x =，函数过()4,2，即()4log 42a f ==，即2a =，()2log f x x =，它的反函数()g x 的解析式为()2xg x =.故选：A【变式10-1】（23-24高一上·辽宁大连·期末）函数y =的反函数是（）A ．()22y x x =+-∞<<+∞B ．()222y x x =+≥C ．()222y x x =+≤D ．()220y x x =+≤【答案】D【解析】∵y =，∴0y ≤，∴y -=22y x =-，∴22x y =+，将x ，y 调换可得，()220y x x =+≤，故函数y =()220y x x =+≤．故选：D ．【变式10-2】（23-24高二上·天津和平·月考）如果直线2y ax =+与直线3y x b =-关于直线y x =对称，那么a ，b 的值分别为（）A ．13a =，6b =B ．13a =-，6b =C ．3a =，2b =-D ．3a =，6b =【答案】A【解析】因为直线2y ax =+与直线3y x b =-关于直线y x =对称，显然0b ≠，所以函数2y ax =+与函数3y x b =-互为反函数，又因为3y x b =-的反函数为1133y x b =+，所以13123a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即136a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，故选：A 【变式10-3】（23-24高一上·辽宁沈阳·月考）设函数()y f x =存在反函数()1y f x -=，且函数()2y x f x =-的图象过点()2,3，则函数()1y f x --的图象一定过点（）A ．()1,1-B ．()3,2C ．()1,0D ．()2,1【答案】A【解析】因为函数()2y x f x =-的图象过点()2,3，所以()2223f -=，解得()21f =，即()y f x =的图象过点()2,1，所以()1y f x -=的图象过点()1,2，()1y f x -=-的图象过点()1,2-，所以()1y f x -的图象过点()1,1-，故选：A一、单选题1．（23-24高一下·黑龙江绥化·开学考试）函数()()1ln 3f x x x=++的定义域为（）A ．(],3-∞-B ．(),3-∞-C ．()3,-+∞D ．()()3,00,-⋃+∞【答案】D【解析】因为()()1ln 3f x x x=++，所以030x x ≠⎧⎨+>⎩，解得3x >-且0x ≠，所以()f x 的定义域为()()3,00,-⋃+∞.故选：D.2．（23-24高一上·全国·课后作业）若函数()2()33log a f x a a x =-+是对数函数，则a 的值是（）A ．1或2B ．1C ．2D ．0a >且1a ≠【答案】C【解析】∵函数()2()33log a f x a a x =-+是对数函数，∴2331a a -+=，0a >且1a ≠，解得1a =或2a =，∴2a =，故选：C ．3．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）已知01a <<，在同一坐标系中，函数x y a -=与log a y x =-的图象可能是（）A ．B ．C．D．【答案】B【解析】由题意若01a <<，则指数函数1xxa y a-=⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递增，并过定点()0,1，函数log a y x =单调递减，并过定点()1,0，而函数log a y x =-与函数log a y x =关于x 轴对称，所以log a y x =-单调递增，并过定点()1,0，对比选项可知，只有B 选项符合题意.故选：B.4．（23-24高一上·福建福州·月考）已知函数()5log f x x =，()g x 是()f x 的反函数，则()()11f g +=（）A ．10B ．8C ．5D ．2【答案】C【解析】因为函数()5log f x x =，()g x 是()f x 的反函数，故()5x g x =，故()()15log 15511f g =++=.故选：C5．（23-24高一下·湖南衡阳·开学考试）已知2169log 3,2,log 2a b c -===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a c b >>B ．c b a >>C ．a b c >>D ．c a b>>【答案】A【解析】依题意，1633111log 3log log 31627a ==>=，922111log 2log 9log 38c ==<=，又291log 2log 24c b -=>===，所以,,a b c 的大小关系为a c b >>.故选：A6．（23-24高一下·湖南长沙·期中）若函数()()ln 11f x a x ⎡⎤=-+⎣⎦在()2,3上单调递减，则实数a 的取值范围是（）A ．(),1-∞B ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】易知函数ln y x =在(0,)+∞上单调递增，又函数()f x 在(2,3)上单调递减，所以()10a -<且()1310a -⨯+≥，解得213a ≤<．即实数a 的取值范围为2[,1)3故选：B二、多选题7．（23-24高一上·贵州黔南·月考）关于函数()2()lg 23f x x x =+-，下列说法正确的是（）A ．()f x 的定义域为()3,1-B ．()f x 的定义域为()(),31,∞∞--⋃+C ．()f x 的单调递增区间为()1,∞-+D ．()f x 的单调递减区间为(),3∞--【答案】BD【解析】由()2()lg 23f x x x =+-，得2230x x +->，解得1x >或3x <-，所以()f x 的定义域为()(),31,∞∞--⋃+，故A 错误，B 正确；令223u x x =+-，其在()1,∞+上单调递增，在(),3∞--上单调递减，又函数lg y u =在定义域内为增函数，所以()f x 的单调递减区间为(),3∞--，单调递增区间为()1,∞+，故C 错误，D 正确.故选：BD.8．（23-24高一下·贵州贵阳·月考）已知函数()ln 1ln 1f x x x =+--，则下列有关该函数叙述正确的有（）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 是奇函数C ．()f x 在()1,1-上单调递增D ．()f x 的值域为()0,∞+【答案】BC【解析】函数()ln 1ln 1f x x x =+--，由1010x x ⎧+>⎪⎨->⎪⎩，解得1x ≠±，因此()f x 的定义域为()()(),11,11,∞∞--⋃-⋃+，显然()()ln 1ln 1f x x x f x -=--+=-，函数()f x 是奇函数，A 错误，B 正确；函数()12lnln 111x f x x x +==+--，显然ln y x =在()0,∞+单调递增，当11x -<<时，()2ln 11f x x ⎛⎫=-⎪-⎝⎭，函数211y x =--在()1,1-上单调递增，于是()f x 在()1,1-上单调递增，C 正确；当1x <-或1x >时，()2ln 11f x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭，函数211y x =+-在()(),1,1,∞∞--+上单调递减，于是()f x 在()(),1,1,∞∞--+上单调递减，图像如图所示，所以值域为R ，故D 错误.故选:BC ．三、填空题9．（23-24高一·上海·假期作业）函数()()2lg 4f x x x =-+的值域是．【答案】(],2lg 2-∞【解析】由题意得240-+>x x ，即04x <<，所以()f x 的定义域为()0,4，因为24t x x =-+对称轴为2x =，且开口向下，且lg y x =在定义域内单调递增，由复合函数的单调性可知：()f x 在()0,2上单调递增，在()2,4上单调递减，当0x →（或4x →）时，()f x →-∞，当2x =时，()22lg 2f =，所以()(],2lg 2f x ∈-∞，故答案为：(],2lg2-∞．10．（23-24高一上·云南曲靖·月考）函数()log 325a y x =++（0a >且1a ≠）的图象恒过定点.【答案】1,53⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】令321x +=，解得13x =-，又1log 32553ay ⎡⎤⎛⎫=⨯-++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以函数()log 325a y x =++（0a >且1a ≠）的图象恒过定点1,53⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：1,53⎛⎫- ⎪⎝⎭11．（23-24高一上·陕西咸阳·期末）已知函数()13xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象与()g x 的图象关于直线y x =对称，则()21g x +的值域为．【答案】(],0-∞【解析】因为函数()13xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象与()g x 的图象关于直线y x =对称，所以()13log g x x =，因此()()22131log 1g x x +=+，因为211x +≥，所以()21133log 1log 10x +≤=，因此()21g x +的值域为(],0-∞，故答案为：(],0-∞四、解答题12．（23-24高一上·云南昆明·期末）设函数()log (3)(,10a f x x a =-+>且1)a ≠．(1)若(12)3f =，解不等式()0f x >；(2)若()f x 在[4,5]上的最大值与最小值之差为1，求a 的值．【答案】(1)10(,)3+∞；(2)2a =或12a =【解析】（1）由(12)3f =可得log (123)13a -+=，解得3a =，即3()log (3)1,(3)f x x x =-+>，则()0f x >，即3log (3)10x -+>，即310,1333x x x >⎧⎪∴>⎨->⎪⎩，故不等式()0f x >的解集为10(,)3+∞；（2）由于()f x 在[4,5]上的最大值与最小值之差为1，故log 11(log 21)1a a +-+=，即log 21,2a a =∴=或12a =，即a 的值为2a =或12a =.13．（23-24高一上·河南驻马店·月考）已知函数()()()lg 1lg 1f x x x =--+．(1)求函数()y f x =的定义域；(2)判断函数()y f x =的奇偶性并说明理由；(3)求证：对于任意的()1,1x ∈-都有()2221x f f x x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭．【答案】(1)()1,1-；(2)奇函数，理由见解析；(3)证明见解析【解析】（1）由1010x x +>⎧⎨->⎩，得11x -<<，∴函数()f x 的定义域为()1,1-．（2）因为()()11lg lg 11x x f x f x x x-+==-=--+-，且定义域为()1,1-，关于原点对称，所以函数()f x 为()1,1-上的奇函数.（3）对于任意()1,1x ∈-，有2222121lg 2111xx x f x x x -⎛⎫+= ⎪+⎝⎭++222221(1)lg lg 21(1)x x x x x x -+-==+++，又()221(1)22lg lg 1(1)x x f x x x --==++，所以()2221x f f x x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭.。
高一数学人必修一课件时对数的运算
对数不等式解法及实例分析
• 对数不等式的基本形式：形如 $\log_a N > \log_a M$ 或 $\log_a N < \log_a M$ 的不等式，其中 $a > 0$，$a • eq 1$，$N > 0$，$M > 0$。
参数在对数不等式中的影响
参数的变化会影响不等式的解集和解的性质。例如，对于不等式 $log_a x > b$，当 $a > 1$ 时，随着 $b$ 的增大，不等式的解集减小；当 $0 < a < 1$ 时，随着 $b$ 的增大 ，不等式的解集增大。
实例分析
解关于 $x$ 的不等式 $log_{a}(x - frac{4}{3}) < log_{a}(frac{1}{3} - x)$，其中 $a > 0$ 且 $a neq 1$。
当 $g(x) > 0$ 时，对数复合函数有意 义；当 $g(x)$ 是单调函数时，对数 复合函数的单调性与 $g(x)$ 一致。
03
对数方程与不等式
对数方程解法及实例分析
• 对数方程的基本形式：形如 $a^{\log_a N} = N$ 的方程，其 中 $a > 0$，$a
• eq 1$，$N > 0$。
对指数函数和对数函数的研究，可以深入了解它们之间的性质和关系。
02 03
对数在现实生活中的应用
对数在现实生活中的应用非常广泛，如计算复利、求解增长率、处理音 频信号等。通过对对数应用的学习，可以更好地理解和掌握对数运算的 方法和技巧。
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二、数形结合的思想
[例] 不等式 x2－logax<0 在 x∈(0，12)时恒成立，则 a 的取值范围是( )
A．0<a<1
B.116≤a<1
C．a>1
D．0<a≤116
2019/12/24
解析：我们没有学过如何解答这类不等式，但我们 熟知函数 y＝x2 与 y＝logax 的图象与性质，因此可在同一 坐标系中，画出此二函数的图象借助图象进行讨论，在 同一坐标系中画出 y＝x2，x∈(0，12)与 y＝logax 的图象，
当 a>1 时，∴f(x)＝logax 在[a,2a]上为增函数， ∴loga2a－logaa＝12，解得 a＝4，故选 D.
答案：D
2019/12/24
比较大小
[例 4] 对于 0<a<1，给出下列四个不等式
①loga(1＋a)<loga(1＋1a)；
②loga(1＋a)>loga(1＋1a)；
分析：(1)由11－ ＋aa与11＋ －aa的倒数关系及对数运算法则 logaNn＝nlogaN 求解．
(2)注意到 lg2＋lg5＝1，可通过提取公因式产生 lg2 ＋lg5 求解．
2019/12/24
解析：(1)f(－a)＝lg11＋ －aa＝lg11－＋aa－1＝－lg11－ ＋aa＝－ f(a)＝－b.故选 B.
2019/12/24
分析：观察图象知应从其对称性入手，由于 ab＝1， a>0，∴b>0，可据此进行讨论．
2019/12/24
解析：∵a>0 且 a≠1，ab＝1，∴b>0. 又 y＝loga|x＋b|的图象关于 x＝－b 对称，故排除 A、 C. 由 B、D 知－b<－1，∴b>1，∵ab＝1，∴0<a<1. 故选 B.
答案：C
2019/12/24
(文)设 a>1，函数 f(x)＝logax 在区间[a,2a]上的最大
值与最小值之差为12，则 a＝(
)
A. 2
B．2
C．2 2
D．4
2019/12/24
解析：因为 a>1，所以 f(x)＝logax 在区间[a,2a]上为 增函数，最大值为 loga2a，最小值为 logaa.因此 loga2a－ logaa＝12，即 loga2＝12，解得 a＝4.
2019/12/24
A．0<a－1<b<1 C．0<b－1<a<1
B．0<b<a－1<1 D．0<a－1<b－1<1
解析：∵t＝2x＋b－1 单调增，f(x)单调增，∴a>1.
由图知－1<f(0)<0，∴－1<logab<0， ∴a－1<b<1，故选 A.
答案：A
2019/12/24
对数函数的单调性
2
(－∞，1)；函数 y＝loga(ax－1)(a>0 且 a≠1)的定义域在 a>1 时为(0，＋∞)；在 0<a<1 时为(－∞，0)．
2019/12/24
2019/12/24
一、转化的思想 指数式 ab＝N 与对数式 logaN＝b(a>0 且 a≠1，N>0) 可以互化，在解决与指数式、对数式有关的问题时，利 用指对互化(或等式两端取同底的对数)结合换底公式常 能起到事半功倍的效果．
(2)原式＝llgg23＋llgg29·llgg34＋llgg38 ＝llgg23＋2llgg23·2llgg32＋3llgg32＝32llgg23·56llgg32＝54. 答案：(1)2 (2)54
2019/12/24
对数函数的图象
[例 2] 函数 y＝loga|x＋b|(a>0，且 a≠1，ab＝1)的图 象只可能是( )
2019/12/24
0<a<1， 由图象易得loga12≥122，
即 0<a≤116.故选 D.
答案：D
2019/12/24
三、解题技巧 1．注意对数恒等式、换底公式及对数运算法则的灵 活运用及指对互化的应用． 2．同底数的对数比较大小用单调性．同真数的对数 比较大小用图象或换底或转化为指数式．要注意与中间 量 0、1 的比较．对数函数图象在第一象限内底数越小， 图象越靠近 y 轴(逆时针底数依次变小)，在直线 x＝1 右 侧，底大图低(区分 x 轴上方与下方)．
＝loga(2a)，则 m，n，p 的大小关系为( )
A．n>m>p
B．m>p>n
C．m>n>p
D．p>m>n
2019/12/24
解析：由 a>1 得 a2＋1>2a>a－1>0， ∴loga(a2＋1)>loga(2a)>loga(a－1)．
答案：B
2019/12/24
(理)已知 log2 x1＝logax2＝loga＋1x3>0,0<a<1，则 x1、
2019/12/24
2019/12/24
对数的运算与性质
[例 1] (1)已知函数 f(x)＝lg11－＋xx，若 f(a)＝b，则 f(－
a)＝( )
A．b
B．－b
1 C.b
D．－1b
2019/12/24
(2)(2011·苏 北 四 市 二 模 )(lg2)2 ＋ lg2lg5 ＋ lg5 ＝ ________.
2019/12/24
(文)已知函数 y＝f(x)的图象与函数 y＝2－x－1 的图
象关于直线 y＝x 对称，则 f(3)的值为( )
A．1
B．－1
C．2
D．－2
2019/12/24
解析：由反函数对称性知，y＝f(x)的反函数为 y＝2－ x－1，则设 f(3)＝x，
则 f－1(x)＝3，即 2－x－1＝3，得 x＝－2.故选 D.
答案：C
2019/12/24
(理)(1)lg25＋lg2·lg50＋(lg2)2； (2)(log32＋log92)·(log43＋log83)．
2019/12/24
解析：(1)原式＝(lg2)2＋(1＋lg5)lg2＋lg52＝(lg2＋lg5 ＋1)lg2＋2lg5＝(1＋1)lg2＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＝2.
答案：D
2019/12/24
(理)(2010·重庆南开中学)函数 y＝lg(x＋1)的反函数 的图象为( )
2019/12/24
2．互为反函数的图象之间的关系 (1)y＝f－1(x)与 y＝f(x)的图象关于直线 y＝x 对称． (2)若点 P(a，b)在 y＝f－1(x)的图象上，则 P′(b，a) 在 y＝f(x)的图象上．
2019/12/24
误区警示 1．忽视底数 a>1 与 0<a<1 时性质的区别及函数的定 义域致误．如函数 y＝log1 (x2－3x＋2)的单调增区间为
a
x2、x3 的大小关系是( )
A．x3<x2<x1
B．x2<x1<x3
C．x1<x3<x2
D．x2<x3<x1
2019/12/24
解析：取 a＝12满足条件，则
log4x1＝log1 x2＝log3 x3>0，画出图象后知选 D.
2
2
答案：D
2019/12/24
反函数的概念
[例 5] 已知函数 f(x)＝2x＋1(x≥0)，记 f(x)的反函数
答案：B
2019/12/24
(文)已知函数 y＝loga(x＋b)的图象如图所示，则 ab ＝________.
2019/12/24
解析：由图象知llooggaabb＝－12，＝0， 得 a＝b＝3， 所以 ab＝33＝27.
答案：27
2019/12/24
(理)已知函数 f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0 且 a≠1)的图 象如图所示，则 a，b 满足的关系是( )
2019/12/24
三、反函数的概念与性质 1．若函数 y＝f(x)的定义域为 A，值域为 B，对于 B 中的每一个元素 y0，在 A 中都有唯一的元素 x0 与之对应， 则函数 y＝f(x)存在反函数，记为 y＝f－1(x)，且 y＝f－1(x) 的定义域、值域分别为 y＝f(x)的值域、定义域． 指 数 函 数 y ＝ ax(a>0 且 a≠1) 与 对 数 函 数 y ＝ logax(a>0 且 a≠1)互为反函数．
(2)logaMN＝ logaM－logaN ；
(3)logaNn＝ nlogaN ；
n (4)loga
N＝
1 nlogaN
.
(其中 M>0，N>0，a>0 且 a≠1，n∈N*)
2019/12/24
5．换底公式：logab＝llooggccba(c，a>0 且 c，a≠1，b>0)
由换底公式得：logab＝log1ba，loganbm＝
③a <a 1＋a
1＋1 a
；④a1＋a>a1＋1a
.其中成立的是(
)
A．①与③
B．①与④
C．②与③
D．②与④
2019/12/24
解析：由于 0<a<1⇒a<1a⇒1＋a<1＋1a，
∴loga(1＋
a)>loga(1＋1a)，
a1＋
>a a
1＋1a
.∴选
D.
答案：D
2019/12/24
(文)设 a>1，且 m＝loga(a2＋1)，n＝loga(a－1)，p