人教版高一数学对数函数教案
4.4.2对数函数图象及性质教学设计-2024-2025学年高一上学期数学人教A版2019必修一
4.4.2对数函数图象及性质（人教版）一、对数函数图象及性质1.学情分析（1）心理上：高一年级的学生已入校两个月，在学习情绪和学习态度上也相对稳定。
此时学生渴望知识和学习情绪也都很高涨，主动积极。
厌倦教师的单独说教，希望能创设自行思考探索的空间，给他们发表自己见解和表现才华的机会。
（2）知识上：学生已学习了一次函数、反比例函数、二次函数、幂函数、指数函数等初等函数，已对函数的相关概念、研究方法有了一定的了解和掌握，学生已经明白对数函数与指数函数的关系，可以通过类比的方法研究学习。
2.教材分析本节选自人教版高一数学必修第一册（2019A）4.4.2。
主要内容是学习对数函数的图象、性质及初步运用。
本节课是继学习指数函数后，学习的另一重要函数。
对数函数与指数函数有许多相似之处，教材通过类比的方法，利用探究指数函数的模式和方法设计探索对数函数图象与性质的过程。
让学生对建立和研究一个具体的函数的方法有较完整的认识，注重通过数形结合的方法研究函数的性质，深化由特殊到一般的转化思想，培养数学抽象等数学学科核心素养。
二、教学设计（一）教学课题：对数函数图象及性质（二）教学目标1.掌握对数函数图象及其性质；2.会利用对数函数的图象及性质，求对数函数的定义域，能解决实际问题;3.渗透类比应用意识，培养归纳思维和逻辑推理能力。
（三）教学重点与难点1.重点:对数函数的图象与性质；2.难点:对数函数的性质。
（四）学法与教法1.学法：通过类比指数函数图象及性质的研究过程，推导对数函数图象及性质；2.教法：启发式教学与讲授式教学相结合。
（五）选择媒体传统媒体与现代媒体相结合。
（六）课型与教学形式1.课型：综合型。
2.教学形式：启发式教学与讲授式教学相结合。
（七）教学流程1.复习旧知回顾对数函数的概念，指数函数图象与性质的研究方法。
【设计意图：通过已经讲述过的指数函数图象与性质的研究方法，让学生联系、类比已学知识，结合对数函数的概念，推导整理出对数函数的图象与性质，对一个函数的图象与性质研究过程有更深层次的理解，并能从其中观察到对数和指数函数的关系。
数学高中对数函数讲解教案
数学高中对数函数讲解教案
一、教学目标：
1. 了解对数函数的定义和性质；
2. 掌握对数函数的计算方法；
3. 掌握对数函数的图像和性质；
4. 能够解决对数函数相关的问题。
二、教学重点：
1. 对数函数的定义和性质；
2. 对数函数的计算方法；
3. 对数函数的图像和性质。
三、教学难点：
1. 对数函数的性质的证明；
2. 对数函数的应用问题的解题方法。
四、教学准备：
1. 教材《高中数学》对数函数章节内容；
2. 讲义和课件资料；
3. 板书工具和荧光笔；
4. 试卷和课后习题。
五、教学过程：
1. 导入：通过一个实际问题引入对数函数的概念；
2. 讲解对数函数的定义和性质；
3. 讲解对数函数的计算方法；
4. 讲解对数函数的图像和性质；
5. 练习：让学生进行一些对数函数计算和绘图练习；
6. 拓展：讲解对数函数的应用问题；
7. 总结：总结本节课的重点知识点。
六、课堂练习：
1. 计算题：计算log2(8)的值；
2. 应用题：若log3(x) = 2，求x的值；
3. 绘图题：画出y=log2(x)的图像。
七、作业布置：
1. 完成课堂练习题；
2. 作业册上的对数函数相关题目；
3. 阅读教材对数函数章节内容。
八、教学反馈：
1. 汇总学生的课堂答题情况；
2. 认真批改作业并给予指导意见；
3. 收集学生对本节课的反馈意见。
高一数学教案：对数函数2篇
高一数学教案：对数函数高一数学教案：对数函数精选2篇（一）教学目标：1. 了解对数函数的定义和性质。
2. 掌握对数函数的图像和性质。
3. 能够解决与对数函数相关的问题。
4. 培养学生的数学思维和解决问题的能力。
教学重点：1. 对数函数的定义和性质。
2. 对数函数的图像和性质。
教学难点：1. 对数函数的图像和性质。
2. 解决与对数函数相关的问题。
教学方法：1. 归纳法：通过观察和总结，引出对数函数的定义和性质。
2. 演绎法：通过例题分析，引导学生掌握对数函数的图像和性质。
3. 实例法：通过练习实例，训练学生解决与对数函数相关的问题的能力。
教学过程：Step 1：引入对数函数引导学生回顾指数函数的定义和性质，简要介绍对数函数与指数函数的关系。
Step 2：对数的定义通过观察指数运算的性质，引出对数运算的定义和性质。
例如：a^x = b 等价于 x = log_a bStep 3：对数函数的定义和性质介绍对数函数的定义和性质，包括：- 对数函数的定义：y = log_a x，其中 a > 0 且 a ≠ 1。
- 对数函数的性质：对数函数的定义域为 x > 0，值域为实数集，函数图像在直线 y = x 上，且经过点 (1, 0)。
Step 4：对数函数的图像通过例题和计算，了解对数函数的图像特点，包括：- 当 0 < a < 1 时，对数函数是递减函数，图像从正向下方弯曲。
- 当 a > 1 时，对数函数是递增函数，图像从负向上方弯曲。
- 当 a = 1 时，对数函数是常函数 y = 0。
Step 5：对数函数的性质通过例题和计算，掌握对数函数的性质，包括：- 对数函数与指数函数互为反函数，即 log_a(a^x) = x 和 a^(log_a x) = x。
- 对数函数的性质 log_a(x * y) = log_a x + log_a y，log_a(x / y) = log_a x - log_a y，log_a(x^n) = n * log_a x。
高一数学教案对数5篇
高一数学教案对数5篇高一数学教案对数1教学目标1.使学生掌握的概念，图象和性质.(1)能根据定义判断形如什么样的函数是，了解对底数的限制条件的合理性，明确的定义域.(2)能在基本性质的指导下，用列表描点法画出的图象，能从数形两方面认识的性质.(3)能利用的性质比较某些幂形数的大小，会利用的图象画出形如的图象.2.通过对的概念图象性质的学习，培养学生观察，分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法.3.通过对的研究，让学生认识到数学的应用价值，激发学生学习数学的兴趣.使学生善于从现实生活中数学的发现问题，解决问题.教学建议教材分析(1)是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，它是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它既是函数概念及性质的第一次应用，也是今后学习对数函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以应重点研究.(2)本节的教学重点是在理解定义的基础上掌握的图象和性质.难点是对底数在和时，函数值变化情况的区分.(3)是学生完全陌生的一类函数，对于这样的函数应怎样进行较为系统的理论研究是学生面临的重要问题，所以从的研究过程中得到相应的结论固然重要，但更为重要的是要了解系统研究一类函数的方法，所以在教学中要特别让学生去体会研究的方法，以便能将其迁移到其他函数的研究.教法建议(1)关于的定义按照课本上说法它是一种形式定义即解析式的特征必须是的样子，不能有一点差异，诸如，等都不是.(2)对底数的限制条件的理解与认识也是认识的重要内容.如果有可能尽量让学生自己去研究对底数，指数都有什么限制要求，教师再给予补充或用具体例子加以说明，因为对这个条件的认识不仅关系到对的认识及性质的分类讨论，还关系到后面学习对数函数中底数的认识，所以一定要真正了解它的由来.关于图象的绘制，虽然是用列表描点法，但在具体教学中应避免描点前的盲目列表计算，也应避免盲目的连点成线，要把表列在关键之处，要把点连在恰当之处，所以应在列表描点前先把函数的性质作一些简单的讨论，取得对要画图象的存在范围，大致特征，变化趋势的大概认识后，以此为指导再列表计算，描点得图象.高一数学教案对数2教学目标1.使学生了解反函数的概念;2.使学生会求一些简单函数的反函数;3.培养学生用辩证的观点观察、分析解决问题的能力。
高中数学对数函数教案(2篇)
高中数学对数函数教案（2篇）高中数学对数函数教案篇一教学目标1、在指数函数及反函数概念的根底上，使学生把握对数函数的概念，能正确描绘对数函数的图像，把握对数函数的性质，并初步应用性质解决简洁问题。
2、通过对数函数的学习，树立相互联系，相互转化的观点，渗透数形结合，分类争论的思想。
3、通过对数函数有关性质的讨论，培育学生观看，分析，归纳的思维力量，调动学生学习的积极性。
教学重点，难点重点是理解对数函数的定义，把握图像和性质。
难点是由对数函数与指数函数互为反函数的关系，利用指数函数图像和性质得到对数函数的图像和性质。
教学方法启发研讨式教学用具投影仪教学过程一。
引入新课今日我们一起再来讨论一种常见函数。
前面的几种函数都是以形式定义的方式给出的，今日我们将从反函数的角度介绍新的函数。
反函数的实质是讨论两个函数的关系，所以自然我们应从大家熟识的函数动身，再讨论其反函数。
这个熟识的函数就是指数函数。
提问：什么是指数函数？指数函数存在反函数吗？由学生说出是指数函数，它是存在反函数的。
并由一个学生口答求反函数的过程：由得。
又的值域为，所求反函数为。
那么我们今日就是讨论指数函数的反函数-----对数函数。
2.8对数函数（板书）一。
对数函数的概念1、定义：函数的反函数叫做对数函数。
由于定义就是从反函数角度给出的，所以下面我们的讨论就从这个角度动身。
如从定义中你能了解对数函数的什么性质吗？最初步的熟悉是什么？教师可提示学生从反函数的三定与三反去熟悉，从而找出对数函数的定义域为，对数函数的值域为，且底数就是指数函数中的，故有着一样的限制条件。
在此根底上，我们将一起来讨论对数函数的图像与性质。
二。
对数函数的图像与性质（板书）1、作图方法提问学生准备用什么方法来画函数图像？学生应能想到利用互为反函数的两个函数图像之间的关系，利用图像变换法画图。
同时教师也应指出用列表描点法也是可以的，让学生从中选出一种，最终确定用图像变换法画图。
高一数学对数函数教案5篇
高一数学对数函数教案5篇（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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对数函数教学设计（精选10篇）
对数函数教学设计对数函数教学设计（精选10篇）作为一名教学工作者，时常需要用到教学设计，教学设计是一个系统设计并实现学习目标的过程，它遵循学习效果最优的原则吗，是课件开发质量高低的关键所在。
我们该怎么去写教学设计呢？以下是小编为大家收集的对数函数教学设计，仅供参考，欢迎大家阅读。
对数函数教学设计篇1教学目标：使学生掌握对数形式复合函数的单调性的判断及证明方法，掌握对数形式复合函数的奇偶性的判断及证明方法，培养学生的数学应用意识；认识事物之间的内在联系及相互转化，用联系的观点分析问题、解决问题.教学重点：复合函数单调性、奇偶性的讨论方法.教学难点：复合函数单调性、奇偶性的讨论方法.教学过程：［例1］设loga23 ＜1，则实数a的取值范围是A.0＜a＜23B. 23 ＜a＜1C.0＜a＜23 或a＞1D.a＞23解：由loga23 ＜1＝logaa得(1)当0＜a＜1时，由y＝logax是减函数，得：0＜a＜23(2)当a＞1时，由y＝logax是增函数，得：a＞23 ，∴a＞1综合（1）(2)得：0＜a＜23 或a＞1 答案：C［例2］三个数60.7，0.76，log0.76的大小顺序是A.0.76＜log0.76＜60.7B.0.76＜60.7＜log0.76C.log0.76＜60.7＜0.76D.log0.76＜0.76＜60.7解：由于60.7＞1，0＜0.76＜1，log0.76＜0 答案：D［例3］设0＜x＜1，a＞0且a≠1，试比较|loga(1－x)|与|loga(1+x)|的大小解法一：作差法|loga(1－x)|－|loga(1+x)|＝| lg（1－x）lga |－| lg（1+x）lga | ＝1|lga| (|lg(1－x)|－|lg(1+x)|)∵0＜x＜1，∴0＜1－x＜1＜1+x∴上式＝－1|lga| [（lg(1－x)+lg(1+x)]＝－1|lga| lg(1－x2)由0＜x＜1，得lg(1－x2)＜0，∴－1|lga| lg(1－x2)＞0，∴|loga(1－x)|＞|loga(1+x)|解法二：作商法lg(1+x)lg(1－x) ＝|log(1－x)(1+x)|∵0＜x＜1 ∴0＜1－x＜1+x∴|log(1－x)(1+x)|＝－log(1－x)(1+x)＝log(1－x)11＋x由0＜x＜1 ∴1+x＞1，0＜1－x2＜1∴0＜(1－x)(1+x)＜1 ∴11＋x ＞1－x＞0∴0＜log(1－x) 11＋x ＜log(1－x)(1－x)＝1∴|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|解法三：平方后比较大小∵loga2（1－x）－loga2(1＋x)＝[loga(1－x)＋loga(1＋x)][loga （1－x）－loga(1＋x)]＝loga(1－x2)loga1－x1＋x ＝1|lg2a| lg(1－x2)lg1－x1＋x∵0＜x＜1，∴0＜1－x2＜1，0＜1－x1＋x ＜1∴lg(1－x2)＜0，lg1－x1＋x ＜0∴loga2(1－x)＞loga2(1+x)即|loga(1－x)|＞|loga(1+x)|解法四：分类讨论去掉绝对值当a＞1时，|loga（1－x）|－|loga(1+x)|＝－loga(1－x)－loga(1+x)＝－loga(1－x2)∵0＜1－x＜1＜1+x，∴0＜1－x2＜1∴loga(1－x2)＜0，∴－loga(1－x2)＞0当0＜a＜1时，由0＜x＜1，则有loga（1－x）＞0，loga(1+x)＜0∴|loga(1－x)|－|loga(1+x)|＝|loga(1－x)+loga(1+x)|＝loga(1－x2)＞0∴当a＞0且a≠1时，总有|loga（1－x）|＞|loga(1+x)|［例4］已知函数f(x)＝lg[（a2－1）x2＋(a＋1)x＋1]，若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围解：依题意(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1＞0对一切x∈R恒成立.当a2－1≠0时，其充要条件是：a2－1＞0△＝（a＋1）2－4（a2－1）＜0 解得a＜－1或a＞53 又a＝－1，f(x)＝0满足题意，a＝1不合题意.所以a的取值范围是：（－∞，－1]∪（53 ，+∞）［例5］已知f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，比较f(x)与g(x)的大小解：易知f(x)、g(x)的定义域均是：（0，1）∪（1，+∞）f(x)－g(x)＝1＋logx3－2logx2＝logx(34 x).①当x＞1时，若34 x＞1，则x＞43 ，这时f(x)＞g(x).若34 x＜1，则1＜x＜43 ，这时f(x)＜g(x)②当0＜x＜1时，0＜34 x＜1，logx34 x＞0，这时f(x)＞g(x)故由（1）、（2）可知：当x∈(0，1)∪（43 ，+∞）时，f(x)＞g(x)当x∈（1，43 ）时，f(x)＜g(x)［例6］解方程：2 (9x－1－5)＝ [4（3x－1－2）]解：原方程可化为(9x－1－5)＝ [4（3x－1－2）]∴9x－1－5＝4(3x－1－2) 即9x－1－43x－1+3＝0∴(3x－1－1)(3x－1－3)＝0 ∴3x－1＝1或3x－1＝3∴x＝1或x＝2 经检验x＝1是增根∴x＝2是原方程的根.［例7］解方程log2（2-x－1） (2-x+1－2)＝－2解：原方程可化为：log2（2-x－1）(－1)log2[2（2-x－1）]＝－2即：log2(2-x－1)[log2(2-x－1)＋1]＝2令t＝log2(2-x－1)，则t2＋t－2＝0解之得t＝－2或t＝1∴log2(2-x－1)＝－2或log2(2-x－1)＝1解之得：x＝－log254 或x＝－log23对数函数教学设计篇2一、说教材1、地位和作用本章学习是在学生完成函数的第一阶段学习（初中）的基础上，进行第二阶段的函数学习。
(高一数学教案)对数函数高中一年级教案
对数函数高中一班级教案教学目标1．把握对数函数的概念，图象和性质，且在把握性质的根底上能进行初步的应用．(1) 能在指数函数及反函数的概念的根底上理解对数函数的定义，了解对底数的要求，及对定义域的要求，能利用互为反函数的两个函数图象间的关系正确描绘对数函数的图象．(2) 能把握指数函数与对数函数的实质去争辩生疏对数函数的性质，初步学会用对数函数的性质解决简洁的问题．2．通过对数函数概念的学习，树立相互联系相互转化的观点，通过对数函数图象和性质的学习，渗透数形结合，分类争辩等思想，留意培育同学的观看，分析，归纳等规律思维力量．3．通过指数函数与对数函数在图象与性质上的比照，对同学进行对称美，简洁美等审美教育，调动同学学习数学的乐观性．教学建议教材分析(1) 对数函数又是函数中一类重要的根本初等函数，它是在同学已经学过对数与常用对数，反函数以及指数函数的根底上引入的．故是对上述学问的应用，也是对函数这一重要数学思想的进一步生疏与理解．对数函数的概念，图象与性质的学习使同学的学问体系更加完整，系统，同时又是对数和函数学问的拓展与延长．它是解决有关自然科学领域中实际问题的重要工具，是同学今后学习对数方程，对数不等式的根底．(2) 本节的教学重点是理解对数函数的定义，把握对数函数的图象性质．难点是利用指数函数的图象和性质得到对数函数的图象和性质．由于对数函数的概念是一个抽象的形式，同学不易理解，而且又是建立在指数与对数关系和反函数概念的根底上，故应成为教学的重点．(3) 本节课的主线是对数函数是指数函数的反函数，全部的问题都应围围着这条主线开放．而通过互为反函数的两个函数的关系由函数争辩未知函数的性质，这种方法是第一次使用，同学不适应，把握不住关键，所以应是本节课的难点．教法建议(1) 对数函数在引入时，就应从同学生疏的指数问题动身，通过对指数函数的生疏逐步转化为对对数函数的生疏，而且画对数函数图象时，既要考虑到对底数的分类争辩而且对每一类问题也可以多项选择几个不同的底，画在同一个坐标系内，便于观看图象的特征，找出共性，归纳性质．(2) 在本节课中结合对数函数教学的特点，肯定要让同学动手做，动脑想，大胆猜，要以同学的争辩为主，老师只是不断地反函数这条主线引导同学思考的方向．这样既增加了同学的参与意识又教给他们思考问题的方法，猎取学问的途径，使同学学有所思，思有所得，练有所获，，从而提高学习爱好．教学设计例如对数函数教学目标1. 在指数函数及反函数概念的根底上，使同学把握对数函数的概念，能正确描绘对数函数的图像，把握对数函数的性质，并初步应用性质解决简洁问题．2. 通过对数函数的学习，树立相互联系，相互转化的观点，渗透数形结合，分类争辩的思想．3. 通过对数函数有关性质的争辩，培育同学观看，分析，归纳的思维力量，调动同学学习的乐观性．教学重点，难点重点是理解对数函数的定义，把握图像和性质．难点是由对数函数与指数函数互为反函数的关系，利用指数函数图像和性质得到对数函数的图像和性质．教学方法启发研讨式教学用具投影仪教学过程一. 引入新课今日我们一起再来争辩一种常见函数．前面的几种函数都是以形式定义的方式给出的，今日我们将从反函数的角度介绍新的函数．反函数的实质是争辩两个函数的关系，所以自然我们应从大家生疏的函数动身，再争辩其反函数．这个生疏的函数就是指数函数．提问：什么是指数函数指数函数存在反函数吗由同学说出是指数函数，它是存在反函数的．并由一个同学口答求反函数的过程：由得．又的值域为，所求反函数为．那么我们今日就是争辩指数函数的反函数-----对数函数．2．8对数函数(板书)一. 对数函数的概念1. 定义：函数的反函数叫做对数函数．由于定义就是从反函数角度给出的，所以下面我们的争辩就从这个角度动身．如从定义中你能了解对数函数的什么性质吗最初步的生疏是什么老师可提示同学从反函数的三定与三反去生疏，从而找出对数函数的定义域为。
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有关高一数学对数函数的概念以及一些常见的解题方法和延伸，基本的知识点及简单的例题，希望对高中生们有帮助。
1对数的概念如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab=N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：logaN=b,其中a叫做对数的底数，N叫做真数.由定义知：①负数和零没有对数;②a>0且a≠1,N>0;③loga1=0,logaa=1,alogaN=N,logaab=b.特别地，以10为底的对数叫常用对数，记作log10N,简记为lgN；以无理数e(e=2.718 28…)为底的对数叫做自然对数，记作logeN，简记为lnN.2对数式与指数式的互化式子名称abN指数式ab=N(底数)(指数)(幂值)对数式logaN=b(底数)(对数)(真数)3对数的运算性质如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那么(1)loga(MN)=logaM+logaN.(2)logaM/N=logaM-logaN.(3)logaM^n=nlogaM (n∈R).问：①公式中为什么要加条件a>0,a≠1，M>0,N>0?②logaan=? (n∈R)③对数式与指数式的比较.(学生填表)式子ab=NlogaN=b名称a—幂的底数b—N—a—对数的底数b—N—运算性质am·an=am+nam÷an=(am)n=(a>0且a≠1,n∈R)logaMN=logaM+logaNlogaMN=logaMn=(n∈R)(a>0,a≠1,M>0,N>0)难点疑点突破对数定义中，为什么要规定a＞0,，且a≠1?理由如下：①若a＜0，则N的某些值不存在，例如log-28②若a=0，则N≠0时b不存在；N=0时b不惟一，可以为任何正数③若a=1时，则N≠1时b不存在；N=1时b也不惟一，可以为任何正数为了避免上述各种情况，所以规定对数式的底是一个不等于1的正数解题方法技巧1(1)将下列指数式写成对数式：①54=625；②2-6=164；③3x=27；④13m=573.（2）将下列对数式写成指数式：①log1216=-4；②log2128=7；③log327=x；④lg0.01=-2；⑤ln10=2.303；⑥lgπ=k.解析由对数定义：ab=N logaN=b.解答(1)①log5625=4.②log2164=-6.③log327=x.④log135.73=m.解题方法指数式与对数式的互化，必须并且只需紧紧抓住对数的定义：ab=N logaN=b.(2)①12-4=16.②27=128.③3x=27.④10-2=0.01.⑤e2.303=10.⑥10k=π.2根据下列条件分别求x的值：(1)log8x=-23；(2)log2(log5x)=0；(3)logx27=31+log32；(4)logx(2+3)=-1.解析(1)对数式化指数式，得：x=8-23=?(2)log5x=20=1. x=?(3)31+log32=3×3log32=?27=x?(4)2+3=x-1=1x. x=?解答(1)x=8-23=(23)-23=2-2=14.(2)log5x=20=1，x=51=5.(3)logx27=3×3log32=3×2=6，∴x6=27=33=(3)6,故x=3.(4)2+3=x-1=1x,∴x=12+3=2-3.解题技巧①转化的思想是一个重要的数学思想，对数式与指数式有着密切的关系，在解决有关问题时，经常进行着两种形式的相互转化.②熟练应用公式：loga1=0,logaa=1,alogaM=M,logaan=n.3已知logax=4,logay=5，求A=〔x·3x-1y2〕12的值.解析思路一，已知对数式的值，要求指数式的值，可将对数式转化为指数式，再利用指数式的运算求值；思路二，对指数式的两边取同底的对数，再利用对数式的运算求值解答解法一∵logax=4,logay=5,∴x=a4,y=a5,∴A=x512y-13=(a4)512(a5)-13=a53·a-53=a0=1.解法二对所求指数式两边取以a为底的对数得logaA=loga(x512y-13)=512logax-13logay=512×4-13×5=0,∴A=1.解题技巧有时对数运算比指数运算来得方便，因此以指数形式出现的式子，可利用取对数的方法，把指数运算转化为对数运算.4设x,y均为正数，且x·y1+lgx=1(x≠110),求lg(xy)的取值范围.解析一个等式中含两个变量x、y，对每一个确定的正数x由等式都有惟一的正数y与之对应，故y是x的函数，从而lg(xy)也是x的函数.因此求lg(xy)的取值范围实际上是一个求函数值域的问题，怎样才能建立这种函数关系呢?能否对已知的等式两边也取对数?解答∵x>0,y>0,x·y1+lgx=1,两边取对数得：lgx+(1+lgx)lgy=0.即lgy=-lgx1+lgx(x≠110,lgx≠-1).令lgx=t, 则lgy=-t1+t(t≠-1).∴lg(xy)=lgx+lgy=t-t1+t=t21+t.解题规律对一个等式两边取对数是解决含有指数式和对数式问题的常用的有效方法；而变量替换可把较复杂问题转化为较简单的问题.设S=t21+t,得关于t的方程t2-St-S=0有实数解.∴Δ=S2+4S≥0，解得S≤-4或S≥0,故lg(xy)的取值范围是(-∞,-4〕∪〔0,+∞).5求值：(1)lg25+lg2·lg50+(lg2)2；(2)2log32-log3329+log38-52log53；(3)设lga+lgb=2lg(a-2b)，求log2a-log2b的值;(4)求7lg20·12lg0.7的值.解析(1)25=52,50=5×10.都化成lg2与lg5的关系式.(2)转化为log32的关系式.(3)所求log2a-log2b=log2ab由已知等式给出了a,b之间的关系，能否从中求出ab的值呢?(4)7lg20·12lg0.7是两个指数幂的乘积，且指数含常用对数，设x=7lg20·12lg0.7能否先求出lgx，再求x?解答(1)原式=lg52+lg2·lg(10×5)+(lg2)2=2lg5+lg2·(1+lg5)+(lg2)2=lg5·(2+lg2)+lg2+(lg2)2=lg102·(2+lg2)+lg2+(lg2)2=(1-lg2)(2+lg2)+lg2+(lg2)2=2-lg2-(lg2)2+lg2+(lg2)2=2.(2)原式=2log32-(log325-log332)+log323-5log59=2log32-5log32+2+3log32-9=-7.(3)由已知lgab=lg(a-2b)2 (a-2b>0),∴ab=(a-2b)2, 即a2-5ab+4b2=0.∴ab=1或ab=4，这里a>0,b>0.若ab=1，则a-2b<0, ∴ab=1（舍去）.∴ab=4,∴log2a-log2b=log2ab=log24=2.(4)设x=7lg20·12lg0.7,则lgx=lg20×lg7+lg0.7×lg12=(1+lg2)·lg7+(lg7-1)·(-lg2)=lg7+lg2=14,∴x=14, 故原式=14.解题规律①对数的运算法则是进行同底的对数运算的依据，对数的运算法则是等式两边都有意义的恒等式，运用法则进行对数变形时要注意对数的真数的范围是否改变，为防止增根所以需要检验，如(3).②对一个式子先求它的常用对数值，再求原式的值是代数运算中常用的方法，如(4).6证明(1)logaN=logcNlogca(a>0,a≠1,c>0,c≠1,N>0)；(2)logab·logbc=logac；(3)logab=1logba(b>0,b≠1)；(4)loganbm=mnlogab.解析(1)设logaN=b得ab=N,两边取以c为底的对数求出b就可能得证.(2)中logbc能否也换成以a为底的对数.(3)应用(1)将logab换成以b为底的对数.(4)应用(1)将loganbm换成以a为底的对数.解答(1)设logaN=b，则ab=N,两边取以c为底的对数得：b·logca=logcN,∴b=logcNlogca.∴logaN=logcNlogca.(2)由(1)logbc=logaclogab.所以logab·logbc=logab·logaclogab=logac.(3)由(1)logab=logbblogba=1logba.解题规律(1)中logaN=logcNlogca叫做对数换底公式，(2)(3)(4)是(1)的推论，它们在对数运算和含对数的等式证明中经常应用. 对于对数的换底公式，既要善于正用，也要善于逆用.(4)由(1)loganbm=logabmlogaan=mlogabnlogaa= mnlogab.7已知log67=a,3b=4,求log127.解析依题意a,b是常数，求log127就是要用a,b表示log127，又3b=4即log34=b，能否将log127转化为以6为底的对数，进而转化为以3为底呢?解答已知log67=a,log34=b,∴log127=log67log612=a1+log62.又log62=log32log36=log321+log32,由log34=b,得2log32=b.∴log32=b2,∴log62=b21+b2=b2+b.∴log127=a1+b2+b=a(2+b)2+2b.解题技巧利用已知条件求对数的值，一般运用换底公式和对数运算法则，把对数用已知条件表示出来，这是常用的方法技巧8已知x,y,z∈R+，且3x=4y=6z.(1)求满足2x=py的p值；(2)求与p最接近的整数值；(3)求证：12y=1z-1x.解析已知条件中给出了指数幂的连等式，能否引进中间量m，再用m分别表示x,y,z?又想，对于指数式能否用对数的方法去解答?解答（1）解法一3x=4y log33x=log34y x=ylog342x=2ylog34=ylog316,∴p=log316.解法二设3x=4y=m,取对数得：x·lg3=lgm，ylg4=lgm,∴x=lgmlg3,y=lgmlg4,2x=2lgmlg3,py=plgmlg4.由2y=py, 得2lgmlg3=plgmlg4,∴p=2lg4lg3=lg42lg3=log316.(2)∵2=log39<log316<log327=3,∴2<p<3.又3-p=log327-log316=log32716,p-2=log316-log39=log3169,而2716<169,∴log32716<log3169,∴p-2>3-p.∴与p最接近的整数是3.解题思想①提倡一题多解.不同的思路，不同的方法，应用了不同的知识或者是相同知识的灵活运用，既发散了思维，又提高了分析问题和解决问题的能力，何乐而不为呢?②(2)中涉及比较两个对数的大小.这是同底的两个对数比大小.因为底3>1，所以真数大的对数就大，问题转化为比较两个真数的大小，这里超前应用了对数函数的单调性，以鼓励学生超前学习，自觉学习的学习积极性.(3)解法一令3x=4y=6z=m,由于x，y，z∈R+，∴k>1，则x=lgmlg3,y=lgmlg4,z=lgmlg6,所以1z-1x=lg6lgm-lg3lgm=lg6-lg3lgm=lg2lgm，12y=12·lg4lgm=lg2lgm，故12y=1z-1x.解法二3x=4y=6z=m，则有3=m1x①,4=m1y②，6=m1z③，③÷①，得m1z-1x=63=2=m12y.∴1z-1x=12y.9已知正数a,b满足a2+b2=7ab.求证：logma+b3=12(logma+logmb)(m>0且m≠1).解析已知a>0,b>0,a2+b2=7ab.求证式中真数都只含a,b的一次式，想：能否将真数中的一次式也转化为二次，进而应用a2+b2=7ab?解答logma+b3=logm(a+b3)212=解题技巧①将a+b3向二次转化以利于应用a2+b2=7ab是技巧之一.②应用a2+b2=7ab将真数的和式转化为ab的乘积式，以便于应用对数运算性质是技巧之二.12logma+b32=12logma2+b2+2ab9.∵a2+b2=7ab,∴logma+b3=12logm7ab+2ab9=12logmab=12(logma+logmb),即logma+b3=12(logma+logmb).思维拓展发散1数学兴趣小组专门研究了科学记数法与常用对数间的关系.设真数N=a×10n.其中N>0,1≤a<10,n∈Z.这就是用科学记数法表示真数N.其科学性体现在哪里?我们只要研究数N的常用对数，就能揭示其中的奥秘.解析由已知，对N=a×10n取常用对数得，lgN=n+lga.真数与对数有何联系?解答lgN=lg(a×10n)=n+lga.n∈Z,1≤a<10，∴lga∈〔0,1).我们把整数n叫做N的常用对数的首数，把lga叫做N的常用对数的尾数，它是正的纯小数或0.小结：①lgN的首数就是N中10n的指数，尾数就是lga,0≤lga<1;②有效数字相同的不同正数它们的常用对数的尾数相同，只是首数不同；③当N≥1时，lgN的首数n比它的整数位数少1，当N∈(0，1)时，lgN的首数n是负整数，|n|-1与N的小数点后第一个不是0的有效数字前的零的个数相同.师生互动什么叫做科学记数法？N>0,lgN的首数和尾数与a×10n有什么联系？有效数字相同的不同正数其常用对数的什么相同？什么不同？2若lgx的首数比lg1x的首数大9，lgx的尾数比lg1x的尾数小0380 4，且lg0.203 4=1.308 3,求lgx,x,lg1x的值.解析①lg0.203 4=1308 3,即lg0.203 4=1+0.308 3，1是对数的首数，0.308 3是对数的尾数，是正的纯小数；②若设lgx=n+lga，则lg1x也可表出.解答设lgx=n+lga,依题意lg1x=(n-9)+(lga+0.380 4).又lg1x=-lgx=-(n+lga),∴(n-9)+(lga+0380 4)=-n-lga，其中n-9是首数，lga+0380 4是尾数，-n-lga=-(n+1)+(1-lga),-(n+1)是首数1-lga是尾数，所以：n-9=-(n+1)lga+0.380 4=1-lga n=4,lga=0.308 3.∴lgx=4+0.308 3=4.308 3,∵lg0.203 4=1.308 3,∴x=2.034×104.∴lg1x=-(4+0.308 3)=5.691 7.解题规律把lgx的首数和尾数，lg1x的首数和尾数都看成未知数，根据题目的等量关系列方程.再由同一对数的首数等于首数，尾数等于尾数，求出未知数的值，是解决这类问题的常用方法.3 计算：(1)log2-3(2+3)+log6(2+3+2-3);(2)2lg(lga100)2+lg(lga).解析(1)中.2+3与2-3有何关系?2+3+2-3双重根号，如何化简?(2)中分母已无法化简，分子能化简吗?解题方法认真审题、理解题意、抓住特点、找出明确的解题思路和方法，不要被表面的繁、难所吓倒.解答(1)原式=log2-3(2-3）-1+12log6(2+3+2-3)2=-1+12log6(4+22+3·2-3)=-1+12log66=-12.(2)原式=2lg(100lga)2+lg(lga)=2〔lg100+lg(lga)〕2+lg(lga)=2〔2+lg(lga)〕2+lg(lga)=2.4已知log2x=log3y=log5z<0,比较x,3y,5z的大小.解析已知是对数等式，要比较大小的是根式，根式能转化成指数幂，所以，对数等式应设法转化为指数式.解答设log2x=log3y=log5z=m<0.则x=2m,y=3m,z=5m.x=(2)m,3y=(33)m,5z=(55)m.下面只需比较2与33,55的大小：(2)6=23=8,(33)6=32=9，所以2<33.又(2)10=25=32,(55)10=52=25,∴2>55.∴55<2<33. 又m<0,图2-7-1考查指数函数y=(2)x,y=(33)x,y=(55)x在第二象限的图像，如图2-7-1解题规律①转化的思想是一个重要的数学思想，对数与指数有着密切的关系，在解决有关问题时要充分注意这种关系及对数式与指数式的相互转化.②比较指数相同，底不同的指数幂(底大于0)的大小，要应用多个指数函数在同一坐标系中第一象限(指数大于0)或第二象限(指数小于0)的性质进行比较①是y=(55)x,②是y=(2)x,③是y=(33)x.指数m<0时，图像在第二象限从下到上，底从大到小.所以(33)m<(2)m<(55)m,故3y<x<5z.潜能挑战测试1(1)将下列指数式化为对数式:①73=343;②14-2=16;③e-5=m.(2)将下列对数式化为指数式：①log128=-3;②lg10000=4;③ln3.5=p.2计算：(1)24+log23;(2)2723-log32;(3)2513log527+2log52.3(1)已知lg2=0.301 0，lg3=0.477 1，求lg45;(2)若lg3.127=a，求lg0.031 27.4已知a≠0,则下列各式中与log2a2总相等的是()A若logx+1(x+1)=1 ,则x的取值范围是()A已知ab=M(a>0,b>0,M≠1),且logMb=x，则logMa的值为()A若log63=0.673 1，log6x=-0.326 9, 则x为()A若log5〔log3(log2x)〕=0，则x=.98log87·log76·log65=.10如果方程lg2x+(lg2+lg3)lgx+lg2·lg3=0的两根为x1、x2,那么x1·x2的值为.11生态学指出：生物系统中，每输入一个营养级的能量，大约只有10%的能量流到下一个营养级.H1→H2→H3→H4→H5→H6这条生物链中(Hn表示第n个营养级，n=1，2，3，4，5，6).已知对H1输入了106千焦的能量，问第几个营养级能获得100千焦的能量?12已知x，y，z∈R+且3x=4y=6z，比较3x，4y，6z的大小.13已知a,b均为不等于1的正数，且axby=aybx=1，求证x2=y2.14已知2a·5b=2c·5d=10，证明(a-1)(d-1)=(b-1)(c-1).15设集合M=｛x|lg〔ax2-2(a+1)x-1〕>0｝，若M≠，M｛x|x<0｝，求实数a的取值范围.16在张江高科技园区的上海超级计算中心内，被称为“神威Ⅰ”的计算机运算速度为每秒钟384 000 000 000次.用科学记数法表示这个数为N=,若已知lg3.840=0.584 3,则lgN=.17某工厂引进新的生产设备，预计产品的生产成本比上一年降低10%，试问经过几年，生产成本降低为原来的40%?(lg2=0.3, lg3=0.48)18某厂为适应改革开放，完善管理机制，满足市场需求，某种产品每季度平均比上一季度增长10.4%，那么经过y季度增长到原来的x倍，则函数y=f(x)的解析式f(x)=.名师助你成长1.(1)①log7343=3.②log1416=-2.③lnm=-5.(2)①12-3=8.②104=10 000.③ep=3.5.2.(1)48点拨：先应用积的乘方，再用对数恒等式.(2)98点拨：应用商的乘方和对数恒等式.(3)144点拨：应用对数运算性质和积的乘方.3.(1)0.826 6点拨：lg45=12lg45=12lg902=12(lg32+lg10-lg2).(2)lg0.031 27=lg(3.127×10-2)=-2+lg3.127=-2+a4.C点拨：a≠0,a可能是负数，应用对数运算性质要注意对数都有意义.5.B点拨：底x+1>0且x+1≠1;真数x+1>0.6.A点拨：对ab=M取以M为底的对数.7.C点拨：注意0.673 1+0.326 9=1,log61x=0.326 9，所以log63+log61x=log63x=1.∴3x=6, x=12.8.x=8点拨：由外向内.log3(log2x)=1, log2x=3, x=23.9.5点拨：log87·log76·log65=log85, 8log85=5.10.16点拨：关于lgx的一元二次方程的两根是lgx1,lgx2.由lgx1=-lg2,lgx2=-lg3，得x1=12,x2=13.11.设第n个营养级能获得100千焦的能量，依题意:106·10100n-1=100,化简得:107-n=102,利用同底幂相等，得7-n=2,或者两边取常用对数也得7-n=2.∴n=5,即第5个营养级能获能量100千焦.12设3x=4y=6z=k,因为x，y，z∈R+，所以k>1.取以k为底的对数，得：x=1logk3,y=1logk4,z=1logk6.∴3x=3logk3=113logk3=1logk33,同理得：4y=1logk44,6z=1logk66.而33=1281,44=1264,66=1236,∴logk33>logk44>logk66.又k>1,33>44>66>1,∴logk33>logk44>logk66>0,∴3x<4y<6z.13.∵axby=aybx=1,∴lg(axby)=lg(aybx)=0,即xlga+ylgb=ylga+xlgb=0.(※)两式相加,得x(lga+lgb)+y(lga+lgb)=0.即(lga+lgb)(x+y)=0.∴lga+lgb=0 或x+y=0.当lga+lgb=0时,代入xlga+ylgb=0,得:(x-y)lga=0, a是不为1的正数lga≠0,∴x-y=0.∴x+y=0或x-y=0,∴x2=y2.14.∵2a5b=10,∴2a-1=51-b.两边取以2为底的对数,得：a-1=(1-b)log25.∴log25=a-11-b(b≠1). 同理得log25=c-11-d(d≠1).即b≠1,d≠1时,a-11-b=c-11-d.∴(a-1)(1-d)=(c-1)(1-b),∴(a-1)(d-1)=(b-1)(c-1).当b=1,c=1时显然成立.15.设lg〔ax2-2(a+1)x-1〕=t (t>0),则ax2-2(a+1)x-1=10t(t>0).∴10t>1 ,ax2-2(a+1)x-1>1,∴ax2-2(a+1)x-2>0.①当a=0时,解集｛x|x<-1｝｛x|x<0｝;当a≠0时,M≠且M｛x|x<0｝.∴方程ax2-2(a+1)x-2=0 必有两不等实根，设为x1,x2且x1<x2，则②当a>0时,M=｛x|x<x1，或x>x2｝,显然不是｛x|x<0｝的子集；③当a<0时，M=｛x|x1<x<x2｝只要：a<0，Δ=4(a+1)2+8a>0，x1+x2=2(a+1)a<0，x1·x2=-2a>0.解得3-2<a<0，综上所求，a的取值范围是：3-2<a≤0.16.N=3.840×1011, lgN=11.584 3.17.设经过x年，成本降为原来的40%.则(1-10%)x=40%,两边取常用对数，得：x·lg(1-10%)=lg40% ，即x=lg0.4lg0.9=lg4-1lg9-1=2lg2-12lg3-1=10.所以经过10年成本降低为原来的40%.18.f(x)=log1.104x〔或f(x)=lgxlg1.104〕.点拨：设原来一个季度产品为a，则a(1+10.4%)y=xa,∴y=log1.104x.。