2020-2021学年上海市南洋模范中学高一上学期期中数学试题(解析版)

2020-2021学年上海市南洋模范中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知12120a a b b ≠，陈述句P ：关于x 的一次不等式110a x b +>与220a x b +>有相同的解集；陈述句Q ：“1122a b a b =”；则P 是Q 的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 【答案】A【分析】本题首先可根据12120a a b b ≠得出10a ≠、20a ≠、10b ≠以及20b ≠，然后判断“不等式110a x b +>与220a x b +>有相同的解集”能否证明“1122a b a b =”以及“1122a b a b =”能否证明“不等式110a x b +>与220a x b +>有相同的解集”，即可得出结果. 【详解】因为12120a a b b ≠，所以10a ≠，20a ≠，10b ≠，20b ≠， 若不等式110a x b +>与220a x b +>有相同的解集，则1a 与2a 同号且1212b b a a -=-， 故不等式110a x b +>与220a x b +>有相同的解集可以证得1122a b a b =，P 是Q 的充分条件，因为1122a b a b =无法说明1a 与2a 同号， 所以1122a b a b =无法证得不等式110a x b +>与220a x b +>有相同的解集，P 不是Q 的必要条件,综上所述，P 是Q 的充分非必要条件， 故选：A.【点睛】本题考查充分条件以及必要条件的判定，给出命题若P 则Q ，如果P 可证明Q ，则说明P 是Q 的充分条件，如果Q 可证明P ，则说明P 是Q 的必要条件，考查推理能力，是中档题.2．设lg 2,lg3a b ==，则12log 25的值是（ ） A ．1aa b-+ B ．1aa b-- C ．222aa b-+D ．222aa b-+ 【答案】D【分析】根据对数的运算公式，准确运算，即可求解. 【详解】由对数的运算公式，可得()1221lg 2lg 252lg 522log 25lg122lg 2lg 32lg 2lg 32a a b--====+++. 故选：D.3．若a ，b 为非零实数，则以下不等式：①222a b ab +≥；②222()42a b a b ++≤；③2a b ab a b+≥+；④ 2b aa b +≥.其中恒成立的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【分析】①②由基本不等式可得到结果，③④举反例可得结论不成立. 【详解】解：对于①，由重要不等式222a b ab +≥可知①正确；对于②，()2222224a b a b ++=()()222222244a b a b ab ab +++++=≥22()42a b a b ++⎛⎫== ⎪⎝⎭，故②正确；对于③，当1a b ==-时，不等式的左边为12a b +=-，右边为12ab a b =-+，可知③不正确；对于④，令1,1a b ==-可知④不正确． 故恒成立的个数为2个. 故选：C.4．已知()()()()22221234()4444f x x x c xx c x x c x x c =-+-+-+-+，集合{}{}127()0,,,M x f x x x x Z ===⋯⊆，且1234c c c c ≤≤≤，则41c c -不可能的值是（ ） A ．4 B ．9 C ．16 D ．64【答案】A【分析】先设,i i x y 是方程204i x x c -+=()1,2,3,4i =的根，4,i i i i i x y x y c +=⋅=，再依题意分析根均为整数，列举根的所有情况，确定44c =和1c 的可能情况，得到41c c -的最小取值和其他可能的情况，即得结果.【详解】设,i i x y 是方程204i x x c -+=()1,2,3,4i =的根，则由根和系数的关系知4,i i i i i x y x y c +=⋅=，又{}{}127()0,,,M x f x x x x Z ===⋯⊆，说明方程204i x x c -+=()1,2,3,4i =有一个方程是两个相等的根，其他三个方程是两个不同的根，由于根均为整数且和为4，则方程的根有以下这些情况：…，()()()()()()()()()6,105,9,4,8,3,7,2,6,1,5,0,4,1,3,2,2------，乘积分别为…，-60，-45，-32，-21，-12，-5，0，3，4.因为1234c c c c ≤≤≤，故44c =，123,,c c c 来自于4前面的任意可能三个不同的数字，1c 最小，故当15c =时41c c -最小，等于9，故不可能取4，能取9；当112c =-或160c =-时41c c -可以取16，64. 故选：A.【点睛】本题解题关键是能依据题意分析方程204i x x c -+=()1,2,3,4i =的根的可能情况，既是整数又满足和为4，判断44c =，再根据1c 的可能情况，确定41c c -的可能结果，以突破难点.二、填空题5．集合{}2020M x R x =∈≤，有下列四个式子：①M π∈；②{}M π⊂；③M π⊂；④{}M π∈，其中正确的是_____（填序号） 【答案】①②【分析】利用元素与集合、集合与集合之间的关系符号表示即可求解. 【详解】由{}2020M x R x =∈≤，①M π∈，正确； ②{}M π⊂，正确；故答案为：①②60)a>化为有理数指数幂的形式为_________.【答案】12a-【分析】根据根式与分数指数幂的互化即可求解.121111333222111aaa a a-====⎛⎫⎛⎫⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故答案为：12a-7．陈述句“1x>或1y>”的否定形式是________.【答案】1x≤且1y≤.【分析】含有“或”联结词的否定是“且”.【详解】解：1x>或1y>的否定是：1x≤且1y≤.故答案为：1x≤且1y≤.8．若01,0a s<<<，则s a_____1（填符号“>，≥，<，≤，”）.【答案】>【分析】利用指数函数的单调性即可求解.【详解】xy a=，01a<<，则函数为减函数，由0s<，则01sa a>=.所以1sa>.故答案为：>9．已知集合{}2{,},2,2A x yB x x==，且A B=，则集合A=_____.【答案】1,12⎧⎫⎨⎬⎩⎭【分析】根据A B=，分类讨论，结合集合中元素的互异性，即可求解. 【详解】由题意，集合{}2{,},2,2A x yB x x==，且A B=，若2x x=，可得0x=，此时集合B不满足集合中元素的互异性，（舍去）；若22x x=，可得12x=或0x=（舍去），当12x =时，可得2121,22x x ==，即1,12A B ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭.故答案为：1,12⎧⎫⎨⎬⎩⎭.10．已知集合{}210P x x =-≤≤，非空．．集合{}11S x m x m =-≤≤+，若x P ∈是x S ∈的必要条件，则实数m 的取值范围为______．【答案】[]0,3【分析】由x P ∈是x S ∈的必要条件，得S P ⊆，进一步转化为两集合端点值间的关系求解即可.【详解】∵{}210P x x =-≤≤，非空集合{}11S x m x m =-≤≤+， 若x P ∈是x S ∈的必要条件，则S P ⊆，∴111?2110m m m m -≤+⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，解得03m ≤≤， ∴m 的取值范围是[]0,3， 故答案为：[]0,3.【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等； （4）p 是q 的既不充分又不必要条件，q 对的集合与p 对应集合互不包含．11．关于x 的不等式|2|6x a a -+<的解集是(1,3)-，则实数a =_____. 【答案】2【分析】先根据绝对值不等式的解法得出不等式的解集为(3,3)a -与已知解集比较可得31a -=-，即可求解.【详解】由|2|6x a a -+<可得626a x a a -<-<-， 解得：33a x -<< ，因为不等式|2|6x a a -+<的解集是(1,3)-， 所以31a -=-，解得：2a = 故答案为：212．直角三角形的周长等于2，则这个直角三角形面积的最大值为_____．【答案】3-【分析】设直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边为c ，因为L a b c =++，c =两次运用均值不等式即可求解．【详解】设直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边为c ，面积为s ，周长L ＝2，由于a b L +=≥a ＝b 时取等号）≤．∴(2222L 1113S ab ?L 322224⎡⎤--⎢⎥=≤===-⎢⎥⎣⎦故答案为3-【点睛】本题考查了利用均值不等式解决最值问题，列出有关量的函数关系式或方程式是均值不等式求解或转化的关键，属于基础题. 13．若实数a ，b ，m 满足227a b m ==，且112a b+=，则m 的值为______.【答案】【分析】227a b m ==，可以根据指对互化，求出271log ,log 2a mb m ∴==再代入到112a b+=中，我们就能得到一个关于m 的方程，这样就能求出m 的值. 【详解】由条件可知：2270a b m ==>，271log ,log 2a mb m ∴==， 2712log 22log 7log 982log log m m m m m+=+==，所以298m =，即m =故答案为：14．已知正数x ，y 满足49x y xy +=且224x y m m +<-有解，则实数m 的取值范围是______.【答案】(,1)(25,)-∞-⋃+∞【分析】不等式224x y m m +<-有解，即()2min 24x y m m +<-，巧用均值不等式求最值即可. 【详解】由已知得：491y x+=，4949()()131325x y x y x y y x y x +=++=++≥=，当且仅当15,10x y ==时取等号； 由题意：()2min 24x y m m +<-，即22425m m ->， 解得：1m <-或25m >， 故答案为：(,1)(25,)-∞-⋃+∞.【点睛】方法点睛：在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.15．等式()2(3)0ax x b +-≤对(,0)x ∈-∞恒成立，其中,a b Z ∈，则a b +=______. 【答案】10或4【分析】对b 分类讨论，当0b ≤时，由()2(3)0ax x b +-≤得到30ax +<，由一次函数的图象可知不存在；当0b >时，由()2(3)0ax x b +-≤，利用数形结合的思想得出,a b 的整数解.【详解】当0b ≤时，由()2(3)0ax x b +-≤得到30ax +<在(,0)x ∈-∞恒成立， 则a 不存在；当0b >时，由()2(3)0ax x b +-≤， 可得()3f x ax =+，()2g x x b =-，又()g x 的大致图象可知：3a b a>⎧⎪⎨=⎪⎩，再由,a b Z ∈，得到19a b =⎧⎨=⎩或31a b =⎧⎨=⎩， 所以a b +=10或4. 故答案为：10或4.【点睛】关键点点睛：本题考查了不等式恒成立求参数值，解题的关键是利用数形结合求出满足的关系式03a b a>⎧⎪⎨=⎪⎩ 分类讨论的思想.16．已知实数a b c >>，且满足：2221,3a b c a b c ++=++=，则s b c =+的取值范围是______.【答案】2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】根据题意可得1+=-b c a ，()2223b c bc a +-=-，从而可得21bc a a =--，将,b c 看为一元二次方程的根，利用0∆>求出a 的范围，再利用反证法求出1a >，即可求解.【详解】由已知可得1+=-b c a ，()2223b c bc a +-=-， 即21bc a a =--，因此，以,b c 为根的方程为()22110x a x a a +-+--=，()()221410a a a ∴∆=---->，解得513a -<<， 故23b c +>-， 同理可得513b -<<，513c -<<， 下面精确a 的下限，假设1a ≤，由a b c >>，由1b a -<<<，1c a -<<<， 所以21a ≤，21b <，21c <， 因此2223a b c ++<，矛盾，故1a >， 所以10b c a +=-< 综上，203b c -<+<， 故答案为：2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：本题考查了不等式的性质、一元二次不等式的解法，解题的关键是求出a 的取值范围，考查了转化能力、运算能力.三、解答题17．已知集合{}2320A x x x =-+=，{}210B x x ax a =-+-=，{}222(1)50C x x m x m =+++-=.（1）若A B A ⋃=，求实数a 的值； （2）若AC C =，求实数m 的取值范围.【答案】（1）2a =或3；（2）(,3]-∞-.【分析】（1）先求解出方程2320x x -+=的根，则集合A 可知，再求解出210x ax a -+-=的根，则可确定出集合B ，根据A B A ⋃=得到B A ⊆，从而可求解出1a -的可取值，则a 的值可求； （2）根据AC C =得到C A ⊆，分别考虑当C 为空集、单元素集、双元素集的情况，由此确定出a 的取值.【详解】（1）由2320x x -+=得1x =或2，所以{1,2}A =， 由210x ax a -+-=得1x =或1a -，所以1,1B a B ∈-∈， 因为A B A ⋃=，所以B A ⊆，所以11a -=或2，所以2a =或3； （2）因为AC C =，所以C A ⊆，当C =∅的时，()224(1)450m m ∆=+--<，解得3m <-，当{}1C =时，()2224(1)45012(1)50m m m m ⎧∆=+--=⎪⎨+++-=⎪⎩，无解，当{}2C =时，()()()2224145044150m m m m ⎧∆=+--=⎪⎨+++-=⎪⎩，解得3m =-，当{}1,2C =时，2122(1)125m m +=-+⎧⎨⋅=-⎩，无解， 综上，实数m 的取值范围是(,3]-∞-.【点睛】结论点睛：根据集合的交、并集运算结果判断集合间的关系： （1）若A B A ⋃=，则有B A ⊆； （2）若AB A =，则有A B ⊆.18．经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴，为迎接2020年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销，经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p （万件）与促销费用x （万元）满足231p x =-+（其中010x ≤≤），已知生产该产品还需投入成本(102)p +万元（不含促销费用），每一件产品的销售价格定为204p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭元，假定厂家的生产能力能满足市场的销售需求，（1）将该产品的利润y （万元）表示为促销费用x （万元）的函数； （2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值. 【答案】（1）416(010)1y x x x =--≤≤+；（2）促销费用投入1万元时，厂家的利润最大，为13万元.【分析】（1）根据题意利润为204(102)y p x p p ⎛⎫=+--+ ⎪⎝⎭， 然后再将231p x =-+代入即可.（2）由（1）得到41711x x y ⎛⎫=-++⎪+⎝⎭，再利用基本不等式求解.【详解】（1）由题意得204(102)y p x p p ⎛⎫=+--+ ⎪⎝⎭， 把231p x =-+代入得416(010)1y x x x =--≤≤+；（2）417117131y x x ⎛⎫=-++≤-=⎪+⎝⎭， 当且仅当411x x =++，即1x =时取等号， 所以促销费用投入1万元时，厂家的利润最大，为13万元.19．（1）设集合{}31,P n n k k N ==+∈，集合{}32,Q n n m m N ==-∈， 求证：集合P 是Q 的真子集；（2）已知0,0,0a b c >>>，当函数()||||f x x a x b c =++-+的最小值为6时， 求证：22222212a b c a b c c b a+++++≥. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）任取n P ∈，得到313(1)2n k k Q =+=+-∈，再根据2,2Q P -∈-∉，即可求解；（2）由绝对值的三角不等式，得到6a b c ++=，再接基本不等式，即可作出证明.【详解】（1）先证P Q ⊆，任取n P ∈，存在1m k N =+∈，使得313(1)232n k k m Q =+=+-=-∈，所以P Q ⊆，又由2,2Q P -∈-∉，所以集合P 是Q 的真子集.（2）因为()|||||()()|6f x x a x b c x a b x c a b c =++-+≥++-+=++=， 由222222222a b c a b c ab ac bc c b a c b a+++++≥++ 2()12ab ac ab bc ac bc a b c cb c a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++≥++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当且仅当2a b c ===时取等号， 所以22222212a b c a b c c b a+++++≥.20．（1）关于x 的不等式()2216(4)10a x a x ----≥的解集为φ，求实数a 的取值范围；（2）解关于x 的不等式(3)12m x x -≥+； （3）设（1）中a 的整数值构成集合A ，（2）中不等式的解集是B ，若A B 中有且只有三个元素，求实数m 的取值范围.【答案】（1）12,45⎛⎤- ⎥⎝⎦；（2）答案不唯一，具体见解析；（3）34,2⎛⎤-- ⎥⎝⎦. 【分析】（1）根据题意，分4a =，4a =-和4a ≠±三种情况讨论，结合二次函数的性质，即可求解；（2）化简不等式为(1)3202m x m x ---≥+，转化为(2)[(1)(32)]0x m x m +--+≥且2x ≠-，结合一元二次不等式的解法，分类讨论，即可求解.（3）由（1）得{2,1,0,1,2,3,4}A =--，根据A B 中有且只有三个元素，结合不等式的解集，分类讨论，得出不等式组，即可求解.【详解】（1）当4a =时，不等式可化为10-≥无解，满足题意；当4a =-时，不等式化为810x -≥，解得18x >，不符合题意，舍去； 当4a ≠±时，要使得不等式()2216(4)10a x a x ----≥的解集为φ，则满足()()22216044160a a a ⎧-<⎪⎨∆=-+-<⎪⎩，解得1245a -<<， 综上可得，实数a 的取值范围是12,45⎛⎤- ⎥⎝⎦. （2）由不等式(3)12m x x -≥+，可得(3)(1)321022m x m x m x x -----=≥++， 即(2)[(1)(32)]0x m x m +--+≥且2x ≠-，当1m =时，不等式等价于502x -≥+，解得2x <-； 当1m 时，由325(2)011m m m m +--=>--， 不等式32(2)01m x x m +⎛⎫+-≥ ⎪-⎝⎭且2x ≠-的解集为32(,2),1m x m +⎡⎫∈-∞-⋃+∞⎪⎢-⎣⎭，当1m <时，32(2)01m x x m +⎛⎫+-≤ ⎪-⎝⎭且2x ≠-， 当01m <<时，解集为32,21m x m +⎡⎫∈-⎪⎢-⎣⎭， 当0m =时，解集为∅，当0m <时，解集为322,1m x m +⎛⎤∈- ⎥-⎝⎦， 综上，当1m =时，解集为(,2)x ∈-∞-，当1m 时，解集为32(,2),1m x m +⎡⎫∈-∞-⋃+∞⎪⎢-⎣⎭， 当01m <<时，解集为32,21m x m +⎡⎫∈-⎪⎢-⎣⎭， 当0m =时，解集为∅， 当0m <时，解集为322,1m x m +⎛⎤∈- ⎥-⎝⎦. （3）由（1）得{2,1,0,1,2,3,4}A =--，当A B 中有且只有三个元素，显然01m ≤≤不可能，当1m 时，32(,2),1m B m +⎡⎫=-∞-⋃+∞⎪⎢-⎣⎭因为3253311m m m +=+>--，不合题意，舍去， 当0m <时，322,1m B m +⎛⎤=- ⎥-⎝⎦， 因为A B 中有且只有三个元素，所以，032121m m m <⎧⎪+⎨≤<⎪-⎩，解得342m -<≤-， 综上，实数m 的取值范围是34,2⎛⎤-- ⎥⎝⎦. 【点睛】解含参数的一元二次不等式的步骤：（1）若二次项含有参数，应先讨论参数是等于0、小于0，还是大于0，然后整理不等式；（2）当二次项系数不为0时，讨论判别式与0的关系，判断方程的根的个数；（3）确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式.21．已知数集{}()1212,,,0,2n n A a a a a a a n =≤<<<≥具有性质P ：对任意的i 、()1j i j n ≤≤≤，i j a a +，与j i a a -两数中至少有一个属于A ．（1）分别判断数集{}0,1,3,4与{}0,2,3,6是否具有性质P ，并说明理由； （2）证明：10a =，且()122n n na a a a =+++；（3）当5n =时，若22a =，求集合A ．【答案】（1）集合{}0,1,3,4具有性质P ,集合{}0,2,3,6不具有性质P .（2）证明见解析. （3）{0,2,4,6,8}A =.【分析】（1）利用i j a a +与j i a a -两数中至少有一个属于A .即可判断出结论. （2）先由0n n a a A =-∈，得出10a =，令“,1j n i =>,由“i j a a +与j i a a -两数中至少有一个属于A ”可得n i a a -属于A .令1i n =-,那么1n n a a --是集合A 中某项,1a 不符合不符合题意,2a 符合.同理可得:令1i n =-可以得到21n n a a a -=+,令2i n =-,3,....,2n -可以得到1n i n i a a a +-=+,倒序相加即可.（3）当5n =时,取5j =,当2i ≥时,55i a a a +>,由A 具有性质P,5i a a A -∈,又1i =时,51a a A -∈,可得51i a a Ai -∈=51525354550a a a a a a a a a a ->->->->-=,则515533524a a a a a a a a a -=-=-= ,又34245a a a a a +>+=,可得34a a A +∉,则43a a A -∈,则有43221a a a a a -==-.可得即12345,,,,a a a a a 是首项为0,公差为22a =等差数列是首项为0,公差为22a =等差数列.【详解】解：（1）在集合{}0,1,3,4中，设{}0,1,3,4A =①011,101A A +=∈-=∈,具有性质P②033,303A A +=∈-=∈,具有性质P③044,404A A +=∈-=∈,具有性质P④134,312A A +=∈-=∉,具有性质P⑤145,413A A +=∉-=∈,具有性质P⑥347,431A A +=∉-=∈,具有性质P综上所述：集合{}0,1,3,4具有性质P ；在集合{}0,2,3,6中，设{}0,2,3,6B =,①022,202B B +=∈-=∈,具有性质P②033,303B B +=∈-=∈,具有性质P③066,606B B +=∈-=∈,具有性质P④235,321B B +=∉-=∉,不具有性质P⑤267,624B B +=∉-=∉,具有性质P⑥368,633B B +=∉-=∈,具有性质P综上所述：集合{}0,2,3,6不具有性质P .故集合{}0,1,3,4具有性质P ,集合{}0,2,3,6不具有性质P .（2）证明:令,1j n i =>由于120n a a a ≤<<<，则n n n a a a +>，故2n a A ∉则0n n a a A =-∈，即10a =i j a a +与j i a a -两数中至少有一个属于A ,i j a a ∴+不属于A ,n i a a ∴-属于A .令1i n =-,那么1n n a a --是集合A 中某项,10a =不符合题意,2a 可以.如果是3a 或者4a ,那么可知31n n a a a --=那么231n n n a a a a a -->-=,只能是等于n a ,矛盾.所以令1i n =-可以得到21n n a a a -=+,同理,令2i n =-,3,....,2n -可以得到1n i n i a a a +-=+,∴倒序相加即可得到1232n n n a a a a a +++⋯+=即()122n n na a a a a =+++⋯+（3）当5n =时,取5j =,当2i ≥时,55i a a a +>,由A 具有性质P ,5i a a A -∈,又1i =时,51a a A -∈,51,2,3,4,5i a a Ai ∴-∈=123451234500a a a a a a a a a a =<<<<=<<<<,51525354550a a a a a a a a a a ∴->->->->-=,则515524a a a a a a -=-=,533a a a -=,从而可得245532a a a a a +==,故2432a a a +=,即433230a a a a a <-=-<,又3424534a a a a a a a A +>+=∴+∈/,则43a a A -∈,则有43221a a a a a -==-又54221a a a a a -==-544332212a a a a a a a a a ∴-=-=-=-=,即12345,,,,a a a a a 是首项为0,公差为22a =等差数列,{0,2,4,6,8}A ∴=【点睛】（1）本问采用举反例的方法证明A 不具有P 性质;（2）采用极端值是证明这类问题的要点,一个数集满足某个性质,则数集中的特殊的元素（比如最大值、最小值）也满足这个性质;本问的第二个要点是集合的元素具有互异性,由互异性及题中给的性质P ,可得出等式;（3）利用在（2）中得到的结论得出12345,,,,a a a a a 之间的关系，再结合A 中元素所具有的P 性质即可得到结论.。