直线与圆的方程
圆的方程.直线与圆的方程
练习
平面上三个定点 A(－2 3， 0)，B( 2 3 ,0) C(4 3 ,6), 点P是平面上满足 APB ＝ 的一 3 个动点，求线段 PC 的长的最小值及点 P的坐标
再
见！
3、圆的参数方程
x a r cos (为参数) y b rsim
4、直线与圆的关系 １）直线L：y = k x + b 和圆 x2 + y2 = r2 相切、相交、相离 ２）过圆x2 + y2 ＝ r2上点Ｐ（x０，y０）的切线方 程：x０ x＋y０ y＝r2 3）直线被圆所截曲线方程：F1(x,y)=0和F2(x,y)=0，它们的交 点是P(x0,y0)求证：方程 F1(x,y)+λF2(x,y)=0 的曲线也经过点P（ λ是任意实数 ）
练习6.求经过两圆x2 +y2 +6x–4=0 和x2 + y2 +6y–28 = 0
的交点，且圆心在直线x – y – 4 = 0上的圆方程
练习2.如果直线L将圆x2 + y2 -2x-4y=0平分，且不过第 四象限，那么L的斜率的取值范围是＿＿＿
(全国高考题)
例2.求当点(x,y)在以原点为圆心，a为半径的
圆上运动时，点(x+y,xy)的轨迹方程
练习3.求由曲线x2+y2=|x|+|y|所围成的图形 的面积
例3.如果直线l：y = x + b与曲线C： y 1 x 2 只有
圆方程及直线与 圆的位置关系
一、基本概念
１、圆的标准方程 以（a，b）为圆心，r为半径的圆的标准方程为： (x - a)2+(y - b)2 = r2
２、圆的一般方程：
x2 + y2 +D x + E y + F = 0
圆与直线方程的所有公式
圆与直线方程的所有公式
嘿呀，让我来给你讲讲圆与直线方程的那些公式哈！先来说说圆的标准方程，那就是$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$。
比如说，有个圆的圆心在(3,4)，半径是 5，那这个圆的方程不就是$(x-3)^2+(y-4)^2=25$嘛！
再说说圆的一般方程$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$。
嘿，就好像每个圆都有自己独特的代码似的！
然后是直线方程呀，点斜式$y-y_1=k(x-x_1)$。
比如说已知直线上一点(2,3)，斜率是 2，那直线方程不就是$y-3=2(x-2)$嘛！
还有斜截式$y=kx+b$，这就好比是直线的一种简洁表达。
两直线平行，它们的斜率相等哦！这就好像两个人走在平行的道路上。
两直线垂直，它们斜率的乘积为-1 呀！哇塞，是不是很神奇呢？咱可得把这些公式都记牢咯，在解决问题的时候就能派上大用场啦！。
直线与圆的方程
acr (c bk ) . cr acrk bcrk ack
2
同理考虑过点 B 的直线系方程，可得 xM 所以 | DM || DN | .
acr (c bk ) . cr acrk bcrk ack
2
类似的直线型几何问题， 有时用直线系方程处理比较简捷。 这里有一点需要向大家说明， 在竞赛数学中，用解析法处理平面几何问题，在计算过程中只要有一步计算错误，则整个解 答过程就算是错误的，这一点应该引起重视！
y c ( x a). ba
M P
C
A
所以过点 C 的直线系方程为
cx (a b) y ca (kx y ) 0,
E
D
F
N
1 ○
B
因为 PC 过点 P ，而 P(br , cr ) ，则 代入○ 1 式，并令 y 0, 解得 xN
bcr (a b)cr ac cr kbr
A y1 y2 ( ) 1, B x1 x2 A x1 x2 B y1 y2 C 0. 2 2
28
奥林匹克与自主招生
《第三讲 直线与圆的方程》
主编：贾广素
解关于 x1 , x2 的方程组，即可得 Q 点的坐标. 例 3．在直线 l : x y 5 0 上找一点 P ( x, y ) ，使得点 P ( x, y ) 对 A(1, 0), B(3, 0) 的视角 APB 最 大。 要使 APB 分析： 求点 P 的坐标， 一般来说通过三角函数值来刻画， 显然，APB 是锐角， 最大，只需求出夹角 APB 的正切的表达式，再去寻找最大值。凡是处理斜率问题都需要注 意斜率不存在的情况，故 AE，BF 垂直 AB 交 l 于 E、F，只需求当 P 不与 E、F 重合时夹角
直线与圆的方程
直线与圆的方程直线与圆是几何学中的基本概念，在解决几何问题时经常需要用到它们的方程。
本文将介绍直线与圆的方程的基本形式和求解方法，并通过实例加深理解。
一、直线的方程直线的方程可以使用点斜式、斜截式和两点式来表示。
下面逐一介绍这三种形式的方程表示方法。
1. 点斜式方程点斜式方程形式为 y-y₁=m(x-x₁)，其中 (x₁,y₁) 是直线上的某一点，m 是直线的斜率。
通过已知点和斜率，可以轻松写出点斜式方程。
例如，如果已知直线过点 (2,3)，斜率为 2/3，则点斜式方程为 y-3=(2/3)(x-2)。
2. 斜截式方程斜截式方程形式为 y=mx+b，其中 m 是直线的斜率，b 是直线与 y轴的截距。
通过已知斜率和截距，可以得到斜截式方程。
例如，如果已知直线斜率为 -1/2，截距为 2，则斜截式方程为 y=(-1/2)x+2。
3. 两点式方程两点式方程形式为 (y-y₁)/(y₂-y₁)=(x-x₁)/(x₂-x₁)，其中 (x₁,y₁)和 (x₂,y₂) 是直线上的两个不同点。
通过已知两个点，可以计算出两点式方程。
例如，已知直线经过点 (1,3) 和 (4,7)，则两点式方程为 (y-3)/(7-3)=(x-1)/(4-1)。
二、圆的方程圆的方程可以使用标准式和一般式来表示。
下面逐一介绍这两种形式的方程表示方法。
1. 标准式方程标准式方程形式为 (x-h)²+(y-k)²=r²，其中 (h,k) 是圆心坐标，r 是半径。
通过已知圆心和半径，可以直接写出标准式方程。
例如，如果已知圆心坐标为 (2,-3)，半径为 5，则标准式方程为 (x-2)²+(y+3)²=25。
2. 一般式方程一般式方程形式为 x²+y²+Ax+By+C=0，其中 A、B、C 是常数。
通过已知圆心和半径，可以将一般式方程转化为标准式方程。
例如，如果已知圆心坐标为 (2,-3)，半径为 5，则一般式方程为 x²+y²-4x+6y+20=0。
直线与圆的方程
直线与圆的方程方程是数学中重要的概念，是由变量、符号和数字组成的式子，它表示一种规律，可用来描述空间图形的形状和位置关系，其中最基本表示形状的方程是直线和圆的方程。
直线的方程是最基本的平面几何图形，它是两点之间最短的路径，用一元一次方程来表示，例如y=ax+b，其中a和b是实数。
值得注意的是，a是斜率，而b是截距，只有当两个参数都确定，才能确定一条直线，而不确定的参数只能确定一条平行于此直线的直线。
另一种形状的方程是圆的方程。
圆是有界的平面图形，由一个内切圆环和它的内切圆环组成，它的方程是（x-a）2+(y-b)2=r2，其中(a,b)是圆心坐标，r是半径，只有当圆心和半径都确定，才能确定一个圆，而不确定的参数只能确定一个相似的圆。
圆的表示方式又有两种，一种是非积分的极坐标形式，如r=a cos （θ）+b sin（θ），其中a和b是实数，θ代表角度。
另一种是标准形式，其方程为（x-x0）2+(y-y0)2=a2，其中（x0，y0）是圆心坐标，a是半径。
圆和直线这两种方程本质上是不同的，此外，它们在坐标系中表示出来的形状也是不同的，直线是一种平行于坐标轴的线，而圆则是一个有界的圆环，它的中心在坐标原点，其半径为a。
圆和直线的方程极大地丰富了几何图形的表达能力，通过对它们的方程的推导和求解，可以更好地理解图形的性质，从而推动几何学的发展，推动数学的发展。
从定义上讲，直线和圆的方程是可以相互转换的。
比如，可以将一元一次方程y=ax+b换成(x-a)2+(y-b)2=r2，这样，直线就可以转换成圆，圆也可以转换成直线。
另一方面，通过对直线和圆的方程求解，可以用它们来解决复杂的数学问题，比如求两个圆的位置关系，求一条直线与一个圆的位置关系，求一条直线与另一条直线的位置关系等等，这些复杂的数学应用可以用直线和圆的方程来解决。
由此可见，直线和圆的方程是数学中至关重要的概念，它丰富了图形的表达能力，并可用来解决复杂的数学问题，是数学发展的基础。
求直线与圆的交点坐标。
求直线与圆的交点坐标。
原题目：求直线与圆的交点坐标
问题描述
给定一条直线和一个圆，请求出它们的交点坐标。
解决方案
要求出直线和圆的交点坐标，我们可以先将直线和圆的方程表
示出来，然后解方程得到交点的坐标。
1. 直线的方程表示：设直线的方程为 Ax + By + C = 0，其中 A、
B、C 为常数，(x, y) 为直线上的任意一点。
根据直线的斜率和截距，我们可以求得直线的方程。
2. 圆的方程表示：设圆的方程为 (x - p)^2 + (y - q)^2 = r^2，其
中 (p, q) 为圆心坐标，r 为半径。
3. 解方程求交点坐标：将直线的方程代入圆的方程中，得到一
个关于 x 和 y 的二元二次方程，解这个方程可以得到交点的坐标。
4. 特殊情况处理：如果直线与圆没有交点或者直线与圆为切点，则交点个数为 0。
示例
假设直线的方程为 2x - 3y + 4 = 0，圆的方程为 (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 3^2。
将直线的方程代入圆的方程中：
(2x - 3y + 4)^2 + (y - 2)^2 = 3^2
展开并化简上述方程：
4x^2 - 12xy + 9y^2 - 8x + 12y - 4 = 0
这是一个关于 x 和 y 的二元二次方程，我们可以解这个方程来
得到交点的坐标。
总结
通过解方程，我们可以求出直线与圆的交点坐标。
需要注意的是，如果直线与圆没有交点或者直线与圆为切点，则交点个数为0。
【高中数学】秒杀秘诀---直线系和圆系方程
直线系和圆系方程定义：如果两条曲线方程是f 1(x ，y)＝0和f 2(x ，y)＝0，它们的交点是P （x 0，y 0），方程f 1(x ，y)＋λf 2（x ，y ）＝0的曲线也经过点P （λ是任意常数）。
由此结论可得出：经过两曲线f 1(x ，y)＝0和f 2（x ，y ）＝0交点的曲线系方程为：f 1（x ，y ）＋λf 2（x ，y ）＝0。
利用此结论可得出相关曲线系方程。
一.直线系概念：具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系。
它的方程称直线系方程。
几种常见的直线系方程：（1）过已知点P （x 0，y 0）的直线系方程y －y 0＝k （x －x 0）（k 为参数）（2）斜率为k 的直线系方程y ＝kx ＋b （b 是参数）（3）与已知直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程Ax ＋By ＋λ＝0（λ为参数）（4）与已知直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程Bx －Ay ＋λ＝0（λ为参数）（5）过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ（A 2x ＋B 2y ＋C 2）＝0（λ为参数）例1：已知直线l 1：x ＋y ＋2＝0与l 2：2x －3y －3＝0，求经过的交点且与已知直线3x ＋y －1＝0平行的直线分析：不论m 为何实数时，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。
解：由原方程得m(x ＋2y －1)－(x ＋y －5)＝0，①即⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=-+=-+4y 9x 05y x 01y 2x 解得，∴直线过定点P （9，－4）例3：求过直线：210x y ++=与直线：210x y -+=的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.概念：具有某种共同属性的圆的集合，称为圆系。
几种常见的圆系方程：（1）同心圆系：（x －x 0）2＋（y －y 0）2＝r 2，x 0、y 0为常数，r 为参数。
直线和圆的方程
直线和圆的方程在几何学中，直线和圆是两个基础的几何图形。
在解决几何问题时，了解直线和圆的方程是非常重要的。
本文将介绍直线和圆的方程，并提供一些示例来帮助读者更好地理解。
直线的方程一般式方程直线的一般式方程可以表示为：Ax + By + C = 0其中A、B和C是实数，并且A和B不能同时为零。
示例考虑一条过点P(x₁, y₁)和点Q(x₂, y₂)的直线。
我们可以通过计算斜率来得到直线的一般式方程。
首先，我们可以计算斜率：m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)然后，用点斜式方程来得到直线的一般式方程：y - y₁ = m(x - x₁)展开这个方程，我们得到：y - y₁ = ((y₂ - y₁) / (x₂ - x₁))(x - x₁)进一步化简得到直线的一般式方程：(y₂ - y₁)x + (x₁ - x₂)y + x₂y₁ - x₁y₂ = 0这个方程就是直线的一般式方程。
斜截式方程直线的斜截式方程可以表示为：y = mx + b其中m是斜率，b是y轴截距。
示例考虑一条通过点P(x₁, y₁)且斜率为m的直线。
我们可以用斜截式方程来表示这条直线。
直线的斜率为m，通过点P(x₁, y₁)，所以直线方程为：y - y₁ = m(x - x₁)将方程展开，我们得到：y - y₁ = mx - mx₁移项整理得到直线的斜截式方程：y = mx - mx₁ + y₁进一步整理后得到：y = mx + (y₁ - mx₁)这个方程就是直线的斜截式方程。
圆的方程标准方程圆的标准方程可以表示为：(x - h)² + (y - k)² = r²其中(h, k)是圆心的坐标，r是圆的半径。
示例考虑一个圆心为C(h, k)且半径为r的圆。
圆心C(h, k)，圆的半径为r，所以圆的方程为：(x - h)² + (y - k)² = r²这个方程就是圆的标准方程。
直线与圆的方程
直线与圆的方程
1 直线与圆
直线与圆是几何学中的一个基本概念，它是构成几何学中知识和技能的基础。
本文旨在详细介绍直线与圆的方程及其应用。
一、直线与圆的方程
直线与圆的方程是一种用来描述直线与圆的关系的数学方程式，它包含了圆的圆心坐标、半径、以及与圆的相交关系的参数，比如切点、关联直线本身的方程参数、直线的切点等。
其普通方程形式可总结为：
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$
其中，$(a,b)$ 为圆心坐标，$r$ 为半径，$x,y$ 为直线参数。
二、应用
2.1 圆弧
圆弧，即圆周上的一部分，是根据圆曲线来定义从一点到另一点的弧形物体。
圆弧的弧度可由圆弧两端点以及圆心求出，以及圆弧方程
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$
其中，$(a,b)$ 为圆心坐标，$r$ 为半径，$x,y$ 为直线参数，可得到弧线长度。
2.2 极坐标
极坐标是一明确的平面坐标及其表示方法，它设定一个坐标原点，然后由极径和极角构成一个坐标表示法。
而极坐标方程也可以由直线
与圆的方程得到：
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$
其中，极径 $\rho=\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}$，极角
$\varphi=\arctan\frac{y-b}{x-a}$。
三、总结
本文介绍了直线与圆的方程及其应用，明确了直线与圆的普通方
程形式，分析了圆弧的定义及圆弧方程，以及极坐标的应用。
这些概
念及方程应用在几何学及其它学科中都是至关重要的，让我们更好地
描述物体以及预测物体运动等。
直线与圆的方程
直线与圆的方程近些年，高等数学在数学领域中发挥着越来越重要的作用。
其中，直线与圆的方程是高等数学的重要知识点之一。
圆的方程和直线的方程都是用来表示几何图形的。
理解这两个方程，以及如何从一个表达式推导出另一个表达式，对于高等数学的学习都是十分重要的。
一、直线的方程直线是数学中最基本的几何图形，由两个不同的点组成，连接这两个点，即可形成一条直线。
直线的方程一般可以用一元一次方程的形式来表示：y=kx+b。
其中，K是直线斜率，B是截距。
给定任意一个点（x，y）可以推算出斜率K与截距B的值，从而确定直线的方程式。
此外，还可以使用参数方程的形式来表示直线的方程，如：x=at+b，y=ct+d，表示一条直线。
在此方程中，a,b,c,d定了这条直线的方向，t是参数。
二、圆的方程圆是由一系列的点的集合的闭合曲线组成的，其中心点（X0，Y0），是整个圆的中心点，其半径为R。
根据中心点坐标及半径，可以用极坐标系来表示一个圆，即：x = X0 + R*cosθy = Y0 + R*sinθ其中R是圆的半径，θ是弧度，一个圆上任一点坐标都可以用这个方程来表示。
此外，还可以使用标准的圆的方程来表示：(x-X0)+(y-Y0)=R在这个方程中，(X0,Y0)是圆心，R是半径，X,Y是圆上的一点，当X,Y给定时，可以求出该点到圆心的距离，从而确定该点是否在圆上。
三、直线与圆的相交在实际的计算中，有时需要求解直线与圆之间是否相交，以及相交的位置。
这里可以利用直线方程和圆方程来分析，首先用直线方程带入圆方程，并展开来求解。
（x-X0） + (kx+b-Y0) = R令a=k+1，b=2（b-Y0）k-2X0,c=X0+(b-Y0)-R，令f（x）= ax+bx+c，可以得到f（x） = 0解f（x）= 0，可以得到x1和x2，此时，（x1，y1）和（x2，y2）就是直线与圆的交点。
四、总结以上是关于直线与圆方程的介绍，主要介绍了用一元一次方程和参数方程表示直线，用极坐标系和标准圆的方程表示圆，以及求解直线与圆的交点的方法。
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直线与圆的方程：
1.过点p （2,3），且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为
2.过点p （2,3），倾斜角是135°的直线方程为
3.已知实数x,y 满足2x+y=8,当32≤≤x 时，求x
y 的最大和最小值 4.一条直线l 过点p （1,4）分别于两坐标轴正向交于两点A,B ，O 为坐标原点，求△AOB 面 积最小时直线的方程
5.求过点A （2，-3）且与直线2x+y-5=0平行的直线的方程
6.当a 为何值直线x+2y-1=0与直线（3a-1）x-ay-1=0平行
7.已知平行于直线2x+5y-1=0的直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线l 的方程
8.已知直线1l 的斜率为3/4，直线2l 经过点A(3a,-2),B(o,12+a ),且21l l ⊥，求a 的值
9.过点（3,1）且与直线3x+2y-3=0垂直的直线方程
10.经过点C(2，-3)，且垂直于过两点M(1，2),N(-1，-5)的直线方程为
11.与直线2x+y-3=0垂直，且与x 轴上的截距比在y 轴上的截距大2的直线方程为
12.已知直线l 经过两条直线2x-2y+10=0,3x+4y-2=0的交点，且垂直于直线3x-2y+4=0，求直线l 的方程
13.已知直线1l y=kx+k+2与2l ;y=-2x+4的交点在第一象限，求k 的取值范围
14.已知三角形ABC 的三个顶点A(-1，0),B(1，0),C(1/2，
2
3)，判断三角形的形状
15.已知两点（0，m ）(8,-5)之间的距离为17，则实数m 的值为
16.一条光线经过p(2,3)射在直线x+y+1=0上，反射后经过点A （1,1），求光线的
入射线和反射线方程
17.若A(7，8) ,B(10，4),C(2.,-4),求△ABC 的面积
18.点P （0,5）到直线y=2x 的距离是
19.直线l 在y 轴上的截距为10，且原点到直线l 的距离是8，则直线l 的方程
20.直线l 经过原点，且点M （5,0）到直线l 的距离等于3，求直线的方程
21.已知方程0916)41(2)3(24222=-+-++-+t y t x t y x
（1）t 为什么范围时，方程表示圆。
（2）方程表示圆时，t 为何值，圆的面积最大？求圆的方程
22.已知方程
01422=+-+x y x （1）求x y
的最大值和最小值 （2）求y-x 的最大值和最小值 （3）求22y x +的
最大值 和最小值
23.圆5)1(22=+-y x 的圆心到直线x y 3
3=的距离是 24.求过两点A(0，4)B(4，6)，且圆心在直线x-2y-2=0上的圆的标准方程
25.求圆心在直线y=-2x 上，且与直线y=1-x 相切于点（2，-1）的圆的方程
26.已知圆C 满足：（1）截y 轴所得的弦长为2（2）被x 轴分成两段圆弧的弧长之比为3:1（3）圆心到直线l ：x-2y=0的距离为5
5，求圆C 的方程 27.实数x,y 满足1)1(22=-+y x ，求（1）|3x+4y+16|的最值（2）22y x +的最值
（3）1
2++x y 的最值 28.求过圆422=+y x 上一点（13,）的圆的切线方程
29.自点（-1,4）作圆
1)3()2(22=-+-y x 的切线l,求切线l 的方程
30.求直线0323=+-y x 被圆
422=+y x 截得弦长 31.已知圆1)3()2(22=-+-y x ，求该圆与x 轴和y 轴的截距相等的切线l 的方程
32.从圆1)1()1(22=-+-y x 外一点P 向圆引切线，求切线长
33.求过点A （0,6）且与圆C:0101022=+++y x y x 切于原点的圆的方程
34.已知圆C 0162:221=+-++y x y x ，圆01124:222=-+-+y x y x C ，求两圆的公共弦所在的方程
35.已知一个圆经过直线l:2x+y+4=0与圆C:014222=+-++y x y x 的两个交点，并且有最小面积，求此圆的方程
36.两圆相交于两点（1，3）和（m ，-1），两圆圆心都在直线x-y+c=0上，则m+c=
37.已知过点A(-1,0)的动直线l 与圆C:4)3(22=-+y x 相交于P,Q 两点M 是PQ 的中点，l 与直线m:x+3y+6=0相较于N.
（1）求证：当l 与m 垂直时，l 必过圆心C
(2)当PQ=23时，求直线l 的方程
38.过圆O ：422=+y x 外一点M(4，-1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是
39.直线l:4x-3y-12=0与x,y 轴的交点分别是A,B,O 为坐标原点，则△AOB 的内切圆的方程是
40.圆心在直线y=x 上，且与直线x+2y-1=0相切的圆，截y 轴所得的弦长是2，求此圆的方程
41.若圆02)1(222=-+-++m my x m y x 关于直线x-y+1=0对称，则实数m 的值为
42.已知圆C 过定点A （0,a ）,(a>0)，且在x 轴上截得的弦MN 的长为2a
（1求圆心C 的轨迹方程 （2）若MAN ∠=45°，求圆C 的方程
43.已知圆C 圆心为C(2，1)，若此圆与圆0322=-+x y x 的公共弦所在直线过点（5，-2），求此圆的方程
44.已知圆922=+y x 的内接△ABC ，点A 的坐标是（-3,0），重心G 的坐标为（-2
1，-1）。
（1）求边BC 所在直线的方程 （2）求弦BC 的长
45.直线ax+by+1=0被圆2522=+y x 截得的弦长是8，则
2253b a +的最小值是 46.已知。