2015年人教A版高中数学必修一模块综合检测题及答案解析模块综合检测(C)
高中数学模块综合检测新人教A版选择性必修第一册
模块综合检测(时间：120分钟，满分150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1,1)，b ＝(1，y,1)，c ＝(2，－4，2)，a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )A ．2 2B ．10C ．3D ．4【答案】C【解析】∵b ∥c ，∴y ＝－2．∴b ＝(1，－2,1)．∵a ⊥c ，∴a ·c ＝2x ＋1·()－4＋2＝0，∴x ＝1．∴a ＝(1,1,1)．∴a ＋b ＝(2，－1，2)．∴|a ＋b |＝22＋－12＋22＝3．2．如图，在空间四边形ABCD 中，设E ，F 分别是BC ，CD 的中点，则AD →＋12(BC →－BD →)等于( )A ．AD →B ．FA →C ．AF →D ．EF →【答案】C【解析】∵BC →－BD →＝DC →，12(BC →－BD →)＝12DC →＝DF →，∴AD →＋12(BC →－BD →)＝AD →＋DF →＝AF →．3．若直线l 1：mx ＋2y ＋1＝0与直线l 2：x ＋y －2＝0互相垂直，则实数m 的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．12 D ．－12【答案】B【解析】直线l 1：y ＝－m 2x －12，直线l 2：y ＝－x ＋2，又∵直线l 1与直线l 2互相垂直，∴－m2×(－1)＝－1，即m ＝－2．4．已知直线l ：x －2y ＋a －1＝0与圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝9相交所得弦长为4，则a ＝( )A ．－9B ．1C ．1或－2D ．1或－9【答案】D【解析】由条件得圆的半径为3，圆心坐标为(1，－2)，因为直线l ：x －2y ＋a －1＝0与圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝9相交所得弦长为4，所以9－⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|1＋4＋a －1|52，所以a 2＋8a －9＝0，解得a ＝1或a ＝－9．5．已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1上的一点，半焦距为c ，若|MO |≤c (其中O 为坐标原点)，则y 20的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，b 4c 2 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，a 4c 2C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫b 4c 2，＋∞ D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫a 2c 2，＋∞ 【答案】A【解析】因为|MO |≤c ，所以|MO |≤a 2＋b 2，所以x 20＋y 20≤a 2＋b 2，又因为x 20a 2－y 20b2＝1，消去x 2得0≤y 20≤b 4a 2＋b 2，所以0≤y 20≤b 4c2．6．已知椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，焦距为2c ，直线l ：y ＝24x 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若|AB |＝2c ，则椭圆C 的离心率为( )A ．32B ．34C ．12D ．14【答案】A【解析】设直线与椭圆在第一象限内的交点为A (x ，y )，则y ＝24x ，由|AB |＝2c ，可知|OA |＝x 2＋y 2＝c ，即x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫24x 2＝c ，解得x ＝223c ，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫223c ，13c ．把点A 代入椭圆方程得到⎝ ⎛⎭⎪⎫223c 2a2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13c 2b2＝1，整理得8e 4－18e 2＋9＝0，即(4e 2－3)(2e 2－3)＝0，因为0＜e ＜1，所以可得e ＝32． 7．在空间直角坐标系Oxyz 中，O (0,0,0)，E (22，0,0)，F (0,22，0)，B 为EF 的中点，C 为空间一点且满足|CO →|＝|CB →|＝3，若cos 〈EF →，BC →〉＝16，则OC →·OF →＝( )A ．9B ．7C ．5D ．3【答案】D【解析】设C (x ，y ，z )，B (2，2，0)，OC →＝(x ，y ，z )，BC →＝(x －2，y －2，z )，EF →＝(－22，22，0)，由cos 〈EF →，BC →〉＝EF →·BC→|EF →||BC →|＝－22，22，0·x －2，y －2，z 4×3＝16，整理可得x －y ＝－22，由|CO →|＝|CB →|＝3，得x 2＋y 2＝x －22＋y －22，化简得x ＋y ＝2，以上方程组联立得x ＝24，y ＝324，则OC →·OF →＝(x ，y ，z )·(0,22，0)＝22y ＝3． 8．已知点M ，N 是抛物线y ＝4x 2上不同的两点，F 为抛物线的焦点，且满足∠MFN ＝135°，弦MN 的中点P 到直线l ：y ＝－116的距离为d ，若|MN |2＝λ·d 2，则λ的最小值为( )A ．22B ．1－22C ．1＋22D ．2＋ 2【答案】D【解析】抛物线y ＝4x 2的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116，准线为y ＝－116．设|MF |＝a ，|NF |＝b ，由∠MFN ＝135°，得|MN |2＝|MF |2＋|NF |2－2|MF |·|NF |·cos ∠MFN ＝a 2＋b 2＋2ab ．由抛物线的定义，得点M 到准线的距离为|MF |，点N 到准线的距离为|NF |．由梯形的中位线定理，得d ＝12(|MF |＋|NF |)＝12(a ＋b )．由|MN |2＝λ·d 2，得14λ＝a 2＋b 2＋2ab a ＋b 2＝1－2－2aba ＋b 2≥1－2－2ab 2ab2＝1－2－24＝2＋24，得λ≥2＋2，当且仅当a ＝b 时取得最小值2＋2．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知直线l ：(a 2＋a ＋1)x －y ＋1＝0，其中a ∈R ，下列说法正确的是( ) A ．当a ＝－1时，直线l 与直线x ＋y ＝0垂直 B ．若直线l 与直线x －y ＝0平行，则a ＝0C ．直线l 过定点(0,1)D ．当a ＝0时，直线l 在两坐标轴上的截距相等 【答案】AC【解析】对于A 项，当a ＝－1时，直线l 的方程为x －y ＋1＝0，显然与x ＋y ＝0垂直，所以正确；对于B 项，若直线l 与直线x －y ＝0平行，可知(a 2＋a ＋1)·(－1)＝1·(－1)，解得a ＝0或a ＝－1，所以不正确；对于C 项，当x ＝0时，有y ＝1，所以直线过定点(0,1)，所以正确；对于D 项，当a ＝0时，直线l 的方程为x －y ＋1＝0，在x 轴、y 轴上的截距分别是－1,1，所以不正确．故选AC ．10．已知F 1，F 2是双曲线C ：y 24－x 22＝1的上、下焦点，点M 是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段F 1F 2为直径的圆经过点M ，则下列说法正确的是( )A ．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2xB ．以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝2 C ．点M 的横坐标为± 2 D ．△MF 1F 2的面积为2 3 【答案】ACD【解析】由双曲线方程y 24－x 22＝1知a ＝2，b ＝2，焦点在y 轴，渐近线方程为y ＝±abx ＝±2x ，A 正确；c ＝a 2＋b 2＝6，以F 1F 2为直径的圆的方程是x 2＋y 2＝6，B 错误；由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝6，y ＝2x ，得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2或⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝－2，由对称性知点M 横坐标是±2，C 正确；S △MF 1F 2＝12|F 1F 2||x M |＝12×26×2＝23，D 正确．故选ACD ．11．已知点A 是直线l ：x ＋y －2＝0上一定点，点P ，Q 是圆x 2＋y 2＝1上的动点，若∠PAQ 的最大值为90°，则点A 的坐标可以是( )A ．(0，2)B ．(1，2－1)C ．(2，0)D ．(2－1,1)【答案】AC【解析】如图所示，原点到直线l 的距离为d ＝212＋12＝1，则直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切．由图可知，当AP ，AQ 均为圆x 2＋y 2＝1的切线时，∠PAQ 取得最大值．连接OP ，OQ ，由于∠PAQ 的最大值为90°，且∠APO ＝∠AQO ＝90°，|OP |＝|OQ |＝1，则四边形APOQ 为正方形，所以|OA |＝2|OP |＝2．设A (t ，2－t )，由两点间的距离公式，得|OA |＝t 2＋2－t2＝2，整理得2t 2－22t ＝0，解得t ＝0或t ＝2，因此，点A 的坐标为(0，2)或(2，0)．故选AC ．12．关于空间向量，以下说法正确的是( )A ．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B ．若对空间中任意一点O ，有OP →＝16OA →＋512OB →＋512OC →，则P ，A ，B ，C 四点共面C ．设{}a ，b ，c 是空间中的一组基底，则{2a ，－b ，c }也是空间的一组基底D ．若a ·b ＜0，则〈a ，b 〉是钝角 【答案】ABC【解析】对于A 中，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，所以是正确的；对于B 中，若对空间中任意一点O ，有OP →＝16OA →＋13OB →＋12OC →，因为16＋512＋512＝1，所以P ，A ，B ，C 四点一定共面，所以是正确的；对于C 中，由{}a ，b ，c 是空间中的一组基底，则向量a ，b ，c 不共面，可得向量2a ，－b ，c 也不共面，所以{2a ，－b ，c }也是空间的一组基底，所以是正确的；对于D 中，若a ·b ＜0，又由〈a ，b 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，所以不正确． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在空间直角坐标系Oxyz 中，点M (1，－1,1)关于x 轴的对称点坐标是__________；|OM |＝________．【答案】(1,1，－1)3【解析】在空间直角坐标系Oxyz 中，点M (1，－1,1)关于x 轴的对称点坐标是M ′(1,1，－1)，|OM |＝12＋－12＋12＝3．14．(2021年惠州期末)圆C ：(x －1)2＋y 2＝1关于直线l ：x －y ＋1＝0对称的圆的方程为______________．【答案】(x ＋1)2＋(y －2)2＝1【解析】圆C ：(x －1)2＋y 2＝1圆心C (1,0)，半径r ＝1，设圆C 关于直线l ：x －y ＋1＝0的对称点C ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12－b2＋1＝0，ba －1＝－1，解得a ＝－1，b ＝2，即圆C 的圆心关于直线l 的对称圆心为C ′(－1,2)，而圆关于直线对称得到的圆的半径不变，所以所求的圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝1．15．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M ，N 分别是线段BB 1，B 1C 1的中点，则直线MN 到平面ACD 1的距离为________．【答案】32【解析】如图，以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12，A (1,0,0)．∴AM →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12，AC→＝(－1,1,0)，AD 1→＝(－1,0,1)．设平面ACD 1的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AD 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，－x ＋z ＝0，令x ＝1，则y ＝z ＝1，∴n ＝(1,1,1)．∴点M 到平面ACD 1的距离d ＝|AM →·n ||n |＝32．又∵MN →綉12AD 1→，∴MN ∥平面ACD 1．∴直线MN 到平面ACD 1的距离为32．16．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为该双曲线上一点且2|PF 1|＝3|PF 2|，若∠F 1PF 2＝60°，则该双曲线的离心率为________．【答案】7【解析】2|PF 1|＝3|PF 2|，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，故|PF 1|＝6a ，|PF 2|＝4a ．在△PF 1F 2中，利用余弦定理得4c 2＝36a 2＋16a 2－2·6a ·4a cos60°，化简整理得到c ＝7a ，故e ＝7．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)在△ABC 中，A (2，－5,3)，AB →＝(4,1,2)，BC →＝(3，－2,5)． (1)求顶点B ，C 的坐标； (2)求CA →·BC →．解：(1)设点O 为坐标原点，OB →＝OA →＋AB →＝(2，－5,3)＋(4,1,2)＝(6，－4,5)， 则B (6，－4,5)．OC →＝OB →＋BC →＝(6，－4,5)＋(3，－2,5)＝(9，－6,10)，则C (9，－6,10)．(2)AC →＝AB →＋BC →＝(7，－1,7)，则CA →＝(－7,1，－7)，又因为BC →＝(3，－2,5)，所以CA →·BC →＝－7×3＋1×(－2)＋(－7)×5＝－58． 18．(12分)菱形ABCD 的顶点A ，C 的坐标分别为A (－4,7)，C (6，－5)，BC 边所在直线过点P (8，－1)．求：(1)AD 边所在直线的方程； (2)对角线BD 所在直线的方程．解：(1)k BC ＝－5－－16－8＝2，∵AD ∥BC ，∴k AD ＝2．∴AD 边所在直线的方程为y －7＝2(x ＋4)，即2x －y ＋15＝0． (2)k AC ＝－5－76－－4＝－65．∵菱形的对角线互相垂直，∴BD ⊥AC ，∴k BD ＝56．∵AC 的中点(1,1)，也是BD 的中点，∴对角线BD 所在直线的方程为y －1＝56(x －1)，即5x －6y ＋1＝0．19．(12分)已知圆C 1：x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和圆C 2：x 2＋y 2－10x －12y ＋45＝0． (1)求证：圆C 1和圆C 2相交；(2)求圆C 1和圆C 2的公共弦所在直线的方程和公共弦长． (1)证明：圆C 1的圆心C 1(1,3)，半径r 1＝11． 圆C 2的圆心C 2(5,6)，半径r 2＝4．两圆圆心距d ＝|C 1C 2|＝5，r 1＋r 2＝11＋4，|r 1－r 2|＝4－11， ∴|r 1－r 2|＜d ＜r 1＋r 2． ∴圆C 1和圆C 2相交．(2)解：圆C 1和圆C 2的方程相减， 得4x ＋3y －23＝0，∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x ＋3y －23＝0．圆心C 2(5,6)到直线4x ＋3y －23＝0的距离d ＝|20＋18－23|16＋9＝3，故公共弦长为216－9＝27．20．(12分)如图，过抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点F 的直线交C 于M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)两点，且x 1x 2＝－4．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)R ，Q 是C 上的两动点，R ，Q 的纵坐标之和为1，R ，Q 的垂直平分线交y 轴于点T ，求△MNT 的面积的最小值．解：(1)由题意，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋p2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋p 2，x 2＝2py ，得x 2－2pkx －p 2＝0，由题意知x 1，x 2是方程两根，所以x 1x 2＝－p 2＝－4， 所以p ＝2，抛物线的标准方程为x 2＝4y ．(2)设R (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，T (0，t )，因为点T 在RQ 的垂直平分线上，所以|TR |＝|TQ |， 得x 23＋(y 3－t )2＝x 24＋(y 4－t )2．因为x 23＝4y 3，x 24＝4y 4，所以4y 3＋(y 3－t )2＝4y 4＋(y 4－t )2， 即4(y 3－y 4)＝(y 3＋y 4－2t )(y 4－y 3)， 所以－4＝y 3＋y 4－2t ．又因为y 3＋y 4＝1，所以t ＝52，故T ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52．于是S △MNT ＝12|FT ||x 1－x 2|＝34|x 1－x 2|．由(1)得x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4， 所以S △MNT ＝34|x 1－x 2|＝34x 1＋x 22－4x 1x 2＝3416k 2－4×－4＝3k 2＋1≥3． 所以当k ＝0时，S △MNT 有最小值3．21．(12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，AB ＝2AD ＝2CD ＝2，E 是PB 上的点．(1)求证：平面EAC ⊥平面PBC ； (2)二面角P －AC －E 的余弦值为63，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值．(1)证明：∵PC ⊥底面ABCD ，AC ⊂底面ABCD ， ∴PC ⊥AC ．∵AB ＝2，AD ＝CD ＝1，∴AC ＝BC ＝2． ∴AC 2＋BC 2＝AB 2，∴AC ⊥BC ． 又∵BC ∩PC ＝C ，∴AC ⊥平面PBC ． ∵AC ⊂平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面PBC ．(2)解：如图，以C 为原点，取AB 中点F ，CF →，CD →，CP →分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A (1,1,0)，B (1，－1,0)． 设P (0,0，a )(a ＞0)，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，a 2，CA →＝(1,1,0)，CP →＝(0,0，a )，CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，a 2，设m ＝(x 1，y 1，z 1)为平面PAC 的法向量， 由⎩⎪⎨⎪⎧m ·CA →＝x 1＋y 1＝0，m ·CP →＝az 1＝0，所以可取x 1＝1，y 1＝－1，z 1＝0，即m ＝(1，－1,0)． 设n ＝(x 2，y 2，z 2)为平面EAC 的法向量， 则n ·CA →＝n ·CE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝0，x 2－y 2＋az 2＝0，取x 2＝a ，y 2＝－a ，z 2＝－2，则n ＝(a ，－a ，－2)，依题意，|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝a a 2＋2＝63，则a ＝2．于是n ＝(2，－2，－2)，PA →＝(1,1，－2)． 设直线PA 与平面EAC 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈PA →，n 〉|＝|PA →·n ||PA →||n |＝23，即直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为23． 22．(12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且经过点⎝⎛⎭⎪⎫－1，32．(1)求椭圆C 的方程．(2)过点(3，0)作直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试问在x 轴上是否存在定点Q 使得直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)由题意可得32＝c a ，1a 2＋34b2＝1， 又因为a 2－b 2＝c 2， 解得a 2＝4，b 2＝1．所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1．(2)存在定点Q ⎝⎛⎭⎪⎫433，0，满足直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称，理由如下： 设直线l 的方程为x ＋my －3＝0，与椭圆C 联立，整理得(4＋m 2)y 2－23my －1＝0． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，定点Q (t,0)(依题意t ≠x 1，t ≠x 2)，则由韦达定理可得，y 1＋y 2＝23m 4＋m 2，y 1y 2＝－14＋m2． 直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称，等价于AQ ，BQ 的斜率互为相反数． 所以y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝0，即y 1(x 2－t )＋y 2(x 1－t )＝0．又因为x 1＋my 1－3＝0，x 2＋my 2－3＝0， 所以y 1(3－my 2－t )＋y 2(3－my 1－t )＝0， 整理得(3－t )(y 1＋y 2)－2my 1y 2＝0． 从而可得(3－t )·23m 4＋m 2－2m ·－14＋m2＝0，11 即2m (4－3t )＝0，所以当t ＝433，即Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫433，0时，直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称成立．特别地，当直线l 为x 轴时，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫433，0也符合题意． 综上所述，存在x 轴上的定点Q ⎝⎛⎭⎪⎫433，0，满足直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称．。
高中数学 模块综合测评 新人教A版必修1
【高考调研】2014-2015学年高中数学 模块综合测评 新人教A版必修1一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．全集U ＝{0，－1，－2，－3，－4}，M ＝{0，－1，－2}，N ＝{0，－3，－4}，则(∁U M )∩N 为( )A ．{0}B ．{－3，－4}C ．{－1，－2}D ．∅答案 B解析 因为∁U M ＝{－3，－4}，所以(∁U M )∩N ＝{－3，－4}． 2．用分数指数幂表示a 3a a ，正确的是( )A ．a 43B ．a 34C ．a 112D ．a － 14答案 B解析a 3a a ＝[a ·(a ·a 12 )13] 12 ＝a 12 ·a16 ·a 112 ＝a 34 .3．函数y ＝1x＋log 2(x ＋3)的定义域是( )A ．RB ．(－3，＋∞)C ．(－∞，－3)D ．(－3,0)∪(0，＋∞)答案 D解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，x ＋3>0，得x >－3且x ≠0.∴函数定义域为(－3,0)∪(0，＋∞)．4．在区间(0,1)上，图像在y ＝x 的下方的函数为( ) A ．y ＝log 12xB ．y ＝2xC ．y ＝x 3D ．y ＝x 12答案 C解析 特殊值法，取x ＝14，则直线y ＝x 上的点是(14，14)，函数y ＝log 12 x 上的点是(14，2)，排除A ；函数y ＝2x上的点是(14，42)，排除B ；函数y ＝x 12 上的点是(14，12)，排除D ；函数y ＝x 3上的点是(14，164)，故选C ，也可以根据这四个函数在同一坐标系内的图像得出．5．函数f (x )＝a x －3＋4(a >0且a ≠1)的图像恒过定点( )A ．(3,4)B ．(0,1)C ．(0,5)D ．(3,5)答案 D解析 当x ＝3时，ax －3＝1，所以f (3)＝5.所以函数图像恒过点(3,5)．6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－1，x 2，－1<x <2.若f (a )＝3，则a 的取值个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 A解析 当a ≤－1时，f (a )＝a ＋2＝3， ∴a ＝1，与a ≤－1矛盾；当－1<a <2时，f (a )＝a 2＝3，∴a ＝± 3. ∵－1<a <2，∴a ＝ 3.7．已知函数f (x )＝(m －1)x 2＋2mx ＋3是偶函数，则f (x )在(－5，－2)上是( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．不具有单调性 D ．单调性由m 确定答案 A解析 由f (x )＝f (－x )，得m ＝0，所以f (x )＝－x 2＋3在(－5，－2)上是增函数． 8．若在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，a ·c <0，则函数的零点个数是( ) A ．1 B ．2 C ．0 D ．无法确定答案 B解析 ∵Δ＝b 2－4ac >0，∴函数必有2个零点. 故选B. 9．三个数0.32,20.3，log 0.32的大小关系为( ) A ．log 0.32<0.32<20.3 B ．log 0.32<20.3<0.32C ．0.32<log 0.32<20.3D ．0.32<20.3<log 0.32解析 ∵0<0.32<1,20.3>1，log 0.32<0，∴log 0.32<0.32<20.3.10．已知偶函数f (x )在(－∞，－2]上是增函数，则下列关系式中成立的是( ) A ．f (－72)<f (－3)<f (4)B ．f (－3)<f (－72)<f (4)C ．f (4)<f (－3)<f (－72)D ．f (4)<f (－72)<f (－3)答案 D解析 ∵f (x )在(－∞，－2]上是增函数，又－4<－72<－3，∴f (4)＝f (－4)<f (－72)<f (－3)．11．若奇函数f (x )在[a ，b ](a ，b >0)上是增函数，且最小值是1，则f (x )在[－b ，－a ]上是( )A ．增函数且最小值是－1B ．增函数且最大值是－1C ．减函数且最小值是－1D ．减函数且最大值是－1 答案 B解析 函数f (x )在[－b ，－a ]上的单调性与在[a ，b ]上的单调性相同．12．某地区植被被破坏后，土地沙漠化越来越严重，据测，最近三年该地区的沙漠增加面积分别为0.2万公顷，0.4万公顷和0.76万公顷，若沙漠增加面积y 万公顷是关于年数x 的函数关系，则此关系用下列哪个函数模拟比较好( )A ．y ＝x5B ．y ＝110(x 2＋2x )C ．y ＝110·2xD ．y ＝0.2＋log 16x答案 C解析 把x ＝1,2,3分别代入函数式，则求得函数值与实际值的误差最小者作为函数模拟最好．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上) 13．0.25－0.5＋2713 －6250.25＝________.解析 原式＝(14)－12 ＋2713 －62514 ＝2＋3－5＝0.14．已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}至多有一个元素，则a 的取值范围是________． 答案 a ＝0或a ≥98解析 当a ＝0时，－3x ＋2＝0，即x ＝23，满足题意；当a ≠0时，要使集合A 至多有一个元素， 只需Δ＝9－8a ≤0，即a ≥98.15．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ≥0时，有f (x )＝x2x ，则当x ≤0时，函数f (x )的解析式为________．答案 f (x )＝x ·2x解析 设x ≤0，则－x ≥0.所以f (－x )＝－x2－x .又因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )． 所以f (x )＝x2－x ＝x ·2x.16．某种商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格(每件x 元)在50≤x ≤80时，每天售出的件数P ＝100 000x －402，当销售价格定为________元时所获利润最多．答案 60解析 设销售价每件x 元，获利润y 元，则有y ＝(x －50)·100 000x －402＝100000[1x －40－10x －402]．将此式视为关于1x －40的二次函数，则当1x －40＝120，即x ＝60元时，y 有最大值． 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知集合A ＝{x |3≤x <7}，B ＝{x |2<x <10}，C ＝{x |x <a }． (1)求A ∪B ，(∁R A )∩B ；(2)若A ∩C ≠∅，求a 的取值范围．解析 (1)因为A ＝{x |3≤x <7}，B ＝{x |2<x <10}， 所以A ∪B ＝{x |2<x <10}，∁R A ＝{x |x <3或x ≥7}．所以(∁R A )∩B ＝{x |2<x <3或7≤x <10}．(2)因为A ＝{x |3≤x <7}，C ＝{x |x <a }，A ∩C ≠∅， 所以a >3，即a 的取值范围是{a |a >3}． 18．(12分)计算下列各式． (1)|1＋lg0.001|＋lg 212－4lg2＋4＋lg6－lg0.03； (2)(0.001) － 13 ＋(27) 23 －(14)－ 12 ＋(19)－1.5.解析 (1)原式＝|1＋lg10－3|＋lg 22－4lg2＋4＋lg6－lg 3100＝|1－3|＋lg2－22＋lg6－lg3＋2＝2＋2－lg2＋lg6－lg3＋2 ＝6＋lg 62×3＝6.(2)原式＝(10－3) － 13 ＋(33) 23 －(2－2) － 12 ＋(3－2) － 32 ＝10＋9－2＋27＝44. 19．(12分)已知函数f (x )＝mx ＋n 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f (12)＝25. (1)求实数m ，n 的值；(2)用定义证明f (x )在(－1,1)上是增函数； (3)解关于t 的不等式f (t －1)＋f (t )<0. 解析 (1)∵f (x )为奇函数，∴f (0)＝0，即n 1＝0，∴n ＝0.∴f (x )＝mx1＋x2.∵f (12)＝25，∴m21＋14＝25，∴m ＝1.∴f (x )＝x1＋x 2，综上，m ＝1，n ＝0.(2)∵f (x )＝x1＋x 2，x ∈(－1,1)，设0<x 1<x 2<1，f (x 1)－f (x 2)＝x 11＋x 21－x 21＋x 22＝x 1＋x 1x 22－x 2－x 2x 211＋x 211＋x 22＝x 1－x 2＋x 1x 2x 2－x 11＋x 211＋x 22＝x 1－x 21－x 1x 21＋x 211＋x 22， ∵0<x 1<x 2<1， ∴x 1－x 2<0,1－x 1x 2>0.∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． ∴f (x )在(－1,1)上单调递增． (3)∵f (t －1)＋f (t )<0， ∴f (t －1)<－f (t )＝f (－t )． ∵f (x )在(－1,1)上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧t －1<－t ，－1<t －1<1，－1<－t <1，得0<t <12.20．(12分)已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，且f (x y)＝f (x )－f (y )． (1)求f (1)的值；(2)若f (6)＝1，解不等式f (x ＋3)＋f (1x)≤2.解析 (1)令x ＝y ＝1，得f (1)＝0. (2)∵f (x ＋3)＋f (1x)≤f (6)＋f (6)，∴f (x ＋3)－f (6)≤f (6)－f (1x)．∵f (x y)＝f (x )－f (y )，∴f (x ＋36)≤f (6x )．∵f (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3>0，x >0，x ＋36≤6x ，得x ≥335.21．(12分)已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]． (1)当a ＝－1时，求f (x )的最大值和最小值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数． 解析 (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1. ∵f (x )在[－5,1]上单调递减，在[1,5]上单调递增， ∴f (x )min ＝f (1)＝1，f (x )max ＝f (－5)＝37. (2)f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2，∴f (x )在(－∞，－a ]上单调递减，在[－a ，＋∞)上单调递增． ∴－a ≤－5或－a ≥5，即a ≥5或a ≤－5.22．(12分)在中国轻纺城批发市场，季节性服装当季节即将来临时，价格呈上升趋势．设某服装开始时定价为10元，并且每周(7天)涨价2元，5周后开始保持20元的平稳销售；10周后当季节即将过去时，平均每周降价2元，直到16周末，该服装已不再销售．(1)试建立价格P 与周次t 之间的函数关系；(2)若此服装每件进价Q 与周次t 之间的关系式Q ＝－0.125(t －8)2＋12，t ∈[0,16]，t ∈N ，问该服装第几周每件销售利润最大？解析 (1)P ＝⎩⎪⎨⎪⎧10＋2t 0<t ≤5，20 5<t ≤10，20－2t －10 10<t ≤16.(2)设当t 周的利润为y ，则 y ＝P －Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.125t －82＋2t －20<t ≤5，0.125t －82＋85<t ≤10，0.125t －82－2t ＋28，10<t ≤16.当t ＝5时，y 最大＝738.。
人教版A版高中数学必修第一册 第一章综合测试01试题试卷含答案 答案在前
第一章综合测试答案解析一、 1.【答案】A【解析】A 显然正确；0不是集合，不能用符号“⊆”，B 错误；∅不是M 中的元素，C 错误；M 为无限集，D 错误. 2.【答案】D【解析】{}=0469B ，，，，B ∴的子集的个数为42=16. 3.【答案】D【解析】对于①，当=4a 为正整数；对于②，当=1x 时，为正整数；对于③，当=1y 时，为正整数，故选D .4.【答案】A【解析】由1231x --＜＜，得12x ＜＜，即{}|12x x x ∈＜＜，由30x x -（）＜，得03x ＜＜，即{}|03x x x ∈＜＜，{}|12x x ＜＜是{}|03x x ＜＜的真子集，{}|03x x ＜＜不是{}|12x x ＜＜的子集，故选A .5.【答案】D【解析】两个集合的交集其实就是曲线和直线的交点，注意结果是两对有序实数对. 6.【答案】B【解析】{=|=0A B x x 或}1x ≥，A 错误；{}=12A B ，，B 正确；{}{}R =|1=0A B x x B （）＜ ，C 错误；{}R =|0A B x x （）≠ ，D 错误.7.【答案】B【解析】方法一：11a a ⇒⇒＞，1011a a ⇒-⇒）＞＞，∴甲是乙的充要条件，故选B .方法二：20a a a a ⎧⇔⎨⎩＞，＞，，1a ∴＞，故选B .8.【答案】C【解析】由题意得N M ⊆，由Venn 图（图略）可知选C . 9.【答案】C【解析】由题意知，0=2bx a-为函数2=y ax bx c ++图象的对称轴方程，所以0y 为函数y 的最小值，即对所有的实数x ，都有0y y ≥，因此对任意x ∈R ，0y y ≤是错误的，故选C .10.【答案】D【解析】{}=|1U B x x - ＞ ，{}=|0U A B x x ∴ ＞ .{}=|0U A x x ≤ ，{}=|1U B A x x ∴- ≤ .{=|0U U A B B A x x ∴ （）（）＞ 或}1x -≤.11.【答案】A【解析】一元二次方程2=0x x m ++有实数解1=1404m m ⇔∆-⇔≥≤.当14m ＜时，14m ≤成立，但14m ≤时，14m ＜不一定成立.故“14m ＜”是“一元二次方程2=0x x m ++有实数解”的充分不必要条件.12.【答案】C【解析】A C A B ⊇ （）（），U U A C A B∴⊆ （）（） ，∴①为真命题.A C A B ⊆ （）（），U U A C A B∴⊇ （）（） ，即U U U U A C A B ⊇ （）（） ，∴②为真命题.由Venn 图（图略）可知，③为假命题.故选C . 二、13.【答案】x ∀∈R ，210x +≥【解析】存在量词命题的否定是全称量词命题. 14.【答案】0【解析】依题意得，23=3m m ，所以=0m 或=1m .当=1m 时，违反集合中元素的互异性（舍去）. 15.【答案】充分不必要【解析】由=2a 能得到1)(2)0(=a a --，但由1)(2)0(=a a --得到=1a 或=2a ，而不是=2a ，所以=2a 是1)(2)0(=a a --的充分不必要条件. 16.【答案】12【解析】设全集U 为某班30人，集合A 为喜爱篮球运动的15人，集合B 为喜爱乒乓球运动的10人，如图.设所求人数为x ，则108=30x ++，解得=12x . 三、17.【答案】（1）命题的否定：有的正方形不是矩形，假命题（2.5分） （2）命题的否定：不存在实数x ，使31=0x +，假命题.（5分） （3）命题的否定：x ∀∈R ，2220x x ++＞，真命题.（7.5分）（4）命题的否定：存在0x ，0y ∈R ，00110x y ++-＜，假命题.（10分）18.【答案】（1）{=|1U A x x - ＜ 或1x ≥，{=|12U A B x x ∴（）≤≤ .（6分） （2）{}=|01A B x x ＜＜，{=|0U A Bx x ∴ （）≤ 或}1x ≥.（12分） 19.【答案】①若=A ∅，则2=240p ∆+-（）＜，解得40p -＜＜.（4分）②若方程的两个根均为非正实数，则12120=200.10.=x x p p x x ∆⎧⎪+-+⎨⎪⎩≥，（）≤，解得≥＞（10分） 综上所述，p 的取值范围是{}|4p p -＞.（12分） 20.【答案】证明：①充分性：若存在0x ∈R ，使00ay ＜，则2220004=4b ab b a y ax bx ----（） 222000=444b abx a x ay ++-200=240b ax ay +-（）＞，∴方程=0y 有两个不等实数根.（6分）②必要性：若方程=0y 有两个不等实数根. 则240b ab -＞，设0=2bx a-， 则20=22b b ay a a b c a a ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦（）（） 2224==0424b b ac b ac --+＜（10分） 由①②知，“方程=0y 有两个不等实根”的充要条件是“存在0x ∈R ，使00ay ＜”.（12分） 21.【答案】（1）当=2a 时，{}=|17A x x ≤≤，{}=|27AUB x x -≤≤，（3分）{R =|1A x x ＜ 或}7x ＞，{}R =|21A B x x - （）≤＜ .（6分）（2）=A B A ，A B ∴⊆.①若=A ∅，则123a a -+＞，解得4a -＜；（8分）②若A ∅≠，则12311212234.a a a a a -+⎧⎪⎪---⎨⎪+⎪⎩≤，≥，解得≤≤≤，（10分）综上可知，a 的取值范围是1|412a a a ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭＜或≤≤.（12分）22.【答案】设选修甲、乙、丙三门课的同学分别组成集合A ，B ，C ，全班同学组成的集合为U ，则由已知可画出Venn 图如图所示.（2分）选甲、乙而不选丙的有2924=5-（人）， 选甲、丙而不选乙的有2824=4-（人）， 选乙、丙而不选甲的有2624=2-（人），（6分） 仅选甲的有382454=5---（人）， 仅选乙的有352452=4---（人）， 仅选丙的有312442=1---（人），（8分）所以至少选一门的人数为24542541=45++++++，（10分） 所以三门均未选的人数为5045=5-.（12分）第一章综合测试一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}=|23M x x -＜＜，则下列结论正确的是（ ） A .2.5M ∈ B .0M ⊆C .M ∅∈D .集合M 是有限集2.已知集合{}=023A ，，，{}=|=B x x ab a b A ∈，，，则集合B 的子集的个数是（ ） A .4B .8C .15D .163.下列存在量词命题中，真命题的个数是（ ）①存在一个实数a 为正整数；②存在一个实数x ，使为正整数；③存在一个实数y 为正整数. A .0B .1C .2D .34.已知1231p x --:＜＜，30q x x -:（）＜，则p 是q 的（ ） A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件5.设集合{}2=|=+M x y y x x （，），{}N=|=+16x y y x （，），则M N 等于（ ） A .416（，）或412-（，）B .{420，，}412-， C .{412（，），}420-（，）D .{420（，），}412-（，）6.若集合{}=|1A x x ≥，{}=012B ，，，则下列结论正确的是（ ） A .{}=|0A B x x ≥B .{}=12A B ，C .{}R =01A B （），D .{}R =|1A B x x（）≥7.甲：“1a ＞”是乙：“a ”的（ ） A .既不充分也不必要条件 B .充要条件 C .充分不必要条件D .必要不充分条件8.已知全集*=U N ，集合{}*=|=2M x x n n ∈N ，，{}*=|=4N x x n n ∈N ，，则（ ）A .=U M NB .=U U M N （）C .=U U M N （）D .=U U M N （）9.已知0a ＞，函数2=++y ax bx c .若0x 满足关于x 的方程2+b=0ax ，则下列选项中的命题为假命题的是（ ）A .存在x ∈R ，y y 0≤B .存在x ∈R ，0y y ≥C .对任意x ∈R ，y y 0≤D .对任意x ∈R ，0y y ≥10.已知=U R ，{}=|0A x x ＞，{}=|1B x x -≤，则U U A B B A （）（） 等于（ ）A .∅B .{}|0x x ≤C .{}|1x x -＞D .{|0x x ＞或}1x -≤11.“14m ＜”是“一元二次方程2++=0x x m 有实数解”的（ ）A .充分不必要条件B .充要条件C .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件12.已知U 为全集，A ，B ，C 是U 的子集，A C A B ⊆ （）（），A C A B ⊇ （）（），则下列命题中，正确的个数是（ ）①U U A C A B ⊆ （）（） ； ②U U U U A C A B ⊇ （）（） ；③C B ⊆. A .0B .1C .2D .3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上） 13.命题：“0x ∃∈R ，2+10x ＜”的否定是________.14.设集合{}2=33A m ，，{}=33B m ，，且=A B ，则实数m 的值是________. 15.若a ∈R ，则“=2a ”是“(1)(2)=0a a --”的________条件.16.某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）写出下列命题的否定并判断其真假. （1）所有正方形都是矩形；（2）至少有一个实数0x 使3+1=0x ；（3）0x ∃∈R ，2+2+20x x ≤；（4）任意x ，y ∈R ，+1+10x y -≥.18.（本小题满分12分）设全集=U R ，集合{}=|11A x x -≤＜，{}=|02B x x ＜≤.（1）求U A B （） ；（2）求U A B（） .19.（本小题满分12分）已知{}2=|+2++1=0A x x p x x ∈Z （），，若{}|0=A x x ∅ ＞，求p 的取值范围.20.（本小题满分12分）已知2=0y ax bx c a b c a ++∈R （，，，且≠）.证明：“方程=0y 有两个不相等的实数根”的充要条件是“存在0x ∈R ，使00ay ＜”.21.（本小题满分12分）已知集合{}=|12+3A x a x a -≤≤，{}=|24B x x -≤≤，全集=.U R（1）当=2a 时，求A B 和R A B （） ；（2）若=A B A ，求实数a 的取值范围.22.（本小题满分12分）某班有学生50人，学校开设了甲、乙、丙三门选修课，选修甲的有38人，选修乙的有35人，选修丙的有31人，兼选甲、乙两门的有29人，兼选甲、丙两门的有28人，兼选乙、丙两门的有26人，甲、乙、丙三门均选的有24人，那么这三门均未选的有多少人？。
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10．函数f (x )＝x (x 2－1)的大致图象是( )答案：A解析：∵f (－x )＝(－x )[(－x )2－1]＝－x (x 2－1)＝－f (x )∴y ＝x (x 2－1)为奇函数，排除C 、D.又0<x <1时，y <0.故选A.11．已知f (x )是R 上的偶函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝x ＋1，则f (3)等于( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1答案：A解析：由条件知f (3)＝f (－1＋4)＝f (－1)．又因为f (－1)＝f (1)，当x ∈(0,2)时，f (x )＝x ＋1，所以f (1)＝2.所以f (3)＝f (－1)＝f (1)＝2.12．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x (x ＜1)，(a －3)x ＋4a (x ≥1)满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0成立，则a 的取值范围是( )A ．(0，34)B ．(0，34] C ．(0,1) D ．[3，＋∞)答案：B解析：由题意知f (x )在R 上是减函数，∴0＜a ＜1，又a －3＋4a ≤a,4a ≤3，a ≤34，∴0＜a ≤34. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．已知函数f (x )对任意x ，y ∈R ，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且f (2)＝4，则f (－1)等于________．答案：－2解析：由题意得f (0)＝f (0)＋f (0)∴f (0)＝0.又f (x －x )＝f (x )＋f (－x )＝0∴f (x )为奇函数．f (2)＝f (1)＋f (1)＝4∴f (1)＝2，则f (－1)＝－2.14．若函数f (x )＝log a (x ＋1)(a >0，且a ≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则a 的值是________．答案：2解析：∵0≤x ≤1，∴1≤x ＋1≤2，又函数f (x )值域[0,1]，∴a >1，∴f (1)＝log a (1＋1)＝1，∴a ＝2.15．对于任意实数a 、b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b b ，a ＞b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________．答案：1解析：依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x (0＜x ≤2)－x ＋3(x ＞2)，结合图象，易知h (x )的最大值为1. 16．已知y ＝f (x )＋x 是偶函数，且f (2)＝lg32＋log 416＋6lg 12＋lg 15，若g (x )＝f (x )＋1，则g (－2)＝________. 答案：6解析：f (2)＝lg32＋log 416＋6lg 12＋lg 15＝5lg2＋2－6lg2－lg5＝2－(lg2＋lg5)＝2－1＝1， 因为y ＝f (x )＋x 是偶函数，所以f (－x )－x ＝f (x )＋x ，所以f (－x )＝f (x )＋2x ，所以g (－2)＝f (－2)＋1＝f (2)＋2×2＋1＝6.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)求下列各式的值：(1)1.513-×⎝⎛⎭⎫－760＋80.25×42＋(32× 3)6－；(2)2log 32－log 3329＋log 38－552log 3. 解：(1)原式＝⎝⎛⎭⎫2313×1＋(23)14×214＋(213)6×(312)6－[⎝⎛⎭⎫2323]12 ＝⎝⎛⎭⎫2313＋(23×2) 14＋22×33－⎝⎛⎭⎫2313 ＝2＋4×27＝110.(2)原式＝2log 32－(log 325－log 332)＋log 323－5log 59＝2log 32－5log 32＋2log 33＋3log 32－9＝2－9＝－7.18．(12分)已知集合A ＝{x |x 2＋ax －6＝0}，B ＝{x |x 2＋bx ＋c ＝0}，且A ≠B ，A ∪B ＝{－2,3}，A ∩B ＝{－2}，求a ，b ，c 的值．解：∵A ∩B ＝{－2}，∴－2∈A 且－2∈B ，将－2代入方程：x 2＋ax －6＝0中，得a ＝－1，从而A ＝{－2,3}．将－2代入方程x 2＋bx ＋c ＝0，得2b －c ＝4.∵A ∪B ＝{－2,3}，∴A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .∵A ≠B ，∴B ＝{－2}．。
2014-2015学年(人教A版必修一)高中数学模块综合检测卷及答案
数学·必修1(人教A版)模块综合检测卷(测试时间：120分钟评价分值：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列四个命题中，设U为全集，则错误命题是()A．A∩B＝∅⇒(∁U A)∪∁U B)＝U B．A∩B＝∅⇒A＝B＝∅C．A∪B＝U⇒(∁U A)∩(∁U B)＝∅D．A∪B＝∅⇒A＝B＝∅答案：B2．(2013·陕西卷)设全集为R，函数f(x)＝1－x2的定义域为M，则∁R M为()A．[－1,1] B．(－1,1)C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案：D3．已知函数f(x)的图象如右图所示，则f(x)等于()A.x2－2|x|＋1B．x2－2|x|＋1C．|x2－1|D.x 2－2x ＋1解析：A 中x 2－2|x |＋1＝(|x |－1)2＝||x |－1|，画图知选A.B 、C 、D 均错．答案：A4．函数y ＝x －1x ＋1，x ∈(0,1)的值域是( )A ．[1,0)B ．(－1,0]C ．(－1,0)D ．[－1,0]解析：因y ＝x －1x ＋1，x ∈(0,1)上为单调增函数，故所求其值域为(－1,0)． 答案：C5．在下列各图中，能表示从集合A ＝[0,3]到集合B ＝[0,2]的函数的是( )答案：．B6．已知集合A ＝{y |y ＝log 2x ，x ＞1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ＞1，则A ∩B ＝( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪ 0＜y ＜12 B ．{y |0＜y ＜1} C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪12＜y ＜1 D ．∅答案：A7．若偶函数f (x )在(－∞，－1]上是增函数，则下列关系中成立的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＜f (－1)＜f (2)B ．f (－1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＜f (2) C ．f (2)＜f (－1)＜⎝ ⎛⎭⎪⎫－32 D ．f (2)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＜f (－1)答案：D8．函数f (x )＝1ln (x ＋1)＋4－x 2的定义域为( )A ．[－2,0)∪(0,2]B ．(－1,0)∪(0,2]C ．[－2,2]D ．(－1,2]解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，ln (x ＋1)≠0，4－x 2≥0，得－1＜x ≤2，且x ≠0.答案：B9．(2013·辽宁卷)已知集合A ＝{x |0<log 4x <1}，B ＝{x |x ≤2}，则A ∩B ＝( )A ．(0,1)B ．(0,2]C ．(1,2)D ．(1,2]答案：D10．函数y ＝1－11＋x的图象是( )答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填写在题中的横线上)11．设a ，b ∈R 集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝________.答案：212．若函数f (x )＝x －4mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是________．解析：①当m ＝0时，f (x )＝x －43.显然其定义域为R.②当m ≠0，Δ＝(4m )2－4m ×3<0，解得0<m <34.综合①②知0≤m <34.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，3413．我国2001年底的人口总数为M ，要实现到2011年底我国人口总数不超过N (其中M <N )，则人口的年平均自然增长率p 的最大值是______．答案：10NM －114．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4＜0恒成立，则m 的取值范围是________．解析：x ∈(1,2)时，x 2＋mx ＋4<0恒成立． ∵x 2＋mx ＋4<0，∴m <－x －4x .∵y ＝－x －4x 在x ∈(1,2)上是单调增函数， ∴y >－5，∴m ≤－5. 答案：m ≤－5三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |3≤x ≤7}， B ＝{x |2＜x ＜10}，C ＝{x |x ＜a }． (1)求A ∪B ； (2)求(∁R A )∩B ；(3)若A C ，求a 的取值范围．解析：(1)A ＝{x |3≤x ≤7} B ＝{x |2＜x ＜10}∴A ∪B ＝{x |2＜x ＜10}． (2)∵A ＝{x |3≤x ≤7}， ∴∁R A ＝{x |x ＜3或＞7}(∁R A )∩B ＝{x |x ＜3或x ＞7}∩{x |2＜x ＜10}＝{x |2＜x ＜3或7＜x ＜10}．(3)∵A C ，∴a ＞7.16．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3) (a ＞0且a ≠1)．(1)求函数f (x )的定义域和值域；(2)若函数f (x )有最小值为－2，求a 的值．解析：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，x ＋3＞0，得－3＜x ＜1，所以函数的定义域{x |－3＜x ＜1}， f (x )＝log a (1－x )(x ＋3)，设t ＝(1－x )(x ＋3)＝4－(x ＋1)2， 所以t ≤4，又t ＞0，则0＜t ≤4.当a ＞1时，y ≤log a 4，值域为{y |y ≤log a 4}． 当0＜a ＜1时，y ≥log a 4，值域为{y |y ≥log a 4}．(2)由(1)知：当0＜a ＜1时，函数有最小值，所以log a 4＝－2，解得a ＝12.17.(本小题满分14分)某自来水厂的蓄水池有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t 小时内供水总量为120 6t 吨，其中0≤t ≤24.(1) 从供水开始到第几小时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？(2) 若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象？解析：设供水t 小时，水池中存水y 吨．(1)y ＝400＋60t －1206t ＝60(t －6)2＋40(1≤t ≤24)． 当t ＝6时，y min ＝40(吨)，故从供水开始到第6小时，蓄水池中的存水量最少，最少水量40吨．(2)依条件知⎩⎪⎨⎪⎧60(t －6)2＋40＜80，1≤t ≤24，解得83＜t ＜323，即323－83＝8.答：一天24小时内有8小时出现供水紧张.18．(本小题满分14分)某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )．当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)；当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x＋10 000x －1 450(万元)．通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂年内生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式．(2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解析：(1)当0＜x ＜80，x ∈N *时，L (x )＝500×1 000x 10 000－13x 2－10x －250＝－13x 2＋40x －250.当x ≥80，x ∈N *时，L (x )＝500×1 000x 10 000－51x －10 000x ＋1 450－250＝1 200－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x . ∴L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋40x －250(0＜x ＜80，x ∈N *)，1 200－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x(x ≥80，x ∈N *).(2)当0＜x ＜80，x ∈N *时，L (x )＝－13(x －60)2＋950，∴当x ＝60时，L (x )取得最大值L (60)＝950(万元)． 当x ≥80，x ∈N *时，L (x )＝1 200－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x ＝1 200－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －100x 2－200≤1 000.故当x ＝100x，即x ＝100时，L (x )取得最大值1 000万元，即生产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．19.(本小题满分14分)已知函数f(x)＝x2＋ax(x≠0)，常数a∈R.(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上为增函数，求a的取值范围．解析：(1)当a＝0时，f(x)＝x2，对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，∴f(x)为偶函数．当a≠0时，f(x)＝x2＋ax(a≠0，x≠0)，取x＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0，f(－1)－f(1)＝－2a≠0，∴f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)，∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．(2)设2≤x1≤x2，f(x1)－f(x2)＝x21＋ax1－x22－ax2＝(x1－x2)x1x2·[x1x2(x1＋x2)－a]，要使函数f(x)在x∈[2，＋∞)上为增函数，必须f(x1)－f(x2)＜0恒成立．∵x1－x2＜0，x1x2＞4，即a＜x1x2(x1＋x2)恒成立．又∵x1＋x2＞4，∴x1x2(x1＋x2)＞16.∴a的取值范围是(－∞，16]．20．(本小题满分14分)函数f (x )定义在区间(0，＋∞)上，且对任意的x ∈R ＋，y ∈R 都有f (x y )＝yf (x )．(1)求f (1)的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0，求证：f (x )在(0，＋∞)上为增函数．(1)解析：令x ＝1，y ＝2，则有f (12)＝2f (1)， 则f (1)＝0.(2)证明：对任意0＜x 1＜x 2，存在s 、t 使得x 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12s ，x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ，且s ＞t ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0，则f (x 1)－f (x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫12s －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ＝(s －t )f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0， 即f (x 1)＜f (x 2)，故函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数．。
高一数学必修模块1综合考试卷(人教A版)附答案.doc
一、 选择题（每小题5分，共60分）1.设集合A 二{3的倍数}, B 二{2的倍数}・则AUB 是（ ）.A. {偶数}B. {被2或3整除的数}C. {6的倍数}D. {2和3的公倍 数}2•若 U 二 R,集合 A 二{x I xNl,或 x<-l},B 二{x I xW-l}・则 BQ （C L A ）为（ ）.A. 0B. {x | x<-l}C. {x | —lWx 〈l}D. {-1}3.已知集合A={x | aTWxWa+2}, B={x | 3<x<5}.则能使AoB 成立的实数a p 二 07. 若集合A 二{x | kx?+4x+4二0, XGR}只有一个元素.则集合A 中实系数k 的值为 （ ）・A. 1B. 0C. 0或1D.以上答案 都不对8. 已知集合A={x | -2<x<4） ,B={x | x^a}，若AGB 二0,且AUB 中不含元素6•则 下列值中a 可能是（ ）.A. 4B. 5C. 6D. 7 9•已知集合A, B, C 满足A 尝古则下列各式中错误的是( ).A. (AUB^ CB. AAC $C. A (BPC) 隅(AUC) B的取值范圉是（A. {a I 3<aW4} 4. 满足条件MU {2, 3} = {1, 2, 3}的集合M 的个数是（A. 1B. 25. 下列集合中，只有一个子集的集合是（ A. {x | x'WO} B. {x I x'WO}6•已知集合A 、B 、C 为非空集合，M 二AQC, A. 一定有 c n p=c B . 一定有 c n P =P)・ B. {a I C ・{a I 3<a<4}C. 3 )・C. {x | x 2<0} N=BAC, P=MU Nc. 一定有 cnp=cup )・ D. 0 D. 4 D. {x | x 3<0} ( )・ D.—定有CQ 10.设全集I 二{（x, y) I x, yWR},集合 M 二{(x, y) N 二{(x, y) | y Hx+1}・那么Ci (M UN)等于(A. 0B. {(2, 3)}D. {(x, y) | y 二x+1} ). C. (2, 3)11.已知1］二匕 A={x | x>3 V2 }, a=—— ・贝lj (2-V3 ).A. a c Ci AB. Ci AC. {a} G A C.A12 •设A,B非空集合，且A QB二0,若M二{A的子集},W二{x | x 15}・则（).A.MPW= 0B. APB^MUW c.Mnw={ 0 } D. AUB^MnW二、填空题(每小题4分，共16分)13•方程x2-3ax + 2a2=0 (aHO)的解集为______________________________ 。
高中数学人教A版必修第一册综合检测试题
综合检测试题选题明细表一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={x|2x-1≥1}，B={y|y=log3x，x∈A}，则∁B A等于( B )A.(0，1)B.[0，1)C.(0，1]D.[0，1]解析:由题得A={x|2x-1≥20}={x|x≥1}，B={y|y≥0}，所以∁B A={x|0≤x<1}.故选B.2.若a=0.60.7，b=0.70.6，c=lg 3，则下列结论正确的是( D )A.b>c>aB.c>a>bC.a>b>cD.b>a>c解析:因为y=x0.6为增函数，y=0.6x为减函数，所以0.70.6>0.60.6>0.60.7>0.61，c=lg 3<lg √10=0.5， 所以b>a>c.故选D.3.已知正实数x ，y 满足x+2y=2xy ，则x+y 的最小值为( D ) A.4 B.√2 C.√3 D.√2+32解析:因为正实数x ，y 满足x+2y=2xy ， 所以x+2y xy=2，即1y +2x =2，所以x+y=(x+y 2)·(1y +2x )=x 2y +1+12+y x ≥32+2√x 2y ·y x =32+√2，当且仅当x 2=2y 2时，等号成立. 故选D.4.已知函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)=log 2(x+1)+ax ，且f(-3)=a ，则f(7)等于( B ) A.12B.-12C.log 23D.2解析:因为函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)=log 2(x+1)+ax ，且f(-3)=-f(3)=a ，所以f(3)=-a ，即2+3a=-a ，所以a=-12，则f(7)=log 28+7a=3-72=-12.故选B.5.已知2sin 2α=1+cos 2α，则tan 2α等于( D ) A.-43 B.43C.-43或0 D.43或0解析:因为{2sin2α=1+cos2α,sin 22α+cos 22α=1,所以{sin2α=0,cos2α=-1或{sin2α=45,cos2α=35.所以tan 2α=0或tan 2α=43.故选D.6.将函数f(x)=sin(2x+π6)的图象分别向左、向右平移ϕ(ϕ>0)个单位长度后，所得的图象都关于y 轴对称，则ϕ的最小值分别为( A ) A.π6，π3B.π3，π6C.2π3，5π6D.π6，π12解析:函数f(x)的图象向左平移ϕ个单位长度得到函数g(x)= sin(2x+2ϕ+π6)的图象，因为g(x)图象关于y 轴对称，则2ϕ+π6=π2+k π，k ∈Z ，即ϕ=π6+kπ2，k∈Z ，而ϕ>0， 则ϕmin =π6;函数f(x)的图象向右平移ϕ个单位长度得函数h(x)=sin(2x-2ϕ+π6)的图象，因为函数h(x)关于y 轴对称，则有-2ϕ+π6=π2+k π，k ∈Z ，即ϕ=-π6-kπ2，k ∈Z ，而ϕ>0，则ϕmin =π3，所以ϕ的最小值分别为π6，π3.故选A.7.如图所示，其对应的函数解析式可能是( B )A.f(x)=1|x -1|B.f(x)=1||x |-1|C.f(x)=11-x2D.f(x)=11+x 2解析:函数的定义域为{x|x ≠±1}，排除选项A 和D ，当x ∈(1，+∞)时，f(x)>0，可排除选项C.故选B. 8.已知函数f(x)=ln(1+x 2)-11+|x |，若实数a 满足f(log 3a)+f(lo g 13a)≤2f(1)，则a 的取值范围是( D ) A.[1，3] B.(0，13)C.(0，3]D.[13，3]解析:函数f(x)=ln(1+x 2)-11+|x |，故函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，且f(x)为偶函数，若实数a 满足f(log 3a)+f(lo g 13a)≤2f(1)，即f(log 3a)+f(-log 3a)≤2f(1)，f(log 3a)≤f(1)，所以|log 3a|≤1，即-1≤log 3a ≤1，故13≤a ≤3.故选D.二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知f(x)={log 3x ,x >0,2x ,x ≤0,角α的终边经过点(1，2√2)，则下列结论正确的是( AC )A.f(cos α)=-1B.f(sin α)=1C.f(f(cos α))=12D.f(f(sin α))=2解析:因为角α的终边经过点(1，2√2)， 所以sin α=2√23，cos α=13， 所以f(cos α)=f(13)=log 313=-1， f(sin α)=f(2√23)=log 32√23<0， 所以f(f(cos α))=f(-1)=2-1=12， f(f(sin α))=2log 32√23.故选AC.10.下列命题正确的是( ABD ) A.函数f(x)=x+1x (x>0)的最小值为2B.函数y=2-x-4x(x>0)的最大值为-2C.函数f(x)=2x+1x的最小值为2√2D.函数f(x)=2√x 2+1的最小值为3解析:因为x>0，所以f(x)=x+1x≥2√1=2，当且仅当x=1x，即x=1时，取等号，所以函数的最小值为2，所以A 正确;因为x>0，所以f(x)=x+4x≥2√4=4，当且仅当x=4x，即x=2时，取等号，所以函数f(x)的最小值为4，所以函数y 的最大值为-2，所以B 正确;当x=-1时，f(-1)=-3，所以C 错误; 设√x 2+1=t(t ≥1)，则x 2=t 2-1，则f(t)=2t 2+1t=2t+1t，在[1，+∞)上任取t 1，t 2.令t 1<t 2，则f(t 1)-f(t 2)=2(t 1-t 2)+(1t 1-1t 2)=(t 1-t 2)·(2-1t 1t 2).因为1≤t 1<t 2，所以t 1-t 2<0，2-1t 1t 2>0，所以f(t 1)<f(t 2).则f(t)=2t+1t在[1，+∞)上为增函数，所以当t=1时，f(t)的最小值为f(1)=3， 所以D 正确.故选ABD.11.已知直线x=π8是函数f(x)=sin(2x+ϕ)(0<ϕ<π)的一条对称轴，则( ACD ) A.f(x+π8)是偶函数B.x=3π8是f(x)的一条对称轴C.f(x)在[π8，π2]上单调递减D.y=f(x)与g(x)=sin(2x-π4)的图象关于直线x=π4对称解析:直线x=π8是函数f(x)=sin(2x+ϕ)(0<ϕ<π)的一条对称轴，所以2×π8+ϕ=k π+π2，k ∈Z ，所以ϕ=π4，所以f(x+π8)=sin(2x+π2)=cos 2x ，是偶函数，故A 正确;由2x+π4=k π+π2(k ∈Z)，解得x=kπ2+π8(k ∈Z)，所以f(x)的对称轴方程为x=kπ2+π8(k ∈Z)，而x=3π8不能满足上式，故B 错误;当x ∈[π8，π2]，2x+π4∈[π2，5π4]，此时函数f(x)单调递减，故C 正确;显然，f(x)=sin(2x+π4)与g(x)=sin(2x-π4)的图象关于直线x=π4对称，故D 正确.故选ACD.12.高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的“高斯函数”为设 x ∈R ，用[x]表示不超过x 的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，例如:[-1.5]=-2，[2.1]=2.已知函数f(x)=2x -11+2x，则关于函数g(x)=[f(x)]的叙述正确的是( BCD ) A.g(x)是奇函数 B.f(x)是奇函数 C.f(x)在R 上是增函数 D.g(x)的值域是{-1，0}解析:因为函数g(x)=[f(x)]，且f(x)=2x -11+2x ，所以g(1)=[f(1)]=0， g(-1)=[f(-1)]=-1， 所以g(-1)≠-g(1)，则g(x)不是奇函数，故选项A 错误; 因为f(x)=2x -11+2x，则f(-x)=2-x -11+2-x =1-2x2x +1=-f(x)，所以f(x)为奇函数，故选项B 正确; 因为f(x)=2x -11+2x=1+-22x +1，又y=2x +1在R 上为单调递增函数， 则y=-22x +1在R 上为单调递增函数，所以f(x)在R 上为单调递增函数，故选项C 正确; 因为2x >0，则-1<1+-22x +1<1，所以-1<f(x)<1，当-1<f(x)<0时，则g(x)=[f(x)]=-1;当0≤f(x)<1时，则g(x)=[f(x)]=0，所以g(x)∈{-1，0}，则g(x)的值域为{-1，0}，故选项D正确.故选BCD.三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数f(x)=(m2+m-1)x m+1是幂函数，且该函数在第一象限是增函数，则m的值是.解析:由函数f(x)=(m2+m-1)x m+1是幂函数，则m2+m-1=1，解得m=-2或m=1;当m=-2时，f(x)=x-1在第一象限内不是增函数，不符合题意;当m=1时，f(x)=x2在第一象限内是增函数，满足题意.所以m的值是1.答案:114.已知函数y=2x，当x>0时，函数值的取值范围构成集合A，函数y=x k，在x∈A时，函数值的取值范围构成集合B，则A∩B=∅的充要条件是.解析:已知函数y=2x，当x>0时，函数值的取值范围构成集合A=(1，+∞)，当x∈(1，+∞)时，函数y=x k∈(0，+∞)，由于A∩B=∅，故x k≤1=x0，故k≤0.故A ∩B= 的充要条件是k ≤0. 答案:k ≤015.已知函数y=f(x)满足f(2)>5，且以(1，1)点为对称中心，写出一个符合条件的函数y= . 解析:因为函数的对称中心为(1，1)， 所以不妨设为分式函数f(x)=a x -1+1，因为f(2)>5，所以f(2)=a+1>5，解得a>4， 不妨取a=5，即y=5x -1+1.答案:y=5x -1+1(答案不唯一)16.已知f(x)=2sin(2x+π3)，若∃x 1，x 2，x 3∈[0，3π2]，且x 1<x 2<x 3，使得f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)，则x 1+x 2+x 3的最小值为 ，最大值为 .解析:作出f(x)图象如图所示，当f(x)图象与y=√3图象相交时，前三个交点横坐标依次为x 1，x 2，x 3，此时x 1+x 2+x 3最小;x 1+x 2=π12×2=π6，f(π)=2sin(2π+π3)=√3，x 3=π，所以最小值为π6+π=7π6;当f(x)图象与y=-√3图象相交时，交点横坐标依次为x 1，x 2，x 3，此时x 1+x 2+x 3最大，x 1+x 2=7π12×2=7π6，f(3π2)=2sin(3π+π3)=-√3，x 3=3π2，最大值为7π6+3π2=8π3.答案:7π68π3四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分)若函数y=lg(√3-2sin x)+√1-x 2的定义域为A. (1)求集合A;(2)当x ∈A 时，求函数y=cos 2x+sin x 的最大值. 解:(1)由题意可得{√3-2sinx >0,1-x 2≥0, 解得-1≤x ≤1， 即集合A=[-1，1].(2)y=cos 2x+sin x=-sin 2x+sin x+1，x ∈[-1，1]， 令t=sin x ∈[-sin 1，sin 1]， 则y=-t 2+t+1=-(t -12)2+54，故当t=12时，函数取得最大值为54.18.(本小题满分12分)某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD 挖去扇形OBC 后构成的).已知OA=10，OB= x(0<x<10)，线段BA ，CD 与BC ⏜，AD ⏜的长度之和为30，圆心角为θ弧度.(1)求θ关于x 的函数表达式;(2)记铭牌的截面面积为y ，试问:x 取何值时，y 的值最大?并求出最 大值.解:根据题意，可得BC ⏜=x ·θ，AD ⏜=10θ. 又BA+CD+BC⏜+AD ⏜=30， 所以10-x+10-x+x ·θ+10θ=30， 所以θ=2x+10x+10(0<x<10).(2)y=S 扇形OAD -S 扇形OBC =12θ×102-12θx 2=12θ×(102-x 2)=12θ×(10+x) (10-x)，化简得y=-x 2+5x+50=-(x -52)2+2254.于是，当x=52(满足条件0<x<10)时，y max =2254.所以当x=52时，铭牌的截面面积最大，且最大面积为2254.19.(本小题满分12分) 已知函数f(x)=log 3(3x+1)-12x.若不等式f(x)-12x-a ≥0对x ∈(-∞，0]恒成立，求实数a 的取值范围.解:因为不等式f(x)-12x-a ≥0在区间(-∞，0]上恒成立，即a ≤log 3(3x +1)-x 在区间(-∞，0]上恒成立， 令g(x)=log 3(3x +1)-x=log 3(1+13x )，因为x ∈(-∞，0]，所以1+13x ≥2，所以g(x)=log 3(1+13x )≥log 32，所以a ≤log 32，所以a 的取值范围是(-∞，log 32]. 20.(本小题满分12分)已知α∈(0，π2)，β∈(π2，π)，cos β=-13，sin(α+β)=79.(1)求tan β2的值;(2)求sin α的值.解:(1)因为cos β=cos 2β2-sin 2β2=cos 2β2-sin 2β2cos 2β2+sin 2β2=1-tan 2β21+tan 2β2，且cos β=-13，所以1-tan 2β21+tan 2β2=-13，解得tan 2β2=2，因为β∈(π2，π)，所以β2∈(π4，π2)，所以tan β2>0，所以tan β2=√2.(2)因为β∈(π2，π)，cos β=-13，所以sin β=√1-cos 2β=√1-(-13) 2=2√23， 又α∈(0，π2)， 故α+β∈(π2，3π2)，又sin(α+β)=79，所以cos(α+β)=-√1-sin 2(α+β)=-√1-(79)2=-4√29.所以sin α=sin[(α+β)-β] =sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β =79×(-13)-(-4√29)×2√23=13.21.(本小题满分12分)在①f(x)的图象关于直线x=5π6对称，②f(x)的图象关于点(5π18，0)对称，③f(x)在[-π4，π4]上单调递增，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的正实数a 存在，求出a 的值;若a 不存在，说明理由.已知函数f(x)=4sin(ωx+π6)+a(ω∈N *)的最小正周期不小于π3，且 ，是否存在正实数a ，使得函数f(x)在[0，π12]上有最大值3?解:由于函数f(x)的最小正周期不小于π3，所以2πω≥π3，所以1≤ω≤6，ω∈N *，若选择①，即f(x)的图象关于直线x=5π6对称，有5π6ω+π6=k π+π2(k ∈Z)，解得ω=65k+25(k ∈Z)，由于1≤ω≤6，ω∈N *，k ∈Z ，所以k=3，ω=4， 此时，f(x)=4sin(4x+π6)+a ，由x ∈[0，π12]，得4x+π6∈[π6，π2]，因此当4x+π6=π2，即x=π12时，f(x)取得最大值4+a ，令4+a=3，解得a=-1<0，不符合题意.故不存在正实数a ，使得函数f(x)在[0，π12]上有最大值3.若选择②，即f(x)的图象关于点(5π18，0)对称，则有5π18ω+π6=k π(k ∈Z)，解得ω=185k-35(k ∈Z)，由于1≤ω≤6，ω∈N *，k ∈Z ，所以k=1，ω=3. 此时，f(x)=4sin(3x+π6)+a.由x ∈[0，π12]，得3x+π6∈[π6，5π12]，因此当3x+π6=5π12，即x=π12时，f(x)取得最大值4sin 5π12+a=√6+√2+a ，令√6+√2+a=3，解得a=3-√6-√2<0，不符合题意. 故不存在正实数a ，使得函数f(x)在[0，π12]上有最大值3.若选择③，即f(x)在[-π4，π4]上单调递增，则有{-ωπ4+π6≥2kπ-π2,ωπ4+π6≤2kπ+π2(k ∈Z)，解得{ω≤-8k +83,ω≤8k +43(k ∈Z)， 由于1≤ω≤6，ω∈N *，k ∈Z ，所以k=0，ω=1. 此时，f(x)=4sin(x+π6)+a.由x ∈[0，π12]，得x+π6∈[π6，π4]，因此，当x+π6=π4，即x=π12时，f(x)取得最大值2√2+a ，令2√2+a=3，解得a=3-2√2，符合题意.故存在正实数a=3-2√2，使得函数f(x)在[0，π12]上有最大值3.22.(本小题满分12分)设函数f(x)=ka x -a -x (a>0，且a ≠1)是定义域为R 上的奇函数. (1)求k 的值;(2)若f(1)>0，试求不等式f(x 2+2x)+f(x-4)>0的解集;(3)若f(1)=32，且g(x)=a 2x +a -2x -2mf(x)在[1，+∞)上的最小值为-2，求m 的值.解:(1)因为f(x)是定义域为R 上的奇函数，所以f(0)=0，所以k-1=0，所以k=1，经检验k=1符合题意. (2)因为f(1)>0，所以a-1a >0，又a>0，且a ≠1，所以a>1， 易知f(x)在R 上单调递增， 原不等式化为f(x 2+2x)>f(4-x)， 所以x 2+2x>4-x ，即x 2+3x-4>0， 所以x>1或x<-4，所以不等式的解集为{x|x>1或x<-4}. (3)因为f(1)=32，所以a-1a =32，即2a 2-3a-2=0，解得a=2或a=-12(舍去)，所以g(x)=22x +2-2x -2m(2x -2-x )=(2x -2-x )2-2m(2x -2-x )+2.令t=f(x)=2x -2-x ，因为x ≥1，所以t ≥f(1)=32，所以g(t)=t 2-2mt+2=(t-m)2+2-m 2， 当m ≥32时，当t=m 时，g(t)min =2-m 2=-2，所以m=2，符合题意; 当m<32时，当t=32时，g(t)min =174-3m=-2，解得m=2512>32，舍去.综上可知，m=2.。
数学人教A版必修1模块综合测评
模块综合测评(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}，则下列结论中正确的是( ) A ．A ⊆B B ．A ∩B ＝{2} C ．A ∪B ＝{1,2,3,4,5}D ．A ∩(∁U B )＝{1}D [A 显然错误；A ∩B ＝{2,3}，B 错；A ∪B ＝{1,2,3,4}，C 错，故选D.]2．设f (x )＝⎩⎨⎧2e x －1，x <2，log 3(2x－1)，x ≥2，则f (f (2))等于( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3C [∵f (2)＝log 3(22－1)＝1， ∴f (f (2))＝f (1)＝2e 1－1＝2.]3．函数f (x )＝2x ＋x 的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)B [∵f (－1)＝12－1＝－12<0，f (0)＝20＝1>0，且f (x )单调递增，故零点在(－1,0)内，选B.]4．函数y ＝log 2|1－x |的图象是( )A B C DD [函数y ＝log 2|1－x |可由下列变换得到：y ＝log 2x →y ＝log 2|x |→y ＝log 2|x －1|→y ＝log 2|1－x |.故选D.]5．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝lg xC ．f (x )＝12xD ．f (x )＝x 2－2x ＋1B [f (x )＝lg x 在(0，＋∞)上为增函数，故选B.] 6．若10m ＝2，10n ＝6，则n －2m ＝( ) A ．－lg 2 B ．lg 2C ．－lg 3D ．lg 3D [∵10m ＝2，10n ＝6，∴m ＝lg 2，n ＝lg 6，∴n －2m ＝lg 6－2lg 2＝lg 6－lg 2＝lg 62＝lg 3，故选D.]7．设f (x )＝ax 2＋bx ＋2是定义在[1＋a,2]上的偶函数，则(－3)b ＋3－1－a的值为( )A.109B.19C ．10D ．不能确定A [由偶函数的定义知，1＋a ＝－2，即a ＝－3.由f (x )＝f (－x )恒成立，得b ＝0.所以(－3)b ＋3－1－a＝(－3)0＋3－1－(－3)＝109.故选A.]8．设x >y >1,0<a <1，则下列关系正确的是( ) A ．x －a >y －a B ．ax <ay C ．a x <a yD ．log a x >log a yC [对于A ，由0<a <1，可知－1<－a <0，因此函数y ＝x －a 为减函数，所以由x >y >1得到x －a <y －a ，A 不正确；对于B ，由x >y >1,0<a <1，得ax >ay ，B 不正确；对于C 、D ，由于0<a <1，所以函数y ＝a x 以及y ＝log a x 均为减函数，所以由x >y >1可得a x <a y 及log a x <log a y ，所以C 正确，D 不正确．所以选C.]9．已知函数f (x )＝1＋x 21－x 2，则有( )A ．f (x )是奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )B ．f (x )是奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝f (x )C ．f (x )是偶函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )D ．f (x )是偶函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝f (x )C [∵f (－x )＝f (x )， ∴f (x )是偶函数，排除A 、B.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＝1＋x 2x 2－1＝－f (x )，故选C.]10．用二分法求函数f (x )＝3x －x －4的零点时，其参考数据如表所示．A ．1.55B ．1.56C ．1.57D ．1.58B [由表可知，f (1.562 5)＝0.003>0， f (1.556 2)＝－0.002 9<0，所以函数f (x )＝3x －x －4的一个零点在区间(1.556 2,1.562 5)上， 故函数的一个零点的近似值(精确到0.01)为1.56.]11．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧(3－a )x ，x ≤2，log a (x －1)＋3，x >2是R 上的单调增函数，则a 的取值范围是( )A ．(1，3)B ．(5－1，3)C ．[3－3，2)D ．(1,3－3)C [若函数f (x )＝⎩⎨⎧(3－a )x ，x ≤2log a (x －1)＋3，x >2是R 上的单调增函数，则 ⎩⎨⎧3－a >1，a >1，(3－a )2≤log a (2－1)＋3，解得3－3≤a <2.故选C.]12．若函数f (x )＝a x －x －a 有两个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)C [函数f (x )的零点的个数就是函数y ＝a x 与函数y ＝x ＋a 的图象的交点的个数，如图，a >1时，两函数图象有两个交点；0<a <1时，两函数图象有一个交点．故a >1.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．设A ∪{－1,1}＝{－1,1}，则满足条件的集合A 共有________个． 4 [∵A ∪{－1,1}＝{－1,1}，∴A ⊆{－1,1}，满足条件的集合A 为：∅，{－1}，{1}，{－1,1}，共4个．] 14．计算：lg 12－lg 58＋lg 252－log 89×log 278＝________. 13 [lg 12－lg 58＋lg 252－log 89×log 278 ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×85×252－2lg 33lg 2×3lg 23lg 3＝lg 10－23＝1－23＝13.]15．若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在[m ，＋∞)上是增函数，则实数m 的最小值等于________．1 [由f (1＋x )＝f (1－x )，知f (x )的对称轴为x ＝1，∴a ＝1，∴f (x )＝2|x －1|， 又∵f (x )在[1，＋∞)上是单调递增的，∴m ≥1.]16．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且一个零点是2，则使得f (x )<0的x 的取值范围是________．(－2,2) [因为函数f (x )是定义在R 上的偶函数且一个零点是2，则还有一个零点为－2.又函数f (x )在(－∞，0]上是减函数，则f (x )<0的x 的取值范围是(－2,2)．]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知集合A ＝{x |3≤3x ≤27}，B ＝{x |log 2x >1}． (1)分别求A ∩B ，(∁R B )∪A ；(2)已知集合C ＝{x |1<x <a }，若C ⊆A ，求实数a 的取值范围． [解] (1)A ＝{x |3≤3x ≤27}＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |log 2x >1}＝{x |x >2}． A ∩B ＝{x |2<x ≤3}，(∁R B )∪A ＝{x |x ≤2}∪{x |1≤x ≤3}＝{x |x ≤3}． (2)①当a ≤1时，C ＝∅，此时C ⊆A ； ②当a >1时，C ⊆A ，则1<a ≤3.综合①②，可得a 的取值范围是(－∞，3]． 18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2a ·4x －2x －1. (1)当a ＝1时，求函数f (x )的零点； (2)若f (x )有零点，求a 的取值范围． [解] (1)当a ＝1时，f (x )＝2·4x －2x －1. 令f (x )＝0，即2·(2x )2－2x －1＝0， 解得2x ＝1或2x ＝－12(舍去)．所以x ＝0，所以函数f (x )的零点为x ＝0. (2)若f (x )有零点，则方程2a ·4x －2x －1＝0有解， 于是2a ＝2x ＋14x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14x＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫12x ＋122－14. 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x>0，所以2a >14－14＝0，即a >0.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝1－2x . (1)若g (x )＝f (x )－a 为奇函数，求a 的值；(2)试判断f (x )在(0，＋∞)内的单调性，并用定义证明． [解] (1)由已知得g (x )＝1－a －2x ，∵g (x )是奇函数，∴g (－x )＝－g (x )，即1－a －2－x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a －2x ，解得a ＝1.(2)函数f (x )在(0，＋∞)内是单调增函数．证明如下：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝1－2x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x 2＝2(x 1－x 2)x 1x 2.∵0＜x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，x 1x 2＞0，从而2(x 1－x 2)x 1x 2＜0，即f (x 1)＜f (x 2)．∴函数f (x )在(0，＋∞)内是单调增函数． 20．(本小题满分12分)已知函数y ＝2－x2＋x＋2x －2的定义域为M . (1)求M ；(2)当x ∈M 时，求函数f (x )＝2(log 2x )2＋a log 2x 的最大值．[解](1)由题意知⎩⎨⎧(2－x )(x ＋2)≥0，2x －2≥0，x ≠－2.解得1≤x ≤2，故M ＝{x |1≤x ≤2}．(2)f (x )＝2(log 2x )2＋a log 2x ，令t ＝log 2x ，t ∈[0,1]， 可得g (t )＝2t 2＋at ，t ∈[0,1]，其对称轴为直线t ＝－a4，当－a 4≤12，即a ≥－2时，g (t )max ＝g (1)＝2＋a ， 当－a 4>12，即a <－2时，g (t )max ＝g (0)＝0. 综上可知，f (x )max ＝⎩⎨⎧2＋a ，a ≥－2，0，a <－2.21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log a (2x ＋1)，g (x )＝log a (1－2x )(a ＞0且a ≠1)．(1)求函数F (x )＝f (x )－g (x )的定义域；(2)判断F (x )＝f (x )－g (x )的奇偶性，并说明理由； (3)确定x 为何值时，有f (x )－g (x )＞0. [解] (1)要使函数有意义，则有 ⎩⎨⎧2x ＋1>0，1－2x >0，解得－12<x <12. ∴函数F (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <12. (2)F (x )＝f (x )－g (x )＝log a (2x ＋1)－log a (1－2x )，F (－x )＝f (－x )－g (－x )＝log a (－2x ＋1)－log a (1＋2x )＝－F (x )． ∴F (x )为奇函数． (3)∵f (x )－g (x )＞0，∴log a (2x ＋1)－log a (1－2x )＞0， 即log a (2x ＋1)＞log a (1－2x )．①当0＜a ＜1时，有0<2x ＋1<1－2x ， ∴－12<x <0.②当a ＞1时，有2x ＋1>1－2x >0， ∴0<x <12.综上所述，当0＜a ＜1时，有x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，使得f (x )－g (x )＞0；当a ＞1时，有x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，使得f (x )－g (x )＞0.22．(本小题满分12分)某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时，两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如图)．(1)分别写出两种产品的收益与投资额的函数解析式；(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大利益，其最大利益是多少万元？[解] (1)设f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x ，所以f (1)＝18，得k 1＝18，g (1)＝12，得k 2＝12，即f(x)＝18x(x≥0)，g(x)＝12x(x≥0)．(2)设投资债券类产品为x万元，则投资股票类产品为(20－x)万元，依题意得y＝f(x)＋g(20－x)＝x8＋1220－x(0≤x≤20)．令t＝20－x(0≤t≤25)，则y＝20－t28＋12t＝－18(t－2)2＋3，所以当t＝2，即x＝16万元时，收益最大，y max＝3万元．则投资债券类产品16万元，股票类产品4万元，能使投资获得最大利益，其最大收益是3万元．由Ruize收集整理。
15-全章综合检测高中数学必修一人教A版
解得−1 ≤ ≤ 0；当 ≥ 2时，
≤ 0,
2
max
= 0 = 2,
2 − −4 + 6 ≤ 8,
= 2 = −4 + 6，则ቊ
解得2 ≤ ≤ 3；当
≥ 2,
0 < ≤ 1时，
min
= = − 2 + 2,
max
= 2 = −4 + 6，则
max −
min
≤ 8，即对任意 ∈ [0,2]，
≤ 8恒成立. = 2 − 2 + 2 = −
∈ [0,2]，当 ≤ 0时，
min
= 0 = 2,
max
min
− 2 + 2，
= 2 = −4 + 6，
−4 + 6 − 2 ≤ 8,
=
3
1
1+ 2
3 2
,
2
+1
> 0，且 单调递增，A符合题意;当 = 1时， =
为奇函数，当 > 0时， =
意；当 > 0时， =
=
为偶函数，当 > 0时，
3
2 +1
3
2 +1
3
1
+
3
,
2
+1
> 0，且 先增后减，B符合题
6 − 2, ∈ (2,3],
有 − = ，所以在 −1,1 上， 的图象关于轴对称，画出
的大致图象，如图，则由图可知 图象的对称轴为直线 = 2 ∈ ，
最新(人教A版必修一)高中数学模块综合检测卷及答案
最新人教版数学精品教学资料数学·必修1(人教A版)模块综合检测卷(测试时间：120分钟评价分值：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列四个命题中，设U为全集，则错误命题是()A．A∩B＝∅⇒(∁U A)∪∁U B)＝U B．A∩B＝∅⇒A＝B＝∅C．A∪B＝U⇒(∁U A)∩(∁U B)＝∅D．A∪B＝∅⇒A＝B＝∅答案：B2．(2013·陕西卷)设全集为R，函数f(x)＝1－x2的定义域为M，则∁R M为()A．[－1,1] B．(－1,1)C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案：D3．已知函数f(x)的图象如右图所示，则f(x)等于()A.x2－2|x|＋1B．x2－2|x|＋1C ．|x 2－1|D.x 2－2x ＋1解析：A 中x 2－2|x |＋1＝(|x |－1)2＝||x |－1|，画图知选A.B 、C 、D 均错．答案：A4．函数y ＝x －1x ＋1，x ∈(0,1)的值域是( ) A ．[1,0) B ．(－1,0] C ．(－1,0) D ．[－1,0]解析：因y ＝x －1x ＋1，x ∈(0,1)上为单调增函数， 故所求其值域为(－1,0)．答案：C5．在下列各图中，能表示从集合A ＝[0,3]到集合B ＝[0,2]的函数的是( )答案：．B6．已知集合A ＝{y |y ＝log 2x ，x ＞1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ＞1，则A ∩B ＝( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪ 0＜y ＜12 B ．{y |0＜y ＜1} C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪12＜y ＜1 D ．∅答案：A7．若偶函数f (x )在(－∞，－1]上是增函数，则下列关系中成立的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＜f (－1)＜f (2) B ．f (－1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＜f (2)C ．f (2)＜f (－1)＜⎝ ⎛⎭⎪⎫－32D ．f (2)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＜f (－1)答案：D8．函数f (x )＝1ln (x ＋1)＋4－x 2的定义域为( )A ．[－2,0)∪(0,2]B ．(－1,0)∪(0,2]C ．[－2,2]D ．(－1,2]解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＞0，ln (x ＋1)≠0，4－x 2≥0，得－1＜x ≤2，且x ≠0.答案：B9．(2013·辽宁卷)已知集合A ＝{x |0<log 4x <1}，B ＝{x |x ≤2}，则A ∩B ＝( )A ．(0,1)B ．(0,2]C ．(1,2)D ．(1,2]答案：D10．函数y ＝1－11＋x 的图象是( )答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填写在题中的横线上)11．设a ，b ∈R 集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝________.答案：212．若函数f (x )＝x －4mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是________．解析：①当m ＝0时，f (x )＝x －43. 显然其定义域为R.②当m ≠0，Δ＝(4m )2－4m ×3<0，解得0<m <34. 综合①②知0≤m <34. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，3413．我国2001年底的人口总数为M，要实现到2011年底我国人口总数不超过N(其中M<N)，则人口的年平均自然增长率p的最大值是______．答案：10NM－114．当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，则m的取值范围是________．解析：x∈(1,2)时，x2＋mx＋4<0恒成立．∵x2＋mx＋4<0，∴m<－x－4 x.∵y＝－x－4x在x∈(1,2)上是单调增函数，∴y>－5，∴m≤－5.答案：m≤－5三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|3≤x≤7}，B＝{x|2＜x＜10}，C＝{x|x＜a}．(1)求A∪B；(2)求(∁R A)∩B；(3)若A C，求a的取值范围．解析：(1)A＝{x|3≤x≤7}B＝{x|2＜x＜10}∴A∪B＝{x|2＜x＜10}．(2)∵A＝{x|3≤x≤7}，∴∁R A＝{x|x＜3或＞7}(∁R A)∩B＝{x|x＜3或x＞7}∩{x|2＜x＜10}＝{x|2＜x＜3或7＜x ＜10}．(3)∵A C ，∴a ＞7.16．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3) (a ＞0且a ≠1)．(1)求函数f (x )的定义域和值域；(2)若函数f (x )有最小值为－2，求a 的值．解析：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，x ＋3＞0，得－3＜x ＜1， 所以函数的定义域{x |－3＜x ＜1}，f (x )＝log a (1－x )(x ＋3)，设t ＝(1－x )(x ＋3)＝4－(x ＋1)2，所以t ≤4，又t ＞0，则0＜t ≤4.当a ＞1时，y ≤log a 4，值域为{y |y ≤log a 4}．当0＜a ＜1时，y ≥log a 4，值域为{y |y ≥log a 4}．(2)由(1)知：当0＜a ＜1时，函数有最小值，所以log a 4＝－2，解得a ＝12.17.(本小题满分14分)某自来水厂的蓄水池有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t 小时内供水总量为120 6t 吨，其中0≤t ≤24.(1) 从供水开始到第几小时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？(2) 若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象？解析：设供水t 小时，水池中存水y 吨．(1)y ＝400＋60t －1206t ＝60(t －6)2＋40(1≤t ≤24)．当t ＝6时，y min ＝40(吨)，故从供水开始到第6小时，蓄水池中的存水量最少，最少水量40吨．(2)依条件知⎩⎪⎨⎪⎧60(t －6)2＋40＜80，1≤t ≤24， 解得83＜t ＜323，即323－83＝8. 答：一天24小时内有8小时出现供水紧张.18．(本小题满分14分)某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )．当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)；当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10 000x －1 450(万元)．通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂年内生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式．(2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解析：(1)当0＜x ＜80，x ∈N *时，L (x )＝500×1 000x 10 000－13x 2－10x －250＝－13x 2＋ 40x －250.当x ≥80，x ∈N *时，L (x )＝500×1 000x 10 000－51x －10 000x ＋1 450－250＝1 200－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x . ∴L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋40x －250(0＜x ＜80，x ∈N *)，1 200－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x (x ≥80，x ∈N *). (2)当0＜x ＜80，x ∈N *时，L (x )＝－13(x －60)2＋950， ∴当x ＝60时，L (x )取得最大值L (60)＝950(万元)． 当x ≥80，x ∈N *时，L (x )＝1 200－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x ＝1 200－⎝⎛⎭⎪⎫x －100x 2－200≤1 000. 故当x ＝100x，即x ＝100时，L (x )取得最大值1 000万元，即生产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．19.(本小题满分14分)已知函数f (x )＝x 2＋a x (x ≠0)，常数a ∈R.(1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围．解析：(1)当a ＝0时，f (x )＝x 2，对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f (－x )＝(－x )2＝x 2＝f (x )，∴f (x )为偶函数．当a ≠0时，f (x )＝x 2＋a x (a ≠0，x ≠0)，取x ＝±1，得f (－1)＋f (1)＝2≠0，f (－1)－f (1)＝－2a ≠0，∴f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)，∴函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．(2)设2≤x 1≤x 2，f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋a x 1－x 22－a x 2＝(x 1－x 2)x 1x 2·[x 1x 2(x 1＋x 2)－a ]， 要使函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上为增函数，必须f (x 1)－f (x 2)＜0恒成立．∵x 1－x 2＜0，x 1x 2＞4，即a ＜x 1x 2(x 1＋x 2)恒成立．又∵x 1＋x 2＞4，∴x 1x 2(x 1＋x 2)＞16.∴a 的取值范围是(－∞，16]．20．(本小题满分14分)函数f (x )定义在区间(0，＋∞)上，且对任意的x ∈R ＋，y ∈R 都有f (x y )＝yf (x )．(1)求f (1)的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0，求证：f (x )在(0，＋∞)上为增函数．(1)解析：令x ＝1，y ＝2，则有f (12)＝2f (1)，则f (1)＝0.(2)证明：对任意0＜x 1＜x 2，存在s 、t 使得x 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12s ，x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ，且s ＞t ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0， 则f (x 1)－f (x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫12s －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ＝(s －t )f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0， 即f (x 1)＜f (x 2)，故函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数．。
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模块综合检测(C)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．设全集U 是实数集R ，M ＝{x |x 2>4}，N ＝{x |2x －1≥1}，则右图中阴影部分所表示的集合是( )A ．{x |－2≤x <1}B ．{x |－2≤x ≤2}C ．{x |1<x ≤2}D ．{x |x <2}2．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b＝2，则m 等于( )A.10 B ．10 C ．20 D ．1003．设函数f (x )满足：①y ＝f (x ＋1)是偶函数；②在[1，＋∞)上为增函数，则f (－1)与f (2)的大小关系是( )A ．f (－1)>f (2)B ．f (－1)<f (2)C ．f (－1)＝f (2)D ．无法确定4．集合A ＝{x |x ＝3k －2，k ∈Z }，B ＝{y |y ＝3l ＋1，l ∈Z }，S ＝{y |y ＝6m ＋1，m ∈Z }之间的关系是( )A ．S ＝B ∩A B ．S ＝B ∪AC ．S B ＝AD ．S ∩B ＝A5．某企业去年销售收入1 000万元，年成本为生产成本500万元与年广告成本200万元两部分．若年利润必须按p %纳税，且年广告费超出年销售收入2%的部分也按p %纳税，其他不纳税．已知该企业去年共纳税120万元，则税率p %为( ) A ．10% B ．12% C ．25% D ．40%6．设f (x )＝则f (f (2))的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 7．定义运算：如1*2=1，则函数f(x)的值域为( )A ．RB ．(0，＋∞)C ．(0,1]D ．[1，＋∞)8．若2lg(x －2y )＝lg x ＋lg y ，则log 2xy等于( )A ．2B ．2或0C ．0D ．－2或09．设函数f (x )＝，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝ f (x )－g (x )的零点个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．110．在下列四图中，二次函数y ＝ax 2＋bx 与指数函数y ＝(ba)x 的图象只可为( )11．已知f (x )＝a x －2，g (x )＝log a |x |(a >0且a ≠1)，若f (4)g (－4)<0，则y ＝f (x )，y ＝g (x )在同一坐标系内的大致图象是( )12．设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( )A ．f (13)<f (2)<f (12)B ．f (12)<f (2)<f (13)C ．f (12)<f (13)<f (2)D ．f (2)<f (12)<f (13)题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答 案二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出：x 1 2 3 f (x ) 1 3 1x 1 2 3 g (x ) 3 2 1则不等式f [g (x )]>g [f (x )]的解为________．14．已知log a 12>0，若224x x a +-≤1a，则实数x 的取值范围为______________．15．直线y ＝1与曲线y ＝x 2－||x ＋a 有四个交点，则a 的取值范围为________________． 16．已知下表中的对数值有且只有一个是错误的.x 1.5 3 5 6 8 9 lg x 4a －2b ＋c 2a －b a ＋c 1＋a －b －c 3[1－(a ＋c )] 2(2a －b ) 其中错误的对数值是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知函数f (x )＝12log [(12)x －1]，(1)求f (x )的定义域；(2)讨论函数f (x )的增减性．18．(12分)已知集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0，a ∈R }． (1)若A 是空集，求a 的取值范围；(2)若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来； (3)若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围．19．(12分)设函数f (x )＝ax －1x ＋1，其中a ∈R .(1)若a ＝1，f (x )的定义域为区间[0,3]，求f (x )的最大值和最小值；(2)若f (x )的定义域为区间(0，＋∞)，求a 的取值范围，使f (x )在定义域内是单调减函数．20．(12分)关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m的取值范围．21．(12分)据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l，梯形OABC 在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)．(1)当t＝4时，求s的值；(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．22．(12分)已知函数f(x)的定义域是{x|x≠0}，对定义域内的任意x1，x2都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x>1时，f(x)>0，f(2)＝1.(1)证明：f (x )是偶函数；(2)证明：f (x )在(0，＋∞)上是增函数； (3)解不等式f (2x 2－1)<2.模块综合检测(C)1．C [题图中阴影部分可表示为(∁U M )∩N ，集合M ＝{x |x >2或x <－2}，集合N ＝{x |1<x ≤3}，由集合的运算，知(∁U M )∩N ＝{x |1<x ≤2}．] 2．A [由2a ＝5b ＝m 得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1b ＝log m 2＋log m 5＝log m 10. ∵1a ＋1b＝2，∴log m 10＝2，∴m 2＝10，m ＝10.] 3．A [由y ＝f (x ＋1)是偶函数，得到y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴f (－1)＝f (3)． 又f (x )在[1，＋∞)上为单调增函数， ∴f (3)>f (2)，即f (－1)>f (2)．] 4．C [任取x 0∈A ，x 0＝3k －2＝3(k －1)＋1，k ∈Z ，y 0∈S ，y 0＝6m ＋1，m ∈Z ，y 0＝3×2m ＋1,2m ∈Z ，所以y 0∈B ，S ⊆B 且4∈B,4∉S .即S B ＝A .] 5．C [利润300万元，纳税300·p %万元， 年广告费超出年销售收入2%的部分为 200－1 000×2%＝180(万元)， 纳税180·p %万元， 共纳税300·p %＋180·p %＝120(万元)， ∴p %＝25%.]6．C [∵f (2)＝log 3(22－1)＝log 33＝1，∴f (f (2))＝f (1)＝2e 1－1＝2.] 7．C[由题意可知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x x ≤0，2－x ， x >0.作出f (x )的图象(实线部分)如右图所示； 由图可知f (x )的值域为(0,1]．] 8．A [方法一 排除法．由题意可知x >0，y >0，x －2y >0，∴x >2y ，x y >2，∴log 2xy>1.方法二 直接法．依题意，(x －2y )2＝xy ，∴x 2－5xy ＋4y 2＝0， ∴(x －y )(x －4y )＝0，∴x ＝y 或x ＝4y ，∵x －2y >0，x >0，y >0，∴x >2y ，∴x ＝y (舍去)，∴x y ＝4，∴log 2xy＝2.]9．B [当x ≤1时，函数f (x )＝4x －4与g (x )＝log 2x 的图象有两个交点，可得h (x )有两个零点，当x >1时，函数f (x )＝x 2－4x ＋3与g (x )＝log 2x 的图象有1个交点，可得函数h (x )有1个零点，∴函数h (x )共有3个零点．]10．C [∵ba>0，∴a ，b 同号．若a ，b 为正，则从A 、B 中选．又由y ＝ax 2＋bx 知对称轴x ＝－b2a<0，∴B 错，但又∵y ＝ax 2＋bx 过原点，∴A 、D 错． 若a ，b 为负，则C 正确．]11．B [据题意由f (4)g (－4)＝a 2×log a 4<0，得0<a <1，因此指数函数y ＝a x (0<a <1)是减函数，函数f (x )＝a x －2的图象是把y ＝a x 的图象向右平移2个单位得到的，而y ＝log a |x |(0<a <1)是偶函数，当x >0时，y ＝log a |x |＝log a x 是减函数．]12．C [由f (2－x )＝f (x )知f (x )的图象关于直线x ＝2－x ＋x2＝1对称，又当x ≥1时，f (x )＝ln x ，所以离对称轴x ＝1距离大的x 的函数值大，∵|2－1|>|13－1|>|12－1|，∴f (12)<f (13)<f (2)．]13．x ＝2解析 ∵f (x )、g (x )的定义域都是{1,2,3}，∴当x ＝1时，f [g (1)]＝f (3)＝1，g [f (1)]＝g (1)＝3，不等式不成立； 当x ＝2时，f [g (2)]＝f (2)＝3，g [f (2)]＝g (3)＝1，此时不等式成立； 当x ＝3时，f [g (3)]＝f (1)＝1，g [f (3)]＝g (1)＝3， 此时，不等式不成立． 因此不等式的解为x ＝2. 14．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析 由log a 12>0得0<a <1.由224x x a +-≤1a得224x x a +-≤a －1，∴x 2＋2x －4≥－1，解得x ≤－3或x ≥1.15．1＜a ＜54解析 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋a ，x ≥0，x 2＋x ＋a ，x ＜0，作出图象，如图所示．此曲线与y 轴交于(0，a )点，最小值为a －14，要使y ＝1与其有四个交点，只需a －14＜1＜a ，∴1＜a ＜54.16．lg 1.5解析 ∵lg 9＝2lg 3，适合，故二者不可能错误，同理：lg 8＝3lg 2＝3(1－lg 5)，∴lg 8，lg 5正确．lg 6＝lg 2＋lg 3＝(1－lg 5)＋lg 3＝1－(a ＋c )＋(2a －b )＝1＋a －b －c ，故lg 6也正确．17．解 (1)(12)x －1>0，即x <0，所以函数f (x )定义域为{x |x <0}．(2)∵y ＝(12)x －1是减函数，f (x )＝12log x 是减函数，∴f (x )＝12log [(12)x －1]在(－∞，0)上是增函数．18．解 (1)要使A 为空集，方程应无实根，应满足⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0Δ<0，解得a >98.(2)当a ＝0时，方程为一次方程，有一解x ＝23；当a ≠0，方程为一元二次方程，使集合A 只有一个元素的条件是Δ＝0，解得a ＝98，x＝43. ∴a ＝0时，A ＝{23}；a ＝98时，A ＝{43}．(3)问题(3)包含了问题(1)、(2)的两种情况，∴a ＝0或a ≥98.19．解 f (x )＝ax －1x ＋1＝a (x ＋1)－a －1x ＋1＝a －a ＋1x ＋1，设x 1，x 2∈R ，则f (x 1)－f (x 2)＝a ＋1x 2＋1－a ＋1x 1＋1＝(a ＋1)(x 1－x 2)(x 1＋1)(x 2＋1). (1)当a ＝1时，f (x )＝1－2x ＋1，设0≤x 1<x 2≤3，则f (x 1)－f (x 2)＝2(x 1－x 2)(x 1＋1)(x 2＋1)，又x 1－x 2<0，x 1＋1>0，x 2＋1>0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，∴f (x 1)<f (x 2)． ∴f (x )在[0,3]上是增函数，∴f (x )max ＝f (3)＝1－24＝12，f (x )min ＝f (0)＝1－21＝－1.(2)设x 1>x 2>0，则x 1－x 2>0，x 1＋1>0，x 2＋1>0. 若使f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 只要f (x 1)－f (x 2)<0，而f (x 1)－f (x 2)＝(a ＋1)(x 1－x 2)(x 1＋1)(x 2＋1)，∴当a ＋1<0，即a <－1时，有f (x 1)－f (x 2)<0， ∴f (x 1)<f (x 2)．∴当a <－1时，f (x )在定义域(0，＋∞)内是单调减函数． 20．解 设f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋1，x ∈[0,2]． f (0)＝1>0，(1)当2是方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0的解时，则4＋2(m －1)＋1＝0，∴m ＝－32.(2)当2不是方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0的解时， ①方程f (x )＝0在(0,2)上有一个解时，则f (2)<0，∴4＋2(m －1)＋1<0.∴m <－32.②方程f (x )＝0在(0,2)上有两个解时，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(m －1)2－4≥0，0<－m －12<2，f (2)＝4＋2(m －1)＋1>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≥3或m ≤－1，－3<m <1，m >－32.∴－32<m ≤－1.综合(1)(2)，得m ≤－1.∴实数m 的取值范围是(－∞，－1]．21．解 (1)由图象可知：当t ＝4时，v ＝3×4＝12，∴s ＝12×4×12＝24.(2)当0≤t ≤10时，s ＝12·t ·3t ＝32t 2，当10<t ≤20时，s ＝12×10×30＋30(t －10)＝30t －150；当20<t ≤35时，s ＝12×10×30＋10×30＋(t －20)×30－12×(t －20)×2(t －20)＝－t 2＋70t－550.综上可知s ＝⎩⎪⎨⎪⎧32t 2， t ∈[0，10]，30t －150， t ∈(10，20]，－t 2＋70t －550， t ∈(20，35].(3)∵t ∈[0,10]时，s max ＝32×102＝150<650.t ∈(10,20]时，s max ＝30×20－150＝450<650. ∴当t ∈(20,35]时，令－t 2＋70t －550＝650. 解得t 1＝30，t 2＝40，∵20<t ≤35，∴t ＝30， 所以沙尘暴发生30 h 后将侵袭到N 城． 22．(1)证明 令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)， ∴f (1)＝0.令x 1＝x 2＝－1，得f (－1)＝0， ∴f (－x )＝f (－1·x )＝f (－1)＋f (x )＝f (x )． ∴f (x )是偶函数．(2)证明 设x 2>x 1>0，则f (x 2)－f (x 1)＝f (x 1·x 2x 1)－f (x 1)＝f (x 1)＋f (x 2x 1)－f (x 1)＝f (x 2x 1)，∵x 2>x 1>0，∴x 2x 1>1.∴f (x 2x 1)>0，即f (x 2)－f (x 1)>0.∴f (x 2)>f (x 1)．∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(3)解 ∵f (2)＝1，∴f (4)＝f (2)＋f (2)＝2. 又∵f (x )是偶函数，∴不等式f (2x 2－1)<2可化为f (|2x 2－1|)<f (4)． 又∵函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数， ∴|2x 2－1|<4.解得－102<x <102，即不等式的解集为(－102，102)．。