2017届高考数学一轮复习 第六节 双曲线课件 理

2．等轴双曲线的离心率与渐近线关系
双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率 e＝ 2⇔双曲线的 两条渐近线互相垂直(位置关系)．
3．双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长 b 4．渐近线与离心率
x2 y2 b － ＝ 1(a>0 ， b>0) 的一条渐近线的斜率为 a ＝ a2 b2 b2 ＝ a2
c2－a2 2 2 ＝ e －1.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质 a 都表示双曲线张口的大小．
3．注意区分双曲线中的 a，b，c 大小关系与椭圆 a、b、c 关系， 在椭圆中 a2＝b2＋c2，而在双曲线中 c2＝a2＋b2.
4．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在 x b a 轴上，渐近线斜率为± a，当焦点在 y 轴上，渐近线斜率为± b.
[试一试]
1. 双曲线y2－x2＝2的渐近线方程是 A．y＝± x C．y＝± 3x B．y＝± 2x D．y＝± 2x ( )
图形
性
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
质 对称性
对称轴：坐标轴
对称中心：原点
标准方程
顶点
x y － ＝1(a>0，b>0) a2 b2
A1(－a,0)，A2(a,0)
b y＝ ± x a
2
2
y2 x2 － ＝1(a>0，b>0) a2 b2
A1(0，－a)，A2(0，a)
a y＝ ± x b
答案：C
x2 y2 2．已知F1，F2为双曲线 － ＝1的左、右焦点，P(3,1)为双 5 4 曲线内一点，点A在双曲线上，则|AP|＋|AF2|的最小值为 ( A. 37＋4 C. 37－2 5 B. 37－4 D. 37＋2 5 )
解析：|AP|＋|AF2|＝|AP|＋|AF1|－ 2a，要求|AP|＋|AF2|的 最小值，只需求|AP|＋|AF1|的最小值，当 A，P，F1 三点共 线时，取得最小值，则|AP|＋|AF1|＝|PF1|＝ 37， ∴|AP|＋|AF2|＝|AP|＋|AF1|－ 2a＝ 37－2 5. 答案：C
2 ＝ c(注：双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于其虚半 2 c 轴长)，c2＝2b2＝2(c2－a2)，c2＝2a2，a＝ 2，即双曲线C的离心 率为 2. 答案： 2
2 y 1．设F1，F2是双曲线x2－ ＝1的两个焦点，P是双曲线上的一 24
点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于 A．4 2 C．24 B． 8 3 D．48
第六节
双曲线
1．双曲线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线
(1)在平面内； (2)动点到两定点的距离的 差的绝对值 为一定值； (3)这一定值一定要 小于 两定点的距离．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
x y － ＝1(a>0，b>0) a2 b2
2
2
y2 x2 － ＝1(a>0，b>0) a2 b2
x2 2 1．(2013· 福建高考)双曲线 －y ＝1 的顶点到其渐近线的距离等于 4 ( 2 A. 5 2 5 C. 5 4 B. 5 4 5 D. 5 )
[练一练]
x2 2 x 解析：双曲线 －y ＝1 的渐近线方程为 y＝± ，即 x± 2y＝0， 4 2 2 2 5 所以双曲线的顶点(± 2,0)到其渐近线距离为 ＝ . 5 5
3．(2013· 广东高考)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为 3 F(3,0)，离心率等于 ，则C的方程是 2 x2 y2 A. － ＝1 4 5 x2 y2 C. － ＝1 2 5 x2 y2 B. － ＝1 4 5 x2 y2 D. － ＝1 2 5 ( )
b 1 1 b 排除 C，D，又由渐近线方程为 y＝ax＝ x，得 ＝a，解得 2 2 a2＝20，b2＝5.
答案：A
1．待定系数法求双曲线方程的常用方法
x2 y2 x2 y2 (1)与双曲线 2－ 2＝1 共渐近线的可设为 2－ 2＝λ(λ≠0)； a b a b
b x2 y2 (2)若渐近线方程为 y＝± ax，则可设为a2－b2＝λ(λ≠0)； x2 y2 (3)若过两个已知点则设为m ＋ n ＝1(mn<0)．
y2 x2 解析：由题意知 － ＝1，y＝± x. 2 2
答案：A
x2 y2 2．已知双曲线C： 2 － 2 ＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近 a b 线上，则C的方程为 x2 y2 A. － ＝1 20 5 x2 y2 B. － ＝1 5 20 ( )
x2 y2 x2 y2 C. － ＝1 D. － ＝1 80 20 20 80 解析：由已知可得双曲线的焦距 2c＝10，a2＋b2＝52＝25，
1．双曲线的定义中易忽视 2a＜|F1F2|这一条件．若 2a＝|F1F2|， 则轨迹是以 F1， F2 为端点的两条射线， 若 2a＞|F1F2|则轨迹不存在．
2．双曲线的标准方程中对 a、b 的要求只是 a＞0，b＞0 易误认 为与椭圆标准方程中 a，b 的要求相同．
若 a＞b＞0，则双曲线的离心率 e∈(1， 2)； 若 a＝b＞0，则双曲线的离心率 e＝ 2； 若 0＜a＜b，则双曲线的离心率 e＞ 2.
答案：C
x2 y2 2．(2013· 云南模拟)已知F(c,0)是双曲线C： 2 － 2 ＝1(a＞0，b＞0) a b 1 2 的右焦点，若双曲线C的渐近线与圆E：(x－c) ＋y ＝ c 相切， 2
2 2
则双曲线C的离心率为________．
解析：依题意得，圆心F(c,0)到渐近线的距离等于 2 c，即有b 2
渐近线
c 性 离心率 e＝ ，e∈(1，＋∞)，其中c＝ a2＋b2 a 质 线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线
实虚轴 段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫作 双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴长． a、b、c的 关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
(
Байду номын сангаас
)
解析：双曲线的实轴长为 2，焦距为|F1F2|＝2× 5＝10.据题意和 4 1 双曲线的定义知，2＝|PF1|－|PF2|＝ |PF2|－|PF2|＝ |PF2|， 3 3 ∴|PF2|＝6，|PF1|＝8. ∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2， ∴PF1⊥PF2， 1 1 ∴S△PF1F2＝ |PF1|· |PF2|＝ ×6×8＝24. 2 2