四川省成都市树德中学高三数学10月月考试题理
2022-2023学年四川省成都市树德中学高一上学期10月月考数学试题(解析版)
2022-2023学年四川省成都市树德中学高一上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知全集U Z =，集合{}1,2,3A =-，{}3,4B =，则()U A B =（ ） A ．{}4 B ．{}3C ．{}1,2D ．∅【答案】A【分析】利用集合的交、补运算即可求解. 【详解】{}1,2,3A =-，U Z =，{}3,4B =， 所以()U A B ={}4. 故选：A2．己知命题:Q,N p x x ∃∈∉，则p ⌝为（ ） A ．Q,N x x ∀∉∉ B ．Q,N x x ∃∉∈C ．Q,N x x ∀∈∈D ．Q,N x x ∃∈∈【答案】C【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即得. 【详解】因为:Q,N p x x ∃∈∉， 所以p ⌝为：Q,N x x ∀∈∈. 故选：C.3．已知实数a ，b ，c ，若a ＞b ，则下列不等式成立的是（ ） A ．11a b> B ．a 2＞b 2 C ．2211a bc c >++ D ．a |c |＞b |c |【答案】C【分析】利用不等式的基本性质判断. 【详解】A. 当2,1a b ==时，11a b<，故错误； B. 当1,2a b =-=-时，22a b <，故错误； C.因为 a ＞b ，210c +>，所以2211a bc c >++，故正确； D. 当0c 时，a |c |=b |c |，故错误， 故选：C4．若x ＞2，则函数42y x x =+-的最小值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】直接由44(2)222y x x x x =+=-++--利用基本不等式求最值即可. 【详解】∵x ＞2，∴x ﹣2＞0，∴44(2)22622y x x x x =+=-++≥=--，当且仅当422x x -=-，即x＝4时取等号， ∴函数42y x x =+-的最小值为6. 故选：D .5．下列命题中真命题有（ ） ①21:R,04p x x x ∀∈-+≥ ②q ：所有的正方形都是矩形 ③2:R,220r x x x ∃∈++≤ ④:,Z,243s x y x y ∃∈+= A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】利用判断全称量词命题、存在量词命题真假方法，逐一判断各个命题作答.【详解】2211R,042x x x x ⎛⎫∀∈-+=-≥ ⎪⎝⎭恒成立，①是真命题；命题“所有的正方形都是矩形”正确，②是真命题； ()22R,22110x x x x ∀∈++=++>恒成立，③是假命题；当Z y ∈时，对每一个整数y ，322x y =-+都不是整数，④是假命题，所以真命题的个数是2. 故选：B6．若P =0)Q a =≥，则,P Q 的大小关系是 A ．P Q < B ．P Q =C ．P Q >D ．,P Q 的大小由a 的取值确定【答案】A【解析】由于22=2727P a Q a ++=++22,P Q 的大小即可【详解】因为220P Q -==，,P Q >0，所以P Q <，【点睛】此题考查比较两个代数式的大小，利用了作差法，属于基础题. 7．若两个正实数,x y 满足211x y+=，则2x y +的最小值为A ．8B ．6C ．4D ．2【答案】A【分析】根据21x y +=1可得x+2y=（x+2y ）（21x y+），然后展开，利用基本不等式可求出最值，注意等号成立的条件．【详解】∵两个正实数x ，y 满足21x y+=1，∴x+2y=（x+2y ）（21x y +）=4+4y x x y +，当且仅当4y x x y =时取等号即x=4，y=2，故x+2y 的最小值是8． 故选：A ．【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，解题的关键是“1”的活用，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．8．已知使不等式2(1)0x a x a +++≤成立的任意一个x ，都满足不等式310x -≤，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B ．1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C ．1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】使不等式2(1)0x a x a +++≤成立的任意一个x ，都满足不等式310x -≤，则不等式2(1)0x a x a +++≤的解集是1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦的子集，求出两个不等式的解集，利用集合的包含关系列不等式求解.【详解】解：由310x -≤得13x ≤，因为使不等式2(1)0x a x a +++≤成立的任意一个x ，都满足不等式310x -≤则不等式2(1)0x a x a +++≤的解集是1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦的子集，又由2(1)0x a x a +++≤得()()10x a x ++≤，当1a =，{}11,3x ⎛⎤∈-⊆-∞ ⎥⎝⎦，符合；当1a <，[]11,,3x a ⎛⎤∈--⊆-∞ ⎥⎝⎦，则13a -≤，113a ∴>≥-，当1a >，[]1,1,3x a ⎛⎤∈--⊆-∞ ⎥⎝⎦，符合，故实数a 的取值范围为1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.故选：C.二、多选题9．下列四个命题：其中不正确．．．的命题为（ ） A ．已知集合{}21A y y x ==+，集合{}21B x y x ==+，则A B =∅B ．集合5N |N 1x x ⎧⎫∈∈⎨⎬+⎩⎭中有两个元素 C ．由方程2210x x -+=的所有实根构成的集合中的元素之和为2 D ．记{}{}|21,Z ,|41,Z A x x k k B x x n n ==+∈==±∈，则A B = 【答案】AC【分析】利用集合的定义可判断对错.【详解】{}{}|1,R,|1A y y B A B x x =≥=⋂=≥，所以A 选项错误； 因为集合{}5N |N 0,41x x ⎧⎫∈∈=⎨⎬+⎩⎭，所以B 选项正确； 由于{}{}2|2101x x x -+==，集合中只有一个元素，和为1，所以C 选项错误；对于集合A ，当2k n =时，41,x n n =+∈Z ，当21k n =-时，41,x n n =-∈Z ，即{}|41,Z A x x n n B ==±∈=，所以D 选项正确.故选:AC.10．以下各选项中，p 是q 的充分不必要条件的是（ ） A ．p ：某四边形是菱形，q ：某四边形对角线相互垂直 B ．p ：三角形有两边上的高相等，q ：三角形为等腰三角形 C ．22::,p ac bc q a b >> D ．,::p x A B q x A B ∈∈ 【答案】ACD【分析】根据充分条件，必要条件的定义逐项分析即得.【详解】A ：p ：某四边形是菱形，q ：某四边形对角线相互垂直，由 p 可推出 q ，由 q推不出p ，所以 p 是 q 的充分不必要条件，故A 正确；B ：若三角形有两边上的高相等，由等面积法，得这两边相等，故三角形为等腰三角形，反之显然成立，所以 p 是 q 的充分必要条件，故B 错误；C ：若22:p ac bc >成立，显然20,0c c ≠>，所以a b >，所以p 是q 的充分条件；反之若a b >，取220,c ac bc ==，所以p 是q 的不必要条件，故C 正确；D ：因为A B A B ⋂⊆⋃，所以，若x A B ∈，则x A B ∈，故p 是q 的充分条件；x A B ∈不能得到x A B ∈，故p 是q 的不必要条件，故D 正确. 故选：ACD.11．命题“212,x x a ∀≤≤>”为假命题的一个充分不必要条件是（ ） A ．1a ≥ B ．4a ≥C ．2a ≥-D ．4a =【答案】BD【分析】由题可得给定命题的否定为真命题的a 的取值集合，再利用充分条件，必要条件的定义分析即得.【详解】由题可知命题的否定“212,x x a ∃≤≤≤”为真，等价于1a ≥，即命题“2[1,2],x x a ∃∈≤”为真命题所对集合为[1,)+∞，所以所求的一个充分不必要条件的选项所对的集合真包含于[1,)+∞， 显然只有[4,)+∞[1,)+∞，{4}[1,)+∞,所以选项AC 不符合要求，选项BD 正确. 故选：BD.12．已知关于x 的不等式20ax bx c ++≤的解集为{2x x ≤-或}3x ≥，则下列说法正确的是（ ） A ．0a <B ．0ax c +>的解集为{}6x x >C ．8430a b c ++<D ．20cx bx a ++<的解集为1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【答案】AD【分析】根据一元二次不等式解集的性质逐一判断即可.【详解】因为关于x 的不等式20ax bx c ++≤的解集为{2x x ≤-或}3x ≥，所以0a <且方程20ax bx c ++=的两个根为2-，3， 即3(2)6,3(2)16,c bc a b a a a⨯-==-+-=-=⇒=-=-. 因此选项A 正确；因为6c a =-，0a <，所以由0606ax c ax a x +>⇒->⇒<，因此选项B 不正确； 由6,c a b a =-=-可知：8438418140a b c a a a a ++=--=->，因此选项C 不正确； 因为6,c a b a =-=-，所以由222060610cx bx a ax ax a x x ++<⇒--+<⇒+-<， 解得：1123x -<<，因此选项D 正确，故选：AD三、填空题13．设集合{}2,32,4A x x =--，{5,1,4}B x x =--，若{4}A B ⋂=，则x 的值为______.【答案】2-【分析】根据{4}A B ⋂=，可得4A ∈，分别讨论24x =和324x -=两种情况，解得对应的x 值，检验分析，即可得答案. 【详解】因为{4}A B ⋂=，所以4A ∈， 当24x =时，解得2x =±，当2x =时，{4,4,4}A =-，不满足互异性，故舍去；当2x =-时，集合{4,8,4}A =--，集合{7,3,4}B =-，满足题意； 当324x -=时，解得2x =，集合{4,4,4}A =-，不满足互异性，故舍去； 综上：x 的值为2-. 故答案为：2- 14．不等式522x ≥+的解集为 _______________； 【答案】1(2,]2-【分析】由分式不等式的解法，先移向，通分，利用穿根法写出答案即可． 【详解】522x ≥+⇔52402x x --≥+⇔2102x x -≤+解得12,2⎛⎤- ⎥⎝⎦故答案为12,2⎛⎤- ⎥⎝⎦【点睛】本题考查分式不等式的解法，属基本运算的考查．15．学校举办运动会时，高一某班共有30名同学参加，有15人参加游泳比赛，有9人参加田径比赛，有13人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有2人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.只参加球类一项比赛的有___________人. 【答案】8【分析】首先设同时参加球类比赛和田径比赛的有x 人，从而可得到只参加一项比赛的人数，结合已知条件求出x ，从而可得到只参加球类一项比赛的人数. 【详解】不妨设同时参加球类比赛和田径比赛的有x 人，结合已知条件可知，只参加游泳比赛的有10人，只参加球类比赛的有10x -人，只参加田径比赛的有7x -人，故102731030x x x ++-+++-=，解得2x =， 从而只参加球类一项比赛的有8人. 故答案为：8.16．设正数x ，y ，z 满足22590x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，29133m m x y z -≥+-恒成立，则m 的取值集合是___________. 【答案】{1m m ≤-或}4m ≥【分析】由已知得2259z x xy y =-+，利用基本不等式可得取等条件，可得291341,0y x y z y y +-=->，然后利用二次函数的性质即可求解. 【详解】∵22590x xy y z -+-=， ∴2259z x xy y =-+，∴22119595xy xy x y z x xy y y x==≤=-++-，∴1xyz≤，当且仅当229x y =，即3x y =，此时23z y =取“=”， ∴291341,0y x y z y y+-=->， ∴22913411244x y z y y y ⎛⎫+-=-=--+≤ ⎪⎝⎭， 当且仅当133,,224y x z ===取等号，所以913x y z+-最大值为4，因为29133m m x y z-≥+-恒成立，所以234m m -≥， 解得1m ≤-或4m ≥，所以m 的取值集合是{1m m ≤-或}4m ≥. 故答案为：{1m m ≤-或}4m ≥.四、解答题17．设集合{}{}{}24,20,21U x x A x x x B x x =≤=--≤=-≤.求：(1)A B ； (2)()U A B ； (3)()()U U A B ⋂. 【答案】(1){}12x x ≤≤； (2){1x x <-或}14x ≤≤； (3){1x x <-或}34x <≤.【分析】（1）化简集合,A B ，结合交集的定义即可求解； （2）利用补集的定义及并集的定义运算即得； （3）利用补集的定义及交集的定义运算即得. 【详解】(1)∵{}{}12,13A x x B x x =-≤≤=≤≤， ∴{}12A B x x ⋂=≤≤；(2){}{}4,12U x x A x x =≤=-≤≤， 所以{1UA x x x =<-或}24x <≤，又∵{}13B x x =≤≤，∴()U A B ={1x x <-或}14x ≤≤； (3)∵{}{}4,13U x x B x x =≤=≤≤， ∴{1UB x x =<或}34x <≤，∴()()U U A B ⋂={1x x <-或}34x <≤.18．已知命题:p x ∃∈R ，240x x m -+=为假命题. (1)求实数m 的取值集合B ；(2)设{}34A x a x a =<<+，若x B ∈是x A ∈的必要不充分条件，求实数a 的取值范围. 【答案】(1){}4B m m =>(2)43a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭【分析】（1）由题意可得∆<0，即可求得集合B ；（2）分析可知A B ，分A =∅、A ≠∅两种情况讨论，可得出关于实数a 的不等式（组），综合可得出实数a 的取值范围.【详解】(1)解：由题意可得1640m ∆=-<，解得4m >，故{}4B m m =>. (2)解：由题意可知A B .当A =∅时，则34a a ≥+，解得2a ≥，此时A B 成立；当A ≠∅时，则3434a a a <+⎧⎨≥⎩，解得423a ≤<.综上所述，实数a 的取值范围是43a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭.19．（1）已知0,0,0a b c d n >><<<，求证：22()()n na cb d >--；（2）若实数x ，y 满足221x y xy ++=，求x y +的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）x x ⎧⎪≤≤⎨⎪⎪⎩⎭.【分析】（1）根据不等式的性质即得；（2）根据基本不等式结合条件可得22()12x y x y +⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭，进而即得.【详解】（1）因为0c d <<，所以0c d ->->， 因为0a b >>，所以0a c b d ->->， 所以22()()0a c b d ->->，所以222222()()0()()()()a c b d a c b d a c b d -->>----，所以22110()()b d a c >>--，因为0n <， 所以22()()n nb d ac <--，即22()()n n a c b d >--；（2）∵2221()1x y xy xy x y ++=⇔=+-，又∵22x y xy +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴22()12x y x y +⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭，令x y t +=，则2244-≤t t ， ∴232333t -≤≤，即232333x y -≤+≤，当且仅当x y =时，取等号， ∴x y +的取值范围是232333x x ⎧⎫⎪⎪-≤≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭. 20．为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米.(1)若矩形草坪的长比宽至少多9米，求草坪宽的最大值；(2)若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求草坪的长、宽各为多少时，整个绿化面积最小，并求出最小值. 【答案】(1)16米； (2)403103(8243)+平方米.【分析】（1）设草坪的宽为x 米，长为y 米，依题意列出不等关系，求解即可； （2）由题可表示出整个绿化面积400(26)(4)S x x=++，然后利用均值不等式，即得最小值.【详解】(1)设草坪的宽为x 米，长为y 米， 由面积均为400平方米，得400y x=， 因为矩形草坪的长比宽至少大9米，所以4009x x≥+，所以294000x x +-≤， 解得2516x -≤≤，又0x >，所以016x <≤，所以宽的最大值为16米；(2)记整个的绿化面积为S 平方米，由题意可得400300(26)(4)(26)48248(824S x y x x x x ⎛⎫⎛⎫=++=++=++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（平方米）当且仅当x =y =米，宽为(824+平方米.21．已知函数2(2)4(R)y x a x a =-++∈.(1)若对任意的14x ≤≤，10y a ++≥恒成立，求实数a 的取值范围；(2)若对任意的11a -≤≤，(22)2y a x a >-+恒成立，求x 的取值范围.【答案】(1){}4a a ≤； (2){1x x <或}3x >.【分析】（1）根据参变分离，然后利用基本不等式即得；或分类讨论求函数的最小值，进而即得；（2）利用主元法，把函数看成关于的a 的函数，可得22(2)4402440x x x x x x ⎧--+-+>⎨-+-+>⎩，即得. 【详解】(1)解法一：对任意的14x ≤≤，10y a ++≥恒成立，即2(2)50x a x a -+++≥恒成立，即对任意的214,(1)25x a x x x ≤≤-≤-+恒成立.①当1x =时，不等式为04≤恒成立，此时R a ∈；②当14x <≤时，2254111x x a x x x -+≤=-+--， ∵14x <≤，∴013x <-≤，∴4141x x -+≥=-， 当且仅当411x x -=-时，即12,3x x -==时取“=”，∴4a ≤，综上，a 的取值范围为{}4a a ≤；解法二：由题可得2(2)50x a x a -+++≥对任意14x ≤≤成立，所以2min (2)50x a x a ⎡⎤-+++≥⎣⎦，对于二次函数2(2)5y x a x a =-+++，对称轴为轴22a x +=， 当212a +<时，函数在[]1,4上单调递增， 则()2121250a a a +⎧<⎪⎨⎪-+++≥⎩，解得0a <； 当2142a +≤≤时，则()()2214245204a a a +⎧≤≤⎪⎪⎨+-+⎪≥⎪⎩， 解得04a ≤≤； 当242a +>时，函数在[]1,4上单调递减， 则()242164250a a a +⎧>⎪⎨⎪-+++≥⎩，无解，综上，a 的取值范围为{}4a a ≤；(2)由题可得2(2)44y x a x x =-+-+，则当11a -≤≤时，不等式2(2)440x a x x -+-+>恒成立，则22(2)4402440x x x x x x ⎧--+-+>⎨-+-+>⎩， 整理得：22560320x x x x ⎧-+>⎨-+>⎩， 解得：1x <或3x >，∴x 的取值范围为{1x x <或}3x >.22．已知函数2(2)2,y ax a x a R =-++∈.(1)32y x <-对任意x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围；(2)求不等式0y ≥的解集；(3)若存在0m >使关于x 的方程21(2)||21ax a x m m-++=++有四个不同的实根，求实数a 的取值范围.【答案】(1){}40a a -<≤；(2)答案见解析；(3){4a a <--；【分析】（1）分类讨论0a =与0a ≠两种情况，0a ≠时，根据一元二次不等式恒成立条件列不等式组20Δ40a a a <⎧⎨=+<⎩，即可求解得答案；（2）分类讨论0a =，0a >和0a <三种情况，求解出方程2(1)0x x a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭的两根，再以两根的大小分类讨论解不等式；（3）由基本不等式可求解得113t m m=++≥，根据题意，将题中条件转化为2(2)20au a u t -++-=有两个不同正根，由二次函数根的分布列不等式组，由0∆>求解a 的取值范围.【详解】(1)由题有2(2)232ax a x x -++<-恒成立，即210ax ax --<恒成立， 当0a =时，10-<恒成立，符合题意；当0a ≠时，则20Δ40a a a <⎧⎨=+<⎩，得040a a <⎧⎨-<<⎩， 得40a ，综上可得，a 的取值范围是{}40a a -<≤.(2)由题2(2)20ax a x -++≥，即(2)(1)0ax x --≥，当0a =，2201x x -+≥⇒≤，所以不等式的解集为{}1x x ≤当0a >，2(1)0x x a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，2x a =或1x = ①当02a <<时，21>a ，不等式的解集为21x x x a ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或； ②当2a =时，不等式的解集为R ，③当2a >时，21a <，不等式的解集为21x x x a ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或； 当0a <，则21a <，不等式的解集为21x x a ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭综上可得：当0a <时，不等式的解集为21x x a ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭ 当0a =时，不等式的解集为{}1x x ≤当02a <<时，不等式的解集为21x x x a ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或； 当2a =时，不等式的解集为R ；当2a >时，不等式的解集为21x x x a ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或. (3)当0m >时，令1113t m m =++≥=， 当且仅当1m =时取等号，关于x 的方程2||(2)||20a x a x t -++-=有四个不等实根，令||u x =，则转化为存在3t ≥使得关于u 的方程，即2(2)20au a u t -++-=有两个不同正根，则()2Δ24(2)02020a a t a a t a⎧⎪=+-->⎪+⎪>⎨⎪-⎪>⎪⎩ ，得2a <-， 由0∆>知，存在3t ≥使不等式24(2)80at a a ++->成立，把t 看成主元代入3t =，故243(2)80a a a ⨯++->，即2840a a ++>，解得4a <--4a >-+，综合可得4a <--故实数a的取值范围是{4a a <--【点睛】方法点睛：二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④韦达定理；⑤端点函数值符号四个方面分析．。
2024-2025学年四川省成都市树德中学高三上学期10月月考数学试题及答案
1.已知集合2，0，则A ．{}2x x ≤B ．{}4x x ≤C ．{}04x x <≤D ．{}02x x <≤2.设()1,2a =- ，()4,b k = ，若a b ⊥，则a b +=A ．5B ．C ．20D ．253.设甲：{}n a 为等比数列；乙：{}1n n a a +⋅为等比数列，则A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的必要不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲是乙的既不充分也不必要条件4.已知tan 3α=-，则3sin sin sin 2（）ααπα-=+A ．34-B ．34C ．310D ．310-5.已知关于x 的不等式2230ax x a -+<在(]0,2上有解，则实数a 的取值范围是A ．47（，）-∞B ．33（-，）∞C ．(]0，-∞D ．()0，-∞6.已知抛物线E ：24y x =的焦点为F ，以F 为圆心的圆与E 交于,A B 两点，与E 的准线交于,C D两点，若CD =，则AB =A ．3B ．4C ．6D ．87.在同一平面直角坐标系内，函数()y f x =及其导函数()y f x ='的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为()0,1，则A ．函数()e x y f x =⋅的最大值为1B ．函数()e xy f x =⋅的最小值为1C ．函数()e x f x y =的最大值为1D ．函数()exf x y =的最小值为18.已知函数()2ln2x f x x+=-，设()()()220.3log 0.32ln 2，，a f b f c f ===，则,,a b c 的大小关系是A ．a c b>>B ．a b c >>C ．b c a >>D ．c b a>>二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，坐公交车平均用时10min ，样本方差为9；骑自行车平均用时15min ，样本方差为1.已知坐公交车所花时间X 与骑自行车所花时间Y 都服从正态分布，用样本均值和样本方差估计,X Y 分布中的参数，并利用信息技术工具画出X 和Y 的分布密度曲线如图所示.若小明每天需在早上8点之前到校，否则就迟到，则下列判断正确的是A ．()2103，X NB ．若小明早上7：50之后出发，并选择坐公交车，则有60%以上的可能性会迟到C ．若小明早上7：42出发，则应选择骑自行车D ．若小明早上7：47出发，则应选择坐公交车10.已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，对于任意x R ∈，都有()()()42f x f x f +=+成立．当[)0,2x ∈时，()21x f x =-，下列结论中正确的有A ．()20f =B ．函数()y f x =在()2,4上单调递增C ．直线4x =是函数()y f x =的一条对称轴D ．关于x 的方程()2log 2f x x =+共有4个不等实根11.我国著名科幻作家刘慈欣的小说《三体Ⅱ·黑暗森林》中的“水滴”是三体文明使用新型材料-强互作用力（SIM ）材料所制成的宇宙探测器，其外形与水滴相似，某科研小组研发的新材料水滴角测试结果如图所示（水滴角可看作液、固、气三相交点处气—液两相界面的切线与液—固两相交线所成的角），圆法和椭圆法是测量水滴角的常用方法，即将水滴轴截面看成圆或者椭圆（长轴平行于液—固两者的相交线，椭圆的短半轴长小于圆的半径）的一部分，设图中用圆法和椭圆法测量所得水滴角分别为1θ，2θ，则下列结论中正确的有附：椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点()00,x y 处的切线方程为00221x x y y a b +=.A ．圆法中圆的半径为52B ．12tan 3θ=C ．12θθ>D ．12θθ<三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.“十一”期间人民群众出游热情高涨，某地为保障景区的安全有序，将增派6名警力去,A B 两个景区执勤.要求A 景区至少增派3名警力，B 景区至少增派2名警力，则不同的分配方法的种数为.13.已知圆台的下底面半径为6，上底面半径为3，其侧面积等于上、下底面积之和，则圆台的高为．14.已知函数()()()()123(0)f x a x x x x x x a =--->，设曲线()y f x =在点()(),i i x f x 处切线的斜率为()1,2,3i k i =，若123,,x x x 均不相等，且22k =-，则134k k +的最小值为．四．解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足)2222sin bc A a c b =+-．(1)求B 的大小；(2)若3b =，ABC ∆，求ABC ∆的周长．16.(15分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点,（E P 为椭圆C 的右顶点，O 为坐标原点，OPE ∆的面(1)求椭圆C 的标准方程;(2)过点(1,0)D -作直线l 与椭圆C 交于,A B ,A 关于原点O 的对称点为C ，若||||BA BC =，求直线AB 的斜率.17.(15分)如图，在四棱锥Q ABCD -中，四边形ABCD 为直角梯形，//CD AB ，BC AB ⊥，平面QAD ⊥平面ABCD ，QA QD =，点M 是AD 的中点.(1)证明：QM BD ⊥.(2)点N 是CQ 的中点，22AD AB CD ===，当直线MN 与平面QBC 时，求QM 的长度．18.(17分)已知函数()22ln f x x x a x =-+，()a ∈R .(1)若1a =，求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线；(2)若对任意的()12,0,x x ∈+∞，12x x ≠，有()()()1221120x x x f x x f x ⎡⎤-⋅->⎣⎦恒成立，求实数a 的取值范围.19.(17分)2023年10月11日，中国科学技术大学潘建伟团队成功构建255个光子的量子计算机原型机“九章三号”，求解高斯玻色取样数学问题比目前全球最快的超级计算机快一亿亿倍.相较传统计算机的经典比特只能处于0态或1态，量子计算机的量子比特（qubit ）可同时处于0与1的叠加态，故每个量子比特处于0态或1态是基于概率进行计算的.现假设某台量子计算机以每个粒子的自旋状态作为量子比特，且自旋状态只有上旋与下旋两种状态，其中下旋表示“0”，上旋表示“1”，粒子间的自旋状态相互独立.现将两个初始状态均为叠加态的粒子输入第一道逻辑门后，粒子自旋状态等可能的变为上旋或下旋，再输入第二道逻辑门后，粒子的自旋状态有p 的概率发生改变，记通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为X .(1)已知13p =，求两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为2的概率；(2)若一条信息有()*1,n n n >∈N 种可能的情况且各种情况互斥，记这些情况发生的概率分别为1p ，2p ，…，n p ，则称()()()12n H f p f p f p =++⋅⋅⋅+（其中()2log f x x x =-）为这条信息的信息熵.试求两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为X 的信息熵H ；(3)将一个下旋粒子输入第二道逻辑门，当粒子输出后变为上旋粒子时则停止输入，否则重复输入第二道逻辑门直至其变为上旋粒子，设停止输入时该粒子通过第二道逻辑门的次数为Y (1,2,3,,,)Y n = ，证明：当n 无限增大时，Y 的数学期望趋近于一个常数.参考公式：01q <<时，lim 0nn q →+∞=，lim 0n n nq →+∞=.树德中学高2022级高三上学期10月阶段性测试数学试题参考答案一．单选题：1-8CAACB DCC 二．多选题：9-11ACD AC AD 三．填空题12-14354181.【答案】C 【详解】由2log 1x ≤，则22log log 2x ≤，所以02x <≤，所以{}{}2log 102A x x x x =≤=<≤，{}04A B x x ⋃=<≤故选：C2.【答案】A 【详解】()1,2a =- ，()4,b k = ，若a b ⊥ ，则有1420a b k ⋅=-⨯+=，解得2k =，则有()()()1,24,23,4a b =-+=+ ，得5a b += .故选：A 3.【答案】A 【详解】充分性：若{}n a 为等比数列，设其公比为q ，则12111n n n n n n a a a a a a q ++--⋅⋅==，所以{}1n n a a +⋅为等比数列，公比为2q ，满足充分性.必要性：若{}1n n a a +⋅为等比数列，公比为2-，则112n n n n a a a a +-⋅=-⋅，即112n n aa +-=-，假设{}n a 为等比数列，此时1212n n a q a +-==-无解，故不满足必要性.所以甲是乙的充分不必要条件.故选：A 4.【答案】C 【详解】因为tan 3α=-，则33sin sin sin sin cos sin 2ααααπαα--=⎛⎫+ ⎪⎝⎭()2222sin 1sin sin cos tan 3cos cos sin 1tan 10ααααααααα---====++.故选：C.5.【答案】B 【详解】当(]0,2x ∈时，由2230ax x a -+<可得22233x a x x x<=++，由基本不等式可得23x x≤+，当且仅当x =3a <.故选：B.6.【答案】D 【详解】由抛物线方程知：12p=，()1,0F ∴，不妨设点A 在第一象限，如图所示，直线CD 与x 轴交于点E ，由CD =，则2ED EF ==，圆的半径()222125r +=，所以5AF =，由抛物线的定义可得：52A px +=，所以4A x =，又因为点A 在抛物线上，所以()4,4A ，248AB ∴=⨯=．故选：D.7.【答案】C 【详解】AB 选项，由题意可知，两个函数图像都在x 轴上方，任何一个为导函数，则另外一个函数应该单调递增，判断可知，虚线部分为()y f x '=，实线部分为()y f x =，故()()()()()0e e e x x xy f x f x f x f x ='''=⋅+⋅+>⋅恒成立，故()e xy f x =⋅在R 上单调递增，则A ，B 显然错误，对于C ，D ，()2()e ()e ()()e e x xxx f x f x f x f x y ''--'==，由图像可知(,0)x ∈-∞，e ()()0x f x f x y '-=>'恒成立，故()e xf x y =单调递增，当(0,)x ∈+∞，()()0e xf x f x y '-'=<，()ex f x y =单调递减，所以函数()e xf x y =在0x =处取得极大值，也为最大值，()010ef =，C 正确，D 错误.故选：C8.【答案】C 【详解】解：函数()2ln2x f x x+=-，由202x x+>-，即(2)(2)0x x +-<，2x <解得()2,2x ∈-显然()()f x f x -=，∴()f x 为偶函数，∴当()0,2x ∈时，()2ln2xf x x+=-在()0,2x ∈单增，()f x ∴在()20，-上为减函数，在()0，2上为增函数()220.30.301=∈，，322222103log 0.3log 0.3log log 232=-=>=所以22103log 0.3log ,232⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭3232ln 2ln 4ln 2e =<=，32ln 212⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴b c a >>．故选：C ．二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.【答案】ACD 【详解】由题意知，()2~10,3X N ，()2~15,1Y N ,A 正确。
四川省成都市树德中学高三数学10月阶段性考试试题 理
高2013级第五期10月阶段性考试数学试题（理）（试卷共150分 考试时间120分钟）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合，B={y|y=2x+1，x ∈R}，则A B ⋂=（ ）A ．（﹣∞，1]B ．(1,)+∞C ．（0，1]D ． [0，1]2．已知复数Z 满足(12)5Z i i -=g ，则复数Z 在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3. 分配4名煤气工去3个不同的居民家里检查煤气管道， 要求4名煤气工都分配出去， 并每名煤气工只去一个居民家， 且每个居民家都要有人去检查， 那么分配的方案共有（ ） A ． 24种 B ．18种 C ． 72种 D ．36种 4．已知m R ∈，“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在0+∞（，）上为减函数”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．若如图所示的程序框图输出的S 是30， 则在判断框中M 表示的 “条件” 应该是 （ ） A ．n≥3 B ．n≥4 C ．n≥5 D ．n≥66.一个几何体的三视图（单位：Cm ）如图所示，则该几何体的体积是80cm 3． 则图中的x 等于（ ） A ．B ．C ． 3D ． 67.设a ＞0，b ＞0，若点P （1，1）到直线（a+1）x+（b+1）y ﹣2=0的 距离为1，则ab 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．8.O 为坐标原点，点M 的坐标为（1，1），若点N （x ，y ）的坐标满足，则的最大值为（ ） A ．B ． 2C ．D ． 29.若实数x ，y 满足|x －1|－ln1y＝0，则y 关于x 的函数图象的大致形状是( )10.已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的左右焦点为F 1，F 2，过F 2线与圆x 2+y 2=b 2相切于点A ，并与椭圆C 交与不同的两点P ，Q ，如图，PF 1⊥PQ ，若A 为线段PQ 的靠近P 的三等分点，则椭圆的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．11.定义：12nnp p p +++L 为n 个正数123,,n p p p p L 的“均倒数”。
四川省成都市树德中学2021-2022学年高三上学期10月段考数学(理科)试卷
2021-2022学年四川省成都市树德中学高三（上）段考数学试卷（理科）（10月份）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．设集合A＝{x∈N*|x2﹣2x＜0}，B＝{x|≤x≤3}，则A∩B＝（）A．B．C．{1}D．{1，2}2．已知是虚数z的共轭复数，则下列复数中一定是纯虚数的是（）A．z+B．z﹣C．z•D．3．某市物价部门对5家商场的某商品一天的销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x（元）和销售量y （件）之间的一组数据如表所示：价格x99.51010.511销售量y1110865按公式计算，y与x的回归直线方程是y＝﹣3.2x+a，相关系数|r|＝0.986，则下列说法错误的是（）A．变量x，y线性负相关且相关性较强B．C．当x＝8.5时，y的估计值为12.8D．相应于点（10.5，6）的残差为0.4．4．已知数列{a n}前n项和为S n，命题p：，命题q：{a n}为等差数列，则p是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．已知函数f（x）＝e|x|，g（x）＝sin x，某函数的部分图象如图所示，则该函数可能是（）A．y＝f（x）+g（x）B．y＝f（x）﹣g（x）C．y＝f（x）g（x）D．6．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2CD，E为线段AD的中点，且4BF＝AB，则＝（）A．B．C．D．7．曲线y＝ax cos x+16在x＝处的切线与直线y＝x+1平行，则实数a的值为（）A．﹣B．C．D．﹣8．若执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．B．﹣1C．1D．29．已知正数α，β满足，则下列不等式错误的是（）A．2α﹣β+1＞2B．lnα+α＜lnβ+βC．D．10．已知四面体ABCD的所有棱长均为，M，N分别为棱AD，BC的中点，F为棱AB上异于A，B的动点．有下列结论：①线段MN的长度为1；②若点G为线段MN上的动点，则无论点F与G如何运动，直线FG与直线CD都是异面直线；③∠MFN的余弦值的取值范围为；④△FMN周长的最小值为．其中正确结论的为（）A．①②B．②③C．③④D．①④11．已知，且f（x）在区间上有最小值，无最大值，则ω＝（）A．B．C．或D．12．双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，离心率为2，焦距为4．设M是双曲线C上任意一点，且M在第一象限，直线MA与MF的倾斜角分别为α1，α2，则2α1+α2的值为（）A．B．C．πD．与M位置有关二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知（1+x）（1﹣2x）4的展开式中x4的系数是．14．已知变量x，y满足，则z＝x2+（y﹣1）2的最小值为．15．北宋著名建筑学家李诫编写了一部记录中国古代建筑营造规范的书《营造法式》，其中说到“方一百，其斜一百四十有一”，即一个正方形的边长与它的对角线的比是1：1.414，接近．如图，该图由等腰直角三角形拼接而成，以每个等腰直角三角形斜边中点作为圆心，斜边的一半为半径作一个圆心角是90°的圆弧，所得弧线称为螺旋线，称公比为的数列为等比数列．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，满足．若，且，则λ的最小整数为．（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771．）16．已知定义在R上的函数f（x）＞0，满足f（x）•f（x+2）＝4，且∀x∈[﹣1，1]，f（x）•f（﹣x）＝4，当﹣1≤x≤0时，f（x）＝2﹣x+k（k为常数），关于x的方程f（x）﹣logα（x+1）＝1（a＜8且a≠1）有且只有3个不同的根，则能推出下列正确的是.（请填写正确的编号）①函数f（x）的周期T＝2；②f（x）在[﹣1，1]单调递减；③f（x）的图象关于直线x＝1对称；④实数a的取值范围是．三、解答题（本大题分必考题和选考题两部分，第17题〜第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题〜第23题为选考题，考生根据要求作答.满分60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算过程）17．设函数f（x）＝，其中向量＝（2cos x，1），＝（cos x，sin2x）．（1）求函数f（x）的最小正周期与单调递减区间；（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知f（A）＝2，b＝1，△ABC的面积为，判断△ABC的形状，并说明理由．18．某省举办线上万人健步走活动，希望带动更多的人参与到全民健身中来，以更加强健的体魄、更加优异的成绩，向中国共产党百年华诞献礼．为了解群众参与健步走活动的情况，随机从参与活动的某支队伍中抽取了60人，将他们的年龄分成7段：[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60）（50，70）[70，80]后得到如图所示的频率分布直方图．（1）以各组的区间中点值代表各组取值的平均水平，求这60人年龄的平均数；（2）若从样本中年龄在[50，70）的居民中任取3人，这3人中年龄不低于60岁的人数为X，求X的分布列及数学期望；（3）一支200人的队伍，男士占其中的岁以下的男士和女士分别为30和70人，请补充完整2×2列联表，并通过计算判断是否有95%的把握认为40岁以下的群众是否参与健步走活动与性别有关．40岁以下40岁以上合计男士30女士70合计200附：K2＝.P（K2≥…0.050.0250.0100.0050.001k0）k0… 3.841 5.024 6.6357.87910.828 Array19．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝120°，四边形BFED为矩形，平面BFED⊥平面ABCD，BF＝1．（1）求证：BD⊥平面AED，AD⊥平面BDEF；（2）点P在线段EF上运动，设平面PAB与平面ADE所成锐二面角为θ，试求θ的最小值．20．已知F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上任意一点P到焦点距离的最小值与最大值之比为，过F1且垂直于长轴的椭圆C的弦长为3．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过F1的直线与椭圆C相交的交点A、B与右焦点F2所围成的三角形的内切圆面积是否存在最大值？若存在，试求出最大值；若不存在，说明理由．21．设函数．（1）求f（x）的单调区间；（2）如果当x＞0，且x≠1时，，求k的取值范围．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝a cosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C相交于A，B两点．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若|PA|•|PB|＝|AB|2，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数g（x）＝|x﹣2|，f（x）＝|x﹣a|．（Ⅰ）当a＝1时，解不等式g（x）﹣f（x）﹣＞0；（Ⅱ）若正数a，b，c，d满足a2+b2＝g（4），c2+d2＝1，求ac+bd的最大值．。
四川省成都市树德中学2022-2023学年高一上学期10月月考数学试题(含答案)
树德中学高2022级高一上学期10月阶段性测试数学试题全卷满分：150分 考试时间：120分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．已知全集U Z =，集合{1,2,3},{3,4}A B =-=，则 （ ） A ．{4} B ．{3} C ．{1,2} D ．∅ 2．己知命题:Q,p x x N ∃∈∉，则p ⌝为（ ）A ．Q,x x N ∀∉∉B ．Q,x x N ∃∉∈C ．Q,x x N ∀∈∈D ．Q,x x N ∃∈∈ 3．已知实数a ，b ，c ，若a b >，则下列不等式成立的是（ ）A ．11a b> B ．22a b > C ．2211a bc c >++ D ．||||a c b c > 4．若2x >，则函数42y x x =+-的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 5．下列命题中真命题有（ ） ①21:,04p x R x x ∀∈-+≥ ②q ：所有的正方形都是矩形： ③2:,220r x R x x ∃∈++≤ ④:,,243s x y Z x y ∃∈+= A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个6．若0)P Q a ==+≥，则P ，Q 的大小关系是（ ）A ．P Q <B ．P Q =C ．P Q >D ．P ，Q 的大小由a 的取值确定 7．若两个正实数x ，y 满足211x y+=，则2x y +的最小值为（ ） A ．8 B ．6 C ．4 D ．28．已知使不等式2(1)0x a x a +++≤成立的任意一个x ，都满足不等式310x -≤，则实数a 的取值范围为（ ） A ．13a a ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭B ．13a a ⎧⎫≤-⎨⎬⎩⎭C ．13a a ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭D ．13a a ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列四个命题：其中不正确．．．的命题为（ ） A ．已知集合{}21A y y x ==+，集合{}21B x y x ==+，则A B =∅B ．集合51x NN x ⎧⎫∈∈⎨⎬+⎩⎭中有两个元素 C ．由方程2210x x -+=的所有实根构成的集合中的元素之和为2 D ．记{}{}21,,41,A x x k k Z B x x n n Z ==+∈==±∈，则A B = 10．以下各选项中，p 是q 的充分不必要条件的是（ ） A ．p ：某四边形是菱形 q ：某四边形对角线相互垂直 B ．p ：三角形有两边上的高相等 q ：三角形为等腰三角形 C ．22::p ac bc q a b >>D ．::p x AB q x A B ∈∈11．命题“212,x x a ∀≤≤>”为假命题的一个充分不必要条件是（ ） A ．1a ≥ B ．4a ≥ C ．2a ≥- D ．4a =12．已知关于x 的不等式20ax bx c ++≤的解集为{}23x x x ≤-≥或，则下列说法正确的是（ ）A ．0a <B ．0ax c +>的解集为{}6x x >C ．8430a b c ++<D ．20cx bx a ++<的解集为1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设集合{}2,32,4,{5,1,4}A x x B x x =--=--，若{4}A B =，则x 的值为___________．14．不等式522x ≥+的解集．．为___________． 15．学校举办运动会时，高一某班共有30名同学参加，有15人参加游泳比赛，有9人参加田径比赛，有13人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有2人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加球类一项比赛的有___________人． 16．设正数x ，y ，z 满足22590x xy y z -+-=，则当xy z取得最大值时，29133m m x y z -≥+-恒成立，则m 的取值集合是___________．四．解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．设集合{}{}{}24,20,|2|1U x x A x x x B x x =≤=--≤=-≤． 求：（1）A B ；（2）()U AB ð；（3）()()UUA B ðð．18．已知命题2:R,40p x x x m ∃∈-+=为假命题． （1）求实数m 的取值集合B ；（2）设{}34A x a x a =<<+，若x B ∈是x A ∈的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 19．（1）已知0,0,0a b c d n >><<<，求证：22()()n na cb d >--；（2）若实数x ，y 满足221x y xy ++=，求x y +的取值范围．20．为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米．（1）若矩形草坪的长比宽至少多9米，求草坪宽的最大值；（2）若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求草坪的长、宽各为多少时，整个绿化面积最小，并求出最小值． 21．已知函数2(2)4()y x a x a R =-++∈．（1）若对任意的14,10x y a ≤≤++≥恒成立，求实数a 的取值范围；（2）若对任意的11,(22)2a y a x a -≤≤>-+恒成立，求x 的取值范围． 22．已知函数2(2)2,y ax a x a R =-++∈．（1）32y x <-对任意x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围； （2）求不等式0y ≥的解集；（3）若存在0m >使关于x 的方程21(2)||21ax a x m m-++=++有四个不同的实根，求实数a 的取值范围．参考答案一、1-8 ACCDB AAC 二、9-12 AC ACD BD AD 三、13．2- 14．122x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭15．8 16．{}14m m m ≤-≥或 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．再每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
四川省成都市树德中学2024届高三上学期10月阶段性测试数学理科试题(含答案)
树德中学高2021级高三上学期10月阶段性测试数学(理科)试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合A =1,2,3 ，B =4,5 ，M =x x =a +b ,a ∈A ,b ∈B ,则集合M 的元素个数为()A.7B.6C.5D.42．如果复数m 2-3m +m 2-5m +6 i 是纯虚数，则实数m 的值为( )A.0B.2C.0或3D.2或33．已知直线l 1:x -3y +2=0,l 2:3x -ay -1=0，若l 1⊥l 2，则实数a 的值为( )A.1B.12 C.-12D.-14．已知平面α，β，γ，直线a ，b ，c ，下列说法正确的是( )A.若a ⎳α，b ⎳β，a ⎳b ，则α⎳βB.若a ⊥α，α⊥β，则a ⎳βC.若a ⊥α，b ⎳β，α⎳β，则a ⊥bD.若α∩γ=a ，β∩γ=b ，a ⎳b ，则α⎳β5．向量a ，b ，c在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若e 为与c 同方向的单位向量，则a +b ⋅e =( )A.1.5 B.2C.-4.5D.-36．已知等比数列a n 各项均为正数，3a 2+2a 3=a 4，a n 的前n 项和为S n ，则S 3a 2=( )A.3B.133C.72D.137．要得到函数f x =sin 2x +π3 的图象，可以将函数g x =sin 2x +π12的图象( )A.向左平移π4个单位 B.向左平移π8个单位C.向右平移π4个单位D.向右平移π8个单位8．设函数f x 的定义域为R ，且f 2x +2 是奇函数，f x +1 是偶函数，则一定有( )A.f -1 =0B.f 3 =0C.f 4 =0D.f 5 =09．阅读下段文字：“已知2为无理数，若(2)2为有理数，则存在无理数a =b =2，使得a b 为有理数；若(2)2为无理数，则取无理数a =(2)2，b =2，此时a b =(2)2 2=(2)2⋅2=(2)2=2为有理数．”依据这段文字可以证明的结论是( )A.(2)2是有理数B.(2)2是无理数C.存在无理数a ，b ，使得a b 为有理数D.对任意无理数a ，b ，都有a b 为无理数10．一个盒子中装有a 个黑球和b 个白球(a ，b 均为不小于2的正整数)，现从中先后无放回地取2个球.记“第一次取得黑球”为A 1，“第一次取得白球”为A 2，“第二次取得黑球”为B 1，“第二次取得白球”为B 2，则( )A.P A 1B 2 =aba +b2B.P A 2B 1 =b a +b ⋅b -1a +b -1C.P B 1A 1)+P (B 2 A 1 <1D.P B 2A 1)+P (B 1 A 2 >111．如图，双曲线E ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线l 与其右支交于P ，Q 两点，已知PF1 =2PF2 且∠PF 1F 2=∠F 1QP ，则双曲线E 的离心率为( )A.3B.2C.3D.212．已知函数f x =(x -3)3+2x -6，且f 2a -b +f 6-b >0a ,b ∈R ，则( )A.sin a >sin bB.e a >e bC.1a >1bD.a 2024>b 2024二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)13．设命题p :2x -1x -1<0，命题q :x 2-2a +1 x +a a +1 ≤0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是_________14．过点(2,2)的直线l 被圆C ：x 2+(y +1)2=16所截得的弦长为整数，则满足条件的直线l 有条.15．已知多项式f (x )=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4满足对任意θ∈R ,f (cos θ)=2cos4θ+cos3θ，则a 1-a 2+a 3-a 4=(用数字作答)．16．若曲线y =axx >0 与曲线y =2ln x 存在公切线，则实数a 的取值范围为．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每题满分12分，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，每题满分10分，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分.17．已知等差数列a n 满足a 2=3,S 5=25.(1)求数列an 的通项公式；(2)设b n =1a n +1+a n,T n 为数列b n 的前n 项和，求T n .18．如图，四边形ABCD 与四边形BDEF 均为菱形，∠DAB =∠DBF =60°，FA =FC .(1)求证：AC ⊥平面BDEF ；(2)求二面角A -FC -B 的余弦值.19．规定抽球试验规则如下：盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮．如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则，在盒子中再放入一个红球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功．(1)某人进行该抽球试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球，记其进行抽球试验的轮次数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望；(2)为验证抽球试验成功的概率不超过12，有1000名数学爱好者独立的进行该抽球试验，记t 表示成功时抽球试验的轮次数，y 表示对应的人数，部分统计数据如下：t 12345y23298604020求y 关于t 的回归方程y =b t +a，并预测成功的总人数(精确到1)；附：经验回归方程系数：b =ni =1x i y i -nx ⋅yn i =1x 2i -nx2 ，a =y -b x；参考数据：5i =1x 2i=1.46 ，x =0.46，x 2=0.212(其中x i =1t i ，x =155i =1x i )．20．已知抛物线C1:y2=x，圆C2:x-42+y2=1．(1)求圆心C2到抛物线C1准线的距离；(2)已知点P是抛物线C1上一点(异于原点)，过点P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A、B两点，若直线PC2的斜率为k1，直线AB的斜率为k2，k1·k2=-524，求点P的坐标．21．已知函数f x =e x-kx2，k>0．(1)若k=2，求函数f x 的极值点的个数；(2)是否存在正实数k,使函数f x 的极值为2ek2，若存在，求出k的值，若不存在，说明理由．(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=-1+22ty=1+22t(t为参数)，圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线l及圆C的极坐标方程；(2)若直线l与圆C交于A,B两点，求cos∠AOB的值.23．已知函数f(x)=|x-1|+|x-3|.(1)解不等式f(x)≤x+1；(2)设函数f(x)的最小值为c，实数a,b满足a>0,b>0,a+b=c，求证：a2a+1+b2b+1≥1.树德中学高2021级高三上学期10月阶段性测试数学(理科)试题参考答案题号123456789101112答案DA DCD BBCCDBB13. 0,12 14.915.116.-2e ,0.17.(1)因为数列a n 为等差数列，设公差为d ，则S 5=5(a 1+a 5)2=5a 3=25，所以a 3=5，又a 2=3，所以a 1+2d =5a 1+d =3 ，解得a 1=1，d =2.则a n =1+2n -1 =2n -1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分(2)由(1)知，b n =12n +1+2n -1.所以b n =2n +1-2n -1(2n +1+2n -1)(2n +1-2n -1)=12(2n +1-2n -1)T n =12(3-1+5-3+⋯+2n +1-2n -1)=12(2n +1-1)⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分18.(1)证明：设AC 交BD 于点O ，连接FO ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，O 为AC 中点，又∵FA =FC ，∴AC ⊥FO ，又FO ∩BD =O ，FO ⊂平面BDEF ，BD ⊂平面BDEF ，∴AC ⊥平面BDEF ；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分(2)解：如图，连接DF ，∵四边形BDEF 为菱形，∠DBF =60°，∴△DBF 为等边三角形，又∵O 为BD 中点，∴FO ⊥BD ，又AC ⊥FO ，AC ∩BD =O ，AC ⊂平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴FO ⊥平面ABCD ，分别以OA ，OB ，OF 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图所示，设AB =2，则BD =2，AC =23，又∴△DBF 为等边三角形，∴OF =3，∴点O 0,0,0 ，A 3,0,0 ，B 0,1,0 ，C -3,0,0 ，F 0,0,3 ，∴CF =3,0,3 ，CB =3,1,0 ，设平面BCF 的一个法量n=x ,y ,z ，则CF ⋅n=3x +3z =0CB ⋅n=3x +y =0，令x =1，得n=1,-3,-1 ，∵FO ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以FO ⊥BD ，又因为AC ⊥BD ，AC ∩FO =O ，所以BD ⊥平面AFC ，则OB=0,1,0 即为平面AFC 的一个法向量，∴cos n ,OB =n ⋅OB n OB=-155，又二面角A -FC -B 的平面角是锐角，∴二面角A -FC -B 的余弦值为155.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分19.(1)由题知，X的取值可能为1，2，3所以P X=1=1C122=14；P X=2=1-1C1221C132=112；P X=3=1-1C1221-1C132=23；所以X的分布列为：X123P1411223所以数学期望为E X=1×14+2×112+3×23=3+2+2412=2912.⋯⋯⋯⋯⋯6分(2)令x i=1t i，则y=b x+a，由题知：5i=1x i y i=315，y =90，所以b=5i=1x i y i-5x ⋅y5i=1x2i-5x 2=315-5×0.46×901.46-5×0.212=1080.4=270，所以a=90-270×0.46=-34.2，y =270x-34.2，故所求的回归方程为：y =270t-34.2，所以，估计t=6时，y≈11；估计t=7时，y≈4；估计t≥8时，y<0；预测成功的总人数为450+11+4=465.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分20.(1)由已知：C2(4,0)；C1的准线为x=-14．圆心C2到C1准线距离为4--14=174;⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分(2)设P y20,y0，A y21,y1，B y22,y2,切线PA:x-y20=m1y-y0由x=m1y+y20-m1y0y2=x得：y2-m1y-y20+m1y0=0由y0+y1=m1得：y1=m1-y0，切线PB:x-y20=m2y-y0,同理可得：y2=m2-y0依题意：C2(4,0)到PA:x-m1y-y20+m1y0=0距离4-y20+m1y0m21+1=1整理得：y20-1m21+8y0-2y30m1+y40-8y20+15=0同理：y20-1m22+8y0-2y30m2+y40-8y20+15=0∴m1+m2=2y30-8y0y20-1y20≠1∵k1=y0y20-4，k2=y1-y2y21-y22=1y1+y2=1m1+m2-2y0=y20-1-6y0∴k1k2=y0y20-4⋅y20-1-6y0=-524,解得：y0=±4故所求P点坐标为16,4或16,-4.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分21.(1)当k=2时，f(x)=e x-2x2，f (x)=e x⋅x2+e x-2⋅2x=x xe x+2e x-4=x(x+2)e x-4，令g(x)=(x+2)e x-4，则g (x)=(x+3)e x，所以g(x)=(x+2)e x-4在(-∞,-3)单调递减，在(-3,+∞)单调递增．又因为x<-2时，g(x)<0恒成立，g(0)=-2<0,g(1)=3e-4>0，所以g(x)=(x+2)e x-4在(0,1)上有唯一的零点x0．所以当x∈(-∞,0),f (x)>0,f(x)单调递增，当x∈0,x0,f (x)<0,f(x)单调递减，当x∈x0,+∞，f (x)>0,f(x)单调递增，所以函数f(x)有两个极值点．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分(2)f (x)=e x x2+e x-k⋅2x=x(x+2)e x-2k，令h(x)=(x+2)e x-2k(k>0)，则x<-2时，h(x)<0．h (x)=(x+3)e x，当x>-3时，h(x)单调递增．h(0)=2-2k，①当k=1时，f (x)≥0在R上恒成立，f(x)无极值，不存在符合题意的k．②当k>1时，h(0)<0,h(k)=(k+2)e k-2k>(k+2)⋅e-2k>0，存在x0∈(0,k)，使得h x0=0，当x∈(-∞,0),f (x)>0,f(x)单调递增，当x∈0,x0,f (x)<0,f(x)单调递减，当x∈x0，+∞，f (x)>0,f(x)单调递增，所以f(x)的极大值为f(0)=0<2ek2,f(x)的极小值为f x0<f(0)=0<2ek2，故不存在符合题意的k．③当0<k<1时，h(0)>0，存在x0∈(-2,0)，使得h x0=0，当x∈-∞,x0,f (x)>0,f(x)单调递增，当x∈x0,0,f (x)<0,f(x)单调递减，当x∈(0,+∞)，f (x)>0,f(x)单调递增，所以f(x)的极小值为f(0)=0<2e2k2,f(x)的极大值为f x0，如果存在正实数k使函数f(x)的极值为2ek2，则f x0=e x0-kx20=2ek2，又因为h x0=x0+2e x0-2k=0．所以2kx0+2-kx20=2ek2，所以x30+2ek x0+2=0，所以x30+e x0+1x0+22=0，即x30e+e x0x0+22=0，令H(x)=x3e+e x(x+2)2，则H (x)=3x2e+e x x2+6x+8，因为x∈(-2,0)，所以H (x)>0．所以H(x)在(-2,0)单调递增，又因为H(-1)=0，所以x0=-1，此时k=x0+2e x02=12e，综上所述，k=12e时，存在极值为2ek2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分22.(1)由直线l 的参数方程x =-1+22ty =1+22t，得其普通方程为y =x +2，∴直线l 的极坐标方程为ρsin θ=ρcos θ+2.又∵圆C 的方程为x -2 2+y -1 2=5，将x =ρcos θy =ρsin θ代入并化简得ρ=4cos θ+2sin θ，∴圆C 的极坐标方程为ρ=4cos θ+2sin θ.⋯⋯5分(2)将直线l ：ρsin θ=ρcos θ+2，与圆C ：ρ=4cos θ+2sin θ联立，得4cos θ+2sin θ sin θ-cos θ =2，整理得sin θcos θ=3cos 2θ，∴θ=π2，或tan θ=3.不妨记点A 对应的极角为π2，点B 对应的极角为θ，且tan θ=3.于是，cos ∠AOB =cos π2-θ =sin θ=31010.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分23.(1)f x ≤x +1，即x -1 +x -3 ≤x +1.当x <1时，不等式可化为4-2x ≤x +1，解得：x ≥1,又∵x <1，此时无解；当1≤x ≤3时，不等式可化为2≤x +1，解得：x ≥1,又∵1≤x ≤3，∴1≤x ≤3.当x >3时，不等式可化为2x -4≤x +1，解得：x ≤5,又∵x >3，∴3<x ≤5. 综上所得，1≤x ≤3或3<x ≤5，即1≤x ≤5.∴原不等式的解集为1,5 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分(2)由绝对值不等式性质得，x -1 +x -3 ≥x -1 -x -3 =2，∴c =2，即a +b =2.令a +1=m ,b +1=n ，则m >1,n >1，a =m -1,b =n -1,m +n =4，a 2a +1+b 2b +1=m -1 2m +n -1 2n =m +n +1m +1n -4=4mn ≥4m +n 22=1，等且仅当m =n =2即a =b =1时等号成立.原不等式得证.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分。
2024-2025学年四川省成都市树德中学高三上学期10月月考物理试题及答案
树德中学高2022级高三上学期10月阶段性测试物理试题一、单选题（每小题4分，共28分）1．蹦极是现在年轻人都喜爱的一项体育运动，从蹦极者跳出高台直至最后在空中静止下来的整个运动过程中，下列说法正确的是（）A ．蹦极者在加速下落过程中，其惯性增大B ．蹦极者离开高台瞬间，其速度和加速度都为零C ．蹦极者第一次下落到最低点时，其处于超重状态D ．蹦极者第一次从最低点向上运动的过程中，绳对爱好者的拉力大于爱好者对绳的拉力2．都江堰虹口滑索全程约300米，几分钟内就可以跨越虹口河谷，让游客体验到高空飞翔的快感。
游客从起点利用自然落差加速向下滑行，越过绳索的最低点减速滑至终点，不考虑空气对人的作用力，选项图能正确表示游客加速下滑或减速上滑的是（）A ．加速下滑B ．减速上滑C ．加速下滑D ．减速上滑3．如图甲所示，自动炒菜机的电动铲子既可推动炒菜也可翻动炒菜。
自动炒菜机的炒菜原理可简化为如图乙所示的模型，内壁光滑的半球形容器开口向上固定在水平面上，一个小球（可视为质点）放在容器的底部，竖直光滑挡板与其接触，挡板的上端刚好与圆心O 重合，有两种方式使小球到达容器口的P 点：方式一是将挡板缓慢水平向右推，在推动过程中挡板始终保持竖直，使小球到达P 点；方式二是让挡板绕O 点缓慢转动，使小球到达P 点。
下列说法不正确的是（）A ．方式一中，挡板对小球的弹力增大B ．方式一中，内壁对小球的弹力增大C ．方式二中，挡板对小球的弹力增大D ．方式二中，内壁对小球的弹力增大4．某同学在某砖墙前的O 处水平抛出一个石子，石子在空中运动的轨迹照片如右图所示。
从照片可看出石子恰好垂直打在一倾角为37°的斜坡上的A 点。
已知每块砖的平均厚度为9cm ，取g =10m/s 2，sin37°=0.6，cos 37°=0.8，则石子落在A 点时的速度大小约为（）A ．2m/sB ．2.25m/sC ．3m/s D.3.75m/s5．2024年6月24日中国滑板街头巡回赛（杭州站）圆满落幕。
【数学】四川省树德中学2020届高三上学期10月阶段性检测 数学(文)
k0
2.072 0.706 3.841 5.024 6.635 7.879
参考公式: K 2
n(ad bc)2
，其中 n a b c d .
(a b)(c d )(a c)(b d )
（二）选考题（共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答 时请写清题号）
A. 0 个
B. 1 个
C. 2 个
D. 3 个
6. 已知 sin( ) 3 ， 为第二象限角，则 tan 2 （ ） 5
24
A.
B. 24
7
C.
D. 7
7
7
24
24
7．已知 | a | 2 ， | b | 3 ， a,b 夹角 60 ，且 a b 与 a b 垂直，则
（ ）
故 a 的最小值为 g(1) 3 .
Tn 2 (n 1) 2n1
19. （12’）（1）根据题意，填写列联表如下：
优等生 非优等生 合计
学习大学先修课程 50
200
250
没有学习大学先修课程 100 900
1000
合计
150 1100
1250
6
高三数学（文科） 2019-10 阶考 第 3页 共 2 页
又 PD ED ， PD 面 DBCE . PD EC .
（2） BC // ED ，PCB 为异面直线 PC 与 ED 所成角平面角. PD 面 DCBE ， PD DB ，
由列联表计算 K 2 1250 (50 900 200 100) 2 18.939 6.635 ， 250 1000 150 1100
(1 2k 2) x2 4mkx 2m2 2 0 ，令两根为 x1, x2 . 由 OP OM ON 0 .
四川省成都市树德中学高三上学期10月月考数学(理)试卷(原卷版)
（2） ；（3） ；（4） ．
则其中所有正确结论的序号为______．
三、解答题（共6题，满分70分．）
（一）必考题：共60分．
17.已知 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，满足 ．
（1）求角 的大小；
（2）若 边上的中线 ，且 ，求 的值．
18.2022年9月30日至10月9日，第56届国际乒联世界乒乓球团体锦标赛在成都市高新区体育中心举行．某学校统计了全校学生在国庆期间观看世乒赛中国队比赛直播的时长情况（单位：分钟），并根据样本数据绘制得到如图所示的频率分布直方图．
树德中学高2020级高三上期10月阶段性考试数学试题（理科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1.已知集合 ， ，则 ()
A. B. C. D.
2.复数 （）
A. B. C. D.
3.根据分类变量x与y的观察数据，计算得到 ．依据下面给出的临界值表，
8.若双曲线 的一条渐近线被圆 所截得的弦长为 ，则双曲线 的离心率为（）
A. B. C. D.
9.设函数 ，则下列结论正确 是（）
A. 的图象关于直线 对称
B. 的图象关于点 对称
C.把 的图象向左平移 个单位长度，得到一个偶函数的图象
D. 在区间 上为增函数
10.“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图是以一正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”.若该多面体的棱长为1，则经过该多面体的各个顶点的球的表面积为（）
（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
树德中学高2011级10月月考数学考试题
树德中学高2011级10月月考数学考试题一、选择题：本大题共12个小题，每题6分，共60分。
每个小题所给四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
请将所选答案代号填在机读卡的相应位置。
1.已知P ={0,1}，Q ={-1,0,1}，f 是从P 到Q 的映射，则满足f (0)>f (1)的映射有（B ）个 A .2 B .3 C .4 D .52.下列四个集合中，表示空集的是（D ） A .{0}B . 22{(,)|,,}x y y x x y R =-∈C .{||5,,}x x x Z x N =∈∉D .2{|2+3-20,}x x x x N =∈3.设集合3{|0}2x M x x -=≤-，集合{|(3)(2)0}N x x x =--≤，则M 与N 的关系是（D ） A .M N = B . M N ∈C . M N ⊃≠D . M N ⊂≠4.已知奇函数()f x 在区间[0,5]上是增函数，那么下列不等式中成立的是（D ） A . (4)()(3)f f f π>-> B . ()(4)(3)f f f π>>C . (4)(3)()f f f π>>D . (3)()(4)f f f π->->-5.若集合{1,3,}A x =，2{1,}B x =，{1,3,}A B x = 满足条件的实数x 的个数有（C ）个 A .1 B .2 C .3 D .46.已知25(5)()(2)(5)x x x f x f x x ⎧-≤=⎨->⎩，则(8)f 的函数值为（C ）A .-312B .-174C .-76D .1747.设集合{|3,M x x k k z ==∈,{|31,}P x x k k z ==+∈,{|31,}Q x x k k z ==-∈,则C ()Z P Q =（A ）A . MB . PC . QD .∅8.设函数()f x 是R 上的偶函数，且当(0,)x ∈+∞时，()(f x x x =，则当(,0)x ∈-∞时，()f x 等于（A ）A . (x xB . (x x -C . (x x -D . (x x9.已知集合{|3,1,2,3,4}M x x n n ===，{|3,1,2,3}kN x x k ===，则满足：()()M N S M N ⊂⊆≠的集合S 有（B ）个A .6B .7C .8D .910.函数y =的单减区间是（D ）A .(),1-∞-B .()1,-+∞C .()3,1--D .()1,1- 11.1()1(1)f x x x =--函数的最大值为（D ）A .45 B .54 C .34 D .4312.已知()32||f x x =-，2()2g x x x =-，(),()()()(),()()g x f x g x F x f x f x g x ≥⎧=⎨<⎩当时当时，则()F x 的最值是（B ）A .最大值为3，最小值 B .最大值为 C .最大值为3，无最小值 D .既无最大值为，也无最小值二、填空题：本大题共4个小题，每题4分，共16分。
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高2014级第五期10月阶段性考试数学试题（理）一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知全集U =Z ，集合{}1,6A =，{}2,0,1,6AB =，那么=⋂B AC U )(( )A ．∅B ．{}3,4,5C ．{}2,0D ．{}1,6 2. 复数iiZ 212+-=(i 为虚数单位)所对应复平面内的点在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3. 已知b a ,是平面α内的两条不同直线，直线l 在平面α外，则b l a l ⊥⊥,是α⊥l 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.若[x]表示不超过x 的最大整数，如[2.6]2,[ 2.6]3=-=-，执行如图所示的程序框图，记输出的值为0S ，则103log S =( )A. -1B. 0C. 1D. 25. 函数)2)(2sin(3)(πϕϕ<+=x x f 的图像向左平移6π个单位后关于原点对称, 则ϕ等于（ ）A.6π B. 6π- C.3π D.3π-6. 若等差数列{}n a 的公差0d ≠, 前n 项和为n S , 若*n N ∀∈, 都有10n S S ≤, 则( ) A. *n N ∀∈,1n n a a -< B. 9100a a ⋅> C. 217S S > D. 190S ≥7.某公司庆祝活动需从甲、乙、丙等5名志愿者中选2名担任翻译，2名担任向导，还有1名机动人员，为来参加活动的外事人员提供服务，并且翻译和向导都必须有一人选自甲、乙、丙，则不同的选法有 （ ）A ．20B ．22C ．24D ．368. 已知点P 在直线320x y +-=上, 点Q 在直线360x y ++=上, 线段PQ 的中点为00(,)M x y , 且002y x <+, 则y x 的取值范围是( ) A.1[,0)3- B. 1(,0)3- C. 1(,)3-+∞ D. 1(,)(0,)3-∞-+∞9. 已知某几何体的三视图如图所示, 三视图是边长为1的等腰直角三角形和 边长为1的正方形, 则该几何体的体积为( )A.16 B. 13 C. 12 D. 2310. 已知函数||1211()()21log (1)x f x x =-++, 则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是( )A. 1(,1)3B. 1(,)(1,)3-∞+∞C. 1(,1)3-1(0,)(1,)3+∞D. ()1,11,(1,)3⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭11. 设12,e e 分别为具有公共焦点12,F F 的椭圆和双曲线的离心率, P 是椭圆和双曲线的一个公共点, 且满足1212||||PF PF F F +=,=( )A.2B. 2 D. 1 12.在锐角ABC ∆中, ,,A B C 所对边分别为,,a b c , 且22b a ac -=, 则11tan tan A B-的取值范围为( ) A. (1,)+∞B.C. D.二. 填空题（每小题5分，共20分）13.二项式5(1)ax -(0)a >的展开式的第四项的系数为40-, 则a 的值为 .14. 已知正数y x ,满足0=-+xy y x ，则y x 23+的最小值为 .正视侧视俯视15.过直线y x =上的一点作圆22(5)(1)2x y -+-=的两条切线12l l ，， 当直线12l l ，关于y x =对称时，它们之间的夹角为__________.16. 已知函数2()244f x x tx t =---, 21()(2)g x t x=-+, 两个函数图象的公切线恰为3条, 则实数t 的取值范围为 .三. 解答题（共70分）17. （12分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足,132-=n n a S 其中*∈N n(1)求数列{}n a 的通项公式；（2）设,32nn b a nn n +=求数列{}n b 的前n 项的和n T 。
18. （12分）为了解人们对于国家颁布的“房产新政策”的热度，现在某市进行调查，随机抽调了50人，他们年龄的频数分布及支持“房产新政策”人数如下表：(1) 由以上统计数据填下面2乘2列联表, 并问是否有99%的把握认为以45岁为分界点对“房产新政策”的支持度有差异；持“房产新政策”人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望.附表：0.001 22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++19. （12分）在如图所示的几何体中, 四边形ABCD 为正方形, PA ⊥平面ABCD , //,4,2PA BE AB PA BE ===. (1) 求PD 与平面PCE 所成角的正弦值;(2) 在棱AB 上是否存在一点F , 使得平面DEF ⊥平面PCE ? 如果存在, 求AFAB的值; 如果不存在, 说明理由.20. （12分）已知椭圆C 的中心在原点O , 焦点在x 轴上, 离心率为12, 椭圆C 上的点到右焦点的最大距离为3.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 斜率存在的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点, 并且满足|2||2|OA OB OA OB +=-, 求直线在y 轴上截距的取值范围.21. （12分）设函数()(1)ln(1)f x ax x bx =-+-, 其中, a 和b 是实数, 曲线()y f x =恒与x 轴相切于坐标原点. (1) 求常数b 的值；(2)当1=a 时，讨论函数)(x f 的单调性；（3）当01x ≤≤时关于x 的不等式()0f x ≥恒成立, 求实数a 的取值范围.选做题：请在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，△OAB 是等腰三角形，∠AOB =120°.以O 为圆心，OA 为半径作圆. (1)证明：直线AB 与O 相切；(2)点C ,D 在⊙O 上，且A ,B ,C ,D 四点共圆，证明：AB ∥CD .23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O 为原点，Ox 轴为极轴，单位长度不变，建立极坐标系，直线l 的的极坐标方程为：sin()4πρθ+=C 的参数方程为：2(sin t cost)(t )4(1sin 2)x y t =+⎧⎨=+⎩为参数.（1）写出直线l 和曲线C 的普通方程；（2）若直线l 和曲线C 相交于,A B 两点，定点P(1,2)-，求线段|AB |和|PA ||PB |⋅的值.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知不等式23x ->的解集与关于x 的不等式20x ax b -->的解集相同.（1）求实数,a b 的值；（2）求函数()f x =.高2014级第五期10月阶段性考试数学试题参考答案(理)1.C2.C.3. B.4.A.5. D.6.D7. C.8.D.9.A. 10.D 11.A. 12.B 13. 3 14. 625+ 15. 6016. )+∞ 17.解: (1)31(*)22n n S a n N =-∈, ① 当1n =时, 113122S a =-, 11a ∴=,当2n ≥时, 113122n n S a --=-, ②①-②, 得13322n n n a a a -=-, 即13(2)n n a a n -=≥. 又121,3a a ==,13n na a +∴=对*n N ∈都成立, 所以{}n a 是等比数列, 13(*)n n a n N -∴=∈. (2) 13(*)n n a n N -∴=∈233113()(1)1n b n n n n n n ===-+++,111113(1)2231n T n n =-+-++--,133(1)311n T n n =-=-++, 即31n n T n =+.18. 解: (1) 2乘2列联表2250(311729) 6.27 6.635(37)(2911)(329)(711)K ⨯⨯-⨯=≈<++++.所以没有99%的把握认为以45岁为分界点对“房产新政策”支持度有差异。
(2) ξ所有可能取值有0,1,2,3,22842251062884(0)1045225C C P C C ξ==⋅=⨯=, 21112882442222510510428616104(1)10451045225C C C C C P C C C C ξ==⋅+⋅=⨯+⨯=,111228244222225105104166135(2)10451045225C C C C C P C C C C ξ==⋅+⋅=⨯+⨯=124222510412(3)1045225C C P C C ξ==⋅=⨯=, 所以ξ的期望是1047064()022********E ξ=+++=.19. 解(1)如图, 建立空间直角坐标系, 则(4,0,0)B , (4,4,0)C ,(4,0,2)E , (0,0,4)P , (0,4,0)D . 所以(4,4,PC =-,(4,0,2)PE =-, (0,4,4)PD =-. 设平面PCE的法向量为(,,)m x y z =. 则00200m PC x y z x z m PE ⎧⋅=+-=⎧⎪⇒⎨⎨-=⋅=⎩⎪⎩, 令1x =, 则112x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩, 所以(1,1m =. 设PD 与平面P C E 所成的角为α,则sin |cos ,||||6||||6m PD m PDm PD α⋅=<>===. 所以PD 与平面PCE 所成角的正弦值是6. (2) 假设点F 存在, 连接,,EF FD ED , 可设(,0,0)F a ,则(4,0,2)FE a =-, (4,4,2)DE =-.设平面DEF 的法向量为(',',')n x y z =, 则02'2''0(4)'2'00n DE x y z a x z n FE ⎧⋅=-+=⎧⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩, 令'2x =, 则'2'2'4x a y z a =⎧⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩, 所以(2,,4)2a n a =-. 因为平面D E F ⊥平面P C E , 所以0m n ⋅=, 即22802a a ++-=, 所以1245a =<, 点12(,0,0)5F . 所以35AF AB =. 20. 解: (1) 设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>, 半焦距为c .依题意12c e a ==, 由椭圆C 上的点到右焦点的最大距离3, 得3=+c a , 解得1,2c a ==,所以 2223b a c =-=, 所以椭圆C 的标准方程是22143x y +=. (2) 设直线l 的方程为m kx y +=, 由22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩, 得222(34)84120k x kmx m +++-=,222(8)4(34)(412)0,km k m ∆=-+-> 化简得2234k m +>.设11(,)A x y , 22(,)B x y , 则21212228412,3434km m x x x x k k-+=-=++. 若|2||2|OA OB OA OB +=-成立, 等价于0OA OB ⋅=, 所以12120x x y y +=, 即1212()()0x x kx m kx m +++=, 则221212(1)()0k x x km x x m ++++=,222224128(1)03434m kmk km m k k-+⋅-⋅+=++, 化简得2271212m k =+. 将227112k m =-代入2234k m +>中, 22734(1)12m m +->, 解得234m >. 又由227121212m k =+≥,从而212,7m m ≥≥m ≤所以实数m的取值范围是2(,[21,)7-∞+∞. 21. (1) 对()f x 求导得: 1'()ln(1)1axf x a x b x-=-++-+, 根据条件知'(0)0f =, 所以10,1b b -==. (2) ()(1)ln(1)f x x x x =-+- 12'()ln(1)1ln(1)11x xf x x x x x -=-++-=-+-++ 设2()ln(1)1x x x x φ=-+-+ 则23'()(1)x x x φ+=-+, 1x >-, ()0x φ'∴<.()x φ∴单减, (0)0φ= (1,0),()f x ∴-单增, (0,)+∞()f x 单减. (3) 由(1)得()(1)ln(1)f x ax x x =-+-, 1'()ln(1)11axf x a x x-=-++-+,22(1)(1)21('())'1(1)(1)a a x ax ax a f x x x x -+--++=-+=-+++. ①当12a ≤-时, 由于01x ≤≤, 所以221()('())'0(1)a a x a f x x ++=-≥+, 于是'()f x 在[0,1]上单调递增, 从而'()'(0)0f x f ≥=, 因此()f x 在[0,1]上单调递增, 即()(0)0f x f ≥=, 而且仅有(0)0f =; ②当0a ≥时, 由01x ≤≤, 有221('())'0(1)ax a f x x ++=-<+, 于是'()f x 在[0,1]上单调递减, 即()(0)0f x f ≤=, 而且仅有(0)0f =; ③当02a 1-<<时, 令21min{1,}a m a+=-, 当0x m ≤≤时, 221()('())'0(1)a a x a f x x ++=≤+, 于是'()f x 在[0,]m 上单调递减, 从而'()'(0)0f x f ≤=, 因此()f x 在[0,]m 上单调递减, 即()(0)0f x f ≤=， 而且仅有(0)0f =，综上可知, 所求实数a 的取值范围是1(,]2-∞-.22：（Ⅰ）设是的中点，连结，因为，所以，．在中，，即到直线的距离等于⊙O 半径，所以直线与⊙相切．（Ⅱ）因为，所以不是四点所在圆的圆心，设是四点所在圆的圆心，作直线．由已知得在线段的垂直平分线上，又在线段的垂直平分线上，所以．同理可证，，所以．23.(1):10l x y +-=2:,[C x y x =∈-(2)AB 2=PB PA 24. 解: （1）4, 5.a b == （2）由柯西不等式得：.当且仅当时等号成立，即时，.所以函数的最大值为.。