精编第三章-传热学数值计算方法

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§3.1-3 离散化方程的结构
1. 离散化方程的结构
一个离散化方程是连接一组网格节点处 值的代数关系式，
由支配 的微分方程推导而得，并表示与该微分方程相同的物理
信息。当节点数很多时，离散方程的解接近于相应微分方程的
精确解，相邻点之间 变化很小，有关 分段分布的细节就不那
通常采用的方法是利用实验结果，拟合出遵循的方程， 然后利用方程即可计算出任意位置点上因变量的值。
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eg. 设 随 x 的变化遵循高次多项式的形式
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x a0 a1x a2x2 anxn
利用实验数据，并采用数值方法求得有限数量的多项式中的各
dx
2
i

i1
2i
h2
i1
O
h2
用同样的方法可以得到略去截断误差O(h) 的差分计算式：

d
dx
i

i1 i
h
O h

d
dx
i

i
i1
h

Oh
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为了提高精度，可以得到截断误差更高阶的差分表达式。
x2
对i 点只有一阶截差，但对i+1 点则是 二阶导数具有二阶截差的表达式。
4. 优缺点：推导比较直截了当，但其中各项的物理意义难以
理解。
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§3.2-2 用多项式拟合法建立导数的差分表达式
导数的差分表达式也可以通过多项式的拟合来获得，相当于 对未知函数的局部变化型线采用多项式来逼近。
h, 用泰勒级数展开有：
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i1

i

h

d
dx
i

h2 2

d2
dx2
i

h3 6

d3
dx3
i

h4 24

d4
dx4
i
i1

i

h

d
dx
i

h2 2

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§3.1 数值方法的本质
§3.1-1 任务
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1. 什么是微分方程的数值解？
它是由一组可以构成因变量分布的数组成的集合，即 用一组数字表示待定变量在定义域内的分布。类似于 在实验室中进行的实验，仪器的读数构成了所研究区 域内被测物理量的分布（有限个离散点的值的集合）。
2. 实验数据的处理—拟合关系式
d2
dx2
i

h3 6

d3
dx3
i

h4 24

d4
dx4
i
取左端及右端的前三项，并进行相加或相减，便可得中心差
分的近似式：
剩余项的最低阶导数前系数的次数


d
dx
i

i1 i1
2h

O
h2
d2

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§3.1-2 离散化的概念
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1. 离散化方法及基本思想
把注意力集中在网格节点处的值，用离散的值取 代包含在微分方程精确解中的连续信息，这样就离 散了 的分布，这类数值方法叫离散化方法。
根据实际研究对象，把定义域分为若干个有限的区 域，在定义域内连续变化的待求变量场，由有限区域 上的若干个点的待求变量值来表示，这就是离散化的 基本思想。
么重要了。 相应于一个已知的微分方程，离散化方程的形式决不是唯一
的，这起因于分布假设以及推导方法的不同。 网格节点数非常多的极限条件下，所有可能类型的离散化方
程将会给出相同的解。
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2. 离散化方法
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常见的方法主要有：有限差分法和有限元法。
两种方法的区别来自于选择分布和推导离散化方程 的方法不同。
项系数值，进而得到相应的与x 遵循的方程式，由此即可求
得任意点处的 值了。
若最终的兴趣是得到不同位置上的值，则此方法有些不便， 因为各个系数 a 本身没有什么特别的意义，但要求得 还必 须进行代入过程。
3. 数值方法及任务 建立一个把一系列给定点上的 值作为原始未知量的方程，实
际上求解微分方程的多数方法均属此类。该方法的任务是提供 一组关于这些未知量的代数方程并规定求解这组方程的算法。
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2. 离散化方程：所取网格节点上未知因变量 值的 代数方程，此方程由支配 的微分方程推导而得。
在推导过程中，需对网格节点之间 如何变化作某 种假设，变量 在节点间的分布形式不同，推导离散 化方程的方法也就不同；另外可以选择在整个计算域 内满足一个简单表达式的分布；更为实际的方法还是 采用分段分布，即将计算区域分布一定数量的子域或 单元，每个子域可以有一个独立的分布假设。
本书主要关注的方法具有有限差分的外形，但它 采用了典型的有限元方法所具有的思想，把此方法叫 有限差分法可能在于它坚持遵守习惯的有限差分法做 法。
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§3.2 推导离散化方程的方法
对于一个已知的微分方程，可以用许多方法推导出所要求的 离散化方程。
§3.2-1 泰勒级数公式
第三章 离散化方法
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本章任务：前两章已阐述了获得物理现象的理论预 测有一些明显的好处，且一些有趣的现象是受一些 微分方程支配的，这些方程已用通用方程归纳了， 接下来的任务就是推导求解这个通用方程的方法— 即所谓的离散化方法。
推导前Hale Waihona Puke Baidu假设：
设通用变量 仅仅是一个变量的函数（一维问题）
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1. 定义：在有限差分法中，通过把控制方程中的各阶导数用
相应的差分表达式来代替而形成离散方程。各阶导数的差分表
达式可由泰勒级数展开而得，把这种建立离散方程的方法称为 泰勒级数展开法。
2. 差分方程式的建立：
节点i 两侧分别有i-2, i-1, i+1, i+2，各节点间距都为
i-2 i-1 i h
i+1 i+2 x
3. 几点说明
①.差分表达式分子项系数的代数和为零； ②.各阶导数差分表达式的量纲必须与导数的量纲一致，因
而，一阶导数各个差分表达式的分母为x，二阶为( x )2 ;
③. 给出一个差分表达式时，必须指明是对哪个点建立的，同样 的节点数，不同的建格式的点，导致不同的截断误差，如
i 2i1 i2
1. 线性拟合： 假设函数φ(x,) 在节点 (i, n) 附近对 x 的变化关