南京大学计算机科学与技术系数值计算方法第3章2矩阵的三角分解法矩阵求逆
3.2矩阵三角分解,平方根
2014-12-29
北京信息科技大学
4
2 3 1 0 2 3 1 0 2 3 例如A= 4 1 2 1 0 5 2 3 0 5 / 3
这里有A的两种不同的三角分解，类似可举出很多，一般， 若A=LU是一个三角分解，任取与A同阶的非奇异对角矩阵D， 则
xn yn / unn xi ( yi i n 1,
k i 1
u
n
ik
xk ) / uii
, 2,1
2014-12-29
北京信息科技大学
23
例 用杜利特尔分解法求解方程组
2 x1 2 x2 3 x3 3 4 x1 7 x2 7 x3 1 2 x 4 x 5 x 7 1 2 3
， 则矩 , n 1 ）
U 为上三角阵。 其中 L 为单位下三角阵，
其中
A LU
1 l21 1 L l31 l32 l n1 ln 2
1 ln ,n 1
u11 u12 u22 ，U 1
u1n u2 n unn
矩阵三角分解法
矩阵直接三角分解法是高斯消去法的变形方法。 高斯消去法 有多种变形，有的是高斯消去法的改进，有的是用于某种特殊系 数矩阵的化简。 分解原理 1．概述 高斯消去法解线性方程组先消元，然后再回代。当用矩阵描 述时，是对系数矩阵分解为一个上三角阵和一个下三角阵的乘 积，即 LU 分解。因此，高斯消去法与矩阵的 LU 分解是一致的。
2014-12-29 北京信息科技大学 15
紧凑格式
2 2 3 A 4 7 7 5 2 4 (2) 2 (4) 2 (-2) -1 (2) 2 (7) 3 (4) 2 (3) 3 (7) 1 (5) 6
《数值分析》课程教学大纲
《数值分析》课程教学大纲课程编号：07054352课程名称：数值分析英文名称：Numerical Analysis课程类型：学科基础课程要求：必修学时/学分：48/3 （讲课学时：40 上机学时：8）适用专业：计算机科学与技术；软件工程一、课程性质与任务“数值分析”是计算机科学与技术、软件工程等相关专业学生的学科基础课，也是其它理、工科专业本科生及研究生的必修或选修课。
数值分析是研究各种数学问题在计算机上通过数值运算，得到数值解答的方法和理论。
随着计算机系统能力的提高和新型数值软件的不断开发，无论在高科技领域还是在传统学科领域，数值分析的理论和方法的作用和影响巨大，是科学工作者和工程技术人员必备的基础知识和工具。
课程的任务是使学生能了解数值分析的基本概念，熟悉常用数值方法的构造原理，了解数值算法复杂性、误差与收敛性分析的基本方法，了解重要数值算法的软件实现过程，使学生系统掌握数值分析的基本概念和分析问题、解决问题的基本方法，为掌握更复杂的现代计算方法打好基础。
内容包括数值计算的基本方法、线性和非线性方程组解法、插值法、数值积分法及微分方程的数值解法。
二、课程与其他课程的联系先修课程：高等数学，线性代数，C语言程序设计，计算基础。
后续课程：人工智能，数字图像处理技术，大数据分析及应用。
三、课程教学目标1．学习使用计算机进行数值计算的基础知识和基本理论知识，能够分辨、选用合适的数值方法解决工程问题。
（支撑毕业能力要求1和2）2. 能掌握常用数值计算方法的构造原理，根据问题设计和综合运用算法设计问题解决方案。
（支撑毕业能力要求1和2）3. 能运用数值算法复杂性、误差与收敛性分析的基本方法初步进行算法分析。
4. 能用计算机语言实现典型的数值计算算法，得到实验技能的基本训练，并具有利用计算机解决常见数学问题的能力；（支撑毕业能力要求4）5．能通过查询阅读文献资料，了解数值分析的前沿和新发展动向，了解数值分析算法原理应用的典型工程领域。
数值计算方法(第3章)2
15
对称矩阵的Cholesky分解
• A对称：AT=A 对称： 对称 A正定：A的各阶顺序主子式均大于零。即 正定： 的各阶顺序主子式均大于零 的各阶顺序主子式均大于零。 正定
a11 ... a1k A = ... ... ... >0 (k =1,2,... ) n k ak1 ... akk
16
1 0 0 2 5 − 6 a11 2 1 0 3 − 7 = a 21 − 3 4 1 u33 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
k = 3 时确定U矩阵中第3行的元素，L矩阵中第3列的元素
1 0 = 2 1 − 3 l32
0 u11 u12 0 u22 1
0 2 5 0 u22 1
u13 u 23 u33
− 6 a11 u23 = a21 u33 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33
18
对称矩阵的Cholesky分解
推论：设A为对称正定矩阵，则存在唯一分解
A= LL
T
其中L为具有主对角元素为正数的下三角矩阵。
19
Cholesky分解的求法
设A对称正定, 则A = LLT l11 l 21 l22 令L = ... ... O ln1 ln 2 ... lnn 如何求lij ?以n = 3为例。 a11 a 21 a31 a12 a22 a32 a13 l11 = l a23 21 l22 a33 l31 l32 l11 l12 l22 l33 l13 l23 l33
南京大学《数值分析》课件-第2章
有限元方法的适用性
有限元方法适用于各种复杂的几何形状和边界 条件，具有较高的灵活性和通用性。
有限元方法的应用
有限元方法广泛应用于各种工程领域，如结构分析、流体动力学、电磁场等。
04
数值分析的应用案例
线性方程组的求解
线性方程组在科学计算、工程 技术和经济领域有广泛的应用 ，如物理、化学、生物、金融
数值分析的发展历程
1
数值分析的发展可以追溯到古代数学的发展，如 古代中国的算术和代数、古希腊的几何学等。
2
17世纪微积分的出现为数值分析的发展奠定了基 础，而计算机的出现则为数值分析的发展提供了 重要的工具和平台。
3
现代数值分析的研究领域不断扩大，涉及的领域 也越来越广泛，如数值优化、数值逼近、数值线 性代数等。
数值分析的重要性
01 数值分析是解决实际问题的重要工具，如科学计 算、工程设计、金融分析等领域都需要使用数值 分析的方法。
02 数值分析提供了许多实用的数值计算方法和算法 ，这些算法可以快速、准确地求解各种数学问题 和实际问题。
02 数值分析的发展推动了计算机科学技术的发展， 为计算机科学技术的广泛应用提供了重要的支撑 。
数值分析与其他学科的交叉研究
数学物理反问题
数值分析与数学物理反问题相结 合，将为解决实际问题提供更精 确、更可靠的数值方法。
数据科学
数值分析将与数据科学相结合， 为大数据分析和机器学习等领域 提供更有效的算法和工具。
工程应用
数值分析将与各种工程领域相结 合，如流体动力学、电磁学、生 物学等，为解决实际问题提供更 精确的数值模型和算法。
05
数值分析的未来展望
数值分析的发展趋势
高效算法
随着计算机技术的进步，数值分析将不断探索更高效、更精确的算 法，以解决大规模、高维度的数值计算问题。
南京师范大学《计算方法》考研复习笔记
取前面 5 位
定义
1 n * 如果近似值 x 的绝对误差界为 10 ，那么称 x 准确到小数点后第 n 位，并从第 2
*
3
1
个非零数字到这一位所有数字称为有效数字。
例
2
1.414
准确到小数点后第 3 位，有 4 位有效数字。
3.1416 准确到小数点后第 4 位，有 5 位有效数字。
由于
x 往往未知，故
x x* 一般不能求出。 r x
也称其为相对误差。
称为
x* 的相对误差。
x x* 由于 x 往往未知，因此 x*
2
假定
x 为某一实数的准确值， x* 为其近似值，可对 x* 的绝对误差作估计
x x* ( x* )
( x* ) 称为 x* 的绝对误差界，或称误差界。相应于 ( x* )
1
1
0
n 1 1 5x xn dx dx 0 x5 x5
0
1 x n 1 ( x 5) 1 dx x n 1dx 0 x5 n
由此得
In
I0
1 0
1 5 I n 1 n
0.18232156
取
1 dx ln( x 5) 1 0 ln 6 ln 5 ln1.2 x5
2
1
sin x dx 不能用解析方法求得。 x
很多需要数字结果的科学与工程问题，得到数学模型后，必须采用数值方法来求解。数值分析则是
研究数值方法求解科学与工程问题的一门学科，主要是构造适合于不同类型问题的数值方法，分析方法 的精度、稳定性、收敛性等一系列理论与实际问题。改进计算方法，创造新的数值方法是数值分析很重 要的任务。
《数值计算方法》课后题答案(湖南大学曾金平)
习题一1．设x >0相对误差为2%，4x 的相对误差。
解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈得（1）()f x =11()()*2%1%22x x δδδ≈===；（2）4()f x x =时444()()'()4()4*2%8%x x x x x xδδδ≈===2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。
（1）12.1x =；（2）12.10x =；（3）12.100x =。
解：由教材9P 关于1212.m nx a a a bb b =±型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效数字位数分别为：3，4，53．用十进制四位浮点数计算 （1）31.97+2.456+0.1352； （2）31.97+（2.456+0.1352）哪个较精确？解：（1）31.97+2.456+0.1352 ≈21((0.3197100.245610)0.1352)fl fl ⨯+⨯+ =2(0.3443100.1352)fl ⨯+=0.3457210⨯（2）31.97+（2.456+0.1352）21(0.319710(0.245610))fl fl ≈⨯+⨯ = 21(0.3197100.259110)fl ⨯+⨯ =0.3456210⨯易见31.97+2.456+0.1352=0.345612210⨯，故（2）的计算结果较精确。
4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少？解：设该正方形的边长为x ，面积为2()f x x =，由(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈解得(())()()'()f x f x x xf x δδ≈=2(())(())22f x x f x x xδδ==0.5%5．下面计算y 的公式哪个算得准确些？为什么？（1）已知1x <<，（A ）11121xy x x-=-++，（B ）22(12)(1)x y x x =++； （2）已知1x >>，（A）y =，（B）y =； （3）已知1x <<，（A ）22sin x y x =，（B ）1cos 2xy x-=；（4）（A）9y =（B）y =解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。
南京大学计算机科学与技术系 数值计算方法(第3章)3 向量和矩阵的范数 病态方程组 解线性方程组的迭代法
x
x Ax A
x
由于x 0，故有
A
由的任意性，有 ( A) max{ } A 。
(2) 因为AT A ，故 || A || 2 | max ( A) | ( A)。 2 1 显然 A , ( A) 3 3 , || A || 2 5, || A || 6, 2 4 || A || 2 4.844 , || A || F 5，所以 ( A) || A || p 。 定理3.3.5 设A R nn , 为任意指定的小正数， 则必存在算子范数 *，满足 A * ( A)
法则对应于一非负实数 ||
n
Байду номын сангаас
则称 || x || 为向量x的范数。
常见的向量范数
设向量x ( x1 , x2 ,..., xn )T || ||
x || | x |
1 i 1 i
n
x || || x ||
( | xi | ) ( x, x) ( xT x) 2
i 1
x
(k )
( ( * * * {x1( k ) , x2k ) ,..., xnk ) }T , 如果存在x* ( x1 , x2 ,..., xn )T R n满足
lim xik xi*
k k *
则称向量序列{ x ( k ) }依次收敛到x* , 记作
x x 如果有 lim || x x || 0 则称向量序列{ x }依范数 || || 收敛到x
对称矩阵范数
证明：由AT A知 || A || max ( A A) max ( A ) | max ( A) |
《数值计算方法》课程教学大纲
《数值计算方法》课程教学大纲一、课程基本信息二、课程教学目标数值计算方法是大规模科学模拟计算领域的一门重要的基础课，具有很强的应用性。
通过对本课程的学习及上机实习，使学生掌握掌握数值计算的基本概念、基本方法及其原理，培养应用计算机从事科学与工程计算的能力。
具体能力目标如下：具有应用计算机进行科学与工程计算的能力；具有算法设计和理论分析能力；熟练掌握并使用数学软件，处理海量数据，进行大型数值计算的能力。
三、教学学时分配《数值计算方法》课程理论教学学时分配表《数值计算方法》课程实验内容设置与教学要求一览表四、教学内容和教学要求第一章数值分析与科学计算引论（4学时）（一）教学要求1.了解误差的来源以及舍入误差、截断误差的定义；2.理解并掌握绝对误差、相对误差、误差限和有效数字的定义和相互关系；3.了解函数计算的误差估计，误差传播、积累带来的危害和提高计算稳定性的一般规律。
（二）教学重点与难点教学重点：误差理论的基本概念教学难点：误差限和有效数字的相互关系，误差在近似值运算中的传播（三）教学内容第一节数值分析的对象、作用与特点1．数学科学与数值分析2．计算数学与科学计算3. 计算方法与计算机4. 数值问题与算法第二节数值计算的误差1．误差的来源与分类2．误差与有效数字3. 数值运算的误差估计第三节误差定性分析与避免误差危害1．算法的数值稳定2．病态问题与条件数3. 避免误差危害第四节数值计算中算法设计的技术1．多项式求值的秦九韶算法2．迭代法与开方求值本章习题要点：要求学生完成作业10-15题。
其中概念题15%，证明题5%，计算题60%，上机题20%第二章插值法（12学时）（一）教学要求1.掌握插值多项式存在唯一性条件；2.熟练掌握Lagrange插值多项式及其余项表达式，掌握基函数及其性质；3.能熟练使用均差表和差分表构造Newton插值公式；4.能理解高次插值的不稳定性并熟练掌握各种分段插值中插值点和分段的对应关系；5.熟练掌握三次样条插值的条件并能构造第一和第二边界条件下的三次样条插值。
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a01(11)
a (1) 12
a(2) 22
a (1) 13
a(2) 23
... ...
a (1) 1n
a(2) 2n
左乘A( 2 )，即有: L2 A( 2 )
0
...
0
a(3) 33
...
a(3) 3n
A(3)
... ... ... ...
0
0
a(3) n3
...
a(3) nn
以此类推可得
...
...
1n
(1) a 2n
11
... ... ... ... ...
... ... ... ... ...
a (1) n2
...
...
a
(1)
nn
A(1)
a(1) ... ... a(1)
12
a(2) 22
...
...
1n
(2) a 2n
... ... ... ...
lik (aik litutk ) / ukk
t 1
k 1,2,...,n
a01(11)
a (1) 12
a(2) 22
a (1) 13
a(2) 23
... ...
a (1) 1n
a(2) 2n
Ln1Ln2...L2 L1 A
0
...
0
a (3) 33
...
a (3) 3n
U
... ... ... ...
0
0
0 ... an(nn)
因为
1
1
L11
l21 ...
u2n
an1
an 2
...
ann
ln1
ln2
... 1
u
nn
用比较等式两边元素的方法逐行逐列求解L,U各元素
Doolittle分解
k 1时 : 由a1 j 1 u1 j
得 u1 j a1 j ( j 1,2,...n)；
再由ai1 u11li1 k 2时：
得 li1
ai1 u11
u22
u23
a31 a32 a33 l31 l32 1
u23
k 1时：a1 j u1 j u1 j a1 j ( j 1,2,3)
由a21 u11l21
得 l21
a21 ； u11
由a31 u11l31
得 l31
a31 u11
k 2时：a22 l21u12 u22 得 u22 a22 l21u12；
3.2 矩阵的三角分解法
• 我们知道对矩阵进行一次初等变换，就相当于用相应的初等矩阵去左乘原来 的矩阵。因此我们这个观点来考察Gauss消元法用矩阵乘法来表示，即可得 到求解线性方程组的另一种直接法：矩阵的三角分解。
3.2.1 Gauss消元法的矩阵形式
第1步等价于:
a (1) 11
0时，将a（211）, a（311）,...,a（n11）消零, 令li1
1
ln1 ... ... 1
L21
1 l32 1 ... ln2
1
所以 A (Ln1Ln2...L2 L1)1U L11L21...Ln12 Ln11U
1
l21 1
l.3.1.
l32 ...
1 ...
U LU
ln1 ln2 ... lnn1 1
其中L为单位下三角阵，U为上三角阵
(i 2,3,...,n)。
由a2 j l21u1 j 1 u2 j 得u2 j a2 j l2iu1 j ( j 2,3,...,n)；
再由ai2 li1u12 li2u22
得li 2
ai 2
li1u12 u22
(i 3,4,...,n)。
Doolittle分解
第k步时：计算ukk , ukk1,n j k
... ... ... ...
a(2) n2
...
...
a
(2
nn
)
A(2)
同理第2步等价于：若a2(22) 0时，用矩阵
1 0 0 ... 0
ห้องสมุดไป่ตู้
0
1
0 ... 0
L2
0 ...
l32 ...
1 ... ...
0
0 ln2 0 ... 1
li 2
a(2) i2
a(2) 22
(i 3,4,...,n)
• A的各阶顺序主子式均不为零，即
a11 ... a1k Ak ... ... ... 0
ak1 ... akk
(k 1,2,...n)
Doolittle分解
令
a11 a12 ... a1n 1
a21
a22
...
a2n
l21
1
u11 u12 ... u1n
u22
...
u1 j
u2
j
akj
[lk1lk 2...lkk110...0]u jj
k 1
lktutj
ukj
0 t1
0
k 1
有 ukj akj lktutj （j k, k 1,...n） t 1
Doolittle分解
计算lk 1k ,...,lnk 由于i k，于是由
u1k
aik
[li1...,lik
1 ,1,0. . .0]u0k k
k 1
lit utk
t 1
lik ukk
0
k 1
得 lik (aik litutk ) / ukk （i k 1,...n） t 1
Doolittle分解
即
ukj
akj
k 1
lktutj
t 1 k 1
( j k,...,n;i k 1,...,n)
由此解线性方程组Ax b就等价于解两
个三角方程：
L(Ux)
b
Ly Ux
b y
因此，关键问题在于能否对矩阵A直接进
行LU分解。
3.2.2 Doolittle分解
此分解在于如何算出L,U的各元素，以n 3为例
a11 a12 a13 1
a21 a22
a23
l21
1
u11 u12 u13
a (1) i1
a (1) 11
则 (1)行 (-li1) (i)行 i 2，3，...,n，其矩阵形式为
1 l21 .l.3.1 ln1
1
a a
(1)
11
(1)
21
01
...
......
...
0
0
......
1
a
(1)
n1
L1
a(1) ... ... a(1) a(1)
12
a (1) 22
由a23 l21u13 u23 得 u23 a23 l21u13；
由a32 l31u12 l32u23
得 l32
a32
l31u12 u22
k 3时：由a33 l31u13 l32u23 u33
得 u33 a33 (l31u13 l32u23 )
Doolittle分解
• 若矩阵A有分解：A=LU，其中L为单位下三角阵，U为上三角阵，则称该分解 为Doolittle分解，可以证明，当A的各阶顺序主子式均不为零时，Doolittle分 解可以实现并且唯一。