上三角矩阵代数

上三角矩阵代数摘 要本文主要研究上三角代数的性质及其与路代数的关系，建立了上三角代数与有向图的路代数的同构映射.定义了可上三角化代数()n P K 和上三角化矩阵P ，()n P K 是所有形如1P TP -的矩阵的集合所形成的代数（它的结合法是矩阵的加法和乘法），其中T ∈()n T K ，P ∈()n M K ，且P 可逆，称P 为()n P K 的上三角化矩阵.初步探讨了()n M K 的子代数是否是可上三角化代数，若是可上三角化代数，其上三角化矩阵是否唯一.具体讨论了n=2的情况，最终由()n M K 的可上三角化子代数的个数有限得出()n M K 至少有一个可上三角化代数的上三角化矩阵不唯一地结论.关键词：上三角矩阵代数，有向图，路代数，可上三角化代数，上三角化矩阵HIGHER TRIANGULAR MATRIX ALGEBRASABSTRACTIn this paper, we study upper triangular matrix algebras, and its connection with path algebras. The isomorphism between upper triangular matrix algebra and the corresponding path algebra is given. As a generalization, upper triangulable matrix algebras ()n P K and upper triangulable matrix P are defined and studied. ()n P K consisting of all matrices like 1P TP -(its combination is the addition and multiplication of matrices), Among them T ∈()n T K ，P ∈()n M K and P is reversible. we call P is the upper triangulable matrix of ()n P K . We also discuss whether the subalgebra of ()n M K is a upper triangular matrix algebra and the upper triangulable matrix of a upper triangular matrix algebra is unique. We also give a concrete example of n=2 to illustrate our theory. Finally we draw a conclusion that there is at least one upper triangular matrix algebra of ()n M K which its upper triangulable matrix is not unique .KEY WORDS : upper triangle matrix algebras ，quivers ，path algebras ，upper triangular matrix algebras ，upper triangulable matrix目录前言....................................................................... 错误！未定义书签。

第一章预备知识 ................................................ 错误！未定义书签。

§1.1 群.. (5)§1.2 环 (6)§1.3 体................................................................ 错误！未定义书签。

§1.4 模.. (8)§1.5 代数 (9)§1.6 同构映射 (10)§1.7 有向图与路代数 (11)第二章上三角矩阵代数 .................................... 错误！未定义书签。

§2.1 上三角矩阵 . (13)§2.2 上三角矩阵代数 (13)§2.3 上三角矩阵代数与路代数的同构 (15)第三章可上三角化代数 (18)§3.1 可上三角化矩阵 (18)§3.2 可上三角化代数结论 (22)参考文献 (23)致谢 (24)前言代数是研究数、数量、关系与结构的数学分支。

代数的研究对象不仅是数字，而是各种抽象化的结构。

常见的代数结构类型有群、环、域、模、线性空间等。

代数学一直是数学的主要支柱之一，是数学方法和思想的重要源泉．代数方法和结果具有广泛适用性。

表示理论是代数学中具有根本性的问题，是当前国际上数学研究的前沿重点课题，在数学的其它分支，量子物理与粒子物理学以及化学等其它学科中有深刻而广泛的应用。

代数表示理论是兴起于上世纪70年代的一个重要的代数分支。

它的基本内容是研究一个Artin代数上的模范畴。

在近二十五年的时间里，这一理论有了很大的发展并逐步趋于完善。

代数表示理论主要研究非半单有限维(亦包括若干无限维)代数的结构、不可分解表示和模范畴的整体构造．它所关心的根本问题是一个系统(代数系统)在对外部空间(向量空间)作用下的表示行为。

研究中遇到的最大问题是：一个相对简单的代数系统却有着相当复杂，深刻但很优美的表示范畴。

目前，有限维代数表示论被分成三大块：有限表示型，Tame表示型和野(wild)表示型．30年来，由于Quiver表示，几乎可分裂序列和倾斜函子等独特技巧和方法的创立，也由于它和群表示论，Lie代数，代数群，代数几何等的紧密联系，特别是近年与量子群等新兴学科的本质联系，代数表示论一直处于蓬勃发展中。

用箭图刻画代数及其表示有多种方法。

一种方法是Gabriel箭图。

这是最常用的一种。

我们要具体画出各种类型的有限表示型代数的Gabriel箭图。

它可以直观清晰地刻画代数的模范畴结构。

对于有限表示型代数，由于Gabriel等人完善了覆盖理论(源于代数拓扑)，最主要的问题已经解决．根据有限表示型代数的乘法基定理，可推出任意给定维数的有限表示型的代数仅有有限多个同类。

本项目运用已给结论，刻画各类有限表示型代数。

具体绘制其Auslander-Reiten箭图。

第一章给出文章所要用到的基本概念，包括群，环，体，模，代数，有向图，路代数以及同构等概念。

第二章给出了上三角代数的定义，并作出了上三角代数与路代数的同构映射。

第三章给出可上三角化代数以及上三角化矩阵的概念，并讨论了上三角化代数的一些性质第一章预备知识§1.1 群定义1.1.1设G是一个非零集合，并且满足下列四个性质（1）封闭性：若“”是G上的一个代数运算，G中任意两个元素a,b的结合a b c=仍然是G中的元素。

例如最常出现的就是乘法，这时c又叫做a,b的积，我们可以简单地用ab=c表示。

值得注意的是积ab是由a,b唯一确定的，但一般与a,b 的先后顺序有关，即ab并不一定等于ba。

（2）结合律：即对G中任意的三个元素a,b,c有如下关系=a b c a b c()()（3）存在单位元：对于G中的任意元素a，在G中可以找到一个元素e，使e·a=a，则该e叫做G的单位元。

群G的单位元是唯一的（4）存在逆元：对于G中的每个元素a，存在元素b，使a b e=，则b叫做a 的逆元。

每个元素的逆元都是唯一的，G中元素a的逆元通常写为1a-。

则称G关于运算“”构成一个群，记作（G,·），在不致引起混乱的情况下，也称G为群注：1，从以上可以看出，群是一个二元组（G,·），其中G是一个集合，“”是二元运算，通常为乘法。

2，一个非空集，如果它满足上面条件1,2，我们叫它为半群。

一个群如果满足交换律，即对任意的a,b∈G有a b b a=该群叫做交换群或者阿贝尔群。

3，群G中元素的个数称为群G的阶，记为|G|,,如果G是有限数，则称G为有限群，若G为无限数，则称G为无限群。

我们知道半群和群都是一个二元运算的代数系统，因此它们概括了很多的二元系统。

为了对群这个概念有更深层次的理解，下面给出一些常用群的例子。

例如，整数集Z对加法成群，叫做整数加群，记为（Z，+），单位元为零。

逆元是它的相反数。

同理还有（Q,+），（R,+）,(C,+),分别叫做有理数加群，实数加群和复述加群。

所有正有理数对乘法成群，记为（Q+，），单位元是1，逆元是它的倒数。

有理数集对加法成群，单位元是零，但对乘法只是成半群，因为零没有逆元。

以上都是一些常用的简单的群，我们也可以自己定义一些群。

譬如，所有形如（a,b）的元素集合M,其中a,b都是实数，并且a不等于零，定义以下运算=+(,)(,)(,a b c d a c b d--那么M关于以上运算成群，（1,0）是单位元，（a,b的逆元是1(,)a b（R）表示实数域上所有n阶矩阵的集合，则设n是大于1的正整数，Mn（R），·）是半群，这里·表示矩阵乘法，但不是群，因为不是每个n阶矩（Mn阵都有逆矩阵。

但由实数组成的所有n阶满秩矩阵对乘法成为群，叫做实数域R 上的n阶线性群，简称线性群，其单位元是单位矩阵（主对角线上元素都为1其余元素全为0的矩阵），逆元是其逆矩阵。

在研究一个群时，如果群中的部分元素就可以代表整个群中元素的性质，那么就会减少研究对象的数量，给我们的工作带来很大的方便，大大地提高了工作效率。

因此子群是一个很重要的概念，群的全部内容大多都与子群有关。

定义1.1.2设G是群，H是G的非空子集，假如对于G中的运算仍然构成群，则称H为G的子群，记作H≤G，若H是G的子群，并且H⊂G，则称H是G 的真子群（即异于自身的子群），记作H<G.。

例如nZ（n是自然数）是整数加群的（Z，+）的子群，当n≠1时，nZ是Z 的真子集。

任何群都存在子群，群可以看成是自身的子群，任一个群有只由单位元组成的单位元群也是它的子群，群本身和它的单位元群称为G的平凡子群，其余的子群称为非平凡子群。

一个群中任意两个子群的交集仍然是一个子群，但任意两个子群的并集不一定是子群，§1.2 环环是具有两个二元运算的代数系统，定义如下；定义1.2.1：一个非空集合R，假如它有两种二元运算，一种叫做加法(用符号+表示)，一种叫做乘法(用符号g表示)，如果满足以下条件，则称（R，+，·）是一个环。