上三角矩阵代数
上三角矩阵代数
摘 要
本文主要研究上三角代数的性质及其与路代数的关系，建立了上三角代数与有向图的路代数的同构映射.定义了可上三角化代数()n P K 和上三角化矩阵P ，
()n P K 是所有形如1P TP -的矩阵的集合所形成的代数（它的结合法是矩阵的加法和乘法），其中T ∈()n T K ，P ∈()n M K ，且P 可逆，称P 为()n P K 的上三角化矩阵.初步探讨了()n M K 的子代数是否是可上三角化代数，若是可上三角化代数，其上三角化矩阵是否唯一.具体讨论了n=2的情况，最终由()n M K 的可上三角化子代数的个数有限得出()n M K 至少有一个可上三角化代数的上三角化矩阵不唯一地结论.
关键词：上三角矩阵代数，有向图，路代数，可上三角化代数，上三角化矩阵
HIGHER TRIANGULAR MATRIX ALGEBRAS
ABSTRACT
In this paper, we study upper triangular matrix algebras, and its connection with path algebras. The isomorphism between upper triangular matrix algebra and the corresponding path algebra is given. As a generalization, upper triangulable matrix algebras ()n P K and upper triangulable matrix P are defined and studied.
()n P K consisting of all matrices like 1P TP -(its combination is the addition and multiplication of matrices), Among them T ∈()n T K ，P ∈()n M K and P is reversible. we call P is the upper triangulable matrix of ()n P K . We also discuss whether the subalgebra of ()n M K is a upper triangular matrix algebra and the upper triangulable matrix of a upper triangular matrix algebra is unique. We also give a concrete example of n=2 to illustrate our theory. Finally we draw a conclusion that there is at least one upper triangular matrix algebra of ()n M K which its upper triangulable matrix is not unique .
KEY WORDS : upper triangle matrix algebras ，quivers ，path algebras ，upper triangular matrix algebras ，upper triangulable matrix
目录
前言....................................................................... 错误！未定义书签。第一章预备知识 ................................................ 错误！未定义书签。§1.1 群.. (5)
§1.2 环 (6)
§1.3 体................................................................ 错误！未定义书签。§1.4 模.. (8)
§1.5 代数 (9)
§1.6 同构映射 (10)
§1.7 有向图与路代数 (11)
第二章上三角矩阵代数 .................................... 错误！未定义书签。§2.1 上三角矩阵 . (13)
§2.2 上三角矩阵代数 (13)
§2.3 上三角矩阵代数与路代数的同构 (15)
第三章可上三角化代数 (18)
§3.1 可上三角化矩阵 (18)
§3.2 可上三角化代数
结论 (22)
参考文献 (23)
致谢 (24)
前言
代数是研究数、数量、关系与结构的数学分支。代数的研究对象不仅是数字，而是各种抽象化的结构。常见的代数结构类型有群、环、域、模、线性空间等。代数学一直是数学的主要支柱之一，是数学方法和思想的重要源泉．代数方法和结果具有广泛适用性。表示理论是代数学中具有根本性的问题，是当前国际上数学研究的前沿重点课题，在数学的其它分支，量子物理与粒子物理学以及化学等其它学科中有深刻而广泛的应用。代数表示理论是兴起于上世纪70年代的一个重要的代数分支。它的基本内容是研究一个Artin代数上的模范畴。在近二十五年的时间里，这一理论有了很大的发展并逐步趋于完善。代数表示理论主要研究非半单有限维(亦包括若干无限维)代数的结构、不可分解表示和模范畴的整体构造．它所关心的根本问题是一个系统(代数系统)在对外部空间(向量空间)作用下的表示行为。研究中遇到的最大问题是：一个相对简单的代数系统却有着相当复杂，深刻但很优美的表示范畴。目前，有限维代数表示论被分成三大块：有限表示型，Tame表示型和野(wild)表示型．30年来，由于Quiver表示，几乎可分裂序列和倾斜函子等独特技巧和方法的创立，也由于它和群表示论，Lie代数，代数群，代数几何等的紧密联系，特别是近年与量子群等新兴学科的本质联系，代数表示论一直处于蓬勃发展中。用箭图刻画代数及其表示有多种方法。一种方法是Gabriel箭图。这是最常用的一种。我们要具体画出各种类型的有限表示型代数的Gabriel箭图。它可以直观清晰地刻画代数的模范畴结构。
对于有限表示型代数，由于Gabriel等人完善了覆盖理论(源于代数拓扑)，最主要的问题已经解决．根据有限表示型代数的乘法基定理，可推出任意给定维数的有限表示型的代数仅有有限多个同类。
本项目运用已给结论，刻画各类有限表示型代数。具体绘制其Auslander-Reiten箭图。
第一章给出文章所要用到的基本概念，包括群，环，体，模，代数，有向图，路代数以及同构等概念。第二章给出了上三角代数的定义，并作出了上三角代数与路代数的同构映射。第三章给出可上三角化代数以及上三角化矩阵的概念，并讨论了上三角化代数的一些性质
第一章预备知识
§1.1 群
定义1.1.1设G是一个非零集合，并且满足下列四个性质
（1）封闭性：若“”是G上的一个代数运算，G中任意两个元素a,b的结合a b c
=
仍然是G中的元素。例如最常出现的就是乘法，这时c又叫做a,b的积，我们可以简单地用ab=c表示。值得注意的是积ab是由a,b唯一确定的，但一般与a,b 的先后顺序有关，即ab并不一定等于ba。
（2）结合律：即对G中任意的三个元素a,b,c有如下关系
=
a b c a b c
()()
（3）存在单位元：对于G中的任意元素a，在G中可以找到一个元素e，使e·a=a，则该e叫做G的单位元。群G的单位元是唯一的
（4）存在逆元：对于G中的每个元素a，存在元素b，使a b e
=，则b叫做a 的逆元。每个元素的逆元都是唯一的，G中元素a的逆元通常写为1
a-。
则称G关于运算“”构成一个群，记作（G,·），在不致引起混乱的情况下，
也称G为群
注：1，从以上可以看出，群是一个二元组（G,·），其中G是一个集合，“”是二元运算，通常为乘法。
2，一个非空集，如果它满足上面条件1,2，我们叫它为半群。一个群如果满足交换律，即对任意的a,b∈G有a b b a
=该群叫做交换群或者阿贝尔群。
3，群G中元素的个数称为群G的阶，记为|G|,,如果G是有限数，则称G为有限群，若G为无限数，则称G为无限群。
我们知道半群和群都是一个二元运算的代数系统，因此它们概括了很多的二元系统。为了对群这个概念有更深层次的理解，下面给出一些常用群的例子。
例如，整数集Z对加法成群，叫做整数加群，记为（Z，+），单位元为零。逆元是它的相反数。同理还有（Q,+），（R,+）,(C,+),分别叫做有理数加群，实数加群和复述加群。所有正有理数对乘法成群，记为（Q+，），单位元是1，逆
元是它的倒数。有理数集对加法成群，单位元是零，但对乘法只是成半群，因为零没有逆元。
以上都是一些常用的简单的群，我们也可以自己定义一些群。譬如，所有形如（a,b）的元素集合M,其中a,b都是实数，并且a不等于零，定义以下运算
=+
(,)(,)(,
a b c d a c b d
--
那么M关于以上运算成群，（1,0）是单位元，（a,b的逆元是1
(,)
a b
（R）表示实数域上所有n阶矩阵的集合，则设n是大于1的正整数，M
n
（R），·）是半群，这里·表示矩阵乘法，但不是群，因为不是每个n阶矩（M
n
阵都有逆矩阵。但由实数组成的所有n阶满秩矩阵对乘法成为群，叫做实数域R 上的n阶线性群，简称线性群，其单位元是单位矩阵（主对角线上元素都为1其余元素全为0的矩阵），逆元是其逆矩阵。
在研究一个群时，如果群中的部分元素就可以代表整个群中元素的性质，那么就会减少研究对象的数量，给我们的工作带来很大的方便，大大地提高了工作效率。因此子群是一个很重要的概念，群的全部内容大多都与子群有关。
定义1.1.2设G是群，H是G的非空子集，假如对于G中的运算仍然构成群，则称H为G的子群，记作H≤G，若H是G的子群，并且H?G，则称H是G 的真子群（即异于自身的子群），记作H 例如nZ（n是自然数）是整数加群的（Z，+）的子群，当n≠1时，nZ是Z 的真子集。 任何群都存在子群，群可以看成是自身的子群，任一个群有只由单位元组成的单位元群也是它的子群，群本身和它的单位元群称为G的平凡子群，其余的子群称为非平凡子群。一个群中任意两个子群的交集仍然是一个子群，但任意两个子群的并集不一定是子群， §1.2 环 环是具有两个二元运算的代数系统，定义如下； 定义1.2.1：一个非空集合R，假如它有两种二元运算，一种叫做加法(用符号+表示)，一种叫做乘法(用符号g表示)，如果满足以下条件，则称（R，+，·）是一个环。 （1) 对于加法称为交换群，即（R，+）构成交换群（阿贝尔群）； （2) 对于乘法称为半群，即（R，·）构成半群； （3) 乘法运算关于加法运算适合分配律，即对于R中的任意三个元素a，b，c，有() +=+. b c a ba ca +=+，() a b c ab ac 注；1，从上面可以看出环是一个三元组(R，+，)，其中R是一个非空集合，加法“+”和乘法“”是两个二元运算，其中（R，+）是一个交换群，（R，）是一个半群，且运算关于+运算适合分配律。 , 2，若环中乘法适合交换律，即对所有的a，b∈R有ab ba =，则称R 是交换环.。 , 3，类似于群，元数是有穷的环，叫做有穷环.，否则叫无穷环. 下面给出一些常用环的例子； （1）整数集，有理数集，实数集和复数集关于普通的加法和乘法构成环，分别称为整数环Z，有理数环Q，实数环R和复数环C。 （2）n（n≥2）阶实矩阵的集合() M R关于矩阵的加法和乘法构成环，称为 n n阶实矩阵环 在R的子集S上，假如对R的两种运算又形成环，那么S就叫做R的子环，R又叫做S的扩张环.。环的一个子集称为子环，只要它对于加法成群，对于乘法是闭合的就行，因为其他条件显然都适合。.环可以看成是自身的子环，异于自身的子环叫做真子环. §1.3 体 定义1.3.1：定义一个环F，假如含有非零的元素，即至少包含两个元素，并且所有非零的元素对乘法构成群，则F就称为体，有时又叫做可除环。.当F可交换时，又叫交换体，或者叫做域. 从而我们可得，体有加法，乘法两种运算，并且所有元素对加法成交换群，所有非零元素对乘法成群，但不一定是交换群。体是一种特殊的环，它是非零元素可以构成群的环，它满足环的所有性质和运算法则。. 还可以看出一个体F至少包含两个元素，一个是加群的零元，一个是乘群的单位元，每个非零的元素都有逆元。 §1.4 模 定义1.4.1：假如V 是一个加群（代数运算为加法），它的元素用,...u v 表 示，F 是体(但不一定是域)，它的元素用,...a b 表示。如果a ，u 的乘积au 满足下列各性质；： （1) au ∈V ， （2）()a u v au av +=+， （3)()a b u au bu +=+, （4)()()ab u a bu =, （5) 1u u =g ,其中1是F 的单位元. 那么V 就叫做F 的(左)向量空间，有时又简单地叫做F 空间 注：向量是特殊的群，群乘法就是向量的加法,而且是可交换的,也就是说向量空间一定是阿贝尔群，向量空间上除了这个乘法或者说加法以外还有和数的点乘,所以说向量空间是特殊的群。 假定12,...n u u u 是F 的向量空间V 中的元素，如果F 中存在n 个不全是零的元素12,...n a a a 使成立 11220n n a u a u a u ++=L 那么称1u ，2u ，L n u 关于F 线性相关；如果不存在这样的1a ，2a ，L n a ，即上面式子的等号只有在1a ，2a ，L n a 都是零的时候才取的，那么称1u ，2u ，L n u 关于F 线性无关. 类似于线性空间，假定V 是F 空间，如果V 中线性无关元素的个数有最大数，那么V 是关于F 是有限维空间。相应地这个最大数，就叫做V 关于F 的维数，如果V 中线性无关元素的个数没有最大数，那么V 就叫做关于F 是无穷维空间。 假定1u ，2u ，L n u ，L 是F 的向量空间V 中的元素，如果V 中任意元素u 可以用1u ，2u ，L n u ，L 中有限个元素的线性组合表示，那么上述有限个元素叫 做V 关于F 的生成元。特别地，V 关于F 线性无关的生成元，叫做V 关于F 的基底 。若1u ，2u L n u 是V 关于F 的基底，我们可以用如下形式表示V V=12n Fu Fu Fu +++L 这时V 中任意元素都能够表示为1u ，2u ，L n u 的线性组合，并且这种表示形式是唯一的。 定义1.4.2：假定M 是加群，R 是环，如果M 中元素m 与R 中元素r 的乘积 rm 仍在M 中，并且还满足下列三个条件， （1）1212()r m m rm rm +=+， （2）1212()r r m rm r m +=+， （3）1212()()rr m r r m =. 那么M 就叫做(左)R-模。 可得，F-向量空间V 是F-模，假定环R 有单位元1，并且1m m =g ，m M ∈那么R-模M 叫做酉模。 §1.5 代数 在数学中，交换环上的代数或多元环是一种代数结构，上下文不致混淆时通常径称代数。 定义1.5.1：设R 为一交换环，R 上的代数（或称A-代数）是下述结构： （1）集合A 是个R-模； （2）A 上有一个二元运算“” ，并且这个二元运算是双线性的，即： 对任何 成立()()()r a b r a b a r b == 其中最常考虑的情形是R 是一个域，这时叫做域代数，因此也可将代数定义成域上的代数 代数是一类特殊的环，代数与环的主要差别在于它们的加群，环的加群只是交换群，而代数的加群是F-模并且是酉模. 若A 上的乘法满足交换性ab ba =，则称之为可交换代数；若A 上的乘法满足结合律()()a bc ab c =，则称之为'''结合代数'''，否则称为“非结合代数”。上面 我们介绍的代数，因为满足乘法结合律，所以我们又常常称它为结合代数。非结合代数虽然对乘法也是封闭的，但不再是环了。交换代数学中考虑的代数均属可交换的结合代数。 §1.6 同构映射 定义1.6.1：存在E 和F 两个集合，且对于E 、F 各存在一种运算，我们可以记作（符号可更换）*和 ，对于E 、F ，*、· 分别封闭（即对于任意两个集合 内的元素，进行运算之后依然为该集合的元素）。那么我们说f 是一个同构当且仅当f ∈Γ（E,F ）并且f 是一个双射且对于E 内的任意元素a ，b 都成立 (*)()()f a b f a f b =。如果上面所描述的E 、F 为同一集合E ，则说f 是一个自同 构。 常见的同构有：群同构，环同构，域同构，向量空间同构。 注：同构是在数学对象之间定义的一类映射,它能揭示出在这些对象的属性或者操作之间存在的关系。若两个数学结构之间存在同构映射，那么这两个结构叫做是同构的 引入：如果V ，'V 都是数域P 上的线性空间，如果映射δ：'V V →具有以下性质： （1）δ 为双射 （2）()()()a b a b δδδ+=+ ,,a b V ?∈ (3) ()()ka k a δδ=, ,k p a V ?∈?∈ 则称δ 是V 到'V 的一个同构映射，并称线性空间V 和'V 同构。 定义 1.6.2：假设集合M 与M 各有代数运算g 和:*，并且?是M 到M 的一个映射，如果?对M 中任意元素a ，b ，在?之下满足以下条件:； a a →， b b →， a b a b →g g , 或者 ()()()*a b a b ???=g 则称?是M 到M 的一个同态映射。 . 如果M 到M 存在同态满射，则称M 到M 同态,记M M -. 设?是M 到M 的一个同态满射，如果?又是单射的，那么称?为M 到M 的一个同构映射.，可以看出同构映射是一一映射的。 §1.7 有向图与路代数 引入：有向图是一个二元组(,)V E ，其中 （1）.V 是非空集合，称为顶点集。 （2.）E 是V×V 的子集，称为箭头集 定义1.7.1：一个有向图是 Q =(V ，E ，s ，t ) 其中V 和E 是两个集合(可以有限也可以无限)，V 是Q 的顶点集，E 是Q 的箭头集，s ，t 是从E 到V 的一个映射.对每一个箭头E α∈,(),()s V t V αα∈∈分别称 为α的起点和终点.如果集合V 和E 是有限维的，则称有向图Q 是有限维的。 若箭头E α∈的起点和终点分别表示为a =()s α，b =()t α，那么α可表示为： a b →. 图(,,,)Q V E s t =通常可简记为(,)Q V E =或Q . 称u =12 ()m a b ααα为有向图Q 的一个长度为m 的路.，其中对1k m ≤≤有 k E α∈并且满足 1()s a α= 1()()k k t s αα+= ， ()m t b α= 也可简写为12...m ααα或表示为如下图形形式： 3 1 2 012m m a a a a a b αααα=→→→ →=. 可将V 中的顶点a 看成一个长度为0的路并记为： ()a a a ε=. 一个从a 到a 得到的长度大于1的路称为循环路，长度为1的有向圈称为有向环. 定义1.7.2：给定域K ，有向图Q 的路代数KQ 是指域K 上的结合代数KQ ： （1）KQ 是由Q 中的所有路为基作成的K -向量空间； （2）乘法是由路之间的乘法按分配律给出，两个路的乘法规定如下： 12 121212()()()m n bc m n a b c d a d αααβββδαααβββ=， 其中当b c =时bc δ=1，当b ≠c 是bc δ=0. 第二章 上三角矩阵代数 §2.1 上三角矩阵 定义2.1.1矩阵的定义 有m n ?个数(1,2,1,2)ij a i m J n =???=??? 排成的m 行n 列的数表 111212122212 n n m m mn a a a a a a a a a 称为m n ?矩阵，记作 11121212221 2 n n m m mn a a a a a a A a a a ?? ? ? = ? ??? 简记为m n A A ?= 其中一类特殊的矩阵如下： 形如上述形式的矩阵叫做上三角矩阵，它的特点是主对角线左下方的元素全为0. §2.2 上三角矩阵代数 设K 是一个代数封闭域，A 是K 代数，n N ∈，则分量是A 中元素的n n ?矩阵全体组成的集合()n M A ，它关于矩阵的加法和乘法构成为一个代数。()n M A 的单位元是主对角线全部是A 的单位元其他元素全是A 的零元的矩阵，记为E=(1)diag ，1，，1.特别的有()n M K 是2n 维K 代数，矩阵ij e (1)i j n ≤≤，是 ()n M K 的一组基，其中的ij e 的()i j ，元素是K 的单位元1，其他元素都是K 的零元0的矩阵. 容易验证()n M K 的子集 ()0 0n k k k k k T K k ?? ? ? = ? ??? L L M M O M L ()k K ∈ 是()n M K 的一个K-子代数，其中()n T K 是()n M K 中主对角线的下方全为K 的零元的矩阵全体组成的集合。事实上，只需验证()n T K 中的元对()n M K 中的加法和乘法封闭即可。证明如下：设 11121 22 20()0 0n n n nn a a a a a a T K a ?? ? ? =∈ ? ??? 11121 2220()0 0n n n nn b b b b b b T K b ?? ? ? =∈ ? ???L L M M O M L 则有 1112 11112 11111 1212 1122 222 2222222000 ()0 000 n n n n n n n n n nn nn nn nn a a a b b b a b a b a b a a b b a b a b a b T K a b a b +++?????? ? ? ? ++ ? ? ? +=+=∈ ? ? ? ? ? ? +?????? L L L L L L M M O M M M O M M M O M L L L 111211112122222211111112122111122122222220000000()000n n n n nn nn n n n nn n n nn n nn nn a a a b b b a a b b ab a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b T K a b ???? ??? ???== ??? ???? ???+++???+?? ?+???+ ?∈ ? ???L L L L M M O M M M O M L L L L M M O M 我们称()n T K 为上三角矩阵代数。 §2. 3 上三角矩阵代数与路代数的同构 结论：上三角矩阵代数()n T K 与有n(n ≥2)个顶点的有向图 ,11,2 23 121,1122,1,1k k k k q q q q qn n k k k k nn q q q q q +++-++→→ →→ → 的路代数同构. 先分别考虑n=2，3时的情况： 当n=2时，设有向图2Q ： 12 1122q q q → 的路代数为2KQ ，其一组基为 11q ，12q ，22q ； 对上三角矩阵代数2()T K ，其一组基为 11e =1000?? ??? 120100e ??= ??? 22e =0001?? ??? 其中1是K 的单位元，0是K 的零元，则映射 ?：11e →11q ，1212e q →，22e →22q ， 是上三角矩阵代数2()T K 到路代数2KQ 上的同构映射.因为： 111111111111111110()()()() 00e e e q q q e e ??????? ??=====?? ?? ???， 11221122112200()(0)0()()00e e q q e e ??????? ??=====?? ????? ， 111212121112111201()()()()00e e e q q q e e ??????? ??=====?? ?? ??? 22122212221200()(0)0()()00e e q q e e ??????? ??=====?? ????? 221122112211()(0)0()() 00e e q q e e ?????=====?? ?? ???， 222222222222222200()()()()01e e e q q q e e ??????? ??=====?? ????? 12111211121100()(0)0()() 00e e q q e e ??????? ??=====?? ?? ??? 122212121222122201()()()()00e e e q q q e e ??????? ??=====?? ????? 121212121212121201()()()()00e e e q q q e e ??????? ??=====?? ?? ??? 当n=3时，设有向图3Q 12 23 112233q q q q q →→ 的路代数为3KQ ，记3KQ 的子122313q q q = ，则其一组基为 111222233313,,,,,q q q q q q 对下三角代数3()T K ，其一组基为 11e =100000000?? ? ? ??? 12010000000e ?? ?= ? ??? 22e = 000010000?? ? ? ??? 23000001000e ?? ?= ? ??? 33e = 000001 ? ? ??? 130********e ?? ?= ? ??? 其中1是K 的单位元，0是K 的零元，则映射 ?：ij e →ij q ，31j i ≥≥≥ 是上三角矩阵代数3()T K 到路代数3KQ 上的同构映射，因为: 对所有的31j i ≥≥≥ ，31l k ≥≥≥ 有 ij kl jk il e e e δ= 其中当j k =时jk δ=1，当j k ≠是jk δ=0，易知 ()jk il jk il e q ?δδ= 从而得到 ()()()()ij kl jk il jk il ij kl ij kl e e e q q q e e ??δδ??==== 对一般的n ，设有向图n Q ： ,11,2 23 121,1122,1,1k k k k q q q q qn n k k k k nn q q q q q +++-++→→ →→ → 的路代数为n KQ ，记n KQ 的子路 ,1,ij i i i j q q q ++= (1)n j i ≥≥≥ (1)n i j ≥≥≥ 则其为n KQ 的一组基，其维数为 (1) 2 n n +. 对上三角矩阵代数()n T K ，其一组基为ij e (1)n j i ≥≥≥ ，ij e 是(,)i j 为K 的单位元，其他为K 的零元的矩阵，其维数为 (1) 2 n n +.则映射： ?：ij e →ij q ，1n j i ≥≥≥ 是上三角矩阵代数()n T K 到路代数n KQ 上的同构映射.因为： 对所有的1n j i ≥≥≥ ，1n l k ≥≥≥ 有 ij kl jk il e e e δ= 其中当j k =时jk δ=1，当j k ≠是jk δ=0，易知 ()jk il jk il e q ?δδ= 从而 ()()()()ij kl jk il jk il ij kl ij kl e e e q q q e e ??δδ??==== 即证. 第三章 可上三角化代数 §3.1 可上三角化矩阵 引出：可上三角化矩阵就是把一个矩阵通过线性变换变成上三角矩阵的形式 §3. 可上三角化代数 结论：设T ∈()n T K ，P ∈()n M K ，且P 可逆，则所有形如1P TP -的矩阵的 集合称为一个()n M K 的子代数. 证明：只需要证明该集合中的元素对()n M K 中的结合法封闭即可，设1T ， 2T ∈()n T K 则： 11P T P -+12P T P -=112()P T T P -+ 11P T P -12P T P -=112P TT P - 因为： 1T +2T ∈()n T K 1T 2T ∈()n T K 即得. 定义3.2.1：固定一个可逆矩阵()n P M K ∈,我们称代数 ()n P K ={}1()n P TP T T K -∈ 为()n M K 的关于P 的可上三角化子代数，简称为可上三角化代数.称P 为()n P K 的上三角化矩阵. 结论：上三角代数()n T K 与可上三角化代数()n P K 同构. 证明：设T ∈()n T K ，1P TP -∈()n P K ，做映射： ?：T →1P TP - 则映射?是()n T K 到()n P K 的同构映射，即证. 结论：可上三角化代数()n P K 与有n(n ≥2)个顶点的有向图 ,11,2 23 121,1122,1,1k k k k q q q q qn n k k k k nn q q q q q +++-++→→ →→ → 的路代数同构. 证明：因为上三角代数()n T K 与有n(n ≥2)个顶点的有向图 ,11,2 23 121,1122,1,1k k k k q q q q qn n k k k k nn q q q q q +++-++→→ →→ → 的路代数同构，而上三角代数()n T K 与可上三角化代数()n P K 同构，即证. 由之前的讨论我们知道可上三角化代数 ()n P K ={}1(),,()n n P TP P M K P T T K -∈∈且可逆 的维数是 (1)2n n +，那么对()n M K 的任一个维数是(1) 2 n n +的子代数，是否是可上三角化代数，若是可上三角化则代数，其上三角化矩阵P 是否唯一？ 当n=2时，()n M K 的维数是4，2()M K 的子代数必是其子向量空间，2()M K 的维数是3的子向量空间有4个，故2()M K 的维数是3的子代数至多有4个.2()M K 一组基为： 11e =1000?? ??? 22e =0001?? ??? 21e =0010?? ??? 12e =0100?? ??? 其维数是3的子向量空间有： 1112221(,,)M L e e e = 2112212(,,)M L e e e = 3111221(,,)M L e e e = 4122122(,,)M L e e e =. 显然1M ，2M 是2()M K 的结合法封闭，是2()M K 的子代数，而 21e 12e =0010?? ???0100?? ???=22e =0001?? ????3111221(,,)M L e e e =， 12e 21e =0100?? ???0010?? ???=11e =1000?? ??? ?4122122(,,)M L e e e =， 因此3M ，4M 不是2()M K 的子代数. 由上知2()P K ={}122(),,()P TP P M K P T T K -∈∈且可逆为2()M K 的关于P 的 三角矩阵 在中，三角矩阵是的一种，因其非零系数的排列呈三角形状而得名。三角矩阵分上三角矩阵和下三角矩阵两种。上三角矩阵的对角线左下方的系数全部为零，下三角矩阵的对角线右上方的系数全部为零。三角矩阵可以看做是一般方阵的一种简化情形。比如，由于带三角矩阵的矩阵方程容易求解，在解多元线性方程组时，总是将其系数矩阵通过初等变换化为三角矩阵来求解；又如三角矩阵的行列式就是其对角线上元素的乘积，很容易计算。有鉴于此，在等分支中三角矩阵十分重要。一个可逆矩阵A可以通过变成一个下三角矩阵L与一个上三角矩阵U的乘积。 描述 一个如下形状的： 被称为下三角矩阵；同样的，一个如下形状的矩阵： 被称为上三角矩阵。 上（下）三角矩阵乘以系数后也是上（下）三角矩阵；上（下）三角矩阵间的加减法和运算的结果仍是上（下）三角矩阵；上（下）三角矩阵的逆也仍然是上（下）三角矩阵。这些事实说明：所有上（下）三角矩阵的集合以及相应的运算构成一个方形矩阵集合的一个子代数。然而要注意的是上三角矩阵与下三角矩阵的乘积一般并不是三角矩阵。 特殊的三角矩阵 严格三角矩阵 一个上（下）三角矩阵是严格上（下）三角矩阵其上的系数都为零。所有的是严格上（下）三角矩阵也形成一个子代数。所有的严格三角矩阵都是。 单位三角矩阵 一个上（下）三角矩阵是单位上（下）三角矩阵其上的系数都为1。单位三角矩阵都是幺幂矩阵。高斯矩阵 高斯矩阵是是单位三角矩阵中的一种，除了一列的系数以外，其他系数都是零。这类矩阵是中基本操作的矩阵体现，因此也叫做基元矩阵或高斯变换矩阵。一个下三角的高斯矩阵为： 高斯矩阵的逆仍然是高斯矩阵。实际上， 即是说一个高斯矩阵的逆是将其非对角线上元素加上负号后得到的矩阵。 §4 直接三角分解法 一、教学设计 1．教学内容：Doolittle 分解法、Crout 分解法，紧凑格式的Doolittle 分解法、部分选主元的Doolittle 分解法。 2．重点难点：紧凑格式的Doolittle 分解法、部分选主元的Doolittle 分解法。 3．教学目标：了解直接三角分解法的基本思想，掌握基本三角分解法及其各种变形。 4．教学方法：讲授与讨论。 二、教学过程 在上节中我们用矩阵初等变换来分析Gauss 消去法，得到了重要的矩阵LU 分解定理（定理 3.1，3.2）。由此我们将得到Gauss 消去法的变形：直接三角分解法。直接三角分解法的基本想法是，一旦实现了矩阵A 的LU 分解，那么求解方程组b x =A 的问题就等价于求解两个三角形方程组 （1）b y =L ，求y ； （2）y x =U ，求x 。 而这两个三角形方程组的求解是容易的。下面我们先给出这两个三角形方程组的求解公式；然后研究在LU A =或LU PA =时，U L ,的元素与A 的元素之间的直接关系。 4－0 三角形线性方程组的解法 设 ????? ???????= nn n n l l l l l l L 21222111， 11121222n n nn u u u u u U u ??????=???????? 则b y =L 为下三角形方程组，它的第i 个方程为 ),2,1(11,22111 n i b y l y l y l y l y l i i ii i i i i i i j j ij ==++++=--=∑ 假定0≠ii l ，按n y y y ,,,21 的顺序解得： ??? ?? ? ?=+-==∑-=) ,,3,2(/1111 11n i l b y l y l b y ii i i j j ij i 上三角形方程组y x =U 的第i 个方程为 基于V erilog的下三角矩阵求逆设计与实现 杨丰瑞1，熊军洲2 (1.重庆重邮信科(集团)股份有限公司重庆400065) (2.重庆邮电大学通信与信息工程学院重庆400065) 摘要：矩阵运算广泛应用于各类电路计算中，矩阵运算的硬件实现能够充分发挥硬件的速度和并行性，其中矩阵求逆是矩阵运算中重要的运算。根据矩阵求逆算法的基本思想，本文提出了一种最大阶数可达16×16的矩阵求逆方案，通过硬件描述语言Verilog建模，用Design Compile进行综合及进行modelsim仿真，仿真结果表明这种设计结构能够正确的计算出下三角矩阵的逆矩阵。 关键词：矩阵求逆，Verilog, 实现 【中图分类号】TN492 【文献标识码】A Design and Implementation of Inverse Down Triangle Matrix Calculation Based on V erilog Y ang Fengrui1，Xiong Junzhou2 (1.Chongqing Chongyou Information Technolog (Group)CO.,LTD.Chongqing) (2.Chongqing University Of Post and Telecommunications School Of Communication and Information Engineering,Chongqing) Abstract: Matrix operation is widely used in different kinds of circuit calculation. Hardware implementation of matrix operation can fully realize the speed and parallel of the hardware. Matrix inversion is a kind of very important matrix operation. According to the algorithm of inverse matrix calculation ,this article gives a design on inverse matrix which can reach a biggest rand of 16×16.The system is described in V erilog, which is compiled by Design Compile and verified in modelsim. The result shows that this design structure can be used for inverse matrix calculation. Key words: inverse matrix; Verilog; implementation 1 引言 矩阵运算是数字信号处理领域的基本操作，广泛应用于各类电路计算当中。而矩阵求逆的难点在于矩阵求逆。目前传统的矩阵求逆算法多用处理器串行计算来实现，严重制约着计算速度的提高。为此，作者在研究并行处理结构和并行算法[1～2]的基础上，试图寻求一种适合硬件实现的求逆算法及其硬件结构。此外，在专用集成电路设计方面我国起步较晚，在矩阵求逆的硬件实现方面的研究还不多。随着集成电路制造工艺的提高，采用大量超大规模集成单元和微处理器构成多处理器并行系统已经成为提高计算速度的有效手段。因而，矩阵求逆算法的研究实现有着十分重要的意义。由于可逆矩阵都可以通过LU分解分成一个上三角矩阵和一个下三角矩阵[3]，而要求的原矩阵的逆可以通过这两个三角矩阵的逆相乘得到[4]，所以本文主要探讨的是下三角矩阵求逆的硬件实现。 列主元三角分解法在matlab中的实现 摘要:介绍了M atlab语言并给出用M atlab语言实现线性方程组的列主元三角分解法,其有效性已在计算机实现中得到了验证。 关键词:M atlab语言;高斯消去法;列主元三角分解法 0前言 M atlab是M atrix Laboratory(矩阵实验室)的缩写,它是由美国M athwork公司于1967年推出的软件包,现已发展成为一种功能强大的计算机语言。它编程简单,使用方便,在M a tlab环境下数组的操作与数的操作一样简单,进行数学运算可以像草稿纸一样随心所欲,使计算机兼备高级计算器的优点。M atlab语言具有强大的矩阵和向量的操作功能,是Fo rtran和C语言无法比拟的;M a tlab语言的函数库可任意扩充;语句简单,内涵丰富;还具有二维和三维绘图功能且使用方便,特别适用于科学和工程计算。 在科学和工程计算中,应用最广泛的是求解线性方程组的解,一般可用高斯消去法求解,如果系数矩阵不满足高斯消去法在计算机上可行的条件,那么消元过程中可能会出现零主元或小主元,消元或不可行或数值不稳定,解决办法就是对方程组进行行交换或列交换来消除零主元或小主元,这就是选主元的思想。 1 定义 列主元三角分解：如果A为非奇异矩阵，则存在排列矩阵P,使PA=LU,其中L为单位下三角矩阵，U为上三角阵。列主元三角分角法是对直接三角分解法的一种改进,主要目的和列主元高斯消元法一样, 就是避免小数作为分母项. 2 算法概述 列主元三角分解法和普通三角分解法基本上类似，所不同的是在构造Gauss 变换前，先在对应列中选择绝对值最大的元素（称为列主元），然后实施初等行交换将该元素调整到矩阵对角线上。 例如第)1,,2,1(-=n k 步变换叙述如下： 选主元：确定p 使{}1)1( max -≤≤-=k ik n i k k pk a a ； 行交换：将矩阵的第k 行和第p 行上的元素互换位置,即 ． 实施Gauss 变换：通过初行变换，将列主对角线以下的元素消为零．即 3 列主元三角分解在matlab 中的实现 1.题目：请找出矩阵(上三角矩阵)的规律，并使用Java实现任意N（N为整数，1 #include 第四章 习题答案 1。用Gauss 消去法解方程组 1231231 2323463525433032 x x x x x x x x x ++=?? ++=??++=? 解:方程组写成矩阵形式为12323463525433032x x x ?????? ? ? ? = ? ? ? ? ? ????? ?? 对其进行Gauss 消去得12323441 4726002x x x ?? ???? ? ? ? ?-= ? ? ? ? ? ?????-?? 得方程组12312323 32346 131 44 822 24 x x x x x x x x x ++=?=-???? -=-?=????=?-=-?? 2。用Gauss 列主元素消去法解方程组 1233264107075156x x x -?????? ? ? ?-= ? ? ? ? ? ?-???? ?? 解：因为第一列中10最大,因此把10作为列主元素 1233264107075156x x x -?????? ? ? ?-= ? ? ? ? ? ?-??????12r r ????→1231070732645156x x x -?????? ? ? ?-= ? ? ? ? ? ?-???? ?? 21 3113 10122 31070716106101055052 2r r r r x x x +-? ??? ? ?-?? ? ? ? ? ????→-= ? ? ? ? ? ??? ? ?????23 r r ????→123107075505221 61061010x x x ? ??? ? ?-?? ? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ? ?? ? ?-???? 上三角矩阵代数 摘 要 本文主要研究上三角代数的性质及其与路代数的关系，建立了上三角代数与有向图的路代数的同构映射.定义了可上三角化代数()n P K 和上三角化矩阵P ， ()n P K 是所有形如1P TP -的矩阵的集合所形成的代数（它的结合法是矩阵的加法和乘法），其中T ∈()n T K ，P ∈()n M K ，且P 可逆，称P 为()n P K 的上三角化矩阵.初步探讨了()n M K 的子代数是否是可上三角化代数，若是可上三角化代数，其上三角化矩阵是否唯一.具体讨论了n=2的情况，最终由()n M K 的可上三角化子代数的个数有限得出()n M K 至少有一个可上三角化代数的上三角化矩阵不唯一地结论. 关键词：上三角矩阵代数，有向图，路代数，可上三角化代数，上三角化矩阵 HIGHER TRIANGULAR MATRIX ALGEBRAS ABSTRACT In this paper, we study upper triangular matrix algebras, and its connection with path algebras. The isomorphism between upper triangular matrix algebra and the corresponding path algebra is given. As a generalization, upper triangulable matrix algebras ()n P K and upper triangulable matrix P are defined and studied. ()n P K consisting of all matrices like 1P TP -(its combination is the addition and multiplication of matrices), Among them T ∈()n T K ，P ∈()n M K and P is reversible. we call P is the upper triangulable matrix of ()n P K . We also discuss whether the subalgebra of ()n M K is a upper triangular matrix algebra and the upper triangulable matrix of a upper triangular matrix algebra is unique. We also give a concrete example of n=2 to illustrate our theory. Finally we draw a conclusion that there is at least one upper triangular matrix algebra of ()n M K which its upper triangulable matrix is not unique . KEY WORDS : upper triangle matrix algebras ，quivers ，path algebras ，upper triangular matrix algebras ，upper triangulable matrix 目录 三角矩阵 在线性代数中，三角矩阵是方形矩阵的一种，因其非零系数的排列呈三角形状而得名。三角矩阵分上三角矩阵和下三角矩阵两种。上三角矩阵的对角线左下方的系数全部为零，下三角矩阵的对角线右上方的系数全部为零。三角矩阵可以看做是一般方阵的一种简化情形。比如，由于带三角矩阵的矩阵方程容易求解，在解多元线性方程组时，总是将其系数矩阵通过初等变换化为三角矩阵来求解；又如三角矩阵的行列式就是其对角线上元素的乘积，很容易计算。有鉴于此，在数值分析等分支中三角矩阵十分重要。一个可逆矩阵A可以通过LU分解变成一个下三角矩阵L与一个上三角矩阵U的乘积。 描述 一个如下形状的矩阵： 被称为下三角矩阵；同样的，一个如下形状的矩阵： 被称为上三角矩阵。 上（下）三角矩阵乘以系数后也是上（下）三角矩阵；上（下）三角矩阵间的加减法和乘法运算的结果仍是上（下）三角矩阵；上（下）三角矩阵的逆也仍然是上（下）三角矩阵。这些事实说明：所有上（下）三角矩阵的集合以及相应的运算构成一个方形矩阵集合的一个子代数。然而要注意的是上三角矩阵与下三角矩阵的乘积一般并不是三角矩阵。 特殊的三角矩阵 严格三角矩阵 一个上（下）三角矩阵是严格上（下）三角矩阵当且仅当其主对角线上的系数都为零。所有的是严格上（下）三角矩阵也形成一个子代数。所有的严格三角矩阵都是幂零矩阵。 单位三角矩阵 一个上（下）三角矩阵是单位上（下）三角矩阵当且仅当其主对角线上的系数都为1。单位三角矩阵都是幺幂矩阵。 高斯矩阵 高斯矩阵是是单位三角矩阵中的一种，除了一列的系数以外，其他系数都是零。这类矩阵是高斯消去法中基本操作的矩阵体现，因此也叫做基元矩阵或高斯变换矩阵。一个下三角的高斯矩阵为： 高斯矩阵的逆仍然是高斯矩阵。实际上， 矩阵直接三角分解法 1、实验目的： 求解方程组Ax=b A=[1 2 -12 8; 5 4 7 -2; -3 7 9 5; 6 -12 -8 3], b=[27; 4; 11; 49] 2、实验步骤： 添加库函数 #include "stdafx.h" #include "math.h" 3、代码： #include "stdafx.h" #include "math.h" void main() { float x[4]; int i; float a[4][5]={1,2,-12,8,27,5,4,7,-2,4,-3,7,9,5,11,6,-12,-8,3,49}; void DirectLU(float*,int,float[]); DirectLU(a[0],4,x); for(i=0;i<=3;i++)printf("x[%d]=%f\n",i,x[i]); } void DirectLU(float*u,int n,float x[]) { int i,r,k; for(r=0;r<=n-1;r++) { for(i=r;i<=n;i++) for(k=0;k<=r-1;k++) *(u+r*(n+1)+i)-=*(u+r*(n+1)+k)*(*(u+k*(n+1)+i)); for(i=r+1;i<=n-1;i++) { for(k=0;k<=r-1;k++) *(u+i*(n+1)+r)-=*(u+i*(n+1)+k)*(*(u+k*(n+1)+r)); *(u+i*(n+1)+r)/=*(u+r*(n+1)+r); } } for(i=n-1;i>=0;i--) { for(r=n-1;r>=i+1;r--) *(u+i*(n+1)+n)-=*(u+i*(n+1)+r)*x[r]; x[i]=*(u+i*(n+1)+n)/(*(u+i*(n+1)+i)); } } 矩阵的同时相似上三角化问题 张永伟（2011080010008） 数理基础科学班 指导教师：王也洲、何军华 【摘要】本文讨论了n 阶矩阵同时相似上三角化的充分条件，必要条件以及充要条件。 【关键词】相似上三角化；特征向量；Sylvester 不等式 一．引言 文【1】告诉我们：两个可交换的n 阶矩阵,A B 在复数域中一定有相同的特征向量，进一步若,A B 能相似对角化，那么,A B 一定能同时相似对角化。但是对于一般的n 阶矩阵不一定能相似对角化。我们又知道，任意方阵都可以和Jordan 矩阵相似，也就是说，任意n 阶矩阵都能相似上三角化。为此，我们有必要讨论n 阶矩阵同时相似上三角化的问题。 二．正文 定义2.1：对于n 阶矩阵A ，用rank()A 表示矩阵A 的秩。 性质2.1：若,A B 能同时相似上三角化，那么,A B 有公共的特征向量。 证明：因为,A B 可同时相似上三角化，所以存在可逆矩阵P ，使得 111212221000n n nn a a a a a P AP a -?? ? ?= ? ???且111212221000n n nn b b b b b P BP b -?? ? ?= ? ??? 。 设12(,,,)n P a a a =K ，则1111A a αα=，1111B b αα=。 所以,A B 有公共的特征向量1α。■ 因此,A B 能同时相似上三角化的必要条件是,A B 有相同的特征向量。 性质2.2：若,A B 能同时相似上三角化，那么AB BA -为幂零矩阵。 证明：由性质2.1的证明可知, 121112121000 00 00000n n n n n n c c c c c AB BA c ---?? ? ? ?-= ? ? ?? ? 。 第七讲 矩阵的三角分解 一、 Gauss 消元法的矩阵形式 n 元线性方程组 ?? ????? 1111221n n 1 2112222n n 2n11n22nn n n a ξ+a ξ++a ξ= b a ξ+a ξ++a ξ=b a ξ+a ξ++a ξ=b → Ax =b ?? ? ? ? ?? ij T 12n T 12n A =(a )x =[ξ ξ ξ]b =[b b b ] 设()0ij n ×n A =A =a ,设A 的k 阶顺序主子式为k Δ，若(0) 111Δ=a ≠0 ，可以令(0)i1 i1(0)11 a c =a 并构造Frobenius 矩阵 ???????????? 211n1n ×n 10c 1L =c 01 → ???????????? 21 -11 n11 0-c 1L =-c 01 计算可得 ???? ???? ??? ? (0)(0)(0)1112 1n (1) (1)(1)-1(0)222n 1 (1) (1)n2nn a a a a a A =L A =0a a → (0)(1)1A =L A 该初等变换不改变行列式，故(0)(1)21122Δ=a a ，若2Δ≠0，则(1) 22a ≠0 ，又可定义 (1)i2i2(1)22 a c =(i=3,4,,n)a ，并构造Frobenius 矩阵 ????? ???? ??????? 232n2 11L =c c 1 → ?? ??? ?? ?? ??????? -1232n2 1 1L =-c -c 1 ???? ? ? ????????? ? (0)(0)(0)(0)1112 13 1n (1) (1)(1)22232n (2)-1(1) (2)(2)2 333n (2)(2)n3 nn a a a a a a a A =L A =a a a a → (1)(2) 2A =L A 依此类推，进行到第(r-1)步，则可得到 ??? ? ? ? ????? ???????? ? (0)(0)(0) (0)111r-11r 1n (r-2)(r-2) (r-2)(r-1)r-1r-1r-1r r-1n (r-1) (r-1)rr rn (r-1) (r-1)nr nn a a a a a a a A =a a a a （r ＝2,3, ,n-1） 则A 的r 阶顺序主子式 (0)(1)(r-2)(r-1)r 1122r-1r-1rr Δ=a a a a ，若r Δ≠0，则(r-1) rr a ≠0 可定义(r-1)ir ir (r-1)rr a c =a ，并构造Frobenius 矩阵 ?????????????????? r r+11nr 11L =c 1c 1 → ?????? ?????? ???? ?? -1 r r+11nr 11L =-c 1-c 1 矩阵求逆中的上三角阵求逆 1．背景 ? 常见方法： – 伴随矩阵法 – 初等行变换法 – Gauss-Jordan 消元法 – 矩阵分解法 ? L-U 分解法 ? QR 分解法 ? SVD 分解 ? 满秩分解 ? Jordan 分解 ? 矩阵分解后再求逆矩阵的优点： – 三角阵大量元素为0， – 正交阵的逆是其转置矩阵， – 酉矩阵的逆是其共轭转置矩阵， 这些特性利于求得逆矩阵。 2．L-U 矩阵分解法 ? 分三个步骤： – L-U 分解 – 上三角阵求逆 – 矩阵乘法 3．上三角阵求逆 我们采用初等行变换先得到三角矩阵逆矩阵的一般公式。对于n 阶上三角矩阵U ，得到增广矩阵如下： 1112121 22212 11.1n n n n nn u u u l u u A l l u ????????????=????? ?????? ? 1112131411 12131422232422 2324133 3433 3444441111u u u u v v v v u u u v v v U U u u v v u v -???????????????????==?????????????? ? ?? ?111. A U L ---= 1112122 21 01(|)001n n nn U U U U U U I U ?? ? ?= ? ? ?? ? L L M M O M O L 在求逆过程中，先计算逆矩阵主对角线上得元素值，即取原矩阵主对角元素的倒数。然 后再求与矩阵主对角线平行且最接近的那一个斜列上元素值，接着依次求所有主对角线平行斜列的元素值。 由以上步骤可以给出U 逆矩阵V 的计算公式： 1 1(1,2,...,) (1,2,...,1;1,...,) ii ii j kj ik k i ij ii v i n u v u v i n n j i n u =+?==???? ? ?=-=--=+?? ∑ 由上式及步骤分析可以得到逆矩阵求解流程如下： 1112 122200 0n n V V V V V V ?? ? ? ? ??? L L M M O M L 在流程图帮助下我们可以做出脉动阵列，方便于硬件处理。 对于下三角矩阵，我们可以做如下处理： ()()()()1 11 T T T T L L L ---= = 先计算下三角矩阵L 的转置，再求上三角矩阵T L 的逆，最后得到1L -。 4．上三角阵求逆的脉动结构 ? 除法运算 乘加运算 §4矩阵的三角分解 矩阵的三角分解定理：设n n A R ×∈,如果A 的前 n-1个顺序主子式 det()0,1,2,,1i A i n ≠=? ， 则A 可分解为一个单位下三角矩阵L 与一个上三角矩阵U 的乘积，且这种分解是唯一的。 证明： 1.存在性：利用高斯消去法来构L 和U (1)(2)() 1122det()0,1,2,,1i i ii A a a a i n =≠=? 1L A U ?=，A LU = 21 1 2 1 00101n n m L m m ??????=?? ???? ， (1) (1)(1)11 121(2)(1)222()0 n n n nn a a a a a U a ??? ???=?? ?????? 2．唯一性：分A 非奇异和奇异两种情况来证 （1）A 非奇异 考虑到A 的前n-1个顺序主子式非零，得 det()0,1,2,,i A i n ≠= 设1122A LU L U ==，12,L L 为单位下三角矩阵，12,U U 为上三角矩阵。 因A 非奇异，所以1U 可逆，从而 11 2121L L U U ??= 11 2121 11 2121(,) L L E U U L L U U ?????==因为单位下三角阵为上三角阵2121,L L U U ?== （2）A 奇异 因det()0,1,2,,1i A i n ≠=? ，det()0n A = ()0,1,2,,1i ii a i n ?≠=? ，() 0n nn a = 设1122A LU L U ==，12,L L 为单位下三角矩阵，12,U U 为上三角矩阵。对它们进行矩阵 第十讲 矩阵的三角分解 一、 Gauss 消元法的矩阵形式 n 元线性方程组 1111221n n 12112222n n 2n11n22nn n n a a a b a a a b a a a b ξ+ξ++ξ=?? ξ+ξ++ξ=?? ??ξ+ξ++ξ=? → Ax b = ij T 12n T 12n A (a )x [,,]b [b ,b b ]=?? ?=ξξξ ? ?=?? 设() 0ij n n A A a ?==,设 A 的k 阶顺序主子式为k ?， 若(0)1 11 a 0?=≠，可以令(0) i1i1011 a c a = 并构造Frobenius 矩阵 21 1n1n n 1 0c 1 L c 0 1???????=???? ?? → 2111n1 10c 1 L c 01-????-??=???? -?? 计算可得 (0) (0)(0) 11121n (1)(1)(1)1(0) 222n 1(1)(1)n2 nn a a a a a A L A 0a a -???? ??==????? ? → (0)(1)1A L A = 初等变换不改变行列式，故01 21122a a ?=， 若20?≠， 则1 22 a 0≠，又可定义 (1) i2i2(1)22 a c (i 3,4,n)a = = ，并构造Frobenius 矩阵 232n2 1 1L c c 1????? ?=??? ??????? → 1 232n2 11L c c 1-?? ??? ?=-??? ?????-?? (0) (0) (0) (0) 1112131n (1)(1)(1)22 232n (2)1(1) (2)(2)2333n (2)(2)n3 nn a a a a a a a A L A a a a a -???? ?? ??==??????? ? → (1)( 2 2 A L A = 依此类推，进行到第(r-1)步，则可得到 矩阵直接三角分解法 算法 将方程组Ax=b 中的A 分解为A=LU ，其中L 为单位下三角矩阵，U 为上三角矩阵，则方程组Ax=b 化为解2个方程组Ly=b ，Ux=y 。具体算法： ○ 1对j=1,2,3，…，n 计算 U 1j =a 1j 对i=2,3,…,n 计算 L i1=a i1/a 11 ○ 2对k=2,3…,n: a ． 对j=k ，k+1,…,n 计算 U kj=a kj- LkqUqj k?1q =1 b.对i=k+1，k+2，…，n 计算 l ik =(a ik-) LiqUqk k?1q =1/u kk ○ 3y 1=b 1对k=2,3…，n 计算 Y k =b k - LkqUq k?1q =1 ○ 4X n =y n /U nn ,对k=n-1，n-2，…2,1计算 X k =(y k - UkqXq n q =k +1/U kk 注：注由于计算u 的公式与计算y 的公式形式上一样，故可直接对增广矩阵 [A|b]= a11 a12…a1n a1,n +1a 21 a 22…a2n a2,n +1：： ：：an1 an2…ann an,n +1 施行算法○ 2○3，此时U 的第n+1列元素即为y 。 程序与实例 求方程组Ax=b A= 1 2 ?12 85 4 7 ?2?3 7 9 56 ?12 ?8 3 ，b= 2741149 程序 #include 对角矩阵的乘法 对角矩阵 对角矩阵是一类相当常见的矩阵，它的乘法很有特点. 设 111211121 222221 2 n n m m mn m n a a a b c a a a b c a a a b c ?????? ????????????===???????????? ????? ?12 A D D 那么有如下结论： 1111121111112212212222221122221211 22 n n n n n n m m m m m mn m m mn n b a b a b a a c a c a c b a b a b a a c a c a c b a b a b a a c a c a c ???? ????????==????????????12D A AD 下面给出证明. 证明：(1)D 1A 为m 行n 列矩阵，设D 1中的一般项为b ij ，那么有 0,,ij i i j b b i j ≠?=?=? D 1A 中的第m 行第n 列元素x ij ，有 1 m ij is sj ii ij i ij s x b a b a b a ====∑ 从而 111112112212222212 n n m m m m m mn b a b a b a b a b a b a b a b a b a ?? ????=??????1D A (2) AD 2为m 行n 列矩阵，设D 2中的一般项为c ij ，那么有 0,,ij i i j c c i j ≠?=?=? AD 2中的第m 行第n 列元素x ij ，有 1 n ij is sj ij jj ij j s x a c a c a c ====∑ 从而 111 1221211 222211 22 n n n n m m mn n a c a c a c a c a c a c a c a c a c ??????=???? ?? 2AD . 三对角矩阵 高一行的对角线上。例如，下面的是三对角矩阵： 计算： 这里是第k个主子式，即是由A最开始的k行k列组成的子矩阵。用此方法计算三对角矩阵所需计算量是线性n，然而对于一般的矩阵复杂度是 n 的 3 次方。 其它两个长为n? 1 包含下对角线和上对角线元素。 三对角矩阵方程，能用一种需要O(n)次操作的特殊的算法解出来（Golub and Van Loan）。 正交矩阵 的平方是v v。如果矩阵形式为Q v的线性变换保持了向量长度，则 。 所以有限维线性等距同构，比如旋转、反射和它们的组合，都产生正交矩阵。反过来也 下面是一些小正交矩阵的例子和可能的解释。 ?恒等变换。 ?旋转16.26°。 ?针对x轴反射。 ?旋转反演（rotoinversion）:轴(0,-3/5,4/5)，角度90°。 ?置换坐标轴。 它的正交性要求满足三个方程 。 在考虑第一个方程时，不丢失一般性而设p = cos θ, q = sin θ；因此要么t = ?q, u = p要么t = q, u = ?p。我们可以解释第一种情况为旋转θ(θ = 0是单位矩阵)，第二个解释为针对在角θ/2的直线的反射。 旋转反射 在45°的反射对换x和y；它是置换矩阵，在每列和每行带有一个单一的1(其他都是0): 。 单位矩阵也是置换矩阵。 反射是它自己的逆，这蕴涵了反射矩阵是对称的（等于它的转置矩阵）也是正交的。两个旋转矩阵的积是一个旋转矩阵，两个反射矩阵的积也是旋转矩阵。 更高维度 不管维度，总是可能把正交矩阵按纯旋转与否来分类，但是对于333矩阵和更高维度矩阵要比反射复杂多了。例如， 和 表示通过原点的反演和关于z轴的旋转反演(逆时针旋转90°后针对x-y平面反射，或逆时针旋转270°后对原点反演)。 旋转也变得更加复杂；它们不再由一个角来刻画，并可能影响多于一个平面子空间。尽管经常以一个轴和角来描述333旋转矩阵，在这个维度旋转轴的存在是偶然的性质而不适用于其他维度。 但是，我们有了一般适用的基本建造板块如置换、反射、和旋转。 基本变换 最基本的置换是换位（transposition），通过交换单位矩阵的两行得到。任何n3n置换矩阵都可以构造为最多n?1次换位的积。构造自非零向量v的Householder反射为 。 这里的分子是对称矩阵，而分母是v的平方量的一个数。这是在垂直于v的超平面上的反射（取负平行于v任何向量分量）。如果v是单位向量，则Q = I?2vv T就足够了。Householder三角矩阵
2.4直接三角分解法
基于Verilog的下三角矩阵求逆设计与实现
列主元三角分解法在matlab中的实现
上三角矩阵
三角矩阵在压缩存储下的转置矩阵源代码
第四章线性方程组直接法,矩阵三角分解
上三角矩阵代数
三角矩阵
三 矩阵直接三角分解法
矩阵的同时相似上三角化问题
07 第七讲 矩阵的三角分解
矩阵求逆中的上三角阵求逆
矩阵的三角分解
矩阵的三角分解
矩阵直接三角分解法
2009-7-25 对角矩阵和上下三角形矩阵的乘法
各种矩阵 三角矩阵 正定矩阵 正交矩阵 伴随矩阵