三角函数矩阵
三角函数的几何表示
在微积分中，三角函数用于解决与极坐标相关的 问题。
线性代数
在矩阵运算中，三角函数用于计算特征值和特征 向量。
三角函数在金融领域的应用
复利计算
01
在金融领域，复利计算涉及到指数函数和三角函数的结合使用。
期权定价
02
在期权定价模型中，三角函数用于计算期权的价值。
风险管理
03
在风险管理领域，三角函数用于计算风险值（VaR）和压力测试。
三角恒等式是三角函数之间的基本关系式，如sin^2 x + cos^2 x = 1、sin(x+y) 和cos(x+y)分别等于sin x cos y + cos x sin y等。
三角恒等式是三角函数运算的基础，对于简化复杂的三角函数表达式、证明性质 以及解决实际问题非常有用。
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简谐运动
物体在平衡点附近的往复 运动可以用三角函数来描 述。
工程中的三角函数应用
结构设计
在工程中，三角函数常用 于结构设计，如梁的弯曲、 拱桥的设计等。
信号处理
在通信和信号处理中，三 角函数用于频谱分析和滤 波器设计。
测量
在测量领域，三角函数用 于角度和距离的测量。
数学中的三角函数应用
解析几何
在解析几何中，三角函数用于解决与角度和长度 相关的问题。
正割函数的图像
正割函数图像是正弦函数的倒数，其周期为$pi$弧度。
在直角坐标系中，正割函数图像呈现为一个双曲线，随着角度的增加，函数值逐渐减小并趋 近于0。
正割函数图像关于原点对称。
余割函数的图像
余割函数图像是余弦函数的倒数，其周期同样为$pi$ 弧度。
三角函数计算,Cordic 算法入门
三角函数计算，Cordic 算法入门三角函数的计算是个复杂的主题，有计算机之前，人们通常通过查找三角函数表来计算任意角度的三角函数的值。
这种表格在人们刚刚产生三角函数的概念的时候就已经有了，它们通常是通过从已知值（比如sin(π/2)=1）开始并重复应用半角和和差公式而生成。
现在有了计算机，三角函数表便推出了历史的舞台。
但是像我这样的喜欢刨根问底的人，不禁要问计算机又是如何计算三角函数值的呢。
最容易想到的办法就是利用级数展开，比如泰勒级数来逼近三角函数，只要项数取得足够多就能以任意的精度来逼近函数值。
除了泰勒级数逼近之外，还有其他许多的逼近方法，比如切比雪夫逼近、最佳一致逼近和Padé逼近等。
所有这些逼近方法本质上都是用多项式函数来近似我们要计算的三角函数，计算过程中必然要涉及到大量的浮点运算。
在缺乏硬件乘法器的简单设备上（比如没有浮点运算单元的单片机），用这些方法来计算三角函数会非常的费时。
为了解决这个问题，J. Volder于1959年提出了一种快速算法，称之为CORDIC(COordinate Rotation DIgital Computer) 算法，这个算法只利用移位和加减运算，就能计算常用三角函数值，如Sin，Cos，Sinh，Cosh等函数。
J. Walther在1974年在这种算法的基础上进一步改进，使其可以计算出多种超越函数，更大的扩展了Cordic 算法的应用。
因为Cordic 算法只用了移位和加法，很容易用纯硬件来实现，因此我们常能在FPGA运算平台上见到它的身影。
不过，大多数的软件程序员们都没有听说过这种算法，也更不会主动的去用这种算法。
其实，在嵌入式软件开发，尤其是在没有浮点运算指令的嵌入式平台（比如定点型DSP）上做开发时，还是会遇上可以用到Cordic 算法的情况的，所以掌握基本的Cordic算法还是有用的。
从二分查找法说起先从一个例子说起，知道平面上一点在直角坐标系下的坐标（X,Y）=（100，200），如何求的在极坐标系下的坐标（ρ,θ）。
《三角比、三角函数、行列式、矩阵》(讲义)
《三角比、三角函数、矩阵、行列式》知识点1、什么是1弧度？弧度与度怎样换算？弧长等于半径的圆弧所对的圆心角大小称为1弧度。
π=︒180弧度⎪⎭⎫⎝⎛=︒⇒1801π弧度，1弧度='18573.57180︒=︒≈︒π 2、什么是同角三角比的关系？（1）平方关系：1cos sin 22=+αα；αα22sec 1tan =+；αα22csc 1cot =+；（2）倒数关系：ααcot 1tan =；ααsin 1csc =；ααcos 1sec =；（3）商数关系：αααcos sin tan =；αααsin cos cot =。
3、1、分别写出下列各组两个角βα,的关系式。
（1）角βα,具有相同的终边： Z k k ∈+=,2παβ； （2）角βα,的终边关于x 轴对称：()Z k k ∈+-=,2παβ； （3）角βα,的终边关于y 轴对称：()Z k k ∈+-=,2παπβ； （4）角βα,的终边一直线且反向：()Z k k ∈++=,2παπβ； （5）角βα,的终边在一直线： Z k k ∈+=,παβ；（6）角βα,的终边关于直线x y =对称：Z k k ∈+⎪⎭⎫⎝⎛-=,22παπβ；（7）角βα,的终边互相垂直：Z k k ∈+⎪⎭⎫ ⎝⎛±=,22ππαβ。
2、什么是诱导公式？第一组：Z k k ∈+,2απ的诱导公式;sin )2sin(ααπ=+k ;cos )2cos(ααπ=+k ;tan )2tan(ααπ=+k ααπcot )2cot(=+k 第二组：α-的诱导公式;sin )sin(αα-=- ;c o s )c o s(αα=- ;tan )tan(αα-=- ααc o t )c o t (-=- 第三组：απ+的诱导公式;sin )sin(ααπ-=+ ;cos )cos(ααπ-=+ ;t a n )t a n(ααπ=+ ααπc o t )c o t (=+ 第四组：απ-的诱导公式;sin )sin(ααπ=- ;c o s )c o s (ααπ-=- ;t a n )t a n (ααπ-=- ααπc o t )c o t (-=- 第五组：απ-2的诱导公式;cos )2sin(ααπ=- ;s i n )2c o s (ααπ=- ;c o t )2t a n (ααπ=- ;t a n )2c o t (ααπ=-第五组：απ+2的诱导公式;cos )2sin(ααπ=+ ;s i n )2c o s (ααπ-=+ ;c o t )2t a n (ααπ-=+ ;t a n )2c o t (ααπ-=+ 第六组：απ+23的诱导公式 ;cos )23sin(ααπ-=+ ;s i n )23c o s (ααπ=+ ;c o t )23t a n (ααπ-=+ ;t a n )23c o t (ααπ-=+诱导公式辅助记忆的口诀：“纵变横不变，符号看象限”3、什么是两角和差、二倍角、半角、万能置换公式？ （1）两角和与差的三角比公式两角和差的正弦：;sin cos cos sin )sin(βαβαβα⋅±⋅=±两角和差的余弦：;sin sin cos cos )cos(βαβαβα⋅⋅=± 两角和差的正切：.tan tan 1tan tan )tan(βαβαβα⋅±=±（2）二倍角公式正弦：;cos sin 22sin ααα⋅= 余弦：;sin 211cos 2sin cos )cos(2222⋅-=-=-=±ααααβα 正切：.tan 1tan 22tan 2ααα-=（其中Z k k k ∈++≠,24,2ππππα）（3）半角公式正弦：;2cos 12sinαα-±= 余弦：;2cos 12cos αα+±= 正切：;cos 1cos 12tanααα+-±=;sin cos 1cos 1sin 2tan ααααα-=+=（4）万能置换公式2tan12tan 2tan ,2tan12tan 1cos ,2tan12tan2sin 2222ααααααααα-=+-=+=4、什么是积化和差、和差化积公式？()()[]()()[]()()[]()()[]βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα--+=⋅-++=⋅--+-=⋅-++=⋅sin sin 21sin cos sin sin 21cos sin cos cos 21sin sin cos cos 21cos cos ⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+2sin 2cos 2sin sin 2cos 2sin 2sin sin 2sin 2sin 2cos cos 2cos 2cos 2cos cos βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα5、什么是正弦定理？R CcB b A a 2s i n s i n s i n ===（R 是ABC ∆外接圆的半径） 6、什么是余弦定理？bc a c b A A bc c b a 2cos cos 2222222-+=⇔-+=； acb c a B B ac c a b 2cos cos 2222222-+=⇔-+=；abc b a C C ab b a c 2cos cos 2222222-+=⇔-+=7、如何讨论正弦函数x y sin =和余弦函数的性质？8、怎样画函数()()πϕωϕω<≤>>+=0,0,0,sin A x A y 的图像？ （1）五点法作图：○1确定函数最小正周期ωπ2=T ；○2令ππππϕω2,23,,2,0=+x 得相应的x 值，进而得到五个关键点；○3描点作图，先作出函数在一个周期内的图像，然后根据函数的周期性，把一个周期的图像向左、右扩展，得到)0,0(),sin(>>+=ωϕωA x A y 的图像。
三角函数的图像及其变换
振幅变换
振幅变换
通过将三角函数中的系数乘以一 个常数，可以改变函数图像的形 状和大小。例如，将正弦函数 y=sin(x)变为y=2sin(x)，图像的 高度变为原来的两倍。
总结词
振幅变换可以改变函数图像的大 小和形状，但不影响位置。
详细描述
振幅变换通常通过乘以一个常数来实 现。例如，对于正弦函数y=sin(x)，乘 以2得到y=2sin(x)，图像的高度变为 原来的两倍。同样地，对于余弦函数 y=cos(x)，乘以2得到y=2cos(x)，图 像的高度也变为原来的两倍。
与复数的联系
三角函数与复数之间有着密切的联系。例如，复数的三角形式就是由三角函数来表示的，这使得复数 的一些性质和运算可以通过三角函数来理解和实现。
此外，在复分析中，三角函数也起着重要的作用，如在求解某些复数域上的微分方程时，经常需要用 到三角函数。
谢谢
THANKS
应用
正切函数在解决实际问题和数学 问题中也有应用，例如在几何学 和三角学中的角度和长度计算。
02 三角函数的图像
CHAPTER
正弦函数的图像
01
正弦函数图像是周期函数，其基本周期为$2pi$，在$[0, 2pi]$ 区间内呈现波形。
02
正弦函数图像在$x$轴上的交点是$(frac{pi}{2} + kpi, 0)$，其
周期变换
总结词
详细描述
通过改变三角函数的周期，可以改变
函数图像的形状和位置。例如，将正 弦函数和余弦函数的周期从2π变为4π， 图像将变为原来的两倍长，但形状和
周期变换可以改变函数图像的长度， 但不影响形状和位置。
位置保持不变。
周期变换通常通过乘以一个常数来实现。例 如，将函数y=sin(x)变为y=sin(2x)，周期 从2π变为π，图像长度减半。同样地，对于 余弦函数，将y=cos(x)变为y=cos(2x)，周 期从2π变为π，图像长度也减半。
r语言提取矩阵的下三角函数
r语言提取矩阵的下三角函数R语言是一种常用的统计分析工具，提供了许多函数和方法来处理矩阵。
其中，提取矩阵的下三角函数是一个常见需求，可以用于矩阵的特征分析、数据处理和可视化等方面。
本文将一步一步回答关于如何在R语言中提取矩阵的下三角函数的问题。
一、什么是矩阵的下三角？矩阵的下三角是指矩阵中位于主对角线及其下方的元素构成的部分。
具体而言，如果一个元素位于第i行第j列（i<=j），则该元素属于矩阵的下三角。
下三角的特点是对角线及其上方的元素都是0，而对角线及其下方的元素则可以是非零值。
二、如何创建一个矩阵？在R语言中，可以使用函数`matrix()`来创建一个矩阵。
该函数的基本语法如下：matrix(data, nrow, ncol, byrow)其中：- `data`是用于填充矩阵的数据，可以是一个向量或一个矩阵；- `nrow`是矩阵的行数；- `ncol`是矩阵的列数；- `byrow`是一个逻辑值，表示是否按行填充矩阵。
如果为`FALSE`（默认值），则按列填充。
例如，下面的代码演示了如何创建一个3x3的矩阵：Rmatrix(1:9, nrow = 3, ncol = 3, byrow = TRUE)输出结果为：[,1] [,2] [,3][1,] 1 2 3[2,] 4 5 6[3,] 7 8 9三、如何提取矩阵的下三角？在R语言中，可以使用下标索引的方式来提取矩阵的下三角。
具体而言，可以通过指定下标范围或逻辑方式来选择矩阵的下三角元素。
1. 指定下标范围提取下三角：可以使用方括号`[]`来指定下标范围，通过逗号`,`分隔行和列的下标范围。
例如，要提取矩阵`mat`的下三角元素，可以使用以下代码：Rmat[lower.tri(mat)]其中，`lower.tri(mat)`函数返回一个逻辑矩阵，表示矩阵`mat`的下三角元素的位置。
通过使用逻辑矩阵作为下标，可以提取对应位置为`TRUE`的元素。
三角函数的应用
三角函数的应用三角函数是数学中的重要内容之一，广泛应用于各个领域，如物理、工程、计算机图形学等。
本文将从不同领域的角度介绍三角函数的应用。
一、物理中的三角函数应用1. 弹道学中的三角函数应用在弹道学中，我们可以使用三角函数来描述抛物线弹道的轨迹。
假设我们以水平方向飞行的火箭为例，其运动轨迹可以用函数 y = f(x) 来表示，其中 x 表示时间，y 表示高度。
由于重力的作用，火箭在垂直方向上存在加速度。
通过三角函数，我们可以推导出火箭的高度随时间变化的函数表达式，并进一步分析火箭的运动轨迹。
2. 波动学中的三角函数应用在波动学中，三角函数被广泛应用于描述波动的性质。
例如，海浪的起伏可以用正弦函数来表示。
正弦函数具有周期性，因此能够准确地描述出海浪的周期和振幅等特征。
此外，在声波和光波的传播中，也会使用到正弦函数和余弦函数来描述波的传播方程。
二、工程中的三角函数应用1. 测量学中的三角函数应用在测量学中，三角函数被广泛应用于距离和角度的测量。
例如，利用正弦定理和余弦定理，我们可以在不直接测量距离的情况下，通过测量角度和长度来计算两个不可测量的物体之间的距离。
这在大地测量和建筑测量中都有重要的应用价值。
2. 结构力学中的三角函数应用在结构力学中，三角函数被用于求解力学问题中的角度和向量关系。
例如，通过正弦定律和余弦定律，我们可以计算力的分解、合成以及受力物体之间的角度关系。
这对于分析建筑物和桥梁等结构的稳定性和强度是非常重要的。
三、计算机图形学中的三角函数应用1. 三维建模中的三角函数应用在计算机图形学中，三角函数被广泛应用于三维建模和渲染中。
例如，在计算机游戏中，我们可以使用正弦函数和余弦函数来计算光照的强度和方向，以达到逼真的渲染效果。
此外，在三维模型的旋转、缩放和平移中，三角函数也被用于计算变换矩阵，从而实现模型的变换和动画效果。
2. 图像处理中的三角函数应用在图像处理中，三角函数被用于图像的滤波和变换。
常用的14个恒等变形公式
常用的14个恒等变形公式恒等变形公式是数学中的重要概念，它指的是在等式两边同时进行相同的运算，从而得到等价的新式子的过程。
在数学中，恒等变形公式被广泛应用于各种数学问题的解决中。
本文将介绍常用的14个恒等变形公式，希望能够帮助读者更好地理解数学知识。
1. 平方差公式平方差公式是指：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$。
这个公式在代数中是非常常用的，它可以帮助我们快速计算两个数之间的平方差。
2. 完全平方公式完全平方公式是指：$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$。
这个公式可以帮助我们快速计算一个二次项的平方。
3. 二次差公式二次差公式是指：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$。
这个公式与平方差公式相同，但它更适用于计算两个数的平方差。
4. 一次多项式恒等式一次多项式恒等式是指：$ax+by=c$。
这个公式可以帮助我们快速求解一次方程。
5. 一次多项式因式分解公式一次多项式因式分解公式是指：$ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(x+y)(a+b)$。
这个公式可以帮助我们快速因式分解一次多项式。
6. 二次多项式恒等式二次多项式恒等式是指：$ax^2+bx+c=(x-p)(x-q)$，其中$p$和$q$是二次方程的解。
这个公式可以帮助我们快速求解二次方程。
7. 二次多项式完全平方公式二次多项式完全平方公式是指：$ax^2+bx+c=a(x+p)^2+q$，其中$p$是二次方程的解。
这个公式可以帮助我们快速将二次多项式变成完全平方的形式。
8. 二次多项式配方法二次多项式配方法是指：$ax^2+bx+c=a(x+frac{b}{2a})^2-frac{b^2-4ac}{4a}$。
这个公式可以帮助我们快速将二次多项式配成平方的形式。
9. 欧拉公式欧拉公式是指：$e^{ix}=cos x+isin x$。
这个公式是数学中的重要公式，它将复数与三角函数联系起来。
10. 对数公式对数公式是指：$log_ab=frac{log_cb}{log_ca}$。
三角恒等变换
三角恒等变换
三角恒等变换是一种数学代数化简的方法，也叫三角形法则，是根据三角函数的性质，使用单位弧度角进行代数化简处理，主要用于对线性代数的处理，包括矩阵求逆、行列式、解线性方程组等。
一、三角恒等变换的定义
三角恒等变换是用来化简复杂代数式的一种数学方法，它利用三角函数的性质，通过代入sin，cos，tan等等三角函数，从而简化复杂的计算。
二、三角恒等变换的基本原理
三角恒等变换是基于三角函数性质进行简化复杂计算的一种方法。
此法的基本原理是将一个复杂的表达式化简成一种简单的表达式，这种用三角函数进行简化的过程叫做“三角恒等变换”。
三、三角恒等变换的特点
三角恒等变换的特点有三：（1）可以使复杂的多项式变成简单的表达式；（2）可以让多元代数式的计算更容易实现；（3）可以利用三角函数的一些性质，使用更简便的数学计算方法。
四、三角恒等变换的具体应用
三角恒等变换在数学中广泛应用，具体应用有：（1）矩阵求逆、行列式、行列块；（2）多项式求导、积分计算；（3）求解线性方程组的通解；（4）计算偏微分方程的解等。
三角函数的图象PPT
交流电的电压和电流是时间的三角函数，用于产生和 传输电力。
波动
在声学、电磁学等领域，波的传播和变化可以用三角 函数来描述。
在工程中的应用
机械振动
在机械工程中，三角函数用于模 拟和分析各种振动现象，如桥梁 振动、汽车悬挂系统等。
控制系统
在航空、航天、化工等领域，控 制系统中的信号处理和反馈控制 算法常常用到三角函数。
信号处理
在通信、雷达、声呐等领域，信 号的调制和解调常常涉及到三角 函数的应用。
在数学其他分支中的应用
微积分
01
在微积分中，三角函数用于求解微分方程、积分方程等数学问
题。
线性代数
02
在矩阵运算和特征值求解中，三角函数也经常被用到。
复数分析
03
在复数分析中，三角函数用于表示复数的三角形式，以及处理
与之相关的数学问题。
三角函数的周期性
周期性定义
三角函数的周期性是指函数值按照一 定的规律重复出现的现象。对于正弦 和余弦函数，其周期为360度或2π弧 度。
周期计算
对于正弦和余弦函数，其周期T=2π； 对于正切函数，其周期T=π。
三角函数的奇偶性
奇偶性定义
三角函数的奇偶性是指函数值在原点两侧是否对称的现象。奇函数在对称轴两侧的值互为相反数，偶函数在对称 轴两侧的值相等。
横向伸缩变换
总结词
在x轴方向上伸缩函数的图像。
详细描述
对于函数y=sin(x)，若图像在x轴方向上压缩为原来的k倍，则新的函数为y=sin(kx)； 若图像在x轴方向上拉伸为原来的k倍，则新的函数为y=sin(kx)。
纵向伸缩变换
总结词
在y轴方向上伸缩函数的图像。
详细描述
（整理）三角函数转换公式.
（整理）三⾓函数转换公式.三⾓函数转换公式1、诱导公式：sin(-α) = -sinα；cos(-α) = cosα；sin(π/2-α) = cosα；cos(π/2-α) = sinα；sin(π/2+α) = cosα；cos(π/2+α) = -sinα；sin(π-α) = sinα；cos(π-α) = -cosα；sin(π+α) = -sinα；cos(π+α) = -cosα；tanA= sinA/cosA；tan（π/2＋α）＝－cotα；tan（π/2－α）＝cotα；tan（π－α）＝－tanα；tan（π＋α）＝tanα2、两⾓和差公式：sin(A±B) = sinAcos±BcosAsinBcos(A±B) = cosAcosB sinAsinBtan(A±B) = (tanA±tanB)/(1 tanAtanB)cot(A±B) = (cotAcotB 1)/(cotB±3、倍⾓公式sin2A=2s inA?cosAcos2A=cosA2-sinA2=1-2sinA2=2cosA2-1tan2A=2tanA/（1-tanA2）=2cotA/(cotA2-1)4、半⾓公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))5、和差化积sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)6、积化和差sinαsinβ = -1/2*[cos(α-β)-cos(α+β)]cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)]sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)]cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)]7、万能公式2t a n 12t a n 2t a n ,2t a n 12t a n 1c o s ,2t a n 12t a n 2s i n 2222α-α=αα+α-=αα+α=α2010年全国硕⼠研究⽣⼊学统⼀考试数学考试⼤纲--数学三考试科⽬：微积分．线性代数．概率论与数理统计考试形式和试卷结构⼀、试卷满分及考试时间试卷满分为150分，考试时间为180分钟．⼆、答题⽅式答题⽅式为闭卷、笔试．三、试卷内容结构微积分56％线性代数22%概率论与数理统计22％四、试卷题型结构试卷题型结构为：单项选择题选题8⼩题，每题4分，共32分填空题6⼩题，每题4分，共24分解答题（包括证明题）9⼩题，共94分微积分⼀、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表⽰法函数的有界性．单调性．周期性和奇偶性复合函数．反函数．分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建⽴数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限⽆穷⼩量和⽆穷⼤量的概念及其关系⽆穷⼩量的性质及⽆穷⼩量的⽐较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限：函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求1．理解函数的概念，掌握函数的表⽰法，会建⽴应⽤问题的函数关系．2．了解函数的有界性．单调性．周期性和奇偶性．3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念．5．了解数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）的概念．6．了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利⽤两个重要极限求极限的⽅法．7．理解⽆穷⼩的概念和基本性质．掌握⽆穷⼩量的⽐较⽅法．了解⽆穷⼤量的概念及其与⽆穷⼩量的关系．8．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．9．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最⼤值和最⼩值定理．介值定理)，并会应⽤这些性质．⼆、⼀元函数微分学考试内容导数和微分的概念导数的⼏何意义和经济意义函数的可导性与连续性之间的关系平⾯曲线的切线与法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数．反函数和隐函数的微分法⾼阶导数⼀阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（L'Hospital）法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性．拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最⼤值与最⼩值考试要求1．理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的⼏何意义与经济意义（含边际与弹性的概念），会求平⾯曲线的切线⽅程和法线⽅程．2．掌握基本初等函数的导数公式．导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，会求分段函数的导数会求反函数与隐函数的导数．3．了解⾼阶导数的概念，会求简单函数的⾼阶导数．4．了解微分的概念，导数与微分之间的关系以及⼀阶微分形式的不变性，会求函数的微分．5．理解罗尔（Rolle）定理．拉格朗⽇( Lagrange)中值定理．了解泰勒定理．柯西（Cauchy)中值定理，掌握这四个定理的简单应⽤．6．会⽤洛必达法则求极限．7．掌握函数单调性的判别⽅法，了解函数极值的概念，掌握函数极值、最⼤值和最⼩值的求法及其应⽤．8．会⽤导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间内，设函数具有⼆阶导数．当时，的图形是凹的；当时，的图形是凸的），会求函数图形的拐点和渐近线．9．会描述简单函数的图形．三、⼀元函数积分学考试内容原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性质定积分中值定理积分上限的函数及其导数⽜顿⼀莱布尼茨（Newton- Leibniz）公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法反常（⼴义）积分定积分的应⽤考试要求1．理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式，掌握不定积分的换元积分法和分部积分法．2．了解定积分的概念和基本性质，了解定积分中值定理，理解积分上限的函数并会求它的导数，掌握⽜顿⼀莱布尼茨公式以及定积分的换元积分法和分部积分法．3．会利⽤定积分计算平⾯图形的⾯积．旋转体的体积和函数的平均值，会利⽤定积分求解简单的经济应⽤问题．4．了解反常积分的概念，会计算反常积分．四、多元函数微积分学考试内容多元函数的概念⼆元函数的⼏何意义⼆元函数的极限与连续的概念有界闭区域上⼆元连续函数的性质多元函数偏导数的概念与计算多元复合函数的求导法与隐函数求导法⼆阶偏导数全微分多元函数的极值和条件极值．最⼤值和最⼩值⼆重积分的概念．基本性质和计算⽆界区域上简单的反常⼆重积分考试要求1．了解多元函数的概念，了解⼆元函数的⼏何意义．2．了解⼆元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上⼆元连续函数的性质．3．了解多元函数偏导数与全微分的概念,会求多元复合函数⼀阶、⼆阶偏导数，会求全微分,会求多元隐函数的偏导数．4．了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解⼆元函数极值存在的充分条件，会求⼆元函数的极值，会⽤拉格朗⽇乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最⼤值和最⼩值，并会解决简单的应⽤问题．5．了解⼆重积分的概念与基本性质，掌握⼆重积分的计算⽅法（直⾓坐标．极坐标）．了解⽆界区域上较简单的反常⼆重积分并会计算．五、⽆穷级数考试内容常数项级数收敛与发散的概念收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条件⼏何级数与级数及其收敛性正项级数收敛性的判别法任意项级数的绝对收敛与条件收敛交错级数与莱布尼茨定理幂级数及其收敛半径．收敛区间（指开区间）和收敛域幂级数的和函数幂级数在其收敛区间内的基本性质简单幂级数的和函数的求法初等函数的幂级数展开式考试要求1．了解级数的收敛与发散．收敛级数的和的概念．2．了解级数的基本性质和级数收敛的必要条件，掌握⼏何级数及级数的收敛与发散的条件，掌握正项级数收敛性的⽐较判别法和⽐值判别法．3．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系，了解交错级数的莱布尼茨判别法．4．会求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域．5．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求简单幂级数在其收敛区间内的和函数．6．了解．．．及的麦克劳林（Maclaurin）展开式．六、常微分⽅程与差分⽅程考试内容常微分⽅程的基本概念变量可分离的微分⽅程齐次微分⽅程⼀阶线性微分⽅程线性微分⽅程解的性质及解的结构定理⼆阶常系数齐次线性微分⽅程及简单的⾮齐次线性微分⽅程差分与差分⽅程的概念差分⽅程的通解与特解⼀阶常系数线性差分⽅程微分⽅程的简单应⽤考试要求1．了解微分⽅程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念．2．掌握变量可分离的微分⽅程．齐次微分⽅程和⼀阶线性微分⽅程的求解⽅法．3．会解⼆阶常系数齐次线性微分⽅程．4．了解线性微分⽅程解的性质及解的结构定理，会解⾃由项为多项式．指数函数．正弦函数．余弦函数的⼆阶常系数⾮齐次线性微分⽅程．5．了解差分与差分⽅程及其通解与特解等概念．6．了解⼀阶常系数线性差分⽅程的求解⽅法．7．会⽤微分⽅程求解简单的经济应⽤问题．线性代数⼀、⾏列式考试内容⾏列式的概念和基本性质⾏列式按⾏（列）展开定理考试要求1.了解⾏列式的概念，掌握⾏列式的性质．2.会应⽤⾏列式的性质和⾏列式按⾏（列）展开定理计算⾏列式．⼆、矩阵考试内容矩阵的概念矩阵的线性运算矩阵的乘法⽅阵的幂⽅阵乘积的⾏列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩矩阵的等价分块矩阵及其运算考试要求1．理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对⾓矩阵、三⾓矩阵的定义及性质，了解对称矩阵、反对称矩阵及正交矩阵等的定义和性质．2．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解⽅阵的幂与⽅阵乘积的⾏列式的性质．3.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会⽤伴随矩阵求逆矩阵.4.了解矩阵的初等变换和初等矩阵及矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握⽤初等变换求矩阵的逆矩阵和秩的⽅法．5.了解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算法则．三、向量考试内容向量的概念向量的线性组合与线性表⽰向量组的线性相关与线性⽆关向量组的极⼤线性⽆关组等价向量组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量的内积线性⽆关向量组的正交规范化⽅法考试要求1．了解向量的概念，掌握向量的加法和数乘运算法则．2．理解向量的线性组合与线性表⽰、向量组线性相关、线性⽆关等概念，掌握向量组线性相关、线性⽆关的有关性质及判别法．3．理解向量组的极⼤线性⽆关组的概念，会求向量组的极⼤线性⽆关组及秩．4．理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其⾏（列）向量组的秩之间的关系．5．了解内积的概念．掌握线性⽆关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）⽅法．四、线性⽅程组考试内容线性⽅程组的克莱姆（Cramer）法则线性⽅程组有解和⽆解的判定齐次线性⽅程组的基础解系和通解⾮齐次线性⽅程组的解与相应的齐次线件⽅程组（导出组）的解之间的关系⾮齐次线性⽅程组的通解考试要求1.会⽤克莱姆法则解线性⽅程组．2.掌握⾮齐次线性⽅程组有解和⽆解的判定⽅法．3.理解齐次线性⽅程组的基础解系的概念，掌握齐次线性⽅程组的基础解系和通解的求法．4.理解⾮齐次线性⽅程组解的结构及通解的概念．5.掌握⽤初等⾏变换求解线性⽅程组的⽅法．五、矩阵的特征值和特征向量考试内容矩阵的特征值和特征向量的概念、性质相似矩阵的概念及性质矩阵可相似对⾓化的充分必要条件及相似对⾓矩阵实对称矩阵的特征值和特征向量及相似对⾓矩阵考试要求1.理解矩阵的特征值、特征向量的概念，掌握矩阵特征值的性质，掌握求矩阵特征值和特征向量的⽅法．2.理解矩阵相似的概念，掌握相似矩阵的性质，了解矩阵可相似对⾓化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对⾓矩阵的⽅法．3.掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质．六、⼆次型考试内容⼆次型及其矩阵表⽰合同变换与合同矩阵⼆次型的秩惯性定理⼆次型的标准形和规范形⽤正交变换和配⽅法化⼆次型为标准形⼆次型及其矩阵的正定性考试要求1.了解⼆次型的概念，会⽤矩阵形式表⽰⼆次型，了解合同变换与合同矩阵的概念．2.了解⼆次型的秩的概念，了解⼆次型的标准形、规范形等概念，了解惯性定理，会⽤正交变换和配⽅法化⼆次型为标准形．3.理解正定⼆次型．正定矩阵的概念，并掌握其判别法．概率论与数理统计⼀、随机事件和概率考试内容随机事件与样本空间事件的关系与运算完备事件组概率的概念概率的基本性质古典型概率⼏何型概率条件概率概率的基本公式事件的独⽴性独⽴重复试验考试要求1．了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算．2．理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和⼏何型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯（Bayes）公式等．3．理解事件的独⽴性的概念，掌握⽤事件独⽴性进⾏概率计算；理解独⽴重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的⽅法．⼆、随机变量及其分布考试内容随机变量随机变量的分布函数的概念及其性质离散型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率密度常见随机变量的分布随机变量函数的分布考试要求1．理解随机变量的概念，理解分布函数的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率．2．理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0－1分布、⼆项分布、⼏何分布、超⼏何分布、泊松（Poisson）分布及其应⽤．3．掌握泊松定理的结论和应⽤条件，会⽤泊松分布近似表⽰⼆项分布．4．理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布、指数分布及其应⽤，其中参数为的指数分布的概率密度为5．会求随机变量函数的分布．三、多维随机变量及其分布考试内容多维随机变量及其分布函数⼆维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布⼆维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度随机变量的独⽴性和不相关性常见⼆维随机变量的分布两个及两个以上随机变量的函数的分布考试要求1．理解多维随机变量的分布函数的概念和基本性质．2．理解⼆维离散型随机变量的概率分布和⼆维连续型随机变量的概率密度、掌握⼆维随机变量的边缘分布和条件分布．3．理解随机变量的独⽴性和不相关性的概念，掌握随机变量相互独⽴的条件，理解随机变量的不相关性与独⽴性的关系．4．掌握⼆维均匀分布和⼆维正态分布，理解其中参数的概率意义．5．会根据两个随机变量的联合分布求其函数的分布，会根据多个相互独⽴随机变量的联合分布求其函数的分布．四、随机变量的数字特征考试内容随机变量的数学期望（均值）、⽅差、标准差及其性质随机变量函数的数学期望切⽐雪夫（Chebyshev）不等式矩、协⽅差、相关系数及其性质考试要求1．理解随机变量数字特征（数学期望、⽅差、标准差、矩、协⽅差、相关系数）的概念，会运⽤数字特征的基本性质，并掌握常⽤分布的数字特征．2．会求随机变量函数的数学期望．3．了解切⽐雪夫不等式．五、⼤数定律和中⼼极限定理考试内容切⽐雪夫⼤数定律伯努利（Bernoulli）⼤数定律⾟钦（Khinchine）⼤数定律棣莫弗—拉普拉斯（De Moivre－Laplace）定理列维—林德伯格（Levy－Lindberg）定理考试要求1．了解切⽐雪夫⼤数定律、伯努利⼤数定律和⾟钦⼤数定律（独⽴同分布随机变量序列的⼤数定律）．2．了解棣莫弗—拉普拉斯中⼼极限定理（⼆项分布以正态分布为极限分布）、列维—林德伯格中⼼极限定理（独⽴同分布随机变量序列的中⼼极限定理），并会⽤相关定理近似计算有关随机事件的概率．六、数理统计的基本概念考试内容总体个体简单随机样本统计量经验分布函数样本均值样本⽅差和样本矩分布分布分布分位数正态总体的常⽤抽样分布考试要求．了解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本⽅差及样本矩的概念，其中样本⽅差定义为2．了解产⽣变量、变量和变量的典型模式；了解标准正态分布、分布、分布和分布得上侧分位数，会查相应的数值表．3．掌握正态总体的样本均值．样本⽅差．样本矩的抽样分布．4.了解经验分布函数的概念和性质．七、参数估计考试内容点估计的概念估计量与估计值矩估计法最⼤似然估计法考试要求1．了解参数的点估计、估计量与估计值的概念．2．掌握矩估计法（⼀阶矩、⼆阶矩）和最⼤似然估计法．。
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一．常见的正/余弦系数矩阵
C N+1I ≔ √2N (ϵN (j)cos jkπN )j,k=0
N
C N II
≔ √2
N (ϵN (j)cos
j(2k+1)π2N
)j,k=0N−1
, C N III ∶= (C N II )T
C N IV
≔ √2N (cos (2j +1)(2k +1)π4N )j,k=0N−1
S N−1I
≔ √2N (sin (j +1)(k +1)πN
)j,k=0N−2
S N II
≔ √2
N (ϵN (j +1)sin
(j+1)(2k+1)π2N
)j,k=0N−1
, S N III ∶= (S N II )T
S N IV ≔ √2N (sin (2j +1)(2k +1)π4N
)j,k=0N−1
∈N (j)={√2
2 ,
0,N 1, other
二．一些基本定义
I n : 表示n 阶单位矩阵
J n : 表示n 阶反相矩阵 J n ≔(δ(j +k −n +1))j,k=0n−1,δ是克罗内克运算 V n : 表示n 阶移位矩阵 V n ≔(δ(j −k −1))j,k=0n−1,δ是克罗内克运算 C n ≔(cos (2k+1)π8N
)k=0N−1
S n ≔(sin
(2k+1)π8N
)k=0N−1
设A,B 是两个矩阵，则
A⨁B ∶=diag(A,B) 表示的是块对角矩阵
Σn ≔diag((−1)k )k=0n−1 表示对角符号矩阵
三．三角矩阵间的一些基本关系
C N+1I J N+1=ΣN+1C N+1I S N−1I J N−1=ΣN−1S N−1I
C N II J N =ΣN C N II S N II J N =ΣN S N II
C N IV J N ΣN =J N ΣN C N IV S N IV J N ΣN =J N ΣN S N IV
J N C N II =S N II
ΣN C N IV J N =ΣN S N IV
四．矩阵分解
首先给出一个重要的定义：
C N II =P N T
(C N 2
II ⨁C N 2
IV )T N (0)
T N (0)≔
1√2I N/2J N/2
I N/2
−J N/2
)
设存在矩阵Pn ，它可将一个矩阵的偶数行依次聚集到矩阵的上方，奇数聚集在矩阵的
下方，用数学方式表达如下：
P n X ∶=(x 0,x 2,…,x n−2,x 1,x 3,…,x n−1)T
P n C N
II =1√
N 2( (ϵN (2j )cos 2j (2k +1)π2N )
j,k=0
N 2−1
(ϵN (2j )cos 2j (N +2k +1)π2N )
j,k=0
N
2−1
(ϵN (2j +1)cos (2j +1)(2k +1)π2N )
j,k=0
N
2−1(ϵN (2j +1)cos (2j +1)(N +2k +1)π2N )
j,k=0N 2−1
)
=
1
√N 2
C N
2
II
C N 2II J N
2
C N
2IV −C N 2IV
J N 2)=1√N 2C N 2II 0
0C N
2
IV )(I n/2
J N
2
I n/2−J N
2
)=
1√
N 2
N 2II ⨁C N 2IV )(
I n/2
J N
2I n/2
−J N
2
)
P n C N IV =√
N 2( (cos (4j +1)(2k +1)π4N )j,k=0N 2
−1
(cos (4j +1)(N +2k +1)π4N )j,k=0N
2−1
(cos (4j +3)(2k +1)π4N )
j,k=0N
2−1(cos (4j +3)(N +2k +1)π4N )
j,k=0N
2−1)
=。