三角函数矩阵
三角函数的几何表示
在微积分中，三角函数用于解决与极坐标相关的 问题。
线性代数
在矩阵运算中，三角函数用于计算特征值和特征 向量。
三角函数在金融领域的应用
复利计算
01
在金融领域，复利计算涉及到指数函数和三角函数的结合使用。
期权定价
02
在期权定价模型中，三角函数用于计算期权的价值。
风险管理
03
在风险管理领域，三角函数用于计算风险值（VaR）和压力测试。
三角恒等式是三角函数之间的基本关系式，如sin^2 x + cos^2 x = 1、sin(x+y) 和cos(x+y)分别等于sin x cos y + cos x sin y等。
三角恒等式是三角函数运算的基础，对于简化复杂的三角函数表达式、证明性质 以及解决实际问题非常有用。
THANKS FOR WATCHING
简谐运动
物体在平衡点附近的往复 运动可以用三角函数来描 述。
工程中的三角函数应用
结构设计
在工程中，三角函数常用 于结构设计，如梁的弯曲、 拱桥的设计等。
信号处理
在通信和信号处理中，三 角函数用于频谱分析和滤 波器设计。
测量
在测量领域，三角函数用 于角度和距离的测量。
数学中的三角函数应用
解析几何
在解析几何中，三角函数用于解决与角度和长度 相关的问题。
正割函数的图像
正割函数图像是正弦函数的倒数，其周期为$pi$弧度。
在直角坐标系中，正割函数图像呈现为一个双曲线，随着角度的增加，函数值逐渐减小并趋 近于0。
正割函数图像关于原点对称。
余割函数的图像
余割函数图像是余弦函数的倒数，其周期同样为$pi$ 弧度。
三角函数计算,Cordic 算法入门
三角函数计算，Cordic 算法入门三角函数的计算是个复杂的主题，有计算机之前，人们通常通过查找三角函数表来计算任意角度的三角函数的值。
这种表格在人们刚刚产生三角函数的概念的时候就已经有了，它们通常是通过从已知值（比如sin(π/2)=1）开始并重复应用半角和和差公式而生成。
现在有了计算机，三角函数表便推出了历史的舞台。
但是像我这样的喜欢刨根问底的人，不禁要问计算机又是如何计算三角函数值的呢。
最容易想到的办法就是利用级数展开，比如泰勒级数来逼近三角函数，只要项数取得足够多就能以任意的精度来逼近函数值。
除了泰勒级数逼近之外，还有其他许多的逼近方法，比如切比雪夫逼近、最佳一致逼近和Padé逼近等。
所有这些逼近方法本质上都是用多项式函数来近似我们要计算的三角函数，计算过程中必然要涉及到大量的浮点运算。
在缺乏硬件乘法器的简单设备上（比如没有浮点运算单元的单片机），用这些方法来计算三角函数会非常的费时。
为了解决这个问题，J. Volder于1959年提出了一种快速算法，称之为CORDIC(COordinate Rotation DIgital Computer) 算法，这个算法只利用移位和加减运算，就能计算常用三角函数值，如Sin，Cos，Sinh，Cosh等函数。
J. Walther在1974年在这种算法的基础上进一步改进，使其可以计算出多种超越函数，更大的扩展了Cordic 算法的应用。
因为Cordic 算法只用了移位和加法，很容易用纯硬件来实现，因此我们常能在FPGA运算平台上见到它的身影。
不过，大多数的软件程序员们都没有听说过这种算法，也更不会主动的去用这种算法。
其实，在嵌入式软件开发，尤其是在没有浮点运算指令的嵌入式平台（比如定点型DSP）上做开发时，还是会遇上可以用到Cordic 算法的情况的，所以掌握基本的Cordic算法还是有用的。
从二分查找法说起先从一个例子说起，知道平面上一点在直角坐标系下的坐标（X,Y）=（100，200），如何求的在极坐标系下的坐标（ρ,θ）。
《三角比、三角函数、行列式、矩阵》(讲义)
《三角比、三角函数、矩阵、行列式》知识点1、什么是1弧度？弧度与度怎样换算？弧长等于半径的圆弧所对的圆心角大小称为1弧度。
π=︒180弧度⎪⎭⎫⎝⎛=︒⇒1801π弧度，1弧度='18573.57180︒=︒≈︒π 2、什么是同角三角比的关系？（1）平方关系：1cos sin 22=+αα；αα22sec 1tan =+；αα22csc 1cot =+；（2）倒数关系：ααcot 1tan =；ααsin 1csc =；ααcos 1sec =；（3）商数关系：αααcos sin tan =；αααsin cos cot =。
3、1、分别写出下列各组两个角βα,的关系式。
（1）角βα,具有相同的终边： Z k k ∈+=,2παβ； （2）角βα,的终边关于x 轴对称：()Z k k ∈+-=,2παβ； （3）角βα,的终边关于y 轴对称：()Z k k ∈+-=,2παπβ； （4）角βα,的终边一直线且反向：()Z k k ∈++=,2παπβ； （5）角βα,的终边在一直线： Z k k ∈+=,παβ；（6）角βα,的终边关于直线x y =对称：Z k k ∈+⎪⎭⎫⎝⎛-=,22παπβ；（7）角βα,的终边互相垂直：Z k k ∈+⎪⎭⎫ ⎝⎛±=,22ππαβ。
2、什么是诱导公式？第一组：Z k k ∈+,2απ的诱导公式;sin )2sin(ααπ=+k ;cos )2cos(ααπ=+k ;tan )2tan(ααπ=+k ααπcot )2cot(=+k 第二组：α-的诱导公式;sin )sin(αα-=- ;c o s )c o s(αα=- ;tan )tan(αα-=- ααc o t )c o t (-=- 第三组：απ+的诱导公式;sin )sin(ααπ-=+ ;cos )cos(ααπ-=+ ;t a n )t a n(ααπ=+ ααπc o t )c o t (=+ 第四组：απ-的诱导公式;sin )sin(ααπ=- ;c o s )c o s (ααπ-=- ;t a n )t a n (ααπ-=- ααπc o t )c o t (-=- 第五组：απ-2的诱导公式;cos )2sin(ααπ=- ;s i n )2c o s (ααπ=- ;c o t )2t a n (ααπ=- ;t a n )2c o t (ααπ=-第五组：απ+2的诱导公式;cos )2sin(ααπ=+ ;s i n )2c o s (ααπ-=+ ;c o t )2t a n (ααπ-=+ ;t a n )2c o t (ααπ-=+ 第六组：απ+23的诱导公式 ;cos )23sin(ααπ-=+ ;s i n )23c o s (ααπ=+ ;c o t )23t a n (ααπ-=+ ;t a n )23c o t (ααπ-=+诱导公式辅助记忆的口诀：“纵变横不变，符号看象限”3、什么是两角和差、二倍角、半角、万能置换公式？ （1）两角和与差的三角比公式两角和差的正弦：;sin cos cos sin )sin(βαβαβα⋅±⋅=±两角和差的余弦：;sin sin cos cos )cos(βαβαβα⋅⋅=± 两角和差的正切：.tan tan 1tan tan )tan(βαβαβα⋅±=±（2）二倍角公式正弦：;cos sin 22sin ααα⋅= 余弦：;sin 211cos 2sin cos )cos(2222⋅-=-=-=±ααααβα 正切：.tan 1tan 22tan 2ααα-=（其中Z k k k ∈++≠,24,2ππππα）（3）半角公式正弦：;2cos 12sinαα-±= 余弦：;2cos 12cos αα+±= 正切：;cos 1cos 12tanααα+-±=;sin cos 1cos 1sin 2tan ααααα-=+=（4）万能置换公式2tan12tan 2tan ,2tan12tan 1cos ,2tan12tan2sin 2222ααααααααα-=+-=+=4、什么是积化和差、和差化积公式？()()[]()()[]()()[]()()[]βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα--+=⋅-++=⋅--+-=⋅-++=⋅sin sin 21sin cos sin sin 21cos sin cos cos 21sin sin cos cos 21cos cos ⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+2sin 2cos 2sin sin 2cos 2sin 2sin sin 2sin 2sin 2cos cos 2cos 2cos 2cos cos βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα5、什么是正弦定理？R CcB b A a 2s i n s i n s i n ===（R 是ABC ∆外接圆的半径） 6、什么是余弦定理？bc a c b A A bc c b a 2cos cos 2222222-+=⇔-+=； acb c a B B ac c a b 2cos cos 2222222-+=⇔-+=；abc b a C C ab b a c 2cos cos 2222222-+=⇔-+=7、如何讨论正弦函数x y sin =和余弦函数的性质？8、怎样画函数()()πϕωϕω<≤>>+=0,0,0,sin A x A y 的图像？ （1）五点法作图：○1确定函数最小正周期ωπ2=T ；○2令ππππϕω2,23,,2,0=+x 得相应的x 值，进而得到五个关键点；○3描点作图，先作出函数在一个周期内的图像，然后根据函数的周期性，把一个周期的图像向左、右扩展，得到)0,0(),sin(>>+=ωϕωA x A y 的图像。
三角函数的图像及其变换
振幅变换
振幅变换
通过将三角函数中的系数乘以一 个常数，可以改变函数图像的形 状和大小。例如，将正弦函数 y=sin(x)变为y=2sin(x)，图像的 高度变为原来的两倍。
总结词
振幅变换可以改变函数图像的大 小和形状，但不影响位置。
详细描述
振幅变换通常通过乘以一个常数来实 现。例如，对于正弦函数y=sin(x)，乘 以2得到y=2sin(x)，图像的高度变为 原来的两倍。同样地，对于余弦函数 y=cos(x)，乘以2得到y=2cos(x)，图 像的高度也变为原来的两倍。
与复数的联系
三角函数与复数之间有着密切的联系。例如，复数的三角形式就是由三角函数来表示的，这使得复数 的一些性质和运算可以通过三角函数来理解和实现。
此外，在复分析中，三角函数也起着重要的作用，如在求解某些复数域上的微分方程时，经常需要用 到三角函数。
谢谢
THANKS
应用
正切函数在解决实际问题和数学 问题中也有应用，例如在几何学 和三角学中的角度和长度计算。
02 三角函数的图像
CHAPTER
正弦函数的图像
01
正弦函数图像是周期函数，其基本周期为$2pi$，在$[0, 2pi]$ 区间内呈现波形。
02
正弦函数图像在$x$轴上的交点是$(frac{pi}{2} + kpi, 0)$，其
周期变换
总结词
详细描述
通过改变三角函数的周期，可以改变
函数图像的形状和位置。例如，将正 弦函数和余弦函数的周期从2π变为4π， 图像将变为原来的两倍长，但形状和
周期变换可以改变函数图像的长度， 但不影响形状和位置。
位置保持不变。
周期变换通常通过乘以一个常数来实现。例 如，将函数y=sin(x)变为y=sin(2x)，周期 从2π变为π，图像长度减半。同样地，对于 余弦函数，将y=cos(x)变为y=cos(2x)，周 期从2π变为π，图像长度也减半。
r语言提取矩阵的下三角函数
r语言提取矩阵的下三角函数R语言是一种常用的统计分析工具，提供了许多函数和方法来处理矩阵。
其中，提取矩阵的下三角函数是一个常见需求，可以用于矩阵的特征分析、数据处理和可视化等方面。
本文将一步一步回答关于如何在R语言中提取矩阵的下三角函数的问题。
一、什么是矩阵的下三角？矩阵的下三角是指矩阵中位于主对角线及其下方的元素构成的部分。
具体而言，如果一个元素位于第i行第j列（i<=j），则该元素属于矩阵的下三角。
下三角的特点是对角线及其上方的元素都是0，而对角线及其下方的元素则可以是非零值。
二、如何创建一个矩阵？在R语言中，可以使用函数`matrix()`来创建一个矩阵。
该函数的基本语法如下：matrix(data, nrow, ncol, byrow)其中：- `data`是用于填充矩阵的数据，可以是一个向量或一个矩阵；- `nrow`是矩阵的行数；- `ncol`是矩阵的列数；- `byrow`是一个逻辑值，表示是否按行填充矩阵。
如果为`FALSE`（默认值），则按列填充。
例如，下面的代码演示了如何创建一个3x3的矩阵：Rmatrix(1:9, nrow = 3, ncol = 3, byrow = TRUE)输出结果为：[,1] [,2] [,3][1,] 1 2 3[2,] 4 5 6[3,] 7 8 9三、如何提取矩阵的下三角？在R语言中，可以使用下标索引的方式来提取矩阵的下三角。
具体而言，可以通过指定下标范围或逻辑方式来选择矩阵的下三角元素。
1. 指定下标范围提取下三角：可以使用方括号`[]`来指定下标范围，通过逗号`,`分隔行和列的下标范围。
例如，要提取矩阵`mat`的下三角元素，可以使用以下代码：Rmat[lower.tri(mat)]其中，`lower.tri(mat)`函数返回一个逻辑矩阵，表示矩阵`mat`的下三角元素的位置。
通过使用逻辑矩阵作为下标，可以提取对应位置为`TRUE`的元素。
三角函数的应用
三角函数的应用三角函数是数学中的重要内容之一，广泛应用于各个领域，如物理、工程、计算机图形学等。
本文将从不同领域的角度介绍三角函数的应用。
一、物理中的三角函数应用1. 弹道学中的三角函数应用在弹道学中，我们可以使用三角函数来描述抛物线弹道的轨迹。
假设我们以水平方向飞行的火箭为例，其运动轨迹可以用函数 y = f(x) 来表示，其中 x 表示时间，y 表示高度。
由于重力的作用，火箭在垂直方向上存在加速度。
通过三角函数，我们可以推导出火箭的高度随时间变化的函数表达式，并进一步分析火箭的运动轨迹。
2. 波动学中的三角函数应用在波动学中，三角函数被广泛应用于描述波动的性质。
例如，海浪的起伏可以用正弦函数来表示。
正弦函数具有周期性，因此能够准确地描述出海浪的周期和振幅等特征。
此外，在声波和光波的传播中，也会使用到正弦函数和余弦函数来描述波的传播方程。
二、工程中的三角函数应用1. 测量学中的三角函数应用在测量学中，三角函数被广泛应用于距离和角度的测量。
例如，利用正弦定理和余弦定理，我们可以在不直接测量距离的情况下，通过测量角度和长度来计算两个不可测量的物体之间的距离。
这在大地测量和建筑测量中都有重要的应用价值。
2. 结构力学中的三角函数应用在结构力学中，三角函数被用于求解力学问题中的角度和向量关系。
例如，通过正弦定律和余弦定律，我们可以计算力的分解、合成以及受力物体之间的角度关系。
这对于分析建筑物和桥梁等结构的稳定性和强度是非常重要的。
三、计算机图形学中的三角函数应用1. 三维建模中的三角函数应用在计算机图形学中，三角函数被广泛应用于三维建模和渲染中。
例如，在计算机游戏中，我们可以使用正弦函数和余弦函数来计算光照的强度和方向，以达到逼真的渲染效果。
此外，在三维模型的旋转、缩放和平移中，三角函数也被用于计算变换矩阵，从而实现模型的变换和动画效果。
2. 图像处理中的三角函数应用在图像处理中，三角函数被用于图像的滤波和变换。
常用的14个恒等变形公式
常用的14个恒等变形公式恒等变形公式是数学中的重要概念，它指的是在等式两边同时进行相同的运算，从而得到等价的新式子的过程。
在数学中，恒等变形公式被广泛应用于各种数学问题的解决中。
本文将介绍常用的14个恒等变形公式，希望能够帮助读者更好地理解数学知识。
1. 平方差公式平方差公式是指：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$。
这个公式在代数中是非常常用的，它可以帮助我们快速计算两个数之间的平方差。
2. 完全平方公式完全平方公式是指：$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$。
这个公式可以帮助我们快速计算一个二次项的平方。
3. 二次差公式二次差公式是指：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$。
这个公式与平方差公式相同，但它更适用于计算两个数的平方差。
4. 一次多项式恒等式一次多项式恒等式是指：$ax+by=c$。
这个公式可以帮助我们快速求解一次方程。
5. 一次多项式因式分解公式一次多项式因式分解公式是指：$ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(x+y)(a+b)$。
这个公式可以帮助我们快速因式分解一次多项式。
6. 二次多项式恒等式二次多项式恒等式是指：$ax^2+bx+c=(x-p)(x-q)$，其中$p$和$q$是二次方程的解。
这个公式可以帮助我们快速求解二次方程。
7. 二次多项式完全平方公式二次多项式完全平方公式是指：$ax^2+bx+c=a(x+p)^2+q$，其中$p$是二次方程的解。
这个公式可以帮助我们快速将二次多项式变成完全平方的形式。
8. 二次多项式配方法二次多项式配方法是指：$ax^2+bx+c=a(x+frac{b}{2a})^2-frac{b^2-4ac}{4a}$。
这个公式可以帮助我们快速将二次多项式配成平方的形式。
9. 欧拉公式欧拉公式是指：$e^{ix}=cos x+isin x$。
这个公式是数学中的重要公式，它将复数与三角函数联系起来。
10. 对数公式对数公式是指：$log_ab=frac{log_cb}{log_ca}$。
三角恒等变换
三角恒等变换
三角恒等变换是一种数学代数化简的方法，也叫三角形法则，是根据三角函数的性质，使用单位弧度角进行代数化简处理，主要用于对线性代数的处理，包括矩阵求逆、行列式、解线性方程组等。
一、三角恒等变换的定义
三角恒等变换是用来化简复杂代数式的一种数学方法，它利用三角函数的性质，通过代入sin，cos，tan等等三角函数，从而简化复杂的计算。
二、三角恒等变换的基本原理
三角恒等变换是基于三角函数性质进行简化复杂计算的一种方法。
此法的基本原理是将一个复杂的表达式化简成一种简单的表达式，这种用三角函数进行简化的过程叫做“三角恒等变换”。
三、三角恒等变换的特点
三角恒等变换的特点有三：（1）可以使复杂的多项式变成简单的表达式；（2）可以让多元代数式的计算更容易实现；（3）可以利用三角函数的一些性质，使用更简便的数学计算方法。
四、三角恒等变换的具体应用
三角恒等变换在数学中广泛应用，具体应用有：（1）矩阵求逆、行列式、行列块；（2）多项式求导、积分计算；（3）求解线性方程组的通解；（4）计算偏微分方程的解等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一．常见的正/余弦系数矩阵
C N+1I ≔ √2N (ϵN (j)cos jkπN )j,k=0
N
C N II
≔ √2
N (ϵN (j)cos
j(2k+1)π2N
)j,k=0N−1
, C N III ∶= (C N II )T
C N IV
≔ √2N (cos (2j +1)(2k +1)π4N )j,k=0N−1
S N−1I
≔ √2N (sin (j +1)(k +1)πN
)j,k=0N−2
S N II
≔ √2
N (ϵN (j +1)sin
(j+1)(2k+1)π2N
)j,k=0N−1
, S N III ∶= (S N II )T
S N IV ≔ √2N (sin (2j +1)(2k +1)π4N
)j,k=0N−1
∈N (j)={√2
2 ,
0,N 1, other
二．一些基本定义
I n : 表示n 阶单位矩阵
J n : 表示n 阶反相矩阵 J n ≔(δ(j +k −n +1))j,k=0n−1,δ是克罗内克运算 V n : 表示n 阶移位矩阵 V n ≔(δ(j −k −1))j,k=0n−1,δ是克罗内克运算 C n ≔(cos (2k+1)π8N
)k=0N−1
S n ≔(sin
(2k+1)π8N
)k=0N−1
设A,B 是两个矩阵，则
A⨁B ∶=diag(A,B) 表示的是块对角矩阵
Σn ≔diag((−1)k )k=0n−1 表示对角符号矩阵
三．三角矩阵间的一些基本关系
C N+1I J N+1=ΣN+1C N+1I S N−1I J N−1=ΣN−1S N−1I
C N II J N =ΣN C N II S N II J N =ΣN S N II
C N IV J N ΣN =J N ΣN C N IV S N IV J N ΣN =J N ΣN S N IV
J N C N II =S N II
ΣN C N IV J N =ΣN S N IV
四．矩阵分解
首先给出一个重要的定义：
C N II =P N T
(C N 2
II ⨁C N 2
IV )T N (0)
T N (0)≔
1√2I N/2J N/2
I N/2
−J N/2
)
设存在矩阵Pn ，它可将一个矩阵的偶数行依次聚集到矩阵的上方，奇数聚集在矩阵的
下方，用数学方式表达如下：
P n X ∶=(x 0,x 2,…,x n−2,x 1,x 3,…,x n−1)T
P n C N
II =1√
N 2( (ϵN (2j )cos 2j (2k +1)π2N )
j,k=0
N 2−1
(ϵN (2j )cos 2j (N +2k +1)π2N )
j,k=0
N
2−1
(ϵN (2j +1)cos (2j +1)(2k +1)π2N )
j,k=0
N
2−1(ϵN (2j +1)cos (2j +1)(N +2k +1)π2N )
j,k=0N 2−1
)
=
1
√N 2
C N
2
II
C N 2II J N
2
C N
2IV −C N 2IV
J N 2)=1√N 2C N 2II 0
0C N
2
IV )(I n/2
J N
2
I n/2−J N
2
)=
1√
N 2
N 2II ⨁C N 2IV )(
I n/2
J N
2I n/2
−J N
2
)
P n C N IV =√
N 2( (cos (4j +1)(2k +1)π4N )j,k=0N 2
−1
(cos (4j +1)(N +2k +1)π4N )j,k=0N
2−1
(cos (4j +3)(2k +1)π4N )
j,k=0N
2−1(cos (4j +3)(N +2k +1)π4N )
j,k=0N
2−1)
=。