求三角函数解析式的方法
三角函数求解析式技巧
三角函数求解析式技巧求解析式是指将一个三角函数用一个数学表达式来表示，使得对于给定的自变量值，可以得到函数的具体值。
在数学领域中，有一些常见的技巧可以用来求解三角函数的解析式。
1. 基本关系式：三角函数有着一些基本的关系式，例如：sin^2(x) + cos^2(x) = 1，用于正弦函数和余弦函数的平方和的关系；tan(x) = sin(x)/cos(x)，用于正切函数和正弦函数、余弦函数的关系等。
2. 奇偶性：根据函数的奇偶性可以简化三角函数的解析式。
例如：正弦函数sin(x)是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)；余弦函数cos(x)是偶函数，即cos(-x) = cos(x)；正切函数tan(x)是奇函数，即tan(-x) = -tan(x)。
3. 三角恒等式：三角恒等式是用于描述三角函数之间的等式关系的公式。
其中最常见的三角恒等式包括：和差公式：sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)倍角公式：sin(2a) = 2sin(a)cos(a)cos(2a) = cos^2(a) - sin^2(a)化简同角三角函数：tan(a) = sin(a)/cos(a)cot(a) = cos(a)/sin(a)4. 双曲函数：双曲函数是与三角函数非常相关的一类函数。
其中最常见的双曲函数包括：双曲正弦函数sinh(x) = (e^x - e^(-x))/2双曲余弦函数cosh(x) = (e^x + e^(-x))/2双曲正切函数tanh(x) = sinh(x)/cosh(x)5. 泰勒级数展开：泰勒级数展开是一种通过多项式逼近三角函数的技巧。
泰勒级数展开将一个函数表示为无穷级数的形式，从而可以通过截断级数来获得函数的近似解析式。
例如，正弦函数的泰勒级数展开为：sin(x) = x - (x^3)/3! + (x^5)/5! - (x^7)/7! + ...6. 几何关系：三角函数与几何图形之间存在着密切的关系，通过观察几何图形可以得到一些三角函数的性质。
求三角函数解析式方法总结超全面
求三角函数解析式)sin(ϕω+=x A y 常用的方法全面总结三角函数的解析式是研究三角函数图像与性质的重要依据，也是高中数学教学的重点，也是历年来高考考查的热点，学生往往不知如何挖掘出有用的信息,去求A 、ω、φ。
A （振幅）：A=2-最小值最大值φ+wx ：相位，其中Tw π2=(T 为最小正周期） ϕ：初相，求φ常有代入法、五点法、特殊值法等一、利用五点法，逆求函数解析式三角函数五点法是三角函数图像绘制的方法，分别找三角函数一个周期内端点与终点两个点，另加周期内一个零点，两个极值点和一共零点，总共五个点第一点，即图像上升时与x 轴的交点，为φ+wx =0 第二点，即图像曲线的最高点，为φ+wx =2π 第三点，即图像下降时与x 轴的交点，为φ+wx =π第四点，即图像曲线的最低点，为φ+wx =23π 第五点，即图像最后一个端点，为φ+wx =π2例1．右图所示的曲线是)sin(ϕω+=x A y （0>A ，0>ω）图象的一部分，求这个函数的解析式．例2.是函数π2sin()2y x ωϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象上的一段，则（ ） Ａ．10π116ωϕ==，Ｂ．10π116ωϕ==-， Ｃ．π26ωϕ==，Ｄ．π26ωϕ==-，例3.函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则A ．4,2πϕπω==B ．6,3πϕπω==C ．4,4πϕπω==D ．45,4πϕπω==例4、函数()ϕω+=x A y sin 的一个周期内的图象如下图， 求y 的解析式。
（其中 πϕπω<<->>,0,0A ）变式练习1、已知函数)sin(ϕω+=x A y (A >0，ω>0，|ϕ|<π)2、已知函数)sin(ϕω+=x Ay (A >0，ω>0，|ϕ|<π)的图象如图，求函数的解析式。
三角函数图象解析式的求法
2 ( x).
3
例2.已知f ( x) Asin(x )(其中A, 0, )的部分
图象如下，确定函数解析式.
y
3
O1 3
x
3
例3.下列函数中，图象的一部分如图的是( )
A. y sin( x )
6
C . y cos(4x )
3
B. y sin( 2x )
8
y 2
4
2 sin(
x
)
2 2 2 2 sin( 2 )
84
8
练习： 1已知函数y Asin（x ）（A 0,
0,0 )图像的两个相邻的最值
点为（ ，2）；（2 ， 2），求解析式。
6
3
2已知函数y Asin(x ) b图像
2. 将给定点的坐标代入函数解析式，利
用方程思想确定相关参数（特别
是 ），注意多值的取舍（利用单调 性判断），优先选择最值点。
作业： 配套检测卷 P123
可编辑
求解析式。
y
6
2
3
5
6 x
4
3已知函数y Asin（x ）（| | 的图像
2
求函数的解析式。
y
2
y
1
11
2
12
x
7 3
x
-2
10 20 5
4求函数f（x） Asin（x ） b
的解析式
小结：由图象确定解析式
1. 充分利用图象的几何性质（特别是对称性） 确定正余弦型函数的平衡位置、振幅、周 期等；
函数解析 式
函数图像
高中数学公式大全三角函数的反函数与解析式的计算公式
高中数学公式大全三角函数的反函数与解析式的计算公式高中数学公式大全：三角函数的反函数与解析式的计算公式在高中数学学科中，三角函数是非常重要的内容。
三角函数的反函数也是同样重要的知识点之一。
本文将全面介绍三角函数的反函数与解析式的计算公式。
一、正弦函数的反函数与解析式的计算公式正弦函数是三角函数中最基本的函数之一。
它的定义域是实数集，值域是[-1,1]。
正弦函数的反函数被称为反正弦函数，记为arcsin(x)或sin^(-1)(x)。
反正弦函数的定义域是[-1,1]，值域是[-π/2,π/2]。
计算反正弦函数的解析式公式可以表示为：arcsin(x) = y其中，-1 ≤ x ≤ 1，-π/2 ≤ y ≤ π/2。
二、余弦函数的反函数与解析式的计算公式余弦函数是另一个非常重要的三角函数。
它的定义域是实数集，值域是[-1,1]。
余弦函数的反函数被称为反余弦函数，记为arccos(x)或cos^(-1)(x)。
反余弦函数的定义域是[-1,1]，值域是[0,π]。
计算反余弦函数的解析式公式可以表示为：arccos(x) = y其中，-1 ≤ x ≤ 1，0 ≤ y ≤ π。
三、正切函数的反函数与解析式的计算公式正切函数是三角函数中的另一个重要函数。
它的定义域是实数集，值域是整个实数集。
正切函数的反函数被称为反正切函数，记为arctan(x)或tan^(-1)(x)。
反正切函数的定义域是整个实数集，值域是(-π/2,π/2)。
计算反正切函数的解析式公式可以表示为：arctan(x) = y其中，-∞ < x < ∞，-π/2 < y < π/2。
四、反函数的性质反函数具有以下几个基本性质：1. 反函数与原函数的图像关于y=x对称；2. 反函数的定义域与原函数的值域相同，反之亦然；3. 如果原函数的定义域是[a,b]，值域是[c,d]，则反函数的定义域是[c,d]，值域是[a,b]；4. 如果f(x)在[a,b]上是单调递增的，则反函数在[c,d]上也是单调递增的。
【高中数学】三角函数中根据图象求解析式的几种方法
【高中数学】三角函数中根据图象求解析式的几种方法已知函数y ＝Asin(ωx+φ)+k(A ＞0，ω＞0)的部分图象，求其解析式，与用“五点法”作函数y ＝Asin(ωx+φ)＋ｋ的图象有着密切联系，最主要的是看图象上的“关键点”与“特殊点”．本文就一般情况例析如下．一、A 值的确定方法：A 等于图象中最高点的纵坐标减去最低点的纵坐标所得差的一半．二、 ω值的确定方法：方法１.在一个周期内的五个“关键点”中，若任知其中两点的横坐标，则可先求出周期Ｔ，然后据ω＝Tπ2求得ω的值． 方法２：“特殊点坐标法”。
特殊点包括曲线与坐标轴的交点、最高点和最低点等。
在求出了A 与φ的值之后，可由特殊点的坐标来确定ω的值．三、 φ值的确定方法：方法１：“关键点对等法”．确定了ω的值之后，把已知图象上五个关键点之一的横坐标代人ωx+φ，它应与曲线ｙ＝sinx 上对应五点之一的横坐标相等，由此可求得φ的值．此法最主要的是找准“对等的关键点”，我们知道曲线y ＝sinx 在区间[0，2π]上的第一至第五个关键点的横坐标依次为0、2π、π、23π、2π,若设所给图象与曲线y=sinx 上对应五点的横坐标为x J (J ＝1,2,3,4,5), 则顺次有ωx 1+φ＝0、 ωx 2+φ＝2π、ωx 3+φ＝π、ωx 4+φ＝23π、ωx 5+φ＝2π,由此可求出φ的值。
方法2：“筛选选项法”，对于选择题，可根据图象的平移方向经过筛选选项来确定φ的值．方法3：“特殊点坐标法”．（与2中的方法2类同）．四、 k 值的确定方法： K 等于图象向上或向下平移的长度，图象上移时k 为正值，下移时k 为负值．另外A 、ω、φ的值还可以通过“解方程（组）法”来求得． 例1.图1是函数ｙ＝2sin （ωx+φ）(ω＞０，φ≤2π)的图象，那么正确的是（ ）Ａ.ω＝1110, φ＝6π Ｂ．ω＝1110, φ＝－6π Ｃ．ω＝２，φ＝6π Ｄ．ω＝２，φ＝－6π, 解：可用“筛选选项法”．题设图象可看作由y ＝2sin ωx 的图象向左平移而得到，所以φ＞0排除B 和D ，由A,C 知φ＝6π；ω值的确定可用“关键点对等法”， 图1因点（1211π,0）是“五点法”中的第五个点，∴ω·1211π+6π＝2π 解得ω＝２， 故选C ．例2.图2是函数y ＝Asin(ωx+φ)图象上的一段,（A ＞0，ω＞0,φ∈（0，2π））,求该函数的解析式．解法一：观察图象易得A ＝2,∴T ＝2×（87π-83π）＝π，∴ω＝ππ2＝2. ∴y ＝2sin(2x+φ).下面用“关键点对等法”来求出 图2φ的值,由2×83π+φ＝π（用“第三点”） 得φ＝4π∴所求函数解析式为y ＝2sin(2x+4π)．说明：若用“第二点”，可由2×8π +φ＝2π求得φ的值；若用“第五点”，可由2×87π+φ＝2π求得φ的值．解法二：由解法一得到T= π，ω=2后，可用“解方程组法”求得φ与A 的值，∵点（0，2）及点（83π，0）在图象上， ∴ Asin φ＝2 (1)1211π1211πxy0 2-XY 2Asin(2×83π+φ)＝0 (2) 由(2)得 φ＝k π-43π(k ∈Z)， 又φ∈（0，2π)， ∴只有K ＝1，得φ＝4π， 代人（1）得A ＝2.∴所求函数解析式为 y ＝2sin(2x+4π)．例3.已知函数y ＝Asin(ωx+φ) (A ＞0，ω＞0, φ＜2π)图象上的一部分如图3所示，则必定有（ ）(A) A=-2 （B ）ω＝1 （C ）φ＝3π（D ）K ＝-2解：观察图象可知 A ＝2,k ＝2. ∴y ＝2sin(ωx+φ)+2 下面用“解方程组法”求φ与ω的值.∵ 图象过点（0，2+3）、（－6π，2） ∴ 2+3=2sin φ+2 图32=2sin(-6πω+φ)+2解得ω＝2，φ＝3π故选C.例4.如图4给出了函数y ＝Asin(ωx+φ)(A ＞0，ω＞0, φ ＜2π)图象的一段，求这个函数的解析式．解：由图象可知 T=2×(4-1)=6,∴ω＝62π＝3π，∴y ＝2sin （3πx +φ)下面用“特殊点坐标法”求φ，∵ 图象过点（1，2）∴2＝2sin(3π×1+φ)， 又 φ ＜2π图４ｘ２＋3ｙ０ ４ 6π-２0 1 4 2xy∴只有φ＝6π∴所求函数解析式为y ＝2sin(3πx +6π).说明：本题φ的值也可由“关键点对等法”来求得，如令3π×1+φ＝2π 或3π×4+φ＝23π等均可求得φ的值．。
三角函数的解析式的求法及应用
三角函数的解析式的求法及应用
三角函数就是把角度表示为弧度来描述函数性质的数学运算，它可以用来描述平面的几何学中的事物。
它的主要概念包括正弦、余弦和正切函数，被用来描述各种不同的角度的解析式，以及表达正方形、长方形以及其它任何多边形形状的比例。
与正弦定理、余弦定理等一起，三角函数提供了一种解析求解三角形的角度和边长的方法。
在求解三角函数的解析式时，我们就需要根据三角函数的定义和表达式来进行推导和求解，其中尤其要注意所给三角形的信息，比如三角形的的角度大小，边长比例等等。
三角函数的应用非常广泛，它被广泛用于工程学、计算机科学、物理学、经济学和微积分数学等方面。
在测绘中，可以用来求解地形三角测量等问题；在机械设计中，三角函数可以用来解决几何形状的拟合问题；在通信中，可以用来把模拟信号转换为数字信号；在音乐制作中，用三角函数可以产生不同音频频率，以建立多种旋律。
由于三角函数可以满足各种几何形状的比例，它也被广泛应用于电子产品的设计中。
比如它可以用来描述手机设计的形状，而在微型化设计中，由于三角函数可以满足复杂几何图形的比例，所以它可以实现紧凑的设计。
总之，三角函数的出现，丰富了数学的理解和认识，它的解析式及应用对于多种计算机科学、物理学及经济学等科技领域而言，有非常重要的作用。
三角函数平移变换及求解析式
三角函数平移变换及解析式的求法类型一：平移变换1. y ＝2sin(2x －π6)＋1的图像是由y ＝sin x 的图像怎样变换而来的？解 方法一 先伸缩后平移y ＝sin x ――――――――――――――→各点的横坐标缩小为原来的12倍纵坐标不变y ＝sin 2x ――――――――――――→向右平移π12个单位y ＝sin(2x －π6)―――――――――――――――→各点的纵坐标伸长为原来的2倍横坐标不变y ＝2sin(2x －π6)――――――――――――→向上平移1个单位y ＝2sin(2x －π6)＋1.方法二 先平移后伸缩y ＝sin x ――――――――――→向右平移π6个单位y ＝sin(x －π6)――――――――――――――→各点的横坐标缩短为原来的12纵坐标不变y ＝sin(2x －π6)――――――――――→各点纵坐标伸长为原来的2倍横坐标不变y ＝2sin(2x －π6)――――――――――→向上平移1个单位y ＝2sin(2x －π6)＋1.2.试述如何由y ＝13sin(2x ＋π3)的图像得到y ＝sin x 的图像.解 方法一 y ＝13sin(2x ＋π3)――――――――――――――→横坐标扩大为原来的2倍纵坐标不变y ＝13sin(x ＋π3)――――――――――――――→图像向右平移π3个单位纵坐标不变y ＝13sin x――――――――――――――→纵坐标扩大到原来的3倍横坐标不变y ＝sin x .方法二 (1)先将y ＝13sin(2x ＋π3)的图像向右平移π6个单位长度，得y ＝13sin 2x 的图像；(2)再将y ＝13sin 2x 图像上各点的横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标不变)，得y ＝13sin x 的图像；(3)最后将y ＝13sin x 的图像上各点的纵坐标扩大为原来的3倍(横坐标不变)得到y ＝sin x 的图像.3.将函数x y sin =的图象上所有的点向右平行移动10π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是() A ．)102sin(π-=x y B ．)102sin(π+=x yC ．)1021sin(π-=x yD ．)1021sin(π+=x y解：将函数sin y =x 的图象上所有的点向右平行移动10π个单位长度，得到函数sin()10y x π=-，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数1sin()210y x π=-的图象，故选：C ． 4.把函数)42sin(π+=x y 的图象向左平移8π个单位长度，再将横坐标压缩到原来的21，所得函数的解析式为（ ）A. x y 4sin =B. x y 4cos =C. )84sin(π+=x yD.)324sin(π+=x y解：选B5.要得到)42cos(π-=x y 的图象，只需将x y 2sin =图象()A ．向左平移4π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移8π个单位D ．向右平移8π个单位解：将sin y = 2x 的图象向右平移8π个单位，可得sin(2)4y x π=-的图象， 故选：D ．6.要得到函数x y cos 2=的图象，将函数)42sin(2π+=x y 的图象上所有的点的( )A ．横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再向左平行移动8π个单位长度B ．横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度 C ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动4π个单位长度D ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动8π个单位长度解：2sin(2)cos(2)cos(2))42444y x x x x πππππ=+=--=-=- 答案为C 故选：C ．7.已知函数)4sin()(πω+=x x f R x ∈(，)0>ω的最小正周期为π，为了得到函数xx g ωcos )(=的图象，只要将)(x f y =的图象()A ．向左平移8π个单位长度 B ．向右平移8π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度D ．向右平移4π个单位长度解：由题知2ω=，所以()sin(2)cos[(2)]cos(2)cos2()42448f x x x x x πππππ=+=-+=-=-，故选：A ．类型二：求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的解析式1.已知函数)sin(ϕω+=x A y 0(>A ，0>ω，)0πϕ<<的一段图象如图所示，则此函数解析式为__________.（例10）解：)33sin(2π+=x y2.下图是函数)sin(ϕω+=x A y 0(>A ，0>ω，)20πϕ<<的图象的一部分，试求此函数解析式.解：)438sin(2ππ-=x y3.已知函数)sin(ϕω+=x A y ，在同一周期内，当9π=x 时函数取得最大值2，当94π=x 时取得最小值2-，则该函数的解析式为( )A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-=63sin 2πx yB ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+=63sin 2πx yC ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+=631sin 2πx yD ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-=631sin 2πx y解：由题意可知42993T πππ=-=，223T ππω∴==，解得3ω=， 函数的最大值为2，最小值为2-，2A ∴=， 9x π=时函数取得最大值2，2sin(3)29πϕ∴⨯+=，解得6πϕ=．∴函数解析式为2sin(3)6y x π=+．故选：B ．4.若函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b (其中A >0，ω>0，|φ|<π2)的图像如图所示.(1)求函数f (x )的解析式；(2)求S ＝f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 012)的值.解 (1)由图像知A ＝32－122＝12，b ＝32＋122＝1，ω＝2πT ＝2π4＝π2.∴f (x )＝12sin(π2x ＋φ)＋1.又∵点(0,1)在函数图像上，∴f (0)＝1即1＝12sin φ＋1，∴sin φ＝0.又|φ|<π2，故φ＝0，∴f (x )＝12sin π2x ＋1.(2)由(1)知函数f (x )＝12sin π2x ＋1，周期T ＝2ππ2＝4.∴S ＝f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 012) ＝f (0)＋[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]×503.又∵f (0)＝1，f (1)＝32，f (2)＝1，f (3)＝12，f (4)＝1，∴S ＝1＋(32＋1＋12＋1)×503＝2 013.反思与感悟 要求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的解析式，其关键是求参数A 、φ、ω、b 的值.求A 、ω、b 三参数相对容易，设函数的最大值为m ，最小值为n ，则⎩⎨⎧A ＝m －n2，b ＝m ＋n2.已知函数周期为T ，则由T ＝2πω可求出参数ω的值.5.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图像如图所示，(1)求f (x )的解析式；(2)求f (π4)＋f (2π4)＋f (3π4)＋…＋f (2 015π4)的值.解 (1)由图像可知A ＝2， 周期T ＝2(7π12－π12)＝π，所以ω＝2πT ＝2ππ＝2，则f (x )＝2sin(2x ＋φ)， 由图像过点(π12，2)，得2sin(2×π12＋φ)＝2，即sin(π6＋φ)＝1，取π6＋φ＝π2得φ＝π3， 故f (x )＝2sin(2x ＋π3).(2)由(1)可知f (x )的周期为π，因为f (π4)＋f (2π4)＋f (3π4)＋f (4π4)＝1－3－1＋3＝0，所以f (π4)＋f (2π4)＋f (3π4)＋…＋f (2 015π4)＝0×503＋f (2 013π4)＋f (2 014π4)＋f (2 015π4)＝f (π4)＋f (2π4)＋f (3π4)＝1－3－1＝－ 3.6.将函数y ＝sin ωx (ω>0)的图像向左平移π6个单位，平移后的图像如图所示，则平移后的图像所对应函数的解析式是________.答案 y ＝sin(2x ＋π3)解析 函数y ＝sin ωx (ω>0)的图像向左平移π6个单位得到y ＝sin(ωx ＋ωπ6)，则712πω＋ωπ6＝3π2，解得ω＝2， 故平移后的图像的解析式为y ＝sin(2x ＋π3).7.已知函数)cos(ϕω+=x A y 的图象如图所示，32)2(-=πf ,则=)0(f ( )(例13)A ．32-B ．21-C ．32 D ．21 解：由题意可知，此函数的周期11722()12123T πππ=-=，故223ππω=，3ω∴=，()cos(3)f x A x ϕ=+． 32()cos()sin 223f A A ππϕϕ=+==-． 又由题图可知771()cos(3)cos()12124f A A ππϕϕπ=⨯+=-cos sin )02A A ϕϕ=+=， 2(0)cos 3f A ϕ∴==．故选：C ．。
求三角函数解析式的基本方法及练习题
求三角函数解析式的基本方法及练习题介绍三角函数解析式是数学中常见的概念之一，它能帮助我们描述和计算三角函数的值。
本文将介绍三角函数解析式的基本方法，并提供一些练题供读者练。
基本方法正弦函数（sin）正弦函数的解析式为：sin(θ) = 对边长度 / 斜边长度其中θ为角度，对边是指与角度θ相对的边长，斜边是指与角度θ相对的边的斜边长度。
余弦函数（cos）余弦函数的解析式为：cos(θ) = 邻边长度 / 斜边长度其中θ为角度，邻边是指与角度θ相邻的边长，斜边是指与角度θ相对的边的斜边长度。
正切函数（tan）正切函数的解析式为：tan(θ) = 对边长度 / 邻边长度其中θ为角度，对边是指与角度θ相对的边长，邻边是指与角度θ相邻的边长。
余切函数（cot）余切函数的解析式为：cot(θ) = 邻边长度 / 对边长度其中θ为角度，邻边是指与角度θ相邻的边长，对边是指与角度θ相对的边长。
正割函数（sec）正割函数的解析式为：sec(θ) = 斜边长度 / 邻边长度其中θ为角度，斜边是指与角度θ相对的边的斜边长度，邻边是指与角度θ相邻的边长。
余割函数（csc）余割函数的解析式为：csc(θ) = 斜边长度 / 对边长度其中θ为角度，斜边是指与角度θ相对的边的斜边长度，对边是指与角度θ相对的边长。
练题1. 求角度为30°时的sin值。
2. 求角度为60°时的cos值。
3. 求角度为45°时的tan值。
4. 求角度为60°时的cot值。
5. 求角度为30°时的sec值。
6. 求角度为45°时的csc值。
答案1. sin(30°) = 1/22. cos(60°) = 1/23. tan(45°) = 14. cot(60°) = 1/√35. sec(30°) = 26. csc(45°) = √2以上为三角函数解析式的基本方法及练习题。
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x y O 12π65π22- 求三角函数解析式常用的方法
三角函数是高中数学的一个重点,而三角函数图象与性质又是其中的难点,学生往往不知如何挖掘出有用的信息,去求A 、ω、φ。
现就几道例题谈谈常用的求解方法。
1 利用五点法，逆求函数解析式
例1．右图所示的曲线是)sin(ϕω+=x A y （0>A ，0>ω）图象的一部分，求这个函数的解析式．
解:由22y -≤≤，得A=2
已知第二个点(,2)12π和第五个点5(,0)6π 35346124T πππ=-= T π∴= 2ω= 把(,2)12π代入，2122ππφ⨯+=得3
πϕ= 所以y=)3
2sin(2π+x 点评：由图像确定解析式，观察图像的特征，形助数寻找“五点法”中的整体点，从而确定初相ϕ。
2 利用图像平移，选准变换过程切入求解
例2下列函数中，图象的一部分如右图所示的是
（ ）
A ．sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B.sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭ C.cos 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D.cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭ 解：从图象看出，
41T =1264
πππ+=，所以函数的最小正周期为π，函数应为y=sin 2x 向左平移了6
π个单位，即sin 2()6y x π=+=sin(2)cos(2)cos(2)3236
x x x ππππ+=-++=-，故选择答案D 。
点评：数形结合，由图像确定周期和初相位后，选准图像平移变换过程切入，
如本题y=sin 2x 向左平移了6π个单位进行验证化简是求解的关键。
对于利用图象的变换来求解函数的解析式，一定要清楚每一种变换对,,A ωϕ的影响，注重整体变量观念的应用。
3 特殊化赋值法求解
例3设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线8π
=x 。
求()y f x =的解析式。
解：对称性特殊赋值切入，8x π=是函数()y f x =的图像的对称轴，()()88f x f x ππ
∴+=- 令8x π=
，则()(0)4f f π=，即sin() =sin cos 2
πϕϕϕ+=，tan 1ϕ∴=。
0πϕ-<<， 34
πϕ∴=- 故3()sin(2)4
y f x x π===- 点评：特殊赋值这是演绎推理的具体表现，特别是利用对称性待定系数时， 更显示出它的价值
4 利用方程组求解 例4：已知函数()cos()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+>≤≤是R 上的奇函数，其图象关于点)0,43(πM 对称，且在区间]3
,0[π上是单调函数。
求函数()y f x =的解析式。
解：由图像过原点和其对称性构建方程组切入，由函数()f x 是R 上的奇函数得(0)cos 0(1)f ϕ==；
由函数()f x 图象关于点)0,43(πM 对称得：33()cos()0(2)44
f ππωϕ=+=； 在()f x 区间[0,]3π上是单调函数得：(3)342||T ππω≤=； 联立（1）（2）（3）组成的方程组结合0,0ωϕπ>≤≤，可解得：243πϕω⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以4()sin()32
f x x π=+。
点评：待定系数法确定周期和初相位，要依据三角函数的解析式的特点，挖掘题设条件，利用对称性和单调性构建方程组，注意方程的个数要等于未知元素的个数，同时不能忽视所给元素范围对结果的影响。
5 利用最值点满足的条件进行求解
例5设函数f (x )=3 2cos x ω+sin ωxcos ωx+a (其中ω＞0,a ∈R ),且f (x )
的图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为6
π.
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）如果f (x )在区间⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-65,3ππ上的最小值为3，求a 的值. 解：利用三角变换，降次辅助角化为一个角的三角函数
1()2sin 2sin 2231 2,.6322
f x x x a x a πωωωπππωω⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭⋅+==（I ）依题意得解之得
)571 ,0, ,sin()1,36362351 (),3621 2a x x x f x ππππππππααα⎡⎤⎡⎤∈-+∈-≤+≤⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦⎡⎤--⎢⎥⎣⎦
-==（II)由（I ）知,f(x)=sin(x+3又当时，故从而在上取得最小值因此，由题设知 点评：关于正弦和余弦的二次齐次式的问题，首先应考虑通过三角恒等变形将函数化为一个角一种函数形式，利用取最值的条件确定表达式，这个过程中蕴含了划归思想。