确定三角函数解析式的五种策略
三角函数求解析式技巧
三角函数求解析式技巧求解析式是指将一个三角函数用一个数学表达式来表示，使得对于给定的自变量值，可以得到函数的具体值。
在数学领域中，有一些常见的技巧可以用来求解三角函数的解析式。
1. 基本关系式：三角函数有着一些基本的关系式，例如：sin^2(x) + cos^2(x) = 1，用于正弦函数和余弦函数的平方和的关系；tan(x) = sin(x)/cos(x)，用于正切函数和正弦函数、余弦函数的关系等。
2. 奇偶性：根据函数的奇偶性可以简化三角函数的解析式。
例如：正弦函数sin(x)是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)；余弦函数cos(x)是偶函数，即cos(-x) = cos(x)；正切函数tan(x)是奇函数，即tan(-x) = -tan(x)。
3. 三角恒等式：三角恒等式是用于描述三角函数之间的等式关系的公式。
其中最常见的三角恒等式包括：和差公式：sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)倍角公式：sin(2a) = 2sin(a)cos(a)cos(2a) = cos^2(a) - sin^2(a)化简同角三角函数：tan(a) = sin(a)/cos(a)cot(a) = cos(a)/sin(a)4. 双曲函数：双曲函数是与三角函数非常相关的一类函数。
其中最常见的双曲函数包括：双曲正弦函数sinh(x) = (e^x - e^(-x))/2双曲余弦函数cosh(x) = (e^x + e^(-x))/2双曲正切函数tanh(x) = sinh(x)/cosh(x)5. 泰勒级数展开：泰勒级数展开是一种通过多项式逼近三角函数的技巧。
泰勒级数展开将一个函数表示为无穷级数的形式，从而可以通过截断级数来获得函数的近似解析式。
例如，正弦函数的泰勒级数展开为：sin(x) = x - (x^3)/3! + (x^5)/5! - (x^7)/7! + ...6. 几何关系：三角函数与几何图形之间存在着密切的关系，通过观察几何图形可以得到一些三角函数的性质。
求三角函数解析式方法总结超全面
求三角函数解析式)sin(ϕω+=x A y 常用的方法全面总结三角函数的解析式是研究三角函数图像与性质的重要依据，也是高中数学教学的重点，也是历年来高考考查的热点，学生往往不知如何挖掘出有用的信息,去求A 、ω、φ。
A （振幅）：A=2-最小值最大值φ+wx ：相位，其中Tw π2=(T 为最小正周期） ϕ：初相，求φ常有代入法、五点法、特殊值法等【一、利用五点法，逆求函数解析式三角函数五点法是三角函数图像绘制的方法，分别找三角函数一个周期内端点与终点两个点，另加周期内一个零点，两个极值点和一共零点，总共五个点第一点，即图像上升时与x 轴的交点，为φ+wx =0 第二点，即图像曲线的最高点，为φ+wx =2π 第三点，即图像下降时与x 轴的交点，为φ+wx =π第四点，即图像曲线的最低点，为φ+wx =23π 第五点，即图像最后一个端点，为φ+wx =π2！例1．右图所示的曲线是)sin(ϕω+=x A y （0>A ，0>ω）图象的一部分，求这个函数的解析式．>例2.是函数π2sin()2y x ωϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象上的一段，则（ ） Ａ．10π116ωϕ==，Ｂ．10π116ωϕ==-， Ｃ．π26ωϕ==，Ｄ．π26ωϕ==-，《例3.函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则A ．4,2πϕπω==B ．6,3πϕπω==C ．4,4πϕπω==D ．45,4πϕπω==|例4、函数()ϕω+=x A y sin 的一个周期内的图象如下图， 求y 的解析式。
（其中 πϕπω<<->>,0,0A ）>…变式练习]1、已知函数)sin(ϕω+=x A y (A >0，ω>0，|ϕ|<π)#2、已知函数)sin(ϕω+=x A y(A >0，ω>0，|ϕ|<π)的图象如图，求函数的解析式。
求三角函数解析式方法总结超全面
求三角函数解析式)sin(ϕω+=x A y 常用的方法全面总结三角函数的解析式是研究三角函数图像与性质的重要依据，也是高中数学教学的重点，也是历年来高考考查的热点，学生往往不知如何挖掘出有用的信息,去求A 、ω、φ。
A （振幅）：A=2-最小值最大值φ+wx ：相位，其中Tw π2=(T 为最小正周期） ϕ：初相，求φ常有代入法、五点法、特殊值法等一、利用五点法，逆求函数解析式三角函数五点法是三角函数图像绘制的方法，分别找三角函数一个周期内端点与终点两个点，另加周期内一个零点，两个极值点和一共零点，总共五个点第一点，即图像上升时与x 轴的交点，为φ+wx =0 第二点，即图像曲线的最高点，为φ+wx =2π 第三点，即图像下降时与x 轴的交点，为φ+wx =π第四点，即图像曲线的最低点，为φ+wx =23π 第五点，即图像最后一个端点，为φ+wx =π2例1．右图所示的曲线是)sin(ϕω+=x A y （0>A ，0>ω）图象的一部分，求这个函数的解析式．例2.是函数π2sin()2y x ωϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象上的一段，则（ ） Ａ．10π116ωϕ==，Ｂ．10π116ωϕ==-， Ｃ．π26ωϕ==，Ｄ．π26ωϕ==-，例3.函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则A ．4,2πϕπω==B ．6,3πϕπω==C ．4,4πϕπω==D ．45,4πϕπω==例4、函数()ϕω+=x A y sin 的一个周期内的图象如下图， 求y 的解析式。
（其中 πϕπω<<->>,0,0A ）变式练习1、已知函数)sin(ϕω+=x A y (A >0，ω>0，|ϕ|<π)2、已知函数)sin(ϕω+=x Ay (A >0，ω>0，|ϕ|<π)的图象如图，求函数的解析式。
三角函数图象解析式的求法
2 ( x).
3
例2.已知f ( x) Asin(x )(其中A, 0, )的部分
图象如下，确定函数解析式.
y
3
O1 3
x
3
例3.下列函数中，图象的一部分如图的是( )
A. y sin( x )
6
C . y cos(4x )
3
B. y sin( 2x )
8
y 2
4
2 sin(
x
)
2 2 2 2 sin( 2 )
84
8
练习： 1已知函数y Asin（x ）（A 0,
0,0 )图像的两个相邻的最值
点为（ ，2）；（2 ， 2），求解析式。
6
3
2已知函数y Asin(x ) b图像
2. 将给定点的坐标代入函数解析式，利
用方程思想确定相关参数（特别
是 ），注意多值的取舍（利用单调 性判断），优先选择最值点。
作业： 配套检测卷 P123
可编辑
求解析式。
y
6
2
3
5
6 x
4
3已知函数y Asin（x ）（| | 的图像
2
求函数的解析式。
y
2
y
1
11
2
12
x
7 3
x
-2
10 20 5
4求函数f（x） Asin（x ） b
的解析式
小结：由图象确定解析式
1. 充分利用图象的几何性质（特别是对称性） 确定正余弦型函数的平衡位置、振幅、周 期等；
函数解析 式
函数图像
利用图像求三角函数解析式
y
3
0 -3
x
y
4 1 0 -2
x
3.函数 y A sin(x （A 0， 0） y ) 的部分图像如图所示，则函数解 3 析式为__________
0 -3
4
2
x
内容： 合作探究 1. 学习中遇到的疑问; 2.导学案“质疑探究”部分的问题.
要求： （1）人人参与，热烈讨论，大声表达自己的思想。 （2）组长控制好讨论节奏，先一对一分层讨论，再小组 内集中讨论。 （3）没解决的问题组长记录好，准备质疑。
知识要点
1.用“五点法”作函数 y A sin(x ) B（A 0， 0） 一 个周期的图像时， x 取那些值? y 2.函数 y A sin(x ) B（A 0， 0），T ， 。 3.函数 y A sin(x ) B（A 0， 0） ，当 y 取得最大值时， 解析式中的 x ；当 y 取得最小值时，解析 式中的 x ；当 y= B时， x 。
三角函数图像反三角函数图像三角函数的图像三角函数图像变换三角函数解析式三角函数图像与性质三角函数图像平移研究三角函数的图像三角函数图像ppt三角函数图像对称轴
利用图像求三角函数解析式
数学组
学习目标
1.掌握函数 y A sin(x ) B（A 0， 0） 中 A, B, , 与图像的关系。 2.掌握如何利用图像求三角函数的解析式。
8
)
) 4.（2009宁夏海南卷理）已知函数 y sin(x （ 0,- ） 的图像如图4所示,则
B. 11 ， - 6
10
C. 2， 6
【高中数学】三角函数中根据图象求解析式的几种方法
【高中数学】三角函数中根据图象求解析式的几种方法已知函数y ＝Asin(ωx+φ)+k(A ＞0，ω＞0)的部分图象，求其解析式，与用“五点法”作函数y ＝Asin(ωx+φ)＋ｋ的图象有着密切联系，最主要的是看图象上的“关键点”与“特殊点”．本文就一般情况例析如下．一、A 值的确定方法：A 等于图象中最高点的纵坐标减去最低点的纵坐标所得差的一半．二、 ω值的确定方法：方法１.在一个周期内的五个“关键点”中，若任知其中两点的横坐标，则可先求出周期Ｔ，然后据ω＝Tπ2求得ω的值． 方法２：“特殊点坐标法”。
特殊点包括曲线与坐标轴的交点、最高点和最低点等。
在求出了A 与φ的值之后，可由特殊点的坐标来确定ω的值．三、 φ值的确定方法：方法１：“关键点对等法”．确定了ω的值之后，把已知图象上五个关键点之一的横坐标代人ωx+φ，它应与曲线ｙ＝sinx 上对应五点之一的横坐标相等，由此可求得φ的值．此法最主要的是找准“对等的关键点”，我们知道曲线y ＝sinx 在区间[0，2π]上的第一至第五个关键点的横坐标依次为0、2π、π、23π、2π,若设所给图象与曲线y=sinx 上对应五点的横坐标为x J (J ＝1,2,3,4,5), 则顺次有ωx 1+φ＝0、 ωx 2+φ＝2π、ωx 3+φ＝π、ωx 4+φ＝23π、ωx 5+φ＝2π,由此可求出φ的值。
方法2：“筛选选项法”，对于选择题，可根据图象的平移方向经过筛选选项来确定φ的值．方法3：“特殊点坐标法”．（与2中的方法2类同）．四、 k 值的确定方法： K 等于图象向上或向下平移的长度，图象上移时k 为正值，下移时k 为负值．另外A 、ω、φ的值还可以通过“解方程（组）法”来求得． 例1.图1是函数ｙ＝2sin （ωx+φ）(ω＞０，φ≤2π)的图象，那么正确的是（ ）Ａ.ω＝1110, φ＝6π Ｂ．ω＝1110, φ＝－6π Ｃ．ω＝２，φ＝6π Ｄ．ω＝２，φ＝－6π, 解：可用“筛选选项法”．题设图象可看作由y ＝2sin ωx 的图象向左平移而得到，所以φ＞0排除B 和D ，由A,C 知φ＝6π；ω值的确定可用“关键点对等法”， 图1因点（1211π,0）是“五点法”中的第五个点，∴ω·1211π+6π＝2π 解得ω＝２， 故选C ．例2.图2是函数y ＝Asin(ωx+φ)图象上的一段,（A ＞0，ω＞0,φ∈（0，2π））,求该函数的解析式．解法一：观察图象易得A ＝2,∴T ＝2×（87π-83π）＝π，∴ω＝ππ2＝2. ∴y ＝2sin(2x+φ).下面用“关键点对等法”来求出 图2φ的值,由2×83π+φ＝π（用“第三点”） 得φ＝4π∴所求函数解析式为y ＝2sin(2x+4π)．说明：若用“第二点”，可由2×8π +φ＝2π求得φ的值；若用“第五点”，可由2×87π+φ＝2π求得φ的值．解法二：由解法一得到T= π，ω=2后，可用“解方程组法”求得φ与A 的值，∵点（0，2）及点（83π，0）在图象上， ∴ Asin φ＝2 (1)1211π1211πxy0 2-XY 2Asin(2×83π+φ)＝0 (2) 由(2)得 φ＝k π-43π(k ∈Z)， 又φ∈（0，2π)， ∴只有K ＝1，得φ＝4π， 代人（1）得A ＝2.∴所求函数解析式为 y ＝2sin(2x+4π)．例3.已知函数y ＝Asin(ωx+φ) (A ＞0，ω＞0, φ＜2π)图象上的一部分如图3所示，则必定有（ ）(A) A=-2 （B ）ω＝1 （C ）φ＝3π（D ）K ＝-2解：观察图象可知 A ＝2,k ＝2. ∴y ＝2sin(ωx+φ)+2 下面用“解方程组法”求φ与ω的值.∵ 图象过点（0，2+3）、（－6π，2） ∴ 2+3=2sin φ+2 图32=2sin(-6πω+φ)+2解得ω＝2，φ＝3π故选C.例4.如图4给出了函数y ＝Asin(ωx+φ)(A ＞0，ω＞0, φ ＜2π)图象的一段，求这个函数的解析式．解：由图象可知 T=2×(4-1)=6,∴ω＝62π＝3π，∴y ＝2sin （3πx +φ)下面用“特殊点坐标法”求φ，∵ 图象过点（1，2）∴2＝2sin(3π×1+φ)， 又 φ ＜2π图４ｘ２＋3ｙ０ ４ 6π-２0 1 4 2xy∴只有φ＝6π∴所求函数解析式为y ＝2sin(3πx +6π).说明：本题φ的值也可由“关键点对等法”来求得，如令3π×1+φ＝2π 或3π×4+φ＝23π等均可求得φ的值．。
三角函数解析式解题策略
的突破三角函数解析式中ϕ已知三角函数图象特征求解析式b x A y ++=)sin(ϕω,这是高考重点考查的一个知识点,是考查三角函数图象和性质的常见题型.其中对ϕ值的确定是难点,对此同学们常常出错,下面我们就这一类问题来探究一下.一、一道单元测试题的探究..)(,,),0,0)(sin(.1的解析式求如下图所示的图像的一部分函数例x f A x A y πϕωϕω<>>+=),2sin(2)(,222,)6(65,2:ϕπππωπππ+=∴===∴=--==x x f T T A 由图象可知解.)32sin(2)322sin(2,3,132,0,,,32,,32,0)32sin(),2sin(2)0,3(:2).32sin(2,3,3sin ,)2sin(2:1πππϕπϕπϕππϕπϕπϕπϕπππϕπϕ+=-=∴==-==∴<∈-=∴∈=+∴=++=-=∴-=∴=+=x y x y k k Z k k Z k k x y x y x y x y 或得或令得令又即代入把点学生单位长度得到个图象向右平移可由的图象由图象可知学生 .,,0)3(,;,,,0)3(2;3,1;,,21:需要对两个解进行验证这就情况之后有上升或下降两种图象经过点响单调性对函数图象的影此种解法忽略了其中一个是增解会得到两个解代入错在取平衡点学生正确则若它有一个左右伸缩变化平移而不是简单的函数图象错在此题中学生点评πππϕωω-=== 二、确定ϕ的几种常用方法：(1)起点法:利用对应点中的第一个零点解题.(2)最值点法:利用图象的最高点或最低点代入解题. (3)五点作图法:利用五点法作图中对应点的方法解题.(4)图象变换法:利用图象变换的方法看待已知图象与函数x y sin =的图象之间的关系进行解题.(5)单调性法:利用平衡点代入,注意点是在递增还是在递减曲线上,从而限制ϕω+x 的范围.).322sin(2,32,0,,,232,,2267,1)67sin(),2sin(2)2,127(,1272653:)(2).322sin(232,032,,,0)3(:)(1ππϕπϕππϕππϕπϕπϕππππππϕϕππ-=∴-==∴<∈+-=∴∈+=+∴=++==+=-=∴-==+∙x y k Z k k Z k k x y x x y 得令又即代入把点最高点最值点法解法解得因此令且为图象的第一个零点在图象上由于点起点法解法 ).322sin(2.32,2,65,03),(,0),65(,0)3(:)(3ππϕωπϕωπϕωπππ-=∴⎪⎩⎪⎨⎧-==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+∙=+∙x y 解得有点作图中的第一点和第三以上两点可作为五点法根据五点法作图原理和由于图象过点五点作图法解法.)(sin ,)322(sin 2,2,)322(sin ,3,2sin ,21sin ,:)(4的图象即为函数的图象得到函数倍坐标变为原来的最后把曲线上各点的纵的图象得到函数个单位长度然后把曲线向右平移的图象得到函数为原来的图象上各点的横坐标变将函数观察图象可知图象变换法解法ϕωπππ+=-=-===x A y x y x y x y x y).322sin(2,32,0,,,322,,232,0)32sin().](22,22[32,,0)3(:)(5ππϕπϕππϕπϕπϕπππππϕππ-=∴-==∴<∈-=∈=+=+∙∈+-∈+∙∴x y k Z k k Z k k Z k k k 得令又解得得由在递增的那段曲线上因为点单调性法解法三、变式训练,加强巩固..)(,),2,0,0()sin()(.1的解析式求如下图所示的图像的一部分其中已知函数变式x f A b x A x f πϕωϕω<>>++=.)3,6(,,,:ϕπω代入求最后将求再由先由图象求出思路分析T b A .1)62sin(2)(,6,2,,26,,223,1)3sin(,)3,6(,1)2sin(2)(,222,)632(2,12)1(3,22)1(3,1,3,:)(++=∴=∴<∈+=∈+=+∴=+++=∴===∴=-∙==-+==--=-ππϕπϕππϕππϕπϕππϕπππωπππx x f Z k k Z k k x x f T T b A 而即得代入上式将点又则最小值为函数的最大值为由图像可知最值点法解.)(.,)sin(代入求解找图象最高点或最低点最值点法最常用是关键的解析式点评：求函数ϕϕωb x A y ++=.)(,)sin()(.2的解析式求所示的图像的一部分如下图已知函数变式x f x A x f ϕω+=思路分析：(起点法)利用对应点中的第一个零点解题.).32sin(33,0)6(2,,)0,6(),2sin(3,222,)6(65,3:)(ππϕϕππϕπππωπππ+=∴==+-∙-+=∴===∴=--==x y x y T T A 解得因此令且为图象的第一个零点在图象上由于点又由图象可知振幅起点法解以上，为我们对三角函数解析式中ϕ的确定，提供了方法、策略，但具体问题仍需具体分析，我们一定要结合题目给定的条件，灵活地选择上述五种解题策略，方能使问题迎刃而解.。
三角函数解析式的求法教师版
第5页（共17页）
令 f (0) = 50sin + 60 = 10 ，得 sin = −1 ；
又 [− ， ] ， 所以 = − ；
2 所以函数 y = 50sin( 2 t − ) + 60 ．
32 故选： C ．
变式 1. 如图, 一个大风车的半径长为 8m , 每12 min 旋转一周, 最低点离地面为 2m . 若风 车翼片从如图所示的点 P0 处按逆时针方向开始旋转,已知点 P0 离地面 6m ，则该翼片的端点 离地面的距离 y(m) 与时间 x(min) 之间的函数关系是
故所得图象对应的函数为 g(x) = sin(2x + ) + 1， 3
则 g(0) = sin(0 + ) +1 = 1 + 3 ，
3
2
故选： A ．
变 式 1 ． 函 数 f (x) = cos(x + )( 0,| | ) 的 部 分 图 象 如 图 所 示 ， 则 函 数 2
A． y = 2sin(1 x + ) 66
B． y = 2sin(1 x − ) 36
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C． y = 2cos(1 x + ) 33
【答案】B
D． y = 2cos(1 x − ) 63
【解答】解：由图象可知，得函数的周期T = 4 (3.5 − 2 ) = 6 ，
3
3
故选： D ．
变式 3．已知函数 f (x) = Asin(x + )(A 0 ， 0 ，| | ) 在一个周期内的简图如图所示， 2
则方程 f (x) = m(m 为常数且1 m 2) 在[0 ， ] 内所有解的和为 ( )