三角函数图像求解析式
由三角函数图像求解析式(适合讲课使用)
图像的变换与对称性
01
平移变换
三角函数图像可以在x轴或y轴方向上平移，而不改变其形状和性质。
例如，正弦函数向右平移a个单位后变为$y=sin(x-a)$。
02
伸缩变换
三角函数图像可以在x轴或y轴方向上伸缩，从而改变其周期和振幅。
例如，正弦函数在x轴方向上伸缩a倍后变为$y=sin(frac{1}{a}x)$。
余弦函数
定义域
全体实数，即$R$。
值域
$[-1,1]$。
周期性
余弦函数具有周期性，最小正 周期为$2pi$。
单调性
在每个周期内，余弦函数在$[0, pi]$上单调递减，在$[pi, 2pi]$
上单调递增。
正切函数
定义域
01
不连续，无周期性。
值域
02
全体实数，即$R$。
单调性
03
正切函数在每一个开区间$(kpi-frac{pi}{2}, kpi+frac{pi}{2})$内
01
1. 绘制直角坐标系
根据解析式的定义域，绘制直角 坐标系。
02
03
2. 确定关键点
3. 绘制图像
根据解析式的值，确定直角坐标 系中的关键点。
根据关键点，绘制三角函数的图 像。
例题三：综合应用题
1. 分析题目
仔细阅读题目，理解题目的要求和条件。
2. 确定解题步骤
根据题目要求，确定解题步骤，包括已知条件的分析、未知条件的推导等。
由三角函数图像求解析式
contents
目录
• 引言 • 三角函数的基本性质 • 三角函数图像的绘制 • 由三角函数图像求解析式的方法 • 实例分析 • 总结与思考
求三角函数解析式方法总结超全面
求三角函数解析式)sin(ϕω+=x A y 常用的方法全面总结三角函数的解析式是研究三角函数图像与性质的重要依据，也是高中数学教学的重点，也是历年来高考考查的热点，学生往往不知如何挖掘出有用的信息,去求A 、ω、φ。
A （振幅）：A=2-最小值最大值φ+wx ：相位，其中Tw π2=(T 为最小正周期） ϕ：初相，求φ常有代入法、五点法、特殊值法等一、利用五点法，逆求函数解析式三角函数五点法是三角函数图像绘制的方法，分别找三角函数一个周期内端点与终点两个点，另加周期内一个零点，两个极值点和一共零点，总共五个点第一点，即图像上升时与x 轴的交点，为φ+wx =0 第二点，即图像曲线的最高点，为φ+wx =2π 第三点，即图像下降时与x 轴的交点，为φ+wx =π第四点，即图像曲线的最低点，为φ+wx =23π 第五点，即图像最后一个端点，为φ+wx =π2例1．右图所示的曲线是)sin(ϕω+=x A y （0>A ，0>ω）图象的一部分，求这个函数的解析式．例2.是函数π2sin()2y x ωϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象上的一段，则（ ） Ａ．10π116ωϕ==，Ｂ．10π116ωϕ==-， Ｃ．π26ωϕ==，Ｄ．π26ωϕ==-，例3.函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则A ．4,2πϕπω==B ．6,3πϕπω==C ．4,4πϕπω==D ．45,4πϕπω==例4、函数()ϕω+=x A y sin 的一个周期内的图象如下图， 求y 的解析式。
（其中 πϕπω<<->>,0,0A ）变式练习1、已知函数)sin(ϕω+=x A y (A >0，ω>0，|ϕ|<π)2、已知函数)sin(ϕω+=x Ay (A >0，ω>0，|ϕ|<π)的图象如图，求函数的解析式。
三角函数图象解析式的求法
2 ( x).
3
例2.已知f ( x) Asin(x )(其中A, 0, )的部分
图象如下，确定函数解析式.
y
3
O1 3
x
3
例3.下列函数中，图象的一部分如图的是( )
A. y sin( x )
6
C . y cos(4x )
3
B. y sin( 2x )
8
y 2
4
2 sin(
x
)
2 2 2 2 sin( 2 )
84
8
练习： 1已知函数y Asin（x ）（A 0,
0,0 )图像的两个相邻的最值
点为（ ，2）；（2 ， 2），求解析式。
6
3
2已知函数y Asin(x ) b图像
2. 将给定点的坐标代入函数解析式，利
用方程思想确定相关参数（特别
是 ），注意多值的取舍（利用单调 性判断），优先选择最值点。
作业： 配套检测卷 P123
可编辑
求解析式。
y
6
2
3
5
6 x
4
3已知函数y Asin（x ）（| | 的图像
2
求函数的解析式。
y
2
y
1
11
2
12
x
7 3
x
-2
10 20 5
4求函数f（x） Asin（x ） b
的解析式
小结：由图象确定解析式
1. 充分利用图象的几何性质（特别是对称性） 确定正余弦型函数的平衡位置、振幅、周 期等；
函数解析 式
函数图像
根据图像求三角函数解析
或y3cos(2x－5)
6
练 习 3 .函 数 yA sin ( x ),(A 0 , 0 ,|| )
的 部 分 图 像 如 图 所 示 ,求 该 函 数 的 解 析 式 。
y2sin(2x) 3
y 2
o 3
5 6
x
-2
例3： 求f(x)=Asin(ωx+φ)+B型的解析式
-2
ππ 42
3π 2
5π 2
7π 2
x
4
例2：如图为y=Asin（ωx+φ）的图象的一段，求其解析式.
练 习 1.函 数 yA sin(x),(A0,0,||)
2 的 图 像 如 图 所 示 ,求 该 函 数 的 解 析 式 。y
3
y3sin(2x) 3
2
3
o
6
x
-3
变 式 .函 数 yA cos(x),(A0,0,||)
巧记·主干知识
突破·重点要点
题型二 由图象求函数y＝ Asin(ωx＋φ)的解析式
例 2 (1)已知函数 f(x)＝2sin(ωx＋
φ)(其中 ω>0，|φ|<π2)的最小正周期是
π，且 f(0)＝ 3，则( )
A.ω＝12，φ＝π6 C.ω＝2，φ＝π6
B.ω＝12，φ＝π3 D.ω＝2，φ＝π3
1.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)+B(ω>0,
|φ|< )的图象的一部分如图所示： （1）求2f(x)的表达式；
（2）试写出f（x）的对称轴方程.
解 （1）由图象可知，函数的最大值M=3，
利用图像求三角函数解析式
y
3
0 -3
x
y
4 1 0 -2
x
3.函数 y A sin(x （A 0， 0） y ) 的部分图像如图所示，则函数解 3 析式为__________
0 -3
4
2
x
内容： 合作探究 1. 学习中遇到的疑问; 2.导学案“质疑探究”部分的问题.
要求： （1）人人参与，热烈讨论，大声表达自己的思想。 （2）组长控制好讨论节奏，先一对一分层讨论，再小组 内集中讨论。 （3）没解决的问题组长记录好，准备质疑。
知识要点
1.用“五点法”作函数 y A sin(x ) B（A 0， 0） 一 个周期的图像时， x 取那些值? y 2.函数 y A sin(x ) B（A 0， 0），T ， 。 3.函数 y A sin(x ) B（A 0， 0） ，当 y 取得最大值时， 解析式中的 x ；当 y 取得最小值时，解析 式中的 x ；当 y= B时， x 。
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利用图像求三角函数解析式
数学组
学习目标
1.掌握函数 y A sin(x ) B（A 0， 0） 中 A, B, , 与图像的关系。 2.掌握如何利用图像求三角函数的解析式。
8
)
) 4.（2009宁夏海南卷理）已知函数 y sin(x （ 0,- ） 的图像如图4所示,则
B. 11 ， - 6
10
C. 2， 6
【高中数学】三角函数中根据图象求解析式的几种方法
【高中数学】三角函数中根据图象求解析式的几种方法已知函数y ＝Asin(ωx+φ)+k(A ＞0，ω＞0)的部分图象，求其解析式，与用“五点法”作函数y ＝Asin(ωx+φ)＋ｋ的图象有着密切联系，最主要的是看图象上的“关键点”与“特殊点”．本文就一般情况例析如下．一、A 值的确定方法：A 等于图象中最高点的纵坐标减去最低点的纵坐标所得差的一半．二、 ω值的确定方法：方法１.在一个周期内的五个“关键点”中，若任知其中两点的横坐标，则可先求出周期Ｔ，然后据ω＝Tπ2求得ω的值． 方法２：“特殊点坐标法”。
特殊点包括曲线与坐标轴的交点、最高点和最低点等。
在求出了A 与φ的值之后，可由特殊点的坐标来确定ω的值．三、 φ值的确定方法：方法１：“关键点对等法”．确定了ω的值之后，把已知图象上五个关键点之一的横坐标代人ωx+φ，它应与曲线ｙ＝sinx 上对应五点之一的横坐标相等，由此可求得φ的值．此法最主要的是找准“对等的关键点”，我们知道曲线y ＝sinx 在区间[0，2π]上的第一至第五个关键点的横坐标依次为0、2π、π、23π、2π,若设所给图象与曲线y=sinx 上对应五点的横坐标为x J (J ＝1,2,3,4,5), 则顺次有ωx 1+φ＝0、 ωx 2+φ＝2π、ωx 3+φ＝π、ωx 4+φ＝23π、ωx 5+φ＝2π,由此可求出φ的值。
方法2：“筛选选项法”，对于选择题，可根据图象的平移方向经过筛选选项来确定φ的值．方法3：“特殊点坐标法”．（与2中的方法2类同）．四、 k 值的确定方法： K 等于图象向上或向下平移的长度，图象上移时k 为正值，下移时k 为负值．另外A 、ω、φ的值还可以通过“解方程（组）法”来求得． 例1.图1是函数ｙ＝2sin （ωx+φ）(ω＞０，φ≤2π)的图象，那么正确的是（ ）Ａ.ω＝1110, φ＝6π Ｂ．ω＝1110, φ＝－6π Ｃ．ω＝２，φ＝6π Ｄ．ω＝２，φ＝－6π, 解：可用“筛选选项法”．题设图象可看作由y ＝2sin ωx 的图象向左平移而得到，所以φ＞0排除B 和D ，由A,C 知φ＝6π；ω值的确定可用“关键点对等法”， 图1因点（1211π,0）是“五点法”中的第五个点，∴ω·1211π+6π＝2π 解得ω＝２， 故选C ．例2.图2是函数y ＝Asin(ωx+φ)图象上的一段,（A ＞0，ω＞0,φ∈（0，2π））,求该函数的解析式．解法一：观察图象易得A ＝2,∴T ＝2×（87π-83π）＝π，∴ω＝ππ2＝2. ∴y ＝2sin(2x+φ).下面用“关键点对等法”来求出 图2φ的值,由2×83π+φ＝π（用“第三点”） 得φ＝4π∴所求函数解析式为y ＝2sin(2x+4π)．说明：若用“第二点”，可由2×8π +φ＝2π求得φ的值；若用“第五点”，可由2×87π+φ＝2π求得φ的值．解法二：由解法一得到T= π，ω=2后，可用“解方程组法”求得φ与A 的值，∵点（0，2）及点（83π，0）在图象上， ∴ Asin φ＝2 (1)1211π1211πxy0 2-XY 2Asin(2×83π+φ)＝0 (2) 由(2)得 φ＝k π-43π(k ∈Z)， 又φ∈（0，2π)， ∴只有K ＝1，得φ＝4π， 代人（1）得A ＝2.∴所求函数解析式为 y ＝2sin(2x+4π)．例3.已知函数y ＝Asin(ωx+φ) (A ＞0，ω＞0, φ＜2π)图象上的一部分如图3所示，则必定有（ ）(A) A=-2 （B ）ω＝1 （C ）φ＝3π（D ）K ＝-2解：观察图象可知 A ＝2,k ＝2. ∴y ＝2sin(ωx+φ)+2 下面用“解方程组法”求φ与ω的值.∵ 图象过点（0，2+3）、（－6π，2） ∴ 2+3=2sin φ+2 图32=2sin(-6πω+φ)+2解得ω＝2，φ＝3π故选C.例4.如图4给出了函数y ＝Asin(ωx+φ)(A ＞0，ω＞0, φ ＜2π)图象的一段，求这个函数的解析式．解：由图象可知 T=2×(4-1)=6,∴ω＝62π＝3π，∴y ＝2sin （3πx +φ)下面用“特殊点坐标法”求φ，∵ 图象过点（1，2）∴2＝2sin(3π×1+φ)， 又 φ ＜2π图４ｘ２＋3ｙ０ ４ 6π-２0 1 4 2xy∴只有φ＝6π∴所求函数解析式为y ＝2sin(3πx +6π).说明：本题φ的值也可由“关键点对等法”来求得，如令3π×1+φ＝2π 或3π×4+φ＝23π等均可求得φ的值．。
由三角函数图象求解析式
已知函数()f x =Acos(x ωϕ+)的图象如图所示，2()23f π=-，则(0)f =（ ） （A ）23-(B) 23 (C)－ 12 (D) 12【解析】选B.由图象可得最小正周期为2π3，于是f(0)＝f(2π3),注意到2π3与π2关于7π12对称，所以f(2π3)＝－f(π2)＝23.如果函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π⎛⎫⎪⎝⎭，0中心对称，那么||ϕ的最小值 为（ ） （A ）6π （B ）4π （C ）3π (D) 2π【解析】选A. Q 函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π⎛⎫⎪⎝⎭，0中心对称 4232k ππφπ∴⋅+=+13()6k k Z πφπ∴=-∈由此易得min ||6πφ=. 已知函数y=sin （ωx+ϕ）（ω>0, -π≤ϕ<π）的图像如图所示，则 ϕ=________________【解析】由图可知，()544,,2,1255T x πωπϕ⎛⎫=∴=+ ⎪⎝⎭把代入y=sin 有： 89,510ππϕϕ⎛⎫+∴= ⎪⎝⎭1=sin已知函数()2sin()f x x ωφ=+的图像如图所示，则712f π⎛⎫=⎪⎝⎭。
【解析】由图象知最小正周期T ＝32（445ππ-）＝32π＝ωπ2，故ω＝3，又x ＝4π时，f （x ）＝0，即2φπ+⨯43sin(）＝0，可得4πφ=，所以，712f π⎛⎫=⎪⎝⎭2)41273sin(ππ+⨯＝0。
）已知函数()sin(),f x A x x R ωϕ=+∈（其中0,0,02A πωϕ>><<）的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为2π，且图象上一个最低点为2(,2)3M π-.(Ⅰ)求()f x 的解析式； （Ⅱ）当[,]122x ππ∈，求()f x 的值域.【解析】（1）由最低点为2(,2)3M π-得A=2.由x 轴上相邻的两个交点之间的距离为2π得2T =2π，即T π=，222T ππωπ===由点2(,2)3M π-在图像上得242sin(2)2,)133ππϕϕ⨯+=-+=-即sin(故42,32k k Z ππϕπ+=-∈ 1126k πϕπ∴=- 又(0,),,()2sin(2)266f x x πππϕϕ∈∴==+故（2）7[,],2[,]122636x x πππππ∈∴+∈Q 当26x π+=2π，即6x π=时，()f x 取得最大值2；当7266x ππ+=即2x π=时，()f x 取得最小值-1，故()f x 的值域为[-1,2]把函数y ＝cos(3x ＋4π)的图象适当变动就可以得到y ＝sin(－3x )的图象，这种变动可以是( )A.向右平移4π B.向左平移4π C.向右平移12π D.向左平移12π分析：三角函数图象变换问题的常规题型是：已知函数和变换方法，求变换后的函数或图象，此题是已知变换前后的函数，求变换方式的逆向型题目，解题的思路是将异名函数化为同名函数，且须x 的系数相同.解：∵y ＝cos(3x ＋4π)＝sin(4π－3x )＝sin ［－3(x －12π)］∴由y ＝sin ［－3(x -12π)］向左平移12π才能得到y ＝sin(－3x )的图象.答案：D4.将函数y ＝f (x )的图象沿x 轴向右平移3π，再保持图象上的纵坐标不变，而横坐标变为原来的2倍，得到的曲线与y ＝sin x 的图象相同，则y ＝f (x )是( )＝sin(2x ＋3π) ＝sin(2x －3π) ＝sin(2x ＋32π) ＝sin(2x －32π)分析：这是三角图象变换问题的又一类逆向型题，解题的思路是逆推法.解：y ＝f (x )可由y ＝sin x ，纵坐标不变，横坐标压缩为原来的1/2，得y =sin2x ;再沿x 轴向左平移3π得y ＝sin2(x ＋3π)，即f (x )＝sin(2x ＋32π).若函数f (x )＝sin2x ＋a cos2x 的图象关于直线x ＝－8π对称，则a ＝–1. 分析：这是已知函数图象的对称轴方程，求函数解析式中参数值的一类逆向型题，解题的关键是如何巧用对称性.解：∵x 1＝0，x 2＝－4π是定义域中关于x ＝－8π对称的两点 ∴f (0)＝f (－4π) 即0＋a ＝sin(－2π)＋a cos(－2π)∴a ＝－1若对任意实数a ，函数y ＝5sin(312+k πx －6π)(k ∈Ｎ)在区间［a ，a ＋3］上的值45出现不少于4次且不多于8次，则k 的值是( )或4 或3分析：这也是求函数解析式中参数值的逆向型题，解题的思路是：先求出与k 相关的周期T 的取值范围，再求k .解：∵T ＝3)3(,1263122=-++=+a a k k ππ又因每一周期内出现45值时有2次，出现4次取2个周期，出现45值8次应有4个周期.∴有4T ≥3且2T ≤3即得43≤T ≤23，∴43≤126+k ≤23 解得23≤k ≤27，∵k ∈Ｎ，∴k ＝2或3.巧求初相角求初相角是高中数学学习中的一个难点，怎样求初相角初相角有几个下面通过错解剖析，介绍四种方法.如图，它是函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)(A ＞0，ω＞0)，｜ϕ｜＜π的图象，由图中条件，写出该函数解析式. 错解： 由图知：A ＝5由23252πππ=-=T 得T ＝3π，∴ω＝T π2＝32∴y ＝5sin(32x ＋ϕ)将(π，0)代入该式得：5sin(32π＋ϕ)＝0由sin(32π＋ϕ)＝0，得32π＋ϕ＝k πϕ＝k π－32π(k ∈Z )∵｜ϕ｜＜π，∴ϕ＝－32π或ϕ＝3π∴y ＝5sin(32x －32π)或y ＝5sin(32x ＋3π)分析：由题意可知，点(4π，5)在此函数的图象上，但在y ＝5sin(32x －32π)中，令x ＝4π，则y ＝5sin(6π－32π)＝5sin(－2π)＝－5，由此可知：y ＝5sin(32x －32π)不合题意.那么，问题出在哪里呢我们知道，已知三角函数值求角，在一个周期内一般总有两个解，只有在限定的范围内才能得出惟一解.正解一：(单调性法)∵点(π，0)在递减的那段曲线上∴32π＋ϕ∈［2π＋2k π，32π＋2k π］(k ∈Z ) 由sin(32π＋ϕ)＝0得32π＋ϕ＝2k π＋π∴ϕ＝2k π＋3π(k ∈Z )∵｜ϕ｜＜π，∴ϕ＝3π正解二：(最值点法)将最高点坐标(4π，5)代入y ＝5sin(32x ＋ϕ)得5sin(6π＋ϕ)＝5∴6π＋ϕ＝2k π＋2π ∴ϕ＝2k π＋3π (k ∈Z )取ϕ＝3π正解三：(起始点法)函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象一般由“五点法”作出，而起始点的横坐标x 正是由ωx +ϕ=0解得的，故只要找出起始点横坐标x 0,就可以迅速求得角ϕ.由图象求得x 0=-2x,∴ϕ=-ωx 0=-32 (-2π)=3π. 正解四：(平移法)由图象知，将y =5sin(32x )的图象沿x 轴向左平移2π个单位，就得到本题图象，故所求函数为y ＝5sin 32(x ＋2π)，即y ＝5sin(32x ＋3π).【基础知识精讲】1.用五点法作y=Asin(ωx+φ)(ω＞0)的图像时，我们采用换元法，将ωx+φ看成y=sinx 中的x ，模仿y=sinx 的五点法来作.ωx 1+φ=0⇒x 1=-ωΦ,ωx 2+φ=2π⇒x 2=ωπΦ-2ωx 3=π⇒x 3=ωπΦ-,ωx 4+φ=23π⇒x 4=ωπΦ-23,ωx 5+φ=2π⇒x 5=ωπΦ-2.即五点(-ωΦ,0),(ωπΦ-2,A),( ωπΦ-,0).(ωπΦ-23,-A).(ωπΦ-2,0)2.函数y=Asin(ωx+φ)的图像与y=sinx 的图像关系.(1)振幅变换函数y=Asinx(A ＞0,且A ≠1)的图像，可以看作是y=sinx 图像上所有点的纵坐标伸长(A ＞1)或缩短(0＜A ＜1)到原来的A 倍(横坐标不变)而得到的.这种变换叫振幅变换，它实质上是纵向的伸缩.(2)周期变换函数y=sin ωx(ω＞0,且ω≠1)的图像，可以看作是把y=sinx 的图像上各点的横坐标都缩短(ω＞1)或伸长(0＜ω＜1)到原来的ω1倍(纵坐标不变)而得到的，由y=sinx 的图像变换为y=sin ωx 的图像，其周期由2π变ωπ2.这种变换叫做周期变换.它实质上是横向的伸缩.(3)相位变换函数y=sin(x+φ)(φ≠0)的图像，可以看作是把y=sinx 的图像上各点向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移｜φ｜个单位而得到的.这种由y=sinx 的图像变换为y=sin(x+φ)的图像的变换，使相位x 变为x+φ,我们称它为相位变换.它实质上是一种左右平移变换.应用振幅变换、周期变换、相位变换(左右平移变移)和上下平移变换可由y=sinx 的图像得到y=Asin(ωx+φ)+k 的图像.事实上，设f 、t 、h 分别表示相位变换，周期变换，振幅变换，则变换作图法共有以下不同的程序.(1)f →t →h;(2)f →g →t(3)t →h →f;(4)t →f →h;(5)h →f →t;(6)h →t →f=Asin(ωx+φ)(A ＞0，ω＞0)与振动在物理学中，y=Asin(ωt+φ)(A ＞0,ω＞0),其中t ∈［0，+∞)，表示简谐振动的运动方程.这时参数A ，ω，φ有如下物理意义.A 称为振幅，它表示振动时物体离开平衡位置的最大距离.T=ωπ2称为周期，它表示振动一次所需的时间(亦即函数y 的最小正周期).f=T = π2称为振动的频率，它表示单位时间内往复振动的次数，ωt+φ叫做相位，当t=0时的相位，即φ称为初相.4.函数图像的对称变换一个函数的图像经过适当的变换(例如对称、平移、伸缩等)得到与其图像有关函数的图像，叫做函数的初等变换.前面的平移、伸缩变换均属初等变换. 对称变换主要指下面几种：(1)函数y=-f(x)的图像与y=f(x)的图像关于x 轴对称. (2)函数y=f(-x)的图像与y=f(x)的图像关于y 轴对称. (3)函数y=f(-x)的图像与y=-f(x)的图像关于原点对称.(4)函数y=f -1(x)(或x=f(y))的图像与y=f(x)的图像关于直线y=x 对称. 【重点难点解析】重点：用“五点法”画函数y=Asin(ωx+φ)的简图及三角函数的图像变换. 难点：三角函数的图像变换.即由y=sinx 的图像变换到y=Asin(ωx+φ)的过程. 关键：理解A 、ω、φ的对图像变化所起的作用.例1 函数y=3cos(2x -4π)的图像可以由y=sinx 的图像经过怎样的变换得到 解：y=3cos(2x -4π)=3sin ［2π+( 2x -4π)］=3sin(2x +4π).先将y=sinx 的图像向右平移4π个单位，得到y 1=sin(x+4π)的图像.再将y 1的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y 2=sin(2x +4π)的图像.再将y 2的图像上各点的纵坐标伸长到原来的3倍，就得到所求函数的图像.评析：这种图像变换的顺序通常是先作相位变换，再作周期变换，最后作振幅变换.本题中若将相位变换与周期变换的顺序交换，得到的结果将是y=3sin(2x +8π)而不是y=3sin(2+4).例2用五点法作出函数y=4sin(2x+3π)在一个周期内的简图.解：函数y=4sin(2x+3π)的振幅A=4，周期T=4π,令2x+3π=0,得初始值x0=-32π(初始值指图像由x轴下方向上经过x轴时的横截距).列表：2x+3π02ππ23π2πx-32π3π34π37π310πy040-40评注：注意到五点的横坐标是从x0开始，每次增加周期的4，即x i=x i-1+4(i=1,2,3,4)可简化x的五个值的运算.例3设三角函数f(x)=sin(5kx+3π)(k≠0).(1)写出f(x)的最大值M，最小值m和最小正周期T；(2)试求最小正整数k，使得当自变量x在任意两个整数间(包括整数本身)变化时，函数f(x)至少有一个值是M，一个值是m.解：(1)M=1,m=-1,T=52kπ=kπ10.(2)f(x)在它的每一个周期中都恰好有一个值是M 与一个值是m ，而任意两个整数间的距离都≥1，因此要使任意两个整数间函数f(x)至少有一个值是M 与一个值m ，必须且只须f(x)的周期≤1，即kπ10≤1,｜k ｜≥10π=,可见，k=32就是这样的最小整数.例4 已知正弦数y=Asin(ωx+φ)(其中A ＞0，ω＞0)的一个周期的图像如图所示，试求函数的解析式.分析：求函数的解析式，就是确定解析式中A ，ω，φ的值.由图像中三个已知点的坐标列出A ，ω，φ的方程组求解.若令X=ωx+φ,要注意x 0=-25π是初始值，对应于X=0,x=-π时对应于X=π.∴函数解析式为y=2sin(32x+35π).【难题巧解点拔】例1 指出将y=sinx 的图像变换为y=sin(2x+3π)的图像的两种方法.思路1 x →2x →2(x+6π)=2x+3π.解法 1 y=sinx 纵坐标不变横坐标缩短为原来的−−−−−−−−−−→−21y=sin2x −−−−−−−→−π单位向左平移6y=sin［2(x+6π)］=sin(2x+3π).思路2 x →x+3π→2x+3π.解法2y=sinx−−−−−−−→−π单位向左平移3y=sin(x+3π)纵坐标不变横坐标缩短为原来的−−−−−−−−−−→−21y=sin(2x+3π).说明：在解法1中，先伸缩，后平移.在解法2中，先平移，后伸缩.表面上看来，两种变换方法中的平移是不同的(即6π和3π)，但由于伸缩变换的影响，所以实质上都是一致的.例2 函数f(x)的横坐标伸长到原来的两倍，再向左平移2π个单位，所得到的曲线是y=21sinx 的图像，试求函数y=f(x)的解析式.分析：这个问题有两种解法，一是考虑以上变换的“逆变换”(所谓“逆变换”，即将以上变换倒过来，由y=21sinx 变换到y=f(x);二是代换法，即设y=Asin(ωx+φ),然后按题设中的变换分两步得：y=Asin ［2ω(x+2π)+φ］,它就是y=21sinx ，即可求得A 、ω、φ的值.解法1：问题即是将y=21sinx 的图像先向右平移2π个单位，得y=21sin(x-2π);再将横坐标压缩到原来的21，得y=21sin(2x-2π),即y=-21cos2x.这就是所求函数f(x)的解析式.例2 已知正弦函数y=Asin(ωx+φ)的一段曲线(如下图)，试求解析式.解：(1)因为A=3，T=π,ω=2,φ=-ωx 0=-2(-52π)=54π,所以y=3sin(2x+54π).(2)A=2,当x=0时，y=1,所以2sin φ=1,又｜φ｜＜2π，所以φ=4π,当x=1211π时，y=0，即2sin(ω·1211π+4π)=0,所以ω=1121,所以y=2sin(1121x+4π).评析：若已知曲线与x 轴的交点的坐标，先确定ω=T π2；若已知曲线与y 轴的交点的坐标，先确定φ；若先确定ω则有φ=-ωx 0,其中x 0是离y 轴最近的递增区间的中心点的横坐标.1.如图，是正弦函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0)的一个周期的图像.(1)写出f(x)的解析式；(2)若g(x)与f(x)的图像关于直线x=2对称，写出g(x)的解析式.2.试说明y=cosx 的图像经怎样的变换可得到y=3cos(3x+2π)+1的图像3.已知y=Asin(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0,0＜φ＜π)的最小正周期为32π，最小值为-2，且过点(95π，0)，求它的表达式.1.已知f(x)=Asin(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0,｜φ｜＜2π)的图像在y 轴上的截距为1，它在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x 0，2)和(x 0+3π，-2).(Ⅰ)求f(x)的解析式；(Ⅱ)y=f(x)的图像上所有点的横坐标缩短到原来的31(纵坐标不变)，然后再将所得图像向x 轴正方向平移3个单位，得到函数y=g(x)的图像.写出函数y=g(x)的解析式并用列表作图的方法画出y=g(x)在长度为一个周期的闭区间上的图像.例2 右图为某三角函数图像的一段（1）试用y=Asin （ωx+φ)型函数表示其解析式；（2）求这个函数关于直线x=2π对称的函数解析式． 解：（1）T= 13π3－ π3 =4π． ∴ω=2πT = 12 ．又A=3，由图象可知所给曲线是由y=3sin x 2沿x 轴向右平移 π3而得到的．∴解析式为 y=3sin 12 (x －π3)．(2)设（x ，y)为y=3sin(12 x －π6 ）关于直线x=2π对称的图像上的任意一点，则该点关于直线x=2π的对称点应为（4π－x ，y)，故与y=3sin(12 x －π6）关于直线x=2π对称的函数解析式是y=3sin ［12（4π－x)－ π6］=－3sin(12 x ＋π6）．点评 y=sin(ωx+φ)(ω＞0)的图象由y=sin ωx 的图象向左平移（φ＞0）或向右平移（φ＜0）|φ|ω个单位．特别要注意不能搞错平移的方向和平移的单位数量．求一个函数的图象关于一条直线对称图象的函数解析式时，要注意解几知识的运用．例1 求函数f(x)=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2x 的最大值，并求出此时x 的值． 分析 由于f （x ）的表达式较复杂，需进行化简．解 y=sin 2x+cos 2x+sin2x+1+cos2x=sin2x+cos2x+2= 2 sin(2x+π4)+2当2x+π4=2k π+π2， 即x=k π+π8 (k ∈Z)时，y max =2 +2 ． 点评 要熟练掌握y=asinx+bcosx 类型的三角函数最值的求法，asinx+bcosx= a 2+b 2 sin （x+φ）．例2 若θ∈［－π12, π12］，求函数y=cos(π4+θ）+sin2θ的最小值．分析 在函数表达式中，含有两个角和两个三角函数名称，若能化成含有一个角和一个三角函数名称的式子，则问题可得到简化．解 y=cos(π4+θ)－cos ［2(θ+π4)］=cos(π4+θ)－［2cos 2(θ+π4)－1］=－2cos 2(θ+π4)+cos(π4+θ)+1 =－2［cos 2(θ+π4)－12cos(θ+π4)］+1=－2［cos(θ+π4)－14］2+98 ．∵θ∈［－π12, π12］， ∴θ＋π4∈［π6，π3］．∴12≤cos(θ+π4)≤ 3 2， ∴y 最小值 = 3 －12 ．点评 （1）三角函数表达式转化成一个角的一个三角函数的形式（即f(sinx)或g(cosx))，是常见的转化目标；（2）形如y=f(sinx)或y=g(cosx)的最值，常运用sinx ，cosx 的有界性，通过换元转化成y=at 2+bt+c 在某区间上的最值问题；（3）对于y= Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的最值的求法，应先求出t=ωx+φ的值域，然后再由y=Asint 和y=Acost 的单调性求出最值．例3 试求函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的最大值和最小值．分析 由于sinx+cosx 与sinxcosx 可以相互表示，所以令sinx+cosx=t ，则原三角函数的最值问题转化成y=at 2+bt+c 在某区间上的最值问题．解 令t=sinx+cosx ，则y=t+t 2+1=(t+12)2+34，且t ∈［－ 2 ， 2 ］，∴y min =34 ，y max =3+ 2 ．点评 注意sinx+cosx 与sinxcosx 的关系，运用换元法将原三角函数的最值问题转化成y=at 2+bt+c 在某个区间上的最值问题．【知能集成】较复杂的三角函数的最值问题，往往通过需要恒等变形，转化成形如y=f(sinx)或y=g(cosx)型或y= Asin(ωx+φ)+k 型的三角函数的最值问题，运用三角函数的有界性、单调性求三角函数的最值．用换元法解题，特别要注意sinx+tcosx 与sinxcosx 的关系，令sinx+cosx=t ，则sinxcosx=t 2－12 ．y=sinxcosx+sinx+cosx ，求x ∈［0， π3］时函数y 的最大值。
三角函数解析式的求法教师版
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令 f (0) = 50sin + 60 = 10 ，得 sin = −1 ；
又 [− ， ] ， 所以 = − ；
2 所以函数 y = 50sin( 2 t − ) + 60 ．
32 故选： C ．
变式 1. 如图, 一个大风车的半径长为 8m , 每12 min 旋转一周, 最低点离地面为 2m . 若风 车翼片从如图所示的点 P0 处按逆时针方向开始旋转,已知点 P0 离地面 6m ，则该翼片的端点 离地面的距离 y(m) 与时间 x(min) 之间的函数关系是
故所得图象对应的函数为 g(x) = sin(2x + ) + 1， 3
则 g(0) = sin(0 + ) +1 = 1 + 3 ，
3
2
故选： A ．
变 式 1 ． 函 数 f (x) = cos(x + )( 0,| | ) 的 部 分 图 象 如 图 所 示 ， 则 函 数 2
A． y = 2sin(1 x + ) 66
B． y = 2sin(1 x − ) 36
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C． y = 2cos(1 x + ) 33
【答案】B
D． y = 2cos(1 x − ) 63
【解答】解：由图象可知，得函数的周期T = 4 (3.5 − 2 ) = 6 ，
3
3
故选： D ．
变式 3．已知函数 f (x) = Asin(x + )(A 0 ， 0 ，| | ) 在一个周期内的简图如图所示， 2
则方程 f (x) = m(m 为常数且1 m 2) 在[0 ， ] 内所有解的和为 ( )
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：
已知sin()cos()y A x B y A x B ωϕωϕ=++=++或图像求解析式
1. 利用最值求A ，B . 当 A>0时 =最大值=A+B 最小值-A+B 当 A<0时 =最大值=-A+B 最小值A+B
2. 利用最高点、最低点、零点中的两个点的横坐标之差求出周期，再利用2||
T π
ω=
求ω。
3. 利用五个特殊点求ϕ,或代入y 轴上的点求ϕ.
例1、如图，直线
2230x y +-=经过函数 si ()()n f x x ωϕ=+（0ω>，||ϕπ<）图象的最高点 M 和最低点 N ，则（ ） A 、2
π
ω=
，4
π
ω=
B 、ωπ=， 0ϕ=
C 、2
π
ω=，4
π
ϕ=-
D 、ωπ=， 2
π
ϕ=
例2、
1.【2015新课标1】8、函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图
所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）
（A ）13(,),44k k k Z ππ-
+∈ （B ）13
(2,2),44k k k Z ππ-+∈ （C ）13(,),44k k k Z -+∈ （D ）13
(2,2),44
k k k Z -+∈
2.(2016·全国卷2文)3函数y=Asin (ωx+φ)的部分图象如图所示,则 ( )
A.y=2sin π2x 6⎛
⎫-
⎪⎝⎭ B.y=2sin π2x 3⎛⎫
- ⎪⎝
⎭ C.y=2sin πx+6⎛⎫
⎪⎝
⎭
D.y=2sin πx+3
⎛⎫ ⎪⎝
⎭
3．（2013
年高考大纲卷（文））若函数
()()sin 0=y x ωϕωω=+>的部分图像如图，则
（ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
4. (2015·陕西高考理科·T3)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin(x+φ)+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为( ) A.5 B.6 C.8 D.10
5.已知函数
()()()
2sin 0,f x x ωϕωϕπ=+><的部分图象如图所示，已知点
(
)0,3
A ，
,06B π⎛⎫
⎪⎝⎭，若将它的图象向右平移6
π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则函数()
g x
的图象的一条对称轴方程为( )
A.4x π
=
B.
3x π
=
C.
23x π=
D.
12x π
=。