5.2 三角函数的概念(解析版).docx

5.2 三角函数的概念A 组-[应知应会]1．（2020·周口市中英文学校高一期中）已知角α终边经过点122P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,则cos α=（ ）A ．12B C D ．12±【参考答案】B【解析】由于1,r OP x ===,所以由三角函数的定义可得cos x r α==,应选参考答案B ．2．（2019·渝中·重庆巴蜀中学高一期末）若cos 0θ<,cos sin θθ-=那么θ的（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角【参考答案】C【解析】由题意得sin cos θθ==-, 即cos sin sin cos θθθθ-=-,所以sin θcos θ0,即sin cos θθ≤,又cos 0θ<,所以sin 0,θ<θ位于第三象限,故选C.3．若α为第二象限角,则下列各式恒小于零的是（ ） A ．sin cos αα+ B ．tan sin αα+C ．cos tan αα-D ．sin tan αα-【参考答案】B【分析】画出第二象限角的三角函数线,利用三角函数线判断出sin tan 0αα+<,由此判断出正确选项.【解析】如图,作出sin ,cos ,tan ααα的三角函数线,显然~OPM OTA ∆∆,且MP AT <,∵0MP >,0AT <,∴MP AT <-．∴0MP AT +<,即sin tan 0αα+<.故选B.4．若角α的终边经过点()()sin 780,cos 330P ︒-︒,则sin α=（ ）A B ．12C D ．1【参考答案】C【分析】利用诱导公式化简求得P 点的坐标,在根据三角函数的定义求得sin α的值.【解析】因为()sin 780sin 236060sin 60︒=⨯︒+︒=︒=()()cos 330cos 36030cos30-︒=-︒+︒=︒=,所以22P ⎛ ⎝⎭,所以sin α=故选C. 5．（2019·江苏崇川·南通一中高一期中）已知()P y 为角β的终边上的一点,且sin β=则2222sin sin cos βββ=-（ ） A ．12± B ．211-CD ．2±【参考答案】B【分析】利用三角函数的定义列方程,解方程求得y 的值,进而求得tan β的值,将所求表达式转化为只含tan β的形式,由此求得表达式的值.【解析】因为r ==解得12y =或12y (舍去),所以1tan 6β==-,所以222222222sin 2tan 2sin cos tan 1111βββββ⎛⨯ ⎝⎭===---⎛- ⎝⎭,故选B. 6．已知1sin 1cos 3x x +=-,则cos sin 1xx -的值为（ ）A ．13 B ．13-C ．3D ．3-【参考答案】A【分析】令cos sin 1x t x =-,利用1sin sin 11cos cos x x x x +-⋅=-列方程,解方程求得t 的值,也即求得cos sin 1xx -的值.【解析】令cos sin 1x t x =-,则1sin sin 1111cos cos 33x x x x t t +-⋅=-⋅=-,∴22sin 11cos 3x x t-=-,∴113t =,∴13t =.故选A. 7．（2019·涟水县第一中学高一月考）下列说法中正确的有（ ） A ．正角的正弦值是正的,负角的正弦值是负的,零角的正弦值是零B ．若三角形的两内角,αβ满足sin cos 0αβ⋅<,则此三角形必为钝角三角形C ．对任意的角α,都有sin cos sin cos αααα+=+D ．对任意角,2k k Z παα⎛⎫≠∈ ⎪⎝⎭,都有11tan tan tan tan αααα+=+ 【参考答案】BD【分析】对于选项A,利用正角和负角的正弦值都可正、可负判断得解；对于选项B,分析得到cos 0β<,得到三角形是钝角三角形；对于选项C, 当sin α,cos α异号时,等式不成立；对于选项D,根据tan α,1tan α的符号相同判断得解. 【解析】对于A,正角和负角的正弦值都可正、可负,故A 错误；对于B,∵sin cos 0αβ⋅<,(),0,αβπ∈,∴sin 0α>,cos 0β<,即,2πβπ⎛⎫∈⎪⎝⎭,∴三角形必为钝角三角形,故B 正确； 对于C,当sin α,cos α异号时,等式不成立,故C 错误；对于D,∵tan α,1tan α的符号相同,∴11tan tan tan tan αααα+=+,故D 正确.因此正确的有B,D. 故选BD8．已知1sin 4α=,且,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则2sin 2cos αα-=________. 【参考答案】138-【分析】先利用同角三角函数的基本关系式求得cos α的值,进而求得表达式的值.【解析】由已知得cos 4α==-,所以22113sin 2cos 248αα⎛-=-⨯=- ⎝⎭. 故填：138-. 9．化简（α为第二象限角）=_________.【参考答案】tan α【分析】利用同角三角函数的基本关系式,结合角α终边所在象限进行化简.【解析】原式=11sin cos cos ααα+=+-tan α=.故填：tan α.10．已知cos cos θθ=-且0tan θ<,则代数式()sin cos lg θθ-_______0.（填“＞”“＜”） 【参考答案】>【分析】根据题目已知条件判断出θ终边所在现象,由此求得sin cos 1θθ->,进而判断出所填写的不等号. 【解析】由|cos |cos θθ=-,得0cos θ≤,又∵tan 0θ<,角θ的终边在第二象限,即π2ππ2π2k k θ+<<+,ππ3π2π2π444k k θ+<-<+,∴(πsin cos 4θθθ⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭,∴lg(sin cos )0θθ->. 故填：>.11．若sin 2cos αα-=,则2tan 1α-=________.【参考答案】34-【分析】将sin 2cos αα-=,由此求得tan α的值,进而求得所求表达式的值.【解析】将sin 2cos αα-=()2222sin 4sin cos 4cos 5sin cos αααααα-+=+,所以224sin 4sin cos cos 0αααα++=,所以24tan 4tan 10αα++=,所以2(2tan 1)0α+=,解得1tan 2α=-,所以2213tan 1124α⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭.故填：34-. 12．已知3,44ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭,4=,则sin cos 2sin cos αααα-=+_______. 【参考答案】15【分析】根据同角三角函数基本关系,先得到sin cos sin cos 4cos ααααα++-=,结合题中条件,进而得到sin 2cos αα=,代入所求式子,即可得出结果.【解析】()212sin cos sin cos αααα+=+,()212sin cos sin cos αααα-=-,cos sin αα=+sin cos αα=-.又3,44ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭,sin cos 0αα∴+>,sin cos 0αα->. 由题意,得()()sin cos sin cos 4cos ααααα++-=,sin 2cos αα∴=.sin cos 2cos cos 12sin cos 4cos cos 5αααααααα--∴==++.故参考答案为1513．已知tan α＝－12,求2212sin cos sin cos αααα+-的值． 【分析】由sin tan αcos αα=,及22sin ?1cos αα+=,将要求的式子分子分母同时除以cos α即可. 【解析】原式＝()222sin cos sin cos αααα+-＝sin cos sin cos αααα+-＝tan 1tan 1αα+-＝112112-+--＝－13.14．已知11|sin |sin αα=-,且lg(cos )α有意义.（1）试判断角α所在的象限；（2）若角α的终边上一点3,5M m ⎛⎫ ⎪⎝⎭,且||1OM = (O 为坐标原点),求m 的值及sin α的值.【分析】（1）由条件可分别判断sin ,cos αα的正负,即可判断α所在的象限；（2）由||1OM =可得22315m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,再由α是第四象限角可判断0m <,即可求出m ,根据定义可求出sin α. 【解析】（1）由11|sin |sin αα=-,得sin 0α<,由lg(cos )α有意义,可知cos 0α>, 所以α是第四象限角；（2）因为||1OM =,所以22315m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,解得45m =±, 又因为α是第四象限角,所以0m <, 从而45m =-, 445sin ||15y m r OM α-====-.15．（2019·安徽金安·六安一中高一月考）sin α,cos α为方程244210x mx m -+-=的两个实根,,02πα⎛⎫∈-⎪⎝⎭,求m 及α的值.【分析】由sin α,cos α为方程244210x mx m -+-=的两个实根,得sin cos m αα+=,21sin cos 4m αα-=,利用三角函数的基本关系式,得到m =进而得到sin cos αα+,即可求解m 及α的值.【解析】sin α,cos α为方程244210x mx m -+-=的两个实根2210m m ∴-+≥且sin cos m αα+=,21sin cos 4m αα-=,代入()2sin cos 12sin ?cos αααα+=+,得m =,又,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.21sin ?cos 04m αα-∴=<,1sin cos 2m αα+==,sin α=∴,1cos 2α=,又,02πα⎛⎫∈-⎪⎝⎭,3πα∴=-,12m ∴=,3πα=-.16．已知角α的终边经过点(,P x ,（0x ≠）,且cos x α=,求cos sin sin ααα+的值【分析】根据三角函数的定义以及cos 6x α=可解得x ,再根据三角函数的定义求出正弦值,代入可得.【解析】∵(,P x （0x ≠）,∴点P 到坐标原点的距离r =.又cosx α=,x =,∵0x ≠,210x =,∴x r ==当x =时,点P 的坐标为,由三角函数的定义,得cos sin sin ααα====∴cos sin sin 66ααα+=-=-；当x =时,同理,可求得cos sin sin 6ααα+=.综上,cos sin sin ααα+的值为17．求证： （1）2212sin cos 1tan cos sin 1tan x x xx x x；（2）2222tan sin tan sin αααα-=；（3）22(cos 1)sin 22cos βββ-+=-；（4）4422sin cos 12sin cos x x x x +=-.【分析】根据同角三角函数式关系,结合齐次式的化简即可证明. 【解析】（1）证明:根据同角三角函数关系式,化简等式左边可得2212sin cos cos sin x x x x ()2222sin cos 2sin cos cos sin x x x xx x+-=-2(cos sin )(cos sin )(cos sin )x x x x x x -=+- cos sin 1tan cos sin 1tan x x xx x x--==++而右边1tan 1tan xx-=+所以原式得证.（2）证明:根据同角三角函数关系式,可得22tan sin αα-222sin sin cos ααα=-()222sin 1cos cos ααα-=22tan sin αα=⋅ 而右边22tan sin αα=⋅ 原式得证.（3）证明: 22(cos 1)sin ββ-+22cos 2cos 1sin βββ=-++22cos β=-而右边22cos β=-原式得证（4）证明:由同角三角函数关系式可知44sin cos x x +442222sin cos 2sin cos 2sin cos x x x x x x =++-()22222sin cos 2sin cos x x x x =+-2212sin cos x x =-而右边2212sin cos x x =- 原式得证18．已知34πθπ<<,110tan .tan θ3θ+=- （1）求tan θ的值；。